Meca1 centroides y momentos de inerci amaterialdeapoyo

CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA MATERIAL DE APOYO

CATEDRATICO: ING. CESAR GARCÍA NAJERA

CONCEPTOS QUE DEBE SABER PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS DE CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA. CENTROIDE El centroide es útil en el cálculo de momento de inercia, cargas distribuidas sobre elementos estructurales y se puede definir como el centro geométrico de una figura plana homogénea, depende de la forma a diferencia de centro de masa que depende de la distribución de la materia. CENTROIDE PARA LINEAS: Las coordenadas del centroide de una línea compuesta se pueden determinar así:

∑

∑

∑

∑

CENTROIDE PARA AREAS COMPUESTAS: Las coordenadas del centroide de una figura plana compuesta se pueden determinar así:

∑

∑

∑

∑

CENTROIDE PARA VOLUMENES COMPUESTOS: Las coordenadas del centroide de un VOLUMEN compuesto se pueden determinar así:

∑

∑

∑

∑

∑

∑

MOMENTO DE INERCIA PARA FIGURAS PLANAS: El Momento de inercia se puede definir como la capacidad que tiene un cuerpo a oponerse a la rotación respecto a un eje. En el curso de Física 1 se impartió el cálculo de momento de inercia para masas, análogamente se calculará ahora para áreas de figuras planas.

Para masas ∫ Para áreas ∫

La unidad de medida es [ ] en el SI es [ ] Y x y x MOMENTO DE INERCIA: Respecto al eje x Respecto al eje y

∫ ∫

La unidad de medida es [ ] en el SI es [ ]

1



TEOREMA DE EJES PARALELOS PARA MOMENTO DE INERCIA PARA FIGURAS PLANAS:

Y C: ES EL CENTROIDE DE LA FIGURA

X

DONDE;

ES EL MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE x

ES EL MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE x QUE PASA

POR EL CENTROIDE DE LA FIGURA. ES EL AREA DE LA FIGURA.

DISTANCIA PERPENDICULAR DEL EJE x AL EJE xC CENTROIDAL.

ANALOGAMENTE RESPECTO AL EJE y:

PRODUCTO DE INERCIA PARA FIGURAS PLANAS:

Y C: ES EL CENTROIDE DE LA FIGURA

X

∫

PRODUCTO DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES x E y

Si la figura plana no tiene simetría respecto al menos a un eje, el producto de inercia se determina así:

Donde;

PRODUCTO DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES x E y.

PRODUCTO DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES xc E yc centroidales.

Coordenadas del centroide de la figura.

2

C

C



ES CERO SI LA FIGURA PLANA TIENE SIMETRIA AL MENOS

RESPECTO A UN EJE. EJEMPLO:

La Figura tiene simetría respecto a los dos ejes centroidales por lo

tanto el

La Figura tiene simetría respecto a los dos ejes centroidales por lo

tanto el

La Figura no tiene simetría respecto a los dos ejes centroidales

por lo tanto el

MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALES PARA FIGURAS PLANAS:

√(

)

( )

3

C



PROBLEMA 1 Para el alambre doblado que se muestra en la figura, encuentre las coordenadas del centroide C. RESOLUCION: El alambre se compone de 3 partes, A, B y C, cada uno tiene una longitud y centroide como se muestra. Resumen de la información:

i e i se miden respecto al origen:

Li i(m) i(m) i Li i Li

A 3 1.5 0 4.5 0

B 3.637 1 11.43 3.14

D 3 3 3.5 9 10.5

∑

9.14

∑

24.9

∑

13.64

∑

∑

∑

∑

3m 1 m

x(+) 0 A 1m B 2.5m C 1m

y(+)

3 m D

1.5 m

A

Longitud de la

semicircunferencia es: R =

(1) =

De la tabla de centroides para

líneas, el centroide de la

semicircunferencia es:

Respecto al origen es:

3 m = 3.637 m

1 m 3m 0.637m

PROBLEMA 2 Para la figura plana que se muestra en la figura, encuentre las coordenadas del centroide. Y 0.848 m 4 m = x 2 m 2 m 1 m 2 + 0.848

de la tabla de centroides para áreas

para un semicírculo, su centroide es:

A B + 2m

= 0.848 m

Área del semicírculo es: = =2

4

9



Las coordenadas del centroide de la figura compuesta por un rectángulo y un círculo, se puede resumir en la siguiente tabla.

∑

∑

∑

∑

Ai i(m) i(m) i Ai i Ai

A 8 1 2 8 16

B 2 2.848 2 17.89 12.56

∑

14.28

∑

25.89

∑

28.56

∑

∑

m

∑

∑

PROBLEMA 3 Para el tanque que se muestra en la figura, encuentre las coordenadas del centroide. z(+)

x(+) y(+)

Tome h = 4 m, r = 2 m

Continua problema 3 De la tabla de centroides para volúmenes, el centroide para un cono se localiza: H/4 = 4/4 = 1 m

VOLUMEN DEL CONO:

+

VOLUMEN DEL cilindro:

La figura compuesta tiene simetría, por lo cual su centroide se localiza en el origen en :

El centroide es:

∑

∑

.

Su cálculo se resume en la siguiente tabla.

H / 4 = 1

m

H/2 = 2 m

5



∑

∑

⁄

Vi i(m) i Vi

cono 5 83.75

cilindro 2 100.5

∑

67.01

∑

184.25

PROBLEMA 4 La figura muestra una lamina homogénea de espesor constante, determine:

Momento de inercia respecto a los

ejes x e y.

El producto de inercia respecto a los

ejes x e y.

Los momentos de inercia principales.

y(+)

4p x(+) 8 p 6 p

La lámina está compuesta por un

rectángulo y un triángulo, es

equivalente a sumarlos.

A

2p 4 p + B 4/3

8 p 2 p

Momento de inercia

respecto al eje x de toda la

lámina.

Rectángulo: En la tabla de momentos de inercia para áreas el eje x del rectángulo coincide con el eje x de la figura compuesta, por lo tanto no se utiliza el teorema de ejes paralelos.

Triángulo:

En la tabla de momentos de inercia para áreas el eje x del triangulo también coincide con el eje x de la figura, por lo tanto no es necesario usar el teorema de ejes paralelos.

Finalmente para toda la la figura:

Momento de inercia

respecto al eje y de toda la

lámina.

1/33 m,

6



Rectángulo: En la tabla de momentos de inercia para áreas el eje y del rectángulo coincide con el eje y de la figura, por lo tanto no es necesario utilizar el teorema de ejes paralelos.

Triángulo:

En la tabla de momentos de inercia para áreas el eje y del triangulo no coincide con el eje y de la figura compuesta, por lo tanto es necesario usar el teorema de ejes paralelos, es decir trasladarlo del eje yc al eje y.

Finalmente para toda la la figura:

1907

El producto de inercia respecto a los

ejes x e y.

El producto de inercia de la figura compuesta es:

Rectángulo:

Un rectángulo tiene simetría respecto a los dos ejes centroidales, por lo cual el producto de inercia es cero respecto a estos.

=

= (2)= 256 p4

√(

)

( )

Triángulo: Un Triángulo no tiene simetría respecto a ningún eje centroidal, por lo cual el producto de inercia no es cero respecto a estos. De la tabla de productos de inercia respecto a los ejes centroidales

es:

, el signo negativo es

porque el triángulo tiene una pendiente negativa.

=

=

Finalmente :

Los momentos de inercia

principales.

Datos:

1907 ,

Al sustituir estos datos en la formula anterior obtenemos:

7



PROBLEMA 5 La figura muestra una lamina homogénea de espesor constante, determine:

Momento de inercia respecto a los

ejes x e y.

Los momentos de inercia respecto a

los ejes xC e yC (CENTROIDALES DE

TODA LA FIGURA).

y(+) B 1”

7” A x(+) Figura 1 2” 6”

Momento de inercia respecto al eje x

de toda la lámina.

Rectángulo A: En la tabla de momentos de inercia para áreas el eje x del rectángulo coincide con el eje x de la figura compuesta, por lo tanto no se utiliza el teorema de ejes paralelos.

Rectángulo B: En la tabla de momentos de inercia para áreas el eje x del rectángulo no coincide con el eje x de la figura compuesta, por lo tanto se utilizará el teorema de ejes paralelos para trasladarlo de xc al eje x.

5” 1” 3.5” 6.5”

Figura 2 En la figura se muestra la posición del centroide de cada figura:

Momento de inercia

respecto al eje y de toda la

lámina.

Rectángulo A: En la tabla de momentos de inercia para áreas el eje y del rectángulo coincide con el eje y de la figura compuesta, por lo tanto no se utiliza el teorema de ejes paralelos.

Rectángulo B: En la tabla de momentos de inercia para áreas el eje y del rectángulo no coincide con el eje y de la figura compuesta, por lo tanto se utilizará el teorema de ejes paralelos para trasladarlo de yc al eje y.

8



Coordenadas del centroide de la

figura completa.

∑

∑

∑

∑

Los momentos de inercia respecto a

los ejes xC e yC (CENTROIDALES DE

TODA LA FIGURA).

Para determinar de toda la figura

conocemos:

,

Utilizamos el teorema de ejes paralelos para trasladarlo del eje x al eje xc.

Sustituyendo

Despejando

, obtenemos :

Para determinar de toda

la figura conocemos:

,

Utilizamos el teorema de ejes paralelos para trasladarlo del eje y al eje yc.

Sustituyendo

Despejando

, obtenemos :



VIGAS: SON ELEMENTOS ESTRUCTURALES QUE SOPORTAN

CARGAS ESTATICAS (ACTÚAN PERMANENTEMENTE SOBRE LA VIGA, EJEMPLO SU PROPIO PESO, EL PESO

DE LA LOSA ETC.) DINAMICAS, (ACTÚAN TEMPORALMENTE SOBRE LA VIGA, EJEMPLO: PESO

DE PERSONAS ESCRITORIOS).

W

W: Representa la carga por unidad de

longitud.*

+

F W

F: La fuerza debida a la carga distribuida actúa en el centroide, y es igual:

F =∫

= área bajo la curva entre w y x.

PROBLEMA 1 Para la viga mostrada calcule las reacciones en A y B.

W1 = 800

W2 = 500

A 2 m B 1 m F1 F2

By

A

,

F = área bajo la curva entre w y x, el área de un triángulo para estos casos.

F1 =

(

)

F2 =

(

)

∑ +

∑ +

Sustituyendo ,

obtenemos:

Problema 2 Para el marco mostrado determine las reacciones en los pasadores A,B,C, despreciando los pesos de los elementos. 80 lb/p B 200 lb 5 p

10 p A C 12 p

10



( )

Primero, se elabora un diagrama de las fuerzas que actúan sobre todo el bastidor. En A y C son dos reacciones debido a que son pasadores. 1/3 (12) = 4 p

F

80 lb/p

B

5 p 200 lb

10 p

A Ax Cx Ay Cy

12 p F es el area triangular

F =

(

)

Luego aplicamos las condiciones de equilibrio: ∑ +

∑ +

Sustituyendo , obtenemos:

Posteriormente, el bastidor se compone de dos elementos AB y BC, se analizan por separado y se elabora el diagrama de fuerzas que actúan sobre cada elemento, aplicando las condiciones de equilibrio.

ELEMENTO AB.

8 p F

B BX

By 200 lb

A Ax Ay = Luego aplicamos las condiciones de equilibrio: ∑ +

∑ +

Sustituyendo ,

obtenemos:

∑ +

Sustituyendo , obtenemos:

11



ELEMENTO BC.

Bx=0 lb Cx = 0 lb

12

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