INTRODUCCIN

En la mecnica de los fluidos es posible obtener importantes resultados a partir de un enfoque dimensional del flujo fluido. Las variables involucradas en cualquier situacin fsica real pueden ser agrupadas en un cierto nmero de grupos adimensionales independientes los cuales permiten caracterizar fenmeno fsico.La caracterizacin de cualquier problema mediante grupos adimensionales, se lleva cabo mediante un mtodo denominado anlisis dimensional.El uso de la tcnica de anlisis dimensional adquiere relevancia sobre todo en la planificacin de experimentos y presentacin de resultados en forma compacta, sin embargo se utiliza con frecuencia en estudios de tipo terico.Esencialmente, el anlisis dimensional es una tcnica que permite reducir el nmero y complejidad de las variables que intervienen en la descripcin de un fenmeno fsico dado.Por otra parte el anlisis dimensional permite relacionar los datos medidos en u modelo experimental con la informacin requerida para el diseo de un prototipo a escala real. Al proporcionar las leyes de escala correspondientes, cuyo componente principal es la semejanza geomtrica y dinmica adems de la igualdad de los parmetros adimensionales que caracterizan el objeto de estudio, entre modelo y prototipo.

INTERPRETAR LA IMPORTANCIA Y UTILIDAD DEL ANALISIS DIMENSIONAL 1.- ANALISIS DIMENSIONAL El anlisis dimensional es un mtodo matemtico de considerable valor en la resolucin de cualquier fenmeno fsico. Todas las variables o entidades fsicas se pueden expresar en funcin de unas variables o entidades fundamentales, que en mecnica son: Longitud (L), Masa (M) y tiempo ( T). Por ejemplo:

Fuerza = masa aceleracin = masa longitud/tiempo2

Por tanto la ecuacin de dimensiones de la Fuerza es: MLT-2En cualquier ecuacin que represente un fenmeno fsico real, cada trmino debe de contener la misma potencia de las variables fundamentales (L, M, T). En otras palabras, si se comparan los trminos entre s, tienen que tener todos las mismas dimensiones, ya que si no, la ecuacin no tiene sentido, aunque pueda dar el mismo resultado numrico.En muchos casos al estudiar un fenmeno fsico se conocen las variables que intervienen en dicho fenmeno, mientras que la relacin entre las variables se desconoce.Mediante el anlisis dimensional, el fenmeno puede formularse como una relacin entre un conjunto de grupos adimensionales de las variables, siendo el nmero de grupos menor que el de variables.La razn de lo anterior es que la naturaleza no se preocupa por las coordenadas y dimensiones que el ser humano utiliza cuando trata de imitar un proceso real.Por ello los grupos adimensionales mencionados antes, son mejores para imitar procesos reales que las variables mismas en s.

2.- DIMENSIONES Y UNIDADES

En la mecnica de fluidos, como en otras ramas de las ciencias de ingeniera, se usan magnitudes de diferente naturaleza con la caracterstica comn de que son susceptibles de medicin. Unas son de naturaleza abstracta, como el tiempo, la longitud, la velocidad, etc. y otras son una medida de las manifestaciones moleculares globales de las sustancias como por ejemplo: la densidad, la presin, la temperatura, etc.

Un grupo pequeo de estas magnitudes se seleccionan como magnitudes independientes (tabla 1.1) las mismas que sirven de base para definir el grupo de magnitudes dependientes (tabla 1.2). La relacin entre las magnitudes dependientes e independientes (fundamentales) se establece mediante los principios y/o las definiciones. As la velocidad se relaciona con la longitud y el tiempo mediante la definicin de velocidad y la fuerza se relaciona con la masa, la longitud y el tiempo mediante la segunda ley de Newton.

Cada una de las magnitudes utilizadas en la mecnica est asociada con una dimensin fsica, se puede decir que la dimensin es la medida de una magnitud fsica. En tanto que la unidad es cantidad numrica que se le asigna a una dimensin y cuyo valor depende del sistema de unidades utilizado. Lo que significa que a una dimensin dada se le pueden asociar diferentes nmeros. As por ejemplo la dimensin de la aceleracin de la gravedad es L/2 pero la expresin numrica puede ser: 9.81 o 32.2 segn el sistema de unidades que se use.

En fluidos se usa con preferencia el Sistema Internacional de unidades (SI). Pero debido a que todava existe en las industrias de nuestro medio mucha literatura tcnica como manuales de operacin, de diseo, etc. donde se utiliza el sistema britnico de unidades se recomienda revisar este sistema de unidades.

Tabla 1.1 Magnitudes mecnica fundamentales usadas en mecnica de fluidos

Tabla 1.2 Magnitudes derivadas importantes en la mecnica de fluidos

3.- ESTUDIO DE LOS PARAMETROS ADIMENSIONALES

Los parmetros adimensionales profundizan en forma significativa nuestro entendimiento sobre los fenmenos del flujo de fluidos en forma anloga al caso del gato hidrulico. Donde la relacin entre los dimetros del pistn. Un nmero adimensional que es independiente del tamao real del gato, determina la ventaja mecnica. Estos parmetros permiten que resultados experimentales limitados sean aplicados a situaciones que involucran dimensiones fsicas diferentes y a menudo propiedades fluidas diferentes. Es posible llevar a cabo menos, aunque altamente selectivos, experimentos con el fin de descubrir las facetas escondidas del problema y por lo tanto lograr importantes ahorros en tiempo y dinero. Los resultados de una investigacin pueden presentarse tambin a otros ingenieros y cientficos en forma ms compacta y significativa con el fin de facilitar su uso. Es igualmente importante el hecho de que, a travs de esta presentacin incisiva y ordenada de informacin, los investigadores puedan descubrir nuevos aspectos y reas sobre el conocimiento del problema estudiado. Este avance directo de nuestro entendimiento de un fenmeno se debilitara si las herramientas del anlisis dimensional no estuvieran disponibles.

Muchos de los parmetros adimensionales pueden ser vistos como la relacin de un par de fuerzas fluidas, cuya magnitud relativa indica la importancia relativa de una de las fuerzas con respecto a la otra. Si algunas fuerzas en una situacin de flujo particular son mucho ms grandes que las otras, a menudo es posible despreciar el efecto de las fuerzas menores y tratar el fenmeno como si estuviera completamente determinado por las fuerzas mayores. Esto significa que se pueden utilizar procedimientos matemticos y experimentales ms simples, aunque no necesariamente fciles, para resolver el problemas. En aquellas situaciones con varias fuerzas con la misma magnitud, tales como las fuerzas inerciales, viscosas y gravitacionales, requieren tcnicas especiales. Despus de una discusin de dimensiones, se presentan el anlisis dimensional y los parmetros adimensionales, la similitud dinmica y los estudios en modelos.El razonamiento cientfico en Mecnica de Fluidos se basa cuantitativamente en los conceptos de fenmenos fsicos tales como longitud, tiempo, velocidad, aceleracin, fuerza, masa, densidad, impulso, energa, viscosidad, y muchas otras entidades escogidas arbitrariamente, a cada una de las cuales se le ha asignado una unidad de medidaEstas entidades, as como tambin las unidades en las cuales se les mide, son completamente, arbitrarias. Con el propsito de obtener una solucin numrica, podemos adoptar para el clculo las cantidades en cualquiera de las unidades de medida mas comnmente usadas (por ejemplo, el Sistema Internacional, SI); sin embargo, es deseable adoptar un sistema dimensional consistente que contenga el nmero ms pequeo de dimensiones, en trminos en los cuales se puedan expresar todas las entidades fsicas.Las dimensiones fundamentales, de la mecnica son: longitud (L), tiempo (T), masa (Y) y fuerza (F), relacionadas por medio de la segunda Ley de Newton del Movimiento, F = ma. Dimensionalmente, la ley puede escribirse como:F=M L/T2 F.T2/M.L = 1

Lo cual indica, que cuando tres de las dimensiones son conocidas la cuarta puede expresarse en trminos de las otras tres. Podemos decir entonces que tres dimensiones independientes son suficientes para expresar cualquier fenmeno fsico encontrado en la mecnica Newtoniana. Estas tres dimensiones son escogidas por lo general como el M, L, T (sistema masa - longitud - tiempo) o el F, L, T (sistema fuerza - longitud - tiempo). Por ejemplo, la densidad puede expresarse como M/L3 FT2/ L4 y la presin del fluido la cual se expresa comnmente como fuerza por unidad de rea F/L2 puede tarnbien expresarse como M/T2.L usando el sistema masa-longitud-tiempo. Un resumen de algunas de las entidades de uso ms frecuente en la mecnica de los fluidos junto con sus dimensiones en ambos sistemas.

Una vez que se han seleccionado las tres dimensiones independientes (MLT FLT) es posible expresar en funcin de ellas todas las entidades fsicas de la mecnica de los fluidos. Una ecuacin la cual expresa el fenmeno fsico del movimiento de un fluido debe ser tanto algebraicamente correcta corno dimensionalmente homognea esto es: cada trmino de la ecuacin tienedimensiones idnticas. Una ecuacin dimensionalmente homognea tiene la nica caracterstica de ser independiente de las unidades de medida escogidas. Por ejemplo, la ecuacin.M=pA.vLa cual da el flujo de masa por unidad de tiempo a travs de una tubera en trminos de la densidad del fluido, p; la seccin transversal del tubo, A; y la velocidad promedio del fluido. Si el conjunto bsico de dimensiones es el MLT, entonces las dimensiones de m son M/T. Por otro lado, si el conjunto bsico es el FLT, entonces las dimensiones de m son FL-1T2/T. Sin embargo, para cada conjunto de dimensiones la frmula es correcta.Esto nos demuestra que toda ecuacin que sea dimensionalmente homognea puede transformarse a una forma adimensional debido a la dependencia mutua de las dimensiones fundamentales. Por ejemplo, la siguiente frmula: p=1/2p(vv2-v11)

Puede expresarse en forma adimensional dividiendo ambos trminos de la ecuacin por 1/2p v22, obtenindosep/(1/2pv22) = 1- (v1/v2)2

Observe que tanto p/(1/2pv22) como (v1/v2)2son trminos que no tienen dimensiones. Aunque es siempre posible reducir una ecuacin dimensionalmente homognea a una forma adimensional, la dificultad principal en un problema radica en establecer la ecuacin correcta del movimiento. Por consiguiente, un mtodo matemtico especial llamado anlisis dimensionales necesario para determinar la relacin funcional entre las variables que intervienen en cualquier fenmeno complejo del flujo de un fluido, en trminos de parmetros adimensionales.

Mtodo de Buckimgharn

El mtodo de Buckimgharn dice, que si en una ecuacin dimensionalmente homognea, hay n variables dimensionales, las cuales se pueden expresar en trminos de m dimensiones fundamentales (tales como M, L, T, etc.), estas se pueden agrupar en (n-m) trminos. Cada trmino es un parmetro adimensional. Matemticamente, si una variable A1 depende de las variables independientes A2, A3,..., An la ecuacin funcional puede escribirse como:

A1 = (A2, A3,. .An)La ecuacin anterior puede escribirse como; 1 (A1, A2, A3,..An)De acuerdo con el mtodo , la ecuacin adimensional tomar la siguiente forma:2 (1, 2 n-m)1= 3 (1, 3,.. n-m)

Tal que cada ir-trmino est formado por rn variables primarias, las cuales aparecen repetidamente en todos los trminos y, una de las otras (n-m) variables.El mtodo-ir de Buckingham puede ahora usarse para determinar un conjunto de parmetros adimensionales en Mecnica de los Fluidos.

Seleccin de los parmetros adimensionalesEn verdad se necesita cierta experiencia para seleccionar una lista que incluya todas las variables que afectan a un fenmeno de flujo cualquiera. Desafortunadamente, no existe una regla definida a la cual el estudiante pueda recurrir para la seleccin apropiada de aquellas variables a ser incluidas en un problema particular. Mejor dicho, el xito de cualquier investigacin depende de la habilidad del operador para predecir correctamente las variables que se incluirn en el problema. Con frecuencia algunas variables que se incluyenrealmente no tienen nada que ver con el problema y conducen a la aparicin de parmetros adimensionales que estn de ms en la ecuacin finalPor otro lado, con frecuencia se omiten algunas variables pertinentes que son por lgica de importancia para el problema; el anlisis entonces conduce a una conclusin incompleta o an ms, errnea. Parece as necesario que el investigador est familiarizado con la mecnica del problema antes de usar el anlisis dimensional. Un conocimiento de los mecanismos del proceso de flujo revela con frecuencia la accin de algunas de las variables ms importantes.

Procedimiento para determinar los trminos

A continuacin se darn seis pasos para determinar los trminos:1. Hacer una lista de todas las variables que intervienen en el problema considerado.2. Seleccionar el conjunto de dimensiones fundamenta les.3. Hacer una lista de las dimensiones de to das las variables en trminos de las dimensiones fundamentales.4. Seleccionar de la lista de variables obtenidas en el paso 3, un nmero de variables repetidas que sean iguales al. Nmero de dimensiones fundamentales m, e incluyendo todas las dimensiones fundamentales.5. Establecer ecuaciones dimensionales combinando las variables seleccionadas en el paso 4 con cada una de las otras variables en turno para formar grupos adimensionales.6. Comprobar que cada grupo obtenido es adimensional.Los parmetros adimensionales estn ntimamente relacionados con el anlisis dimensional y semejanza.Bsicamente, el anlisis dimensional est relacionado con la reduccin del nmero de variables utilizadas en la modelizacin de un fenmeno fsico.

4.- NUMERO ADIMENSIONALES IMPORTANTES

Nmero de Reynolds

Parmetro adimensional en mecnica de fluidos que relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas viscosas.

Densidad del fluidonu Viscosidad del fluidoL Longitud del canalvVelocidad del fluido

Nmero de Froude

Parmetro adimensional en mecnica de fluidos que relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas gravitatorias.

v - Velocidad de referencia del fluidog - gravedady - profundidad (calado) de referencia del fluido

Nmero de Weber

Parmetro adimensional que relaciona las fuerzas de inercia con la tensin superficial del fluido. Tiene especial importancia cuando la curvatura de la superficie del fluido es comparable con la profundidad del fluido a estudio. Por eso es de consideracin slo cuando toma valores inferiores o iguales a la unidad. En caso contrario se pueden despreciar los efectos producidos por la tensin superficial.

Siendo, - Densidad del fluido Tensin superficial del fluido.L Profundidad de referencia del flujo.v - Velocidad de referencia del fluido.

APLICAR EL CONCEPTO DE SEMEJANZA DINAMICA SOBRE MODELOS

Se dice que un modelo es dinmicamente semejante a su prototipo si las relaciones de todos los tipos de fuerzas (por ejemplo: (Fi, Pv Fp) que actan sobre correspondientes partculas de fluidos o correspondientes superficies de contorno en los dos sistemas, deben ser las mismas. Esto significa que los grupos adimensionales locales (coeficientes de presin, nmero de Reynolds, etc.) deben ser iguales en todas partes en los campos de flujo.

En la prctica, obtener semejanza dinmica completa entre el modelo y su prototipo (excepto para modelos con escala unitaria) tal que todas las condiciones se satisfagan simultneamente, es imposible debido a que no se conocen hasta ahora dos fluidos que posean todas las propiedades que se requieren para satisfacer las cinco condiciones, Afortunadamente, para la mayora de los problemas que se nos presentan en la prctica, nicamente dos o tres fuerzas son de importancia; mientras que las otras son relativamente insignificantes pueden ser despreciadas.

Las condiciones requeridas para la semejanza completa se obtienen del segundo principio del movimiento de Newton:

2.- ESTUDIOS DE MODELOS DE LABORATORIO

En el diseo y prueba de equipos relacionados con el flujo de fluidos se suele construir modelos a escala de laboratorio, geomtricamente similares a los prototipos. Los datos experimentales obtenidos con estos modelos se aplican al diseo de los prototipos de tamao real en funcin de requisitos de similaridad geomtrica, cinemtica y dinmica.Consideremos cualquier problema de flujo fluido, por ejemplo, el flujo sobre un objeto esfrico. Las propiedades y configuracin del flujo estn determinadas por la forma geomtrica del objeto y las propiedades pertinentes del fluido. Se dice entonces que dos flujos son similares si son geomtricamente similares y si todos los parmetros adimensionales correspondientes son los mismos para los dos flujos.Consideremos ahora un modelo y un prototipo. Cmo podemos relacionar las medidas hechas en el modelo con el prototipo? La respuesta es: haciendo que sean geomtricamente semejantes y que los parmetros adimensionales sean los mismos.El significado de flujo semejante y correlacin entre modelo y prototipo se puede entender considerando la forma adimensional de las ecuaciones gobernantes. Es claro que si todas las ecuaciones diferenciales correspondientes se hacen adimensionales, el tamao del objeto no entra en consideracin si la forma es geomtricamente semejante. Sin embargo los parmetros adimensionales deben ser necesariamente iguales en ambos casos.Estos parmetros dependen de las propiedades del fluido y de una dimensin fsica caracterstica del objeto. Por tanto, las ecuaciones diferenciales descritas son idnticas para el modelo y prototipo. Se pueden hacer entonces medidas de cualquier variable adimensional del modelo y esta tendr el mismo valor para el prototipo y al convertir a la forma dimensional los datos tomados en el modelo pueden ser relacionados directamente con el prototipo.Se puede decir entonces: dos flujos son similares si los parmetros y variables adimensionales son los mismos sin importar el tamao de la configuracin geomtrica del flujo, si se mantiene una semejanza geomtrica.

Modelo Verdadero y Modelo Distorsionado

Los modelos pueden ser, o bien modelos verdaderos, o bien modelos distorsionados. Los modelos verdaderos tienen todas las caractersticas significativas del prototipo reproducido a escala (semejanza geomtrica) y satisfacen todas las restricciones de diseo (semejanza cinemtica y dinmica) De esta manera, las semejanzas entre modelo y prototipo son:

Semejanza geomtrica: Cuando las relaciones entre todas las dimensiones correspondientes u homologas en modelo y prototipo son iguales

Semejanza cinemtica: existe semejanza cinemtica entre modelo y prototipo si: las trayectorias de las partculas mviles homologas son geomtricamente semejantes, las relaciones entre las velocidades de las partculas homologas son igualesLas relaciones a cumplir son las referentes a la velocidad, aceleracin y caudal.Semejanza dinmica: existe semejanza dinmica si las relaciones entre las fuerzas homologas en modelo y prototipo son las mismas.

Las condiciones requeridas para la semejanza completa se obtienen a partir del Segundo principio de Newton, Fx = Max. Las fuerzas actuantes pueden ser cualquiera de las siguientes o una combinacin de las mismas: fuerzas viscosas, fuerzas debidas a presin, fuerzas gravitatorias, fuerzas debidas a la tensin superficial y fuerzas elsticas. Entre modelo y prototipo se desarrolla la siguiente relacin de fuerzas (m: modelo; p: prototipo):

fuerzas (viscosas + de presin + gravitatorias + tensin superficial + elsticas)m = Mm amfuerzas (viscosas + de presin + gravitatorias + tensin superficial + elsticas)p Mp ap

3.- IMPORTANCIA Y UTILIDAD

Si existe la misma relacin entre fuerzas correspondientes en puntos correspondientes y esta relacin es la misma para todo el flujo, puede decirse que la integracin de la distribucin de fuerzas que origina la sustentacin o el arrastre tambin tendr la misma relacin entre los flujos del modelo y del prototipo. Si no se tienen flujos que tengan aproximadamente similitud dinmica, las relaciones de fuerza entre los flujos del modelo y del prototipo para diferentes conjuntos de puntos correspondientes sern diferentes y no existir una forma simple para relacionar las resultantes mencionadas antes, como el arrastre y la sustentacin, entre el modelo y el prototipo. El ensayo en modelos ser intil. Para flujos dinmicamente similares, la relacin entre fuerzas correspondientes en puntos correspondientes y la relacin respectiva entre las fuerzas resultantes deseadas del modelo y del prototipo no es difcil de establecer.

Slo se necesita multiplicar la presin de la corriente libre por el cuadrado de una longitud caracterstica para cada flujo. Esto permite el clculo de las fuerzas correspondientes. La relacin entre estas fuerzas es la relacin deseada entre las fuerzas resultantes sobre las fronteras correspondientes de los dos flujos. Es decir, flujos de prototipo y del modelo alrededor de una esfera.Ap

PrototipoModelo

Fuerza de presin Fuerza inerciaFuerza de friccin Am

[(Po)(L2)]m [(Po)(L2)]p=(Fuerzas resultantes)m(Fuerzas resultantes)p

CONCLUSIONES

El anlisis dimensional, es una tcnica mediante la cual se deduce informacin acerca de un fenmeno, basndose en la premisa de que este puede escribirse mediante una ecuacin dimensionalmente homognea entre ciertas variables. El resultado del A.D. consiste en reducir el nmero de variables originales que entran en el fenmeno a un conjunto ms pequeo, formado con dichas variables, que conforman un grupo de parmetros dimensionales.Un parmetro dimensional se puede considerar como el cociente de dos fuerzas que actan en el fenmeno, indicndose, mediante la magnitud relativa de este cociente, la importancia de una de las fuerzas con respecto a la otra.Si en un fenmeno dado, ciertas fuerzas resultan mucho mayores que otras, entonces es posible despreciar, a menudo, el efecto de las fuerzas ms pequeas, dando lugar a que los parmetros adimensionales se conviertan en caractersticos del fenmeno estudiado, recibiendo el nombre de Nmeros Adimensionales en algunos casos. (Reynolds, Froude, Euler, Mach, Wueber, etc.).

Todo modelo tiene escalas, que dependen del criterio de similitud adoptado. Generalmente la seleccin de la escala lineal se hace en forma independiente, buscando siempre que el modelo resulte lo ms grande posible.Finalmente, Los modelos pueden ser, o bien modelos verdaderos, o bien modelos distorsionados. Los modelos verdaderos tienen todas las caractersticas significativas del prototipo reproducido a escala y satisfacen todas las restricciones de diseo.

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