Mecanica_Fluidos(1)

Escuela de Ingenieros Militares Mecánica de Fluidos

Módulo Mecánica de Fluidos: Introducción 1

MECÁNICA DE FLUIDOS

INTRODUCCIÓN La mecánica de fluidos es la parte de la física que se ocupa de los fluidos en reposo o en movimiento, para entender todos los problemas y aplicaciones de la ingeniería real con fluidos. Esta ciencia es fundamental en campos tan diversos como la ingeniería química, la ingeniería mecánica, la ingeniería civil, la aeronáutica, las construcciones navales entre otras. Esta materia puede subdividirse en dos campos principales: La Hidrostática que se ocupa de los fluidos en reposo, y la dinámica de fluidos que trata los fluidos en movimiento. Adicionalmente, se verán otras sesiones como una introducción a las propiedades de los fluidos y una última sesión que se ocupa del comportamiento de los fluidos reales. El módulo de mecánica de fluidos provee al estudiante los conceptos básicos de cualquier asignatura que tenga que ver con el recurso agua. Es por esto que esta materia debe tener un contenido teórico amplio, ya que es la base de todo el conocimiento posterior en el área: Hidráulica I, Hidráulica II, Hidrología y todas las materias de profundización.

HISTORIA DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS La historia de la mecánica de fluidos inicia como un deseo del hombre por entender los fenómenos que ocurren alrededor de los fluidos: Problemas de distribución de agua, irrigación, navegación, energía hidroeléctrica entre muchos otros. Los primeros en aprovechar el recurso agua construyeron canales, operaron ruedas de agua para generación, formaron pozos, instrumentos de bombeo ente otros con conocimientos empíricos de la física del agua, y gracias a ello empezaron a formarse los asentamientos humanos, siempre cerca de algún cuerpo de agua que pudieran aprovechar. Un ejemplo de aprovechamiento del recurso se presenta en Roma, con la construcción del acueducto romano, que persiste hoy en día. Sin embargo, a excepción del trabajo de Arquímedes (287 – 212 A.C) acerca de los principios de la fuerza ascensional o boyante, muy poco conocimiento de la época antigua forma parte de la mecánica de fluidos moderna.



Figura 1 Acueducto Romano.

Foto tomada de: http://www.engr.usask.ca/studyabroad/images

Luego de la caída del imperio romano se estancó la producción de conocimiento en el área de la mecánica de fluidos, hasta la época de Leonardo da Vinci (1452 – 1519), quien fue el primero en deducir la ley de conservación de la masa para flujos unidireccionales e incompresibles e hizo múltiples aportes cualitativos a la mecánica de fluidos. Luego de la época de da Vinci, la acumulación de conocimiento en el área fue exponencial; aparecieron contribuciones de Torricelli, Galileo, Pascal, Newton, Pitot, Bernoulli, Euler, Navier – Stokes, Reynolds entre muchos otros. A pesar de que las ecuaciones encontradas eran físicamente basadas, no correspondían a fluidos reales, sino a fluidos ideales no viscosos e incompresibles. Como resultado de este inconveniente, la investigación se diversificó formando dos líneas de acción: El campo matemático y teórico de la hidrodinámica y la ciencia práctica de la hidráulica. En este segundo campo de la hidráulica experimental, aparecen científicos como Chezy, Manning, Darcy, Froud y otros, quienes a través de la experimentación encontraron patrones de comportamiento del agua y dedujeron algunas ecuaciones netamente empíricas. La Mecánica de Fluidos moderna aparece a principios del siglo XX, unificando estas dos tendencias inicialmente opuestas: La experimental y la científica. Es entonces tanto una ciencia como una disciplina de la ingeniería, que comprende la relación entre fluidos reales e ideales y se encuentra basada en la aplicación de las leyes fundamentales de la mecánica y la termodinámica, sobre la experimentación y la simulación de situaciones reales. Para una descripción más detallada de la evolución de la mecánica de fluidos y sus implicaciones prácticas, le recomiendo revisar la página: http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/115/html/sec_6.htm



OBJETIVO GENERAL DEL CURSO Resolver problemas prácticos y aplicaciones de la mecánica de fluidos en las obras hidráulicas, a partir de las propiedades físicas de los fluidos, de los principios mecánicos básicos de la estática, la cinemática, la dinámica y el comportamiento de los fluidos reales.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Sesión 1: Aplicar las propiedades básicas de la mecánica de fluidos, reconociendo en un sistema complejo la propiedad o propiedades que dominan dicho sistema, para así plantear estrategias de solución al problema. Sesión 2: Emplear las leyes fundamentales de la estática de fluidos y sus aplicaciones prácticas, en la resolución de problemas de manometría, superficies sumergidas, flotación y estabilidad de cuerpos. Sesión 3: Describir el comportamiento cinemático de un fluido en movimiento a través de la ley de conservación de la masa, reconociendo las simplificaciones y el enfoque que debe tomarse de acuerdo con el tipo de flujo que se tenga. Sesión 4: Aplicar las ecuaciones de dinámica de fluidos como son la ecuación de conservación de energía y la de Momentum, en problemas de medición de caudales de fluidos en movimiento, y de fuerzas que ejercen los fluidos al chocar contra diferentes objetos. Sesión 5: Conocer la diferencia entre los fluidos reales e ideales, y todos los procesos que se desencadenan al tener en cuenta el esfuerzo cortante y la viscosidad del fluido.

CONTENIDO DEL MÓDULO Introducción ............................................................................................................ 1 Historia de la Mecánica de Fluidos ........................................................................ 1 Objetivo General del Curso .................................................................................... 3 Objetivos Específicos ............................................................................................. 3 Contenido del Módulo ............................................................................................ 3 1 Sesión 1 Propiedades de los Fluidos ............................................................. 7

1.1 Introducción ............................................................................................. 7 1.2 Objetivos .................................................................................................. 7

1.2.1 Objetivo General de la Sesión .......................................................... 7 1.2.2 Objetivos Específicos ....................................................................... 7

1.3 Definición de un Fluido ........................................................................... 8



1.4 Masa, Peso Específico y Densidad .......................................................... 8 1.5 Viscosidad .............................................................................................. 10 1.6 Compresibilidad y Elasticidad de los Fluidos ....................................... 12 1.7 Tensión Superficial ................................................................................ 13 1.8 Capilaridad ............................................................................................. 15 1.9 Presión de Vapor .................................................................................... 18 1.10 Auto Evaluación .................................................................................... 19

2 Sesión 2: Estática de los Fluidos .................................................................. 21 2.1 Introducción ........................................................................................... 21 2.2 Objetivos ................................................................................................ 21

2.2.1 Objetivo General de la Sesión ........................................................ 21 2.2.2 Objetivos Específicos ..................................................................... 21

2.3 Definición de Presión ............................................................................ 22 2.4 Variación de la Presión con la Profundidad. Ecuación Fundamental de la Estática de Fluidos ........................................................................................ 23

2.4.1 Variación de la presión en fluidos incompresibles ........................ 24 2.4.2 Variación de la presión en fluidos compresibles ............................ 26

2.5 Medidas de presión: Presión Absoluta y Presión Manométrica ............ 28 2.6 Aplicaciones Para la Medición de la Presión ........................................ 31

2.6.1 Barómetros ..................................................................................... 31 2.6.2 Piezómetros .................................................................................... 33 2.6.3 Manómetros Estándar ..................................................................... 34 2.6.4 Manómetros Diferenciales ............................................................. 37 2.6.5 Micromanómetros .......................................................................... 40

2.7 Fuerzas sobre superficies sumergidas planas ........................................ 40 2.7.1 Superficie plana horizontal ............................................................. 40 2.7.2 Superficie plana inclinada .............................................................. 43 2.7.3 Cálculo del centro de presión ......................................................... 44 2.7.4 Aproximación mediante el prisma de presión ................................ 46

2.8 Componentes de Fuerza sobre Superficies Curvas ................................ 56 2.8.1 Componente horizontal de la fuerza ............................................... 56 2.8.2 Componente vertical de la fuerza ................................................... 57

2.9 Boyamiento y flotación. Estabilidad de Cuerpos .................................. 63 2.9.1 Estabilidad de cuerpos flotantes y sumergidos .............................. 64 2.9.2 Estabilidad de cuerpos boyantes .................................................... 65

2.10 Auto Evaluación .................................................................................... 66 3 Sesión 3: Cinemática de Fluidos .................................................................. 72

3.1 Introducción ........................................................................................... 72 3.2 Objetivos ................................................................................................ 72


3.3 Clasificación del Flujo ........................................................................... 73 3.3.1 Flujo Uniforme – Permanente ........................................................ 73 3.3.2 Flujo Variado – Permanente ........................................................... 74 3.3.3 Flujo Variado – No Permanente ..................................................... 75 3.3.4 Flujo Uniforme – no Permanente ................................................... 76



3.4 ¿Cómo Describir el Movimiento de Fluidos? ........................................ 76 3.4.1 Enfoques de la visualización del movimiento de fluidos ............... 76 3.4.2 Línea de Corriente .......................................................................... 78 3.4.3 Tubo de corriente............................................................................ 79 3.4.4 Aceleraciones del Flujo .................................................................. 79

3.5 Ecuación de Conservación de la Masa .................................................. 82 3.6 Auto Evaluación .................................................................................... 87

4 Sesión 4: Dinámica de Fluidos ..................................................................... 89 4.1 Introducción ........................................................................................... 89 4.2 Objetivos ................................................................................................ 89


4.3 Ecuación de Euler .................................................................................. 90 4.4 Ecuación de Conservación de Energía: Ecuación de Bernoulli ............ 91

4.4.1 Significado de los términos de la ecuación de Bernoulli ............... 93 4.4.2 Análisis de situaciones típicas mediante la ecuación de Bernoulli 95

4.5 Aplicaciones de la Ecuación de Bernoulli ............................................. 97 4.5.1 Orificios pequeños .......................................................................... 97 4.5.2 Orificios sumergidos .................................................................... 100 4.5.3 Aparatos de Medición: Tubo de Pitot .......................................... 101 4.5.4 Aparatos de Medición: Tubo Venturi........................................... 103

4.6 Ecuación de Bernoulli Modificada para Flujo de Fluidos Reales ....... 106 4.7 Sistemas con Máquinas Hidráulicas .................................................... 107

4.7.1 Línea de energía total y energía piezométrica .............................. 107 4.7.2 Bombas en sistemas de tuberías ................................................... 108

4.8 Ecuación de Conservación de Momentum .......................................... 112 4.9 Aplicaciones de la Ecuación de Conservación de Momentum: Álabes Fijos y Móviles ............................................................................................... 114

4.9.1 Álabes Fijos .................................................................................. 115 4.9.2 Álabes Móviles ............................................................................. 120

4.10 Auto Evaluación .................................................................................. 122 5 Sesión 5: Comportamiento de Fluidos Reales ............................................ 128

5.1 Introducción ......................................................................................... 128 5.2 Objetivos .............................................................................................. 128

5.2.1 Objetivo General de la Sesión ...................................................... 128 5.2.2 Objetivos Específicos ................................................................... 128

5.3 Flujo Laminar y Turbulento................................................................. 129 5.3.1 Características del flujo laminar ................................................... 130 5.3.2 Características del flujo turbulento .............................................. 130 5.3.3 Número de Reynolds .................................................................... 131

5.4 Interacción Fluido – Pared Sólida........................................................ 131 5.5 Flujos Externos .................................................................................... 133

5.5.1 Separación .................................................................................... 133 5.5.2 Flujo Secundario........................................................................... 134

5.6 Flujos Internos ..................................................................................... 134 5.6.1 Desarrollo del Flujo ...................................................................... 134



5.6.2 Esfuerzo Cortante ......................................................................... 135 5.6.3 Separación .................................................................................... 136

6 Bibliografía ................................................................................................. 138 6.1 Textos Guía para el Desarrollo de la Asignatura ................................. 138 6.2 Textos Complementarios ..................................................................... 138


Sesión 1: Propiedades de los fluidos 7

1 SESIÓN 1 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

1.1 INTRODUCCIÓN Esta sesión se dedica al estudio de las propiedades de los fluidos, que van a servir de soporte a todo el conocimiento posterior que se desarrollará en el resto del módulo. Por ejemplo, el peso específico es una propiedad importante en la estática de los fluidos, mientras que cuando éstos están en movimiento, predominan la densidad y la viscosidad. Cuando se habla de presiones manométricas negativas, la presión de vapor juega un papel importante y cuando las secciones de paso del flujo son pequeñas, similares a tubos capilares, la tensión superficial es importante. En esta sesión por lo tanto se aprenderán a reconocer todas las propiedades mencionadas anteriormente y se darán las herramientas para que el estudiante pueda atacar problemas sencillos de mecánica de fluidos.

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 Objetivo General de la Sesión Aplicar las propiedades básicas de la mecánica de fluidos , reconociendo en un sistema complejo la propiedad o propiedades que dominan dicho sistema, para así plantear estrategias de solución al problema.

1.2.2 Objetivos Específicos • Distinguir el comportamiento de un fluido en comparación con los otros

estados de la materia. • Entender los conceptos de densidad y peso específico, profundizando su

determinación mediante la teoría y/o la experimentación.. • Aplicar el concepto de viscosidad en fluidos (newtoniano). • Emplear la propiedad de compresibilidad de un fluido entendiendo su

ecuación. • Reconocer la importancia de la tensión superficial en la naturaleza y resolver

problemas en donde ésta sea la propiedad más influyente. • Combinar la propiedad anterior con el concepto de capilaridad para la

resolución de problemas de ascenso o descenso capilar. • Comprender el concepto de presión de vapor o presión de saturación de un

fluido, profundizando la manera de determinarla mediante experimentación.



1.3 DEFINICIÓN DE UN FLUIDO Existen dos estados de la materia: El estado sólido y el estado fluido, siendo este último comúnmente dividido en estado líquido, estado gaseoso y plasma. El plasma es un conjunto de partículas gaseosas eléctricamente cargadas, o ionizadas.

Figura 1.1 Estados de la materia. Tomado de: http://www.windows.ucar.edu/tour/link=/sun/Solar_interior/Sun_layers/Core/four_states.sp.html

Los sólidos difieren de los líquidos, y éstos de los gases, en la disposición de las moléculas y su movimiento. El espaciamiento entre las moléculas de los gases es mayor que el de los líquidos y mucho mayor que la separación entre las moléculas de un sólido. Como consecuencia de lo anterior, las fuerzas de cohesión entre las partículas de un sólido son extremadamente mayores que las de las partículas gaseosas. Los dos conceptos anteriores son los que permiten explicar la rigidez de los cuerpos sólidos, la facilidad de un líquido para moverse libremente, aun cuando tiene un volumen definido, y la capacidad de los gases de llenar completamente el espacio en donde se encuentran embebidos, fluyendo continuamente. La diferencia entre un cuerpo sólido y un fluido es por tanto que los fluidos tienen la capacidad de deformarse cuando son sometidos a esfuerzos cortantes externos, deformación causada por la libre movilidad de las moléculas, y las fuerzas de cohesión bajas entre ellas. Esta inhabilidad de resistir esfuerzos cortantes es la que le da a los fluidos la habilidad característica de cambiar su forma o fluir.

1.4 MASA, PESO ESPECÍFICO Y DENSIDAD La densidad (ρ) es una medida de la cantidad de materia o masa, contenida en una unidad de volumen. Usualmente se representa como Kg/m3 o su equivalente en otras unidades.

volúmen

masaDensidad= (1.1)



Explicando el concepto de manera cotidiana podría decirse que si la masa es la medida de cuánta materia tiene un objeto, entonces la densidad es la medida de qué tan compactada está esa materia. El peso específico por su parte (γ ), se define como la fuerza gravitacional que actúa sobre la cantidad de materia en la unidad de volumen. Generalmente se expresa como N/m3.

g

GravedadDensidadEspecíficoPeso

⋅==

ργ*

(1.2)

Para entender de manera sencilla el concepto de densidad, se puede observar cualquier objeto que flote o se hunda en un líquido determinado. Si el objeto es menos denso que el líquido en el que se encuentra, éste flotará. Pero si es más denso, se va a hundir. Algunos elementos son muy densos, como es el caso del Mercurio líquido (Hg). Este elemento es más denso que el plomo y que muchos objetos metálicos. Al hacer el ejercicio de introducir una llave en un vaso de agua y en un vaso de mercurio respectivamente, se observa que la llave flota en el mercurio, lo que significa que el mercurio es más denso que ésta y no permite que se hunda, como en el caso del vaso de agua. Este ejemplo se ilustra en la Figura 1.2.

Figura 1.2 Ilustración del concepto de densidad. (a) El mercurio es más denso que la llave (Por eso la

llave flota) y (b) ésta es más densa que el agua (Por eso se hunde) Para saber cómo se mide la densidad de un fluido a diferentes temperaturas se recomienda entrar a la siguiente página web, en donde se explica el procedimiento a seguir para calcula la densidad y se dan algunos ejemplos de cálculo: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/vapor/vapor.htm



Ejemplo 1.1 Si 4 m3 de un aceite tienen una masa de 3520 Kg calcule su densidad y su peso específico Solución De acuerdo con la ecuación (1.1)

33

/8804

3520mKg

m

Kgvolúmen

masaDensidad

==

=

ρ

El peso específico por su parte se calcula mediante el uso de la ecuación (1.2) como:

3

23

/8.8632

/81.9*/880

mN

smmKg

g

=

==

γγ

ργ

1.5 VISCOSIDAD

La viscosidad es la propiedad que hace que los fluidos, mediante sus fuerzas de cohesión e interacción entre moléculas, ofrezcan resistencia a la deformación. Diferentes fluidos se deformarán a diferentes velocidades bajo la acción de un mismo esfuerzo cortante debido a la diferencia en sus viscosidades. De esta forma, un fluido muy viscoso, como el mostrado en la figura, se deforma a una tasa más lenta que el agua, que fluye más rápidamente al verterla en un recipiente.

Para ampliar el conocimiento acerca de la viscosidad, diríjase al siguiente link: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/viscosidad/viscosidad.htm. Al final de la página encontrará una actividad para entender cómo es el movimiento de partículas de un fluido ante diferentes gradientes de presión y con diferentes viscosidades.



Todos los fluidos son viscosos, es decir, ofrecen alguna resistencia, que se expresa como el esfuerzo cortante por unidad de área de contacto o τ . Para el caso de fluidos Newtonianos, este esfuerzo se define como:

dy

dvµτ = (1.3)

donde τ = Esfuerzo cortante (N/m2), µ = Coeficiente de viscosidad dinámico o absoluto (Kg/s.m2) y dv/dy = Gradiente de velocidad o tasa de deformación (s -1). Esta ecuación se conoce como la ley de viscosidad de Newton y es básica para todos los problemas de resistencia fluida. Ejemplo 1.2 Si la distribución de velocidad de un líquido viscoso está dada por la siguiente ecuación: v = 0.68y – y2 en donde la velocidad está en m/s y la distancia (y) en metros, determine el esfuerzo cortante en la pared de la tubería (y = 0) y cuando y = 0.34 m. La viscosidad del fluido es µ = 0.9 Kg/s m2 Solución Si la ecuación que describe la velocidad es

268.0 yyv −= Su derivada (dv/dy) sería

ydy

dv268.0 −=

Al evaluar esta derivada en las dos profundidades se tiene que:

1

34.0

1

0

0)34.0(268.068.0)0(268.0 −

=

−

=

=−==−= sdy

dvs

dy

dv

yy

Luego, de la ecuación (1.3) se pueden encontrar los esfuerzos cortantes:

0)(

/612.0

)68.0(9.0)(

34.0

2

0

==

==

=

=

y

y

mN

dy

dv

τ

µτ

La viscosidad cinemática (ν) es otra forma de describir la resistencia fluida y se define como la relación de la viscosidad con la densidad de masa:

ρµν = (1.4)



Las unidades de la viscosidad cinemática son (m2/s). Esta variable aparece en muchas aplicaciones, por ejemplo, en el número adimensional de Reynolds para el movimiento de un cuerpo dentro de un fluido.

1.6 COMPRESIBILIDAD Y ELASTICIDAD DE LOS FLUIDOS Todos los fluidos por definición, son compresibles al aplicar una fuerza o presión externa. Cuando esta fuerza es retirada, el fluido se expande nuevamente a su volumen original. Por esta razón, se dice que los fluidos son medios elásticos, expresando la compresibilidad a través del módulo de elasticidad volumétrico, que se define como:

VdV

dpk

aVolumétricnDeformació

presiónlaenCambiok

/=

= (1.5)

Como dV/V es adimensional, k se expresa en unidades de presión, comúnmente en N/m2.

Figura 1.3 Compresibilidad y módulo de elasticidad

SABÍA UD QUE… El agua tiene un módulo de elasticidad igual a 2.1 x 109 N/m2 a 20ºC y que es 100 veces más compresible que el acero. Aún así, en todos los problemas de mecánica de fluidos se le considera incompresible!!!



Ejemplo 1.3 Un líquido comprimido en un cilindro tiene un volumen de 1 Litro (L =1000 cm3) a 1 MN/m2 y un volumen de 995 cm3 a 2 MN/m2. ¿Cuál es su módulo de elasticidad volumétrico? Solución Se tiene que

MPamMN

VV

pk 200

1000/)1000995(

/)12(

/

2

=−−−=

∆∆−=

1.7 TENSIÓN SUPERFICIAL Los efectos aparentes de tensión que ocurren en la superficie de los líquidos en contacto con un sólido o con otro fluido, dependen fundamentalmente de las fuerzas cohesivas y adhesivas. A pesar de que en la mayoría de los problemas de ingeniería estas fuerzas son despreciables, predominan en algunos casos a pequeña escala como el ascenso capilar y la formación de gotas de agua. Cada una de las moléculas del fluido interacciona con las moléculas adyacentes dentro de un radio muy pequeño. Consideremos el caso de la Figura 1.4 A. La molécula roja se encuentra en equilibrio, pues la fuerza de atracción resultante de todas las moléculas adyacentes es cero, pues todas las componentes de fuerza se cancelan.

Figura 1.4 Fuerzas moleculares que causan la tensión superficial

A medida que la molécula roja asciende hacia la superficie, se empieza a generar una fuerza resultante que trata de moverla hacia abajo, pues en promedio, existen más moléculas azules abajo de la roja que por encima. Cuando ésta se encuentra en toda la superficie, ocurre el caso crítico: No existen moléculas de agua por encima de la molécula roja, lo que ocasiona una fuerza resultante hacia abajo que causa lo que se conoce como tensión superficial. La tensión superficial es por lo tanto, la fuerza necesaria para que la superficie entre dos fluidos o materiales diferentes alcancen el equilibrio.



La tensión superficial es responsable de la resistencia que un líquido presenta a la penetración de su superficie, de que las gotas de un líquido tiendan a la forma esférica, del ascenso de los líquidos en los tubos capilares y de la flotación de objetos u organismos en la superficie de los líquidos. Por esta propiedad, es común ver en la naturaleza las siguientes imágenes:

Figura 1.5 Ejemplos de tensión superficial en la naturaleza1 La tensión superficial (σ ) depende de la fuerza que se aplique sobre el fluido y de la longitud de la superficie en contacto entre los dos materiales. Por lo tanto, sus unidades son generalmente N/m y se calcula como:

L

F=σ (1.6)

Ejemplo 1.4 Un anillo metálico de 4 cm de radio es puesto en la superficie del agua y atado a un sistema de pesaje como se muestra en la figura. Al otro lado de la balanza se colocan pequeños pesos conocidos, de tal forma que el anillo comienza a elevarse. En el momento en el que se despega del agua, la balanza marca un peso de 3.7x10-2 N (sin incluir el peso propio del anillo) Cuál es la tensión Superficial del Líquido?

1 Imágenes tomadas de las siguientes páginas Web: http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/hillchem3/medialib/media_portfolio/11.html http://www.farsightedimages.com/water/tension_05.htm



Solución Mediante el uso de la ecuación 1.6 se sabe que la tensión superficial es la fuerza necesaria para levantar el anillo, dividido entre la longitud de contacto ente el anillo y el agua. Para calcular la longitud se puede observar la siguiente figura: Como se observa, el anillo se encuentra en contacto tanto por su superficie interna como por la externa, por lo tanto (despreciando el espesor del anillo), la longitud debe ser:

mL

rL

PerímetroL

50.0

)04.0)(1416.3()2(*2)2(*2

*2

===

=π

Luego

mNm

Nx

L

F/074.0

5.0

107.3 2

===−

σ

1.8 CAPILARIDAD Las fuerzas de cohesión son las encargadas de generar la tensión superficial que se explicó anteriormente. La capilaridad por su parte tiene en cuenta tanto las fuerzas de cohesión entre las moléculas del fluido, como las fuerzas de atracción entre el fluido y el recipiente en el que éste se encuentre. Todos los líquidos forman un menisco en la superficie del capilar. Esto se debe a que en el centro de éste, las moléculas sólo experimentan fuerzas cohesivas de tensión superficial, que como se explicó anteriormente, ejercen una fuerza hacia abajo, haciendo que la superficie descienda un poco. Por otro lado, las moléculas próximas a la pared del capilar experimentan tanto fuerza de cohesión como fuerza de adhesión a la pared, haciendo que el empuje de las moléculas no sea hacia abajo sino con cierto ángulo de incidencia. A ese ángulo se le conoce como θ o ángulo de contacto entre el fluido y el material del capilar.



Figura 1.6 Ascenso y descenso capilar

El ascenso o el descenso capilar, depende de la tensión superficial y de las magnitudes relativas de cohesión y adhesión del líquido a las paredes del tubo capilar:

• En algunos casos, como es el caso del agua, las fuerzas de adhesión a la pared del tubo son mayores que las fuerzas de cohesión entre moléculas, por lo que el líquido puede ascender “pegado” a las paredes del tubo. En este caso, se forma un menisco cóncavo y se dice que el fluido moja la pared del tubo capilar.

• En otros casos, las fuerzas de cohesión entre moléculas de fluido son mayores

que la adhesión a la pared del tubo, por lo que el líquido desciende por éste. Este es el caso del mercurio en un tubo de vidrio. El menisco que se forma en este caso es convexo y se dice que el fluido no moja la superficie del tubo capilar. Estos dos casos se ilustran en la Figura 1.6.

La altura de fluido en el capilar (bien sea hacia arriba o hacia abajo), corresponde al peso de líquido necesario para equilibrar la fuerza de adhesión entre las superficies y se calcula como:

rgh

ρθσ cos2= (1.7)

donde h: Altura de fluido en el capilar, σ : Tensión superficial, θ :Ángulo de contacto, ρ : Densidad del fluido, g: Aceleración de la gravedad y r: Radio del tubo capilar.

La variación de la altura de fluido en el capilar con el radio de éste es inversa, es decir, si el radio del tubo capilar disminuye, la altura capilar aumentará. Este es el principio básico que utilizan por ejemplo las plantas para conducir la savia hacia las hojas: Tubos capilares muy delgados para que el fluido ascienda alturas considerables.



Figura 1.7 Relación entre la altura del fluido y el radio del capilar Ejemplo 1.5 ¿Cuál es la altura capilar que sube el agua en un tubo de vidrio de 1mm de diámetro si el agua se encuentra a una temperatura de a) 10ºC y b) 90ºC? Solución Buscando en una tabla de propiedades de los fluidos a diferentes temperaturas, se obtienen los siguientes datos necesarios para el problema:

Temperatura (ºC)

σ (N/m)

γ (KN/m3)

10 0.0742 9.804 90 0.0608 9.466

El ángulo de contacto entre el vidrio y el agua es cero, por lo que cos (θ) = 1. Entonces, mediante el uso de la ecuación de capilaridad:

rrgh

γσ

ρθσ 2cos2 ==

Se obtienen las alturas para las dos temperaturas:

- Para 10ºC: mmmxr

h 30030.0)0005.0)(10804.9(

)0742.0)(2(23

====γσ

- Para 90 ºC: mmmxr

h 26026.0)0005.0)(10466.9(

)0608.0)(2(23

====γσ

Este resultado demuestra que tanto la capilaridad como la tensión superficial dependen de la temperatura.



1.9 PRESIÓN DE VAPOR Los líquidos se evaporan porque sus moléculas se escapan desde la superficie líquida. Cuando se tiene un líquido en un recipiente cerrado, éste se encuentra sujeto a una presión parcial de vapor ocasionada por algunas moléculas del líquido que se evaporan y, en forma de vapor, presionan hacia abajo la superficie del agua. El punto de saturación de dicha presión parcial de vapor se conoce como presión de vapor. Inicialmente se produce sólo evaporación, pues en el aire no hay vapor. Sin embargo, después de cierto tiempo, se produce un equilibrio entre la tasa de evaporación y la tasa de condensación, es decir, el número de moléculas de vapor que chocan contra la superficie líquida y se condensan es exactamente igual al número de moléculas que se escapan. Este equilibrio sólo puede ser alterado al modificarse la temperatura. Un aumento en la temperatura generará un aumento en la presión de vapor.

Figura 1.8 Equilibrio de moléculas en la superficie: Presión de vapor

Cuando la presión por encima del líquido en un recipiente abierto es igual a la presión de vapor, se produce la ebullición. Por ejemplo, el agua podría ebullir a temperatura ambiente si la presión se reduce lo suficiente como para llegar al equilibrio mencionado. En muchas situaciones de flujo de líquidos es posible producir presiones muy bajas en ciertos puntos del sistema. Bajo tales circunstancias, las presiones pueden ser iguales o incluso menores a la presión de vapor, ocasionando que el líquido se convierta en vapor rápidamente. Este fenómeno se conoce como cavitación. Para saber cómo se mide la presión de vapor a diferentes temperaturas, conocer algunos ejemplos y practicar con un programa de simulaciones para encontrar la presión de vapor y de esta forma profundizar este tema, se recomienda ir a la página: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/vapor/vapor.htm



1.10 AUTO EVALUACIÓN Problema 1.1 - Calcular la densidad en g/cm3 de:

a) Una pieza rectangular de GRANITO de 0,05 m x 0,1 m x 23 cm, si tiene una masa de 3,22 Kg.

Rta.: 2,8 g/cm3

b) Leche, si 2 litros tienen una masa de 2,06 Kg. Rta.: 1,03 g/cm3

- Calcular la masa de:

a) 86 cm3 de fosfato de bismuto si la densidad es de 6,32 g/cm3. Rta.: 543,42 g

b) 253 mm3 de oro si la densidad es de 19,3 g/cm3. Rta.: 4,88 g

- Calcular el volumen de:

a) 3,37 g de cloruro de calcio si la densidad es de 2,15 g/cm3. Rta.: 1,57 cm3

b) 2,13 Kg de estaño si la densidad es de 7,28 g/cm3. Rta.: 292,58 cm3

Problema 1.2 Un bloque como el que se muestra en la figura desciende a velocidad constante por una rampa que tiene una película de aceite de 0.05 pulgadas. Calcule su viscosidad. Rta.: 0,017 Lb. s / pie2

Problema 1.3 Un cubo de 12 Kg se desliza hacia abajo a lo largo de un plano inclinado que hace un ángulo de 30º con respecto a la horizontal. Una película de fluido de 0.1mm de espesor separa el sólido de la superficie. La viscosidad de este fluido es 0.04 N s/m2 y el área del cubo es 0.25 m2. Suponiendo que la distribución de velocidades es lineal, calcule la velocidad terminal del bloque. Rta.: 0.6 m/s



Problema 1.4 Cuando un volumen de 1.0212 pies3 de alcohol es puesto bajo una presión de 7350 psi, este se contraerá a 0.9784 pies3. Calcule su módulo de elasticidad. Rta.: 175000 psi. Problema 1.5 Cuál es el módulo de elasticidad volumétrico de un fluido que tiene un incremento de densidad de 0.02% cada vez que la presión se incrementa en 1000 Lb/pie2 ? Recalcúlelo si el incremento es de 60 KPa? Rta.: 34.722 psi; 300 MPa. Problema 1.6 Calcule la tensión superficial de un líquido que mediante una varilla móvil de 5 cm equilibra una fuerza de 2,5 g Rta.: 0,5 g/cm Problema 1.7 Calcule la tensión superficial de un líquido densidad es 0,75 g/cm3 y asciende por un tubo capilar de 0,5 mm hasta 1,8 cm. Rta.: 0.0351 g/cm Problema 1.8 Calcule la altura a que ascenderá el agua en un capilar de 0,5 mm de radio. Rta.: 3 cm Problema 1.9 Encontrar el ángulo de tensión superficial para un tubo vertical sumergido en agua, si el diámetro de éste es 0.2 pulgadas y la altura capilar es 0.09 pulgadas. El coeficiente de tensión superficial σ = 0.005 Lb/pie. Rta.: 67.03º


Sesión 2: Estática de los Fluidos 21

2 SESIÓN 2: ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS

2.1 INTRODUCCIÓN La estática de fluidos se refiere al estudio de problemas en donde no existe movimiento relativo entre las diferentes moléculas de un fluido. Cuando esto ocurre, no puede en existir gradientes de velocidad, ni esfuerzos cortantes, a pesar de que el fluido sea viscoso. La estática por lo tanto se limita a estudiar las fuerzas de presión a través del fluido y las que experimentan los cuerpos cuando se encuentran sumergidos en éste. En estática de fluidos, los problemas tienen soluciones analíticas exactas y éstas son muy fáciles de obtener.

2.2 OBJETIVOS

2.2.1 Objetivo General de la Sesión Emplear las leyes fundamentales de la estática de fluidos y sus aplicaciones prácticas, en la resolución de problemas de manometría, superficies sumergidas, flotación y estabilidad de cuerpos.

2.2.2 Objetivos Específicos • Entender la deducción de la ecuación fundamental de la hidrostática y sus

implicaciones. • Aplicar la ecuación fundamental de la estática de fluidos en la resolución

de problemas de fluidos compresibles e incompresibles • Reconocer la diferencia entre la presión absoluta y la presión

manométrica, y adquirir la destreza de convertir un valor de presión determinado de uno a otro sistema de medidas.

• Identificar los diferentes tipos de medidores de presión y su funcionalidad en diferentes aplicaciones prácticas.

• Resolver problemas de superficies sumergidas ya sean planas o curvas, horizontales o inclinadas.

• Valerse del principio de Arquímedes para determinar la fuerza de flotación de cuerpos sumergidos y flotantes.

• Establecer el tipo de equilibrio que se genera en un cuerpo al inducir un desequilibrio rotacional.



2.3 DEFINICIÓN DE PRESIÓN Todas las fuerzas inclinadas pueden ser divididas en dos componentes: Una componente tangencial al cuerpo que recibe la fuerza, y una componente perpendicular a éste o Normal, como se observa en la Figura 2.1

Figura 2.1 Definición de presión. Componentes de una fuerza

La presión se define como el cociente entre la fuerza normal al cuerpo que recibe la fuerza y el área superficial sobre la cual ésta se ejerce.

s

N

A

Fp = (2.1)

Las unidades más comunes de presión son los Pascales. (1 Pa = 1 N/m2 ) Ejemplo 2.1 Una persona pesa 60Kg y sus pies tienen un área de 250 cm2 cada uno. ¿Cuál es la presión que ejerce sobre el suelo si se para con (a) Los dos pies y (b) un solo pie? Solución De acuerdo con la definición de presión de la ecuación (2.1), se tiene que:

(a)Con los dos pies: PaxmNxm

smKg

A

Fp

s

3232

2

1012/1012)025.0)(2(

)/81.9)(60( ====

(b)Con un solo pie: PaxmNxm

smKg

A

Fp

s

3232

2

1024/1024)025.0(

)/81.9)(60( ====

Es importante tener en cuenta las siguientes conversiones de unidades para medir la presión:

• 1 Atmósfera = 1 atm = 101350 Pa • 1 bar = 105 Pa • 1 atm = 760 mmHg = 760 Torr



La fuerza que ejerce un fluido en equilibrio sobre un cuerpo que se encuentra sumergido en él, siempre es perpendicular a su superficie y en todas las direcciones posibles, como se muestra en la figura.

2.4 VARIACIÓN DE LA PRESIÓN CON LA PROFUNDIDAD . ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA ESTÁTICA DE FLUIDOS

Consideremos un fluido en reposo y una porción de éste que debe mantenerse en equilibrio como se muestra en la figura 2.2. El volumen de control señalado tiene una longitud dl y lassus dos caras que consideraremos tienen un área dA. Éstas se encuentran a diferentes alturas, siendo dz la diferencia de profundidad entre sus centroides.

Figura 2.2 Variación de la presión con la profundidad Las fuerzas que mantienen en equilibrio a dicha porción de fluido son:

1. El peso dW, que se calcula como la densidad del fluido, por el volumen de la porción y por la aceleración de la gravedad, en su componente vertical.

2. La fuerza que ejerce el fluido sobre la cara inferior de la porción pdA 3. La fuerza de presión sobre la cara superior que se supone un diferencial de

presión mayor que la anterior, es decir (p+dp)dA Por estar en equilibrio, se sabe que:

0cos)(

0

=−+−=Σ

θdWdAdpppdA

F

El diferencial de peso se definió anteriormente como:

gdAdldW ))((ρ=

Luego, volviendo a la condición de equilibrio

0cos))(()( =−+− θρ gdAdldAdpppdA



Por otro lado, observando la geometría de la Figura 2.2 se sabe que:

dzdl =θcos

Reemplazando esta definición en la ecuación anterior se tiene que:

0))(( =−−− dzdAgdpdApdApdA ρ

Cancelando términos, y dividendo entre el diferencial de área dA que es común para todos los términos, se llega a la ecuación fundamental de la estática de fluidos:

0

0))((

=−−=−−−

gdzdp

dzdAgdpdApdApdA

ρρ

dzgdp ρ−= (2.2)

La ecuación fundamental de la estática de fluidos establece por lo tanto que la presión en un fluido varía linealmente con la profundidad, cuando no existe movimiento. Entre mayor sea la profundidad, mayor será la presión hidrostática. Esta ecuación es válida para todos los fluidos: Tanto para fluidos incompresibles (líquidos) como compresibles (gases).

Como la presión depende de la profundidad, cuando dos puntos de un fluido se encuentran a la misma altura se tiene que dp = 0. Esto quiere decir que La presión es constante en todos los puntos que se encuentren sobre un plano horizontal (o isobárico) cuando el fluido se encuentra estático.

2.4.1 Variación de la presión en fluidos incompresi bles En fluidos incompresibles se sabe que la densidad es constante, por lo tanto, la ecuación fundamental puede ser integrada para obtener el siguiente resultado:

)(

1

2

2112

2

1

hhgpp

dhh

hgdp

dhgdp

dzgdp

−=−

=

=−=

∫∫ρ

ρ

ρρ

En el procedimiento anterior, se reemplazó dz (que se medía verticalmente hacia arriba) por dh. Por lo tanto h es la profundidad medida verticalmente hacia abajo desde la superficie libre del líquido. Esta ecuación integrada expresa que la diferencia de presiones entre dos puntos 1 y 2, es linealmente proporcional a la diferencia de sus profundidades.



Cuando se quiere conocer el incremento de presión de un punto con respecto a la superficie del líquido, la ley hidrostática de la variación de presiones frecuentemente se escribe de la siguiente forma:

ghp ρ= (2.3)

La ecuación (2.3) muestra que la presión puede ser expresada en términos de la “cabeza” h de altura de un fluido determinado y de su peso específico. Por lo tanto, es común nombrar la presión como milímetros de mercurio (mmHg) o metros de cabeza de agua (m.c.a). Ejemplo 2.2 Un oceanógrafo necesita diseñar un laboratorio marino de 5m de altura que debe soportar una inmersión hasta de 100 m medidos desde el nivel del mar hasta la parte superior del laboratorio. Calcule la variación de presión a lo largo de los 5 metros del laboratorio marino y la presión en su parte superior. Tenga en cuenta que la densidad del agua de mar es 1020 Kg/m3 Solución En la parte superior del laboratorio, se tiene que la profundidad h = 100m y por lo tanto se puede calcular la presión mediante la ecuación (2.3)

MPamNp

msmmKgp

ghp

eriorParte

eriorParte

1/10

)100)(/81.9)(/1020(26

sup

23sup

==

== ρ

Para calcular la variación de la presión en el laboratorio marino, es necesario volver a la forma diferencial de la ecuación:

KPayp

PayPap

yPap

ygPap

dhm

ygdp

p

dhgdp

MPa

)100(10

)(1010

)81.9)(1020(10

)100100(10

100

100

46

6

6

1

+=+=

+=−+=−

+=

=

∫∫

ρ

ρ

ρ



2.4.2 Variación de la presión en fluidos compresibl es En fluidos compresibles, como es el caso del aire, la densidad no es constante a lo largo de la altura, por lo que el cálculo de la presión deja de ser lineal con la distancia para ser una función tanto de la altura como de la densidad. Es necesario por lo tanto volver a la ecuación (2.2), es decir:

dzgdp ρ−=

El signo menos representa una disminución de la presión a medida que la altura aumenta, contrario a la profundidad en el caso de los fluidos incompresibles. Esta es la explicación para que en Santa Marta (0 m.s.n.m), la presión atmosférica sea 1 atm, mientras que en Bogotá (a 2600 m.s.n.m) sea una presión menor, aproximadamente 0.73 atm. La ecuación (2.2) no puede ser resuelta sin contar con una relación entre la presión y la densidad. Para gases ideales, como el aire, se puede establecer en forma explícita una relación entre la presión y la densidad de la siguiente forma:

RTp ρ= (2.4)

Donde p es la presión del gas, R es la constante del gas, T es la temperatura absoluta y ρ es la densidad del gas. Mediante esta ecuación se puede calcular la presión para cualquier altura y cualquier densidad. Ejemplo 2.3 Calcule la distribución hidrostática de presiones en las dos primeras capas de la atmósfera y las presiones puntuales en: (a) Bogotá b) en el límite de la troposfera a 11 Km sobre el nivel del mar y c) En el límite superior de la estratosfera. Solución La atmósfera está compuesta por 5 capas que son: La troposfera (0 a 11000 msnm), la estratosfera (11000 a 50000 msnm), la mesosfera, la termosfera y la exosfera.

1. TROPOSFERA

En la troposfera, la temperatura es función de la altura y está dada por la siguiente ecuación:

znmTT λ−=

donde Tnm es la temperatura a nivel del mar y λz es la tasa de pérdida de temperatura con la altura, que es igual a 6.5ºC / Km ó 6.5ºK / Km.



La presión en la troposfera se calcula utilizando conjuntamente las ecuaciones (2.2) y (2.4) de la siguiente forma:

dzgTp

dpR

dzgRT

pdpdzgdp

znm λ

ρ

−=

−=⇒−=

1

La ecuación anterior puede ser integrada entre los límites de la troposfera: Cuando z es igual a cero, la presión es la presión a nivel del mar, y a una altura z (hasta 11000 msnm) la presión es p.

−=

−−=∫ ∫

nm

znm

znm

p

P

z

znm

T

Tg

p

pR

T

dzg

p

dpR

nm

λλ

λ

ln1

ln

0

Despejando el valor de la presión, sacando exponenciales a ambos lados de la ecuación se obtiene lo siguiente:

Rg

nm

znm

nm T

T

p

pλ

λ/

−=

La constante R = 287 J / Kg.ºK y Tnm = 288 ºK, por lo tanto, la expresión de la distribución de presiones en la troposfera es:

( ) 26.551026.21 zxp

p

nm

−=

(a) Bogotá

Utilizando la ecuación anterior, se puede calcular la presión en Bogotá sabiendo que:

( )

( )atmp

xatmp

zxp

p

Bogotá

Bogotá

nm

73.0

)2600(1026.211

1026.21

26.55

26.55

=

−=

−=



(b) En el límite de la troposfera a 11 Km sobre el nivel del mar

( )atmp

xatmp

Bogotá

Bogotá

22.0

)11000(1026.21126.55

=

−=

2. ESTRATOSFERA

En la estratosfera la temperatura es constante, e igual a la temperatura del límite de la troposfera calculada con la ecuación dada. Es decir, T = - 56.5 ºC Nuevamente, utilizando conjuntamente las ecuaciones (2.2) y (2.4) se tiene que:

)0001578.0)(11000(22.0

ln

)11000(22.0

ln

1100022.0

−−=

−−=

−=

−=⇒−=

∫∫

zatm

p

zRT

g

atm

p

dzRT

g

p

dp

dzRT

g

p

dpdzgdp

zp

atm

ρ

Utilizando la función exponencial a ambos lados de la ecuación se tiene la expresión para la distribución hidrostática de presiones en la estratosfera:

atmep z)0001578.074.1(22.0 −=

(c) En el límite superior de la estratosfera, la presión es

Paatmp

atmep

6.470005.0

22.0 ))50000(0001578.074.1(

=== −

2.5 MEDIDAS DE PRESIÓN: PRESIÓN ABSOLUTA Y PRESIÓN MANOMÉTRICA

La presión puede expresarse con respecto a cualquier nivel de referencia o datum escogido arbitrariamente. De acuerdo con el nivel de referencia escogido, existen dos sistemas conocidos para medir la presión: El absoluto y el relativo o manométrico.



La presión manométrica es una medida relativa entre dos estados de presión conocidos, por ejemplo entre un punto que se encuentra sometido a presión atmosférica local (en Bogotá) y otro punto que se encuentra sometido a una presión adicional. Por lo tanto la siguiente expresión define a la presión manométrica:

atmmanabs PPP += (2.5)

La diferencia de presiones manométricas puede ser negativa, si el punto de referencia se encuentra a una presión más baja que el otro. Sin embargo, no existen presiones absolutas negativas, ya que en todo momento debe existir una presión ya sea dentro de los líquidos, o simplemente con la presión atmosférica. Para explicar mejor este concepto veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo 2.4 ¿Cual es la presión absoluta de un neumático, si el manómetro que utilizan para medir la presión marca 1.77 Kg / cm2? Solución Primero es necesario calcular la presión atmosférica en las unidades en las que se presenta la presión manométrica. Suponiendo que el neumático se encuentra en Barranquilla, a nivel del mar, se tiene que:

224

2

22/03.1

10

1*

81.9

1013501013501 cmKg

cm

m

m

Kg

m

NatmPatm ====

Luego, la presión absoluta del aire dentro del neumático es:

2/80.2

03.177.1

cmKgP

PPP

abs

atmmanabs

=

+=+=

Por lo general, en las diferentes aplicaciones de la mecánica de fluidos, se utilizan presiones manométricas en lugar de presiones absolutas, y por lo tanto, los resultados pueden depender de la altura a la que se realicen los experimentos, ya que las presiones absolutas son diferentes a diferentes alturas. En la Figura 2.3 se muestra la información y la relación entre las unidades comunes y los dos sistemas de medición: Absoluto y manométrico.



Figura 2.3 Unidades y escalas para la medida de presión

La presión atmosférica estándar se considera igual a 1 atmósfera o su equivalente en otras unidades como milímetros de mercurio, pascales, metros de cabeza de agua o libras por pulgada cuadrada, que son las unidades más comunes para expresar la presión. Adicionalmente, cada lugar del mundo tiene una presión atmosférica local, que es la que marcaría un barómetro sometido a esa presión. (Este concepto será explicado más adelante). Un punto A, sometido a una presión mayor a la atmosférica, tendría las presiones absoluta y manométrica que se muestran en la Figura 2.3. En ella se observa que la presión absoluta es igual a la presión manométrica más la presión atmosférica local. Por otro lado, un punto B, que se encuentre sometido a una presión menor a la atmosférica, presentará una presión manométrica negativa, pues está sometido a un vacío de succión. La presión absoluta es menor a la atmosférica. Sin embargo, por más vacío que se genere, y por más succión negativa, la presión absoluta nunca llegará a ser negativa. El mínimo valor de ésta es cero, y ocurre cuando se induce un vacío completo.



Ejemplo 2.5 Un objeto se encuentra sumergido en una piscina de 2 m de profundidad. ¿Cual es la presión manométrica que experimenta? Cual es la presión absoluta si la piscina se encuentra en Bogotá? Solución Suponiendo que la densidad de la piscina es igual a la del agua pura, es decir 1000 kg/m3, se tiene que la presión hidrostática que experimenta el objeto es:

KPap

PamNmsmmKgp

ghp

2.196

196200/196200)2)(/81.9)(/1000( 223

====

= ρ

El valor de la presión encontrado es la presión manométrica, pues solamente se calcula la presión adicional que experimenta un cuerpo que pasa de estar sometido a presión atmosférica a estar sometido a 2 metros de columna de agua por encima de éste. Para calcular la presión absoluta se sabe que:

PaPaatmpBogotá 5.73985)101350(73.073.0 ===

La presión calculada anteriormente es la presión atmosférica local de Bogotá, por lo tanto, la presión absoluta del objeto es:

KPap

PaP

PPP

abs

atmmanabs

2.270

5.2701855.73985196200

==+=

+=

2.6 APLICACIONES PARA LA MEDICIÓN DE LA PRESIÓN Existen diferentes dispositivos que se han creado para medir las presiones ya sea en objetos sumergidos; en presiones internas por ejemplo de los neumáticos o de aparatos hidráulicos; o incluso para medir diferencias mínimas de presión entre dos puntos adyacentes. A continuación se explicarán en detalle los dispositivos más conocidos.

2.6.1 Barómetros La presión atmosférica local puede ser medida mediante el uso de un barómetro, que es un dispositivo diseñado para medir presiones absolutas mediante el uso de un fluido que generalmente es el Mercurio.



Figura 2.4 Barómetro de Mercurio

Un barómetro de mercurio está compuesto por un tubo de vidrio cerrado en uno de sus extremos, lleno de mercurio, e invertido, de tal forma que su extremo abierto se sumerge en un recipiente que también contiene mercurio. Como se vio en el numeral 2.4, la presión en dos puntos que se encuentran en un mismo plano horizontal debe ser la misma. Este es el caso de los puntos A y B de la Figura 2.4. El punto A está sometido a presión atmosférica local, por lo que el punto B, que se encuentra sumergido, debe compensar esta presión con una columna de mercurio por encima de éste. Cuando se alcanza el equilibrio, la altura hB resultante equivale a la medida de la presión absoluta en términos de la columna de mercurio por encima del punto B. El espacio por encima del mercurio, contiene vapor de mercurio hasta que éste alcance la presión de vapor. Sin embargo, este término es despreciable en el caso del mercurio, ¡MAS NO EN EL CASO DEL AGUA POR EJEMPLO! Ejemplo 2.6 ¿Cuál es la altura de un barómetro de Mercurio si se encuentra sometido a la presión atmosférica estándar (1 atm)? Cual es la altura del barómetro si en lugar de mercurio se utiliza agua? Solución Barómetro de Mercurio Con base en el dibujo mostrado en la Figura 2.4 se puede plantear la siguiente expresión:

BA PP = Luego

BBatm ghPP ρ==

Reemplazando el valor de la presión atmosférica estándar, la densidad del mercurio y la gravedad se puede encontrar la altura del barómetro:

mmHgmh

smmKg

Pa

g

Ph

B

BB

76076.0

)/81.9(/13600

10135023

==

==ρ



Barómetro de Agua De igual forma, se calcula la altura que debe tener un barómetro de agua para equilibrar la presión atmosférica estándar:

OHdemh

smmKg

Pa

g

Ph

B

BB

2

23

33,1033,10

)/81.9(/1000

101350

==

==ρ

El resultado anterior NO ES VERDADERO! Pues no tiene en cuenta el valor de la presión de vapor del agua. La presión en el punto B realmente debe ser calculada como:

OHBBatm PVghPP2

+== ρ

A 20ºC, la presión de vapor del agua es 2340 Pa, luego la altura real que alcanza un barómetro de agua es:

OHdemh

smmKg

PaPa

g

PVPh

B

OHatmB

2

23

1,10

)/81.9(/1000

23401013502

=

−=−

=ρ

2.6.2 Piezómetros Los manómetros son aparatos que emplean columnas de líquido para determinar diferencias de presión entre dos puntos. El más elemental de todos es llamado piezómetro, y funciona cuando la presión del líquido es mayor que la presión atmosférica, marcando la columna de líquido que se encuentra por encima del punto de medición. En la Figura 2.5 se muestra un esquema de un piezómetro.

Figura 2.5 Piezómetro

El punto al que se le quiere medir la presión se conecta con un tubo de vidrio o un tubo plástico transparente, de tal forma que se pueda ver con claridad la altura de líquido h que sube por el piezómetro. El fluido subirá hasta un nivel tal que se equilibre la presión interna del flujo con la presión que ejerce la columna de agua en el piezómetro. Por esta razón no es práctico utilizar un piezómetro cuando se requiere medir presiones elevadas, pues la columna de agua sería muy alta.



El cálculo de la presión mediante el uso de piezómetros es muy sencillo: La presión en el punto A se calcula como:

ghPA ρ= (2.6)

En la Figura 2.6 se observa una aplicación práctica del uso de piezómetros en la investigación: (a) (b)

Figura 2.5 Aplicación práctica del uso de piezómetros2

Cuando se quiere conocer la diferencia de presión entre dos puntos cercanos a lo largo de una tubería a presión (Figura 2.5 a), se conectan piezómetros a un tablero de medición con marcas milimétricas (Figura 2.5 b), con el fin de leer la columna de presión en cada uno de los puntos.

Es importante notar, que a pesar de que los piezómetros se encuentren conectados a una tubería con agua fluyendo, la presión piezométrica es estática, pues no hay movimiento a lo largo del piezómetro sino dentro de la tubería. La lectura en el tablero por lo tanto es estable a lo largo del tiempo.

2.6.3 Manómetros Estándar Cuando las presiones son altas y se dificulta el uso de piezómetros, o cuando las presiones manométricas son negativas, se hace necesario el uso de otros dispositivos como los manómetros. Los manómetros son tubos conectados al espacio dentro del tanque al que se le quiere medir la presión, pero con una vuelta en U. Ver Figura 2.7. Existen dos formas de utilizar un manómetro: Simplemente con la vuelta en U y la diferencia de altura entre el menisco del tubo y el punto A de la figura, ó utilizando un segundo líquido trazador, con una densidad mayor y no miscible en el primero de los fluidos (Ej. Aceite y agua).

2 Fotos del Montaje del trabajo de grado: “Comportamiento de biopelículas luego de lavados sucesivos en tuberías de agua a presión”. Paula Reyes del Toro. Universidad de los Andes. Septiembre de 2005.



Figura 2.7 Manómetros estándar. (a) Manómetro simple (b) Manómetro con fluido trazador

Siguiendo la nomenclatura de la Figura 2.7 (b), se tiene que::

0== atmE PP

La ecuación anterior implica que se trabajará con presiones manométricas, pues en el extremo libre del manómetro, la presión que se experimenta es la atmosférica local, luego la presión manométrica es cero. Como el punto D se encuentra por debajo del punto E, la presión aumenta. Y se calcula como:

22

22

0 ghP

ghPP

D

ED

ρρ

+=+=

Como en planos horizontales las presiones son iguales, la presión en el punto C es igual a la presión en el punto D:

22ghP

PP

C

DC

ρ==

La presión en B debe ser menor que la presión en C pues se encuentra en un nivel más alto, por lo tanto, se calcula como:

ghghP

ghPP

B

CB

122

11

ρρρ−=

−=

Nótese que a partir de C se cambió el fluido, por lo tanto la densidad que debe utilizarse en este caso es la densidad 1 y no la 2 como venía hasta el momento. Por último, y nuevamente como en planos horizontales las presiones son iguales, la presión en A, que es la que se quiere buscar mediante el uso del manómetro, es igual a la presión en B:

ghghPA 122 ρρ −= (2.7)



El caso de la Figura 2.7 (a) es más sencillo que el descrito anteriormente, por lo que el estudiante debe estar en capacidad de resolverlo. El procedimiento general para resolver un problema de manómetros se puede resumir como:

1. Empezar en un extremo, preferiblemente en el extremo que está abierto a la atmósfera pues tiene un valor de presión conocida manométrica igual a cero, o si se prefiere, presión absoluta igual a la presión atmosférica.

2. Añadir a esta presión el cambio de presión desde el menisco hasta el menisco siguiente.

3. Continuar hasta el otro extremo del manómetro e igualar las expresiones hasta este punto para conocer la presión.

Ejemplo 2.7 Un manómetro en U que contiene mercurio (Densidad = 13600 Kg/m3) tiene su extremo derecho abierto a la atmósfera, y su extremo izquierdo conectado a una tubería a presión. Los dos meniscos de mercurio tienen una diferencia de nivel de 200 mm. Si el nivel de mercurio del lado izquierdo se encuentra 400 mm por debajo del centro de la tubería, encuentre la presión absoluta en esta en KPa. Solución El primer paso antes de intentar resolver el problema, es visualizarlo y determinar una nomenclatura para poder entender el procedimiento. El problema descrito anteriormente es:

Iniciando por el punto D que es un punto de presión conocida se tiene que:

)2.0)(81.9)(13600(0

0

2

+=

+===

C

HgDC

atmD

P

ghPP

PP

ρ



KPaP

KPaP

ghPP

PP

KPamNP

A

A

aguaBA

cB

C

76.22

)4.0)(81.9)(1000(68.26

68.26/2.26683

1

2

=−=

−==

==

ρ

Como lo que piden es la presión absoluta, se puede suponer que es a nivel del mar y que la presión atmosférica es estándar, es decir, Patm = 101350 Pa Luego, la presión absoluta, es:

KPap

PaxPaP

PPP

abs

abs

manatmabs

11.124

1076.22101350 3

=+=

+=

2.6.4 Manómetros Diferenciales Un manómetro diferencial determina la diferencia de presión en dos puntos A y B cuando es físicamente imposible determinar las presiones individuales en cada uno de los dos puntos. Por lo general los manómetros diferenciales utilizan varios fluidos no miscibles entre ellos. En la figura 2.8 se observan dos configuraciones típicas de manómetros diferenciales.

Figura 2.8 Configuraciones de manómetros diferenciales

A diferencia que en el caso de los manómetros estándar, en los manómetros diferenciales no se conoce ninguno de los dos extremos del problema, por lo que la variable a resolver no es la presión puntual por ejemplo en A, sino la diferencia de presiones PA – PB. En este caso se puede iniciar en cualquiera de los dos extremos. Para el caso de la Figura 2.8 (a), iniciando en el punto A

11ghPP AC ρ−=



Como D se encuentra por encima del punto C, se tiene que:

2211

22

ghghPP

ghPP

AD

CD

ρρρ

−−=−=

Por la teoría de puntos en planos paralelos:

2211 ghghPP

PP

AE

DE

ρρ −−==

La presión en el punto B debe ser mayor que en el punto E, pues éste se encuentra más abajo, luego:

332211

33

ghghghPP

ghPP

AB

EB

ρρρρ

+−−=+=

Por último, como lo que se necesita es la diferencia entre las presiones en A y B, se encuentra la siguiente expresión para la configuración (a) de la Figura 2.8

332211 ghghghPP BA ρρρ −+=− (2.8)

A manera de ejercicio, el estudiante debería en este punto intentar resolver el caso de la Figura 2.8 (b) antes de continuar con el contenido de la sesión.

Qué sucedería en el ejemplo anterior (Figura 2.8 a), si el líquido que tiene densidad ρ2 es aire o cualquier otro gas? La principal característica de los gases es ocupar todo el volumen en el que se encuentran, con la misma presión. Por lo tanto, la presión en el punto C sería igual a la presión en el punto E y se cancelaría el término que incluye esta densidad de la ecuación (2.8). ANALÍCELO!!!

Ejemplo 2.8 Un manómetro diferencial se conecta en dos puntos diferentes de una tubería para medir la diferencia de presión. El agua fluye a través de la tubería y se conecta al manómetro que tiene un líquido trazador que es Tetracloruro de Carbono. Encuentre la diferencia de presiones entre los dos puntos (en libras por pulgada cuadrada o psi), e identifique cuál de los dos tiene una presión mayor.



Solución A pesar de que la tubería se encuentra fluyendo, en el manómetro los fluidos se encuentran estables, por lo que aplican las leyes de la estática de fluidos, y se puede proceder a calcular la diferencia de presiones partiendo del punto 1. Revisando una tabla de propiedades de los fluidos en unidades inglesas se tiene que:

2

3

3

/2.32

/08.3

/936.1

spieg

pieSlug

pieSlug

roTetracloru

Agua

=

=

=

ρ

ρ

Como se observa en el dibujo, la distancia entre el punto 1 y el punto 2 es 4 pies, mientras que la distancia ente el punto A y el punto B es 32 pulgadas, que equivale a 32/12 pies = 2.66 pies. Luego de hacer las conversiones anteriores se calcula la diferencia de presiones así:

[ ])66.24)(4.62()66.2)(2.32)(08.3(

)66.2)(4.62()66.2)(2.32)(08.3()4)(4.62(

)66.2)(2.32)(08.3()4)(4.62(

)4)(2.32)(936.1(

12

12

2

1

1

1

1

hhPP

hhPP

ghPP

PP

hPP

ghPP

hPP

ghPP

aDesconocidP

aguaC

cB

B

tcAB

A

aguaA

−−++=−+−+++=

−==

+++=+=

++=

+==

ρ

ρ

ρ

Como se puede ver, organizando los términos se puede cancelar la distancia h que también era desconocida, y se encuentra un valor para la diferencia de



presiones:

212

12

/4.3476.838.263

)66.24)(4.62()66.2)(2.32)(08.3(

pieLbPP

PP

=+=−

−+=−

Las unidades psi se definen como libra por pulgada cuadrada, por lo que es necesario hacer la conversión:

psiPP

adaspu

Lb

adaspu

pie

pie

LbPP

pieLbPP

41.2

lg144

4.347

)lg12(

1*

4.347

/4.347

12

22

2

212

212

=−

==−

=−

Como el resultado anterior es positivo se puede concluir que la presión en el punto 2 es mayor que la presión en el punto 1.

2.6.5 Micromanómetros Cuando las diferencias de presión son muy pequeñas y se requiere una precisión elevada, se utilizan micromanómetros, cuya finalidad es generar diferencias de altura en un fluido muy altas para cambios de presión muy pequeños. Esto se puede llevar a cabo utilizando un líquido trazador de densidad muy pequeña.

2.7 FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS PLANAS Como se explicó anteriormente, los fluidos ejercen presión sobre un cuerpo en todas las direcciones de contacto con éste. Sin embargo, estas fuerzas de presión pueden ser convertidas a una sola fuerza resultante actuando en un punto del cuerpo que se llamará el centro de presión de éste. La forma como esto se lleva a cabo se explicará en esta sección. Encontrar un solo punto del cuerpo donde se concentre toda la acción del fluido es esencial en el diseño de compuertas, presas, tanques, barcos entre otros.

2.7.1 Superficie plana horizontal El caso más sencillo de superficies planas sumergidas corresponde al caso de un cuerpo que se encuentra sumergido horizontalmente dentro del fluido como se esquematiza en la Figura 2.9



Figura 2.9 Superficie plana sumergida horizontalmente

La fuerza que experimenta el cuerpo es el peso de toda el agua que se encuentra por encima de éste, y actuará sobre el centroide de área del cuerpo. Imaginemos un cuerpo de cualquier forma como el que se muestra en la Figura 2.9. Si analizamos sólo un diferencial de área del cuerpo, la fuerza de presión que ejerce el agua sobre éste actúa sobre el área que se muestra en planta (Viéndolo desde arriba) y es equivalente a la fuerza de presión hidrostática sobre el diferencia, es decir:

ghdAdF

pdAdF

ρ==

Al integrar los pequeños diferenciales sobre el área total del cuerpo se obtiene que:

ghAF

dApdFFA

ρ=

== ∫∫ (2.9)

La fuerza que experimenta un cuerpo sumergido horizontalmente en un fluido equivale al volumen de fluido que se encuentre por encima de éste. Este volumen se calcula como la presión hidrostática hasta llegar a la superficie del cuerpo, multiplicado por el área superficial de éste que soporta a la columna de fluido.

La fuerza resultante actúa perpendicular al cuerpo y se aplica en el centroide de área de éste o primer momento, que se calcula mediante la siguiente ecuación:

∫=A

xdAA

x1

(2.10)



El significado de esta ecuación es que el centroide o eje central de un cuerpo, multiplicado por el área total de éste, debe ser igual a la suma de las multiplicaciones individuales de todos los diferenciales de área por su respectiva coordenada. La ecuación 2.10 es válida también para el eje Y, cambiando las variables respectivas. Ejemplo 2.9 Una tabla triangular se sumerge horizontalmente hasta una profundidad de 3 m. La tabla es un triangulo rectángulo cuyos catetos tienen una longitud de 60 cm. Calcule la fuerza de presión que experimenta la superficie y su punto de aplicación.

Solución La fuerza de presión que experimenta la tabla se calcula utilizando la ecuación (2.9):

ghAF ρ= El área del triángulo es:

218.0

6.0*6.0*5.0

*2

1

mA

A

hbA

=

=

=

La fuerza total es:

KNNF

mmsmmKgF

ghAF

3.54,5297

)18.0)(3)(/81.9)(/1000( 223

===

= ρ

Para encontrar el punto de aplicación de esta fuerza, adoptemos los siguientes ejes coordenados

Como es un triángulo, el centroide se encuentra localizado a 1/3 de la distancia total medido desde el origen escogido. Por lo tanto, el punto de aplicación de la fuerza de 5.3 KN se encuentra en la coordenada (20,20) como se muestra en la figura.



Analicemos ahora el caso de la Figura 2.10. Si introducimos un balde boca abajo dentro una alberca (Figura 2.10 a), notaremos que la parte de abajo del balde experimenta una fuerza de presión hacia abajo, que es igual al volumen de agua que se encuentra por encima de éste, calculándolo con la ecuación (2.9).

Figura 2.10 Volumen Real y Virtual

Si ahora volteamos el balde boca arriba, y lo empezamos a hundir, hasta un punto justo antes de que el agua empiece a entrar en éste, ¿Qué sucede? En las manos sentimos una fuerza que trata de empujar el balde hacia arriba. Pues bien, en este caso, la superficie de abajo del balde también está experimentando una fuerza de presión, en este caso en sentido contrario, es decir hacia arriba. Y se calcula como el volumen “virtual” de agua que se encuentra por encima de la superficie, es decir, el volumen de agua que habría si llenamos el balde. El ejemplo anterior nos permite sacar una conclusión que va a ser importantísima en el análisis de cuerpos que se encuentran sumergidos en el agua:

Cuando un cuerpo se encuentra sumergido horizontalmente en un fluido, la fuerza de presión resultante que actúa sobre éste es vertical hacia abajo cuando el volumen superior de fluido es REAL, mientras que esta fuerza es vertical hacia arriba, cuando el volumen es VIRTUAL o IMAGINARIO por encima del cuerpo.

2.7.2 Superficie plana inclinada Supongamos ahora el caso de una superficie plana que se encuentra inclinada dentro del agua como se muestra en la Figura 2.11. Ésta se encuentra inclinada un ángulo θ con respecto a la horizontal. La intersección del plano con la superficie se toma como el eje x. El plano xy corresponde a la vista en planta de la superficie arbitraria. Nuevamente, lo que se busca es la magnitud, dirección y punto de aplicación de la fuerza de presión que el fluido ejerce sobre el área del objeto.



Figura 2.11 Superficie plana inclinada

El diferencial de fuerza que actúa sobre una pequeña porción del área nuevamente es:

ghdAdF ρ= Sin embargo, la altura del agua por encima de la superficie deja de ser constante, y pasa a ser una función de y:

θysenh = Luego:

dAsenygdF θρ= Al integrar la ecuación anterior se obtiene la magnitud de la fuerza F que actúa sobre una de las caras del objeto. Nótese que el resultado de la integral sale de la ecuación (2.10) para el eje y:

AysengF

ydAsengdFF

θρ

θρ

=

== ∫∫ (2.11)

Dicho en palabras cotidianas, la fuerza de presión que ejerce un fluido sobre una superficie plana inclinada se calcula como el producto del área superficial por la presión en su centroide.

2.7.3 Cálculo del centro de presión Para el caso de superficies inclinadas, el punto de aplicación de la fuerza resultante, cuya magnitud se calcula con la ecuación (2.11), no es el centroide del área. El verdadero punto de aplicación de la fuerza se conoce como centro de presión con coordenadas (xp , yp) . Para encontrar dichas coordenadas se tiene que:



- Para el caso de yp

∫

∫=

=

ghdAyghAy

dFyFy

p

p

ρρ

Como se sabe que h = ysenθ se reemplaza y se obtiene:

∫

∫=

=

ydAyAyy

dAygysenAysenyg

p

p θρθρ

Ay

I

Ay

dAyy o

p == ∫2

(2.12)

La expresión encontrada significa que para encontrar el centro de presión en el eje Y de la Figura 2.11, basta con dividir el momento de inercia del cuerpo con respecto al origen entre el área de la superficie por el centroide en la dirección Y.

Sin embargo, comúnmente se utiliza el momento de inercia con respecto al centroide del cuerpo y no al origen de los ejes coordenados, por lo tanto, utilizando el teorema de los ejes paralelos se obtiene:

Ay

AydAy

y

Ay

AyI

Ay

Iy

cp

cop

22

2

+=

+==

∫

Simplificando:

yAy

dAy

y cp +=∫

2

(2.13)

- Para el caso de xp:

El razonamiento para calcular la coordenada x del centro de presión es análogo al caso anterior, pero en el otro eje:



∫

∫

∫

∫

=

=

=

=

ydAxAxy

dAxgysenAxsenyg

ghdAxghAx

dFxFx

p

p

p

p

θρθρ

ρρ

Ay

xydAxp

∫=

Nuevamente, aplicando el teorema de los ejes paralelos se tiene que:

xAy

xydA

x cp +=∫

(2.14)

2.7.4 Aproximación mediante el prisma de presión Otra forma de solucionar el problema de la magnitud de la fuerza y la ubicación del centro de presión donde ésta actúa, está dada por el concepto de prisma de presión. Como se muestra en la figura 2.12, Cualquier superficie rectangular sumergida se encuentra sometida a una fuerza de presión que crece linealmente con la profundidad, creando una cuña de presión que actúa sobre el cuerpo.

Figura 2.12 Prisma de presión

Esta afirmación es válida tanto para cuerpos sumergidos verticalmente como para cuerpos inclinados. Así tengan un borde en contacto con la superficie libre del agua o se encuentren totalmente sumergidos. En la figura 2.13 se observa la diferencia: Una superficie que se encuentra parcialmente sumergida experimenta una fuerza de presión equivalente al prisma que se forma desde la superficie hasta el borde inferior sumergido del objeto.



Figura 2.13 Diferencias entre superficies parcial y totalmente sumergidas

Por otro lado, la superficie que se encuentra totalmente sumergida experimenta una fuerza de presión mayor: Por un lado, el extremo superior del cuerpo experimenta una fuerza de presión hasta la altura a la que se encuentra. Por lo tanto, la superficie no tiene un prisma de presión triangular como en el primer caso, sino trapezoidal como se muestra en la Figura 2.13. Para simplificar más adelante los cálculos, se puede ver que este trapecio puede ser reemplazado por dos figuras geométricas más simples. Un rectángulo y un triángulo. La magnitud de la fuerza es el volumen total del prisma de presión, teniendo en cuenta el ancho B de la superficie sumergida (Figura 2.12). El punto de aplicación de ésta es el centroide del prisma. Cuando el prisma es un triángulo, el punto de aplicación se encuentra a 2/3 de la altura sumergida medidos desde el borde superior. Cuando se tiene un rectángulo, el centroide es exactamente en ½ de la longitud. Ejemplo 2.10 Una compuerta rectangular vertical como la que se muestra en la figura se encuentra sumergida 4 pies por debajo de la superficie del agua. Como se ve, la altura de la compuerta es 6 pies y el ancho de esta es 8 pies. Calcule la fuerza resultante y su punto de aplicación tanto por el método de integración directa como por la aproximación mediante el prisma de presión

Solución Integración Directa Utilizando la ecuación (2.11) se tiene que:

∫= ydAsengF θρ



Como la compuerta es vertical, el ángulo θ es 90º y por lo tanto sen θ = 1. y es la profundidad vertical medida desde la superficie, y el diferencial dA puede ser reemplazado por dA = 8pies * dy. Con estas modificaciones, la ecuación (2.11) quedaría:

LbF

F

yydypielbF

dyygF

20966

)16100(*8*4.62

2*8*4.62)8(/4.62

)8(

10

4

210

4

3

=−=

==

=

∫

∫ρ

El centro de presión en x, suponiendo que el eje x es perpendicular al papel, es 4 pies, pues la compuerta es rectangular y el centroide de una figura simétrica se localiza en la mitad. Para localizar el centro de presión en y se utiliza la ecuación (2.12) pues en este caso es más fácil determinar el centro de presión con respecto al origen del eje y que se supone en la superficie:

piesy

y

y

y

Ay

dyy

Ay

dAyy

p

p

p

p

43.748*7

364

31000

*8

)8*6)(34(

3*8

8

10

4

3

22

=

−=

+=

== ∫∫

El resultado muestra que el centro de presión se encuentra 0.43 pies por debajo del centroide geométrico de la compuerta, que se localiza a los 7 pies medidos desde la superficie. Aproximación mediante el prisma de presión Utilizando el concepto de prisma de presión, la fuerza y su punto de aplicación pueden ser determinados separando el prisma tal y como se muestra en la siguiente figura:



La primera fuerza resulta de una distribución de presión uniforme (rectángulo), cuyo volumen es:

lbF

F

ghVF gulorec

11980

)8*6)(4)(4.62(

8*6*

1

1

1tan1

==

== ρ

El punto de aplicación de esta primera fuerza es en el centroide del rectángulo, es decir, a 7pies medidos desde la superficie como se ve en la figura. La segunda fuerza resulta de una distribución de presión variable linealmente (triangulo) y nuevamente se calcula como el volumen del prisma que se forma. La base del triángulo es la fuerza de presión sobre la compuerta, la altura de éste es 6 pies y la profundidad es 8 pies:

lbF

F

ghVF triangulo

89862

)8)(6)(6)(4.62(

8*)6*(2

1

1

1

22

=

=

== ρ

El punto de aplicación de esta segunda fuerza es a 2/3 del borde superior del triángulo, es decir, a 4 pies desde el borde superior de la compuerta, o lo que es lo mismo, a 8 pies desde la superficie libre del agua. La fuerza total resultante es:

lbF

FFF

20966

89861198021

=+=+=

Para encontrar el punto de acción de la fuerza calculada anteriormente, se hace



conservación de momentum con respecto a la superficie del agua. De esta forma:

piesy

y

yFyFFy

p

p

ppp

43.720966

)8(8986)7(119802211

=

+=

+=

En el ejemplo anterior se calculó la fuerza sobre una superficie sumergida verticalmente. En el siguiente ejemplo, la superficie será inclinada para analizar las diferencias entre los dos casos. Ejemplo 2.11 El tanque que se ve en la figura tiene una compuerta triangular ABC que se encuentra pivoteada en su longitud AC y se abre con una fuerza F aplicada en el punto B. El tanque está lleno de petróleo (ρ = 0.80 g/cm3). Despreciando el peso de la compuerta, determine (a) La magnitud de la fuerza sobre la compuerta, (b) la localización del centro de presión y (c) la fuerza F necesaria para abrir la compuerta.

Solución Mediante el uso de la ecuación 2.11 se tiene que:

LbF

senF

AysengF

4.9734

2

6*10)58)(30()4.62)(8.0(

=

+=

= θρ

Por lo tanto, la magnitud de la fuerza de presión sobre la compuerta es 9734 Lb. Para encontrar el punto sobre el cual se encuentra aplicada esta fuerza se utilizan las ecuaciones 2.13 y 2.14 respectivamente. Como se observa en la figura, con el origen en el punto O se puede conocer el



centroide de la compuerta: En el eje x se encuentra a 1/3 de la base del triangulo, es decir piesx 2= . En el eje y, por simetría, el eje centroidal se encuentra en el centro del triángulo, es decir a 5 pies del borde y sumándole los 8 pies que hay desde el borde de la compuerta hasta el origen se tiene que piesy 13= . Mediante la ecuación 2.14 se encuentra la coordenada x del centro de presión:

xAy

xydA

x cp +=∫

Como el triangulo es simétrico, la integral sobre el centroide de xydA es cero y por lo tanto la coordenada x del centro de presión es igual a la del centroide, es decir 2 pies. Mediante la ecuación 2.13 se encuentra la coordenada y :

yAy

dAy

y cp +=∫

2

La integral sobre el centroide de y2dA para un triángulo es:

32

12

1bhIdAy G

c

==∫

Como estamos analizando el eje y, la base del triángulo son 6 pies y la altura son 5 pies, si se toman dos triángulos rectángulos. Luego:

piesy

y

yAy

bhy

p

p

p

32.13

13)30)(13(

)5)(6(121

*2

121

3

3

=

+

=

+=

Por lo tanto, el centro de presión está en las coordenadas (2,13.32) del plano de la compuerta, medidos desde el origen. Por último, para encontrar la magnitud de la fuerza F necesaria para abrir la compuerta y contrarrestar la fuerza de presión que la mantiene cerrada se pueden sacar momentos con respecto al pivote, es decir, alrededor de la longitud AB:



LbF

F

piesLbpiesF

Mx

8.32446

2*4.9734

0)2(4.9734)6(

0

=

=

=−

=∑

Cualquier fuerza mayor a este valor encontrado logrará abrir la compuerta a pesar del peso que ejerce el agua sobre ésta. Hasta este momento hemos visto dos ejemplos de diferentes estructuras sumergidas en un fluido y la fuerza de presión que éstas experimentan. Qué pasa entonces si la superficie del objeto se encuentra sumergida en diferentes fluidos? Es decir, si por ejemplo se tiene un tanque lleno hasta la mitad con agua y encima lleno de aceite? En el ejemplo siguiente veremos lo sencillo que es solucionar el problema de varios fluidos. Ejemplo 2.12 Un tanque de 2 m x 2 m contiene 1.2 m de agua y 0.8 m de aceite por encima de ésta, cuya densidad es 900 Kg/m3. Cuál es la fuerza de presión que experimenta una de las paredes del tanque y dónde se encuentra localizada?

Solución Para encontrar la magnitud de la fuerza se utiliza la aproximación mediante el prisma de presión, subdividiendo el problema en tres partes como se muestra a continuación. En tres dimensiones los prismas de presión se ven como en la Figura 2.12.



Cada una de las fuerzas individuales se calcula como:

NF

bhghF a

56.5650)2)(8.0)(8.0*81.9*900(2

1

))()((2

1

1

111

==

= ρ

NF

bhghF a

68.16951)2)(2.1)(8.0*81.9*900(

))()((

2

212

=== ρ

NF

bhghF

4.14126)2)(2.1)(2.1*81.9*1000(2

1

))()((2

1

3

223

==

= ρ

Luego la fuerza total que actúa sobre la pared del tanque es:

KNF

NF

FFFF

T

T

T

73.36

64.367284.1412668.1695156.5650321

==++=

++=

Cada uno de los puntos de aplicación ya sabemos que se calcula como el centroide del prisma de presión. Tomando como punto de referencia la superficie libre del aceite, las diferentes profundidades a los centros de presión son:

my

my

my

p

p

p

6.18.0)2.1(3

2

4.18.0)2.1(2

1

53.0)8.0(3

2

3

2

1

=+=

=+=

==



Sacando momentos con respecto a la superficie se puede encontrar el punto de presión de la fuerza total actuante, pues:

my

y

yFyFyFyF

M

p

p

ppppT

y

34.1

)6.1*13.14()4.1*95.16()53.0*65.5()73.36(

0

332211

=

++=

++=

=∑

Por lo tanto, la pared del tanque experimenta una fuerza de 36.73 KN aplicada a 1.34m desde la superficie, o lo que es lo mismo, a 0.66 m desde el fondo del tanque. Por último, antes de pasar al siguiente tema, combinemos todos los conceptos vistos hasta el momento en un problema que incluya una compuerta sumergida, varios fluidos de diferentes viscosidades y manometría. Veamos pues cómo solucionar un problema de éstos: Ejemplo 2.13 Una compuerta de 60 cm de altura se encuentra al fondo de un tanque que contiene 90 cm de agua y 50cm de aceite. Por encima de éste se encuentra un espacio lleno de aire conectado a un manómetro simple que muestra una diferencia de nivel de 20 cm con respecto a la presión atmosférica. El tanque tiene 30 cm de profundidad. Calcule:

a) La presión manométrica en la superficie del aceite b) La presión manométrica en el pivote de la compuerta c) La presión manométrica en el fondo de ésta d) La fuerza de presión que actúa sobre la compuerta y su punto de

aplicación e) La fuerza P necesaria para mantener la compuerta cerrada



Solución (a) Como el aire mantiene la misma presión en todo el volumen que ocupa,

la presión en la superficie del aceite es igual a la presión que marca el manómetro. Es decir:

Pap

ghp

aceite

manometroaguaaceite

19622.0*81.9*1000 ==

=ρ

(b) Para calcular la presión en el pivote de la compuerta se sabe que:

PaPap

mgmgpp

pivote

aguaaceiteaceitepivote

25.90743.0*81.9*10005.0*81.9*8501962

)3.0()5.0(

=++=

++= ρρ

(c) La presión en el fondo del tanque es:

Pap

mgpp

Fondo

aguapivoteFondo

25.149606.0*81.9*100025.9074

)6.0(

=+=

+= ρ

(d) La fuerza de presión que actúa sobre la compuerta, mediante la

aproximación del prisma de presión es:

NF

bhpF comppivote

36.16333.0*6.0*25.9074

))((

1

1

==

=

NF

bhmgF compagua

74.529)3.0)(6.0)(6.0)(81.9)(1000(2

1

))()(6.0(2

1

2

2

==

= ρ

Luego, la fuerza total que actúa sobre la compuerta es:

NF

FFF

T

T

1.216374.52936.163321

=+=+=

El punto de aplicación de esta fuerza encontrada de 2.16 KN se encuentra sacando momentos con respecto al pivote de la compuerta. Es decir:



my

y

yFyFyF

M

p

p

pppT

3245.0

)4.0*74.529()3.0*36.1633()1.2163(

0

2211

=

+=

+=

=∑

El resultado anterior sugiere que la fuerza de 2.16 KN actúa a 32.45cm del pivote, 2.45cm por debajo del centroide de la compuerta.

(e) Por último, para encontrar la fuerza P que evite que la compuerta se abra, se sacan nuevamente momentos con respecto al pivote:

NP

P

PyF

M

pT

84.11696.0

)3245.0(1.2163

)6.0(

0

=

=

=

=∑

2.8 COMPONENTES DE FUERZA SOBRE SUPERFICIES CURVAS En superficies curvas encontrar la fuerza de presión resultante es un poco más complejo que los casos anteriores, pues en cada punto de la superficie se tiene un diferencial de presión que actúa perpendicular a ésta, luego la integración es complicada por los cambios de dirección constante de la fuerza. Sin embargo, la fuerza total resultante puede ser subdividida en sus dos componentes, horizontal y vertical, y de esta forma resolver los dos problemas escalares por separado y luego unirlos vectorialmente. Si se tiene un diferencial de área dA en la superficie de un cuerpo curvo, formando un ángulo θ con la vertical, se tiene que:

- La fuerza total que actúa sobre el elemento es, dF = ρgh dA - La componente horizontal de dF es, dFx = ρgh dA cos θ - La componente vertical de dF es, dFy = ρgh dA sen θ

2.8.1 Componente horizontal de la fuerza La componente horizontal de una fuerza de presión que actúa sobre una superficie curva sumergida, es igual a la fuerza de empuje hidrostático ejercida sobre una proyección horizontal de dicha superficie curva.



Figura 2.14 Componente horizontal de la fuerza de presión Como se dijo anteriormente,

θcospdAdFx =

Es la componente x de la fuerza sobre el elemento diferencial de área dA. Integrando todas las componentes x de los diferenciales de fuerza sobre toda la superficie se tiene que:

dApFA

x ∫= θcos

Por lo tanto, se observa que la fuerza resultante en su componente x es la proyección integrada de todos los elementos diferenciales dAcosθ, que no es más que la proyección de cada uno de sus elementos. Con base en la nomenclatura de la Figura 2.14 se tiene que:

'''' DCBAx AhgF ρ= (2.15)

Para encontrar el centro de presión donde actúa la fuerza resultante, se utiliza el área proyectada y se supone que es una superficie sumergida verticalmente como en la sección anterior.

2.8.2 Componente vertical de la fuerza La componente vertical de una fuerza de presión que actúa sobre una superficie curva sumergida, es igual al peso del líquido por encima de ésta, desde la superficie del cuerpo hasta la superficie del líquido. Tenga en cuenta que este peso puede en algunos casos ser virtual.



Figura 2.15 Componente vertical de la fuerza de presión

Al igual que en el caso de la componente horizontal, la componente vertical de la fuerza de presión se calcula como:

dApsenFA

y ∫= θ

En la ecuación anterior, la presión puede ser reemplazada por ρgh y a su vez, hsenθ es equivalente a y, por lo tanto:

dAygF

dAgyF

A

y

A

y

∫

∫

=

=

ρ

ρ

gVFy ρ= (2.16)

Donde V es el volumen de líquido por encima de la superficie curva como se esquematiza en la Figura 2.15. Al igual que en el caso de superficies planas, si el volumen por encima de la superficie no se encuentra con agua, se puede suponer un volumen imaginario equivalente, y la fuerza resultante actúa hacia arriba en lugar de actuar hacia abajo como en el caso normal. El punto de aplicación de la componente vertical de la fuerza es el centroide del volumen de agua por encima de la superficie, ya sea real o imaginario. Ejemplo 2.14 Una compuerta radial de 10 m de ancho está reteniendo 6 m de columna de agua en reposo. El ángulo constructivo de la compuerta es 60º .Calcule la fuerza que ejerce el agua sobre ésta.



Solución Componente x Como se explicó anteriormente, la componente x se calcula como una proyección de la compuerta sobre un plano imaginario. Mediante la ecuación 2.15 se tiene que:

NxF

F

AhgF

x

x

DCBAx

6

''''

1076.1

)60)(3)(9810(

=

== ρ

Componente y Mediante el uso de la ecuación 2.16 es posible encontrar la fuerza, conociendo antes el volumen por encima de la compuerta. Como se observa, este volumen en este caso es imaginario, por lo que la resultante es hacia arriba, es decir, el agua trata de “levantar” la compuerta.

AF

gVF

y

y

)10)(9810(=

= ρ

El área de la compuerta sale por propiedades geométricas: Como se observa en la siguiente figura, el área sombreada es la que estamos buscando, y se puede encontrar restando al sexto de círculo que es la compuerta completa, el triángulo que se forma de altura 6m y ancho a.



De la figura:

2

2

74.14

)6)(465.3(2

1)93.6(

360

60

465.360cos

93.66

30cos

mA

A

maR

a

mRR

=

−=

=⇒=

=⇒=

π

Luego:

NxF

F

y

y

61044.1

)74.14)(10)(9810(

=

=

En el siguiente ejemplo se combinan varios de los conceptos vistos hasta el momento para la resolución de un problema de estática de un cuerpo cilíndrico sumergido. Ejemplo 2.15 Un tronco mantiene agua y petróleo tal como se muestra en la figura. Determinar (a) la fuerza por metro que empuja contra el muro y (b) el peso del cilindro por metro de longitud

Solución Dividiendo el cilindro en sus cuatro cuadrantes se puede ver que uno de ellos no está en contacto con ninguna superficie de líquido, otro sólo se encuentra bajo el efecto del petróleo y los otros dos se encuentran bajo el efecto combinado de agua y petróleo.



Componente x de la Fuerza Las superficies 1 y 2 se encuentran sometidas a una fuerza que se ejerce hacia la derecha mientras que la superficie 3 tiene una fuerza hacia la izquierda. Suponiendo la aproximación del prisma de presión se puede ver que las presiones ejercidas sobre las superficies 2 y 3 son iguales en magnitud pero opuestos en dirección, y por lo tanto se cancelan.

Esta afirmación también se fundamenta en el hecho de que en planos horizontales las presiones son iguales, y por lo tanto en cualquier punto de la superficie 2 va a existir un punto análogo en la superficie 3 que tiene la misma presión pero en dirección opuesta. La componente horizontal por lo tanto es:

mKNF

F

AhgFF

FF

FFFF

x

x

petroleox

x

/7.15

)2)(1)(81.9)(800(

1

32

321

==

==

=−+=

ρ

Como no se especifica el ancho del cilindro, este no se considera al sacar el área de la superficie proyectada y se asume como 1. Por esta razón el resultado de la fuerza está dado en KN/m. Componente y de la Fuerza La única porción real de fluido sobre el cilindro es la que se encuentra sobre la superficie 1, es decir:

↓=

−=

KNF

F

y

y

74.6

4

22)81.9)(800(

1

22

1

π

Las fuerzas ejercidas sobre las superficies 2 y 3 son virtuales en los fluidos respectivos es decir:



↑=

+=

KNF

F

y

y

47.554

2)81.9)(1000(

4

2)81.9)(800(

2

22

2

ππ

Si se observa en la última figura, la fuerza 3 es similar a la fuerza sobre la superficie 2, sin embargo, adicionalmente falta una pequeña cuña, que resulta de proyectar el punto que pega contra el muro hasta la superficie libre. Por lo tanto, la fuerza 3 resulta en:

↑=

−+=

KNF

FF

y

yy

21.62

4

24)81.9)(800(

3

2

23

π

Por lo tanto, la fuerza resultante vertical es:

↑=

−+=

−+=

KNF

F

FFFF

y

y

yyyy

94.110

74.621.6247.55132

(b) Para calcular el peso del cilindro, se pueden sacar momentos con respecto al origen, es decir, con respecto al borde del muro. Las fuerzas actuantes se muestran en la siguiente figura. Note que el punto de acción de las fuerzas sobre las cuñas superiores se calcula como el centroide del volumen y las demás fuerzas se localizan centradas guardando la simetría del problema.

mTonmKNW

W

M

/5.100/5.100

)2)(94.110()55.12)(74.6()55.12)(74.6()2(

00

==+−=++

=∑



2.9 BOYAMIENTO Y FLOTACIÓN . ESTABILIDAD DE CUERPOS La fuerza resultante que ejerce un fluido estático sobre un cuerpo que se encuentra sumergido o flotanto se conoce como fuerza de boyamiento y su dirección es vertical hacia arriba. Las leyes del boyamiento, o Principio de Arquímedes, son:

(1) Un cuerpo sumergido en un fluido está sometido a una fuerza equivalente al peso del fluido que éste desplaza, con dirección opuesta a su peso

(2) Un cuerpo flotante desplaza un volumen de fluido equivalente a su propio peso.

En la figura 2.16 se esquematizan estos dos casos. Por un lado, el cuerpo que se encuentra sumergido experimenta una fuerza de empuje igual a la diferencia entre la componente vertical de la fuerza de presión que actúa en el lado superior y la que actúa en la superficie inferior del cuerpo, que como se sabe, es el volumen, real o imaginario, sobre estas superficies.

V FABCE - V FADCE = V ABCD Es decir, la fuerza de empuje sobre el cuerpo, dirigida hacia arriba, equivale al peso del fluido desalojado por éste.

ABCDb gVF ρ= (2.17)

Figura 2.16 Principio de Arquímedes sobre cuerpos flotantes y sumergidos

Para el cuerpo que se encuentra flotando se realiza un análisis similar, sin embargo, la fuerza de boyamiento no corresponde al volumen del cuerpo sino al volumen de agua que éste desplaza. El punto de aplicación de esta fuerza corresponde al centroide del volumen de fluido desplazado, tanto para cuerpos sumergidos como para cuerpos flotantes. Este punto se conoce con el nombre de centro de boyamiento.



2.9.1 Estabilidad de cuerpos flotantes y sumergidos Un cuerpo que flota en un líquido estático tiene una estabilidad lineal cuando un pequeño desplazamiento genera fuerzas de restablecimiento que lo retornan a su estado inicial. Esta estabilidad es vertical cuando:

- Al desplazarlo un poco hacia arriba, el volumen desplazado disminuye, por lo tanto se pierde la estabilidad y se genera una fuerza hacia abajo que trata de retornar el cuerpo a su estado de equilibrio.

- Cuando se hunde un poco más el cuerpo, la fuerza de boyamiento aumenta, generando una fuerza hacia arriba que nuevamente desequilibra el objeto y trata de retornarlo hacia arriba nuevamente.

Por otro lado, la estabilidad es rotacional cuando se genera un par restaurador al inducir un desequilibrio, es decir, cuando el cuerpo rota luego de generar un desplazamiento rotacional hasta volver a la estabilidad. Existen 3 estados de equilibrio que se pueden visualizar en la Figura 2.17:

Figura 2.17 Estabilidad rotacional de cuerpos flotantes

a) Equilibrio Estable: Cuando el centroide de un cuerpo se encuentra por encima del centro de gravedad, el equilibrio es estable, pues al inducir un desequilibrio como el mostrado en la figura, el par restaurador tiende a devolver el cuerpo a su estado inicial, es decir, a rotar el cuerpo en contra de las manecillas del reloj.

b) Equilibrio Inestable: Si el centroide del cuerpo se encuentra por debajo del

centro de gravedad de éste, el equilibrio es inestable. Nuevamente al desequilibrar el cuerpo, el par restaurador tiende a desequilibrarlo aún más, haciéndolo rotar en el sentido de las manecillas del reloj.



c) Equilibrio Neutro: Cuando en un cuerpo coinciden el centroide y el centro

de gravedad, el equilibrio es neutro, pues al inducir un desequilibrio rotacional no se genera ningún par restaurador y por lo tanto nunca se altera el equilibrio.

2.9.2 Estabilidad de cuerpos boyantes A diferencia de los casos anteriores, existen cuerpos que al desequilibrarlos cambian el lugar de su centroide pues pasan a estar más o menos sumergidos según sea el caso, y por lo tanto, el empuje que hace el agua cambia su punto de acción y su magnitud. Para ilustrar este concepto, veamos el caso de la Figura 2.18

Figura 2.18 Estabilidad rotacional de cuerpos boyantes

Cuando se tiene un cuerpo estable y simétrico, tanto el centroide C, como el centro de gravedad G, se localizan en el eje central del cuerpo. Al inducir un desequilibrio rotacional, la porción del objeto que permanece sumergida ya no es simétrica con respecto al eje central del objeto y por lo tanto, la fuerza de boyamiento cambia su punto de aplicación a un centroide C’, generando un par restaurador que hará girar el objeto hasta llegar nuevamente al equilibrio. Proyectando la línea del centroide original C, y del nuevo centroide C’, se obtiene un nuevo punto llamado Metacentro. El equilibrio por lo tanto, será estable cuando el metacentro M esté por encima del centro de gravedad G, como el caso de la Figura 2.18. Y será inestable si ocurre lo contrario.



2.10 AUTO EVALUACIÓN Problema 2.1 Se aplica una fuerza de 5 Kg a una superficie de 2 cm2. Otra de 30 Kg a una superficie de 12 cm2. ¿Cuál de las dos presiones es mayor?. Rta.: son iguales Problema 2.2 El radio del pistón chico de una prensa hidráulica es de 5 cm, sobre el cual se aplica una fuerza de 950 N. ¿Cuál será el radio del pistón mayor si se desea una fuerza 4 veces mayor? Rta.: 10 cm

Problema 2.3 El edificio Empire State tiene 1250 pies de altura. ¿Cuál es la diferencia de presión en psi de una columna de agua de la misma altura? Rta.: 541.7 psi Problema 2.4 El tanque mostrado en la figura contiene agua y aire tal como se muestra. ¿Cuál es la presión en los puntos A, B, C y D en psi? Rta.: PA = 1.73 psi, PB = - 0.43 psi, PC = - 0.43 psi, PD = - 2.6 psi.



Problema 2.5 Expresar 4 atm como presión manométrica en metros de agua cuando un barómetro marca 750 mmHg. Rta.: 31.14 m Problema 2.6 Si la presión atmosférica de un lugar es de 100 KPa (14.5 psi), ¿cuál es la presión absoluta si un manómetro marca 20 psi (138 KPa)? Rta.: 238 KPa o 34.5 psi Problema 2.7 Si el barómetro mostrado está lleno de aceite, con una densidad relativa de 0.86, calcule la altura h, si la presión absoluta es 101.3 KPa. Considera usted que es un barómetro práctico? Rta.: 12 m; No.

Problema 2.8 El piezómetro de la figura 2.5 marca una altura de 20 pulgadas. Determine la presión en A en libras por pulgada cuadrada (psi) si la densidad relativa del líquido es de 1.90. Rta.: 1.372 psi Problema 2.9 Con el fin de medir la diferencia de presión entre dos puntos en una tubería que transporta agua, se conecta un manómetro diferencial entre los dos puntos en forma de U invertida y se deja una porción de aire atrapado a presión atmosférica. Si la deflexión del manómetro es 0.8 m y la altura manométrica del punto de aguas abajo se encuentra 0.5 m por debajo del punto de aguas arriba, encuentre la diferencia de presión entre los dos puntos. Visualice el problema antes de intentar resolverlo. Rta.: 2.94 KPa



Problema 2.10 Encuentre la presión en A en pascales. ¿Cuál es la presión del aire en el tubo? Rta.: 12060 Pa; 2942 Pa

Problema 2.11 Cual es la presión en el punto A? Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la compuerta, que tiene un ancho de 10 pies, mostrando todas las fuerzas y la localización de sus respectivos puntos de aplicación. Calcule adicionalmente la fuerza P mínima necesaria para mantener la compuerta cerrada. Rta.: 2.34 psi; 21902 Lb



Problema 2.12 Determinar el momento alrededor de A, requerido para mantener la compuerta tal como se muestra en la figura. Rta: 35.947 Lb.pie

Problema 2.13 Encuentre la magnitud, dirección y punto de aplicación de la fuerza que ejerce el líquido sobre la compuerta de 6 x 10 pies de área. Rta: 23996 Lb a 45º; Punto de aplicación: 10.37 pies



Problema 2.14 Qué profundidad de agua se necesita para que la compuerta se caiga? Desprecie el peso de la compuerta. Rta: 2.68 m

Problema 2.15 Una compuerta radial de 2 m de largo, que se encuentra pivoteada alrededor de un eje horizontal, mantiene cerrado un tanque rectangular mediante el uso de un contrapeso W. Determine (a) La fuerza hidrostática total y su punto de aplicación cuando la profundidad de almacenamiento es 4 m, y (b) el contrapeso necesario W para que la compuerta se mantenga estable. Analice lo que sucedería si la profundidad aumenta por encima de 4 m. Rta: (a) 100.7 KN, aplicada 3.19 m por debajo de la superficie del agua.

(b) 53.3 KN.



Problema 2.16 El cilindro mostrado en la figura tiene 2.4 metros de largo y se encuentra pivoteado en el punto O. Calcule el momento alrededor de O requerido para mantener el cilindro en su posición. Rta: 68.3 KN.m

Problema 2.17 Calcular la fuerza F requerida para mantener cerrada la compuerta de la figura, cuando R = 2 pies. Rta: 549.1 Lb


Sesión 3: Cinemática de Fluidos 72

3 SESIÓN 3: CINEMÁTICA DE FLUIDOS

3.1 INTRODUCCIÓN La cinemática es la parte de la mecánica de fluidos que se encarga de describir el movimiento de los fluidos en términos de su desplazamiento, su velocidad y su aceleración, sin tener en cuenta las fuerzas que causan el movimiento en sí. Por lo tanto, la cinemática de fluidos tiene en cuenta las relaciones espacio – temporales de los fluidos en movimiento. Esta tercera sesión por lo tanto se dedica al estudio de los fluidos en movimiento y su clasificación de acuerdo con las variaciones espaciales y temporales, y luego, con base en el enfoque del volumen de control, se deducen las ecuaciones fundamentales de la cinemática de fluidos que son las ecuaciones de conservación de energía y conservación de masa.

3.2 OBJETIVOS

3.2.1 Objetivo General de la Sesión Describir el comportamiento cinemático de un fluido en movimiento a través de la ley de conservación de la masa, reconociendo las simplificaciones y el enfoque que debe tomarse de acuerdo con el tipo de flujo que se tenga.

3.2.2 Objetivos Específicos • Clasificar un flujo según su comportamiento cinemático y las relaciones

espacio – temporales. • Plantear diferentes situaciones que permitan diferenciar los enfoques

Lagrangiano y Euleriano. • Describir el comportamiento de un fluido en movimiento a partir de los

conceptos de línea de corriente, tubo de corriente y aceleraciones del flujo. • Resolver ejercicios sencillos de conservación de masa para determinar

caudales, velocidades y/o áreas de las secciones transversales.



3.3 CLASIFICACIÓN DEL FLUJO El movimiento de los fluidos puede ser clasificado de acuerdo con las relaciones espaciales y temporales de éste. Veamos esto en detalle: Espacio Las condiciones de flujo pueden ser uniformes, si no existe ninguna variación de la profundidad de flujo o de la velocidad o el caudal de éste con respecto a diferentes puntos espaciales para un mismo instante de tiempo. Por el contrario, el flujo puede ser variado si existe esta variación.

→

→

Variado eRápidament

Variado teGradualmen Variado Flujo

UniformeFlujo Espacio

Tiempo Para un mismo lugar, la variación de las condiciones de flujo con respecto al tiempo permiten determinar si el flujo es permanente, es decir, si no existe variación con respecto al tiempo en un sitio determinado, o si por el contrario el flujo es no permanente, es decir, si cambian las condiciones a través del tiempo.

Permanente no Flujo

Permanente Flujo Tiempo

→→

Las combinaciones posibles entre estas dos variables (relaciones espacio – temporales), dan lugar a los diferentes tipos de flujo. En los numerales siguientes veremos su descripción y diferentes ejemplos que se ajustan a cada clasificación.

3.3.1 Flujo Uniforme – Permanente Como se observa en los dos ejemplos de la Figura 3.1, el flujo uniforme y permanente es aquel en el cual ni la profundidad de flujo ni el caudal ni la velocidad varían de un sitio a otro separados una cierta longitud.

Figura 3.1 Flujo Uniforme – Permanente



En el caso de flujo en tuberías, la condición de flujo uniforme y permanente se logra cuando se utilizan tuberías del mismo diámetro y se garantiza el flujo de la misma cantidad de agua durante todo el intervalo de tiempo. De esta forma, la velocidad en la tubería es la misma, al igual que el caudal. Para el caso de canales abiertos, el flujo permanente se logra en un canal de sección constante y en donde se regule el caudal desde aguas arriba con el fin de que, al igual que en el caso de la tubería, la cantidad de agua se mantenga constante al igual que las condiciones geométricas, de tal forma que la profundidad de flujo sea la misma en cualquier intervalo de tiempo y en cualquier sección transversal del canal.

3.3.2 Flujo Variado – Permanente Por la definición de flujo permanente se sabe que en esta clasificación, el caudal debe permanecer constante a través del tiempo. Sin embargo, para que el flujo sea variado deben existir restricciones o condiciones geométricas que hagan que el flujo cambie en el espacio. En la Figura 3.2 se muestra un ejemplo de flujo gradualmente variado, permanente. En el módulo de Hidráulica se estudiarán en detalle los perfiles de flujo Gradualmente Variado, sin embargo, a manera de ejemplo, se muestra acá un perfil M2 típico o perfil de caída. Bajo esta condición, por la presencia de una caída libre, las profundidades hacia aguas arriba se van incrementando, haciendo que el flujo no sea uniforme.

Figura 3.2 Flujo Gradualmente Variado – Permanente

Para el caso de tuberías, el flujo gradualmente variado se da en una transición suave de un diámetro a otro, pues en cada punto espacial de la transición, el área transversal de la tubería es diferente y por lo tanto la velocidad media cambia gradualmente en el espacio.



En la Figura 3.3 se observan los ejemplos para el caso de flujo rápidamente variado. Por un lado, en canales abiertos se puede dar el caso de la rápida de una presa, en donde el flujo rápidamente cae hacia una piscina de disipación de energía y en cada sección transversal tanto la velocidad como la profundidad cambian pues el flujo está constantemente acelerado. Por otro lado, se presenta el caso de una transición brusca de una tubería de un diámetro mayor a un diámetro menor, ocasionando un cambio brusco en la velocidad de flujo.

Figura 3.3 Flujo Rápidamente Variado – Permanente

3.3.3 Flujo Variado – No Permanente Como tercera clasificación se encuentra el caso de flujo variado pero ahora con variación temporal, es decir, bajo condiciones de flujo no permanente. En la figura 3.4 se observa nuevamente un perfil de flujo gradualmente variado. En este caso el perfil que se forma es un M1 o perfil de remanso. A medida que el tiempo pasa, el estancamiento del agua se incrementa y por lo tanto, las profundidades de flujo varían con respecto al tiempo y al espacio, pues en cada sección transversal la profundidad es diferente.

Figura 3.4 Flujo Gradualmente Variado – No Permanente

Para el caso de tuberías, podría pensarse en una red de distribución de acueducto, en donde, por la apertura y cierre de válvulas, el flujo se convierte en no permante a través del tiempo y los caudales a lo largo de la red son diferentes en el espacio. Si pensamos en un flujo en reposo, soportado por una compuerta en un instante cero del tiempo se hablaría de estática de fluidos y no de cinemática. Sin embargo, si en el menor tiempo posible la compuerta es retirada de su lugar, pasaría lo que se observa en la Figura 3.5. Rápidamente varían las profundidades



y los caudales con respecto al tiempo y al espacio hasta que se desocupara por completo el tanque.

Figura 3.5 Flujo Rápidamente Variado – No Permanente

3.3.4 Flujo Uniforme – no Permanente Por último, se encuentra la combinación de flujo uniforme no permanente. Sin embargo, esta clase de flujo no existe en la naturaleza, ya que es ilógico pensar en un flujo que se mantenga constante en el espacio pero variable en el tiempo. En ese caso, la profundidad de flujo por ejemplo debería variar en toda la longitud simultáneamente en cada instante de tiempo. Y esto es Imposible!

3.4 ¿CÓMO DESCRIBIR EL MOVIMIENTO DE FLUIDOS?

3.4.1 Enfoques de la visualización del movimiento d e fluidos Existen dos formas de visualizar el movimiento de fluidos: Por un lado, existe la visión Lagrangiana (de Joseph – Louis Lagrange, 1736 – 1813) que consiste en fijar la atención sobre una porción pequeña del fluido en movimiento. Interesa por lo tanto, seguir una partícula a través del tiempo. Esta visión se esquematiza en la Figura 3.6

Figura 3.6 Visión Lagrangiana

Sin embargo, las ecuaciones de la dinámica de fluidos no pueden estar basadas en la trayectoria de una partícula de fluido a través del tiempo puesto que cada partícula puede seguir una trayectoria diferente. Por esta razón, se utiliza el



enfoque Euleriano (de Leonhard Euler, 1707 – 1783) en la mayoría de los análisis. La descripción Euleriana fija la atención en un volumen de control fijo o un punto fijo en el espacio con coordenadas (x,y,z) y se deducen las ecuaciones que expresan cambios en la masa, la energía y el momentum a medida que el flujo pasa a través de dicho volumen de control. En la Figura 3.7 se muestra la esquematización del enfoque Euleriano.

Figura 3.7 Visión Euleriana

El volumen de control es la región fija del espacio en donde se estudian cambios en las características del flujo. La superficie de control es el área superficial de dicho volumen. Es sobre esta superficie donde se aplican fuerzas tanto de presión como de rozamiento, es decir, las fuerzas de superficie. Sobre el volumen de control se aplican las fuerzas de cuerpo, como es el caso del peso. Para entender mejor los dos enfoques, veamos una lectura de un ejemplo cotidiano de cada uno de los dos. Esta lectura fue tomada de la página de Internet: http://www.tecnun.es/asignaturas/Fluidos1/WEBMF/Mecanica%20de%20Fluidos%20I/FAQMFI%5CFAQ3.htm

“Según decía un profesor de Mecánica de Fluidos de la Escuela Superior de Ingenieros Industriales de San Sebastián, el comportamiento de las grandes multitudes se asimila bastante al de los fluidos en movimiento. Supongamos que elegimos una cierta región del espacio en una ciudad, digamos una calle, y estudiamos el flujo de gente en ella. El enfoque Lagrangiano del problema consistiría en identificar a un cierto individuo, por ejemplo aquel de la camisa amarilla tan horrorosa, y seguirlo en su movimiento en la calle. Si podemos cuantificar las interacciones con las demás personas y con la calle misma, podremos escribir leyes matemáticas acerca de ciertas propiedades de interés (velocidad, temperatura, altura, dinero, etc...). Este estudio debería



repetirse con todas las personas que pasan por la calle en el tiempo que dure el estudio. El enfoque Euleriano se fijaría en un punto de la calle, digamos en la salida de ese bar donde ponen tan buenos pinchos. Se estudiaría a la persona que en cada instante de tiempo pasa por dicha posición. Si se pudiera relacionar las propiedades que tiene cada persona que ocupa la posición en un instante con la posición misma y el tiempo, se podrían sacar leyes matemáticas sobre las propiedades en esa posición a lo largo del tiempo. Este estudio se hará en todos los puntos de la calle. En este caso cada uno de los enfoques tiene sus ventajas y sus inconvenientes; todo depende de lo que se desee conocer. Si lo que quiero es conocer la historia del señor de la camisa amarilla utilizaré un enfoque Lagrangiano, en cambio si lo que quiero saber es el dinero que tiene una persona en la entrada de un bar utilizaré un enfoque Euleriano.”

Por lo general, en mecánica de fluidos en movimiento se utiliza el enfoque euleriano, pues las ecuaciones que describen el movimiento dentro de un volumen de control pequeño, se pueden generalizar al flujo completo. Bajo este enfoque, es muy sencillo determinar si el flujo es uniforme o no uniforme y de esta forma se puede saber si las ecuaciones varían con respecto al espacio y el tiempo, o si se mantienen constantes como en el caso del flujo uniforme.

3.4.2 Línea de Corriente Una línea de corriente es una línea continua que se dibuja en el fluido, de tal manera que sus tangentes, en cada punto de la trayectoria, representen los vectores de velocidad en cada uno de los puntos.

Figura 3.8 Línea de corriente

En flujo permanente, las partículas se mueven sobre las líneas de corriente, por lo que es posible inyectar algún líquido trazador como por ejemplo tinta de diferentes colores y de esta forma visualizar las líneas de corriente. Los rastros dejados por estos trazadores también se conocen como líneas de filamento.

Figura 3.9 Línea de filamento



En la Figura 3.9 se observan las diferentes líneas de filamento o de corriente alrededor de un cilindro que se encuentra sometido al flujo de agua. Mediante la visualización de campos de flujo o el volumen del espacio ocupado por líneas de corriente, es posible sacar conclusiones acerca del comportamiento del flujo. En la Figura 3.10 se observa que cuando las líneas de corriente convergen, el campo de flujo se acelera, mientras que ocurre lo contrario cuando las líneas divergen.

Figura 3.10 Aceleración y desaceleración del flujo

Con el desarrollo de técnicas de computación, actualmente se pueden visualizar los patrones de flujo a través de gráficas y animaciones por computador que hasta hace poco eran imposibles de visualizar.

3.4.3 Tubo de corriente Un tubo de corriente es un tubo formado por todas las líneas de corriente que pasan a través de una curva cerrada, mostrando las diferentes trayectorias. Como las velocidades en cualquier punto de una línea de corriente son perpendiculares a ésta, no puede existir flujo a través del tubo de corriente y por lo tanto el tubo de corriente funciona como una tubería que sirve de límite al flujo y no permite que las partículas de fluido salgan o entren a éste.

Figura 3.11 Tubo de corriente

Una de las características principales de un tubo de corriente es que a lo largo de las paredes de éste, la velocidad es tangencial y por lo tanto se puede asumir que el tubo se encuentra aislado del fluido que lo rodea. Esta suposición será muy útil para la deducción de las ecuaciones de continuidad que se verán más adelante.

3.4.4 Aceleraciones del Flujo Al describir el movimiento de fluidos, uno se tropieza con el concepto de aceleración, tanto lineal como a lo largo de trayectorias curvas. Conocer la forma de expresar la aceleración de las partículas de fluidos, es esencial para describir y deducir las ecuaciones que gobiernan la cinemática.



La aceleración, al igual que la velocidad, es un vector, y por lo tanto tiene magnitud y dirección. Sin embargo, la dirección generalmente se conoce (o se supone) y simplemente se limita el cálculo de la aceleración a conocer su magnitud. Aceleración Convectiva Supongamos el caso de la Figura 3.12, en donde se tienen dos partículas separadas una distancia dx que en el instante cero tienen la misma velocidad, pero que en todos los demás instantes del tiempo tienen velocidades diferentes.

Figura 3.12 Aceleración Convectiva La aceleración convectiva es la aceleración que hace que unas partículas se muevan más rápido que otras dentro de una misma línea de corriente en todos los instantes del tiempo, siendo sólo dependiente del espacio. La aceleración convectiva por lo tanto se define como:

dx

dvvac = (3.1)

Note que cuando el flujo es uniforme, la velocidad no cambia con respecto al espacio, y por lo tanto la derivada es cero haciendo que no exista aceleración. Aceleración Local El caso de la aceleración convectiva corresponde a una variación de la velocidad con el espacio. Por su parte, como se observa en la Figura 3.13, la aceleración local es la aceleración que experimenta el flujo en un mismo punto del espacio con respecto al tiempo.

Figura 3.13 Aceleración Local



Para describir la aceleración local se debe utilizar la siguiente ecuación:

dt

dv

dx

dvvaL += (3.2)

Cuando el flujo es permanente, es decir, cuando la velocidad no varía con respecto al tiempo, la aceleración local se transforma en aceleración convectiva, pues para cualquier instante del tiempo se experimenta sólo la variación espacial. A menos que, como se dijo anteriormente, el flujo sea uniforme además de permanente, y por lo tanto no exista aceleración alguna. El caso de la aceleración local puede ser tomado como aceleración de cualquier partícula de fluido ya que es una ecuación general, y la ecuación de aceleración convectiva es un caso particular de ésta. Para llegar a las ecuaciones (3.1) y (3.2) se tiene que:

Luegot

v

dt

dx

x

v

dt

dv

dtt

vdx

x

vdv

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

dt

dv

dx

dvva +=

Aceleración Curvilínea Si adicionalmente se introduce el concepto de trayectoria curva (Ver Figura 3.14), una partícula tendrá una componente tangencial de aceleración y una componente radial.

Figura 3.14 Aceleración Curvilínea La componente tangencial corresponde a la ecuación anterior, mientras que la componente radial de la aceleración o aceleración centrípeta se calcula como:



r

var

2

= (3.3)

Donde r es el radio de giro de la trayectoria, y v la velocidad tangencial en el punto A de la figura. Ejemplo 3.1 En un experimento de laboratorio, un tanque circular de radio r = 2m se llena de agua y se pone a girar. El fluido gira alrededor de la pared del tanque, formando una línea de corriente como se muestra en la figura, y con una velocidad tangencial constante de 1.04 m/s. Calcule las aceleraciones tangencial y radial de cualquier punto sobre la línea de corriente.

Solución Como la velocidad tangencial es constante, se tiene que at = 0. De acuerdo con la figura, y haciendo uso de la ecuación 3.3 se tiene que:

2

22

/541.02

04.1

smar

va

r

r

=

==

Con dirección hacia el centro del tanque.

3.5 ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA MASA “La masa no se crea ni se destruye, sino que se conserva” o fluye en este caso. Ese es el principio fundamental de la conservación de la masa en cinemática de fluidos. La masa que está entrando a un volumen de control puede o almacenarse o salir de éste, pero nunca puede haber un desequilibrio entre la entrada, la salida y el almacenamiento.



Figura 3.15 Conservación de masa

En la Figura 3.15 se muestra un volumen de control con un flujo de agua a través de este. Para que se conserve la masa se debe que cumplir que:

MAMSME ∆+=

Es decir, la masa que entra al volumen de control debe ser la misma masa que sale o se queda almacenada. Se utiliza el símbolo ∆ pues la masa almacenada puede ser un delta positivo (si hay almacenamiento) o negativo (si el volumen se desocupa), es decir, si la masa que sale es mayor que la que entra. La forma de evaluar las masas que salen, entran o se almacenan es a través del tiempo, es decir, con la tasa de cambio de la masa con respecto al tiempo. Puesto en ecuación se tiene que:

VC

se

dt

dm

dt

dm

dt

dm

=− (3.4)

De la ecuación anterior se confirman tres posibles estados: - Si la tasa de entrada es igual a la tasa de salida, el almacenamiento dentro

del volumen de control es cero. - Si lo que entra es mayor a lo que sale, el almacenamiento es positivo - Si la tasa de salida es mayor que la tasa de entrada, el almacenamiento en

el volumen de control es negativo, es decir, se desocupa. Reemplazando la masa por la multiplicación entre la densidad y el volumen (de la definición de densidad) se tiene que:

VCssee v

dt

d

dt

vd

dt

vd)(

)()( ρρρ =−

Suponiendo que el eje x es la dirección del flujo en la Figura 3.15, se tiene que:

VCssseee v

dt

d

dt

xAd

dt

xAd)(

)()( ρρρ=−

Si el fluido es incompresible, como es el caso del agua, las densidades de entrada, salida y del volumen de control son iguales y por lo tanto se cancelan.



VC

ssee

dt

dv

dt

xAd

dt

xAd

=− )()(

Como el volumen de control permanece fijo, el área transversal de éste no varía con respecto al tiempo, por lo tanto:

dt

dv

dt

dxA

dt

dxA s

se

e =−

Siguiendo con el procedimiento, se sabe que la derivada de la posición con respecto al tiempo es la velocidad, entonces:

dt

dvvAvA ssee =−

Cuando el flujo es permanente las variables cinemáticas no cambian con respecto al tiempo, es decir, dv/dt = 0. Por lo tanto se llega a la ecuación de continuidad de esta forma:

sessee QQvAvA =⇒= (3.5)

El significado de esta ecuación es que, bajo flujo uniforme, la tasa de transporte de fluido que pasa por todas las secciones de un volumen de control, por ejemplo un tubo de corriente, es constante y equivalente al caudal total de flujo, que se calcula como:

AVQ = (3.6)

El caudal generalmente se expresa en m3/s o en L/s. Ejemplo 3.2 A través de la reducción mostrada en la figura pasan 300 Kg de agua por segundo. Calcule el caudal en m3/s y las velocidades medias en cada una de las secciones del volumen de control mostradas.

Solución Como el fluido que se está trabajando es agua, el caudal que pasa por las tuberías es:



smQ

t

VQ

mmKg

KgV

V

m

/3.0

3.0/1000

300

3

3

3

=

=

==

=ρ

Utilizando la ecuación 3.6:

smm

smv

vAQ

/24.4)15.0(

/3.022

3

1

11

==

=

π

Utilizando la ecuación 3.5:

( ) smmsmmv

vAvA

/55.9)10.0(//24.4*)15.0( 22222

2211

===

ππ

El resultado anterior permite entender que cuando existe una reducción en la sección transversal de una tubería, es necesario aumentar la velocidad de flujo para que el caudal se conserve tanto en el tiempo como en el espacio, es decir, bajo condiciones de flujo uniforme y permanente. Si existen múltiples entradas y salidas, la ecuación 3.5 puede extenderse a cuantas entradas y salidas tenga el volumen de control. Supongamos una intersección de una red de distribución en forma de T como se observa en la Figura 3.16. En este caso, las secciones 1 y 3 son de entrada al volumen de control y la sección 2 es la de salida.

Figura 3.16Entradas múltiples con única salida Como se está hablando del fluido agua, por ser una red de distribución de agua potable, la densidad se mantiene constante en el volumen de control y se supone que el flujo es permanente a través del tiempo, luego:

331122 vAvAvA +=



Esto es, que la suma de las tasas de entrada al volumen de control es igual a la suma de las tasas de salida. Ejemplo 3.3 Una tubería de 300 mm de diámetro transporta agua a una velocidad de 4.5 m/s. Llega a una bifurcación y las nuevas tuberías son de 150 mm y 200 mm de diámetro respectivamente. Si la velocidad promedio en la tubería de 150 mm es 5/8 de la velocidad de la tubería principal, determine la velocidad promedio en la tubería de 200 mm y el caudal total del sistema en L/s.

Solución El caudal total se puede calcular con la sección de entrada, es decir:

sLQ

smQ

Q

AvQ

/318

/318.0

)5.4)(15.0(3

2

==

==

π

Por otro lado, la velocidad en la sección 2 de la figura es:

smv

v

vAvAAvQ

/54.8

)10.0()5.4(8

5)075.0(318.0

2

222

2211

=

+

=

+==

ππ



3.6 AUTO EVALUACIÓN Problema 3.1 Como práctica personal, intente imaginar un ejemplo de cada uno de los tipos de flujo, diferente al mostrado en la teoría de la sesión, con el fin de afianzar los conceptos espacio – temporales del flujo. Problema 3.2 Una partícula de fluido experimenta un cambio de velocidad de 1.5 m/s a 15 m/s en una distancia de 1.35 m. Determine la magnitud de la aceleración convectiva al final de la longitud. Rta.: 150 m/s2 Problema 3.3 El rebosadero de una presa termina en una forma curva, deflectando el agua lejos de la presa. El radio de curvatura es 5 m, y cuando el rebosadero descarga 5 m3 de agua por metro lineal de ancho de la cresta, el espesor de la lámina de agua sobre la curva es 50 cm. Compare la aceleración centrípeta con la aceleración debida a la gravedad. Rta.: 21 m/s2

Problema 3.4 Cuál es la velocidad media en una tubería de 15 cm, si el caudal de agua transportado es de 3800 m3/día? Rta.: 2.48 m/s Problema 3.5 Qué diámetro debe tener una tubería para transportar 2 m3/s de agua a una velocidad media de 3 m/s? Rta.: 92 cm Problema 3.6 Una tubería mueve aceite (S = 0.86) a una velocidad de V = 2 m/s cuando el diámetro es 200 mm. En otra sección, el diámetro se reduce a 70mm. Encontrar la velocidad en esta sección y la tasa de flujo de masa en kilogramos por segundo. Rta.: 16.33 m/s; 54.04 Kg/s Problema 3.7 A través de una tubería compuesta de 75 mm que se expande a una de 150 mm fluye agua. Calcule la velocidad media en la tubería de 75 mm si la velocidad en la de 150mm es 2.5 m/s. Que proporción de la velocidad de 150mm es la velocidad encontrada? Rta.: 10 m/s. Es el 400 %, o una relación 4:1



Problema 3.8 Una boquilla con un diámetro de 70 mm en la base y 30 mm en la punta descarga 10 L/s. Deduzca una expresión para la velocidad del fluido a lo largo del eje de la boquilla (Eje x). Tome como origen el diámetro mayor. Haga un esquema del problema para visualizarlo antes de intentar resolverlo.

Rta.: 24.0

7.0

273.1

−L

x

Problema 3.9 Una tubería de 15 cm de diámetro transporta 80 L/s de agua. La tubería se ramifica en otras dos, una de 5 cm y la otra de 10 cm de diámetro. Si la velocidad en la tubería de 5 cm es de 12 m/s., Cuál es la velocidad en la tubería de 10 cm ? Rta.: 7.2 m/s


Sesión 4: Dinámica de Fluidos 89

4 SESIÓN 4: DINÁMICA DE FLUIDOS

4.1 INTRODUCCIÓN Luego de conocer el movimiento de una forma cualitativa, clasificándolo de una manera cinemática por las relaciones espacio – temporales, entramos en esta sesión a analizar las causas del movimiento. La dinámica de fluidos estudia los fluidos en movimiento en conjunto con las fuerzas que intervienen para que éstos se realicen o disminuyan. Un fluido en movimiento experimenta, además de la gravedad, fuerzas de presión, resistencias viscosas y turbulentas, esfuerzos cortantes en la interacción con las paredes y fuerzas debidas a la tensión superficial y los efectos de compresibilidad en el fluido. Esta sesión por lo tanto, estará dedicada a plantear las ecuaciones que involucran las fuerzas que causan el movimiento y a resolver ejercicios prácticos de medición de caudales en movimiento, de fuerzas que ejercen los fluidos al chocar contra diferentes objetos y a entender la aplicación de las ecuaciones de conservación de energía y de momentum que complementan a la ecuación de conservación de masa que se vio al final de la sesión anterior.

4.2 OBJETIVOS

4.2.1 Objetivo General de la Sesión Aplicar las ecuaciones de dinámica de fluidos como son la ecuación de conservación de energía y la de Momentum, en problemas de medición de caudales de fluidos en movimiento, y de fuerzas que ejercen los fluidos al chocar contra diferentes objetos.

4.2.2 Objetivos Específicos • Diferenciar los términos de la ecuación de Bernoulli y sus implicaciones. • Aplicar la ecuación de conservación de la energía o ecuación de Bernoulli

en problemas de movimiento de fluidos. • Resolver problemas con aparatos de medición del flujo como tubos Venturi

o tubos de Pitot, mediante el uso de la ecuación de Bernoulli. • Emplear la ecuación de Bernoulli en sistemas en donde las máquinas

hidráulicas impriman energía al flujo de agua. • Utilizar la ecuación de conservación de Momentum en problemas de

chorros que chocan contra placas móviles o fijas.



4.3 ECUACIÓN DE EULER Leonhard Euler fue el primero en aplicar la segunda ley de Newton al movimiento de partículas de fluidos en 1750. Este numeral estará dedicado a la deducción de la ecuación de Euler, a partir de un volumen de control formado por un tubo de corriente. Considere el tubo de corriente de la Figura 4.1. Sobre éste, actúan fuerzas de cuerpo, como el caso del peso, y fuerzas de superficie como las presiones en las dos superficies sobre el eje x supuesto. Como las dos superficies se encuentran a diferentes alturas (separadas una profundidad dz), existe un diferencial de presión adicional en la segunda superficie.

Figura 4.1 Deducción de la ecuación de Euler

Sobre las caras laterales del volumen de control no se ejercen fuerzas, debido a la definición de tubo de corriente. Por lo tanto, aplicando la segunda ley de Newton en el eje x se tiene que:

x

x

xx

amdWdpdA

amdWdAdppdAp

amF

=−−=−+−

=∑

θθ

cos

cos))(()(

El peso del volumen de control se calcula como:

dxdAgdWV

W

V

mgg

V

m

ρ

γρρ

=

===⇒=

De igual forma, la masa del volumen de control es:

dxdAdm ρ=

Por lo tanto:



x

x

adxdzgdp

adxdAdxdAgdpdA

ρρρθρ

=−−=−− cos

Como la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, ésta puede ser reemplazada en la ecuación anterior. Es decir:

dt

dvdxdzgdp ρρ =−−

Si retornamos a las definiciones del numeral 3.4.4 vemos que la aceleración que se experimenta sobre el tubo de corriente es una aceleración convectiva, es decir:

dx

dvv

dt

dvac ==

Reemplazando esta definición en la expresión anterior obtenemos:

vdvdzgdpdx

dvvdxdzgdp

ρρ

ρρ

=−−

=−−

Dividiendo entre ρg se obtiene la ecuación de Euler, es decir:

01 =++ vdvg

dzg

dp

ρ

Al meter la velocidad al diferencial de velocidad, se obtiene la ecuación como usualmente se encuentra en la literatura, es decir:

02

2

=++g

dvdz

g

dp

ρ (4.1)

Que finalmente es la ecuación de Euler que describe el movimiento de fluidos y las fuerzas que los ocasionan.

4.4 ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA : ECUACIÓN DE BERNOULLI

La ecuación de Bernoulli parte de la ecuación de Euler (4.1) y supone que el fluido es incompresible, que el flujo es permanente y que se integra a lo largo de sólo una línea de corriente, luego:

Cte2

2

=++g

vz

g

p

ρ (4.2)



Esta es la expresión matemática del Teorema de Bernoulli y se interpreta diciendo que: "Si no hay pérdida de energía (carga) por fricción, entre dos secciones de la circulación de un líquido en régimen permanente, la suma de las cargas (energías) de altura o posición, de velocidad y de presión es constante en cualquier sección del líquido". En la ecuación anterior:

- g

p

ρ: Cabeza de presión

- z : Cabeza de altura o posición

- g

v

2

2

: Cabeza de Velocidad

En la Figura 4.2 se muestra uno de los tantos ejemplos posibles de conservación de energía y la aplicación de la ecuación de Bernoulli. Suponga un canal inclinado con una caída libre en su extremo. El agua por lo tanto va a formar un perfil de flujo gradualmente variado como el que se muestra en la figura, en donde a medida que el agua se aproxima a la caída, la profundidad sobre el canal disminuye.

Figura 4.2 Conservación de Energía

De acuerdo con la ecuación de Bernoulli la energía total E debe conservarse y por lo tanto, en dos secciones diferentes, la suma de las componentes de velocidad, presión y altura deben compensarse. Como se ve en la figura, la sección 2 tiene una altura pequeña con respecto a un cierto nivel de referencia o datum y también una lámina de agua pequeña (que ejerce una fuerza de presión dada sobre el fondo), pero cuenta con una velocidad muy alta. La velocidad en el punto 1 es mucho menor, sin embargo, la altura de la lámina de agua y la posición del fondo con respecto al datum son mayores, y



por lo tanto también se igualan a la energía total E, demostrando que la energía se conserva.

4.4.1 Significado de los términos de la ecuación de Bernoulli Término p/ρg: Cabeza de Presión Este primer término representa el trabajo necesario para empujar una porción de fluido dentro del mismo fluido. Para entenderlo mejor, supongamos una jeringa, en donde se debe aplicar una fuerza F para empujar el émbolo de área A y de esta forma desplazar el fluido dentro de la jeringa.

Figura 4.3 Energía de Presión

La presión que hay que ejercer es:

A

Fp =

El trabajo se define como fuerza por distancia, por lo tanto, el trabajo que realiza la jeringa para desplazar todo el fluido, o la energía de presión necesaria para realizar todo el movimiento es:

LxFEpr =

Como pALEpAF pr == Entonces . Pero AL es igual al volumen de la

jeringa, entonces:

pVEpr =

Por otro lado, se tiene que:

V

Wg =ρ

Por lo que finalmente:

g

WpEpr ρ

=

Esta es la energía que posee cada Newton, Kilogramo o Libra de fluido, por lo que es posible asumir que W = 1 y sacarlo de la ecuación anterior, para obtener el



primer término de la Ecuación de Bernoulli, o término de presión por unidad de peso de fluido. Término z: Cabeza de Altura o posición Este término hace referencia a la energía potencial que tiene un cuerpo o una porción de fluido sobre un cierto nivel de referencia o datum. Este término se visualiza en la Figura 4.4

Figura 4.4 Energía de Posición

Por su posición con respecto al dátum, este cuerpo puede desarrollar un trabajo al descender de su posición inicial. Esta energía está dada por la altura h, que representa entonces la energía por unidad de peso de fluido que es capaz de realizar un trabajo. Término v2/2g: Cabeza de Velocidad: Este tercer término corresponde a la energía cinética por unidad de peso de fluido, conocido como la cabeza de velocidad.

Figura 4.5 Cabeza de Velocidad

Suponga un cuerpo de peso W moviéndose sobre un plano con una velocidad V como se muestra en la Figura 4.5. Por el principio de inercia se sabe que si no interviene ninguna fuerza externa (Caso ideal), el cuerpo continuará indefinidamente su movimiento, entonces, la energía cinética, o la capacidad del cuerpo para efectuar trabajo es:

2

2vmEC =

Como el peso es W = mg, se tiene que:

g

vWEC 2

2

=



Nuevamente, la energía de velocidad por unidad de peso de fluido corresponde al tercer término de la ecuación, y por lo tanto se elimina el término W de la expresión anterior. Las unidades de los tres términos anteriores son de longitud, y por esta razón uno habla de metros de cabeza de agua cuando se refiere a la presión que ejerce una columna de este fluido.

4.4.2 Análisis de situaciones típicas mediante la ecuación de Bernoulli

Mediante el uso de la ecuación de Bernoulli es posible determinar el comportamiento de la altura, la velocidad y la presión de un sistema de fluidos, comparando dos secciones transversales a lo largo del flujo, y utilizando la ecuación de Bernoulli de la siguiente forma:

g

vz

g

p

g

vz

g

p

22

2

22

2

2

11

1 ++=++ρρ (4.3)

A continuación se muestran las tres situaciones típicas. El estudiante deberá analizar cada una de ellas utilizando la ecuación (4.3) Dos sitios en una tubería horizontal que experimenta un cambio de diámetro Si se tienen un par de condiciones como las que se muestran en la Figura 4.6, es posible determinar que en el primero de los casos la presión en el sitio 2 va a ser mayor que la del sitio 1 y al contrario en la otra gráfica.

Figura 4.6 Situación típica 1 analizada con Bernoulli Al analizar esta afirmación se puede observar que cuando el diámetro es mayor, la velocidad disminuye, por la definición de caudal; y como debe mantenerse constante la relación, si disminuye el diámetro la presión debe aumentar.



Cuando hay dos secciones que se encuentren a una misma altura, la sección que tenga un mayor diámetro, tendrá una menor velocidad, y una mayor presión. Piense en una manguera cuando le pone un dedo para que salga el agua con “mayor presión”… FALSO!! Sale con mayor velocidad, pero con menor presión pues se reduce el diámetro de la manguera.

Dos sitios en una tubería del mismo diámetro con cambio de altura: Haciendo el mismo análisis anterior, pero en este caso manteniendo el diámetro y por lo tanto la velocidad en las dos secciones se puede ver que cuando la altura en el sitio 1 es mayor que en el sitio 2, la presión en 1 debe ser menor para mantener la conservación de la energía.

Figura 4.7 Situación típica 2 analizada con Bernoulli Cuando hay dos secciones que tienen el mismo diámetro, éstas tendrán la misma velocidad. Si una de las dos tiene mayor altura , entonces tendrá una presión menor. Piense en estática de fluidos. Si un objeto se encuentra a menor profundidad, experimentará una menor fuerza de presión.

Dos sitios en una tubería del mismo diámetro con cambio de altura: Por último, analicemos el caso de tener la presión constante. Si se tiene la misma configuración anterior, es decir, dos secciones a diferente altura como se muestra en la Figura 4.8, para que las presiones se mantengan, las dos secciones deben tener diferente diámetro, para así tener diferentes velocidades.



Figura 4.8 Situación típica 3 analizada con Bernoulli

Cuando hay dos secciones que tienen una misma presión y una de las dos tiene mayor altura, entonces ésta tendrá una menor

velocidad y por lo tanto deberá tener un diámetro mayor.

4.5 APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI La ecuación de Bernoulli puede ser utilizada en diversas situaciones de la vida cotidiana de un ingeniero para calcular parámetros de diseño como la velocidad y la presión que ejercerá un fluido sobre una pared sólida, ya sea de una presa, de un canal de desvío o conducción, de una tubería o de lo que se esté diseñando. En la presente sección se utilizará la ecuación de Bernoulli en situaciones con orificios y como fundamento para diferentes aparatos de medición de caudales y velocidades.

4.5.1 Orificios pequeños Por lo general, resulta de vital importancia conocer la velocidad de un chorro que sale por un orificio de un tanque o un embalse. Una simplificación de esta aplicación se visualiza en la Figura 4.9.

Figura 4.9 Aplicación de la ecuación de Bernoulli en orificios



La suposición principal para poder aplicar la ecuación de Bernoulli, es que el nivel del agua en el tanque o embalse permanece constante en el tiempo, de tal forma que la energía total se mantenga constante. Esto se logra suponiendo que el embalse es muy grande, haciendo despreciable la pequeña salida de agua por el orificio. Suponiendo los dos puntos mostrados en la Figura 4.9, en donde el primero de ellos se encuentra cerca de la superficie del agua, y el segundo en toda la salida del orificio, se puede plantear la ecuación de Bernoulli de la siguiente manera:

g

vz

g

p

g

vz

g

p

22

2

22

2

2

11

1 ++=++ρρ

El punto 1 se localiza lo suficientemente cerca de la superficie del agua, como para suponer que no hay flujo de agua sobre éste, pues el nivel permanece constante. Con base en los conocimientos que tenemos de estática de fluidos, la presión en el punto 1 es:

11 ghp ρ=

Luego, la ecuación de Bernoulli queda:

g

vz

g

p

g

vzh

g

vz

g

p

g

vz

g

gh

22

222

22

2

2

111

2

22

2

2

11

1

++=++

++=++

ρ

ρρρ

Adicionalmente, algunas conclusiones pueden ser sacadas de la Figura. - La altura en el punto 2 es cero, pues el datum se encuentra justamente

sobre este punto. - La presión en el punto 2 también es cero, pues el orificio se encuentra

expuesto a la presión atmosférica, es decir a una presión manométrica igual a cero.

- La velocidad en el punto 1 es cero, por la suposición de estática sobre este punto.

Con estas tres aclaraciones, la ecuación puede ser modificada de esta forma:

g

vzh

g

vz

g

p

g

vzh

2

222

211

2

22

2

2

111

=+

++=++ρ



Reemplazando los términos del lado izquierdo por la altura total h desde la superficie hasta el orificio, se tiene que:

g

vh

2

2

2=

ghv 22 = (4.5)

La ecuación (4.5) es conocida como la ecuación de Torricelli, quien en 1963 encontró este caso especial de la ecuación de Bernoulli para encontrar la velocidad de salida del agua por un orificio, que resulta ser función de la gravedad y de la profundidad del agua sobre éste. Ejemplo 4.1 La simplificación de un embalse de 4 metros de profundidad se muestra en la siguiente figura. Al fondo de éste se encuentra un pequeño orificio de 100 mm de altura. Mediante la ecuación de Bernoulli, encuentre la velocidad y el caudal de salida del orificio, si la profundidad en el embalse permanece constante.

Solución Todas las simplificaciones de la ecuación de Bernoulli vistas anteriormente, aplican a este caso de orificio sumergido. Por lo tanto:

smv

v

g

vz

g

vz

g

p

g

vzh

/86.8

)4)(81.9(2

2

22

2

2

22

1

22

22

21

11

==

=

++=++ρ

Para determinar el caudal se supone que la velocidad 2 es la velocidad media del



flujo, y por lo tanto:

( )( )sLQ

smsmmQ

AvQ

/70

/07.0/86.8)05.0( 32

===

=

π

4.5.2 Orificios sumergidos Cuando el orificio se encuentra sumergido y no en caída libre como el caso anterior, ocurre un caso como el que se muestra en la Figura 4.10

Figura 4.10 Aplicación de la ecuación de Bernoulli en orificios sumergidos En este caso, las conclusiones que pueden ser sacadas son las siguientes:

- La altura en el punto 2 es diferente de cero, pues el datum es escogido arbitrariamente, en este caso, cierta distancia por debajo del nivel del suelo.

- La velocidad en el punto 1 vuelve a ser cero, por la suposición de estática sobre este punto.

- Si se supone que las líneas de corriente son rectas y paralelas, se puede aproximar la distribución de presiones a una distribución hidrostática, por lo cual, tanto la presión en el punto 1 como la del punto 2 se pueden reemplazar por su valor hidrostático.

De acuerdo con todas las aclaraciones anteriores, se tiene que:

g

vzhzh

g

vzhzh

g

vz

g

p

g

vz

g

p

2)()(

2

22

2

22211

2

22211

2

22

2

2

11

1

=+−+

++=+

++=++ρρ



hgv ∆= 22 (4.6)

La ecuación anterior demuestra que la única diferencia entre un orificio con caída libre y un orificio sumergido es que la altura con la que se calcula la velocidad en este segundo caso es la diferencia entre los dos niveles del agua, independiente del nivel de referencia que se tome.

4.5.3 Aparatos de Medición: Tubo de Pitot En algunos casos de conducción de agua, ésta circula con velocidades muy diferentes en los diversos puntos de una sección, ya sea por el rozamiento con las paredes, o con diferentes condiciones como el viento o alguna obstrucción en el flujo. Para averiguar la velocidad en un punto determinado, se utiliza un medidor de velocidad que se llama "Tubo de Pitot", el cual mide las cabezas de velocidad y presión del punto donde se coloca. Un tubo de Pitot, en su forma más simple, es un tubo en L puesto en contra del flujo como se muestra en la Figura 4.11, creando un punto de estancamiento en el flujo al ingreso de éste.

Figura 4.11 Tubo de Pitot Si no se consideran pérdidas de energía, utilizando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene que:

g

vz

g

hhg

g

vz

g

gh

2

)(

2

2

22

2

2

11

1 ++∆+

=++ρ

ρρ

ρ

Como los puntos 1 y 2 se encuentran en un mismo plano horizontal, las componentes de altura pueden ser canceladas. Por otro lado, en el punto 2 la velocidad es cero, pues se crea un estancamiento a la entrada del tubo de Pitot. Luego:



g

hg

g

v

ρρ ∆=

2

2

1

Por lo tanto:

hgv ∆= 21 (4.7)

Durante la medición en campo, se observa que a mayor velocidad de flujo, mayor es la altura ∆h que alcanza el agua al interior del tubo de Pitot, sin embargo, bajo cualquier condición de flujo se puede conocer la velocidad a cierta altura, colocando el tubo de Pitot y midiendo la altura del agua. Cuando no hay flujo de agua, es decir cuando la velocidad en el punto 1 es cero, debe cumplirse que ∆h sea cero, por lo tanto, el tubo de Pitot debe estar lleno hasta la superficie del agua, mostrando únicamente la energía debida a la presión. Como no se tuvieron en cuenta las pérdidas de energía por fricción dentro del tubo y a la entrada de éste, la ecuación 4.7 puede ser modificada para encontrar un mejor estimativo de la velocidad real de flujo, que debe ser un poco menor. Por esta razón se introduce un coeficiente k que varía entre 0.95 y 1.0 y la ecuación 4.7 queda:

hgkv ∆= 21 (4.8)

Ejemplo 4.2 Un tubo de Pitot se utiliza para medir la cantidad de agua que fluye por una tubería de 300 mm. La presión de estancamiento al poner la boca del tubo de Pitot en el centro de la tubería es de 250 mm más que la presión estática. Si la velocidad media de la tubería es 0.78 veces la velocidad del centro, y el coeficiente k del tubo de Pitot es 0.98, calcule el caudal de flujo. Solución De acuerdo con la ecuación 4.8, la velocidad en el centro de la tubería es:

smv

v

hgkv

/17.2

)25.0)(81.9(2)98.0(

2

==

∆=

Para calcular el caudal de la tubería, es necesario utilizar la velocidad media del flujo, es decir:



smv

v

vv

m

m

m

/69.1

)17.2)(78.0(

)78.0(

==

=

Por lo tanto, el caudal es:

LpssmQ

Q

AvQ m

120/12.0

)15.0)(69.1(3

2

===

=

π

4.5.4 Aparatos de Medición: Tubo Venturi Un tubo Venturi es una reducción y posterior ampliación de una tubería, conectada en la garganta y antes de ésta con dos piezómetros para medir la cabeza de altura y la cabeza de presión en los dos puntos. Las medidas de los tubos Venturi son estándar y se muestran en la Figura 4.12.

Figura 4.12 Tubo Venturi Utilizando los dos puntos mostrados en la figura, ubicados en un mismo plano horizontal, se tiene que:

g

vvh

g

pp

g

vz

g

p

g

vz

g

p

2

222

1

2

221

2

22

2

2

11

1

−==

−

++=++

ρ

ρρ

Como se debe cumplir el principio de conservación de la masa, se tiene que:



22

21

21

2

1

2

1

2

1

1

2

12

2211

2

2

AA

ghAv

g

vvA

A

h

vA

Av

VAvAQ

−=

−

=

=

==

Por lo tanto, para encontrar el Caudal en cualquier punto del recorrido del agua se tiene que:

22

21

21

2

AA

ghAAQ

−= (4.9)

Al igual que en el caso del tubo de Pitot, el flujo real se obtiene introduciendo un coeficiente Cd o factor de corrección en la ecuación anterior para considerar las pérdidas por fricción entre las secciones. Por lo general este coeficiente varía entre 0.96 y 1. Para cualquier otra configuración de reducciones, la ecuación de Bernoulli proporciona la solución de los caudales y las velocidades, haciendo un análisis similar al realizado para llegar a la ecuación 4.9. Veamos esto en un ejemplo. Ejemplo 4.3 A través del sistema de tuberías mostrado fluye gasolina, que tiene una densidad relativa de 0.82 (Para encontrar la densidad real multiplique este valor por la densidad del agua). Calcule el caudal de gasolina que pasa por la tubería utilizando dos métodos: (a) Utilizando las presiones mostradas y (b) Utilizando el manómetro diferencial.



Solución (a) Mediante las medidas de presión De acuerdo con la ecuación de Bernoulli,

g

vz

g

p

g

vz

g

p

22

22

22

21

11 ++=++

ρρ

Calculemos inicialmente los términos de presión.

gasolinadepiespieLb

pie

pu

pu

Lb

g

p

gasolinadepiespieLb

pie

pu

pu

Lb

g

p

15.28)/4.62(82.0

1

lg12

lg

10

3.56)/4.62(82.0

1

lg12

lg

20

3

2

22

22

3

2

22

21

=⋅

=

=⋅

=

ρ

ρ

Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli:

15.2422

2)4(15.28

23.56

22

21

22

1

21

1

+=

+++=++

g

v

g

v

g

vpieszpies

g

vzpies

De acuerdo con la ecuación de continuidad (Sesión 3), se pueden relacionar las velocidades 1 y 2 de la siguiente forma:



2

1

221

22

2

21

1

2211

44

=

=

=

d

dvv

dv

dv

AvAv

ππ

Reemplazando el resultado anterior en la ecuación de Bernoulli:

spiev

g

v

g

v

d

d

/8.40

15.2422

2

22

22

4

1

2

=

+=

El caudal por lo tanto, utilizando la velocidad encontrada es:

spieQ

Q

AvQ

/01.84

)12/6()8.40(

3

2

22

=

=

=

π

(b) Mediante el manómetro diferencial Mediante el uso de la lectura del manómetro se puede plantear la siguiente ecuación:

21 )4()12/7.18())12/7.18(( phgghgp petroleomercuriopetroleo =+−−++ ρρρ

Dividiendo entre el peso específico del petróleo

g

p

g

p

g

pg

g

p

pp

petroleoagua

petroleo

ρρ

ρρ

ρ

21

21

15.28

4)12/7.18()6.13()12/7.18(

=−

=−−+

Al introducir esta relación en la ecuación de Bernoulli se tiene que:

¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo.

Esta relación es igual a la encontrada mediante el otro método, por lo que el caudal utilizando el manómetro es igual al encontrado anteriormente.

4.6 ECUACIÓN DE BERNOULLI MODIFICADA PARA FLUJO DE FLUIDOS REALES



La ecuación (4.3) puede ser modificada para el caso de fluidos incompresibles reales, en donde si existen fuerzas de fricción, de la siguiente manera:

• Introduciendo un término adicional para las pérdidas en la ecuación general, el cual tiene en cuenta la energía gastada en resistencia friccional, causada por la interacción entre el fluido y la pared sólida.

• Corrigiendo el término de cabeza de velocidad por la distribución real de

velocidades en la tubería. En la ecuación original, se utiliza únicamente la velocidad media del flujo, sin embargo, las pérdidas dependen del régimen de flujo y deben ser tenidas en cuenta.

Luego de estos dos cambios, la ecuación de Bernoulli modificada para el caso de fluidos reales es:

Pérdidasg

vz

g

p

g

vz

g

p+++=++

22

2

222

2

2

111

1 αρ

αρ (4.4)

Donde α es el factor de corrección de la energía cinética.

4.7 SISTEMAS CON MÁQUINAS HIDRÁULICAS

Mediante el uso de la ecuación de Bernoulli es posible resolver problemas que incluyan máquinas hidráulicas como los sistemas de bombeo. Antes de entrar en detalle en la forma como se resuelven problemas que incluyan bombas, es necesario explicar los conceptos de línea de energía total y de energía piezométrica.

4.7.1 Línea de energía total y energía piezométrica En el flujo de fluidos reales, las pérdidas de energía juegan un papel importante para determinar por ejemplo el caudal que pasa por una tubería. Observemos la tubería de la Figura 4.13.



Figura 4.13 Líneas de energía total y piezométrica En esta figura se pueden diferenciar dos líneas diferentes:

- La línea de Gradiente Hidráulico LGH que corresponde a la línea piezométrica, es decir, a la altura que marcaría un piezómetro (que corresponde a la suma de las cabezas de presión y altura) en cada sección de la tubería.

- La línea de Energía Total LET que corresponde a la energía anterior sumada con la cabeza de velocidad que se obtiene mediante el uso de un tubo de Pitot. Si las pérdidas fueran despreciables, la LET sería horizontal, conservando de esa forma la energía a lo largo de la tubería.

Sin embargo, las pérdidas de energía son considerables, por lo que no es correcto despreciarlas. De esta forma, la diferencia entre la energía total inicial Eo y la LET corresponde a las pérdidas de energía acumuladas a lo largo del trayecto desde el punto 1. Se les llama hf pues son generalmente pérdidas por fricción con la pared de la tubería.

4.7.2 Bombas en sistemas de tuberías Cuando se tiene un sistema de tuberías tradicional como el que se muestra en la Figura 4.13, la línea de gradiente hidráulico permanece constante, alterada solamente por las pérdidas de energía. La energía se va perdiendo a medida que el flujo se mueve hacia aguas abajo. Sin embargo, la presencia de bombas afecta tanto la línea de energía total como la línea de gradiente hidráulico, ya que transforman la energía rotacional en energía potencial del fluido dentro del sistema. El efecto de la bomba por lo tanto, es añadir cabeza de presión al flujo. En la Figura 4.14 se observa el efecto de una bomba sobre la LGH y la LET en un sistema de tuberías.



Figura 4.14 Efecto de las bombas en la LGH y la LET

El agua de la figura debe ser movida desde el embalse (punto 1), hasta un punto elevado (punto 2), a través de una tubería de diámetro d. Como la energía no es suficiente para subir el agua, es necesario utilizar una bomba que le imprima energía extra al flujo. De esta forma, la bomba agrega una cabeza igual a Hp que se conoce como la cabeza de la bomba. Luego, el flujo tiene energía suficiente para perder por fricción y de esta forma transportar el agua desde el punto 1 hasta el punto 2. Con lo que hemos visto hasta el momento, podemos sacar una conclusión importante:

Para fluidos reales que fluyen a través de un sistema cualquiera, la energía disponible disminuye hacia aguas abajo. La línea de energía siempre tiene una pendiente hacia abajo, excepto en el sitio en donde haya una bomba o cualquier otra fuente de energía, que aumenta abruptamente la LGH y por lo tanto la LET.

Al incluir el efecto de una bomba sobre la ecuación de Bernoulli se tiene que:

fp hg

vz

g

p

g

vz

g

pH +++=+++

22

22

22

21

11

ρρ (4.11)

Usualmente, al ingeniero no le interesa conocer una bomba en términos de la cabeza de presión que imprime al flujo, sino en términos de la POTENCIA de la bomba, en caballos de fuerza (Hp) o en Kilovatios (KW). Por esta razón, se utiliza la siguiente expresión que relaciona la potencia de la bomba con la cabeza hidráulica que ésta aporta al flujo:



pb HQgP ρ= (4.12)

En donde: ρ: Densidad del fluido en Kg/m3 g: Aceleración de la gravedad en m/s2 Q: Caudal bombeado, en m3/s Hp: Cabeza de la bomba, en m Pb: Potencia de la bomba, en KWatts La ecuación 4.12 calcula la potencia hidráulica que debe tener la bomba, para mover un caudal Q e imprimir una cabeza Hp al flujo. Sin embargo, esta potencia no puede ser suplida exactamente por las bombas comerciales, pues éstas no trabajan nunca al 100% de su capacidad. Por esta razón, se introduce un nuevo término que es el de eficiencia, para poder calcular la potencia real de una bomba:

prb HQgP ρη1= (4.13)

La eficiencia η es una fracción entre 0 y 1, en donde 1 corresponde al 100% que es imposible de lograr. Por lo general, las bombas funcionan al 85%, y por lo tanto, η es 0.85. Ejemplo 4.4 La bomba de la figura tiene 10 Hp y toma el agua desde el embalse para llevarla hasta una salida que se encuentra 15 pies por encima de la superficie del agua. Calcule el caudal de salida, si las pérdidas en el sistema se calculan como 8v2/2g. El diámetro interno de la tubería es 4.67 pulgadas.

Solución En este caso, se trabaja con fluidos reales, y por lo tanto es necesario incluir el término de pérdidas en la ecuación de Bernoulli, al igual que el término que incluye la cabeza incluida por la bomba. De esta forma, la ecuación de Bernoulli se escribe como la ecuación 4.11:



fp hg

vz

g

p

g

vz

g

pH +++=+++

22

22

22

21

11

ρρ

Al aplicar la ecuación de Bernoulli en los puntos 1 y 2 mostrados en la figura, algunos términos de la ecuación anterior pueden ser cancelados:

- El punto 1 se encuentra sobre la superficie, y por lo tanto sujeto a presión atmosférica, es decir con presión manométrica cero. Por lo tanto se cancela ese primer término.

- Adicionalmente, suponiendo el embalse lo suficientemente grande como para que el nivel no se altere con la salida de la bocatoma, la velocidad en el punto 1 también será cero, pues no hay movimiento del fluido en la superficie.

- Como el punto 1 se localiza sobre el datum, la profundidad en el punto 1 es cero también.

- Como la descarga en el punto 2 también se encuentra expuesta a la presión atmosférica, el término de presión en 2 también se cancela, pues la presión manométrica se hace cero.

Con todas estas aclaraciones la ecuación queda:

g

v

g

vzH p 2

82

22

22

2 ++=

Las unidades de la potencia de la bomba deben ser cambiadas a unidades compatibles. Se tiene que:

sLbPiesHP /5501 ⋅=

Entonces:

2

22

741

))(4/)12/67.4((4.62

)550(10

vH

vgvA

P

gQ

PH

p

bbp

=

===πρρ

Reemplazando en Bernoulli

g

v

v 2915

741 22

2

+=

Resolviendo la ecuación cúbica se obtiene el valor de v2

sPiesv /25.152 =

Por último se calcula el caudal como:



sPiesQ

Q

AvQ

/81.1

4

)12/67.4()25.15(

3

2

2

=

=

=

π

4.8 ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MOMENTUM La tercera ecuación básica de la mecánica de fluidos, luego de la conservación de masa y la conservación de energía, es la conservación de Momentum. El momentum de un cuerpo es el producto entre su masa y la velocidad que lleva. Por esta razón, las unidades comunes son Kg m/s. De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza externa resultante de cualquier acción sobre un cuerpo, en cualquier dirección, es igual a la tasa de incremento del momento en dicha dirección. En la dirección x, esto puede ser expresado como:

)()(

)(

xxx

xx

xx

dVvdt

dvm

dt

dF

Mdt

dF

TIMF

ρ==

=

=

∑

∑

∑

Para la deducción de la ecuación se utilizará el volumen de control mostrado en la Figura 4.15. Note el filamento de corriente abcd que se encuentra dentro del volumen de control en la figura del lado izquierdo. En el tiempo cero, abcddVdmt ρ== 0

Por lo tanto, )(0 xabcdx vdVdM

tρ=

=

Figura 4.15 Conservación de Momentum



Observemos ahora el lado derecho de la Figura 4.15. Como el fluido está en movimiento a lo largo de la línea de corriente, luego de un pequeño diferencial de tiempo, la porción del volumen abcd se desplaza a una nueva posición a’b’c’d’, y se pueden diferenciar 3 porciones diferentes (Vea la figura)

- El volumen aa’bb’ que es una porción de masa que entra al volumen de control en el tiempo ∆t.

- El volumen a’b’cd que es una porción que se mantiene dentro del volumen de control

- El volumen cc’dd’ que es la porción que salió del volumen de control. Por lo tanto en el tiempo 2, '''' dcbadVdmtt ρ=∆=

Por lo tanto, )( '''' xdcbax vdVdMtt

ρ=∆=

Reemplazando este último volumen por las tres porciones individuales se tiene que:

)( '''' xddccxbbaaxabcdx vdVvdVvdVdMtt

ρρρ −+=∆=

Ya tenemos el valor de un diferencial de momentum en cada uno de los dos tiempos, entonces podemos calcular la diferencia entre los dos:

[ ]xddccxbbaattxabcdtxabcdx

xxx

vdVvdVvdVvdVdM

dMdMdMttt

''''0 )()(0

ρρρρ −+−=∆

−=∆

∆==

∆==

Si el flujo es permanente, se tiene que

ttxabcdtxabcd vdVvdV ∆== = )()( 0 ρρ

Entonces:

xddccxbbaax

xxx

vdVvdVdM

dMdMdMttt

''''

0

ρρ +−=∆

−=∆∆==

Ahora, si dividimos entre dt, para cumplir la segunda ley de Newton, tenemos que:

xddcc

xbbaax v

dt

dVv

dt

dV

dt

dM '''' ρρ +−=∆

Reemplazando los diferenciales de volumen en tiempo, por sus respectivos caudales de entrada y salida como en la parte de la derecha de la Figura 4.15, se tiene que:



xsxex vdQvdQ

dt

dM ρρ +−=∆

Si ahora integramos la ecuación anterior a lo largo de un filamento de corriente, como el que se muestra en la Figura 4.15, se obtiene la siguiente ecuación:

∫∫ ∫∑∑

∑

+−==

=+−=∆

se A

xss

A

xeexx

xxsxex

vdQvdQdFF

dFvdQvdQdt

dM

ρρ

ρρ

Suponiendo flujo compresible, en donde la densidad no varía con el tiempo, e integrando la ecuación anterior se tiene que:

xssxeex vQvQF ρρ +−=∑

Finalmente, como el flujo es permanente, Qe = Qs = Q, entonces se obtiene la ecuación final de conservación de Momentum en la dirección x:

∑ −= )( xexsx vvQF ρ (4.14)

La ecuación 4.14 puede ser extendida a las demás direcciones haciendo un análisis similar, por lo tanto:

∑∑∑

−=

−=

−=

)(

)(

)(

zezsz

yeysy

xexsx

vvQF

vvQF

vvQF

ρ

ρ

ρ

4.9 APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MOMENTUM : ÁLABES FIJOS Y MÓVILES

Para comprender el funcionamiento de algunos equipos hidráulicos, como el caso de las turbinas o las bombas, es importante conocer la acción del agua sobre álabes, tanto fijos como móviles. Una de las aplicaciones de los principios de Momentum, es precisamente la transferencia de trabajo y energía de un chorro de fluido a álabes.



4.9.1 Álabes Fijos El primero de los casos es el más sencillo y corresponde al caso de álabes fijos o placas fijas que resisten el impacto de un chorro de agua, como se observa eb la Figura 4.16. Como caso general, supongamos un álabe que se encuentra inclinado un ángulo θ con respecto a la horizontal, y un chorro que golpea contra éste.

Figura 4.16 Transferencia de Momentum Al tomar la porción del chorro mostrada como volumen de control, podemos observar que existen varias fuerzas que actúan sobre éste.

- Existe una primera fuerza de cuerpo, que es el peso del fluido dentro del volumen de control, con dirección hacia abajo.

- Cuando el chorro golpea contra el álabe, lo hace con una fuerza Fca. El álabe por su parte, de acuerdo con la tercera ley de Newton de acción y reacción, ejerce sobre el chorro una fuerza Fac, de igual magnitud pero de dirección opuesta, perpendicular a la superficie de la placa.

Cuando se trabaja con la ecuación de Momentum, aplicada sobre chorros que golpean en placas o álabes, ya sean móviles o fijas, no existen fuerzas de presión, pues el chorro se encuentra sometido a la presión atmosférica, haciendo que la presión manométrica sea cero.

Analizando primero el eje x, se tiene que:

θcos∑ = acx FF

La única fuerza que interviene en el problema de la Figura 4.16 en la dirección x es la componente horizontal de la fuerza de reacción de la placa contra el chorro. Ahora, la sumatoria de fuerzas, que ya se encontró anteriormente, debe ser igualada a la tasa de incremento de Momentum con respecto al eje x, por lo tanto:



)(cos esac

xx

vvQF

TIMF

−=

=∑ρθ

Recuerde que las velocidades son vectores, y por lo tanto debe considerarse su dirección. Utilizando la ecuación de conservación de la masa, y reemplazando la velocidad por el caudal dividido entre el área del chorro, que debe ser la misma si éste no se bifurca, se obtiene la ecuación general para la conservación de Momentum en el eje x:

−=

12

coscosA

Q

A

QQFac θρθ (4.15)

De igual forma, para el caso del eje y se tiene que:

WsenFF acy −=∑ θ

En este caso, no sólo se tiene la componente vertical de la fuerza que ejerce la placa o el álabe sobre el chorro, sino también el peso propio del chorro dentro del volumen de control. La ecuación de conservación entonces es:

=− θρθ sen

A

QQWsenFac

2

(4.16)

Note que en este caso no existe velocidad de entrada en el eje y, pues el chorro está entrando de forma horizontal, y por lo tanto la componente vertical de esa velocidad de entrada es cero. Si el volumen de control se hace muy pequeño, el término W se hace despreciable con respecto a la fuerza del chorro contra la placa, por lo tanto, en la gran mayoría de los casos, la ecuación 4.16 se convierte en:

= θρθ sen

A

QQsenFac

2

(4.17)

Ejemplo 4.5 Un chorro permanente de agua choca contra un álabe como el mostrado en la figura, inclinado 60° con respecto a la horizontal. Se midió la velocidad de incidencia del chorro con un velocímetro y éste marcó 48 m/s. El área del chorro es 0.05 m2 y esto hace que la fuerza de choque sea mucho mayor que el peso propio del agua. Calcule la fuerza resultante que ejerce el álabe contra el chorro de agua.



Solución Utilizando la ecuación de conservación de la masa se obtiene el caudal del chorro pues:

smQ

vAQ

/4.2

)05.0(483=

==

Ahora, analizando el eje x, mediante el uso de la ecuación 4.15

NF

A

Q

A

QQFF

x

xac

57600

coscos12

−=

−== θρθ

El signo negativo obtenido para x representa la dirección de la fuerza. Si el eje x es positivo hacia la derecha como lo muestra la figura, entonces la placa hace una fuerza de 57600 Newtons hacia la izquierda sobre el chorro, tratando de detenerlo. Para analizar el caso del eje y, se utiliza la ecuación 4.17, pues el peso es despreciable en este caso. Por lo tanto:

NF

senA

QQFsenF

y

yac

997662

=

== θρθ

En este caso, la fuerza en y es positiva, por lo tanto la placa tratará de “elevar” el chorro haciendo que cambie de dirección. La fuerza total ejercida por la placa es:

KNF

NF

F

FFF yx

2.115

115200

9976657600 22

22

==

+=

+=



Todo el desarrollo de las ecuaciones y el ejemplo anterior se utiliza cuando el chorro simplemente cambia su dirección al chocar contra el álabe. Pero ¿qué sucedería si el chorro se divide en dos o más partes al chocar? Ese es el caso del siguiente ejemplo, en el que se ilustra una pequeña modificación al desarrollo anterior para incluir la separación del chorro. Ejemplo 4.6 Una placa de metal está inclinada 30° con respecto a la horizontal. Un chorro de 15 cm de diámetro y 120 Lps choca contra ésta y se parte en dos: Hacia arriba salen 2/3 partes del caudal original y el resto sale hacia abajo sobre la placa. Los diámetros de los chorros de salida son 12 y 9 cm respectivamente. Calcule la fuerza que ejerce la placa sobre el chorro

Solución Calculemos inicialmente las velocidades de entrada y salida del volumen de control.

smv

AvQ

/79.6

4

)15.0(

12.021

11

==

=

π

Por conservación de masa, la suma de los caudales de salida deben ser iguales al de entrada, entonces:

sLQQQ

sLQ

QQQ

/40

/80)120(3

2

213

2

321

=−=

==

+=

Las velocidades entonces son:

smv

AvQ

/07.7

4

)12.0(

08.022

222

==

=

π



smv

AvQ

/28.6

4

)09.0(

04.023

333

==

=

π

Haciendo conservación de Momentum en x se tiene que:

)( esx

xx

vvQF

TIMF

−=

=∑ρ

Sin embargo, como el caudal no se conserva a lo largo del sistema, es necesario incluir el valor del caudal dentro del paréntesis y multiplicar cada velocidad por su correspondiente caudal. De esta forma:

)30cos)(30cos( 113322 QvQvQvF

TIMF

x

xx

−−+=

=∑ρ

Note que la velocidad en 3, a pesar de ser una salida y tener signo positivo en la ecuación de conservación de Momentum, pasa a ser negativa pues el chorro sale en contra de la dirección positiva del eje x. La fuerza total en x es:

[ ]NF

QvQF

TIMF

x

x

xx

5.542

30cos)28.6(30cos)08.0)(07.7(1000 113

−=−−=

=∑

De igual forma para el eje y:

[ ]NF

sensenF

senQvsenQvF

TIMF

y

y

y

yy

2.157

30)04.0)(28.6(30)08.0)(07.7(1000

)3030( 3322

=

−=

−=

=∑ρ

Por lo tanto, la fuerza total es:

NF

F

FFF yx

84.564

2.1575.542 22

22

=+=

+=



4.9.2 Álabes Móviles A través de álabes fijos puede haber transferencia de energía; sin embargo, no se puede efectuar ningún trabajo. Cuando a una placa o álabe se le permite movimiento, se puede efectuar trabajo a través de su desplazamiento. En los problemas que incluyen álabes móviles el volumen de control se mueve con el álabe, por lo tanto las velocidades de entrada y salida deben ser calculadas como las velocidades relativas al álabe. La ecuación de conservación de Momentum tanto en x como en y se calcula entonces como:

[ ]xentradaalabechorrosalidaalabechorrox vvvvQF∑ −−−= )()(ρ (4.18)

[ ]∑ −−−= yentradaalabechorrosalidaalabechorroy vvvvQF )()(ρ (4.19)

En donde al restarle a la velocidad del chorro, la velocidad a la que se mueve el álabe, se calcula la velocidad de entrada de fluido al volumen de control y de esta forma se puede aplicar la ecuación de conservación del Momentum al igual que en el caso de los álabes fijos. Adicionalmente, hay que notar que el caudal también es relativo al volumen de control, es decir, es el caudal calculado mediante la velocidad relativa del flujo con respecto al álabe. Esto es:

)( alabechorro vvAQ −= (4.20)

Veamos un ejemplo para entender mejor el concepto de Momentum con álabes móviles. Ejemplo 4.7 Un chorro de 3 cm2 que viene a 20 m/s choca contra una placa vertical haciéndola mover a una velocidad constante de 15 m/s. El chorro se divide en dos partes iguales con la mitad del área cada una. Calcule la fuerza que ejerce la placa sobre el chorro, y el trabajo que éste ha realizado luego de 5 segundos.



Solución El caudal del chorro se calcula con la ecuación 4.20, por lo cual:

smQ

xQ

vvAQ alabechorro

/0015.0

)1520)(103(

)(

3

4

=−=

−=−

La componente x de la fuerza es:

[ ]NF

F

x

entradasalidax

5.7

)1520()0()0015.0(1000

=−−=

Por su parte, la componente y de la fuerza trata nuevamente el tema del caudal que se bifurca en dos partes, por lo tanto el caudal debe entrar al paréntesis, siendo la mitad del caudal en cada una de las bifurcaciones.

( )

0

)0(2/103

)2/0015.0(

2/103

)2/0015.0(1000

0

4

2

4

2

33

32

2

2

=

−

−=

−

+=

−−

y

entrada

salida

y

entrada

salida

y

F

xxF

QA

QQ

A

QF ρ

Como existe simetría vertical, la fuerza en y que ejerce la porción de arriba se compensa con la porción de abajo, cancelando las fuerzas. El trabajo ejercido por la placa se calcula como la fuerza en x multiplicada por la distancia recorrida.



Como la placa se mueve a 15 m/s, luego de 5 s se ha movido 75 m. El trabajo realizado por la placa es:

mNmNW

FdW

.5.562)75)(5.7( ===

4.10 AUTO EVALUACIÓN Problema 4.1 A través de una tubería horizontal de 15 cm de diámetro fluye agua a una presión de 4,2 Kg/cm2. Suponiendo que no hay pérdidas, cuál es el caudal de flujo si en una reducción de 7,5 cm de diámetro la presión es de 1,40 Kg/cm2 ?. Cual sería el caudal si lo que fluye es un aceite con densidad relativa de 0.752? Rta: 107 L/s; 123 L/s Problema 4.2 Despreciando todas las pérdidas y los efectos de tensión superficial, deducir una ecuación para la superficie de agua r del chorro en función de y/H

Rta: 25.0)1(4

1

Hyr

+=

Problema 4.3 Un tubo de Pitot está localizado en la parte frontal de un submarino que se mueve horizontalmente en el agua de mar a 16 m de profundidad. Los dos extremos del tubo se encuentran conectados a un manómetro de mercurio, que marca una diferencia de 200 mm. Encuentre la velocidad del submarino, teniendo en cuenta que las densidades relativas del mercurio y el agua de mar son 13.6 y 1.026 respectivamente. Rta: 25 Km/h



Problema 4.4 Un tubo Venturi está formado por una tubería de 30 cm de diámetro, que luego se reduce hasta un diámetro de garganta de 15 cm y luego se expande hasta retornar al diámetro original. La sección de 15 cm está 60 cm por debajo de la sección A, situada en la tubería de 30 cm, donde la presión es de 5,25 Kg/cm2. Si entre las dos secciones anteriores se conecta un manómetro diferencial de mercurio, cual es la lectura (h) del manómetro cuando circula hacia abajo un caudal de agua de 120 Ll/s?. Supóngase que no existen pérdidas. Rta: 17.6 cm

Problema 4.5 Un tubo Venturi conduce aceite crudo como se muestra en la figura. Si la velocidad en el punto A es 2.4 m/s, cuando debe subir el fluido en el piezómetro del punto B? Rta: 1.5 m



Problema 4.6 Una tubería transporta aceite con densidad relativa de 0.8 y cambia su diámetro de 150 mm a 450 mm. Las presiones en estas dos secciones son 90 KN/m2 y 60 KN/m2 respectivamente. Si la sección más pequeña se encuentra 4 m por debajo de la otra, y el caudal es 145 L/s, determine la pérdida de energía que se produce y la dirección del flujo. Rta: 3.21mca; El flujo va desde la tubería de menor diámetro hacia la de mayor. Problema 4.7 Un recipiente suministra agua a través de una tubería horizontal de 15 cm de diámetro y 300 m de longitud. El flujo es a tubería llena y desagua en la atmósfera un caudal de 65 L/s. Cuál es la presión en la mitad de la longitud de la tubería al suponer que la única pérdida de carga es de 6,20 m cada 100 m de tubería? Rta: 9.31 m.c.a.

Problema 4.8 Se está ensayando una tubería de 30 cm de diámetro para evaluar las pérdidas de energía. Cuando el caudal de agua es de 180 L/s, la presión en el punto A de la tubería es de 28 m.c.a. Entre el punto A y el punto B, localizado aguas abajo y 3m más elevado que A, se conecta un manómetro diferencial con mercurio. La lectura manométrica es de 1 m, indicando mayor presión en A. Cuál es la pérdida de energía entre A y B ? Rta: 12.57 m

Problema 4.9 En la figura mostrada esta fluyendo agua en dirección hacia arriba. En la mitad del camino, una bomba le imprime energía al flujo para que éste logre llegar hasta el punto de arriba. Calcule la potencia hidráulica de la bomba. Rta: 8.38 KW



Problema 4.10 Un aceite (S = 0,75) es bombeado desde un depósito por encima de una colina a través de una tubería de 60 cm de diámetro, manteniendo una presión en el punto más elevado de la línea de 18 metros de cabeza de agua. La parte superior de la tubería está 75m sobre la superficie libre del depósito y el caudal de aceite bombeado es de 620 L/s. Si la pérdida de energía desde el depósito hasta la cima es de 4,7 m, ¿Qué potencia hidráulica debe suministrar la bomba al líquido? Rta: 636.2 HP

Problema 4.11 Determinar la potencia real de una bomba que funciona con una eficiencia del 80% que descarga 30 L/s a través del sistema mostrado. Las pérdidas del sistema, sin incluir las pérdidas de la bomba son 12 v2/2g y H = 16 m. Rta: 8.75 HP

Problema 4.12 Calcule la magnitud y dirección de la fuerza necesaria para que el codo horizontal de la figura se mantenga anclado cuando fluyen 2.83 m3/s de agua. Rta: 37040 N a 41º



Problema 4.13 Sin tener en cuenta las pérdidas, determinar las componentes x y y de la fuerza necesaria para mantener anclada la Ye que se muestra en la figura. La Ye se encuentra horizontal, por lo que no hay que tener en cuenta fuerzas debidas a la gravedad. Rta: Fx: -682.7 Lb; Fy: -1450.4 Lb

Problema 4.14 Encuentre la fuerza F que se requiere para mantener la placa en equilibrio cuando un chorro de aceite, con densidad relativa igual a 0.83 choca contra ella a una velocidad de 20 m/s. Rta: 0.652 KN Horizontal.



Problema 4.15 Si el álabe de la figura se mueve con velocidad constante de 40 pies/s, y el chorro que choca contra él viene a 120 pies/s con un caudal de 2 pies3/s, encuentre las componentes x y y de la fuerza que se genera. Rta: Fx: -185.8 Lb; Fy: 35.75 Lb


Sesión 5: Comportamiento de Fluidos Reales 128

5 SESIÓN 5: COMPORTAMIENTO DE FLUIDOS

REALES

5.1 INTRODUCCIÓN Hasta el momento hemos cubierto casi la totalidad del contenido esperado del módulo de mecánica de fluidos: Primero conocimos las propiedades básicas de los fluidos como fundamento conceptual del módulo. Luego pasamos a estudiar la estática de los fluidos en donde no existe movimiento y sólo cobra relevancia la presión hidrostática. Pasamos luego a estudiar la cinemática, como tema introductorio al movimiento de fluidos. La característica de esta tercera sesión es que no se consideran las fuerzas que causan en movimiento, pues eso se estudió en la sesión cuatro. Sin embargo, apenas una pequeña parte de todo el desarrollo anterior utiliza fluidos reales, en donde la viscosidad introduce resistencia al movimiento causando fuerzas de fricción y esfuerzos de tensión entre las partículas de fluidos y la pared sólida que las contiene. Al incluir la viscosidad en los análisis, se pueden distinguir dos tipos de flujo, laminar y turbulento, y se pueden generar situaciones muy diferentes a aquellas que utilizan fluidos ideales. Esta sesión por lo tanto, introduce el tema de los fluidos reales, para concluir de esta forma el módulo de mecánica de fluidos y contar con los conocimientos necesarios para ver la asignatura de Hidráulica I.

5.2 OBJETIVOS

5.2.1 Objetivo General de la Sesión Conocer la diferencia entre los fluidos reales e ideales, y todos los procesos que se desencadenan al tener en cuenta el esfuerzo cortante y la viscosidad del fluido.

5.2.2 Objetivos Específicos

• Entender la diferencia entre un fluido ideal y un fluido real y • Diferenciar los flujos laminares, turbulentos y en transición en diferentes

aplicaciones. • Reconocer el efecto que tiene un objeto sólido en el flujo de fluidos, ya sea

externo o interno.



5.3 FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO Cuando analizamos la forma como se mueve una corriente de agua, reconocemos que el flujo puede tener dos caracteres diferentes. En algunos casos, el flujo parece fluir en “paquetes” de moléculas paralelas que se mueven uniformemente en la dirección del flujo. Esto se puede observar si se abre una manguera lentamente hasta observar un chorro uniforme y estable. Este primer tipo de flujo se conoce como el Flujo Laminar . Por otro lado, si se abre más la manguera el chorro deja de ser uniforme y empieza a moverse de manera caótica. Este segundo tipo de flujo se conoce como Flujo Turbulento . Osborne Reynolds (1842 – 1912) fue el primer científico que logró describir y formular correctamente la diferenciación entre los dos tipos de flujo (1880 – 1884), mediante un experimento como el que se muestra en la Figura 5.1

Figura 5.1 Experimento de Reynolds

Construyó un tanque de almacenamiento de cabeza constante con una tubería transparente saliendo del fondo de éste, de tal forma que se pudiera observar lo que ocurría por dentro. Muy cerca de la boca de la tubería, construyó un dispositivo para inyectar tinta coloreada de tal forma que cayera exactamente en el centro de la entrada a la tubería. Controlando desde aguas abajo la velocidad de flujo, Reynolds observó que al aumentar el caudal y por lo tanto la velocidad, las partículas pasaban de moverse en líneas paralelas a moverse aleatoriamente en todas las direcciones como se muestra esquemáticamente en la Figura 5.2.



Figura 5.2 Diferencia entre flujo laminar y turbulento

A través de sus experimentos pudo determinar no sólo la diferencia entre estos dos casos extremos, sino un rango de caudales para los cuales el flujo se encuentra en un estado de transición entre el flujo laminar y el turbulento.

5.3.1 Características del flujo laminar En el flujo laminar, usualmente se observa que las partículas de fluido parecen estar atadas entre ellas formando trayectorias paralelas que se mueven a diferente velocidad por causa de la viscosidad. El esfuerzo cortante entre capas adyacentes está determinado por la ley de viscosidad de Newton, es decir:

dy

dvµτ = (5.1)

Si el flujo laminar es perturbado por la rugosidad de la pared de la tubería o por cualquier otro obstáculo, el efecto viscoso se encarga de disipar la perturbación rápidamente. Esto no ocurre en el flujo turbulento, pues las partículas de fluido no permanecen en una misma capa, sino que se mueven heterogéneamente a lo largo del flujo, chocando entre ellas y generando una mezcla rápida del flujo que no permite disipar el efecto de algún agente externo. De la ecuación 5.1 se puede concluir que si el perfil de velocidad tiene tendencia parabólica, como de hecho la tiene, su derivada dv/dy resulta ser una ecuación lineal, demostrando que en el flujo laminar el esfuerzo cortante cambia linealmente con la profundidad.

5.3.2 Características del flujo turbulento El flujo turbulento se caracteriza por contar con fuerzas inerciales asociadas con la aceleración del flujo y las fuerzas viscosas. Cuando las fuerzas viscosas dominan mucho por encima de las demás, el flujo será laminar. Cuando las fuerzas inerciales son importantes, el flujo será predominantemente turbulento. A diferencia del flujo laminar, en el flujo turbulento se evidencia la mezcla continua de partículas, como lo encontró Reynolds en sus experimentos, lo que ocasiona una rápida difusión de cualquier sustancia externa al fluido, como el caso de la tinta.



Por lo general, el flujo turbulento se caracteriza por:

- Ser irregular o aleatorio en el tiempo y el espacio - Tener difusividad y alta capacidad de mezcla - Fluctuaciones de velocidad en todas las direcciones

Más adelante demostraremos que en el flujo turbulento la distribución de velocidades es logarítmica, haciendo que la distribución de esfuerzos bajo régimen turbulento deje de ser lineal y se convierta en algo más complejo.

5.3.3 Número de Reynolds Durante 4 años, Reynolds experimentó con diferentes diámetros de tuberías y con todo tipo de fluidos, encontrando un patrón de comportamiento similar en todos los casos, generalizando su conclusión al introducir un término adimensional que lleva su nombre: El número de Reynolds o Re. Este número se define mediante la siguiente expresión:

µρdv

R = (5.1)

donde v es la velocidad media en la tubería, d el diámetro y ρ y µ la densidad y la viscosidad del fluido en movimiento. Mediante la definición del número de Reynolds es posible establecer límites de transición entre los diferentes tipos de flujo. De esta forma, cuando Re < 2000 el flujo es laminar, con números de Reynolds entre 2000 < Re < 4000 el flujo se encuentra en transición y para valores de Re >> 2000 (Mucho mayores de 2000), el flujo es netamente turbulento. De todo lo anterior es posible sacar una primera conclusión:

Cuando el número de Reynolds es bajo, predominan las fuerzas viscosas y por lo tanto el flujo es laminar . Por el contrario, cuando el número de Reynolds es grande, dominan las fuerzas inerciales y el flujo es turbulento.

5.4 INTERACCIÓN FLUIDO – PARED SÓLIDA Conocer el comportamiento de los fluidos cerca de cualquier límite sólido es de gran valor en problemas de ingeniería, pues el flujo siempre se ve afectado en cierto grado por los obstáculos y los límites sólidos que atraviesa. En un fluido real, los experimentos demuestran que la velocidad muy cerca de la pared de una tubería o de algún obstáculo es prácticamente cero, formando un



perfil de velocidades que inicia en este valor, y aumenta a medida que la pared se aleja. Por el contrario, el esfuerzo cortante en la pared es máximo, disminuyendo a medida que aumenta la velocidad. Este esfuerzo cortante por lo general no afecta a todo el flujo, sino a una porción de este en donde es significativo, es decir, cerca a la pared sólida. Esta zona se conoce como capa límite que también puede ser laminar o turbulenta. En la Figura 5.1 se puede observar cómo la presencia de la pared afecta la distribución de velocidades dentro de la capa límite.

δ

Capa límite

Direccióndel flujo

A´

A

B´

B

Pared sólida

Figura 5.3 Desarrollo de la capa límite3

Apenas el flujo encuentra la pared sólida, comienza a generar el perfil de velocidades como se muestra en la figura anterior. Cuando el flujo es turbulento, la capa límite se va generando pero llega un momento en el que se separan dos capas diferentes (cuando el flujo se encuentra totalmente desarrollado) como se observa en la Figura 5.4.

δ´

δ

Capa límite turbulenta

Subcapa laminar viscosa

Capa límite laminar

Direccióndel flujo

Pared sólida

Figura 5.4 Capa limite en flujo turbulento4

Dentro de la capa límite que ahora recibe el nombre de capa límite turbulenta, se forma una subcapa laminar viscosa, por debajo de la cual el flujo es laminar así el número de Reynolds sea altísimo! Por lo general esta subcapa es muy pequeña,

3 Imagen tomada del libro “Hidráulica de Tuberías”, J. G. Saldarriaga. 4 idem



su espesor es mucho menor que el de la capa límite (δ’ << δ) tanto que no se puede apreciar a simple vista.

5.5 FLUJOS EXTERNOS Cuando se habla de un flujo externo, uno piensa en un objeto que se encuentra inmerso dentro del fluido, y por lo tanto, el flujo es externo a la pared sólida del objeto. Mientras que, en el flujo interno es el fluido el que se encuentra por dentro del objeto, como es el caso de las tuberías, o los canales. En flujos externos se intenta determinar un patrón de flujo alrededor del objeto, mientras que en flujos internos lo que interesa es la pérdida de energía producto de los esfuerzos de fricción entre la pared y el fluido.

5.5.1 Separación La separación de un líquido en movimiento a través de un obstáculo es una diferencia importante entre el flujo de fluidos ideales y de fluidos reales. Esta diferencia es observable en la Figura 5.5.

Figura 5.5 Separación con obstáculos rectos

En un fluido ideal, las líneas de corriente serán simétricas a lo largo del obstáculo, retornando nuevamente a su condición inicial, acelerándose al encontrar el obstáculo, y desacelerando al salir de éste. Sin embargo, la intuición de cualquier ingeniero permite reconocer que un fluido real no se comportará de esa manera. Al encontrar un obstáculo, el fluido se separará de éste, generando campos de flujo asimétricos y ondas de diferentes tipos. Esta separación es muy evidente de reconocer cuando las superficies tienen esquinas puntiagudas como el caso de la Figura 5.5. Sin embargo, cuando la



superficie es ligeramente curva esto no es tan sencillo de determinar. Observemos por ejemplo el caso de la Figura 5.6

Figura 5.6 Separación en superficies curvas En este caso, no sería irrazonable pensar que un fluido real puede comportarse de manera similar a un fluido ideal, si la transición de la curva del objeto es lo suficientemente suave como para evitar separación del flujo. Lo único que podría evidenciarse es una pequeña capa límite que diferenciaría los dos tipos de fluidos. Sin embargo, si existe separación, pues el agua tiende a irse por la vía del menor esfuerzo: Una vez se ha acelerado el flujo por efecto de un obstáculo, la vía más fácil es continuar de igual forma, es decir, el agua evita retornar al estado inicial, separándose un poco del fluido. Esto permite concluir que la aceleración de fluidos reales es un proceso eficiente, mientras que la desaceleración no lo es.

5.5.2 Flujo Secundario Otra consecuencia del choque entre el fluido y un objeto es la generación de un flujo dentro del flujo, llamado flujo secundario. Este flujo ya lo visualizamos en la Figura 5.5, detrás del obstáculo. Como producto de la separación, se genera un pequeño vórtice de flujo en diferentes direcciones al flujo principal que es de origen, geometría y comportamiento complejo. Acá lo mencionamos para reconocer su existencia más no para entrar en detalle de su comportamiento.

5.6 FLUJOS INTERNOS Como se dijo anteriormente, el flujo interno se produce cuando un fluido real se mueve dentro de ductos, canales y tuberías, generando además de separación y flujo secundario como en el caso anterior, pérdidas de energía debidas a los efectos viscosos.

5.6.1 Desarrollo del Flujo Observemos el caso de la Figura 5.7, en donde se observa el inicio de una tubería desde por ejemplo un tanque de almacenamiento. Si el fluido fuera ideal, el flujo dentro de la tubería sería uniforme, en donde todas las moléculas se moverían con la misma velocidad, es decir, a la velocidad media. Sin embargo, esto no ocurre en fluidos reales, por causa de la viscosidad y de los esfuerzos con la pared de la tubería.



Figura 5.7 Desarrollo de la capa laminar

Como se observa en la figura, el flujo se mueve a la misma velocidad hasta que encuentra el borde de la tubería. A partir de ese momento empieza a formarse un perfil de flujo, en donde las moléculas de fluido cercanas a la pared de la tubería comienzan a retrasarse con respecto a las demás moléculas, por causa del esfuerzo cortante con la pared como se dijo anteriormente. En este momento comienza a formarse la capa límite. A medida que el flujo avanza, más moléculas van sintiendo el efecto de la pared y se siguen retrasando, formando paulatinamente el perfil de flujo, en donde las moléculas del centro de la tubería, por ser las más alejadas de la pared, son las que tienen la mayor velocidad, mientras que las moléculas cercanas a la pared tienen velocidades cada vez menores hasta hacerse cero en todo el borde. Cuando el flujo se estabiliza, es cuando ya se ha desarrollado completamente la capa límite (laminar o turbulenta), y se ha formado todo el perfil de flujo y éste se mantiene a lo largo de todo el tramo de tubería siguiente, a menos que exista alguna obstrucción.

5.6.2 Esfuerzo Cortante Como ya vimos en la sesión 4, los fluidos reales experimentan pérdidas de energía a lo largo de su trayectoria ocasionadas por el esfuerzo cortante que existe entre el fluido y la pared sólida. Este esfuerzo está dado por la siguiente ecuación:

dx

dp

P

A *

o =τ (5.2)

donde το : Esfuerzo en la pared de la tubería A: Área de la sección P: Perímetro de la sección Dp*/dx: Diferencia de las lecturas de piezómetros (que corresponden a la suma entre la cabeza de altura y la cabeza de presión) en dos sitios separados una distancia x entre ellos.



Lo que significa la ecuación anterior es que para conocer el esfuerzo cortante en las paredes de la tubería es necesario conocer la caída en la presión piezométrica en una determinada longitud de la misma tubería, así como su geometría. En tuberías circulares, el área y el perímetro corresponden a los de un círculo, y por esta razón la ecuación 5.2 se puede escribir como:

dx

dpro

*

2=τ (5.3)

Como el esfuerzo cortante varía linealmente con la distancia, se puede concluir que el comportamiento del esfuerzo dentro de una sección de tubería siempre va a ser como el que se muestra en la Figura 5.8

Figura 5.8 Distribución de esfuerzos en la tubería5

5.6.3 Separación En flujos internos también se generan problemas de separación que vienen acompañados de problemas de cavitación en muchos casos. Consideremos el caso de la Figura 5.9, que es un tramo de tubería ascendente de diámetro uniforme, tal como se muestra.

Figura 5.9 Separación y Cavitación

Al aplicar la ecuación de conservación de la energía, tenemos que, en cualquier punto arbitrario de la tubería, 5 Imagen tomada del libro “Hidráulica de Tuberías”, J. G. Saldarriaga.



Cteg

vh

g

pTotalEnergía =++=

2

2

ρ

Como el diámetro de la tubería es uniforme, y asumiendo que el flujo es permanente, la cabeza de velocidad será la misma en todas las secciones (diámetro uniforme) y por lo tanto, la ecuación anterior se reduce a que:

Ctehg

p =+ρ

Al analizar la simplificación anterior podemos observar que a medida que la elevación h aumenta, la presión p en el sistema disminuye. Si p llega a ser igual a la presión de vapor del fluido, el fluido tiende a hervir, liberando gases disueltos y burbujas de aire. Como a medida que el aire va subiendo la presión sigue disminuyendo, las burbujas tienden a crecer en tamaño, bloqueando eventualmente la sección de la tubería, haciendo que el flujo deje de ser permanente y por lo tanto, la descarga sea intermitente. Este fenómeno es conocido como "separación" y reduce considerablemente la eficiencia de cualquier sistema hidráulico, sobretodo aquellos que cuentan con sistemas de bombeo para imprimirle energía extra al flujo, pues será necesaria más energía para mover la misma cantidad de agua a través del sistema. Si las burbujas de aire formadas en el punto de separación son transportadas nuevamente a una región de alta presión, por ejemplo si el tramo de la tubería se vuelve horizontal y aumenta el diámetro, como vimos en la sección 4.4.2, ocurre un fenómeno que se conoce como cavitación. Las burbujas de aire que entran a ésta nueva situación, revientan en forma extremadamente abrupta o explotan, produciendo un violento golpe de martillo sobre la superficie de contacto y causan golpeteos y vibraciones al sistema, lo cual es altamente indeseable.


Bibliografía 138

6 BIBLIOGRAFÍA

6.1 TEXTOS GUÍA PARA EL DESARROLLO DE LA ASIGNATURA

- MECÁNICA DE FLUIDOS. V.L. Streeter. 9ª Edición. Mc. Graw Hill. Bogotá. 2000

- ELEMENTARY FLUID MECHANICS. R. L. Street, G. Z. Waters, J. K.

Vennard. Editorial Wiley. Séptima edición. Nueva York. 1996.

- HIDRÁULICA DE TUBERÍAS. Saldarriaga. V. Juan, Ed. Mc Graw Hill Bogotá. 1998

- CIVIL ENGINEERING HYDRAULICS. Featherstone R.E., Nalluri C. 3ª

Edición. Ed. Blackwell Science. Oxford. 1995. - MECÁNICA DE FLUIDOS. Franzini. Joseph B. 9ª Ed. Mc Graw Hill.

Madrid. 1999

6.2 TEXTOS COMPLEMENTARIOS

- MECÁNICA DE FLUIDOS. Roberson, John A. 2ª Ed. Nueva Editorial Ibero Americana. Buenos Aires. 1983.

- MECÁNICA DE FLUIDOS. Addison, Wesley. Ed. Iberoamericana. Buenos Aires 1994.

- MECÁNICA DE FLUIDOS APLICADA. Mott, Robert, L. 4ª Edición Pretince Hall. México. 1996.

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