Mecánica de Medios Continuos. Tema 6b. Análisis de vigas y...

Mecánica de Medios Continuos. Tema 6b. Análisis de vigas y pórticos en régimen plástico

ARTURO NORBERTO FONTÁN PÉREZ Figura. Simulación del futuro

puente de Messina ante cargas de viento con velocidad de flameo.

Vano principal: 3300 m.

Contenido. Tema 6b. Análisis de vigas y pórticos en régimen plástico

2

1. Vigas isostáticas. 2. Vigas simples hiperestáticas. 3. Vigas continuas. 4. Pórticos simples.

ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos

Mecánica de Medios Continuos. Tema 6b

6b.1. Vigas isostáticas

3

- Las leyes de esfuerzos se obtienen mediante las ecuaciones de la estática y son proporcionales a la carga aplicada.

- La distribución de esfuerzos no depende de la plastificación (no hay redistribución de esfuerzos). - Se denomina carga límite elástica Pe a la carga que produce el momento elástico Me en la sección más

solicitada. - Se denomina carga de rotura Pp a la carga que produce el momento plástico Mp en la sección anterior. - La viga no admite cargas superiores a Pp, pues se forma una rótula plástica (permite los giros relativos pero

soportando un momento flector Mp) y la viga se convierte en un mecanismo. - Se denomina factor de carga μ a la relación entre la carga de rotura y la carga límite elástica:

- En las vigas isostáticas el factor de carga μ coincide con el factor de forma λ:


p p

e e

P MP M

µ λ= = =

q

+

-

- -

VM

La aparición de una rótula plástica implica la formación de un mecanismo: equilibrio último. En general, la influencia del esfuerzo cortante es despreciable. De tenerse en cuenta, habría que considerar esfuerzos compatibles según los diagramas M-V.

q

-

+M

V


p

e

PP

µ =


4




6b.2. Vigas simples hiperestáticas

5

- En régimen elástico es aplicable el principio de superposición. La obtención de reacciones y leyes de esfuerzos de una viga hiperestática puede realizarse imponiendo condiciones en movimientos y aplicando las ecuaciones de la estática.

- En régimen elastoplástico no es válido el principio de superposición. La viga debe resolverse en su conjunto:

• Método 1: por imposición de movimientos y diagrama M-χ. Es un procedimiento iterativo muy tedioso que hay que repetir con cada incremento de carga.

• Método 2: por análisis del proceso de carga hasta el estado final. • Método 3: por condiciones de equilibrio. • Método 4: por el principio de los trabajos virtuales.


+

-

-

VM

+

-

-

VM

+ +q·L2

8q·L2

8χ

Me

MpA B

1 incógnita: mom. empotramiento. 1 ecuación: giros.

( )B B

B AA A

dx x dx 0ϕ ϕ χ χ= + ⋅ ⇒ ⋅ =∫ ∫0 0



6

• Método 2: por análisis del proceso de carga hasta el estado final. Se busca el equilibrio último analizando el proceso de carga: 1ª fase - Régimen elástico: la ley de flectores es proporcional a la carga aplicada. El límite se alcanza

con Me (en los empotramientos) y Pe (qe). 3ª fase – Equilibrio último: se produce cuando se alcanza simultáneamente el momento plástico Mp

en los extremos y en el centro de la viga, es decir, se forman tres rótulas plásticas.


-

M

+ +q·L2

8q·L /12q·L /242

22

e ee e 2

q L 12 MM q12 L⋅ ⋅

= ⇒ =

χ

Me

Mp

2p p

p p 2

q L 16 M2 M q

8 L⋅ ⋅

⋅ = ⇒ =

-

+ +q·L2

8

Mp

Mp

2ª fase – Régimen elastoplástico: al aumentar la carga, en los extremos de la viga se “pierde” rigidez, de modo que aunque la carga crece linealmente los momentos de empotramiento crecen cada vez más lentamente, mientras que el momento en el centro de luz crece cada vez más rápido (la diferencia entre ambos debe mantenerse constante e igual a q·L2/8).

p2p p

ee e2

16 MP M4 4L

12 MP 3 M 3L

µ λ

⋅

= = = ⋅ = ⋅⋅

por la hiperestaticidad

por la sección Factor de carga

¡Simetría!



7

• Método 2 (continuación): por análisis del proceso de carga hasta el estado final. Equilibrio último analizando el proceso de carga (de forma simplificada):

1. Se aumenta la carga desde Pe (qe). 2. Los momentos flectores crecen linealmente hasta que se

alcanza el valor Mp en los extremos de la viga con la carga q1. 3. Se forman rótulas plásticas en los extremos de la viga,

transformando la estructura en una viga isostática, que resiste un nuevo incremento de carga q2 hasta formar una tercera rótula en el centro de vano (nuevo escalón lineal).

3. Con la carga qp = q1 + q2 se forma un mecanismo, alcanzándose la carga de rotura.


M

χ

Me

Mp

2p1

p 1 2

2p2

p 1 2 22 2p

2 2

p p p

12 Mq LM q12 L

16 Mq L 8 M q q qM q 4 M L8 L qL1 1M M M M

2 2

∆∆

∆

⋅ ⋅= ⇒ =

⋅⋅ ⋅ ⇒ = + == ⇒ = ⋅ ⇒ = = − ⋅ = ⋅

q1

Mp

M /2p

q2

M /2p

q +q21

Mp

Mp



8

• Método 3: por condiciones de equilibrio. Las reacciones verticales se obtienen por simetría.

• Método 4: por el principio de los trabajos virtuales. Al ir creciendo la carga se van formando rótulas plásticas hasta que se forma un mecanismo que en el agotamiento está en equilibrio. El principio de los trabajos virtuales establece que en una estructura en equilibrio, el trabajo desarrollado por las fuerzas exteriores, cuando se impone un desplazamiento virtual compatible con los enlaces, ha de ser igual al trabajo desarrollado por las fuerzas interiores. Trabajo desarrollado por las fuerzas interiores: Trabajo desarrollado por las fuerzas exteriores: Igualando:


p

Mp Mp

Mpq ·L/2pL

q ·L/2p

( / ) pp p p p p 2

16 ML L L LM x L 2 M M q q q2 4 2 2 L

⋅= = − = + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ =

( )( )i p p p pW M M 2 M 4 Mδ θ θ θ θ= ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅

2L L 2p máx pmáx

e p x p0 0

q q LLW q dx q dx xL L 2 4

δδδ δ θ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅∫ ∫

2p p

i e p p 2

q L 16 MW W 4 M q

4 Lδ δ θ θ

⋅ ⋅= ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ =

máxL2

δ θ= ⋅

2p

e p

q LL 1 LW q 22 2 2 4

δ θ θ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

p

2·θθθ

Mp Mp

Mp

δmáx



9




6b.3. Vigas continuas

10

- Para que una estructura en análisis plástico se agote han de formarse un número suficiente de rótulas plásticas hasta convertirse en un mecanismo.

- Por cada nueva rótula plástica que se forma, el grado de hiperestaticidad se reduce en un grado. - En general, el número de rótulas plásticas necesarias para formar un mecanismo es igual al grado de

hiperestaticidad más uno (mecanismo completo o total):

- Se denomina mecanismo incompleto o parcial a aquel en el que el número de rótulas plásticas creadas es menor que el estrictamente necesario para un mecanismo total.

- Se denomina mecanismo súpercompleto a aquel en el que el número de rótulas plásticas creadas es mayor que el estrictamente necesario para un mecanismo total.

- De todos los mecanismos posibles, el colapso se producirá con el de menor carga de agotamiento.

- En el instante en que una estructura se agota se cumple: • Condición de equilibrio: se cumplen las ecuaciones de la estática. • Condición de momento plástico: en toda sección se cumple: • Condición de mecanismo: se produce el número suficiente de rótulas plásticas para que la estructura, o

alguna de sus partes, pase a ser incompleta.


Nº rótulas plásticas agotamiento o colapsoGH 1= + ⇒

pM M≤



11

- En una viga continua se considera que el colapso se produce por la formación de un mecanismo parcial (si todas las cargas son “hacia abajo”).

- Procedimiento de cálculo: se calcula la carga de agotamiento de cada uno de los mecanismos parciales posibles y la menor será la carga de agotamiento de la viga continua.

- Si un mecanismo es el de rotura, en ninguna sección se superará Mp (debe comprobarse).


Mp Mp MpMp Mp



12

Ejemplo:

Mecanismos parciales de rotura:


6 m 5 m 4 m 7 m3 m 5 m

15 kN/m 60 kN/m100 kN 70 kN

6 m

15 kN/m

5 m 4 m 7 m3 m 5 m

60 kN/m100 kN

Mp Mp Mp Mp Mp Mp

Mp Mp MpMp

70 kN

A B C D



13

Ejemplo (continuación):

La sección transversal debe resistir un momento plástico igual o superior a 60 m·kN, siendo el mecanismo de rotura y la ley de momentos flectores resultante: Los mecanismos parciales B y C se producen simultáneamente, dando lugar a un mecanismo súpercompleto. Nótese que no puede reducirse la sección transversal en los vanos extremos:


60mkN60mkN 60mkN

60mkN60mkN40.8mkN 57.1mkN

.

..

pp 2

2

p

Mq 11 66

L15 6M 46 3mkN11 66

= ⋅

⋅= =

( )( )

pp

p

2 M LP

a L a

100 2 5 2M 60mkN

2 5

⋅ ⋅=

⋅ −

⋅ ⋅ −= =

⋅

pp 2

2

p

16 Mq

L60 4M 60mkN

16

⋅=

⋅= = .

pp

p

6 Mq

55 70M 5 83mkN

6

⋅=

⋅= =

,p mínM 60mkN=

A B C D

M'p Mp M'pp pM M 60mkN′ < =



14




6b.4. Pórticos simples

15

- Para que una estructura en análisis plástico se agote han de formarse un número suficiente de rótulas plásticas hasta convertirse en un mecanismo.

- Por cada nueva rótula plástica que se forma, el grado de hiperestaticidad se reduce en un grado. - En general, el número de rótulas plásticas necesarias para formar un mecanismo es igual al grado de

hiperestaticidad más uno (mecanismo completo o total):

- Se denomina mecanismo incompleto o parcial a aquel en el que el número de rótulas plásticas creadas es menor que el estrictamente necesario para un mecanismo total.

- Se denomina mecanismo súpercompleto a aquel en el que el número de rótulas plásticas creadas es mayor que el estrictamente necesario para un mecanismo total.

- De todos los mecanismos posibles, el colapso se producirá con el de menor carga de agotamiento.

- En el instante en que una estructura se agota se cumple: • Condición de equilibrio: se cumplen las ecuaciones de la estática. • Condición de momento plástico: en toda sección se cumple: • Condición de mecanismo: se produce el número suficiente de rótulas plásticas para que la estructura, o

alguna de sus partes, pase a ser incompleta.

- Se considera que las rótulas plásticas se producen por momento flector, sin considerar ni axil ni cortante.


Nº rótulas plásticas agotamiento o colapsoGH 1= + ⇒

pM M≤



16

Ejemplo. Calcular la carga de colapso paso a paso:

Límite elástico: 1ª rótula plástica en 5:


. · · . · ee e e

MM 0 534 P L P 1 872L

= ⇒ =

. · · . · pp 1 1

MM 0 534 P L P 1 872

L= ⇒ =

PP

2

1

3 4

5

L L

1.5·L

M

χ

Me

Mp

0.352

0.125

0.125

0.318

0.489

0.489

0.534

×P·L

0.660

0.234

0.234

0.596

0.915

0.915

1

×Mp



17

Ejemplo (continuación): Los incrementos de carga por encima de P1 producen una distribución de momentos flectores diferente

(rótula en 5), válida hasta que en algún punto se forme una nueva rótula plástica:

• Para que se forme en 1:



• Para que se forme en 4: La nueva rótula plástica se formará en 4.


. · · . . . · p2 p p p 2

M0 613 P L M 0 660 M 0 340 M P 0 556

L= − ⋅ = ⋅ ⇒ =

0.613

0.262

0.262

0.392

0.477

0.477

×P·L0.768

0.281

0.281

0.666

1

1

1

×Mp

. · · . . . · p2 p p p 2

M0 262 P L M 0 234 M 0 766 M P 2 924

L= − ⋅ = ⋅ ⇒ =

. · · . . . · p2 p p p 2

M0 392 P L M 0 596 M 0 404 M P 1 031

L= − ⋅ = ⋅ ⇒ =

. · · . . . · p2 p p p 2

M0 477 P L M 0 915 M 0 085 M P 0 178

L= − ⋅ = ⋅ ⇒ =

. · p1 2

MP P 2 050

L+ =



18

Ejemplo (continuación): Los incrementos de carga por encima de P1 + P2 producen una distribución de momentos flectores

diferente (rótulas en 4 y 5), válida hasta que en algún punto se forme una nueva rótula plástica:



• Para que se forme en 3: La nueva rótula plástica se formará en 1.


. · · . . . · p3 p p p 3

M1 096 P L M 0 768 M 0 232 M P 0 212

L= − ⋅ = ⋅ ⇒ =

. · · . . . · p3 p p p 3

M0 404 P L M 0 281 M 0 719 M P 1 780

L= − ⋅ = ⋅ ⇒ =

. · · . . . · p3 p p p 3

M0 702 P L M 0 666 M 0 334 M P 0 476

L= − ⋅ = ⋅ ⇒ =

1.096

0.404

0.404

0.702

×P·L1

0.367

0.367

0.815

1

1

1

×Mp

. · p1 2 3

MP P P 2 262

L+ + =



19

Ejemplo (continuación): Los incrementos de carga por encima de P1 + P2 + P3 producen una distribución de momentos flectores

diferente (rótulas en 1, 4 y 5), válida hasta que en algún punto se forme una nueva rótula plástica:


• Para que se forme en 3: La nueva rótula plástica se formará en 3 y el pórtico se convierte en un mecanismo:


. · · . . . · p4 p p p 4

M1 500 P L M 0 367 M 0 633 M P 0 422

L= − ⋅ = ⋅ ⇒ =

. · · . . . · p3 p p p 4

M1 250 P L M 0 815 M 0 185 M P 0 148

L= − ⋅ = ⋅ ⇒ =

. · pp 1 2 3 4

MP P P P P 2 410

L= + + + =

. · pp

MP 2 410

L=

1

0.589

0.589

1

1

1

1×Mp

0.404

0.404

0.702

×P·L



20

Ejemplo. Calcular la carga de colapso por condiciones de equilibrio en el estado final: Siendo n el número de rótulas plásticas necesarias para crear un mecanismo (GH + 1), y m el número de

posibles localizaciones de las rótulas plásticas, el número de mecanismos completos posibles es: En el ejemplo (n = 4 y m = 5) habrá 5 mecanismos completos posibles, a los que hay que sumar los

parciales (en este caso, 1): La carga de rotura real será la menor de las cargas de colapso de cada uno de los mecanismos posibles.


( ),!

! !m nmC

n m n=

⋅ −

Mecanismos completos

Mecanismos parciales

1 2 3 41 2 3 51 2 4 51 3 4 52 3 4 52 3 4

{

Incluyen al mecanismo parcial D ABC

D

A B C D



21

Ejemplo (continuación): se produce un movimiento arbitrario y se aplica el principio de los trabajos virtuales. Mecanismo A: Mecanismo B:


. .i p p p p p p

pe p p p

W M M 2 M 2 M 6 M MP 12

W P 1 5 L P L 0 5 P L L

δ θ θ θ θ θ

δ θ θ θ

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

θ 2·θ

θ

θ

θ

Mp

Mp

Mp

Mp

Pp

Pp

L L

1.5·L

Pp

θ

θ

θ

Mp

Mp

Mp

Pp

θ

Mp

L L

1.5·L.

.i p p p p p p

pe p

W M M M M 4 M MP 2 667

W P 1 5 L L

δ θ θ θ θ θ

δ θ

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅= ⋅ ⋅ ⋅

e pW 0 Pδ < ⇒ ↑↑↑



22

Ejemplo (continuación): se produce un movimiento arbitrario y se aplica el principio de los trabajos virtuales. Mecanismo C: Mecanismo D:

El mecanismo de rotura o agotamiento es: mecanismo C. Debe comprobarse que:


.. .

i p p p p p pp

e p p p

W M M 2 M 2 M 6 M MP 2 4

W P 1 5 L P L 2 5 P L L

δ θ θ θ θ θ

δ θ θ θ

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

i p p p p pp

e p

W M M 2 M 4 M MP 4

W P L L

δ θ θ θ θ

δ θ

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅= ⋅ ⋅

θ θ

θ

Mp

Mp

2·θ

Mp

Mp

Pp

Ppθ θ

L L

1.5·L

2 pM M<

Ppθ θ

2·θMp

Mp Mp

L L

1.5·L

Pp



23

Ejemplo: Calcular la carga de colapso por condiciones de equilibrio en el estado final: El problema se puede reducir a estudiar dos mecanismos completos y uno parcial.


2·PP

Mp Mp

2·Mp

L 1.5·L 1.5·L L

3·L

1 5

2 3 4



24

Ejemplo (continuación): Mecanismo A:


( ) ( ).

i p p p p p pp

e p p p

W M 2 M M M 12 M M3P2 LW P 3 L 2 P 2 5 L 8 P L

δ θ θ α θ α θ θ

δ θ θ θ

= ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

.

a b 5 L3 L c 3 L

2 5 L a3 L c 3 L

L b25a L7

10b L79c L7

3 L c73

θ α

α θ

+ = ⋅⋅ + ⋅

=⋅

⋅ + ⋅=

= ⋅

= ⋅

= ⋅

⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅

A, B, C: centros instantáneos de rotación.

2·PP

Mp Mp

2·Mp

L 1.5·L 1.5·L L

3·L

θθ

α α

θ

A

C

B

θ+α

θ+α

a b

c


..

2 5 L L 71 5 L 3θ θα θ⋅ ⋅ + ⋅

= = ⋅⋅


25

Ejemplo (continuación): Mecanismo B:


( ) ( )i p p p p p pp

e p

16W M M M M M M16P39 LW P 3 L

δ θ θ α θ α θ θ

δ θ

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅= ⋅ ⋅ ⋅


2 L 23 L 3

θα θ⋅ ⋅= = ⋅

⋅

2·PP

Mp Mp

2·Mp

L 1.5·L 1.5·L L

3·L

θ θ

θ

α

α

θ


26

Ejemplo (continuación): Mecanismo C:


.i p p p p p

pe p

W M 2 M 2 M 6 M MP 2

W 2 P 1 5 L L

δ θ θ θ θ

δ θ

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2·PP

Mp Mp

2·Mp

L 1.5·L 1.5·L L

3·L

θ θ



27

Ejemplo: Calcular la carga de colapso por condiciones de equilibrio en el estado final:



P2·P

L

L

2·L

L

2·Mp

Mp

Mp

1

2 3 4

5


28

Ejemplo (continuación):



θ

θ

αMp

Mp

Pp

L

L

2·L

L

Mp

2·Pp

α θ2·Mp

2·Pp α θPp

L

L

2·L

L

Mp

2·Pp

α θ2·Mp

2·Pp αMp

θ α θ

θθ

αMp

Mp

2·Mp

Mp

Pp

2·Pp

L

L

2·L

α

L

θθ

αMp

Mp

Mp

Pp

L

L

2·L

L

Mp

2·Pp

e pW 0 Pδ < ⇒ ↑↑↑

pp

MP 3

L= ⋅

pp

M9P4 L

= ⋅pp

M11P6 L

= ⋅

Mecánica de Medios Continuos. Tema 6b. Análisis de vigas y...

Documents

Transcript of Mecánica de Medios Continuos. Tema 6b. Análisis de vigas y...