Fluidos- Rodriguez Hernandez- Problemas de Mecánica de Fluidos y Máquinas Hidráulicas
Mecánica de Máquinas
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Mecánica de Máquinas
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido II
Grado en Ingeniería Eléctrica
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido22
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido
2.7 Movimiento de un sólido rígido con un punto fijo
2.7.1 Ángulos de Euler (Recordatorio)
2.8 Movimiento giroscópico
2.9 Movimiento de un sólido rígido libre de par
2.10 Lecturas recomendadas
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido33
ECUACIONES DE EULER
Caso general: el sólido rígido y el sistema de referencia móvil no tienen que ser
solidarios obligatoriamente
2.7 Movimiento de un sólido rígido con un punto fijo
o
oO o
dLI I M
dt
• Velocidad angular del SR:
• derivada de vista desde el SRef móvil: • Velocidad angular del SRef móvil:
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido44
2.7 Movimiento de un sólido rígido con un punto fijo
ECUACIONES DE EULER
En el caso en que los ejes del sistema de referencia móvil coincidan
con los ejes principales de inercia del Sólido Rígido la expresión se
transforma en la ecuaciones de Euler:
Si
ox x x z y z y
oy y y x z x z
oz z z y x y x
M I I I
M I I I
M I I I
ox x x z z y y y z
oy y y x x z z z x
oz z z y y x x x y
M I I I
M I I I
M I I I
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido55
Un Sólido Rígido libre en el espacio posee 6 grados de libertad.
Para posicionarlo es necesario conocer los valores de 6 parámetros
independientes :
▪ Coordenadas de un punto respecto del sistema de referencia fijo: (Xo, Yo,Zo)
▪ Tres ángulos de referencia.
Si el Sólido Rígido tiene un punto fijo, tomamos este punto como
origen del sistema de referencia.
Los grados de libertad se reducen a los 3 ángulos de Euler:
▪ PRECESIÓN Y
▪ NUTACIÓN q
▪ ROTACIÓN PROPIA r
2.7.1 Ángulos de Euler
ΨΨ
ΨΨ
z'
y´
Ѳ
Ѳ ΨΨ
z´´ z'
y´
Ѳ
Ѳ
x'
y´´
x´´
ρ
ρ
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido66
En el movimiento del sólido alrededor del punto fijo, el valor
de los ángulos de Euler irá variando con el tiempo.
Luego, los ángulos de Euler son funciones del tiempo y por lo
tanto derivables.
La derivada de cada uno de estos ángulos dará lugar a una
velocidad de rotación.
Así la rotación instantánea ω del cuerpo es, en cada
instante, la resultante de las tres rotaciones:
2.7.1 Ángulos de Euler
q r
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido77
2.7.1 Ángulos de Euler
Proyección de los vectores
velocidad sobre los ejes x,y, z, del S.R.M
x
y
z
cos sen sen
sen sen cos
cos
q r q r
q r q r
q r
q r
y1
x1
z1
y
x
z
Yr
q
u
q
r
vel. de precesión
vel. de nutación
vel. de rotaciónpropia
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido88
GIRÓSCOPO Un giróscopo consiste , básicamente, en
un rotor que puede girar libremente
alrededor de su eje geométrico.
Durante el movimiento es posible que
asuma cualquier orientación, pero su
cdm debe permanecer fijo.
Se trata de un sólido de revolución por
lo que si z es el eje de revolución :
2.8 Movimiento giroscópico
x y zI I I I
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido99
2.8 Movimiento giroscópico
Posición arbitrariaO1 y O situados en el cdm
S.R. Fijo: (O1, X1, Y1, Z1)
S.R. móvil: (O, X, Y, Z)
▪ XYZ son Ejes principales de
inercia del giróscopo
▪ Estos ejes siguen la precesión Ψy la nutación q del giróscopo,pero no su rotación propia (ρ=0).(Más convenientes que los ejes
montados sobre el giróscopo)
▪ La velocidad angular del sólidorígido (SR) es diferente de lavelocidad angular del SR móvil (SRM)
z
x
y
z1
y1
q
Ψρ
q
r
SRM SR
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido1010
2.8 Movimiento giroscópico
x
y
z
cos sen sen
sen sen cos
cos
q r q r
q r q r
q r
Velocidad angular del Sólido Rígido Velocidad angular del Sistema
de Referencia Móvil
x
y
z
sen
cos
q
q
q r
x
y
z
sen
cos
q
q
q
Ψ
0r
Si examinamos al Giróscopo en el instante de tiempo en el que el ángulo de rotación propia es cero:
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido1111
2
ox z
oy z
oz z
M I sen cos I sen cos
M I sen 2 cos I cos
M I cos sen
q q q q q r
q q q q q r
r q q q
Las ecuaciones de Euler en función de los ángulos de Euler
2.8 Movimiento giroscópico
ox x z z y y z
oy y x z z z x
oz z z y x x y
M I I I
M I I I
M I I I
Sustituyendo
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido1212
Ángulo de nutación ( ), velocidad de precesión ( ) y
velocidad de rotación propia ( ) constantes.
Inclinación del eje de giro z
Velocidad a la que el SR Móvil gira respecto
al eje Z1
q r
MOVIMIENTO EN PRECESIÓN PERMANENTE (ejemplo: peonza)
2.8 Movimiento giroscópico
Solución de las ecuaciones anteriores en casos particulares:
q
2
x z
y
z
M I sen cos I sen cos
M 0
M 0
q q q q r
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido1313
2.8 Movimiento giroscópico
Caso particular: Precesión de una peonza
2
x zM m g OG sen I sen cos I sen cos q q q q q r
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido1414
2.8 Movimiento giroscópico
OO
dLM 0
dt
90º:q Si además:
O G
Cuando el volante no gira el extremo libre deleje cae debido a la gravedad. Si el volantegira, se produce un movimiento circularuniforme del eje en un plano horizontal,combinado con la rotación del volantealrededor del eje. Éste movimiento del eje sedenomina precesión.
Movimiento de precesión y
rotación uniforme
x z
y
z
M I
M 0
M 0
r
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido1515
z1, y
z, y1
O
x1
G
W m g
r
OO
dLM 0
dt
oL constante
o z z z zL L I I r
OL
x
2.8 Movimiento giroscópico
90º:q En el caso: Contrapeso: sitúa G en O
El eje apunta siempre en la misma
dirección y no hay precesión
O G
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido1616
De la misma forma que el
concepto “Fuerza de Inercia” en
dinámica de la partícula
representa la resistencia a variar
la velocidad de la misma, en el
caso del movimiento giroscópico,aparece el concepto de
“Momento Giroscópico” que
representa la resistencia a variar
la orientación del eje del
giróscopo.
2.8 Movimiento giroscópico
Wheel momentum Walter Lewinhttps://www.youtube.com/watch?v=NeXIV-wMVUk
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido1717
Conviene destacar dos características importantes del efecto
giroscópico:
o La acción de una fuerza sobre el sólido produce un
desplazamiento del eje del cuerpo en dirección perpendicular a ,
en lugar de según la dirección de . En efecto, el movimiento del
eje lleva la dirección de:
o La acción de y por consiguiente produce una velocidad de precesión constante, en lugar de una aceleración constante. Si cesa la acción de , cesa inmediatamente la velocidad de precesión.
F
F
F
oM r F
2.8 Movimiento giroscópico
FoM
oM
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido1818
Este fenómeno es la base de numerosas aplicaciones
practicas:
o Deriva de Proyectiles. Para estabilizar el movimiento de un
proyectil, se le comunica una rotación entorno a su eje de
revolución mediante las estrías del cañón. Las fuerzas externas
que tratan de desviar al proyectil de su trayectoria se ven
compensadas por el efecto giroscópico.
2.8 Movimiento giroscópico
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido1919
o Estabilizadores de ruta. Se coloca un giróscopo de forma que
su eje coincida con el eje de la nave a estabilizar (Avión,
Torpedo, Satélite, etc.)
2.8 Movimiento giroscópico
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido2020
o Brújula Giroscópica. Consiste en un giróscopo móvil alrededor
del centro de gravedad del vehículo, de modo que el eje se
conserve en posición horizontal y pueda girar alrededor del eje
vertical.
2.8 Movimiento giroscópico
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido2121
o Sólido Rígido cuya única fuerza externa es causada por la
gravitación
.
2.9 Movimiento del sólido rígido libre de par
G
z
x
z1y
GM 0
GG
dLM 0
dt
GL constante
q
W m g
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido2222
G
z
x
z1y
G x x y y z zL I i I j I k
En un instante determinado, se considera
que el SRF está orientado de tal manera
que el eje z1 se encuentra a lo largo de GL
GL
q
G G GL L sen j L cos k q q
G G x x y y z zL sen j L cos k I i I j I kq q W m g
2.9 Movimiento del sólido rígido libre de par
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido2323
G
z
x
z1y
GL
q
x
y
z
sen
cos
q
q
q r
z
G
I i I sen j I cos k
L sen j cos k
q q q r
q q
G
z G
Componente i 0
Componente j I L
Componente k I cos L cos
q
q r q
W m g
2.9 Movimiento del sólido rígido libre de par
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido2424
Componente i 0 q
z GComponente k I cos L cos q r q
GComponente j I L
El ángulo de nutación q permanece constante en el tiempo, por lo que
la velocidad de nutación es nula.
constanteq
GL
I
La velocidad de precesión es constante
zG
z
I IL cos
I I
r q
G
z x
z1y
r
2.9 Movimiento del sólido rígido libre de par
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido2525
Es el movimiento típico de las naves
espaciales y de los proyectiles que son
simétricos con respecto a OZ y durante su
vuelo están animados de rotación propia y
precesión uniforme.
El eje de precesión coincide con el vector
momento cinético.
MOVIMIENTO DE ROTACIÓN Y PRECESIÓN UNIFORME
Este movimiento se denomina:
2.9 Movimiento del sólido rígido libre de par
G
z x
z1y
r
Tema 2. Dinámica del Sólido Rígido2626
2.10 Lecturas recomendadas
Lecturas recomendadas
• Shames, I.H., Mecánica para Ingenieros. Dinámica, Prentice Hall,(1999)
Capítulo 18 (Dinámica del Movimiento de un Sólido Rígido)
• Artés, M., Mecánica, Universidad Nacional de Educación a Distancia,Madrid (2003)
Capítulo 11 (Dinámica de los Sistemas. Teoremas Fundamentales)
Capítulo 12 (dinámica del sólido con un eje fijo)
• Dinámica. Mecánica para ingenieros- A. Bedford y W. Fowler,Addison-Wesley
Capítulo 9
• Vázquez, M., López, E., Mecánica para Ingenieros, Editorial Noelas,Madrid (1998)
Capítulo 13 (Cinética de Sistemas)