MIRTA VARGAS DE ARGENTINA MEDIA 9 CALZADA Cat B 2° grupo 1ª Actividad
MED2_EA_U2_MAP
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Instrucciones: lee y resuelve los siguientes ejercicios tomando en cuenta lo aprendido durante la unidad.
1. Escribe un ejemplo de sistema no lineal de ecuaciones diferenciales. Justifica tu respuesta.Solucin:
El sistema no es lineal pues las variables involucradas no estn relacionadas de manera lineal; vemos como aparecen elevadas a una potencia o multiplicndose.
2. Para el siguiente sistema calcula la matriz jacobiana:
Solucin:Tenemos que por tanto:
3. Linealiza el siguiente sistema alrededor del punto (0,0):
Solucin:Calculamos primero su matriz jacobiana teniendo en cuenta que
Evaluamos la matriz jacobiana en el punto (0,0):
Por tanto el sistema linealizado es en forma matricial:
4. Un sistema de especies en competencia tiene las siguientes cerclinas:
Indica cules son las cerclinas y los puntos crticos del sistema.Solucin:Las cerclinas son los dos ejes y las dos rectas, las cuales segn los puntos por los que pasan seran:
Los puntos crticos es donde se intersectan las cerclinas, es decir, las y-cerclonas con las x-cerclinas. Para los ejes tenemos el punto , para la interseccin de las dos rectas que calculamos el punto , para la interseccin de la y-cerclina que calculamos con el eje x el punto y para la interseccin de la x-cerclona con el eje y el punto . 5. Si la matriz jacobiana de un sistema es
Clasifica los puntos crticos para el sistema linealizado.Solucin:Tenemos entonces el sistema linealizado:
Si calculamos el determinante de la matriz de coeficientes tenemos:
Por tanto, para el sistema linealizado, tenemos un nico punto que es el origen.Calculamos ahora los valores propios del sistema linealizado:
Como los valores propios son reales iguales y de signo opuesto, entonces el punto crtico es un punto de silla y las trayectorias de las soluciones que convergen o divergen del punto son tangentes a los vectores propios correspondientes en este punto.
6. Encuentra y esboza las cerclinas (incluyendo puntos crticos) del siguiente sistema lineal:
Solucin:Podemos escribir el sistema de manera mas simple como:
Calculamos primero los puntos crticos:
Para si entonces o bien por lo que tenemos los puntos . Luego para si entonces o bien tenemos el punto Por ltimo tenemos:
Multiplicamos la segunda por -1 y sumamos a la primera:
Entonces:
Por lo tanto los puntos crticos son Las cerclinas son tomando en cuenta y :
Graficando las cerclinas y los puntos crticos se tienen:
El plano fase del sistema es: