Medicin de altura de base accesible
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Adela Fernández Gil Natalia Marín Guerrero Nahuel Montoya Cabrera María José Navarro Vicente Ángel Prieto de la Cruz 4º E.S.O. B 1
Transcript of Medicin de altura de base accesible
Adela Fernández Gil Natalia Marín Guerrero
Nahuel Montoya Cabrera María José Navarro Vicente
Ángel Prieto de la Cruz
4º E.S.O. B
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ÍNDICE
Introducción............................................................pág. 3 Materiales empleados..................................................pág. 4 Medición de altura de base accesible................. ...............pág. 5
- Por semejanza..................................................pág. 6 - Por tangencia...................................................pág. 8
1ª medición................................................pág. 9
2ª medición................................................pág. 10 Medición de altura de base inaccesible...............................pág.11
1ª medición........................................................pág. 12
2ªmedición.........................................................pág. 14
Medición de altura de base accesible Por los ángulos de incidencia y reflexión.............................pág. 16
- Por semejanza..................................................pág. 18 - Por tangencia...................................................pág. 19
Componentes del grupo.................................................pág. 20 Conclusión.......................................................... ....pág. 21
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INTRODUCCIÓN
Éste es un trabajo de trigonometría, realizado por los alumnos de 4ºB: Natalia, Adela, Ángel, Nahuel y María José.
En él, hemos hallado la altura de un foco próximo al Mare Nostrum, por medio de dos sistemas diferentes: por semejanza y por tangente; y también, la altura a la que se encuentra el pararrayos del instituto, por doble tangencia. Después de tener conocimientos sobre lo que íbamos a hacer, salimos a medir lo necesario para poder realizar los cálculos.
El trabajo es extenso ya que además de los cálculos, hemos incluido explicaciones, fotos, dibujos, materiales empleados y una conclusión final, todo esto para que sea más fácil de comprender.
Por lo tanto, cada apartado constará de su propio esquema, de las fórmulas que nos llevarán a obtener el resultado final y además iremos explicando detalladamente cada paso. Finalmente, daremos con un resultado final, que quizá no coincida con las medidas reales, ya que posiblemente nuestras mediciones no sean del todo exactas, pero pensamos que se aproximarán. Y para que esta aproximación sea bastante alta, hemos redondeado con 6 números decimales y hemos realizado más de una vez dos mediciones (con sus respectivas medias).
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MATERIALES EMPLEADOS
Usados para medición de alturas de base accesible: - Gnomon especial -Metro grande (de 20 metros) -Metro pequeño (de 5 metros) -Tizas
Usados para la medición de alturas de base inaccesible: - Teodolito - Los 2 metros - Tizas
Usados para la medición de alturas de base accesible por los ángulos de incidencia y reflexión: - Teodolito casero - Espejo - Metro pequeño
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MEDICIÓN DE ALTURA DE BASE ACCESIBLE
El objetivo que se nos ha encomendado es el de hallar la altura del foco que hay próximo al Mare Nostrum por dos métodos: Por semejanza y por tangencia.
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►Por semejanza:
Mediante semejanza hacen falta dos triángulos, por esta razón, utilizamos un gnomon y su respectiva sombra para que actúen como altura y base de un triángulo semejante a otro cuya altura es la del foco y la base, su sombra.
El gnomon debe formar un ángulo recto con el suelo, por lo que tuvimos que usar un nivel.
Marcamos la distancia de las sombras al mismo instante y con la cinta métrica, medimos la altura del gnomon, la longitud que proyectaba su sombra y la de la sombra del foco.
-Altura del gnomon: 3.23m -Sombra del gnomon: 5.22m -Sombra del foco: 13.15m
Primero, hemos de hallar la razón de semejanza. Para esto, debemos conocer la medida de un lado en ambos triángulos. En este caso conocemos las dos bases (sombras).
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519.222.515.13
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===mm
blongblongr
Una vez hallada la razón de semejanza, multiplicamos la altura del gnomon por esa razón, obteniendo así la altura del foco:
h.foco= r · h.gnomon h.foco= 2.519 · 3.23m = 8.136m - La altura del foco por el método de semejanza es de 8,136 m.
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►Por tangencia:
Mediante tangencia, tuvimos que usar un teodolito. Como las distancias son bastante variables al medir con ángulos, hicimos dos mediciones, una desde el ojo de Natalia y la otra desde el ojo de Ángel.
Elegimos como punto de referencia uno cualquiera, ya que esto no influye para nada. Medimos la distancia desde la persona hasta el foco con la cinta métrica, y también la altura desde el ojo de cada persona (Natalia y Ángel) hasta el suelo. A partir de ahí, ya podíamos hacer cálculos.
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1ª MEDICIÓN:
Para averiguar la altura del foco mediante tangencia, necesitamos conocer la distancia que hay desde el ojo de Natalia (que es el que usamos como punto de referencia en nuestra primera medición) hasta el foco, la altura del ojo de Natalia y el ángulo que hay al mirar desde el punto de vista hasta el punto más alto del foco.
Nos salió un ángulo de 116º, puesto que cuando miramos al frente marca 90º, es decir, cuando nuestra inclinación es 0º éste marca 90º. Entonces hay que restarle 90º al número que nos haya salido; así dará nuestra inclinación real.
Con los datos, sustituimos en la fórmula para hallar la tangente.
contiguocatetoopuestocateto
=)tan(α
mx78.13
)26tan( =
Despejamos x, es decir, la distancia desde el ojo de Natalia al foco.
mx 78.13·)26tan(=
mx 721.6= Para terminar hay que sumarle a esa medida obtenida la altura que hay desde el suelo hasta el ojo de Natalia.
mmmfocoAltura 170955.8720955.645.1 =+=
En nuestra primera medición, el foco tendrá una altura de 8.170955m.
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2ª MEDICIÓN:
Ahora, vamos a hallar la altura del foco pero esta vez desde el ojo de Ángel, siguiendo el mismo procedimiento anterior.
Con los nuevos datos, sustituimos en la fórmula:
contiguocatetoopuestocateto
=)tan(α
mx78.13
)25tan( =
Despejamos x, es decir, la distancia entre el ojo de Ángel al foco.
mxmx
426.678.13·)25tan(
==
Para terminar, hay que sumarle a esa medida la distancia desde el suelo hasta el
ojo de Ángel.
mmmfocoAltura 976.755.1426.6 =+=
En nuestra segunda medición, el foco tendrá una altura de 7.976m. Media de los resultados de la altura del foco por el método de tangencias:
mmmalturaalturaMedia 074.82
976.7171.82
21=
+=
+=
La media entre los resultados de la altura del foco por el método de tangencias es de 8.074m.
Media de la altura del foco hallada por semejanza y de la media de las dos alturas por tangencia:
mmmalturaalturaMedia 105.82
136.8074.82
21=
+=
+=
La altura del foco será aproximadamente de unos 8.105m.
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MEDICIÓN DE ALTURA DE BASE INACCESIBLE Nuestro siguiente objetivo es medir la distancia que hay del pararrayos del instituto al suelo. Para ello, utilizamos el sistema de doble tangencia, que relaciona dos ángulos mediante un sistema de dos incógnitas.
Seguimos los siguientes pasos:
1º Natalia y Ángel observaron el pararrayos desde un punto notablemente cercano, y después desde otro más lejano, intentando que la distancia entre ambos sea considerable.
2º Medimos los ángulos con el teodolito y la distancia entre ambas posiciones con la cinta métrica, puesto que la altura del suelo al ojo de Natalia y de Ángel ya la conocíamos.
Para obtener medidas más reales, hemos realizado dos mediciones, desde puntos distintos.
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1ª MEDICIÓN:
-Ángulo desde un punto “P” hasta la altura del pararrayos: (122º - 90º = 32º). -Distancia del punto “P” al punto “F”: 5.96m -Ángulo desde un punto “F” hasta la altura del pararrayos: (116º - 90º = 26º) -Altura desde el suelo hasta el ojo de Natalia: 1.45m
Ahora operamos con un sistema de ecuaciones de dos incógnitas:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=
)96.5()26tan(
)32tan(
myx
yx
Utilizamos el método de sustitución y nos queda:
)32tan(·yx =
Sustituimos en la otra ecuación y despejamos “y”:
12
)96.5()32tan(·)26tan(
myy+
=
[ ] mmmy
myyymy
ymy
197.21137137.0
906886.2)26tan()32tan(
)26tan(·96.5)26tan(·96.5)26tan(·)32tan(·)32tan(·)26tan(·96.5)26tan(·
)32tan(·)96.5(·)26tan(
==−
=
=−=+
=+
La distancia entre el punto “P” y es de 21.196949m.
Ahora sustituimos “y” en cualquiera de las otras ecuaciones:
mmxxy
yx
245.135497.0·197.21)32·tan(
)32tan(
===
=
La altura desde el ojo de Natalia hasta el pararrayos es de 13.245m. Ahora
hemos de sumarle la altura desde el suelo hasta el ojo de Natalia para calcular a la altura que se encuentra el pararrayos respecto al suelo.
mmmAltura 695.1445.1245.13 =+=
El pararrayos se encuentra a una altura de 14.695m.
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2ª MEDICIÓN: -Ángulo desde un punto “P” hasta la altura del pararrayos: (118º-90º=28º) -Distancia del punto “P” al punto “F”: 20m -Ángulo desde un punto “F” hasta la altura del pararrayos: (107º-90º=17º) -Altura desde el suelo hasta el ojo de Ángel: 1.55m
Ahora operamos con un sistema de ecuaciones de dos incógnitas:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=
)20()17tan(
)28tan(
myx
yx
Utilizamos el método de sustitución y nos queda:
)28tan(·yx = Sustituimos en la otra ecuación y despejamos “y”:
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)20()28tan(·)17tan(
myy+
=
[ ] mmmy
myyymy
ymy
056.27225999.0
114614.6)17tan()28tan(
)17tan(·20)17tan(·20)17tan(·)28tan(·)28tan(·)17tan(·20)17tan(·
)28tan(·)20(·)17tan(
==−
=
=−=+
=+
La distancia entre el punto “P” y la base del pararrayos es de 27.056m.
Ahora sustituimos “y” en cualquiera de las otras ecuaciones:
mmxxy
yx
743.12471.0·056.27)28tan(.
)28tan(
===
=
La altura desde el ojo de Ángel hasta el pararrayos es de 12.743 Ahora hemos de
sumarle la altura desde el suelo hasta el ojo de Ángel para calcular a la altura que se encuentra el pararrayos respecto al suelo.
mmmAltura 293.1455.1743.12 =+=
El pararrayos se encuentra a una altura de 14.293m. MEDIA DE LOS RESULTADOS DE LA ALTURA DEL PARARRAYOS POR EL
MÉTODO DE DOBLE TANGENCIA:
mmmalturaalturaMedia 494.142
293.14695.142
21=
+=
+=
La altura del pararrayos será aproximadamente de unos 14.494m.
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MEDICIÓN DE ALTURA DE BASE ACCESIBLE POR LOS ÁNGULOS DE INCIDENCIA Y REFLEXIÓN (MÉTODO DE EUCLIDES).
Vamos a hallar la altura de una puerta por los ángulos de incidencia y de
reflexión formados al mirar la altura de la puerta mediante un espejo colocado en el suelo.
Para ello hicimos un teodolito casero, que nos sirvió para medir el ángulo de incidencia. Sabemos que el ángulo de incidencia y de reflexión es el mismo.
Natalia miró hacia abajo con un ángulo de 164º (164º-90º=74º). Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión y sabiendo
que la distancia del espejo a la puerta es de 57cm averiguamos la distancia entre Natalia y el espejo por tangencias:
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cmcmx
cmxxcm
578.41)74tan(
145145)74tan(.
145)74tan(
==
=
=
Una vez hallada la distancia entre Natalia y el espejo puedo hallar la altura de la puerta por dos métodos: Por semejanza y por tangencias.
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►Por semejanza: En primer lugar hallamos la razón de semejanza dividiendo el lado mayor entre el menor de dos lados conocidos en los dos triángulos rectángulos semejantes.
cmcm
cmmenorladomayorlador 371.1
578.4157
===
Una vez hallada la razón, multiplico la altura del pequeño por la razón para obtener la altura del grande:
cmcmcmrpuertaladeAltura 795.198145·371.1145· ===
La altura de la puerta por el método de semejanza es de 198.795cm.
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►Por tangencia: Para hallar la altura de la puerta por el método de tangencia sólo necesitamos saber la distancia entre el espejo y la puerta y el ángulo de reflexión (que es igual al de incidencia).
cmxcmcmx
783.198)74tan(·5757
)74tan(
==
=
La altura de la puerta por el método de tangencia es 198.783cm. La única variación del resultado entre semejanza y tangencia ha sido por el redondeo, ya que es mínima. Ambas se redondean a 198.723cm.
La medida real de la puerta es de 210cm, puesto que era una medida que se podía medir con cinta métrica. La diferencia entre el resultado nuestro y el real apenas se diferencian en 12cm.
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COMPONENTES DEL GRUPO
Los alumnos que han llevado a cabo este trabajo son:
- Adela Fernández Gil - Natalia Marín Guerrero - Nahuel Montoya Cabrera - María José Navarro Vicente - Ángel Prieto de la Cruz
Hemos sabido organizarnos bastante bien, dividiendo las tareas entre todos. Cada uno se ha encargado de un tema en concreto (escribir la introducción, materiales, conclusión, cálculos, dibujos en el álgebra...), y después hemos recopilado todo y lo hemos enlazado de la mejor forma posible.
Además de esto, la complicidad y la confianza que hay entre nosotros ha hecho que el trabajo se haya realizado en un ambiente muy bueno, y el rendimiento ha sido bastante positivo.
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CONCLUSIÓN
Este trabajo nos ha hecho darnos cuenta de lo asociadas que están las matemáticas en la vida real. Cómo a través de unas simples medidas podemos hallar alturas que a simple vista pueden resultar difíciles de averiguar.
Pero también hay que decir que al tratarse de la naturaleza, hay factores como la luz, la irregularidad del suelo... que no dependían de nosotros; sólo estaba en nuestra mano el saber elegir bien. Por ejemplo, las medidas tomadas para hallar la altura del foco por semejanza las realizamos en una hora en la que el sol estaba presente, para que se percibiesen claramente las sombras.
En otras mediciones, como en las tomadas para hallar la altura del pararrayos, la irregularidad del suelo era algo inevitable debido al peldaño que había entremedias.
Por otra parte, los cálculos obtenidos por diferentes métodos se asemejan bastante entre sí, y eso nos garantiza que los cálculos posiblemente estén bien realizados, aunque las medidas tomadas puedan ser incorrectas.
En lo que más hemos dudado es en los ángulos, porque por una mínima variación de éstos puede suponer notables diferencias entre la altura final obtenida.
Pese a todo esto, hemos disfrutado haciendo este trabajo, ya que es algo diferente a lo que estamos acostumbrados a hacer, llevando a la práctica toda la teoría asimilada.
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