Metodo de Fourier
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2 [UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU] AJUSTE DE CURVAS METODO DE FOURIER En la ciencia y la ingeniería se da, a menudo, el caso de que un experimento produce un conjunto de datos ( x1, y2), ( x2, y2), ..., ( xn, yn). El objetivo en esta sección es determinar una órmula y ! "( x) que relacione las variables. #eneralmente se dispone de un conjunto de variables previamente establecidas, y lo que $ay que $allar son los valores m%s adecuados de unos coeicientes o de unos par%metros para estas órmulas. &unque existen muc$as unciones que se pueden usar, suele ocurrir que existe un modelo matem%tico subyacente, basado en la situación ísica que se est' estudiando y determina la orma de la unción salvo algunos coeicientes. i la relación entre xi e yi para 1 i n, es lineal, entonces la unción que mejor se ajusta a los datos es una línea de aproximación de la orma y ! ax * b +na orma para encontrar la recta óptima- es el m'todo de los mínimos cuadrados y consiste en $allar el valor de las constantes a y b de tal maner a que redu can al mínimo la suma de los cuadr ados de los errores entre los valores yidados y los valores y( xi) ! axi * b en la línea de aproximación. (7) /a cantidad (0) se puede considerar una unción de dos variables- a y b, a la que se le quiere $allar un mín imo. ar a que ocurra un mí nimo es nec esario que las der ivadas par ciales sean cer o. bserve que las xi e yi son puntos de datos. &l dividir entre 32 cada una de estas ecuaciones y desarrollar las sumatorias se obtienen las llamadas ecuaciones normales (2) /a solución del sistema (2), de dos ecuaciones con dos incógnitas es (3) METODOS NUMERICOS |
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU
[UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU]INGENIERIA CIVIL
AJUSTE DE CURVAS METODO DE FOURIEREn la ciencia y la ingeniera se da, a menudo, el caso de que un experimento produce un conjunto de datos (x1,y2), (x2,y2), ..., (xn,yn). El objetivo en esta seccin es determinar una frmulay= (x) que relacione las variables. Generalmente se dispone de un conjunto de variables previamente establecidas, y lo que hay que hallar son los valores ms adecuados de unos coeficientes o de unos parmetros para estas frmulas. Aunque existen muchas funciones que se pueden usar, suele ocurrir que existe un modelo matemtico subyacente, basado en la situacin fsica que se est estudiando y determina la forma de la funcin salvo algunos coeficientes.Si la relacin entrexieyipara 1in, es lineal, entonces la funcin que mejor se ajusta a los datos es una lnea de aproximacin de la forma:y=ax+bUna forma para encontrar la recta ptima es el mtodo de losmnimos cuadradosy consiste en hallar el valor de las constantesaybde tal manera que reduzcan almnimola suma de los cuadrados de los errores entre los valoresyidados y los valoresy(xi) =axi+ben la lnea de aproximacin.(7)
La cantidad (7) se puede considerar una funcin de dos variablesayb, a la que se le quiere hallar un mnimo. Para que ocurra un mnimo es necesario que las derivadas parcialessean cero. Observe que lasxieyison puntos de datos.
Al dividir entre 2 cada una de estas ecuaciones y desarrollar las sumatorias se obtienen las llamadas ecuaciones normales(2)La solucin del sistema (2), de dos ecuaciones con dos incgnitas es(3)
Por lo tanto la recta que mejor se ajusta a los datos (xi,yi), 1inrelacionados en forma lineal esy=ax+bconaybdados por(3).El problema de aproximar un conjunto de datos (xi,yi), 1incon un polinomio algebraicoPm(x) de gradom
