Funciones Ortogonales y Series de FourierCAPTULO 12

Contenidos12.1 Funciones Ortogonales12.2 Series de Fourier12.3 Series de Fourier de Cosenos y Senos12.4 Series d eFourier Complejas12.5 Problema de Sturm-Liouville12.6 Series de Bessel y Legendre

12.1 Funciones Ortogonales

El producto interior de dos funciones f1 y f2 en unintervalo [a, b] es el nmero DEFINICIN 12.1Productos Interiores de Funciones

EjemploLas funciones f1(x) = x2, f2(x) = x3 son ortogonales en el intervalo [1, 1] puesto que

Se dice que un conjunto de funciones de valores reales {0(x), 1(x), 2(x), } es ortogonal en un intervalo [a, b] si (2) DEFINICIN 12.3Conjunto Ortogonal

Conjuntos OrtonormalesLa expresin (u, u) = ||u||2 se llama norma cuadrada. Por tanto podemso definir la norma cuadrada de una funcin como (3) Si {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b] con la propiedad de que ||n(x)|| = 1 para todo n, entonces se llama conjunto ortonormal en [a, b].

Ejemplo 1Demuestre que el conjunto {1, cos x, cos 2x, } es ortogonal en [, ].Solucin Sea 0(x) = 1, n(x) = cos nx, comprobamos que

Ejemplo 1 (2)y

Ejemplo 2Determine la norma de cada funcin del Ejemplo 1.Solucin

Analoga con VectoresRecordando de la teora de vectores en 3 dimensiones que (4) tenemos (5) As podemos hacer una analoga entre funciones y vectores.

Desarrollo en Series OrtogonalesSuponga que {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b]. Si f(x) est definida en [a, b], escribimos primero (6)Then

Como {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b], cada trmino en el lado derecho es nulo, excepto m = n. En este caso tenemos

En otras palabras, (7) (8) Entonces (7) se transforma en (9)

Bajo la condicin de la definicin anterior, tenemos (10) (11)

Se dice que un conjunto de funciones de valores reales {0(x), 1(x), 2(x), } es ortogonal con respecto a una funcin peso w(x) en [a, b], si DEFINICIN 12.4Conjunto Ortogonal y Funcin Peso

Conjuntos CompletosUn conjunto ortogonal es completo si la nica funcin ortogonal continua a cada miembro del conjunto es funcin nula.

12.2 Series de FourierUna Serie Trigonomtrica Podemos demostrar que el conjunto (1) es orthogonal en [p, p]. As una funcin f definida en [p, p] puede escribirse como (2)

Ahora calculamos los coeficientes. (3) Como cos(nx/p) y sin(nx/p) son ortogonales a 1 en este intervalo, entonces (3) se transforma en As tenemos (4)

Adems, (5) por ortogonalidad tenemos

y As (5) se reduce a y por tanto (6)

Finalmente, si multiplicamos (2) por sin(mx/p) y usamos y obtenemos que (7)

La serie de Fourier de una funcin f definida en elintervalo (p, p) se determina mediante (8) donde (9) (10) (11) DEFINICIN 12.5Series de Fourier

Ejemplo 1Desarrolle (12) en una serie de Fourier.Solucin La grfica de f se muestra en la Fig 12.1 con p = .

Ejemplo 1 (2)cos n = (-1)n

Ejemplo 1 (3)De (11) tenemos Po tanto (13)

Fig 12.1

Sean f y f continuas por partes en el intervalo (p, p); esto es, sean f y f continuas excepto en un nmero finito de puntos en el intervalo y discontinuidades finitas slo en estos puntos. Entonces al serie de Fourier de f en el intervalo converge a f(x) en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, laserie de Fourier converge al promedio donde f(x+) y f(x) denotan el limite de f en x por la derecha y por la izquierda, respectivamente.TEOREMA 12.1Condiciones de Convergencia

Ejemplo 2La funcin f en el Ejemplo 1, es continua en (, ) excepto en x = 0. As que la serie (13) converge a en x = 0.

Extensin PeridicaFig 12.2 es la extensin peridica de la funcin f del Ejemplo 1. As que la discontinuidad en x = 0, 2, 4, converge a y en x = , 3, converge a

Ch12_*Fig 12.2

Secuencia de Sumas ParcialesSecuencia de Sumas Parciales Para (13), escribimos las sums parciales como Fig 12.3.

Fig 12.3

12.3 Series de Fourier de Coseno y SenoFunciones Pares e Impares

par si f(x) = f(x) impar si f(x) = f(x)

Fig 12.4 Funcin Par

Fig 12.5 Funcin Impar

(a) El producto de dos funciones pares es par.(b) El producto de dos funciones impares es impar.(c) El producto de una funcin par y uan funcin impar es impar.(d) La suma (diferencia) de dos funciones pares es par.(e) La suma (diferencia) de dos funciones impares es impar.(f) Si f es par, entonces(g) Si f es impar, entoncesTEOREMA 12.2Propiedades de Funciones Pares e Impares

Series de Cosenos y SenosSi f es par en (p, p) entonces

De manera similar, si f es impar en (p, p) entonces

(i) La serie de Fourier de una funcin par f en el intervalo (p, p) es la serie de cosenos (1) donde (2) (3) DEFINICIN 12.6Series de Fourier de Cosenos y Senos

(continuacin)

(ii) La serie de Fourier de una funcin impar f en el intervalo (p, p) es la serie de senos (4) donde (5)DEFINICIN 12.6Series de Fourier de Cosenos y Senos

Ejemplo 1Desarrolle f(x) = x, 2 < x < 2 en una serie de Fourier.Solucin Estudio de la Fig 12.6, muestra que es una funcin par en (2, 2) y p = 2. As (6) Fig 12.7 es la extensin peridica de la funcin del Ejemplo 1.

Fig 12.6

Fig 12.7

Ejemplo 2L afuncin representada en la Fig 12.8 es impar en (, ) con p = . De (5), y por tanto (7)

Fig 12.8

Fenmeno de GibbsFig 12.9 muestra las sumas parciales de (7). Podemos ver qeu la grfica tiene picos pronunciados cerca de las discontinuidades. Este exceso SN no se alisa sino que permanece constante aun cuando el valor de N sea grande. Este comportamiento se conoce como el fenmeno de Gibbs.

Fig 12.9

Desarrollos en SemiintervalosSi una funcin f est definida slo para 0 < x < L, podemos suministrar una funcin arbitraria para L < x < 0. Si y = f(x) est definida para 0 < x < L,Reflejar al grfica respecto al eje y en L < x < 0; la funcin hora es par. Fig 12.10.Reflejar la grfica por el origen sobre L < x < 0; la funcin ahora es impar. Fig 12.11.definir f en L < x < 0 mediante f(x) = f(x + L). Fig 12.12.

Fig 12.10

Fig 12.11

Fig 12.12

Ejemplo 3Desarrolle f(x) = x2, 0 < x < L, (a) en una serie de cosenos, (b) en una serie de senos (c) en una serie de Fourier.Solucin La grfica est representada en la Fig 12.13.

Ejemplo 3 (2)(a) Entonces (8)

Ejemplo 3 (3)(b) De ah que (9)

Ejemplo 3 (4)(c) Con p = L/2, n/p = 2n/L, tenemos Por tanto (10) La grfica de esta extensin se muestra en la Fig 12.14.

Fig 12.14

Fuerza Impulsora PeridicaConsidere el siguiente sistema fsico (11) donde (12) es un desarrollo en serie de senos en un semiintervalo.

Ejemplo 4Recurriendo a (11), m = 1/16 de slug, k = 4 lb/pie, la fuerza f(t) con perodo 2 se muestra en la Fig 12.15. Aunque f(t) acta en el sistema para t > 0, podemos ampliar al grfica con perodo 2 al eje t negativo para obtener una funcin impar. Con p = 1, de (5) obtenemos De (11) obtenemos (13)

Ejemplo 4 (1)Para hallar la solucin particular xp(t), sustituimos (12) en (13). As Por tanto (14)

12.4 Series de Fourier ComplejasFormula de Euler eix = cos x + i sin x e-ix = cos x i sin x(1)

Series de Fourier ComplejasDe (1), tenemos (2) Usando (2) para remplazar cos(nx/p) y sin(nx/p), se tiene (3)

donde c0 = a0/2, cn = (an ibn)/2, c-n = (an + ibn)/2. Donde la funcin f es real, cn y c-n son nmeros complejos conjugados. Tenemos (4)

(5)

(6)

Las Series de Fourier Complejas de funcin f definidaen un intervalo (p, p) estn dadas por (7) donde (8)DEFINICIN 12.7Series de Fourier Complejas

Si f satisface la hoptesis del Teorema 12.1, una serie d eFourier compleja converge a f(x) en un punto de continuidad y al promedio en un punto de discontinuidad.

Ejemplo 1Desarrolle f(x) = e-x, < x

Ejemplo 1 (2)Empleando la frmula de Euler De ah se tiene que (9)

Ejemplo 1 (3)Entonces la serie de Fourier compleja es (10) La serie (10) converge al desarrollo de perodo 2 de f.

Frecuencia FundamentalEl perodo fundamental es T = 2p y por tanto p = T/2. La serie de Fourier se transforma en (11) donde = 2/T se llama frecuencai angular fundamental.

Espectro de FrecuenciasSi f es peridica y tiene perodo fundamental T, el conjunto de puntos (n, |cn|) se llama espectro de frecuencias de f.

Ejemplo 2En el Ejemplo 1, = 1, por lo cual n ecibe valores de 0, 1, 2, Usando , vemos de (9) que Fig 12.17.

Fig 12.17

Ejemplo 3Halle el espectro de la onda mostrada en Fig12.18. La onda es la extensin peridica de la funcin f:

Ejemplo 3 (2)Solucin Aqu T = 1 = 2p so p = . Como f es 0 en (, ) y (, ), (8) se transforma en

Ejemplo 3 (3)Es fcil de comprobar que Fig 12.19 ilustra el espectro de frecuencias de f.

Fig 12.19

12.5 Problema de Sturm-LiouvilleValores propios y funciones propias Recuerde el ejemplo Ejemplo 2, Sec 3.9 (1) Esta ecuacin posee soluciones no triviales slo cuando toma valores n = n22/L2, n = 1, 2, 3, llamados valores propios. Las soluciones no triviales correspondientes y = c2 sin(nx/L) o simplemente y = sin(nx/L) se llaman funciones propias.

Ejemplo 1Se deja como ejercicio demostrar que los tres casos posibles: = 0, = 2 < 0, = 2 > 0, ( > 0), que los valores propios y las funciones propias para (2) son respectivamente n = n2 = n22/L2, n = 0, 1, 2, y y = c1 cos(nx/L), c1 0.

Problema Regular de Sturm-LiouvilleSean p, q, r y r funciones de valores reales continuas en [a, b], y sea r(x) > 0 y p(x) > 0 para todo x en el intervalo. Entonces se dice que Resolver(3) Sujeta a (4) (5) es un problema regular de Sturm-Liouville. Los coeficientes en (4), (5) se suponen reales e independientes de .

Ch12_*

(a)Existe un nmero infinito de valores propios reales que se pueden arreglar en orden creciente 1 < 2 < 3 < < n < tal que n cuando n .(b)Para cada vlor propio hay slo uan funcin propia (excepto para multiplos constantes no nulos).(c)Las funciones propias que corresponden a diferentesvalores propios son linealmente independientes.(d)El conunto d efunciones propias que corresponden al conjunto de valores propios es ortogonal con respecto a la funcin pesop(x) en el intervalo [a, b].TEOREMA12.3Propiedades del Problema Regular de Strum-Liouville

Demostracin de(d) Sean ym e yn be funciones propias correspondientes a valores propios m y n. Entonces (6) (7) De (6)yn (7)ym tenemos

Integrando la ecuacin anterior de a a b, se tiene (8) Como todas las soluciones deben satisfacer las condiciones de frontera (4) y (5), de (4) tenemos

Para que A1 y B1 no nulas ambas, satisfagan el sistema, el determinante de los coeficientes debe valer cero De manera similar de (5), tenemos As el lado derecho de (8) vale cero. De ah tenemos la relacin de ortogonalidad (9)

Ejemplo 2Resolver (10)Solucin Se debera verificar que para = 0 y < 0, (10) slo posee la solucin trivial. Para = 2 > 0, > 0, la solucin general es y = c1 cos x + c2 sin x. Ahora la condicin y(0) = 0 implica c1 = 0, as que y = c2 sin x. La segunda condicin y(1) + y(1) = 0 implica c2 sin + c2 cos. = 0.

Ejemplo 2 (2)Escogiendo c2 0, tenemos (11) De Fig 12.20, vemos que hay infinitas soluciones para > 0. Es fcil obtener los valores de > 0. As que los valores propios son n = n2, n = 1, 2, 3, y las funciones propias correspondientes son yn = sin nx.

Fig 12.20

Problema Singular de Sturm-LiouvilleExisten varias condiciones para (3)r(a) = y se especifica una condicin de frontera del tipo provisto en (5) en x = b;(12)r(b) = 0 y se especifica una condicin de frontera del tipo provisto en (4) en x = a.(13)r(a) = r(b) = 0 y no se especifica ninguna condicin de frontera en x = a ni en x = b;(14)r(a) = r(b) y las condiciones de frontera y(a) = y(b), y(a) = y(b).(15)

Observaciones:La ecuacin (3) que satisface (12) y (13) es un problema singular de valores en la frontera. La ecuacin (3) que satisface (15) es un problema peridico de valores en la frontera.

Al suponer que las soluciones de (3) estn acotadas en [a, b], de (8) se tieneSi r(a) = 0, entonces la relacin de ortogonalidad (9) se cumple sin ninguna condicin en la frontera en x = a; (16)Si r(b) = 0 , entonces la relacin de ortogonalidad (9) se cumple sin ninguna condicin en la frontera en x = b;(17)Si r(a) = r(b) = 0, entonces la relacin de ortogonalidad (9) se cumple sin ninguna condicin en la frontera en x = a ni en x = b;(18)Si r(a) = r(b), entonces la relacin de ortogonalidad (9) se cumple con las condiciones de frontera peridicas y(a) = y(b), y(a) = y(b). (19)

Forma AutoconjuntaEn realidad (3) es al misma que (20) As podemos escribir la ecuacin diferencial de Legendre como (21) Aqu hallamos que el coeficiente de y es al derivada del coeficiente de y.

Adems, si los coeficientes son continuos y a(x) 0 para todo x en un intervalo, entonces cualquier eduacin diferencial de segundo orden (22) swe puede reformular en la llamada forma autoadjunta (3).Para entender el hecho anterior, empezamos desde a1(x)y + a0(x)y = 0 Sea P = a0/a1, = exp( Pdx), = P, entonces y + Py = 0, y + Py = 0, As d(y)/dx = 0.

Ahora para (22), sea Y = y, el factor de integracin e [b(x)/a(x)] dx. En este caso (22) se transforma en En resumen, (22) puede transformarse en

Adems, (23) es la misma que (3)

Ejemplo 3En la Sec 5.3, vimos que la solucin general de al ecuacin diferencial paramtrica de Bessel Dividiendo la ecuacin de Bessel entre x2 y multiplicando la ecuacin resultante por el factor de integracin e [(1/x)] dx = eln x = x, tenemos

Ejemplo 3 (2)Ahora r(0) = 0, y de las dos soluciones Jn(x) y Yn(x) slo Jn(x) est acotada en x = 0. De (16), el conjunto {Jn(ix)}, i = 1, 2, 3, , es ortogonal con respecto a la funcin peso p(x) = x en [0, b]. As (24) Siempre quei y por consiguiente los valores propios i = i2 se definen por medio de un acondicin lmite en x = b del tipo provisto en (5): A2Jn(b) + B2Jn(b) = 0(25)

Ejemplo 4De (21), identificamos q(x) = 0, p(x) = 1 y = n(n + 1). Recuerde de la Sec 5.3 que cuando n = 0, 1, 2, , la ED de Legendre posee soluciones polinomiales Pn(x). Observamos que r(1) = r(1) = 0 junto con el hecho de que Pn(x) son las nicas soluciones de (21) que estn acotadas en [1, 1], para concluir que el conjunto {Pn(x)}, n = 0, 1, 2, , es ortogonal con respecto a la funcin peso p(x) = 1 en [1, 1]. As

12.6 Series de Bessel y LegendreSeries de Fourier-Bessel Hemos demostrado que{Jn(ix)}, i = 1, 2, 3, es ortogonal con respecto a p(x) = x en [0, b] cuando i est definida por medio de (1) Esta serie ortogonal, o serie de Fourierde generalizada, el desarrollo de una funcin f definida en (0, b) en trminos de este conjunto ortogonal es (2) donde (3)

La norma cuadrada Jn(ix) se define mediante (4) Esta serie (2) se llama series de Fourier-Bessel.

Relaciones de Recurrencia DiferencialesRecordando (20) y (21) da la Sec 5.3, tenemos las relaciones de recurrencia diferenciales como (5) (6)

Norma CuadradaEl valor de (4) depende de i = i2. Si y = Jn(x) tenemos que Al multiplicar por 2xy, se tiene

Integrandopor partes [0, b], se obtiene Como y = Jn(x), el lmite inferior es 0 para n > 0, porque Jn(0) = 0. Para n = 0, en x = 0. As (7) donde y = Jn(x).

Ahora se consideran tres casos de (1).Caso I: Si se elige A2 = 1 y B2 = 0, entonces (1) es (8) Hay un nmero infinito de races positivas xi = ib de (8) (see Fig 5.3), que definen i = xi/b. Los valores propios son positivos y i = i2 = (xi/b)2. De las races negativas de (8) no resulta ningn nuevo valor propio puesto que Jn(x) = (1)nJn(x).

El nmero 0 no es un valor propio de para ningn n puesto que Jn(0) = 0, n= 1, 2, 3, y J0(0) = 1. Cuando (6) se escribe como xJn(x) = nJn(x) xJn+1(x), de (7) y (8) se deduce (9)

Caso II: Si se elige A2 = h 0 y B2 = b, entonces (1) es (10) Hya un nmero infinito de races positvas xi = ib para n = 1, 2, 3, . Como antes, i = i2 = (xi/b)2. = 0 no es un valor propio para n = 1, 2, 3, . Sustituyendo ibJn(ib) = hJn(ib) en (7), se tiene (11)

Caso III: Si h = 0 y n = 0 en (10), i se definen da las races (12) Aunque (12) es slo un caso especial de (10), es la nica solucin para la cual = 0 es un valor propio. Para n = 0, el resultado en (6) implica que J0(b) = 0 es equivalente a J1(b) = 0.

Como x1 = 1b = 0 es una raz de la ltima ecuacin y puesto que J0(0) = 1 no es trivial, deducimos de 1 = 12 = (x1/b)2 que 1 es un valor propio. Pero no podemso utilizar (11) cuando 1 = 0, h = 0, n = 0, y n = 0. Sin embargo de (4) tenemos (13) Para i > 0 podemos usar (11) con h = 0 y n = 0: (14)

La serie de Fourier-Bessel de una funcin f definida enel intervalo (0, b) se expresa mediante(i)(15)(16)donde i se definen mediante Jn(b) = 0.DEFINICIN 12.8Serie de Fourier-Bessel

(continuacin)

(ii)(17)

(18)

donde i se definen mediante hJn(b) + bJn(b) = 0.DEFINICIN 12.8Serie de Fourier-Bessel

(continuacin)

(iii)(19)

(20)

donde the i se definen mediante J0(b) = 0.DEFINICIN 12.8Serie de Fourier-Bessel

Si f y f son continuas por partes en el intervalo abierto(0, b), entonces un desarrollo de Fourier-Bessel de f converge a f(x) en algn punto donde f es continua y al promedio [f(x+) + f(x-)] / 2 en algn punto donde f es discontinua.TEOREMA 12.4Condiciones para Convergencia

Ejemplo 1Desarrolle f(x) = x, 0 < x < 3, enn una serie de Fourier-Bessel , usando funcin de Bessel de orden uno que satisfacen la condicin lmite J1(3) = 0.Solucin Empleamos (15) donde ci se expresan mediante (16) con b = 3:

Ejemplo 1 (2)Sea t = i x, dx = dt/i, x2 = t2/i2, y use (5) en la forma d[t2J2(t)]/dt = t2J1(t):

Ejemplo 2Si las i del Ejemplo 1 se definen mediante J1(3) + J1(3) = 0, lo nico que cambia en el desarrollo es el valor de la norma cuadrada. Como 3J1(3) + 3J1(3) = 0 que concuerda con (10) cuando h = 3, b = 3 y n = 1. As (18) y (17) producen a su vez

La serie de Fourier-Legendre de una funcin f definida en el intervalo (1, 1) se expresa mediante(i)(21)(22)donde i se definen mediante Jn(b) = 0.DEFINICIN 12.9Serie de Fourier-Legendre

Si f y f son continuas por partes en el intervalo abierto(1, 1), entonces un desarrollo en serie deFourier-Legendre (21) converge a f(x) en algn punto donde f es continua y al promedio [f(x+) + f(x-) / 2 en un punto donde f es discontinua.TEOREMA 12.5Condiciones de Convergencia

Ejemplo 3Escriba los cuatro primeros trminos no nulos del desarrollo de Fourier-Legendre de Solucin De la pgina 269 y (22):

Ejemplo 3 (2)

Fig 12.22

Otra Forma de la SerieSi se establece x = cos , x = 1 implica que = 0, x = 1 implica que = . Como dx = sin d, (21) y (22) se transforma, respectivamente, en (23) (24) donde f(cos ) se ha remplazado por F().

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