METODO DE NEWTON-RAPHSON GENERALIZADO

Cuando el método de Newton converge lentamente se debe a que la raíz que estamos aproximando es múltiple.Supongamos que x fuese una raíz doble de f(x). La función de iteración

que la convergencia es de primer orden. De ahí su lentitud.

¿Sería posible alguna medicación en el método para que la convergencia volviese a ser, al menos, de segundo orden?

La raíz x de f(x) también lo es de g(x) = pero con la particularidad de que

Verifica que tienden a cero cuando x lo hace a x, por lo que al aplicar el método de Newton a la función g(x) obtenemos x con una convergencia de, al menos, tercer orden.

Sea x una raíz de multiplicidad k de la ecuación f(x) = 0.

Donde k representa el orden de la primera derivada que no se anula para x = x (multiplicidad de la raíz x), la convergencia vuelve a ser, al menos, de segundo orden. En la practica, el problema es que no conocemos k pero podemos determinar su valor estudiando las derivadas de la función f(x).

Este método es eficaz para resolver los sistemas de ecuaciones no lineales y sus condiciones para lograr la convergencia son menos restrictivas que las del método anterior. Al igual que el método para una solo ecuación, su base matemática es expandir en serie de Taylor las funciones f(x) y truncar a partir del termino de h2 .

¿Cómo identificarlos? El siguiente teorema da una manera fácil de identificar a los ceros de las funciones que tienen multiplicidad uno. A estos ceros se les llama simples.

Una función f tiene un cero (o raíz) simple en p (p pertenece al intervalo [a,b] ) si y solo si f(p) = 0 , pero f'(p) ≠ 0.

Este problema, se puede usar la fórmula de Newton generalizada para raíces múltiples

Si g cumple con las condiciones de continuidad requeridas, la iteración funcional aplicada a g tendrá convergencia cuadrática (es decir, requerirá menos iteraciones) independientemente de la multiplicidad de la raíz. Teóricamente, las únicas desventajas de este método son los cálculos adicionales de f''(x) y el hecho de que el procedimiento es más laborioso para calcular las iteraciones. En la práctica, sin embargo, la presencia de una raíz múltiple puede causar serios problemas de redondeo.

Anteriormente, habíamos trabajado f(x) = x3 + 4x2 – 10 = 0 Y la raíz obtenida fue de 1.365230013

Con Newton:

Con Newton generalizado:

Con po = 1.5, las primeras iteraciones para (i)[Newton normal] y (ii)[Newton generalizado]Son las siguientes:

Recordemos la función que vimos al principio f(x) = x4 - 4x2 + 4 = 0 Y la raíz obtenida fue de ± 1.414213562 ( ± √2 ) Comprobamos que tiene raíces múltiples y tendríamos que usar el método de Newton generalizado.

Con po = 1.5, las tres primeras iteraciones para (i)[Newton normal] y (ii)[Newton generalizado]Son las siguientes:

La solución real correcta en 10-10 es la que aparece para p3 en (ii). Para obtener esta precisión con el método normal de Newton-Raphson se requerirían 31 iteraciones.

EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero(denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación dela raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente. f'(x)= 0 Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b].Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n Donde f ' denota la derivada de f. Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable conforma analítica o implícita

cognoscible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

Supongamos que tenemos la aproximación     a la raíz     de   ,

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto   ; ésta cruza al eje     en un

punto    que será nuestra siguiente aproximación a la raíz   .

Para calcular el punto   , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente

 

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

 

Hacemos   :

 

Y despejamos   :

 

Que es la fómula iterativa de Newton-Raphson  para calcular la siguiente aproximación:

  ,   si

Note que el método de Newton-Raphson  no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los

casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.

También observe que en el caso de que   , el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y

por lo tanto no intersecta al eje    en ningún punto, a menos que coincida con éste, en

cuyo caso    mismo es una raíz de   !

EL MÉTODO DE BISECCIÓN

Se basa en el siguiente teorema de Cálculo:

Teorema del Valor Intermedio

Sea     contínua en un intervalo    y supongamos que   . Entonces

para cada    tal que   , existe  un   tal que   . La misma

conclusión se obtiene para el caso que   . Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función contínua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.

En particular, si     y    tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es

precisamente ,  y  por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que

debe existir    tal que , es decir, debe haber por lo menos una raíz

de    en el intervalo .El método de bisección sigue los siguientes pasos:

Sea    contínua,

i) Encontrar valores iniciales   ,     tales que     y     tienen signos opuestos, es decir,

 

ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre     y   :

 

iii) Evaluar   . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:  

En este caso,  tenemos que     y     tienen signos opuestos, y por lo tanto la

raíz se encuentra en el intervalo   .

 

En este caso,  tenemos que     y     tienen el mismo signo, y de aquí

que     y    tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el

intervalo   .  

En este caso se tiene que    y por lo tanto ya localizamos la raíz.El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

 

es decir,

 

METODO DEL PUNTO FIJO

Un problema que se presenta con frecuencia es encontrar las raíces de ecuaciones de la

forma , donde  es una función real de una variable x, como un polinomio de x, o de una función trascendente.

Sea la ecuación general

Se desea encontrar una raíz real. El primer paso consiste en transformar f(x) a una forma equivalente:

El siguiente paso es "tantear" un valor para la raíz, se hace una observación directa de la

ecuación, se denota este primer valor por  .

Una vez que se tiene   se evalúa g(x) en  , el resultado se denota por  .

g( ) = 

El valor de   comparado con   presenta los dos siguientes casos:

Caso1:

 = 

Esto indica que el valor   elegido es una raíz y el problema queda concluido, ya que se cumple:

f (  ) = 0

Caso 2:

En este caso de obtiene   y además 

En esas circunstancias se procede a una segunda evaluación de g(x), pero ahora en  ,

se denota el resultado como  .

Este proceso se repite y se obtiene un proceso iterativo hasta que

 

INTRODUCCION

El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la ecuación f(x)=0, ya que converge rápidamente, la contra es que uno debe conocer la derivada de f(x) y se necesita una aproximación inicial a la raíz.Permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de Newton-Raphson modificado aplicado a la función f tomando como aproximación inicial x0. Observe que no requiere construir la función M definida en el método de Newton-Raphson modificado. 

CONCLUSIONES

El método de newton es eficiente en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales, converge muy rápidamente y proporciona una muy buena precisión en los resultados.

El método se emplea en la solución de problemas académicos y en problemas propios del mundo real.

El método no puede ser utilizado para los casos en que f´(x)=0

La eficiencia del método depende del valor inicial elegido

OBJETIVOS Este método consiste de proporcionar un Xi inicial de aproximación a la raíz

analítica r en seguida se evalúa la función en Xi obteniendo se f(Xi) se traza una

recta tangente que intercepta en Xi+1al eje de las X. A este punto se le llama raíz nueva de aproximación a la r.

Implementar el Algoritmo utilizando Matlab.

Estudiar el sistema de complementariedad apoyados en la introducción de un multiplicador de Lagrange y realizar una regularización de dicho sistema, mediante la formulación de problemas regularizados, para que el método de Newton generalizado pueda ser aplicado y justificado.

METODO DE NEWTON-RAPHSON GENERALIZADO

FABIAN ESPEJO

JHONATAN PONTON

MARIO LUNA

EDGAR MAURICIO MUNAR

UNIVERSIDAD MANUELA BELTRAN

METODOS NUMERICOS

BOGOTA

2012