METODOS NUMÉRICOSMETODOS NUMÉRICOS

UNIDAD 2 - SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES

2.2 MÉTODO DE NEWTON

Este método se basa en el cálculo diferencial y es uno de los métodos más conocidos para encontrar raíces de ecuaciones de la forma

f(x) = 0La información sobre una función f(x) y su primera derivada f´(x) se usan para mejorar las estimaciones de un raíz de la ecuación anterior, donde “x0” es una estimación o conjetura inicial de la raíz; lo que se

quiere hallar es un cambio h tal que f(x0 + h) = 0

2.2.1 INTRODUCCIÓN

Este método encuentra una raíz siempre y cuando se conozca una estimación inicial para la raíz deseada

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2.2 MÉTODO DE NEWTON

Este método se origina a partir del desarrollo de Taylor de la función f(x) en torno a una estimación al punto “c”, con lo cual la ecuación se puede escribir como:

f(x) = 0 = f(c) + f´(c) (x – c) + O(h2)donde: h = x – cc = es una estimación inicial para la raíz Si se supone que la función f(x) se puede aproximar localmente por una recta (de modo que las derivadas segunda y superiores son iguales a cero), entonces es posible truncar la serie de Taylor inmediatamente después del término de la primera derivada.

Utiliza las rectas tangentes que se evalúan analíticamente

El método de Newton se puede aplicar al dominio complejo para hallar raíces complejas. También se puede extender a ecuaciones no lineales simultáneas

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2.2 MÉTODO DE NEWTON

Este método es bastante popular, a pesar de que la determinación de la derivada puede parecer tediosa algunas veces para ecuaciones complicadas, la ejecución del método es simple y la convergencia es bastante rápida

La aproximación local por una recta es entonces equivalente a la recta tangente en “x0”, y el valor de h para el que f(x0 + h) = 0 se puede aproximar por

xn+1 = xn - f(xn)/ f´(xn)

El objetivo de este método es mejorar la velocidad de convergencia para funciones con raíces múltiples; pero sigue siendo necesario tener bastante cuidado en el cálculo de los valores limitantes a medida que se extiende a la raíz.

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2.2 MÉTODO DE NEWTON

2) Se elige un valor inicial “x0”.

1) Si es posible se debe incluir una rutina de graficación, a fin de poder aproximar el primer valor inicial “x0”.

2.2.2 ALGORITMO - PROCEDIMIENTOS

3) Se calcula f(x0)

4) Si , x0 es la solución estimada; en caso contrario,

continuar con el paso 5). Donde es alguna cantidad pequeña

5) Se calcula xmejorado = x0+1 = x n+1 , a partir de la ecuación:

xn+1 = xn - f(xn)/ f´(xn)

6) x0 = xmejorado , y se regresa al paso 3)

)( 0xf

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2.2 MÉTODO DE NEWTON

7) Obtenida la raíz final calculada, esta debe ser sustituida en la función original para calcular en que casos el resultado se acerca a cero.

2.2.2 ALGORITMO - PROCEDIMIENTOS

8) El programa debería incluir siempre un límite máximo sobre el número permitido de iteraciones para estar prevenidos contra las oscilaciones y la convergencia lenta, o en caso contrario las soluciones divergentes persistirán en forma interminable.

9) El programa debería alertar al usuario y tomar en cuenta la posibilidad de que f´(xn ) pueda ser cero en cualquier momento

durante el cálculo

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2.2 MÉTODO DE NEWTON

El Método de Newton consiste en la linealización de la función f(x) .

2.2.3 INTERPRETACIÓN GRÁFICA

La manera usual de hacerlo es reemplazar f(x) por los dos primeros términos de su Serie de Taylor el cual viene dado por:

f(x)= f(c)+ f´( c )(x – c)+1/2! f´´( c )(x – c)2+1/3! f(3)( c)(x – c)3+1/4!f(4)(c)(x – c)4 + …..

Entonces la linealización en el punto “c” produce la función

l(x)= f(c)+ f´( c )(x – c)

Donde l(x) es una buena aproximación de f(x) en una vecindad de “c”; de hecho se tiene que :

l(c)= f(c) y l´(c) = f´(c)

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2.2 MÉTODO DE NEWTON

2.2.3 INTERPRETACIÓN GRÁFICA

De este modo, lo que hacemos en el Método de Newton es construir la tangente a la gráfica de f(x) en un punto cercano a “r”(donde r es la raíz buscada), y observar en qué lugar intersecta esta línea al eje “x”.

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2.2 MÉTODO DE NEWTON

2.2.4 FALLAS DEL MÉTODO

Cuando f´(x0 ) = 0 . Esta situación puede ocurrir al inicio del

procedimiento debido a una elección desafortunada del valor inicial x0 .

Las oscilaciones de xmejorado pueden indicar que no existe una raíz real

de una ecuación como se muestra en la figura 1.

Figura 1

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2.2.4 FALLAS DEL MÉTODO

También puede ocurrir cuando existe una raíz como se muestra en la figura figura 2, para este caso los errores de redondeo deshacen el ciclo,; pero es tan probable que ocurra divergencia como convergencia.

Figura 2

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2.2.4 FALLAS DEL MÉTODO

En la figura 3 se muestra la divergencia para una función con dos raíces reales.

Para las funciones de las figuras 2 y 3 es necesario tener cuidado en la

elección del valor inicial x0 con el fin de garantizar la convergencia.

Figura 3

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2.2.4 FALLAS DEL MÉTODO

También se observa que el método no necesariamente converge a una raíz que es la más próxima al punto inicial

Figura 4a

Figura 4b

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2.2.4 FALLAS DEL MÉTODO

Figura 5

Figura 6