Método matricial de la rigidezEl método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de

barras que se comportan de forma elástica y lineal. En inglés se le denomina direct stiffness

method (DSM, método directo de la rigidez), aunque también se le denomina el método de los

desplazamientos. Este método está diseñado para realizar análisis computerizado de cualquier

estructura incluyendo a estructuras estáticamente indeterminadas. El método matricial se basa en

estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos

mediante un ordenador. El método de rigidez directa es la implementación más común del método de

los elementos finitos. Las propiedades de rigidez del material son compilados en una única ecuación

matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se

desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados

resolviendo esta ecuación. El método directo de la rigidez es el más común en los programas de cálculo

de estructuras (tanto comerciales como de fuente libre).

El método directo de la rigidez se originó en el campo de la aeronáutica. Los investigadores

consiguieron aproximar el comportamiento estructura de las partes de un avión mediante ecuaciones

simples pero que requerían grandes tiempos de cálculo. Con la llegada de los ordenadores estas

ecuaciones se empezaron a resolver de forma rápida y sencilla.

Índice

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1 Introducción

2 Fundamento teórico

3 Descripción del método

o 3.1 Matrices de rigidez elementales

3.1.1 Barra recta bidimensional de nudos rígidos

3.1.2 Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígido

3.1.3 Barra recta bidimensional con dos nudos articulados

3.1.4 Arco circular bidimensional de nudos rígidos

3.1.5 Barra recta tridimensional de nudos rígidos

o 3.2 Fuerzas nodales

3.2.1 Ejemplo

o 3.3 Cálculo de desplazamientos

o 3.4 Cálculo de reacciones

o 3.5 Cálculo de esfuerzos

o 3.6 Análisis dinámico

4 Referencia

o 4.1 Bibliografía

o 4.2 Enlaces externos

o 4.3 Programas

Introducción[editar · editar código]

El método consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático, llamado matriz de

rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos,

con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes

de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados). La matriz de

rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura,

mediante la siguiente ecuación:

(1)

Donde:   son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas exteriores aplicadas sobre la

estructura;   son las reacciones hiperestáticas inicialmente desconocidas sobre la estructura;   los

desplazamientos nodales incógnita de la estructura y   el número de grados de libertad de la

estructura.

La energía de deformación elástica también puede expresarse en términos de la matriz de rigidez

mediante la relación:

Del teorema de Maxwell-Betti se deduce que la matriz de rigidez debe ser simétrica y por tanto:

Fundamento teórico[editar · editar código]

En general, un sólido deformable real, como cualquier medio continuo es un sistema físico con un

número infinito de grados de libertad. Así sucede que en general para describir la deformación de un

sólido necesitándose explicitar un campo vectorial de desplazamientos sobre cada uno de sus puntos.

Este campo de desplazamientos en general no es reductible a un número finito de parámetros, y por

tanto un sólido deformable de forma totalmente general no tiene un número finito de grados de libertad.

Sin embargo, para barras largas elásticas o prismas mecánicos de longitud grande comparada con el

área de su sección transversal, el campo de desplazamientos viene dado por la llamadacurva

elástica cuya deformación siempre es reductible a un conjunto finito de parámetros. En concreto, fijados

los desplazamientos y giros de las secciones extremas de una barra elástica, queda completamente

determinada su forma. Así, para una estructura formada por barras largas elásticas, fijados los

desplazamientos de los nudos, queda completamente determinada la forma deformada de dicha

estructura. Esto hace que las estructuras de barras largas puedan ser tratadas muy aproximadamente

mediante un número finito de grados de libertad y que puedan ser calculadas resolviendo un número

finito de ecuaciones algebráicas. El método matricial proporciona esas ecuaciones en forma de sistema

matricial que relaciona los desplazamientos de los extremos de la barras con variables dependientes de

las fuerzas exteriores.

Esto contrasta con la situación general de los sólidos elásticos, donde el cálculo de sus tensiones

internas y deformaciones involucra la resolución de complejos sistemas de ecuaciones

diferenciales en derivadas parciales.

Descripción del método[editar · editar código]

El método matricial requiere asignar a cada barra elástica de la estructura una matriz de rigidez,

llamada matriz de rigidez elemental que dependerá de sus condiciones de enlace extremo

(articulación, nudo rígido,...), la forma de la barra (recta, curvada, ...) y las constantes elásticas del

material de la barra (módulo de elasticidad longitudinal y módulo de elasticidad transversal). A partir del

conjunto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamiento que tiene en

cuenta la conectividad de unas barras con otras se obtiene una matriz de rigidez global, que relaciona

los desplazamientos de los nudos con las fuerzas equivalentes sobre los mismos.

Igualmente a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra se construye el llamado vector de fuerzas

nodales equivalentes que dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto con estas

fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos o

enlaces exteriores (cuyos valores son incógnitas).

Finalmente se construye un sistema lineal de ecuaciones, para los desplazamientos y las incógnitas. El

número de reacciones incógnita y desplazamientos incógnita depende del número de nodos: es igual a

3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un problema tridimensional. Este sistema

siempre puede ser dividido en dos subsistemas de ecuaciones desacoplados que cumplen:

Subsistema 1. Que agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original que sólo contienen

desplazamientos incógnita.

Subsistema 2. Que agrupa al resto de ecuaciones, y que una vez resuelto el subsistema 1 y

substituido sus valores en el subsistema 2 permite encontrar los valores de las reacciones

incógnita.

Una vez resuelto el subsistema 1 que da los desplazamientos, se substituye el valor de estos en el

subsistema 2 que es trivial de resolver. Finalmente a partir de las reacciones, fuerzas nodales

equivalentes y desplazamientos se encuentran los esfuerzos en los nudos o uniones de las barras a

partir de los cuales pueden conocerse los esfuerzos en cualquier punto de la estructura y por tanto sus

tensiones máximas, que permiten dimensionar adecuadamente todas las secciones de la estructura.

Matrices de rigidez elementales[editar · editar código]

Para construir la matriz de rigidez de la estructura es necesario asignar previamente a cada barra

individual (elemento) una matriz de rigidez elemental. Esta matriz depende exclusivamente de:

1. Las condiciones de enlace en sus dos extremos (barra bi-empotrada, barra empotrada-

articulada, barra biarticulada).

2. Las características de la sección transversal de la barra: área, momentos de área (momentos

de inercia de la sección) y las características geométricas generales como la longitud de la

barra, curvatura, etc.

3. El número de grados de libertad por nodo, que depende de si se trata de problemas

bidimensionales (planos) o tridimensionales.

La matriz elemental relaciona las fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas aplicadas sobre la barra

con los desplazamientos y giros sufridos por los extremos de la barra (lo cual a su vez determina la

deformada de la barra).

Barra recta bidimensional de nudos rígidos[editar · editar código]

Un nudo donde se unen dos barras se llama rígido o empotrado si el ángulo formado por las dos barras

después de la deformación no cambia respecto al ángulo que formaban antes de la deformación. Aún

estando imposibilitado para cambiar el ángulo entre barras las dos barras en conjunto, pueden girar

respecto al nodo, pero manteniendo el ángulo que forman en su extremo. En la realidad las uniones

rígidas soldadas o atornilladas rígidamente se pueden tratar como nudos rígidos. Para barra unida

rígidamente en sus dos extremos la matriz de rigidez elemental que representa adecuadamente su

comportamiento viene dada por:

Donde:

 son las magnitudes geométricas (longitud, área y momento de inercia).

 la constante de elasticidad longitudinal (módulo de Young).

Alternativamente la matriz de rigidez de una barra biempotrada recta puede escribirse más

abreviadamente, introduciendo la esbeltez mecánica característica:

Donde:   es la es esbeltez mecánica característica.

Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro

rígido[editar · editar código]

En este caso cuando se imponen giros en el nudo articulado no se transmiten esfuerzos hacia

el nudo no articulado. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma notación que en la

sección anterior, viene dada por:

Donde se ha supuesto que el nudo articulado es el segundo. Si fuera el primero, habría que

permutar los elmentos de la matriz anterior para obtener:

Barra recta bidimensional con dos nudos articulados[editar · editar

código]

Puesto que una barra recta de nudos articulados sólo puede transmitir esfuerzos a lo largo de

su eje, la correpondiente matriz de rigidez de esa barra sólo tiene componentes diferentes para

los grados de libertad longitudinales. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma

notación que en la sección anterior, viene dada por:

Arco circular bidimensional de nudos rígidos[editar · editar código]

Barra recta tridimensional de nudos rígidos[editar · editar código]

Una barra recta tridimensional tiene 6 grados de libertad por nudo (3 de traslación y 3

de orientación), como la barra tiene dos nudos la matriz de rigidez es una matriz de 12 x 12.

Además una barra tridimensional puede transmitir torsiones, y también flexión y esfuerzo

cortante en dos direcciones diferentes, esa mayor complejida de comportamiento estructural es

lo que hace que una barra tridimensional requiera más grados de libertad y un matriz de rigidez

más compleja para describir su comportamiento, esta matriz está compuesta de 3 submatrices:

Donde las submatrices son:

Y las magntiudes geométricas y mecánicas asociadas a la barra son:

 son las magnitudes geométricas: longitud de la barra y su área transversal,

momentos de área en las direcciones y y z y módulo de torsión, respectivamente.

 la el módulo de elasticidad longitudinal y el módulo de elasticidad transversal.

 son signos relativos.

Fuerzas nodales[editar · editar código]

Para cada barra se define un vector elemental de fuerzas nodales

generalizadas, que sea estáticamente equivalente, a las fuerzas

aplicadas sobre la barra. El tamaño del vector de fuerzas nodales

depende de la dimensionalidad de la barra:

Las componentes de este vector conforman un sistema de

fuerzas y momentos de fuerza, tal que la fuerza resultante y el

momento resultante de las mismas coinciden con la fuerza y

momento del sistema de fuerzas original sobre la barra.

Ejemplo[editar · editar código]

Ejemplo de carga sobre una viga, P es una carga puntual,

y q representa una carga por unidad de longitud.

Para las cargas mostradas en la figura adjunta sobre una barra

o viga bidimensional el vector de fuerzas nodales consiste en

dos fuerzas verticales (FVd, FVi) aplicadas en cada uno de los

dos extremos, dos fuerzas horizontales (FHd, FHi) aplicadas en

cada uno de los extremos y dos momentos de fuerza (Md, Mi)

aplicados en cada uno de los extremos. Esas seis

componentes forman el vector de fuerzas nodales. Es sencillo

comprobar que la fuerza y el momento resultantes de estas

seis componentes son estáticamente equivalentes al sistema

de fuerzas original formado por P y q si se toman los siguientes

valores:

Cálculo de desplazamientos[editar · editar

código]

Una vez encontrada la matriz de rigidez global y el vector

de fuerzas nodales global se construye un sistema de

ecuaciones como (1). Este sistema tiene la propiedad de

que puede descomponerse en dos subsistemas de

ecuaciones:

1. El primero de estos sistemas relaciona

únicamente los desplazamientos incógnita con

algunas de las componentes del vector de

fuerzas nodales global y constituye siempre

un sistema compatible determinado

2. El segundo subsistema contiene también las

reacciones incógnita y una vez resuelto el primer

subsistema es de resolución trivial.

Resolviendo el primer subsistema compatible determinado,

se conocen los desplazamientos incógnita de todos los

nudos de la estructura. Insertando la solución del primer

subsistema en el segundo resultan las reacciones.

Podemos ilustrar el cálculo de desplazamientos con un

ejemplo. Por ejemplo si consideramos la flexión en el plano

XY de la viga recta de la sección anterior considerando

que se trata de una viga biarticulada unida en sus

extremos a dos rótulas fijas tendríamos que el sistema

general (1) tendría la forma para este caso particular:

Las filas 3 y 6 contienen los giros (desplazamientos)

incógnita de los extremos de la viga y tomadas en conjunto

conforman el primer subsistema para los desplazamientos.

Ignorando los términos nulos y reescrito en forma matricial

el subsistema de ecuaciones para los desplazamientos es

simplemente:

Cuya solución nos da el valor del ángulo girado por el

extremo derecho e izquierdo de la viga bajo esas cargas:

Una vez conocidos estos valores e insertados en la matriz

las filas 1, 2, 4 y 5 nos proporcionan en valor de las cuatro

reacciones hiperestáticas desconocidas previamente.

Cálculo de reacciones[editar · editar

código]

Una vez calculados los desplazamientos resolviendo un

sistema de ecuaciones, el cálculo de las reacciones es

sencillo. A partir de la ecuación (1) tenemos simplemente:

Tomando el mismo ejemplo que en la última sección el

cálculo de reacciones sobre la viga biarticulada con

carga P y q sería:

Introduciendo los valores de los giros en los extremos y

multiplicando la matriz de rigidez por el vector de

desplazamientos se tiene finalmente que:

Esto completa el cálculo de reacciones.

Cálculo de esfuerzos[editar · editar código]

El cálculo de esfuerzos se realiza examinando en

coordenadas locales de las barras el esfuerzo axial,

los esfuerzos cortantes, los momentos flectores y

el momento torsor generados en cada una de las barras,

conocidos los desplazamientos de todos los nudos de la

estructura. Esto puede hacerse usando las matrices de

rigidez expresadas en coordenadas locales y los

desplazamientos nodales expresados también en

coordenadas locales.

Análisis dinámico[editar · editar código]

Artículo principal: Análisis dinámico.

El análisis estático discutido anteriormente puede

generalizarse para encontrar la respuesta dinámica de una

estructura. Para ello se require representar el

comportamiento inercial de la estructura mediante

una matriz de masa  , modelizar las fuerzas disipativas

mediante una matriz de amortiguamiento  , que junto con

la matriz de rigidez   permiten plantear un sistema de

ecuaciones de segundo orden del tipo:

La solución del sistema anterior pasa por un cálculo de las

frecuencias propias y los modos propios. Admitiendo que

las fuerzas disipativas son poco importantes las

frecuencias propias se pueden determinar resolviendo la

siguiente ecuación polinómica en  :

Esas magnitudes permiten realizar un análisis modal que

reproduce el comportamiento de la estructura bajo

diferentes tipos de situaciones.

INTRODUCCIÓNEn los métodos matriciales para el cálculo de estructuras tantos hiperestáticos

como elementales siempre hay 2 variables, dependiendo del:

Método de la flexibilidad [2] , siendo las incógnitas las fuerzas, que se basa a

su vez en el método de los desplazamientos (abordado este tema por mi

compañero Lucas Pérez Monge

Método de la rigidez , siendo las incógnitas los desplazamientos. En el que

hay tantas ecuaciones de equilibrio como desplazamientos desconocidos.

Como muestra en un ejemplo la Imagen 1.1

Las barras de una estructura se las relaciona con los desplazamientos que

presentan en los nodos de las estructuras, con las fuerzas exteriores necesarias

para que se produzcan estos desplazamientos. Relacionando esta matriz de

rigidez las fuerzas nodales y desplazamientos sobre los nodos de la estructura a

estudiar, obtenemos la ecuación Imagen 1.2.:

 =     [3]

Donde:

Fi son las fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura; Ri son los

desplazamientos de la estructura; y di el número de grados de libertad de la

estructura.

La rigidez de una estructura consiste en que no sobrepasen un límite que están

íntimamente ligados con la funcionalidad o estabilidad en la elasticidad lineal de la

pieza a estudiar.

La deformación elástica se expresa también mediante esta matriz de rigidez

mediante la Imagen 1.3:

 =     ·   =     [4]

Del teorema de Maxwell-Betti [5] se deduce que la matriz de rigidez debe ser

simétrica en el que deduce que:

Si sobre un cuerpo elástico actúa una causa en un punto A, la deformación que se

produce en otro punto del sistema B es igual a la que se produciría en A si la

causa actuase en B. (J. C. Maxwell)

Con lo que interpreta que sólo existe la acción de una fuerza y no un conjunto de

éstas.

Este teorema es aplicable a la matriz de rigidez de una estructura lineal en el

que establece que ésta debe ser simétrica, como muestra en la Imagen 1.4:

[6]

ORIGEN

M. Levy en 1947 demostró la utilidad del método de la flexibilidad o de las fuerzas

para el análisis de estructuras. Esta teoría se completó en 1950 por L.B. Wehle y

W. Lansing. Levy fue el primero también en proponer el método de la rigidez o

desplazamientos para su análisis estructural, en un artículo publicado en 1953, y

ya estableció las ecuaciones en forma matricial, resolviéndolas mediante el

ordenador. [7]

Al principio estos métodos se utilizaron para resolver problemas de estática lineal

en estructuras de barras, pero posteriormente, se destinaron al análisis de

estructuras más complejas incluyendo en este análisis el método de los elementos

finitos.

Entre 1945-1955 aparecieron los primeros artículos con los citados autores para

los métodos de matrices de rigidez y flexibilidad de una estructura, este método

resurgió en aeronáutica, cuyos investigadores consiguieron estudiar el

comportamiento estructural del avión mediante ecuaciones simples. Mientras que

en Ingeniería Estructural necesitaban otros métodos que contrastasen diseños

más complejos, por lo que se ha seguido estudiando este método. El mayor

inconveniente era su gran tiempo en la ejecución de sus cálculos. Pero con la

coincidencia en la misma época de la entrada de los ordenadores (en especial con

la utilización del programa informático MATLAB u Octave, éste último con licencia

libre) facilitaron la resolución de estas ecuaciones de forma rápida y directa.

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULOEl procedimiento de cálculo, según la demostración obtenida de Roberto Aguiar

Falconí. CEINCI-ESPE, ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS[8] para hallar

la matriz de rigidez de una estructura K se consigue mediante los siguientes

pasos:

1) Establecemos la deformada elemental cuya columna se va a calcular.

2) Debemos localizar las deformaciones p en cada uno de los elementos afiliado a

la deformada elemental.

3) Hacemos una transformación de las deformaciones p de cada elemento en

cargas internas P a través de la matriz de rigidez del elemento k. Siendo la

ecuación matricial: P= k•p

4) Realizamos el equilibrio de cada uno de los elementos que conforman la

estructura.

5) Debemos localizar el equilibrio de cada uno de los nodos de la estructura.

6) En este paso se obtienen las cargas que ejerce sobre la estructura y el vector

de las cargas que son los elementos de la matriz de rigidez de la estructura.

Ahora veremos (Imagen 3.1) un ejemplo[9] donde va siguiendo estos pasos:

Primero debemos darnos cuenta que las deformaciones p se obtienen de las

siguientes ecuaciones:

 - 

 - 

La matriz de rigidez de un elemento para un sistema de coordenadas indicado es:

 = 

Las cargas del elemento 1 se obtienen del producto matricial

Donde   es de la siguiente forma:

 =   

De donde:

Lo normal es que se realice con los elementos 2 y 3, es decir, se multiplica la

matriz de rigidez de cada elemento por su vector de deformaciones, obteniéndose:

Resumiendo, el vector de cargas generalizadas Q que establecida como:

 =   

Por definición los elementos de Q son los términos de la primera columna de la

matriz de rigidez de la estructura. Dando una matriz más simplificada cuyo

resultado final es el siguiente:

 = 

MÉTODO MATRICIAL DE LA RIGIDEZ PARA ESTRUCTURAS HIPERESTATICASEn el estudio de una estructura por el método de la rigidez[10] se establecen tres

conjuntos de ecuaciones que deben cumplir.

Ecuaciones de compatibilidad

Ecuaciones constitutivas

Ecuaciones de equilibrio

Nuestro método a describir será para la rigidez de estructuras hiperestáticas

mediante matrices, aunque su flexibilidad, en el concluiremos con unas

conclusiones diferenciándola con la rigidez ya que, se calcula mediante un campo

vectorial y matricial de desplazamientos.

Las estructuras de barras hiperestáticas largas tienen un número finito de grados

de libertad pudiéndose calcular mediante un numero definido con el mismo

número de ecuaciones que de incógnitas en forma algebraica.

La matriz de rigidez es simétrica y dispersa; por lo que decimos que la matriz de

rigidez es la inversa de la matriz de flexibilidad, relacionando entre ellas los

desplazamientos con las cargas que actúan (Imagen 4.1).

 =     [11]

Un ejemplo de la matriz rigidez de una estructura hiperestática de una barra será

de orden 4 como muestra la Imagen 4.2.

 = 

y los vectores de carga y de movimientos (Imagen 4.3):

   [12]

Simplificando la matriz rigidez obtenemos una matriz más esquematizada como

muestra en la Imagen 4.4.

 = 

 [

13]

Sabiendo Eliminando las filas y columnas que se encuentran coaccionados debido

a los g.d.l. resultndoa la siguiente matriz simplificada (Imagen 4.5)

 =     [14]

Este método dependerá de una serie de condiciones que se designará a cada

barra elástica de la estructura a estudiar, estos factores dependen [15] de:

las condiciones de enlace en su extremo (articulación, nudo rígido, etc.)

la forma de la barra: si es recta, curvada, etc.

Las constantes elásticas del material de la barra, ya sea longitudinal o

transversal.

También podremos decir que a partir de las fuerzas aplicadas sobre la barra se

forma el vector de fuerza que equivale a las acciones exteriores sobre la

estructura. Las únicas incógnitas que nos encontraremos serán las posibles

reacciones sobre la estructura en sus apoyos. En el que con todos estos datos

construimos un sistema lineal de ecuaciones para los desplazamientos que se

produzcan y las incógnitas de sus apoyos. Este número de desplazamientos y

reacciones incógnitas dependerán del número de nodos; siendo:

Si es igual a 3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un

problema tridimensional. Este sistema se divide en dos subsistemas de

ecuaciones que cumplen:

Subsistema 1: Agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original

que sólo tiene desplazamientos como incógnita.

Subsistema 2: Agrupa al resto de ecuaciones, en el que resuelto el

subsistema 1 y sustituido en el subsistema 2 obtendremos el resultado de

las reacciones incógnita.

En el que finalmente una vez obtenidas las reacciones, fuerzas nodales

equivalentes y desplazamientos; podemos conocer los esfuerzos que

pasa en cualquier punto de la estructura, sus tensiones máximas y

dimensionar las secciones de la estructura.

MATRICES DE RIGIDEZ ELEMENTAL

Las matrices de rigidez elemental depende únicamente de:

1. Las condiciones de enlace en sus dos extremos (barra bi-empotrada,

barra empotrada-articulada, barra biarticulada).

2. Las características de la sección transversal de la barra: área,

momentos de inercia de la sección y las características geométricas

(longitud de la barra, curvatura, etc.)

3. El número de grados de libertad por nodo, dependerán si son

problemas bidimensionales (planos) o tridimensionales. Esto relaciona a

su vez la deformada de la barra al relacionar las fuerzas nodales

equivalentes a las fuerzas aplicadas con los desplazamientos y giros en

sus extremos.

Estos esfuerzos en los extremos y desplazamientos de las barras

dependen directamente del tipo de estructura que se va a resolver:

a) Reticulado Plano: dos desplazamientos por nudo

b) Reticulado Espacial: tres desplazamientos por nudo.

En ambos casos sólo tendremos esfuerzos normales.

c) Pórtico Plano: tres desplazamientos por nudo (una rotación en el

plano del pórtico y dos traslaciones), y como acciones en el extremo de

una barra existen tres acciones (una fuerza axial, un esfuerzo de corte y

un momento flector).

d) Pórtico Espacial: seis desplazamientos por nudo, tres traslaciones y

tres rotaciones, y como acciones en el extremo de una barra existen

cuatro acciones (una fuerza axial, dos esfuerzos de corte dos momentos

flectores y un momento torsor).

e) Emparrillado de vigas: tres desplazamientos nodales (un corrimiento

normal al plano de la grilla y dos rotaciones alrededor de los ejes

contenidos en el plano). Los esfuerzos son un cortante y dos momentos

(un torsor y un flector).

En relación a la magnitud del vector de fuerzas nodales depende de la

dimensionalidad de la barra como muestra en la Imagen 4.1.1[16]:

:  

En la MATRIZ DE ROTACIÓN (r = f(α)) se puede representar con una

orientación arbitraria α, que conviertes los vectores y matrices entre los

sistemas de referencia absoluto y local, en los distintos tipos de

estructuras como en:

Reticulado plano en una barra : Imagen 4.1.2:

 =   [17]

Vigas : al ser horizontales no hace falta su transformación mediante la

matriz de rotación.

Pórtico plano en una barra : Imagen 4.1.3

 =   [18]

Entramado o parrilla  Imagen 4.1.4:

 =   [19]

Barra recta bidimensional de nudos rígidos

Se llama nudo que une dos barras de manera rígida o empotrada si el

ángulo formado por las dos barras después de la deformación no varía

con el ángulo que formaba antes de su deformación. Este conjunto

permite un giro respecto a un nodo, pero con la salvedad de que

mantienen el ángulo que forman en su extremo. Para este tipo de barras

unidas rígidamente en sus dos extremos la matriz de rigidez elemental

viene dado como muestra en la Imagen

4.1.1.1http://campusvirtual.unex.es/cala/epistemowikia/skins/common/

images/button_math.png:

 =   [20]

Donde:

L, A, I son las magnitudes geométricas (longitud, área y momento de

inercia).

E la constante de elasticidad longitudinal (módulo de Young).

Para obtener la matriz de rigidez en este tipo de barra biempotrada más

abreviada, introducimos la esbeltez mecánica característica, para reducir

su matriz:

 =   = 

Donde:   es la esbeltez mecánica característica.

 =   [21]

Así mediante esta matriz, queda relacionada las fuerzas en el extremo de

la barra (f) con los desplazamientos nodales (d).

Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígido

En este caso se incorporan giros en el nudo articulado pero sin transmitir

esfuerzos al nudo rígido. En este caso la matriz de rigidez, viene dada

por (Imagen 4.1.2.1 y 3.1.2.2):

 =