PROYECTO DE ESTRUCTURA III

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PANAMCAMPUS DR. VCTOR LEVI SASSOFACULTAD DE INGENIERIA CIVILLICENCIATURA EN INGENIERIA CIVIL

PROYECTO DE ESTRUCTURAS IIIREPORTE PARA EL PROGRAMA DE RESOLVER MARCOS MEDIANTE MTODO DE RIGIDEZ

PREPARADO POR:Corts, Nilda 4-769-539Cubilla, Kiria 4-770-352Zambrano, Csar 7-708-1985

PROFESOR: ING. NELSON CEDEO

Grupo:11C141

Fecha de Entrega:Jueves 9 de Julio de 2015.

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NDICEContenido del ReporteNDICEiINTRODUCCINiiiDescripcin Matemtica del Mtodo de Rigidez1A.Teora y Procedimiento1B.Algoritmos y Ecuaciones6Consolidacin de la Matriz de Rigidez Global8Vector de Reacciones9Cargas del Sistema10Solucin del Sistema F=KD+P con remplazo y reordenamiento matricial.11Cortantes y Momentos de cada extremo12Diagrama de Flujo13A.Diccionario de Variables13B.Flujograma14Diccionario del Flujograma14Flujograma15Uso del Programa16A.Formato de Datos16B.Formularios16C.Formato de Resultados19Originalidad del programa19Problema 1 Resuelto a mano con excel20A.Planteamiento20Matrices de Rigidez por Elemento20Matriz de Rigidez Global24Vector de Fuerzas Nodales, Reacciones, Desplazamiento y Particular26B.Soluciones27Desplazamientos27Reacciones27Problema 2 Resuelto a mano con excel28A.Planteamiento28Matrices de Rigidez por Elemento28Matriz de Rigidez Global32Vector de Fuerzas Nodales, Reacciones, Desplazamiento y Particular35B.Soluciones36Desplazamientos36Reacciones36Procedimiento y Resultados Obtenidos con el programa37A.Procedimiento de Ejemplo 1 (Acero)37Introduccin de Propiedades del Marco37Insertar Cargas38B.Resultados38Conclusiones40A.Comparaciones de Resultados y Discusin de los mismos40B.Limitaciones del programa40C.Reflexiones40Bibliografa41

1. INTRODUCCIN

En la lnea de vida de un proyecto estructural, siempre existir entre los primeros pasos, el anlisis estructural de los modelos propuestos. Hoy en da, el tamao de las estructuras que son usualmente construidas en el mundo no permite que el proceso de clculo, anlisis y posteriormente, diseo, sea realizado manualmente. Producto de esto han salido al mercado programas que, utilizando como pininos el mtodo de rigidez, analizar la estructura de forma finita. No es la intencin del programa desarrollado, Proyecto Marco, competir con SABLE, SAP2000, PROKON, pero si es un programa ligero con la capacidad de resolver efectivamente el marco especificado, el cual es un prtico tpico en la construccin de apartamentos de baja altura. El mtodo de rigidez tiene la ventaja de plantear para un sistema de ecuaciones global de la estructura, con el cual no se considera si la estructura es determinada o indeterminada. De hecho, incluso colocando apoyos simples en todos los nudos con restricciones, el prtico planteado es indeterminado. Proyecto Marco, cumple con el objetivo de encontrar soluciones de desplazamiento y reacciones para sistemas indeterminados. Dicho esto, nos damos cuenta que en realidad no es necesario delimitar las condiciones de equilibrio, para escoger el tipo de metodologa necesaria para resolver el sistema sino para resolver el sistema de ecuaciones en base a las condiciones de compatibilidad, reacciones fuerza-deformacin de cada elemento del marco para obtener resultados apropiados.Para desarrollar el programa se utiliz el programa Visual Studio Versin Comunnity 2013. Esto fue de gran ayuda ya que utiliza el lenguaje de programacin Basic, desarrollado previamente en el curso de programacin. Con certeza se puede decir que no todos los comandos y herramientas son conocidas, pero el programa visual studio tiene la ventaja de que brinda al usuario manuales en lnea para cada herramienta que exista en l.

i

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Descripcin Matemtica del Mtodo de Rigidez

Teora y ProcedimientoEn la introduccin se mencion algo sobre los grados de libertad de la estructura cuando se trajo a colacin la indeterminacin de las estructuras. Por este motivo es importante describir cuales son los grados de libertad en los marcos 2D. Los grados de libertad son los desplazamientos a los cuales puede estar sometido un nodo; traslacin en el eje horizontal, traslacin en el eje vertical y rotacin. Si no se considera asentamiento, la deflexin o traslacin perpendicular al eje de la viga original, es cero. Si a este efecto agregamos la condicin de empotramiento en nodos extremos, como fue requerido en el proyecto, las rotaciones son iguales a cero tambin; de otra forma, entonces sern incgnitas en el sistema de ecuaciones.Si consideramos un elemento con nodo inicial N y nodo final F (Del ingls Near: cerca; y Far: Lejano) y sometemos a traslacin y rotaciones cada nudo por separado. La respuesta de la estructura, con convencin asumida positiva por este diagrama, es la siguiente:

El desplazamiento en la direccin y ha generado respuestas qNYdNY y qFYdFY. El desplazamiento en x; qNXdNX y qFXdFX. Mientras que las rotaciones alrededor del eje perpendicular a esta hoja (Z) han generado las respuestas qNZdNZ Y qFZdFZ. En base a la aplicacin del mtodo de pendiente deflexin se pueden obtener las respuestas a cada movimiento nodal en y y z individualmente como plantean los siguientes diagramas:

La condicin axial se estudia con el anlisis de barras utilizado para cerchas.

Al sumar todas las respuestas planteadas con los diagramas presentados previamente se puede obtener una matriz de la siguiente forma:

Esto se conoce como el sistema Q=Kd, el cual de forma literal se lee como Respuestas o Reacciones nodales es igual a la Matriz de Rigidez por los Desplazamientos nodales La matriz de rigidez presentada es vlida para un solo elemento. Ahora, no todos los elementos de un marco se extienden sobre el mismo eje, por lo cual es necesario convertir estas fuerzas hacia un eje global de forma que se pueda hacer equilibrio de fuerzas en cada nodo para los elementos que concurran all.Para esto es necesario aplicar trigonometra en base al ngulo de rotacin que tenga el eje del elemento respecto al eje cartesiano.

Al hacer el proceso para el nodo F, todas las componentes de desplazamiento pueden ser expresadas matricialmente como

Ahora se repite el proceso para las fuerzas en cada nodo con lo cual se obtiene una matriz como la siguiente:

Mantenga en mente que ha analizado una situacin particular: 1 elemento sometido a desplazamientos nodales, que pasa si este elemento tiene cargas entre los nodos.En este caso, es necesario aplicar el resto de la ecuacin de pendiente deflexin e insertar las reacciones y momentos de empotramiento (se han incluido las reacciones ya que tambin se analiza la condicin de cortante y no solo la de flexin como era en el mtodo de pendiente deflexin).

De tal forma se plantea el mtodo de rigidez para una viga como QN=Kd+P donde P, es el vector particular donde se incluyen las reacciones y momentos de cada nodo.

Nuevamente, es necesario detenerse a analizar que tenemos otra situacin particular: un elemento sometido en sus nodos extremos a desplazamientos mientras soporta cargas entre los mismos. Hagamos nfasis en un. Ahora es necesario analizar individualmente tantos elementos como tenga el marco, y plantear equilibrio en cada Nudo de forma que las respuestas (axiales, cortantes y momentos de cada nudo) sean sumados o en programacin Consolidados, cuando se hace esto; entonces el sistema cambia de forma local a forma global para toda la estructura a:

Donde QN, que previamente eran las respuestas en cada nodo de la viga, ha pasado a ser Fn, las fuerzas externas aplicadas en los nodos de la estructura.Con esto hemos terminado de delimitar los pasos necesarios para plantear el sistema de ecuaciones que genera y resuelve Proyecto Marco.

Algoritmos y Ecuaciones

La variable de entrada requerida por el proyecto es la cantidad de miembros nv que tendr la viga continua. Una vez el usuario defina que tantos elementos quiere analizar entonces se automatiza una gran cantidad de clculos; por ejemplo:

VariableClculoJustificacin

Elementosm= 3*pisos+2*pisos=5*pisosExisten tantas columnas por hilera, como pisos y, el doble de vigas por cada piso.

Nmero de Nodosn=3*(pisos+1)En cada hilera de columnas existen pisos +1 nodos ya que las columnas son continuas.

Nodos con restriccionesNodo Izquierda : 1Nodo Intermedia: Pisos +2Nodo Derecha: 2*(Pisos+1)+1Estas deducciones fueron hechas analizando el marco propuesto.

Primera Viga3*Pisos + 1

Primer Elemento de cada Hilera de Columnas1, Pisos +1, 2*(Pisos)+1

Diferencia entre conteo de nodo inicial y final de cada vigaD=Pisos+1

VariableClculoJustificacin

Nudos iniciales (near) y finales (far) de columnas por hileranf(elemento)=ni(elemento) + 1Para esto es necesario asignar a la primera columna de cada hilera como nodo inicial los nudos con restricciones.

Nudos iniciales (near) y finales (far) de las vigas de la izquierdanf(elemento)=ni(elemento)+ Pisos + 1Para esto es necesario asignar los nmeros desde 2 hasta Pisos +1 a los elementos viga de la izquierda.

Nudos iniciales (near) y finales (far) de las vigas de la derecha.ni(elemento)=ni(elemento previo)

Tamao de Vectores y Matrices del sistema IndividualSize Vector = 6Size Matriz = 6,6El sistema planteado por QN=Kd+P toma en cuenta 2 grados de libertad por nudo

Tamao de Vectores y Matrices del sistema GlobalSize Vector = 3*nSize Matriz = 3*n,3*nEl sistema planteado por R=Kd+P toma en cuenta 2 grados de libertad por nudo

Tamao de Vectores de Propiedades de la VigaSize Vector=mHay que almacenar cada elemento con sus propiedades.

Consolidacin de la Matriz de Rigidez GlobalBasados en que el sistema de ecuaciones global de la matriz tendr como tamao 3n X 3n la coordenada inicial del sistema (1,1) es igual a [3*nn(1)-2] X [3*nn(1)-2] y la coordenada final (3n,3n); [3*nf(m)] X [3*nf(m)]. Con lo cual se pueden asignar coordenadas continuamente a lo largo del sistema global.En cada coordenada del sistema global deben ser superpuestos (consolidados) las contribuciones que hagan a la misma reaccin, por causa de los mismos desplazamientos a un nodo. En pocas palabras, si el sistema global tiene coordenadas X,Y entonces se debe acumular en esa posicin todos los miembros de las matrices individuales de tengan coordenadas X,Y.Para esto se calculan las coordenadas de cada elemento de la matriz de rigidez mediante la metodologa planteada anteriormente:Elemento i3nn(i)-23nn(i)-23nn(i)3nf(i)-23nf(i)-13nf(i)

3nn(i)-2XXXXXX

3nn(i)-2XXXXXX

3nn(i)XXXXXX

3nf(i)-2XXXXXX

3nf(i)-1XXXXXX

3nf(i)XXXXXX

Vector de ReaccionesEl vector R controla al vector desplazamientos ya que no se consideran asentamientos en los nudos. De tal forma donde R tiene incgnitas, el desplazamiento es cero, ya que hay una restriccin para rotacin o desplazamiento. Y por ende los apoyos articulados, que no soportan rotacin; se desplazan al girar alrededor de Z.Es importante controlar donde se establece cada reaccin a los grado de libertad.ComponenteNudo

X1

Y1

M1

X2

Y2

M2

X3

Y3

M3

X4

Y4

M4

VariableCalculoJustificacin

Vector R(3* nudo con restriccin-2)IncgnitaSiempre hay reaccin vertical en los apoyos.

Vector D(3* nudo con restriccin-2)0No se considera asentamiento en el programa.

Vector R(3* nudo con restriccin-1)IncgnitaSiempre hay reaccin horizontal en los apoyos.

Vector D(3*nudo con restriccin-1)0No se considera asentamiento en el programa.

Vector R(3*nudo con restriccin)Variable: 0 incgnitaSi se coloca empotramiento en el nudo restringido entonces puede haber un momento aplicado.

Vector D(3*nudo con restriccin)Variable: Incgnita 0Si se coloca empotramiento en el nudo restringido entonces puede haber una restriccin contra la rotacin.

Cargas del SistemaEs posible aplicar cargas puntuales en los nudos de la izquierda (1 a pisos +1) y cargas en las vigas (3*pisos +1 a 5*pisos).En el caso de las vigas, aquellas colocadas hacia la izquierda estn cargadas por W1 (el cual puede variar por piso en el programa) y las de la derecha por W2.Se especifica que El formulario aplicado permite la aplicacin de cargas diferentes por tramo de viga. Con lo cual se le agrega un poco de originalidad al programa, ya que este no era un requerimiento inicial.

Con lo cual para el elemento de viga 3*pisos + iElemento 3*pisos + i

3nn(i)-1R1 de cada carga incluida

3nn(i)M1 de cada carga incluida

3nf(i)-1R2 de cada carga incluida

3nf(i)M2 de cada carga incluida

Por otro lado, para permitir la posibilidad de incluir cargas en el nodo 1, se cambia el sistema F=Kd+P se ha programado la solucin de R + Fnodo=Kd+P.

Solucin del Sistema F=KD+P con remplazo y reordenamiento matricial.Durante la clase de mtodos numricos se dio este tema, al momento se mencion la importancia que tendra en el curso de Estructura III.En primer lugar utilizando los mtodos de algebra lineal para la solucin de sistemas lineales no se desarrollaron sistemas con cortes en el eje vertical (Y=ax+B). No se plantearon el mtodo de Gauss, Gauss-Jordan y Kramer para un sistema Y=axDe tal forma es necesario transformar el sistema F=KD+P en Y=KD donde Y es igual a R-P+FNODO. Se encuentran las soluciones para Y, al sumar P y restar FNODO (que son vectores de solo nmeros) se resuelve R.Ahora ya hemos resuelto un problema; el siguiente es que el mtodo plantea un sistema de ecuaciones Y=AX donde hay incgnitas tanto en Y como en X, por lo cual es necesario reordenar el sistema, y posteriormente reducirlo y resolverlo.

ProcesoJustificacin

Para reordenar DColocar incgnitas de D en la parte superior; por ende las primeras columnas de K debern ser las que correspondan a estas posiciones de D.

Para reordenar YColocar incgnitas de Y en la parte superior; por ende las primeras filas de K debern ser las que correspondan a estas posiciones de Y.

Para reducirTrabajar con un sistema que solo tenga tantas filas y tantas columnas como incgnitas en D.

Para resolver DUtilizar Gauss-Jordan y encontrar grados de libertad

Para resolver YVolver al sistema original y remplazar las incgnitas de D, multiplicar matricialmente y encontrar Y

Para resolver RSumar a Y la consolidacin del vector P y restar Fnodo.

Cortantes y Momentos de cada extremoCon los desplazamientos conocidos en cada nodo, basta con aplicar la ecuacin Q=Kd+P de cada elemento para encontrar los valores de Q que contienen cortante en el nodo N, momento en el nodo N, cortante en el nodo F y momento en el nodo F respectivamente.

Diagrama de Flujo1. Diccionario de VariablesLas variables ms representativas del proyecto se describen aqu.Variab. Del Marc.Descripcin

npiCantidad de pisos

nvCantidad de elementos

nCantidad de nodos

nn(nv)Nodo inicial de cada elemento

nf(nv)Nodo final de cada elemento

L(nv)Longitud de elementos

Em(nv)Elasticidad de los Elementos

Im(nv)Inercia de los Elementos

Am(nv)rea de los Elementos

Ds1(3n)Vector Desplazamiento

Rs1(3n)Vector de Reacciones

Mk(6,6)Matriz de Rigidez por Elemento

Mx( 3n, 3n )Matriz de Rigidez Global

M1,M2,R1,R2Momentos y Reacciones de Empotramiento en Nodos 1 y 2 de cada elemento

Pord(6*nv)Solucin particular de cada elemento.

Ps1(3*nv)Solucin particular de la viga continua

Ps2(3*nv)Vector de Fuerzas Laterales aplicadas

Ds2(3*n)Vector Desplazamiento con soluciones

Rs2()Vector Reacciones con soluciones

An(nv)Fuerza en X en nodo n de cada tramo

Af(nv)Fuerza en X en nodo f de cada tramo

Cn(nv)Fuerza en Y en nodo n de cada tramo

Cf(nv)Fuerza en Y en nodo f de cada tramo

Mn(nv)Momento en nodo n de cada tramo

Mf(nv)Momento en nodo f de cada tramo

Flujograma

Diccionario del Flujograma

Flujograma

Uso del Programa1. Formato de DatosSe han anexado etiquetas a lo largo del programa para controlar como el usuario debe insertar las unidades; bsicamente se ha trabajo con unidades comunes de cada sistema.Sistema InternacionalSistema Ingls

Distanciamft

FuerzakNKips

Carga DistribuidakN/mKips/ft

ElasticidadMPaKips/in2

Areamm2in2

Inerciamm4in4

Formularios1. Presentacin del Proyecto (Form5)

Presentacin del Proyecto donde se introduce el sistema de unidades a utilizar.

2. Elementos del Marco (Form1)

En este formulario es necesario dimensionar el marco, e insertar las propiedades de la seccin.

3. Cargas (Form3)

En este formulario el usuario introduce las cargas de las vigas y las cargas en los nodos.

Los datos sern procesados desde el datagridview por lo cual se pueden modificar los valores insertados.4. Resultados (Form4)

En este formulario se observan los vectores de reacciones, desplazamientos, axiales, cortantes y momentos en los extremos de cada elemento.

5. Mtodo de Rigidez para Marcos (Form2)

En este formulario se puede visualizar el sistema de ecuaciones por elemento y el sistema de ecuaciones global de la viga.Formato de ResultadosLos resultados son mostrados en conjunto con sus unidades en el programa. Las unidades de los resultados son los siguientes. Adicionalmente en el formulario de resultados se muestran las convenciones asumidas.Sistema InternacionalSistema Ingls

Traslacionesmft

FuerzakNKips

MomentokN-mKips-ft

Rotaciones--

Originalidad del programaCaractersticaDescripcin

Inercias y reas diferentes en cada elementoSe puede automatizar la insercin de datos con una sola inercia y rea, pero las mismas tambin puede ser modificada

Sistema de UnidadesSistema internacional e ingls para facilitar la insercin de datos

Etiquetas de formatoNotas recuerdan al usuario constantemente como insertar los datos y como observa los resultados

ElasticidadSe utilizan las formulas ACI para el clculo de la elasticidad del concreto.

Men de Navegacin Sencillo

Cargas DiferentesSe pueden insertar cargas diferentes por cada elemento de viga.

Problema 1 Resuelto a mano con excel

VariableValor

ApoyosSimples Todos

h14.0m

h23.20m

L14.0m

L24.5m

I40600000mm4

A303000mm2

EAcero=200GPa

W12kN/m

W23kN/m

P0,100,120,140kN

1. PlanteamientoMatrices de Rigidez por ElementoElemento #1

H11522.500.00-3045.00-1522.500.00-3045.0000

Y10.0015150000.000.000.00-15150000.000.0000

Y1=-3045.000.008120.003045.000.004060.00XO1+0

H2-1522.500.003045.001522.500.003045.00U20

Y20.00-15150000.000.000.0015150000.000.00V20

M2-3045.000.004060.003045.000.008120.00O20

Elemento #2

H22973.630.00-4757.81-2973.630.00-4757.81U20

Y20.0018937500.000.000.00-18937500.000.00V20

Y2=-4757.810.0010150.004757.810.005075.00XO2+0

H3-2973.630.004757.812973.630.004757.81U30

Y30.00-18937500.000.000.0018937500.000.00V30

M3-4757.810.005075.004757.810.0010150.00O30

Elemento #3

H32973.630.00-4757.81-2973.630.00-4757.81U30

Y30.0018937500.000.000.00-18937500.000.00V30

Y3=-4757.810.0010150.004757.810.005075.00XO3+0

H4-2973.630.004757.812973.630.004757.81U40

Y40.00-18937500.000.000.0018937500.000.00V40

M4-4757.810.005075.004757.810.0010150.00O40

Elemento #4

H51522.500.00-3045.00-1522.500.00-3045.0000

Y50.0015150000.000.000.00-15150000.000.0000

Y5=-3045.000.008120.003045.000.004060.00XO5+0

H6-1522.500.003045.001522.500.003045.00U60

Y60.00-15150000.000.000.0015150000.000.00V60

M6-3045.000.004060.003045.000.008120.00O60

Elemento #5

H62973.630.00-4757.81-2973.630.00-4757.81U60

Y60.0018937500.000.000.00-18937500.000.00V60

Y6=-4757.810.0010150.004757.810.005075.00XO6+0

H7-2973.630.004757.812973.630.004757.81U70

Y70.00-18937500.000.000.0018937500.000.00V70

M7-4757.810.005075.004757.810.0010150.00O70

Elemento #6

H72973.630.00-4757.81-2973.630.00-4757.81U70

Y70.0018937500.000.000.00-18937500.000.00V70

Y7=-4757.810.0010150.004757.810.005075.00XO7+0

H8-2973.630.004757.812973.630.004757.81U80

Y80.00-18937500.000.000.0018937500.000.00V80

M8-4757.810.005075.004757.810.0010150.00O80

Elemento #7

H91522.500.00-3045.00-1522.500.00-3045.0000

Y90.0015150000.000.000.00-15150000.000.0000

Y9=-3045.000.008120.003045.000.004060.00XO9+0

H10-1522.500.003045.001522.500.003045.00U100

Y100.00-15150000.000.000.0015150000.000.00V100

M10-3045.000.004060.003045.000.008120.00O100

Elemento #8

H102973.630.00-4757.81-2973.630.00-4757.81U100

Y100.0018937500.000.000.00-18937500.000.00V100

Y10=-4757.810.0010150.004757.810.005075.00XO10+0

H11-2973.630.004757.812973.630.004757.81U110

Y110.00-18937500.000.000.0018937500.000.00V110

M11-4757.810.005075.004757.810.0010150.00O110

Elemento #9

H112973.630.00-4757.81-2973.630.00-4757.81U110

Y110.0018937500.000.000.00-18937500.000.00V110

Y11=-4757.810.0010150.004757.810.005075.00XO11+0

H12-2973.630.004757.812973.630.004757.81U120

Y120.00-18937500.000.000.0018937500.000.00V120

M12-4757.810.005075.004757.810.0010150.00O120

Elemento #10

H215150000.000.000.00-15150000.000.000.00U20

Y20.001522.503045.000.00-1522.503045.00V24

Y2=0.003045.008120.000.00-3045.004060.00XO2+2.666666667

H6-15150000.000.000.0015150000.000.000.00U60

Y60.00-1522.50-3045.000.001522.50-3045.00V64

M60.003045.004060.000.00-3045.008120.00O6-2.666666667

Elemento #11

H613466666.670.000.00-13466666.670.000.00U60

Y60.001069.302405.930.00-1069.302405.93V66.75

Y6=0.002405.937217.780.00-2405.933608.89XO6+5.0625

H10-13466666.670.000.0013466666.670.000.00U100

Y100.00-1069.30-2405.930.001069.30-2405.93V106.75

M100.002405.933608.890.00-2405.937217.78O10-5.0625

Elemento #12

H315150000.000.000.00-15150000.000.000.00U30

Y30.001522.503045.000.00-1522.503045.00V34

Y3=0.003045.008120.000.00-3045.004060.00XO3+2.666666667

H7-15150000.000.000.0015150000.000.000.00U70

Y70.00-1522.50-3045.000.001522.50-3045.00V74

M70.003045.004060.000.00-3045.008120.00O7-2.666666667

Elemento #13

H713466666.670.000.00-13466666.670.000.00U70

Y70.001069.302405.930.00-1069.302405.93V76.75

Y7=0.002405.937217.780.00-2405.933608.89XO7+5.0625

H11-13466666.670.000.0013466666.670.000.00U110

Y110.00-1069.30-2405.930.001069.30-2405.93V116.75

M110.002405.933608.890.00-2405.937217.78O11-5.0625

Elemento #14

H415150000.000.000.00-15150000.000.000.00U40

Y40.001522.503045.000.00-1522.503045.00V44

Y4=0.003045.008120.000.00-3045.004060.00XO4+2.666666667

H8-15150000.000.000.0015150000.000.000.00U80

Y80.00-1522.50-3045.000.001522.50-3045.00V84

M80.003045.004060.000.00-3045.008120.00O8-2.666666667

Elemento #15

H813466666.670.000.00-13466666.670.000.00U80

Y80.001069.302405.930.00-1069.302405.93V86.75

Y8=0.002405.937217.780.00-2405.933608.89XO8+5.0625

H12-13466666.670.000.0013466666.670.000.00U120

Y120.00-1069.30-2405.930.001069.30-2405.93V126.75

M120.002405.933608.890.00-2405.937217.78O12-5.0625

Matriz de Rigidez Global

123456789101112131415161718

115230-3045-15230-3045000000000000

201515000000-151500000000000000000

3-304508120304504060000000000000

4-152303045151544960-1713-29740-4758000000-1515000000

50-15150000003408902330450-1893750000000000-15233045

6-304504060-17133045263904758050750000000-30454060

7000-2974047581515594700-29740-4758000000

80000-18937500003787652330450-189375000000000

9000-4758050750304528420475805075000000

10000000-2974047581515297404758000000

110000000-1893750000189390233045000000

12000000-4758050754758304518270000000

1300000000000015230-3045-15230-3045

1400000000000001515000000-151500000

15000000000000-304508120304504060

16000-1515000000000000-152303045286211630-1713

170000-1523-30450000000-151500000034090092-639

18000030454060000000-304504060-1713-63933608

19000000-1515000000000000-297404758

200000000-1523-30450000000-189375000

21000000030454060000000-475805075

22000000000-1515000000000000

230000000000-1523-3045000000

24000000000030454060000000

25000000000000000000

26000000000000000000

27000000000000000000

28000000000000000-1346666700

290000000000000000-1069-2406

30000000000000000024063609

31000000000000000000

32000000000000000000

33000000000000000000

34000000000000000000

35000000000000000000

192021222324252627282930313233343536

1000000000000000000

2000000000000000000

3000000000000000000

4000000000000000000

5000000000000000000

6000000000000000000

7-1515000000000000000000000

80-15233045000000000000000

90-30454060000000000000000

10000-1515000000000000000000

110000-15233045000000000000

120000-30454060000000000000

13000000000000000000

14000000000000000000

15000000000000000000

16-29740-4758000000-1346666700000000

170-1893750000000000-10692406000000

184758050750000000-24063609000000

192862261400-29740-4758000000-1346666700000

20037877592-6390-1893750000000000-10692406000

210-639356384758050750000000-24063609000

22-2974047582861964004758000000000-1346666700

230-189375000018940092-6390000000000-10692406

24-4758050754758-639254880000000000-24063609

2500000015230-3045-15230-3045000000

2600000001515000000-151500000000000

27000000-304508120304504060000000

28000000-152303045134711630-1713-29740-4758000

290000000-151500000034088569-24060-189375000000

30000000-304504060-1713-240625488475805075000

31-1346666700000000-2974047581347261400-29740-4758

320-1069-24060000000-189375000037876069-24060-189375000

33024063609000000-4758050750-240627518475805075

34000-1346666700000000-2974047581346964004758

350000-1069-24060000000-189375000018938569-2406

36000024063609000000-4758050754758-240617368

Vector de Fuerzas Nodales, Reacciones, Desplazamiento y Particular

RFnodalDP

Rx1000

Ry1000

00O10

0100U20

00V24

00O22.666666667

0120U30

00V34

00O32.666666667

0140U40

00V44

00O42.666666667

Rx5000

Ry5000

00O50

00U60

00V610.75

00O62.395833333

00U70

00V710.75

00O72.395833333

00U80

00V810.75

00O82.395833333

Rx9000

Ry9000

00O90

00U100

00V106.75

00O10-5.0625

00U110

00V116.75

00O11-5.0625

00U120

00V126.75

00O12-5.0625

Soluciones

Desplazamientos

NudoTraslacin X [m]Traslacin Y [m]Rotacin

10.0000000.000000-0.155259

20.4737400.000023-0.044787

30.5928330.000030-0.017421

40.6463690.000031-0.008218

50.0000000.000000-0.163953

60.473737-0.000007-0.027396

70.592826-0.000009-0.014785

80.646363-0.000010-0.004671

90.0000000.000000-0.154317

100.473732-0.000020-0.046666

110.592825-0.000027-0.017595

120.646360-0.000029-0.008264

Reacciones

NudoRx [kN]Ry[kN]M[kN-m]

1-112.12922-344.94250

2000

3000

4000

5-138.60569102.030270

6000

7000

8000

9-109.26509307.412230

10000

11000

12000

Problema 2 Resuelto a mano con excel

VariableValor

ApoyosEmpotrados todos

h114p

h211p

L115p

L214 p

I8748in4

A324in2

EConcreto, 5500psi

W120kip/ft

W230kip/ft

P0,10,12,14kN

1. PlanteamientoMatrices de Rigidez por ElementoElemento #1

H11123.0505360-7861.35375-1123.0505360-7861.3537500

Y1097830.1800-97830.18000

Y1=-7861.35375073372.6357861.35375036686.3175X0+0

H2-1123.05053607861.353751123.05053607861.35375U20

Y20-97830.180097830.180V20

M2-7861.35375036686.31757861.35375073372.635O20

Elemento #2

H22315.289760-12734.09368-2315.289760-12734.09368U20

Y20124511.138200-124511.13820V20

Y2=-12734.09368093383.3536412734.09368046691.67682XO2+0

H3-2315.28976012734.093682315.28976012734.09368U30

Y30-124511.138200124511.13820V30

M3-12734.09368046691.6768212734.09368093383.35364O30

Elemento #3

H32315.289760-12734.09368-2315.289760-12734.09368U30

Y30124511.138200-124511.13820V30

Y3=-12734.09368093383.3536412734.09368046691.67682XO3+0

H4-2315.28976012734.093682315.28976012734.09368U40

Y40-124511.138200124511.13820V40

M4-12734.09368046691.6768212734.09368093383.35364O40

Elemento #4

H51123.0505360-7861.35375-1123.0505360-7861.3537500

Y5097830.1800-97830.18000

Y5=-7861.35375073372.6357861.35375036686.3175X0+0

H6-1123.05053607861.353751123.05053607861.35375U60

Y60-97830.180097830.180V60

M6-7861.35375036686.31757861.35375073372.635O60

Elemento #5

H62315.289760-12734.09368-2315.289760-12734.09368U60

Y60124511.138200-124511.13820V60

Y6=-12734.09368093383.3536412734.09368046691.67682XO6+0

H7-2315.28976012734.093682315.28976012734.09368U70

Y70-124511.138200124511.13820V70

M7-12734.09368046691.6768212734.09368093383.35364O70

Elemento #6

H72315.289760-12734.09368-2315.289760-12734.09368U70

Y70124511.138200-124511.13820V70

Y7=-12734.09368093383.3536412734.09368046691.67682XO7+0

H8-2315.28976012734.093682315.28976012734.09368U80

Y80-124511.138200124511.13820V80

M8-12734.09368046691.6768212734.09368093383.35364O80

Elemento #7

H91123.0505360-7861.35375-1123.0505360-7861.3537500

Y9097830.1800-97830.18000

Y9=-7861.35375073372.6357861.35375036686.3175X0+0

H10-1123.05053607861.353751123.05053607861.35375U100

Y100-97830.180097830.180V100

M10-7861.35375036686.31757861.35375073372.635O100

Elemento #8

H102315.289760-12734.09368-2315.289760-12734.09368U100

Y100124511.138200-124511.13820V100

Y10=-12734.09368093383.3536412734.09368046691.67682XO10+0

H11-2315.28976012734.093682315.28976012734.09368U110

Y110-124511.138200124511.13820V110

M11-12734.09368046691.6768212734.09368093383.35364O110

Elemento #9

H112315.289760-12734.09368-2315.289760-12734.09368U110

Y110124511.138200-124511.13820V110

Y11=-12734.09368093383.3536412734.09368046691.67682XO11+0

H12-2315.28976012734.093682315.28976012734.09368U120

Y120-124511.138200124511.13820V120

M12-12734.09368046691.6768212734.09368093383.35364O120

Elemento #10

H291308.16800-91308.16800U20

Y20913.081686848.11260-913.081686848.1126V2150

Y2=06848.112668481.1260-6848.112634240.563XO2+375

H6-91308.1680091308.16800U60

Y60-913.08168-6848.11260913.08168-6848.1126V6150

M606848.112634240.5630-6848.112668481.126O6-375

Elemento #11

H697830.1800-97830.1800U60

Y601123.0505367861.353750-1123.0505367861.35375V6210

Y6=07861.3537573372.6350-7861.3537536686.3175XO6+490

H10-97830.180097830.1800U100

Y100-1123.050536-7861.3537501123.050536-7861.35375V10210

M1007861.3537536686.31750-7861.3537573372.635O10-490

Elemento #12

H391308.16800-91308.16800U30

Y30913.081686848.11260-913.081686848.1126V3150

Y3=06848.112668481.1260-6848.112634240.563XO3+375

H7-91308.1680091308.16800U70

Y70-913.08168-6848.11260913.08168-6848.1126V7150

M706848.112634240.5630-6848.112668481.126O7-375

Elemento #13

H797830.1800-97830.1800U70

Y701123.0505367861.353750-1123.0505367861.35375V7210

Y7=07861.3537573372.6350-7861.3537536686.3175XO7+490

H11-97830.180097830.1800U110

Y110-1123.050536-7861.3537501123.050536-7861.35375V11210

M1107861.3537536686.31750-7861.3537573372.635O11-490

Elemento #14

H491308.16800-91308.16800U40

Y40913.081686848.11260-913.081686848.1126V4150

Y4=06848.112668481.1260-6848.112634240.563XO4+375

H8-91308.1680091308.16800U80

Y80-913.08168-6848.11260913.08168-6848.1126V8150

M806848.112634240.5630-6848.112668481.126O8-375

Elemento #15

H897830.1800-97830.1800U80

Y801123.0505367861.353750-1123.0505367861.35375V8210

Y8=07861.3537573372.6350-7861.3537536686.3175XO8+490

H12-97830.180097830.1800U120

Y120-1123.050536-7861.3537501123.050536-7861.35375V12210

M1207861.3537536686.31750-7861.3537573372.635O12-490

Matriz de Rigidez Global123456789101112131415161718

11123.050.00-7861.35-1123.050.00-7861.350.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

20.0097830.180.000.00-97830.180.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

3-7861.350.0073372.647861.350.0036686.320.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

4-1123.050.007861.3594746.510.00-4872.74-2315.290.00-12734.090.000.000.000.000.000.00-91308.170.000.00

50.00-97830.180.000.00223254.406848.110.00-124511.140.000.000.000.000.000.000.000.00-913.086848.11

6-7861.350.0036686.32-4872.746848.11235237.1112734.090.0046691.680.000.000.000.000.000.000.00-6848.1134240.56

70.000.000.00-2315.290.0012734.0995938.750.000.00-2315.290.00-12734.090.000.000.000.000.000.00

80.000.000.000.00-124511.140.000.00249935.366848.110.00-124511.140.000.000.000.000.000.000.00

90.000.000.00-12734.090.0046691.680.006848.11255247.8312734.090.0046691.680.000.000.000.000.000.00

100.000.000.000.000.000.00-2315.290.0012734.0993623.460.0012734.090.000.000.000.000.000.00

110.000.000.000.000.000.000.00-124511.140.000.00125424.226848.110.000.000.000.000.000.00

120.000.000.000.000.000.00-12734.090.0046691.6812734.096848.11161864.480.000.000.000.000.000.00

130.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.001123.050.00-7861.35-1123.050.00-7861.35

140.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.0097830.180.000.00-97830.180.00

150.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-7861.350.0073372.647861.350.0036686.32

160.000.000.00-91308.170.000.000.000.000.000.000.000.00-1123.050.007861.35192576.690.00-4872.74

170.000.000.000.00-913.08-6848.110.000.000.000.000.000.000.00-97830.180.000.00224377.41013.24

180.000.000.000.006848.1134240.560.000.000.000.000.000.00-7861.350.0036686.32-4872.741013.24308609

190.000.000.000.000.000.00-91308.170.000.000.000.000.000.000.000.00-2315.290.0012734.0

200.000.000.000.000.000.000.00-913.08-6848.110.000.000.000.000.000.000.00-124511.140.00

210.000.000.000.000.000.000.006848.1134240.560.000.000.000.000.000.00-12734.090.0046691.68

220.000.000.000.000.000.000.000.000.00-91308.170.000.000.000.000.000.000.000.00

230.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-913.08-6848.110.000.000.000.000.000.00

240.000.000.000.000.000.000.000.000.000.006848.1134240.560.000.000.000.000.000.00

250.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

260.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

270.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

280.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-97830.180.000.00

290.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-1123.05-7861.35

300.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.007861.3536686.3

310.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

320.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

330.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

340.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

350.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

360.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

192021222324252627282930313233343536

10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

20.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

30.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

40.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

50.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

60.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

7-91308.170.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

80.00-913.086848.110.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

90.00-6848.1134240.560.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

100.000.000.00-91308.170.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

110.000.000.000.00-913.086848.110.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

120.000.000.000.00-6848.1134240.560.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

130.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

140.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

150.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00

16-2315.290.00-12734.090.000.000.000.000.000.00-97830.180.000.000.000.000.000.000.000.00

170.00-124511.140.000.000.000.000.000.000.000.00-1123.057861.350.000.000.000.000.000.00

1812734.090.0046691.680.000.000.000.000.000.000.00-7861.3536686.320.000.000.000.000.000.00

19193768.90.000.00-2315.290.00-12734.090.000.000.000.000.000.00-97830.180.000.000.000.000.00

200.00251058.411013.240.00-124511.140.000.000.000.000.000.000.000.00-1123.057861.350.000.000.00

210.001013.24328620.4712734.090.0046691.680.000.000.000.000.000.000.00-7861.3536686.320.000.000.00

22-2315.290.0012734.09191453.640.0012734.090.000.000.000.000.000.000.000.000.00-97830.180.000.00

230.00-124511.140.000.00126547.271013.240.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-1123.057861.35

24-12734.090.0046691.6812734.091013.24235237.110.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-7861.3536686.32

250.000.000.000.000.000.001123.050.00-7861.35-1123.050.00-7861.350.000.000.000.000.000.00

260.000.000.000.000.000.000.0097830.180.000.00-97830.180.000.000.000.000.000.000.00

270.000.000.000.000.000.00-7861.350.0073372.647861.350.0036686.320.000.000.000.000.000.00

280.000.000.000.000.000.00-1123.050.007861.35101268.520.00-4872.74-2315.290.00-12734.090.000.000.00

290.000.000.000.000.000.000.00-97830.180.000.00223464.37-7861.350.00-124511.140.000.000.000.00

300.000.000.000.000.000.00-7861.350.0036686.32-4872.74-7861.35240128.6212734.090.0046691.680.000.000.00

31-97830.180.000.000.000.000.000.000.000.00-2315.290.0012734.09102460.760.000.00-2315.290.00-12734.09

320.00-1123.05-7861.350.000.000.000.000.000.000.00-124511.140.000.00250145.33-7861.350.00-124511.140.00

330.007861.3536686.320.000.000.000.000.000.00-12734.090.0046691.680.00-7861.35260139.3412734.090.0046691.68

340.000.000.00-97830.180.000.000.000.000.000.000.000.00-2315.290.0012734.09100145.470.0012734.09

350.000.000.000.00-1123.05-7861.350.000.000.000.000.000.000.00-124511.140.000.00125634.19-7861.35

360.000.000.000.007861.3536686.320.000.000.000.000.000.00-12734.090.0046691.6812734.09-7861.35166755.99

Vector de Fuerzas Nodales, Reacciones, Desplazamiento y ParticularRFnodalDP

Rx1000

Ry1000

M1000

010U20

00V2150

00O2375

012U30

00V3150

00O3375

014U40

00V4150

00O4375

Rx5000

Ry5000

M5000

00U60

00V6360

00O6115

00U70

00V7360

00O7115

00U80

00V8360

00O8115

Rx9000

Ry9000

M9000

00U100

00V10210

00O10-490

00U110

00V11210

00O11-490

00U120

00V12210

00O12-490

SolucionesDesplazamientos

NudoTraslacin X [ft]Traslacin Y [ft]Rotacin

10.0000000.0000000.000000

20.016162-0.004225-0.002487

30.027537-0.006482-0.001615

40.034469-0.007583-0.002762

50.0000000.0000000.000000

60.016321-0.011343-0.001032

70.027556-0.017262-0.000723

80.033882-0.020310-0.000818

90.0000000.0000000.000000

100.016536-0.0065110.001095

110.027663-0.0099010.000668

120.033282-0.0115340.002916

Reacciones

NudoRx [kip]Ry[kip]M[kip-ft]

11.396413.35035.835

20.0000.0000.000

30.0000.0000.000

40.0000.0000.000

5-10.2181109.66590.450

60.0000.0000.000

70.0000.0000.000

80.0000.0000.000

9-27.179636.985170.166

100.0000.0000.000

110.0000.0000.000

120.0000.0000.000

Procedimiento y Resultados Obtenidos con el programa

1. Procedimiento de Ejemplo 1 (Acero) Seleccin de Sistema de Unidades Internacional y Cantidad de Pisos

Introduccin de Propiedades del Marco

Insertar Cargas

Resultados Ejemplo 1

Ejemplo 2

Conclusiones1. Comparaciones de Resultados y Discusin de los mismosSi el procedimiento manual es hecho en Excel no hay errores ya que se consider utilizar variables double, las cuales tienen la mayor precisin en el lenguaje de programacin basic. La reduccin en tiempo al introducir datos, hacer conversiones y dems tambin mejora al comparar con los resultados manualesDesplazamientos (m)ManualProgramaErroresReacciones(KN), Momentos (KN*m)ManualProgramaErrores

U182.246782.24681E-04X1-30.5932-30.5955-0.0023

1-24.2356-24.2357-1E-04X2-38.8064-38.8090-0.0026

2-16.0221-16.02201E-04X3-30.6004-30.59540.005

3-24.2356-24.23560Y1-29.7754-29.77531E-04

U4162.2237162.22380.0001Y20.00040.00003-0.00037

4-13.6864-13.68640Y329.775029.77530.0003

5-8.0878-8.0879-1E-04M158.011258.0111-0.0001

6-13.6864-13.6865-1E-04M266.224566.22461E-04

M358.011058.0109-0.0001

EJEMPLO 1. CUADRO COMPARATIVO DESPLAZAMIENTOS

NudoResuelto a manoResuelto con el programa

Traslacin X [m]Traslacin Y [m]RotacinTraslacin X [m]Traslacin Y [m]Rotacin

10.0000000.000000-0.15525900-0.1639533484

20.4737400.000023-0.0447870.473739990.00002276848-0.0447904306

30.5928330.000030-0.0174210.5628328910.000029590417-0.01741655379

40.6463690.000031-0.0082180.646369410.000031448254-0.00821217078

50.0000000.000000-0.16395300-0.163969075948

60.473737-0.000007-0.0273960.47373695-0.00000673467-0.02739601771

70.592826-0.000009-0.0147850.59282635-0.00000935919-0.01469508035

80.646363-0.000010-0.0046710.64636262-0.00001035352-0.00467183022

90.0000000.000000-0.15431700-0.14785111538

100.473732-0.000020-0.0466660.47373224-0.00002091236-0.04666567298

110.592825-0.000027-0.0175950.59282544-0.00002675927-0.01671240491

120.646360-0.000029-0.0082640.64635994-0.0000287581-0.00826449187

Porcentajes de Error

Traslacin X [m]Traslacin YRotacin

000

2.1109E-061.01684434-0.00765923

5.330198271.384174480.02552864

-6.3431E-05-1.425370070.07098269

00-0.00980426

1.0554E-053.93976245-6.4644E-05

-5.9039E-05-3.837832120.61190308

5.8791E-05-3.41449092-0.01777077

004.37324034

-5.0662E-05-4.362778760.00070077

-7.4221E-050.899613485.28107771

9.2828E-060.84115432-0.00595161

EJEMPLO 1. CUADRO COMPARATIVO REACCIONES

NudoResuelto a manoResuelto con el programa

Rx [kN]Ry[kN]M[kN-m]Rx [kN]Ry[kN]M[kN-m]

1-112.12922-344.94250-112.12922-344.94250

2000000

3000000

4000000

5-138.60569102.030270-138.60569102.030270

6000000

7000000

8000000

9-109.26509307.412230-109.26509307.412230

10000000

11000000

12000000

Porcentajes de Error

Rx [kN]Ry[kN]M[kN-m]

000

000

000

000

000

000

000

000

000

000

000

000

Limitaciones del programaSe ha considerado un mximo de 200 pisos, puede ser excesivo pero los vectores y matrices se redimensionan en base a la cantidad de nudos por lo cual se reduce memoria.Adems solo se calculan los desplazamientos en los nudos extremos de cada elemento, lo cual no tiene un gran uso ya que las deflexiones mayores se ubican en otros puntos de las mismas. No se pueden insertar fuerzas nodales en otra parte que en los nodos de la izquierda, ni incluir efectos de temperatura y asentamientos en los apoyos, lo cual son efectos de inters en el diseo y anlisis estructural.ReflexionesEl programa es eficaz, prctico y amigable con el usuario pero se encuentra limitado a la configuracin solicitada. Para definir otros marcos el parmetro de entrada no tendra que ser la cantidad de pisos sino las coordenadas y los nudos iniciales y finales de cada elemento. Adicionalmente solo se incluye la carga uniformemente distribuida como caso de carga de gravedad. Es til para comprender el mtodo de rigidez a cabalidad pero en una situacin real, un diseador querr consultar con programas comerciales de alta confiabilidad.

Bibliografa

a) Jack McCormak, Anlisis de Estructuras, Mtodo Clsico y Matricial, 4ta Edicin. Editorial Alfayomega,2010b) R.C. Hibbeler, Anlisis Estructural Octava Edicin. Captulo 15. Editorial Prentice Hall, 2012.c) Chapra y Canale, Mtodos Numricos para Ingenieros Sexta Edicin. Editorial McGraw Hill Sexta Edicin, 2010 d) Visual Studio: https://www.visualstudio.com/get-started/overview-of-get-started-tasks-vse) Anlisis Matricial: Disponible en http://portales.puj.edu.co/wjfajardo/DIN%C3%81MICA%20ESTRUCTURAL/NOTAS%20DINAMICA%20ESTRUCTURAL/An%C3%A1lisis%20Matricial.pdff) Proyecto final de clase de Mtodos Numricos Docente: Ing. Elvis Castillo.