metodos de minimos cuadrados
-
Upload
edwin-estacion -
Category
Documents
-
view
595 -
download
10
description
Transcript of metodos de minimos cuadrados
![Page 1: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/2.jpg)
Definiciones PreliminaresDefiniciones PreliminaresEl método de los mínimos
cuadrados nos permite encontrar la ecuación de una recta a partir de los datos experimentales.
Es decir, utilizando solamente las mediciones experimentales se obtendrá la pendiente y la ordenada al origen de la recta que mejor se ajuste a tales mediciones
![Page 3: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/3.jpg)
Definiciones PreliminaresDefiniciones PreliminaresASÍ PUES, SOLAMENTE NOS
SIRVE PARA AJUSTAR
MODELOS LINEALES
SI ESTE NO ES EL CASO, SE DEBE BUSCAR OTRO MÉTODO DE AJUSTE
![Page 4: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/4.jpg)
Definiciones PreliminaresDefiniciones PreliminaresEl método de los mínimos
cuadrados se calcula en base al siguiente
CRITERIO
La distancia del punto experimental a la “mejor recta” es mínima.
![Page 5: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/5.jpg)
GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE
![Page 6: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/6.jpg)
GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE
DIBUJAMOS
UNOS EJES DE COORDE-NADAS
0 x
y
![Page 7: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/7.jpg)
GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE
GRAFICAMOS LOS PUNTOS EXPERIMEN-TALES
0
+
++
+
+ +
++
+ +
+
x
y
![Page 8: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/8.jpg)
GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE
TRAZAMOS LA MEJOR RECTA DE TAL MANERA QUE:
0
+
++
+
+ +
++
+ +
+
x
y
L
![Page 9: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/9.jpg)
GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE
CRITERIO: La distancia, δy, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima.
0
+
++
+
+ +
++
+ +
+
x
y
δy
δy = yi – y(xi)
L
![Page 10: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/10.jpg)
GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE
CRITERIO: La distancia, δy, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima.
Para todos los puntos
0
+
++
+
+ +
++
+ +
+
x
y
δy
xi
yi
y(xi)δy = yi – y(xi)
δy = yi – (mxi + b)
L
![Page 11: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/11.jpg)
GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE
CRITERIO: La distancia, δy, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima.
Esta distancia se tomará al cuadrado.
0
+
++
+
+ +
++
+ +
+
x
y
δy
xi
yi
y(xi)δy = yi – y(xi)
δy = yi – (mxi + b)
δy2 =[ yi – (mxi + b)]2... Ec. 1
L
![Page 12: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/12.jpg)
CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..
![Page 13: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/13.jpg)
CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..
Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados,
![Page 14: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/14.jpg)
CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..
Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente
2
i2i
iiii
xxn
yxyxnm
![Page 15: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/15.jpg)
CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..
Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error
2
i2i
iiii
xxn
yxyxnm
2
i2i
mxxn
nS yS
2-n
bxmyS
2ii
y
![Page 16: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/16.jpg)
CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..
Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error, y de la ordenada al origen
2
i2i
iiii2i
xxn
yxxyxb
2
i2i
iiii
xxn
yxyxnm
2
i2i
mxxn
nS yS
2-n
bxmyS
2ii
y
![Page 17: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/17.jpg)
CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..
Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error, y de la ordenada al origen con su error; de la “mejor recta”:
2
i2i
iiii2i
xxn
yxxyxb
2
i2i
iiii
xxn
yxyxnm
2
i2i
mxxn
nS yS
2
i2i
2i
bxxn
xS yS
2-n
bxmyS
2ii
y
![Page 18: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/18.jpg)
ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELOMODELO..
![Page 19: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/19.jpg)
ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELOMODELO..
AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN,
![Page 20: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/20.jpg)
ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELOMODELO..
AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL:
![Page 21: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/21.jpg)
ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELOMODELO..
AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL:
V = pendiente VI + . al origen
y = (m ± Sm) x + (b ± Sb); donde la y está en las
unidades u, y la x está en las unidades u´.
![Page 22: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/22.jpg)
ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELOMODELO..
AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL:
y = (m ± Sm) x + (b ± Sb); donde la y está en las
unidades u, y la x está en las unidades u´.
Al reportar de esta manera, conocemos la ecuación del modelo con un 68% de probabilidad asumiendo que los resultados se distribuyen normalmente.
![Page 23: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/23.jpg)
EJEMPLOEJEMPLO
SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN, Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
![Page 24: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/24.jpg)
EJEMPLOEJEMPLO
SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN, Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
#/CANT. M, ± 0.1, g V, ± 0.6, ml
1 10 9.9
2 15 15.3
3 20 19.8
4 25 25.2
5 30 29.9
6 35 35.3
7 40 39.8
8 45 45.2
9 50 49.9
10 55 55.1
![Page 25: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/25.jpg)
EJEMPLOEJEMPLO
SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN, Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
#/CANT. M, ± 0.1, g V, ± 0.6, ml
1 10 9.9
2 15 15.3
3 20 19.8
4 25 25.2
5 30 29.9
6 35 35.3
7 40 39.8
8 45 45.2
9 50 49.9
10 55 55.1
•Se desea encontrar la ecuación que ajusta estos datos utilizando el método de los Mínimos Cuadrados y
•Determinar el valor de la densidad del agua.
![Page 26: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/26.jpg)
EJEMPLOEJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
![Page 27: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/27.jpg)
EJEMPLOEJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
![Page 28: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/28.jpg)
EJEMPLOEJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
![Page 29: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/29.jpg)
EJEMPLOEJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),
donde M está en g, y V está en ml.
![Page 30: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/30.jpg)
EJEMPLOEJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),
donde M está en g, y V está en ml.
Comparando los modelos teórico y experimental, observamos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m.
![Page 31: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/31.jpg)
EJEMPLOEJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),
dondeM está en g, y V está en ml.
Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:
x
y
x
y
S
y
xS
ymx my
2
2
2
![Page 32: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/32.jpg)
EJEMPLOEJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),
dondeM está en g, y V está en ml.
Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:
x
y
x
y
S
y
xS
ymx my
2
2
2
2
2
2
)1()005.0)(1(
10
000.111
m
![Page 33: metodos de minimos cuadrados](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022061321/5695d19e1a28ab9b02973ed0/html5/thumbnails/33.jpg)
EJEMPLOEJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),
dondeM está en g, y V está en ml.
Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:
Así pues, la densidad será: ρ = 1.000± 0.005 g/ml.
x
y
x
y
S
y
xS
ymx my
2
2
2
2
2
2
)1()005.0)(1(
10
000.111
m