Definiciones PreliminaresDefiniciones PreliminaresEl método de los mínimos
cuadrados nos permite encontrar la ecuación de una recta a partir de los datos experimentales.
Es decir, utilizando solamente las mediciones experimentales se obtendrá la pendiente y la ordenada al origen de la recta que mejor se ajuste a tales mediciones
Definiciones PreliminaresDefiniciones PreliminaresASÍ PUES, SOLAMENTE NOS
SIRVE PARA AJUSTAR
MODELOS LINEALES
SI ESTE NO ES EL CASO, SE DEBE BUSCAR OTRO MÉTODO DE AJUSTE
Definiciones PreliminaresDefiniciones PreliminaresEl método de los mínimos
cuadrados se calcula en base al siguiente
CRITERIO
La distancia del punto experimental a la “mejor recta” es mínima.
GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE
GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE
DIBUJAMOS
UNOS EJES DE COORDE-NADAS
0 x
y
GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE
GRAFICAMOS LOS PUNTOS EXPERIMEN-TALES
0
+
++
+
+ +
++
+ +
+
x
y
GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE
TRAZAMOS LA MEJOR RECTA DE TAL MANERA QUE:
0
+
++
+
+ +
++
+ +
+
x
y
L
GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE
CRITERIO: La distancia, δy, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima.
0
+
++
+
+ +
++
+ +
+
x
y
δy
δy = yi – y(xi)
L
GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE
CRITERIO: La distancia, δy, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima.
Para todos los puntos
0
+
++
+
+ +
++
+ +
+
x
y
δy
xi
yi
y(xi)δy = yi – y(xi)
δy = yi – (mxi + b)
L
GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE
CRITERIO: La distancia, δy, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima.
Esta distancia se tomará al cuadrado.
0
+
++
+
+ +
++
+ +
+
x
y
δy
xi
yi
y(xi)δy = yi – y(xi)
δy = yi – (mxi + b)
δy2 =[ yi – (mxi + b)]2... Ec. 1
L
CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..
CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..
Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados,
CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..
Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente
2
i2i
iiii
xxn
yxyxnm
CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..
Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error
2
i2i
iiii
xxn
yxyxnm
2
i2i
mxxn
nS yS
2-n
bxmyS
2ii
y
CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..
Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error, y de la ordenada al origen
2
i2i
iiii2i
xxn
yxxyxb
2
i2i
iiii
xxn
yxyxnm
2
i2i
mxxn
nS yS
2-n
bxmyS
2ii
y
CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..
Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error, y de la ordenada al origen con su error; de la “mejor recta”:
2
i2i
iiii2i
xxn
yxxyxb
2
i2i
iiii
xxn
yxyxnm
2
i2i
mxxn
nS yS
2
i2i
2i
bxxn
xS yS
2-n
bxmyS
2ii
y
ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELOMODELO..
ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELOMODELO..
AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN,
ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELOMODELO..
AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL:
ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELOMODELO..
AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL:
V = pendiente VI + . al origen
y = (m ± Sm) x + (b ± Sb); donde la y está en las
unidades u, y la x está en las unidades u´.
ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELOMODELO..
AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL:
y = (m ± Sm) x + (b ± Sb); donde la y está en las
unidades u, y la x está en las unidades u´.
Al reportar de esta manera, conocemos la ecuación del modelo con un 68% de probabilidad asumiendo que los resultados se distribuyen normalmente.
EJEMPLOEJEMPLO
SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN, Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
EJEMPLOEJEMPLO
SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN, Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
#/CANT. M, ± 0.1, g V, ± 0.6, ml
1 10 9.9
2 15 15.3
3 20 19.8
4 25 25.2
5 30 29.9
6 35 35.3
7 40 39.8
8 45 45.2
9 50 49.9
10 55 55.1
EJEMPLOEJEMPLO
SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN, Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
#/CANT. M, ± 0.1, g V, ± 0.6, ml
1 10 9.9
2 15 15.3
3 20 19.8
4 25 25.2
5 30 29.9
6 35 35.3
7 40 39.8
8 45 45.2
9 50 49.9
10 55 55.1
•Se desea encontrar la ecuación que ajusta estos datos utilizando el método de los Mínimos Cuadrados y
•Determinar el valor de la densidad del agua.
EJEMPLOEJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
EJEMPLOEJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
EJEMPLOEJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
EJEMPLOEJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),
donde M está en g, y V está en ml.
EJEMPLOEJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),
donde M está en g, y V está en ml.
Comparando los modelos teórico y experimental, observamos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m.
EJEMPLOEJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),
dondeM está en g, y V está en ml.
Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:
x
y
x
y
S
y
xS
ymx my
2
2
2
EJEMPLOEJEMPLO
Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),
dondeM está en g, y V está en ml.
Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:
x
y
x
y
S
y
xS
ymx my
2
2
2
2
2
2
)1()005.0)(1(
10
000.111
m
EJEMPLOEJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.
La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.
La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),
dondeM está en g, y V está en ml.
Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:
Así pues, la densidad será: ρ = 1.000± 0.005 g/ml.
x
y
x
y
S
y
xS
ymx my
2
2
2
2
2
2
)1()005.0)(1(
10
000.111
m
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