ACTIVIDAD 3

Al finalizar esta actividad podrás plantear y resolver problemas y ejercicios sobre relaciones y funciones, resuelve lo siguiente:

1) Una pareja ordenada (a ,b) cumple la siguiente propiedad (a ,b)=(c ,d) si y sólo si a=c y b=d,

definimos el producto cartesiano de dos conjuntos A y B como A × B={(a ,b)/a∈ A y b∈B }. Resuelve lo siguiente:a) Si A={a ,b ,d , e , f },B={1,2,3,4,5 },C={3,7,9}, D={a , e , i}

calcula A × B ,B × A , A ×∅ , A × A ,B × B , ( A∪D ) ×B , A ×(B∪C)A×B={a,b,c,d,e,f}X{1,2,3,4,5}={(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(d,1),(d,2),(d,3), (d,4),(d,5),(e,1),(e,2),(e,3),(e,4),(e,5), (f,1),(f,2),(f,3),(f,4),(f,5)}

B×A={1,2,3,4,5}X{a,b,d,e,f}={(1,a),(1,b),(1,d),(1,e),(1,f),(2,a),(2,b),(2,d),(2,e),(2,f),(3,a),(3,b),(3,d),(3,e),(3,f),(4,a),(4,b),(4,d),(4,e),(4,f),(5,a),(5,b),(5,d),(5,e),(5,f)}

A×∅={a,b,d,e,f}X∅=∅A×A={a,b,d,e,f}X{a,b,d,e,f}={(a,a),(a,b),(a,d),(a,e),(a,f),(b,a),(b,b),(b,d),(b,e),(b,f),(d,a),(d,b),(d,d), (d,e),(d,f),(e,a),(e,b),(e,d),(e,e),(e,f),(f,a),(f,b),(f,d),(f,e),(f,f)}

B×B={1,2,3,4,5}X{1,2,3,4,5}={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)}

(A∪D)×B=({a,b,d,e,f}∪{a,e,i})X{1,2,3,4,5}={a,b,d,e,f,i}X{1,2,3,4,5}={(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(b,1), (b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(d,1),(d,2),(d,3),(d,4),(d,5),(e,1),(e,2),(e,3),(e,4),(e,5),(f,1),(f,2),(f,3),(f,4),(f,5), (i,1),(i,2),(i,3),(i,4),(i,5)}

A×(B∪C)={a,b,d,e,f}X({1,2,3,4,5}∪{3,7,9})={a,b,d,e,f}X{1,2,3,4,5,7,9}={(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5), (a,7),(a,9),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(b,7),(b,9),(d,1),(d,2),(d,3),(d,4),(d,5),(d,7),(d,9),(e,1),(e,2),(e,3),(e,4),(e,5),(e,7),(e,9),(f,1),(f,2),(f,3),(f,4),(f,5),(f,7),(f,9)}

2) Sean A y B conjuntos de una relación R de A en B que se define como cualquier subconjunto

de A × B, el dominio de R se define como el subconjunto {x∈ A /∃ y∈B ,tal que (x , y)∈R } y al

conjunto B se le llama el contradominio de la relación, la imagen de una relación se define

como el subconjunto de B que satisface: {b∈B/∃a∈ A ,tal que(a ,b)∈R } Como notación se

suele escribir (a ,b )∈R ,aR b. Si A=B, decimos que R es una relación sobre A. Resuelve los

siguientes ejercicios:

a) Sea D la relación definida sobre el conjunto N= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} como (a ,b )∈D si

a divide a b. Escribe explícitamente los miembros de D, así como el dominio, contradominio e imagen de D.

D={(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(2,10),(2,12),(3,3),(3,6),(3,9),(3,12),(4,4),(4,8),(4,12),(5,5),(5,10),(6,6),

(6,12)}

Dominio={2,3,4,5,6}

Contradominio={4,6,8,9,10,12}

Imagen={4,6,8,10,12}

b) Definimos R sobre el conjunto de números enteros como (a ,b )∈R si a y b dejan el mismo

residuo cuando se dividen entre 3. Describe el dominio, contradominio e imagen de esta relación. R={(1,1),(1,4),(1,7),(2,2),(2,5),(2,8),(3,3),(3,6),(3,9),(4,1),(4,1),(4,7),(5,5),(5,8),(6,3),(6,9),(7,4),(7,7),(8,2),(8,5),(8,8),(9,3),(9,6)}

Dominio={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Contradominio={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Imagen={3,4,5,6,7,8,9}

3) Una relación R sobre A se dice que es reflexiva si a R a ∀a∈ A, se dice que es simétrica si

(a ,b )∈R⟹ (b ,a)∈ R, se dice que es transitiva si (a ,b ) y (b , c )∈ R⟹ (a , c )∈R. Contesta lo

siguiente:a) Califica a las relaciones definidas en 4) como reflexivas, simétricas o transitivas.b) Una relación sobre un conjunto A se dice que es de equivalencia si cumple con ser

reflexiva, simétrica y transitiva, da tres ejemplos de relaciones de equivalencia.

http://www.cs.buap.mx/~mtovar/doc/EstDisc/Funciones%20y%20Relaciones1.pdf

4) Una función f de A en B, es una relación de A en B que cumple lo siguiente: si ( a ,b ) , ( a , c )∈ f entoncesb=c y se denota como f ( a )=b, el dominio, el contradominio y la imagen de f se definen igual que para una relación. También se usa la notación: f : A →B.

Determina si las siguientes relaciones son funciones y determina su imagen:

{((x,y)/x,y∈Q,x2+y2=2}No es una función pues para una x el valor de y no es único pues y=±√(2-x2 ) Porque ambos puntos (0,√2),(0,-√2) están en la relación.

{((x,y)/x,y∈Z,x2=Y}Es una función a razón de que x2=y↔y=x2 y de tal forma que la podemos escribir mediante elipsis f={…,(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)…} y entonces decimos que la imagen de f es el conjunto de los cuadrados perfectos.

{(x,y)/x,y∈N,y=3x}Si es una función a razón de que cada valor de x le corresponde un solo valor de y en los números naturales y su imagen por lo tanto es todo número natural.

Si A={1,2,3,4,5} y B={a,b,c,d}, lista cuatro funciones de A en B.

Las cuatro funciones son las siguientes

f_1={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d)}

Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:D(f_1) = {1,2,3,4,5}C(f_1)= {a,b,c,d}f_2={(1,b),(2,a),(3,d),(4,c),(5,d)}

Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:D(f_2) = {1,2,3,4,5}C(f_2)= {a,b,c,d}f_3={(1,d),(2,c),(3,b),(4,b),(5,a)}

Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:D(f_3) = {1,2,3,4,5}C(f_3)= {a,b,c,d}f_4={(1,b),(2,c),(3,d),(4,a),(5,b)}

Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:D(f_4) = {1,2,3,4,5}C(f_4)= {a,b,c,d}

5) Investiga las definiciones de inyectividad, suprayectividad y biyectividad entre funciones.a) Determina si las siguientes funciones son biyectivas

i) f : Z→ Z, f ( z )=3 z.

No es biyectiva a razón de que 1) Si es biyectiva

Sim ,n∈Z →f (m )=f ( n )→3m=3n→m=n2) No es suprayectiva

Por ejemplo7no es imagendeningun elemento de Z

Pues si f (m )=7↔3m=7↔m=73∉Z

Es decir debe ser un entero lo cual no es cierto y de hecho ningún entero impar es imagen bajo f de algún elemento.

ii) f : Z→ Z, f ( z )=z2.

No es biyectiva a razón de que 1) SI es biyectiva

Sim ,n∈Z →f (m )=f ( n )→m2=n2 →m=n

2) No es suprayectivaPor ejemplo7no es imagendeningun elemento de Z

Pues si f (m )=7↔m2=7↔m=±√7∉Z

Es decir debe ser un entero lo cual no es cierto y además debe ser un único número entero

iii) f :Q →Q , f (q )=3q−1.

Evidentemente es biyectiva a razón de que 3q−2∈Q si q∈Q

Y además también ∀ r∈Q es imagen de q= r+23

∈Q

A razón de que si f ( q )=r→r=3q−2→3q=r+2→q= r+23

iv) f : R → R , f ( x )=3 x+1.

Es biyectiva a razón de que

Es inyectiva Sia ,b∈R → f ( a )=f (b ) →3a+1=3b+1→3 a=3b→a=b

Es suprayectiva y=f ( x )→ y=3 x+1→∴3 x= y−1→ x= y−13

∈R

b) Si existe una función biyectiva f : A →B , de un conjunto A en un conjunto B podemos definir

la función inversa g :B → A , como g (b )=a, tal que f ( a )=b, da tres ejemplos de funciones

biyectivas y escribe sus inversas.

1¿ f : R →R f (x )=2x−3

Es una función biyectiva y tiene inversa que es:

y=2x−3→2x= y+3→ x= y+32

→ x=f −¿( y)→∴ f−¿( y)= y+3

2¿¿

2¿ f : R →R f (x )=x3+5Es una función biyectiva y tiene inversa que es:

y=x3+5→x3= y−5→x= 3√ y−5→ x=f−¿( y)→∴f −¿( y)=3√ y−5 ¿ ¿

3¿ f : R →R f ( x )=2x+1Es una función biyectiva y tiene inversa que es:

y=2x+1→2 x= y−1→x= y−12

→x=f −¿(y)→∴ f−¿( y)= y−1

2¿¿

c) Se dice que un conjunto A tiene cardinalidad finita n si existe una función biyectiva entre A

y el conjunto {1,2,3 ,…,n }. Si un conjunto no tiene cardinalidad finita se dice que es infinito.i) Da una definición de cardinalidad 0 para un conjunto.

El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene al

único conjunto vacío: Card (ϕ)=0 (La cardinalidad del conjunto vacío es cero.)

ii) Da tres ejemplos de conjuntos de cardinalidad finitaiii) Da tres ejemplos de cardinalidad infinita.iv) Da dos ejemplos de funciones entre conjuntos de cardinalidad finita e infinita.

d) Se define la composición de dos funciones f : A →B y g :B →C , como la función h : A →C , definida como {(a , c )/existeb∈B tal que f (a )=b y g (b )=c }, se denota como g∘ f : A →C y

( g∘ f ) (a )=g (f (a ))=c.

i) ¿Es inyectiva la composición de dos funciones inyectivas? Prueba o da contraejemplo.

Si f : A →B →f ( a )=f (b ) →a=b y si g :B →C →g (b )=g (c ) →b=cPor demostrar g∘ f es inyectiva entonces

( g∘ f ) (a )= (g∘ f ) (b )→g ( f (a ) )=g (f (b ) )→ f ( a )=f (b ) →a=b

Por lo tanto g y f inyectivas

ii) ¿Es sobreyectiva la composición de dos funciones sobreyectivas? Prueba o da contraejemplo.

Si f : A→B→b=f (a) y si g :B→C →c=g(b)Por demostrar c= (g∘ f ) (a ) entonces por medio de la definiciones mencionadas queda

c=g (b )Por b=f (a) realizando operaciones correspondientes

c=g ( f (a ) ) →c=( g∘ f ) ( a )Por lo tanto y finalmente g∘ f es sobreyectiva

iii) ¿Es biyectiva la composición de dos funciones biyectivas? Prueba o da contraejemplo.

Sean f y g biyectivas entonces se dividen en dos casos:CASO 1 SI f , g son inyectivas →g∘ f es inyectiva como se demostró en i)

CASO 2 Si f , g son sobreyectivas →g∘ f es sobreyectiva como se demostró en ii) ES BIYECTIVA