Microeconomía II

Microeconoma II:apunte de curso

Jorge Rivera *

4 de junio de 2008

*Departamento de Economa, Universidad de Chile, Diagonal Paraguay 257, Torre 26, Of. 1502, Santiago, Chile. email:[email protected].

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Departamento de Economa Universidad de Chile

Indice

1. Conceptos basicos 31.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. La firma y sus objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. La tecnologa de una firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Complementos y propiedades de la tecnologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Tecnologas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6. Elasticidad de sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7. El corto y el largo plazo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.8. Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2. Maximizacion de Beneficios 332.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2. Los Beneficios de una firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3. Maximizacion de beneficio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4. Demanda, oferta y temas relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5. Problema de corto y largo plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6. Los beneficios y los rendimientos de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7. Ejemplos y problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3. Costos 463.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2. Condiciones de optimalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3. Un analisis grafico de las condiciones de optimalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4. Corto y largo plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5. Costos y rendimientos de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6. Costos y precios de los factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7. Costos y cantidades de producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8. Geometra de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4. Oferta de la firma y la industria en competencia perfecta 624.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2. Competencia perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3. Analisis de equilibrio parcial: cmo se determina el precio de mercado? . . . . . . . . 704.4. Ejemplos varios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5. Competencia Imperfecta: monopolio 755.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2. Maximizacion del beneficio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3. Discriminacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6. Oligopolio: el modelo de Cournot Nash 86

7. Oligopolio: Stackelberg 92

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8. Modelo de equilibrio en economa de intercambio 948.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.2. Modelo de intermcambio de 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.3. La demanda en un modelo de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.4. El equilibrio en la economa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.5. La caja de Edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.6. Optimalidad y teoremas de bienestar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9. Fallas de mercado 1099.1. Externalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.2. Bienes publicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

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1. Conceptos basicos

1.1. Introduccion

Para los objetivos del curso, es fundamental definir lo que entenderemos por proceso productivo, yaque sera el concepto central que utilizaremos para analizar el comportamiento de las firmas dentro dela economa.

Definicion 1.1 Se entendera por produccion cualquier proceso o dinamica destinada a transformarciertos bienes en otros diferentes de los originales.

En tal sentido, cuando se habla de bienes diferentes no solo se hace referencia a cuestiones fsicasque muestren un cambio evidente de las cualidades de los originales a los finales, sino que tambiense considera el hecho que los bienes tienen asociadas caractersticas espaciales y temporales que lospueden diferenciar. A modo de ejemplo, una naranja colocada en Santiago, el 13 de febrero de 1999, alas 13:45 hrs., es un bien distinto de la misma naranja1 colocado en Arica, el 14 de febrero a las 12:00.

A partir de lo anterior, se infiere que dado un proceso productivo, existen dos tipos de bienes quelo conforman: aquellos que seran transformados y aquellos que resultan de la transformacion. Losprimeros seran llamados materias primas, inputs o factores del proceso productivo, mientras que lossegundos seran los productos o bienes finales. Para la produccion de jugo de naranja, algunos de losfactores podran ser las naranjas, el agua, el edulcorante, el colorante, la mano de obra involucrada,etc; mientras que el producto final de esta etapa es el jugo de naranja. Siguiendo con este ejemplo, elmismo jugo de naranja podra perfectamente ser un factor para otro proceso productivo, por ejemplo,una pastelera que lo ocupe para fabricar queques de naranja.

En el modelo economico, las unidades basicas que llevan a cabo los procesos productivos son lasfirmas o empresas. Estas son las unidades mnimas que desempenan tal labor, mientras que una agru-pacion de ellas que producen un bien identico se denominara industria del bien considerado.

Es necesario destacar que una firma, dados ciertos factores de produccion, puede elaborar simultanea-mente varios productos. En este caso general hablaremos de una firma multiproducto mientras que,cuando la firma produce un solo bien, se dira que es monoproducto. En este curso solo estudiaremosfirmas monoproductoras. La justificacion biene del hecho que, una firma multiproducto puede ser en-tendida, bajo ciertos supuestos generales, como varias firmas monoproductoras trabajando en conjunto.Como la idea es estudiar el comportamiento de una determinada firma, trabajar con alguna de las com-ponentes de esta firma multiproducto no hace la diferencia.

Como veremos pronto, cada firma esta caracterizada por lo que llamaremos su tecnologa de pro-duccion. Esta simplemente define la manera que dicha empresa tiene para combinar los factores con elfin de elaborar su producto final. En todo lo que sigue, salvo que se diga expresamente, asumiremosque para una determinada firma, dicha tecnologa esta dada, que es fija. Este supuesto es muy fuertey corresponde solo a una aproximacion a la realidad por cuanto deja de lado todos aquellos aspectosrelativos a innovacion tecnologica e investigacion y desarrollo (I + D), materias que para muchas firmasson de gran importancia en sus labores. Una forma de justificar este supuesto es partir de la base queel analisis que se realiza se efectua en un horizonte de tiempo lo suficientemente corto, de tal maneraque la firma no puede realizar innovaciones en sus procesos, manteniendo de esta menara su tecnologaconstante.

Con el fin de caracterizar el comportamiento de una firma, dos son los problemas centrales queestudiaremos, los que a posteriori resultan estar estrechamente relacionados. En primer lugar vamos aconsiderar el problema de maximizacion de beneficios para luego analizar el problema de minimizacion

1Es decir, del mismo bien desde el punto de vista de sus propiedades fsicas.

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de costos. Con esto, colocada la firma en un contexto de mercado, podremos estudiar su oferta y de-manda de bienes, para lo cual consideraremos en primer lugar una economa competitiva, donde cadafirma en particular no tiene ingerencia en el precio de los bienes que ofrece. Dado esto, relajaremos elmodelo competitivo permitiendo que las firmas puedan tener injerencia en los precios de venta de losproductos. Esto se hara, en primer lugar, considerando un mercado monopolico para luego estudiar unasituacion intermedia, denominada oligolopio.

El estudio del oligopolio nos forzara a introducir conceptos de teora de juegos para analizar el pro-blema, esto debido a que las decisiones de cada firma afectan a las otras y viceversa. En los otros casos,el resultado del proceso solo proviene de decisiones individuales de cada firma (agentes maximizado-res), pues las interacciones entre ellas solo se reducen a cuestiones de equilibrio de mercado (oferta =demanda) y no consideran efectos cruzados producto de interacciones especficas entre las mismas.

En lo que sigue se entrega un detalle de cada punto antes mencionado, definiendo una serie deconceptos auxiliares y estableciendo relaciones entre los mismos, todo con el fin de plantear y estudiarun modelo razonable de comportamiento de la firma en el mercado.

1.2. La firma y sus objetivos

Comencemos con una pregunta: cual es el fundamento para que existan las firmas2 tal como lasobservamos en la realidad? La respuesta pasa, en primer lugar, por comprender que en cada accion quese ejecuta dentro de un proceso productivo, existen costos provenientes de, por ejemplo, el pago porinsumos, salarios, impuestos, patentes, transporte de productos, etc. La razon para que el proceso seallevado a cabo en alguna escala (que da origen a las firmas no individuales) viene del hecho que este tipode organizacion puede reducir los costos de produccion debido a que, por un lado, existe un efecto deescala en la produccion dada una concentracion adecuada de factores y, por otro lado, por el hecho quealgunos de los costos mencionados no dependen de la cantidad de producto que se elabore (costos fijos),lo que motiva la organizacion del proceso pues, de esta manera, resulta mas eficiente desde el punto devista de los beneficios obtenidos. Obviamente, la organizacion de una firma no individual tiene sentidosiempre y cuando el esfuerzo cooperativo de un grupo resulte en una situacion mas beneficiosa queaquella obtenida de la suma de los productos de los esfuerzos individuales. La diferencia de ingresosentre ambas situaciones, claro esta, debe ser por lo menos igual al costo de organizar, supervisar, mediry hacer cumplir los contratos con los empleados, menos los costos de transaccion asociados con laalternativa de subcontratacion.

Tacito en la mencion hecha sobre la necesidad de supervision, esta el hecho que el empresario es elsupervisor final del proceso, ya que recibe el beneficio (ingresos menos pago de insumos) del proceso y,por ende, percibe un impacto inmediato en su pecunio personal producto del desempeno de la empresa.De esta manera, tras la idea del empresario como supervisor final y eficiente, se encuentra el supuesto demaximizacion de beneficio neto como objetivo de la firma, lo que en el fondo define su comportamientodentro de la economa. Una justificacion adicional para esto se encuentra en la necesidad de obtenerfinanciamiento por parte de las empresas con el fin de crecer o entregar dividendos. En este sentido, labusqueda de ganancias por parte de los inversionistas o el interes de no afrontar perdidas significativas,obliga a las empresas a tener capacidad de generar altos retornos.

Para terminar con este breve analisis, debemos mencionar que pueden existir firmas que no necesa-riamente tengan como objetivo la maximizacion del beneficio monetario. A modo de ejemplo, podemospensar en firmas con objetivos altruistas, en aquellas que tienen por objetivo optimizar su imagen cor-porativa, el tamano en el mercado, etc.

2Entendidas estas como unidades colectivas; no necesariamente individuales.

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1.3. La tecnologa de una firma

Con la finalidad de modelar nuestro problema en forma sencilla, supondremos dada una firma mo-noproductora que ocupa solo dos factores de produccion3. Denotaremos por x1 cierta cantidad delfactor 1 y por x2 aquella del factor 2.4 La cantidad de producto que la firma elabora sera denotadagenericamente por y.

Es claro que para realizar un determinado proceso productivo, para cada firma, en determinadomomento, solo existen algunas formas viables de combinar los factores para obtener el producto. Talcomo hemos mencionado, estas formas viables estaran definidas por una serie de condicionantes, amodo de ejemplo: caractersticas fsicas y/o qumicas de los factores y productos, restricciones de lanaturaleza a la manera en que se pueden mezclar los factores, caractersticas del equipo de trabajo(tecnicos, profesionales), de los equipos o maquinas disponibles en ese momento, etc. Precisamenteestas condicionantes son las que implcitamente definen la tecnologa de produccion de una firma, puesellas determinan en ultima instancia las cantidades de producto a partir de los insumos.

Definicion 1.2 La tecnologa de una firma esta definida por la manera en que la misma puede combinarlos factores con el fin de producir y que se refleja en la cantidad de producto que puede obtener dadaslas cantidades de factores que ocupa con ese fin.

Tal como hemos mencionado, un supuesto fundamental que haremos en este curso, salvo quese diga expresamente lo contrario, es que la tecnologa de una firma es constante. Esto implica quecuestiones de desarrollo tecnologico e innovacion no seran variables a considerar en el analisis quesigue .

As las cosas, simplificando nuestro analisis al suponer que nuestra firma produce ocupando solodos factores, cuyas cantidades son x1 y x2 respectivamente, definamos los puntos factibles de ser elabo-rados por la firma como el conjunto formado por todas aquellas cantidades de producto que se puedenelaborar a partir de los factores anteriores. Notemos este conjunto como:

P(x1, x2) = {y | y se puede elaborar con x1, x2}

Es claro que el conjunto anterior tiene una cota superior, es decir, existe una cantidad de productomaxima que es posible elaborar a partir de la cantidad dada de factores. Obviamente esta cantidadmaxima dependera de las caractersticas de cada firma dentro de la industria, no siendo necesariamentela misma para cada una de ellas. Sin embargo, para cada firma esta cantidad de producto es unica yesta completamente determinada por la cantidad de factores que utiliza.

Definicion 1.3 La funcion de produccion de la firma se define como aquella funcion que asocia a losfactores dados la cantidad maxima de producto que se puede elaborar a partir de los mismos.

Si denotamos por f() la funcion de produccion de la firma, entonces, segun la definicion, f(x1, x2)representa la mayor cantidad de producto que la firma puede elaborar a partir de los inputs dados. Deesta manera, si fuera dado cualquier otro nivel de produccion y factible de ser producido a partir deesta cantidad de factores, entonces, necesariamente, y f(x1, x2): cualquier otra cantidad de productomenor que esta cota tambien sera factible de ser elaborada con esa cantidad de factores.

En el siguiente ejemplo se ilustran las ideas anteriores.3El analisis que sigue es perfectamente aplicable si en el proceso productivo existen mas de dos factores.4Para fijar ideas, el factor 1 puede ser trabajo mientras que el factor 2 corresponder a capital.

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Ejemplo 1.1 Supongamos que el proceso productivo considera solo un factor, siendo la siguiente figurauna ilustracion del mismo:

a c

b

d

Producto

Factor

En este caso, si la cantidad de factor es a, entonces la cota de produccion es b, mientras que, si lacantidad es c, la cota es d. Luego, si la funcion de produccion es f , se tiene que f(a) = b y f(c) = d.Notemos ademas que dado a, cualquier cantidad de producto y b es factible de ser producida conesta cantidad de factor. Por el contrario, con a cantidad de factor, la cantidad de producto d es infactiblede ser producida, ya que supera la cota de maxima produccion posible.

En todo lo que sigue, cuando hablemos de produccion de la firmas, nos referiremos a la cota maximaque se puede producir dada la cantidad de factores, es decir, a los valores de la funcion de produccion(fdp) de la firma. Finalmente, abusando del lenguaje y considerando todo lo anterior, hablaremos indis-tintamente de funcion de produccion o tecnologa de la firma.

Nota 1.1 En todo lo que sigue, la funcion de produccion representara la tecnologa de produccion dela firma. Con esto se pretenden resumir todas las consideraciones que hemos hecho sobre la tecnologa.Claramente esta es una forma muy simplificada de modelar el problema, en forma analoga a suponerque la funcion de utilidad poda resumir el comportamiento de los individuos. Por otro lado, asumiremosque para cualquier firma, dada una eleccion de factores5, lo que ella produce finalmente esta dado por elvalor de la funcion de produccion en dichos puntos: cualquier otra situacion sera considerada ineficiente.Finalmente, en lo que sigue trabajaremos con firmas que solo ocupan dos factores de produccion, lo queen rigor no es restrictivo pues todos los analisis que siguen son perfectamente validos cuando hay masfactores y la forma de extender los resultados de dos a mas factores es directo.

1.4. Complementos y propiedades de la tecnologa

Supongamos dadas las cantidades de factores x1 y x2, y sea f() la funcion de produccion. Notemos,en primer lugar, que si aumentamos la cantidad de, digamos, el factor 1 en > 0, entonces, en elpeor caso, la firma producira lo mismo que hacia previo al cambio, ya que puede desechar factoresmanteniendo los niveles originales de produccion. Esto es igualmente valido con aumentos en el factor2. De esta manera, necesariamente la funcion de produccion debe ser creciente en los factores.

Esta es una propiedad fundamental de las funciones de produccion.

Proposicion 1.1 Las funciones de produccion son crecientes en cada una de sus componentes (facto-res).

5Eleccion que dependera de los objetivos de la firma y que de hecho es el contenido de este curso.

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Lo anterior se traduce en para una funcion de produccion f(), necesariamente se debe cumplir que:

f(x1,x2)x1 0 f(x1,x2)x2 0

Finalmente, para un proceso productivo es obvio que

f(0) = 0: de la nada, nada sale.

Esta propiedad, junto con la anterior, son las grandes restricciones para que una funcion cualquierapueda ser una funcion de produccion: crecimiento en cada componente y evaluada en cero vale cero.En el siguiente ejemplo ilustramos estas ideas.

Ejemplo 1.2 En la siguiente figura se ilustran 6 funciones. De ellas, solo (c), (d) y (f) pueden repre-sentar funciones de produccion.

a b c

d e f

En lo que sigue, la idea es analizar con detalle algunas propiedades de sensibilidad de las funcionesde produccion cuando varan las cantidades de los factores involucrados6. Los conceptos y propiedadesque se introducen seran relevantes en todo lo que sigue del curso, pues a traves de ellos se estableceran,e interpretaran, las condiciones de optimalidad de los problemas centrales de la firma: maximizacion debeneficio y minimizacion de costo.

En primer lugar, supongamos que el factor 1 pasa de x1 a x1 + , con pequeno. En este caso,recordando de la definicion de derivada, se tiene que

f(x1, x2)x1

= lm0

f(x1 + , x2) f(x1, x2)

.

Luego, para suficientemente pequeno,

f(x1, x2)x1

' f(x1 + , x2) f(x1, x2)

,

a partir de lo cual

f(x1 + , x2) f(x1, x2) ' f(x1, x2)x1

.

6Esta idea de modificar algunos parametros y medir el efecto resultante es muy frecuente en economa. Genericamentese habla de analisis de sensibilidad para referirse a este tipo de analisis. Para nuestros efectos, la idea es disponer de algunosindicadores que nos permitan dar cuenta del impacto sobre la produccion debido a cambios en los factores.

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De esta manera, cuando = 1 se deduce que

f(x1 + 1, x2) f(x1, x2) ' f(x1, x2)x1

.

Esto motiva la siguiente definicion:

Definicion 1.4 Se entendera por Producto Marginal del Factor7 el cambio en la cantidad producidadel bien final (output), motivada por el cambio en una unidad del insumo en cuestion. Para el factori = 1, 2, se denotara por Pmgxi(x1, x2).

De esta manera, a partir de lo anterior, se tiene que la productividad marginal puede ser aproximadapor la derivada parcial de la funcion de produccion c.r a la variable. De hecho, abusando del lenguaje, yde las aproximaciones, la productividad marginal la vamos a calcular como la derivada parcial c.r alfactor respectivo. Insisto, en rigor ambas son solo aproximaciones, pero, para efectos practicos, serantratadas como iguales. De esta manera, la productividad marginal del proceso c.r al factor i = 1, 2,evaluada en el punto (x1, x2), sera calculada como:

Pmgxi(x1, x2) =f(x1, x2)

xi, i = 1, 2.

Note que la productividad marginal de un factor depende del nivel del mismo donde se evalua. Noteademas que por la condicion de crecimiento de la funcion de produccion, la productividad marginal decada factor siempre debe ser positiva. Finalmente, notemos que mientras mayor es la productividadmarginal, mayor es el producto extra que se obtiene de incrementar el factor en cuestion en una unidad.

Otro concepto importante es el productividad media, que pasamos a definir.

Definicion 1.5 Se entendera por Producto Medio de un Factor 8 al producto total divido por la canti-dad utilizada del factor productivo en cuestion. Dados x1, x2, el producto medio del factor i = 1, 2 sedenotara por Pmex1(x1, x2).

En otras palabras, la productividad media del factor i = 1, 2 corresponde a:

Pmexi(x1, x2) =f(x1, x2)

xi.

Ejemplo 1.3 La siguiente figura ilustra ambos conceptos:

a b

(1)

(2)

{f(a)Factor

Producto

1x

7Tambien llamada productividad marginal del factor.8Tambien la llamaremos productividad media.

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La productividad marginal en a es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva (recta (1)),mientras que la productividad media es f(a)a . Note ademas que Pmgx1(a) > Pmgx1(b), mientras quePmex1(a) < Pmex1(b) (por que?).

Una funcion de produccion puede tener diversos comportamientos respecto de sus productividadesmarginales y medias. Por ejemplo, se puede dar el caso que una determinada tecnologa tenga producti-vidades marginales crecientes, otra que tenga productividades marginales decrecientes, etc. La siguientefigura ilustra esta idea:

(1) (2) (3)La funcion de produccion (1) tiene productividad marginal y media creciente, la (2) decrecientes

mientras que la (3) constante (justifique!).Finalmente, existen tecnologas donde, para ciertos niveles de factor, las productividades marginales

(y/o medias) son crecientes, mientras que para otro niveles de factor, son decrecientes. La siguientefigura ilustra estos casos:

y

x

y=f(x)

x1 x2

Cuando el factor esta entre 0 y x1, el producto marginal y medio es creciente; cuando esta entre x1y x2, el producto marginal y el medio es decreciente. Finalmente, para x > x3, el producto marginal escero y el medio decreciente.

Ejemplo 1.4 Funciones de produccion concavas y convexas : producto marginal decreciente ycreciente.

Formalmente, una funcion f : IR IR se dice concava si para todo x1, x1 IR y para todo [0, 1] se cumple que

f(x1 + (1 )x1) f(x1) + (1 )f(x1).La cantidad [x1 + (1 )x1] se denomina combinacion convexa de x1 y x1. A modo de ejem-

plo, si = 1/2 tenemos el promedio. En general, la combinacion convexa de dos numeros (valores)

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corresponde a un valor intermedio cualquiera entre x1 y x1. Si = 0 o 1 se tiene cualquiera de losvalores extremos. A partir de la definicion anterior, se puede demostrar que la funcion concava verificaque la primera derivada es decreciente y, por lo tanto, que la segunda derivada debe necesariamenteser negativa9. De hecho, esta es una caracterizacion de la concavidad. Geometricamente una funcionconcava es como sigue:

x1x1 A

B

Cf

'

Funcin cncava

En la figura, A = x1 + (1 )x1 representa una combinacion convexa cualquiera entre x1 y x1,mientras que B = f(x1 + (1 )x1). Finalmente, C = f(x1) + (1 )f(x1) (probarlo comoejercicio). En este caso, para cualquier punto entre x1 y x1 se cumple que B esta por encima de C,que es la definicion de concavidad. En consecuencia, geometricamente la concavidad se tiene cuandola recta une puntos de una curva esta siempre por debajo de la curva (B mas grande que C).

De esta manera, si una funcion de produccion fuese concava, entonces, por la caracterizacion conderivadas, necesariamente se debe cumplir que la productividad marginal es decreciente. Esta es unaclase muy importante de funciones de produccion que utilizaremos ampliamente en este curso. Lapropiedad de productividad marginal decreciente es un supuesto frecuente en economa.

Finalmente, como contrapartida a la concavidad existe el concepto de convexidad: una funcionf : IR IR se dice convexa si para todo x1, x1 IR y para todo [0, 1] se cumple que

f(x1 + (1 )x1) f(x1) + (1 )f(x1).En otras palabras, la funcion f es convexa si la funcion f es concava. En terminos geometricos,

la recta anterior esta siempre por encima de la curva.En terminos de productividades, las funciones de produccion convexas presentaran producto mar-

ginal creciente.La forma de caracterizar una funcion convexa es que la segunda derivada debe ser positiva en todos

los puntos10.La siguiente figura ilustra funciones de produccion convexas y concavas11:

9Ver la siguiente figura: la pendiente de la tangente decrece en la medida que avanzamos en la recta real.10Esto para el caso de funciones de una variable. Para funciones de varias variables, dicha condicion es que la matriz

Hessiana sea definida positiva. Para ello, si la funcion de produccion considera solo dos factores, bastara que los valorespropios del Hessiano sean positivos en todos los puntos.

11Recuerde que las funciones de produccion deben ser crecientes y valer cero en el origen.

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Convexa Cncava

f f

En resumen, las funciones de produccion concavas se caracterizan por el hecho que el productomarginal es decreciente mientras que para las convexas este es creciente.

Siguiendo con esta idea de construir indicadores para medir impactos sobre la produccion de cam-bios en los factores, otro concepto importante a considerar es la elasticidad producto de un factor.

Definicion 1.6 La elasticidad producto del factor i=1,2 se define como la variacion porcentual en elproducto dada un cambio de 1 % en la cantidad del factor respectivo.

En otras palabras, si el cambio porcentual del factor 1 esta dado por , entonces, la elasticidadcorresponde a:

y,x1 =f(x1+,x2)f(x1,x2)

f(x1,x2)

x1+x1x1

=f(x1 + , x2) f(x1, x2)

x1f(x1, x2)

.

Considerando que es pequeno, se tiene finalmente la siguiente expresion para la elasticidad12:

y,xi =f(x1, x2)

xi xif(x1, x2)

.

A partir de lo anterior, notemos en primer lugar que la elasticidad debe ser positiva ya que el pro-ducto marginal siempre es positivo.

Que relacion existe entre los conceptos anteriores? Las propiedades mas relevantes se resumen enla siguiente proposicion:

Proposicion 1.2 Dados x1, x2 y dada la funcion de produccion f(), se tiene que:

a.-

y,xi =Pmgxi(x1, x2)Pmexi(x1, x2)

.

b.- La productividad media del factor i = 1, 2 alcanza su maximo valor cuando es igual a la produc-tividad marginal del factor i = 1, 2.

c.- Si Pmex1(x1, x2) < Pmgx1(x1, x2) entonces Pmex1(x1, x2) es creciente. Si Pmex1(x1, x2) >Pmgx1(x1, x2) entonces Pmex1(x1, x2) es decreciente.

Demostracion.12Aproximamos el cuociente con por la derivada parcial respectiva.

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a.- Directo evaluando la expresion de la derecha y comparando.

b.- Supongamos i = 1 y derivemos Pmex1(x1, x2) c.r a x1:

Pmex1(x1, x2)x1

=[f(x1,x2)

x1

]x1

=x1 f(x1,x2)x1 f(x1, x2)

x21.

La condicion de maximizacion se tiene cuando la derivada anterior es cero. Para ello se requiereque el numerador de la expresion sea cero, es decir,

x1 f(x1, x2)x1

f(x1, x2) = 0,

de lo cual se tiene que f(x1,x2)x1 =f(x1,x2)

x1, lo mencionado.

c.- Del calculo de la derivada anterior, como la productividad media es creciente si su derivada espositiva, se tiene que x1 f(x1,x2)x1 f(x1, x2) > 0, es decir,

f(x1,x2)x1

> f(x1,x2)x1 que es loindicado. Analogo con la otra parte, considerando que la funcion es decreciente si la derivada esnegativa.

Definicion 1.7 Diremos que el producto es inelastico al factor i = 1, 2 si y,xi < 1. Diremos que elproducto eses elastico al factor i = 1, 2 si y,xi > 1.

Nota 1.2 En estricto rigor, los conceptos elastico e inelastico se definen con el valor absoluto de laelasticidad. En este caso no se requiere pues la elasticidad factor del producto es siempre positiva.Finalmente, estos conceptos aplican para cualquiera sea la elasticidad considerada.

Un concepto muy importante para analizar las propiedades de la firma es aquel de isocuanta deproduccion13, que pasamos a definir y analizar.

Definicion 1.8 La isocuanta de produccion al nivel de producto y se define como el conjunto decombinaciones posibles de insumos que son suficientes para obtener una cantidad dada de produccion.

En otras palabras, dada la funcion de produccion f() y dado el nivel de producto y, la isocuantarespectiva corresponde al conjunto:

Iy = {(x1, x2) | f(x1, x2) = y}.La interpretacion de las isocuantas es muy similar a aquella de las curvas de indiferencia en la teora

del consumidor. La siguiente figura ilustra el concepto:13Concepto analogo al de curva de indiferencia en la teora del consumidor.

13


x1

x 2

f(x ,x )=y1 2

Proposicion 1.3 Suponiendo que la funcion de produccion f() es estrctamente creciente en cada com-ponente, entonces se tiene que:

a.- En el plano x1 x2 las isocuantas de produccion son curvas decrecientes.b.- Isocuantas de produccion de distintos niveles de producto nunca se cortan. Es mas, si y1 < y2

entonces la isouanta de produccion Iy1 esta por debajo de la isocuanta Iy2 .c.- Dada la isocuanta Iy1 , la pendiente de la curva en un punto (x1, x2) de ella corresponde a:

m = f(x1,x2)

x1f(x1,x2)

x2

.

d.- Si la funcion de produccion es concava, entonces la isocuanta de produccion es una curva convexaen el plano x1 x214

Demostracion.

a.- Dado y, si f(x1, x2) = y entonces al aumentar x1, digamos a x1 + , necesariamente x2 debedisminuir ya que de mantenerse o aumentar, entonces la produccion tambien debera aumentarpues la funcion es creciente (aumentamos ambas componentes y luego el resultado debe crecer).Luego, para estar en la curva, un aumento de x1 debe implicar una disminucion de x2, es decir,la curva es decreciente. La siguiente figura ilustra esta idea:

14En rigor, la clase mas amplia de funciones de produccion que tienen isocuanta convexa es aquella de las denominadascuasi - concavas, de las cuales las concavas son un caso particular.

14


x1

x 2

Iy

x x + a11

x2

x - b2

Si x1 aumenta en a, entonces x2 debe bajar (digamos en b).

b.- En efecto, si las curvas se cortasen, entonces existira niveles de factores x1, x2 tales que f(x1, x2) =y1 (esta en la primera isocuanta) y ademas f(x1, x2) = y2 (esta en la segunda isocuanta), loque no puede ser ya que y1 6= y2. Por otro lado, si y1 < y2 y (x1, x2) Iy1 , mientras que(x1, x2) Iy2 , entonces, dado que la funcion de produccion es creciente, se tiene que x2 < x2,por lo cual, el punto (x1, x2) esta por encima del punto (x1, x2), es decir, la isocuanta Iy2 esta porarriba de Iy1 . La siguiente figura ilustra la proposicion:

y2

y1

I

I

x1

x2

x2*

c.- Veamos en primer lugar un argumento informal. Supongamos que tenemos dos puntos cercanos(x1, x2), (x1 + a, x2 b) Iy como ilustra la figura:

15


yI

x1

x - b2

x2

x + a1

En tal caso, la pendiente de la isocuanta en (x1, x2) es aproximadamente:

m =(x2 b) x2(x1 + a) x1 =

b

a.

Por otro lado, del hecho que f(x1 + a, x2 b) = f(x1, x2) = y, haciendo la aproximacion porla derivada se tiene que15:

f(x1 + a, x2 b) f(x1, x2) = 0 = a f(x1, x2)x1

+ b f(x1, x2)x2

,

y luego,

m = ba

f(x1,x2)x1

f(x1,x2)x2

.

Otra manera de ver lo anterior (y mas formal) es la siguiente: como f(x1, x2) = y, existe unarelacion implcita entre x1 y x2 (que de hecho define la isocuanta de produccion). Luego, x2 esuna funcion de x1, digamos x2(x1). As, f(x1, x2(x1)) = y. Derivando la expresion c.r a x1 yaplicando la regla de la cadena, se tiene que:

f(x1, x2(x1))x1

=y

x1= 0,

ya que y no depende de x1. Desarrollando la derivada, por la regla de la cadena, se tiene que:

f(x1, x2)x1

+f(x1, x2)

x2 x2(x1)

x1= 0,

con lo cual se tiene que15En rigor, la siguiente relacion es solo una aproximacion, que asumimos como igualdad.

16


x2(x1)x1

= f(x1,x2)

x1f(x1,x2)

x2

,

que es analogo a lo ya mostrado.

d.- Si tomamos dos puntos de la isocuanta y evaluamos la funcion de produccion en una combinacionconvexa de estos, por definicion dicho valor es mayor o igual que la combinacion convexa de losvalores de la funcion en dicho punto. Pero en cada uno de ellos la funcion vale el nivel de productoconsiderado y luego dicha combinacion es igual al nivel de producto. En consecuencia, la rectaesta por encima de la curva y luego es convexa.

Nota 1.3 A partir de lo anterior, dada una isocuanta de produccion Iy, el plano respectivo queda dividi-do en tres regiones, a saber, aquellos puntos que estan en la curva, aquellos que estan por sobre la curvay, finalmente, aquellos que estan por debajo de la curva. Cada uno de estos puntos tiene la siguienteparticularidad respecto del nivel de produccion asociado:

a.- Los puntos en la isocuanta: (x1, x2) | f(x1, x2) = y.b.- Los puntos sobre la isocuanta: (x1, x2) | f(x1, x2) > y.c.- Los puntos bajo la isocuanta: (x1, x2) | f(x1, x2) < y.

La siguiente figura ilustra lo anterior:

yI

x1

x2

f(x) < yf(x) = y

f(x) > y

Volviendo sobre la proposicion anterior, se demostro que la pendiente de la isocuanta de produccion

en el punto (x1, x2) corresponde a f(x1,x2)

x1f(x1,x2)

x2

. Esta cantidad es importante en el analisis de la funcion

de produccion, por lo cual se tiene la siguiente definicion:

Definicion 1.9 La relacion tecnica de sustitucion del factor 1 por el factor 2, evaluada en x1, x2, sedefine como

RTS1,2(x1, x2) = f(x1,x2)

x1f(x1,x2)

x2

,

17


es decir,

RTS1,2(x1, x2) = Pmgx1(x1, x2)Pmgx2(x1, x2)

.

Notemos que RTS siempre debe ser negativa pues los productos marginales son positivos. Comola RTS es el cuociente de las derivadas parciales con signo menos, se tiene lo indicado. Otra forma dever esto es considerar que si aumentamos el factor 1 en una unidad, para mantener producto constante,el factor 2 debe disminuir ya que, en caso contrario, el nivel final de producto aumentara (funcioncreciente). Como la RTS mide este cambio en el factor 2, se tiene su negatividad.

Respecto de lo anterior, en general las tecnologas pueden tener dos tipos de comportamiento extre-mo respecto de uno de los factores, digamos x1:

a.- Aquellas en que la RTS12 es decreciente.

b.- Aquellas en que la RTS12 es creciente.

La siguiente figura ilustra los anterior:

x x

I y

x

x2

11* 1**

En la figura, entre el origen y x1 la RTS es creciente (cada vez es menos negativa), mientras queentre x1 y x1 es decreciente (cada vez mas negativa). En valor absoluto (es decir, obviando el signo),las conclusiones son contrarias: hasta x1 se tiene que |RTS| es decreciente mientras que entre x1 y x1es creciente.

En general, el tipo de tecnologa que vamos a considerar tendra RTS decreciente en modulo, esdecir, creciente si se considera el signo. Esto implica, en particular, que las isocuantas que vamos aconsiderar deben ser convexas, y por lo tanto no tener puntos de inflexion16.

Cual es la interpretacion y relevancia de la RTS? Considerando el desarrollo de la proposicionanterior, la RTS1,2 evaluada en un cierto nivel de factores, corresponde a la cantidad de factor 2 que

16La RTS corresponde a la derivada de curva que define la isocuanta. Si dicha derivada es decreciente entonces la curvaes convexa. Si la curva es convexa, la funcion de produccion es concava. Si la funcion es concava, el producto marginal esdecreciente. Con todo esto se cierra un crculo de supuestos y encadenamientos. Note la relevancia del supuesto de concavidady las interrelaciones que se dan entre los diversos conceptos que hemos definido.

18


habra que disminuir para mantener la produccion constante, esto dado un aumento del otro factor enuna unidad (aumento marginal). En otras palabras, es indicativa de la sustitubilidad de factores enun determinado proceso productivo.

Para el caso isocuanta convexa (funcion de produccion concava, por ejemplo), se tiene una conse-cuencia interesante de la sustitubilidad en terminos de la RTS. Supongamos que f(x1, x2) = y y quedecidimos aumentar la cantidad del factor 1 en una unidad (x1 x1 +1). Es claro que x2 debe cambiarpara seguir en la curva Iy. Este cambio esta dado por la RTS1,2(x1, x2).

Si ahora nuevamente decidimos aumentar (x1 + 1) en una unidad, la nueva cantidad del factor 2(digamos x2) debe disminuir en RTS1,2(x1 + 1, x2). Por el supuesto de convexidad de la isocuanta, setiene que

|RTS1,2(x1, x2)| > |RTS1,2(x1 + 1, x2)|,es decir, un cambio en el factor 1 se sustituye con cada vez menos factor 2 en la medida que la cantidaddel factor 1 aumenta. La siguiente figura ilustra esta idea:

x1 x + 21

I y

x

x2

1x + 11

{{

Primer cambio en x

Segundo cambio en x

2

2

Esta es una propiedad fundamental de las tecnologas que tienen isocuantas convexas, que sera elcaso usual que vamos en considerar en este apunte.

Para terminar esta seccion, notemos que cuando analizamos la productividad marginal y/o la pro-ductividad media, modificamos un factor de produccion y mantenemos el otro constante, a partir de locual tratamos ver el efecto sobre el resultado del proceso. Un poco mas de generalidad en el analisis setiene cuando movemos simultaneamente todos los factores involucrados y miramos el efecto sobre laproduccion. Sin embargo, pretender cambiar todos los factores en forma discrecional e independiente eluno del otro, no tiene mucho sentido por cuanto la informacion que de ello se puede obtener es muy va-ga, dada la generalidad del analisis. Lo que s puede resultar interesante es modificar todos los factoresen la misma proporcion y ver como esto altera el resultado del proceso. De esta manera, supongamosque y = f(x1, x2) y dupliquemos la cantidad de factores en el proceso. En tal caso, las tres opcionesque se tienen son las siguientes:

a.- La produccion crece justo el doble, es decir,

f(2x1, 2x2) = 2f(x1, x2).

b.- La produccion crece mas que el doble, es decir,

19


f(2x1, 2x2) > 2f(x1, x2).

c.- La produccion crece menos que el doble, es decir,

f(2x1, 2x2) < 2f(x1, x2).

Con mas generalidad, supongamos que en vez de duplicar la cantidad de factores, multiplicamospor una cantidad t > 1 todas las cantidades involucradas. En tal caso, las tres posibilidades son:

a.- La produccion crece proporcionalmente (linealmente) con el aumento de los factores, es decir,

f(tx1, tx2) = tf(x1, x2).

b.- La produccion crece mas que proporcionalmente (mas que linealmente) que el aumento defactores, es decir,

f(tx1, tx2) > tf(x1, x2).

c.- La produccion crece menos que proporcionalmente (menos que linealmente)que el aumento defactores, es decir,

f(tx1, tx2) < tf(x1, x2).

Esto motiva la siguiente definicion.

Definicion 1.10 Diremos que la funcion de produccion o tecnologa presenta rendimientos constantesde escala si se tiene el caso [a.] dado antes. Por otro lado, diremos que la funcion de producciontiene rendimientos crecientes de escala si se verifica el caso [b.] anterior. Finalmente, ls funcion deproduccion se dira tiene rendimientos decrecientes de escala si se tiene el caso [c.] anterior.

Proposicion 1.4 Si la funcion de produccion es convexa entonces tiene rendimientos crecientes deescala. Por el contrario, si la funcion de produccion es concava, tiene rendimientos decrecientes deescala.

Demostracion. Para simplificar, supongamos que el proceso productivo tiene solo un factor y que lafuncion de produccion es convexa, es decir, verifica que

f(tx1 + (1 t)x1) < tf(x1) + (1 t)f(x1),

para todo t [0, 1]. Considerando x1 = 0 y del hecho que f(0) = 0, se concluye

f(tx1) < tf(x1),

con t [0, 1]. Supongamos ahora que t > 1 y sea x1 dado. En primer lugar, notemos que f(x1) =f(1t tx1). Como t > 1, 1t < 1 y, por la propiedad anterior, se concluye que:

f(x1) = f(1t tx1) < 1

t f(tx1),

20


de lo cual, reordenando terminos, se concluye que f(tx1) > tf(x1), con t > 1, es decir, tiene ren-dimientos crecientes de escala en la produccion. El caso funcion de produccion concavo es analogo yqueda como ejercicio.

Ejemplo 1.5 Supongamos que f(x1, x2) = x1 x2 . En este caso, dado t > 1, se tiene que

f(tx1, tx2) = (tx1) (tx2) = t+ f(x1, x2).

Dependiendo de los valores de y se tienen los distintos casos de rendimientos de escala ante-riores. As:

a.- Si (+ ) > 1 entonces t(+) > t cuando t > 1 y, por lo tanto

f(tx1, tx2) > tf(x1, x2),

es decir, existen rendimientos de escala crecientes.

b.- Si (+ ) < 1 entonces t+ < t y luego

f(tx1, tx2) < tf(x1, x2),

es decir, existen rendimientos decrecientes de escala en la produccion.

c.- Si (+ ) = 1 entonces t(+) = t cuando t > 117 y, por lo tanto

f(tx1, tx2) = tf(x1, x2),

es decir, existen rendimientos de escala constantes.

Nota 1.4 Una funcion de produccion necesariamente debe tener alguno de los tres tipos de rendi-mientos de escala anteriores? No necesariamente. Podemos tener funciones de produccion que en algunrango de factores tengan rendimientos de escala crecientes, en otros decrecientes y en otros constantes.Esta situacion es analoga a la que se tena con las productividades marginales crecientes y decrecientes:para algunos niveles de factores se tena una u otra propiedad.

A partir de lo anterior, surge de manera natural un concepto que nos ayudara a dar cuenta de laescala en la produccion: la elasticidad de escala.

Definicion 1.11 Dada una funcion de produccion f() y dados los factores x1, x2, la elasticidad deescala de la produccion en el punto (x1, x2) se define como:

esc(x1, x2) =[df(tx1, tx2)

dt tf(x1, x2)

]t=1

,

es decir, se calcula la expresion anterior y se evalua el resultado en t = 1.17De hecho, para todo t > 0.

21


Ejemplo 1.6 Supongamos dada la funcion de produccion f(x1, x2) = x1 x2 . Entonces se tiene que:

esc(x1, x2) =[df(tx1, tx2)

dt tf(x1, x2)

]t=1

=

[d(tx1)

(tx2)

dt tx1 x2

]t=1

=

[dt+

dt t x

1 x2

x1 x2

]t=1

.

Simplificando y calculando la derivada, se tiene que:

esc(x1, x2) =[(+ ) t+1 t

]t=1

= + .

Como interpretar el valor de la elasticidad de escala? Se tiene lo siguiente:

a.- Cuando esc(x1, x2) < 1, entonces localmente18 la funcion de produccion tiene rendimientosdecrecientes de escala.

b.- Cuando esc(x1, x2) > 1, entonces localmente la funcion de produccion tiene rendimientos cre-cientes de escala.

c.- Cuando esc(x1, x2) = 1, entonces localmente la funcion de produccion tiene rendimientos cons-tantes de escala.

El concepto de escala de la produccion es global: se refiere a todo el proceso. A partir de la elas-ticidad de escala se tiene un concepto local: una funcion de produccion puede no tener ningun tipo derendimiento de escala (global), pero si en algunas regiones presentar rendimientos crecientes, decre-cientes o constantes. La siguiente figura ilustra esta importante idea:

a b

Entre 0 y a, la tecnologa tiene rendimientos crecientes de escala; entre a y b son decrecientes ypara x1 > b son constantes. Globalmente, la tecnologa no tiene ningun tipo de rendimiento de escala.

Finalmente, si fuera que para todo punto se cumple una propiedad local similar de rendimiento deescala, eventualmente es posible inferir algo desde el punto de vista global. La siguiente proposicionnos relaciona ambos conceptos:

18Es decir, en torno a (x1, x2).

22


Proposicion 1.5 A partir de los conceptos anteriores, se tiene que:

a.- Si para todo (x1, x2) se tiene que esc(x1, x2) < c, con c < 1 constante independiente delpunto considerado, entonces la funcion de produccion tiene rendimientos decrecientes de escala(global).

b.- Si para todo (x1, x2) se tiene que esc(x1, x2) > c, con c > 1 constante independiente del puntoconsiderado, entonces la funcion de produccion tiene rendimientos crecientes de escala (global).

c.- Si para todo (x1, x2) se tiene que esc(x1, x2) = 1, entonces la funcion de produccion tienerendimientos constantes de escala.

Demostracion. Ejercicio propuesto.

1.5. Tecnologas importantes

En lo que sigue vamos a estudiar algunas tecnologas importantes, que seran ampliamente utilizadasen este curso.

a.- Funciones de produccion homogeneas. Diremos que una funcion de produccion es homogeneade grado n si para todo t > 0 se cumple que:

f(tx1, tx2) = tnf(x1, x2).

En particular, la funcion de produccion es homogenea de grado 1 (de ahora en adelante, simple-mente homogenea) si

f(tx1, tx2) = tf(x1, x2).

Derivando c.r a t la funcion homogenea, se cumple que19:

df(tx1, tx2)dt

=f(tx1, tx2)

x1 x1 + f(tx1, tx2)

x2 x2 = f(x1, x2).

Luego, evaluando en t = 1 se obtiene la llamada identidad de Euler para funciones homogeneas:

f(x1, x2)x1

x1 + f(x1, x2)x2

x2 = f(x1, x2),

es decir, la funcion es igual a la suma de las productividades marginales por la cantidad de factor.A modo de ejemplo, las siguientes funciones son homogeneas del grado indicado:

a.1.- f(x1, x2) = a x1 + b x2: grado 1a.2.- f(x1, x2) = a x1 x2: grado 2a.3.- f(x1, x2) = a x1 + b x2 : grado .a.4.- f(x1, x2) = a x1 + b x2 : no es homogenea de algun grado.a.5.- f(x1, x2) = a x1 x2 :homogenea de grado (+ )

19Aplicar la regla de la cadena.

23


Finalmente, relacionemos el grado de homogeneidad de una funcion de produccion con los ren-dimientos de escala. Esto se tiene en la siguiente proposicion que queda como ejercicio:

Proposicion 1.6 A partir de las definiciones anteriores, se tiene que

a.i.- Si la funcion de produccion es homogenea de grado 1, entonces tiene rendimientos cons-tantes de escala.

a.ii.- Si la funcion de produccion es homogenea de grado mayor que 1, entonces tiene rendi-mientos crecientes de escala.

a.iii.- Si la funcion de produccion es homogenea de grado menor que 1, entonces tiene rendi-mientos decrecientes de escala.

b.- La Cobb - Douglas. La funcion de produccion Cobb - Douglas se define como:

f(x1, x2) = a x1 x2 ,

donde a, , son reales positivos. Note que esta funcion de produccion es homogenea de grado(+ ).

Por otro lado,

Pmgx1(x1, x2) = ax11 x2 , Pmgx2(x1, x2) = ax1 x12 .

Ademas, se tiene que

Pmex1(x1, x2) =a x1 x2

x1= a x11 x2 , Pmex2(x1, x2) = a x1 x12 .

Dado un nivel de producto y, la correspondiente isocuanta de produccion esta definida por lospuntos (x1, x2) tales que a x1 x2 = y, es decir,

x2 =y

1

(a x1 )1

.

Note que en este caso, la isocuanta es de la forma

x2 =

x

1

,

cuyo grafico es una curva decreciente como se muestra a continuacion:

24


yI

x1

x2

La flecha indica el movimiento de las curvas cuando crece el nivel de producto.

La relacion tecnica de sustitucion es:

RTS1,2(x1, x2) = ax11 x2

ax1 x12=

x2x1.

Note que la RTS1,2 es decreciente en x1 y que las isocuantas no cortan los ejes.

Por otro lado, notemos que,

b.1.- Cuando > 1, la Pmgx1(x1, x2) es creciente en x1; cuando < 1 es decreciente en x1,mientras que cuando = 1 la Pmgx1(x1, x2) no depende de x1.

b.2.- Como f(tx1, tx2) = t+f(x1, x2), la funcion de produccion tiene rendimientos crecientesde escala si (+ ) > 1, decrecientes si (+ ) < 1 y constantes si (+ ) = 1.

c.- Funcion de produccion lineal. En este caso, se dice que los factores son sustitutos perfectos.La forma de la funcion de produccion es:

f(x1, x2) = x1 + x2.

De esta manera, la funcion de produccion es homogenea de grado 1. Por otro lado,Pmgx1(x1, x2) =, Pmgx2(x1, x2) = : productividades marginales constantes. Ademas, Pmex1(x1, x2) = + x2x1 , Pmex2(x1, x2) = +

x1x2

: productividades medias decrecientes en cada factor. Dadoun nivel de producto y, las isocuantas de produccion estan dadas por:

x1 + x2 = y x2 = y x1

,

es decir, lneas rectas con pendiente negativa .La siguiente figura ilustra las isocuantas de produccion:

25


yI

x1

x2

.

La flecha indica el movimiento de las curvas cuando crece el nivel de producto.

Finalmente, RTS1,2 = pendiente de la isocuanta = : cte. Note que las isocuantas cortanlos ejes.

d.- Tecnologa Leontiev o de proporciones fijas. La fucion de produccion es de la forma:

f(x1, x2) = mn{x1;x2},

con , > 0. Este tipo de tecnologa se llama de proporciones fijas ya que para producir unadeterminada unidad de producto se requiere de una proporcion fija de factores. Esta funcion deproduccion es homogenea de grado 1.

Los factores que participan de un proceso productivo con tecnologa Leotiev se denominan per-fectos complementos (o bienes complementarios).

Para ilustrar la definicion y el nombre de proporciones fijas, consideremos el siguiente ejemplo.Para fabricar una cajetilla de cigarrillos, se requiere de 20 cigarrillos y un paquete. Con dospaquetes y 20 cigarrillos, se produce la misma cantidad; con 24 cigarrillos y un paquete idem.En otras palabras, la proporcion de cigarrillos y paquetes es de 20:1. As, si fueran dados x1cigarrillos y x2 paquetes, entonces dependiendo de la cantidad de cada unos de ellos en terminosrelativos, se pueden producir ciertas cantidades de cajetillas. Para ilustrar, supongamos que x1 =55 y x2 = 3. Sabemos que cada cajetilla necesita 20 cigarrillos, luego, con 55 a lo mas se puedenobtener 5520 cajetillas. Con x3 se pueden obtener a lo mas

31 cajetillas. Luego, considerando ambos

factores, lo que se puede elaborar es

mn{5520

;31} = 2, 75

cajetillas de cigarrillos20.20Suponiendo que las cajetillas se pueden vender en fracciones. En rigor, deberamos considerar el entero menor que

aproxima a la expresion anterior, es decir, 2 cajetillas de cigarrillos.

26


Dada la funcion de produccion f(x1, x2) = mn{x1, x2}, la isocuanta de produccion tiene lasiguiente forma:

yI

x1

x2

Pend: a/b

La productividad marginal no esta bien definida en todos los puntos, ya que la funcion de pro-duccion no es derivable en todas partes. Sin embargo, cuando tenga sentido, cuando cambia eluso del factor, digamos, 1, la produccion no necesariamente aumenta (cuando este cambio no al-canza para cambiar el nivel de propducto) y luego, en tal caso, Pmgx1(x1, x2) =

f(x1,x2)x1

= 0.Analogo con Pmgx2(x1, x2). En general, por este hecho, la RTS es infinita (luego no esta biendefinida).

e.- Funcion de produccion CES. Corresponde a la siguiente funcion de produccion:

f(x1, x2) = [c0 + c1x1 + c2x

2]

1 ,

donde IR, no necesariamente positivo.Notemos que

Pmgxi(x1, x2) =1[c0 + c1x1 + c2x2]

11cix1i = [c0 + c1x1 + c2x2]

11cix1i , i = 1, 2.

A partir de lo anterior,

RTS1,2(x1, x2) = c1c2

(x1x2

)1.

Notemos ademas que, si c0 = 0 entonces la funcion de produccion tiene rendimientos constantesde escala, es decir, es homogenea de grado 1.

Por que esta funcion de produccion se llama CES? El nombre CES viene de constant elasticityof substitution21, cuestion que veremos en la siguiente seccion.

21Elasticidad de sustitucion constante.

27


1.6. Elasticidad de sustitucion

La elasticidad de sustitucion que vamos a definir corresponde a una medida de la sustitubilidad deun factor por otro dentro de un proceso productivo. Ex post, esta medida correspondera a la curvaturade la isocuanta en el punto correspondiente. Para fijar ideas, consideremos dado un cierto nivel deproduccion y0, de tal forma que dada una funcion de produccion f : IR2 IR queda definida unaisocuanta al nivel y0

(x1, x2) IR2 | f(x1, x2) = y0.Dados los precios de los factores w1 y w2, es claro que un punto cualquiera de la isocuanta (x1, x2)

cuesta entoncesC = w1x1 + w2x

2.

Consideremos ahora el conjunto de todas las combinaciones de factores (que pueden o no estar en laisocuanta) que tienen exactamente el mismo valor que el punto anterior (C). La condicion menciodadadefine entonces una recta de la forma

w1x1 + w2x2 = C.

Supingan ahora que por alguna razon (lo que se discutira con detalle mas adelante en el curso)ocurre que la recta anterior es tangente a la isocuanta en el punto (x1, x2), cuestion que es ilustrada enla siguiente figura

f(x ,x )= y 1 2 0

(x , x )* *1 2

m=-(w /w )1 2

Note que, como se indica en la figura, la pendiente de la recta de costos mencionada es

w1w2.

Ahora bien, partiendo de la situacion inicial anterior, si modificasemos ligeramente la razon de precios,geometricamente ocurrira que la recta de costos mencionda cambia de pendiente, razon por la cual,la tangencia con la isocuanta se dara en otro punto, tal como se muestra en la siguiente figura (rectapunteada representa la nueva recta donde se ha modificado la pendiente, es decir, la razon de precios)

28


f(x ,x )= y 1 2 0

(x , x )* *1 2(x , x )1 2' '

Por lo tanto, si llamamos w1 y w2 los nuevos precios, la pendiente de la recta (razon de preciosnegativa) cambia de

w1w2

w1

w2lo que a su vez tiene un efecto sobre el punto de tangencia entre la recta y la curva, pasando la razon delos factores de

x1x2

a la razon

x1x2.

Por lo tanto, una medida del cambio que se tiene en los insumos es dada por el cociente entre lasrazones de insumos y las razones de precios (precios relativos), es decir,(

x1x2 x1x2

)(w1w2 w1w2

)que, aproximado por derivadas, corresponde a

(x1x2

)(w1w2

) .Finalmente, convertiendo la expresion anterior en una elasticidad, queda que una medida del efecto

cambio de razon de precios sobre razon de factores es definida por la llamada elasticidad de sustitucion

=(x1x2

)(w1w2

) w1w2x1x2

.

29


Dada una funcion de produccion y dados los precios de factores w1 y w2, como se calcula entoncesla elasticidad de sustitucion anterior? Vamos por partes. En primer lugar, de la condicion de tangenciaimpuesta al punto en cuestion, se deduce que la pendiente de la isocuanta en dicho punto debe ser iguala la pendiente de la recta de costos mencionada. Por lo tanto, como la pendiente de la isocuanta es larazon de productos marginales, se tiene que en el punto tangente se cumple que

f(x1,x2)

x1f(x1,x2)

x2

= w1w2

f(x1,x2)

x1f(x1,x2)

x2

=w1w2

[1].

Por otro lado, el punto en cuestion es parte de la isocuanta al nivel y0, por lo cual se cumple que

f(x1, x2) = y0 [2].

Con las ecuaciones [1] y [2] anteriores es posible entonces encontrar el punto de tangencia quehemos mencionado (dos ecuaciones, dos incognitas).

Dado esto, se tiene entonces que podemos calcular la expresion de con las cantidades antes deter-minadas.

Ejemplo 1.7 Calculemos la elasticidad de sustitucion para la Cobb-Douglas f(x1, x2) = x1x2 . En

este caso, dados los precios w1, w2, y dado un nivel de produccion y0, el punto de tangencia corres-pondiente viene dado por las ecuaciones [1] y [2] anteriores, es decir, por

x11 x2

x1x12

=w1w2

x2x1

=w1w2.

Por lo tanto, ocurre que

x1x2

=

w2w1

=

(w1w2

)1,

por lo cual

(x1x2

)(w1w2

) =

(w1w2

)2.

Finalmente, como sabamos,

x1x2

=

w2w1

w1w2x1x2

=w1w2w2w1

=

(w1w2

)2lo que finalmente implica que

=

(w1w2

)2

(w1w2

)2= 1.

En resumen, la elasticidad de sustitucion en una Cobb-Duoglas es siempre igual a menos uno. Comose interpretab este resultado? As: un aumento porcentual en la razon de precios (uno porciento) tienehace disminuir la razon de factores en un uno porciento, siendo estos factores aquellos de la isocuantaque son de tangencia entre la isocuanta y aquellos definidos por la recta de pendiente razon de preciosantes detallada. Ex post, estos puntos corresponderan a la demanda por factores que tiene la firma a losprecios w1 y w2.

30


Ejemplo 1.8 Calculemos la elasticidad de sustitucion para una CES de la forma

f(x1, x2) = [x1 + x

2]

1/.

En este caso, dados los precios w1, w2, consideremos entonces

f(x1,x2)x1

f(x1,x2)x2

=w1w2

(1/)[x1 + x

2]

1/1x11

(1/)[x1 + x2]

1/1x12

=x11x12

=(x1x2

)1/(1)=w1w2

con lo cual

x1x2

=(w1w2

) 11

(x1/x2)(w1/w2)

=1

1(w1w2

) 111

.

Por lo tanto, haciendo el caculo correspondiente, queda que

=1

1(w1w2

) 21(w1w2

)(w1w2

) 11

=1

1 .

De esta manera, la eslasticidad de sustitucion resulta ser constante e igual a la expresion anterior.Esto se interpreta diciendo que un aumento porcenatual en la razon de precios implica que la razon deinsumos en el punto tangente mencionado se modifica en 11 %.

1.7. El corto y el largo plazo.

Para efectos de nuestro analisis, se entendera que existe una situacion de corto plazo en la pro-duccion cuando alguno de los factores de produccion esta fijo de modo que no puede ser modificado aeleccion por la firma (es decir, ahora es un parametro o dato para la firma). A diferencia de esto, en unasituacion de largo plazo asumiremos que todos los factores son variables y que pueden ser escogidospor la firma segun su conveniencia. Como se traduce esto en el modelo que estamos estudiando? Larespuesta es simple: hablaremos de tecnologas de corto plazo y de tecnologas de largo plazo. Enotras palabras, si el proceso productivo consta de dos factores, en una situacion de corto plazo se asumeque uno de ellos (digamos, el 2) esta fijo en cantidad, digamos x2. Con esto, el espectro de eleccionesde la firma se ve reducido y puede ser considerada como una firma que ocupa solo un factor de produc-cion. Pero no solo el espectro de elecciones de factores se ve reducido: su tecnologa tambien cambia.En efecto, si en el largo plazo su funcion de produccion es f(, )22, en el corto plazo esta es f(, x2), esdecir, una funcion que depende de solo una variable (x1). La tecnologa de corto plazo puede ser com-pletamente distinta de aquella de largo plazo. En efecto, se pueden dar situaciones en que, por ejemplo,la tecnologa de largo plazo tenga rendimientos crecientes de escala pero que aquella de corto plazotenga rendimientos decrecientes de escala. El siguiente ejemplo ilustra este caso:

Ejemplo 1.9 Supongamos que en el largo plazo la tecnologa de una firma es

f(x1, x2) = x121 x32.

Es claro que dicha tecnologa tiene rendimientos crecientes de escala en el largo plazo, pues eshomogenea de grado 3, 5 > 1. Sin embargo, en cualquier situacion donde el factor 2 esta fijo, digamos,en x2, la tecnologa de corto plazo resultante es

22Funcion que depende de dos variables: x1 y x2.

31


fcp(x1) = x121 x32,

la que tiene rendimientos decrecientes de escala. Note que en este caso x32 es una constante para elproceso de produccion.

1.8. Problemas Propuestos

Pregunta 1.1. Comente las siguientes afirmaciones, indicando si es verdadera, falsa o incierta. Justifiquebrevemente su respuesta.

1.1 Dados los factores de produccion x1, ...xn, las funciones de produccion deberan ser siemprelineales por cuanto el resultado del proceso industrial, cualquiera que el sea, es simplemente unacombinacion ponderada de los factores.

1.2 Las isocuantas de produccion son convexas porque de otra manera estaramos en presencia debienes que no estan relacionados en el proceso productivo.

1.3 Dado el modelo y los supuestos que hemos visto en clases, es perfectamente posible que la rela-cion tecnica de sustitucion (RTS) entre dos bienes sea positiva.

1.4 Si para una cierta firma el producto marginal de un factor A es siempre mayor que la de otrofactor B, entonces para dicha firma siempre sera preferible utilizar mas de A que de B en elproceso productivo.

1.5 Supongamos que dos firmas distintas tienen funciones de produccion f1(x1, x2) y f2(x1, x2)respectivamente. Si para todo x1, x2 se tiene que

f1(x1, x2) f2(x1, x2),entonces podemos decir que la firma 2 es mas eficientes que la 1.

1.6 Para producir 6 litros de mote con huesillos, una firma puede ocupar 2 unidades de mote y 4 dehuesillos o 4 unidades de mote y 2 de huesillos. Entonces con 3 unidades de mote y 3 de huesillospuede producir 7 litros de mote con huesillos.

1.7 Sabiendo que para producir una determinada cantidad de cigarrillos la firma ocupa mucho tabacoy poco papel, cual cree Ud. que es la combinacion de parametros y que mejor representarala funcion de produccion de la firma?

1.8 En un proceso productivo, es posible tener un producto marginal decreciente en un factor y, aunas, rendimientos crecientes de escala? Justifique su respuesta.

1.9 En un proceso productivo, es posible que existan rendimientos constantes de escala pero que losproductos marginales sean decrecientes? Justifique su respuesta.

a. >

b. <

1.10 Suponga que f() representa la tecnologa de una cierta firma y sea g() una funcion creciente.Entonces, f g (composicion de f con g) representa la misma tecnologa anterior, es decir,transformaciones crecientes de la tecnologa no alteran su naturaleza.

32


1.11 Si para producir una cantidad y1 de un cierto producto se requieren insumos en cantidades x11, x12,

mientras que para producir y2 se requieren x21, x22. Entonces, si y1 > y2, necesariamente se debe

cumplir x11 > x21 y x

12 > x

22.

1.12 Que las productividades marginales sean positivas se relaciona estrechamente con el hecho quecon mas inputs necesariamente se producen mas outputs.

Pregunta 1.2.Una firma utiliza dos factores de produccion en su proceso para fabricar tornillos: capital K y

trabajo L. Se sabe que la funcion de produccion de la firma tiene la forma:

f(K,L) = K L.

a.- Sabiendo que la elasticidad capital de la produccion es constante e igual a 13 y que la funcion deproduccion es homogenea de grado 1, determine los parametros de la produccion (es decir, y).

b.- La firma ha decidido producir con niveles K = 8 y L = 4. Sin embargo, ha surgido por algunarazon la opcion de cambiar los niveles de factores. De hecho, la alternativa que maneja la firmaes ocupar un 50 % mas de trabajo que en el caso anterior. Que nivel de capital mnimo necesitarala firma para estar indecisa entre ambas alternativas de produccion?

Pregunta 1.3.Determine el tipo de rendimiento de escala de las siguientes funciones de produccion

a. f(x1, x2) =x21 + x

22

b. f(x1, x2) = nx21 + x

22

c. f(x1, x2) = x1 x2 (Respuesta en funcion de y ).

d. f(x1, x2) = x1 x2 + 3.e. f(x1, x2) = x41 + x

61.

Pregunta 1.4.Para la funcion de produccion CES

f(x1, x2) = (ax1 + bx

2)

1

determine el valor de los rendimientos locales de escala y el valor de la RTS entre x2 y x1. Determineademas la RTS entre x1 y x2.

Problema 1.5.Determine explcitamente la expresion de la isocuanta de produccion para las siguientes tecnologas:

a.- f(x1, x2) = x1 x2b.- f(x1, x2) = x1 + x

2

33


c.- f(x1, x2) =x1 + x

2

d.- f(x1, x2) = max{2x1, 3x2}

Para los casos a - c, determine el valor de la RTS derivando directamente el despeje de x2 enfuncion de x1 obtenido. Compare el resultado con la expresion de RTS que Ud. ya conoce (cuocientesde productividades marginales).

Pregunta 1.6.

a. La relacion tecnica de sustitucion entre los factores x1 y x2 es 4. Si deseamos producir lamisma cantidad, pero reduciendo el uso de x1 en tres unidades, Cuantas unidades adicionales dex2 necesitamos? Misma pregunta respecto de x1 si ahora reducimos x2 en tres unidades.

b. En un proceso productivo, es posible tener un producto marginal decreciente en un factor y, aunas, rendimientos crecientes de escala? Justifique su respuesta.

Problema 1.7.Suponga que una firma tiene dos plantas para producir un determinado producto, para lo cual emplea

solo un factor. Si la funcion de produccion de la Planta 1 es f1(x1) = x1 y aquella de la Planta 2 esf2(x1) = x21, con > 0 y > 0.

Cual es la funcion de produccion de la firma?

Problema 1.8.Para las firmas productoras de zapatos, se ha considerado, para efectos de analisis, que solo utilizan

cuero (C) y goma (G) para fabricar sus productos. Se ha estimado econometricamente que la funcionde produccion que tienen las firmas del rubro es de la forma f(C,G) = C G , donde , y dependen de cada firma en particular. Para el caso de la zapatera El Botn de Oro, se sabe que con unaunidad de cuero y una unidad de goma se produce un par de zapatos. Se sabe ademas que la elasticidadcuero de la produccion es constante e igual a 2/3 y que la funcion de produccion es homogenea de grado1.

a.- Determine la funcion de produccion de la zapatera.

b.- Despues de mucho meditarlo, el dueno de la firma, Sr. Valenzuela, ha llegado a la conclusionque semanalmente debe ocupar 8 unidades de goma y cuatro de cuero para hacer sus entregas.En determinado momento, el proveedor de las gomas le ha informado que llegara solo con seisunidades, y nada mas. En primer lugar, determine utilizando RTS, cual es la cantidad de cueroextra que necesita el Sr. Valenzuela para producir lo que ya se haba comprometido. Haga elmismo calculo utilizando directamente la funcion de produccion y las igualdades pertinentes.Compare los resultados obtenidos y comente las eventuales diferencias.

2. Maximizacion de Beneficios

2.1. Introduccion

Una vez hecha la caracterizacion de la tecnologa, es necesario explicar de que manera la firma eligela cantidad de producto que elabora. Siguiendo un argumento de racionalidad e incentivos, supondremos

34


que el objetivo de cada empresa es maximizar el beneficio a partir de sus decisiones de produccion.Tal como se ha mencionado, este objetivo puede provenir de incentivos a crecer o desarrollarse comoempresa, o directamente del interes pecuniario que tienen los duenos de la misma para los fines quepersonalmente estimen convenientes.

Para la definicion de los beneficios, necesariamente se deben introducir los precios de los factores yel producto. Este valor resume las apreciaciones y valoraciones que tenemos, y que los otros tienen, delbien o factor en cuestion. El valor del precio se asumira como un dato exogeno para la firma: no existecontrol sobre el mismo, de modo que es un parametro prefijado para las decisiones de cada empresaen particular. Sobre la base de esta idea, toda vez que se deseen cuantificar beneficios de una firma,necesariamente debemos pasar por la valoracion del ingreso y el costo a partir del set de precios dado.A partir de esta idea, es posible colocar en este esquema utilitarista otros objetivos eventuales de lafirma, obviamente siempre y cuando sea posible asignar precios a los factores y producto involucrados.

2.2. Los Beneficios de una firma

Los beneficios economicos de una firma son entendidos como la diferencia entre los ingresos ytodos los costos asociados al proceso. Es relevante notar que deben ser todos los costos del proceso. Amodo de ejemplo, si Ud. tiene su propia empresa, su trabajo es parte de los insumos y, por lo tanto, debeser includo en los costos a partir de su valoracion de mercado, es decir, el valor alternativo de vendersu tiempo a otra firma. Justamente este hecho es el que obliga, al hablar de beneficios economicos, avalorar todos los insumos y productos a su coste de oportunidad. Siguiendo con esta idea, lo mismo esaplicable a la tierra, alquileres, etc., es decir, a todos los factores utilizados en el proceso productivo.

La idea de costos anterior puede diferir de aquella utilizada en terminos contables, pues en ese casoel valor historico (el costo cuando se llevo a cabo la venta) y no el economico (cuanto valdra hoy en elmercado) es el utilizado. En lo que sigue, trabajaremos con la definicion economica de costo.

Tal como hemos mencionado, la valoracion de mercado de los insumos se hara a traves de losprecios de mercado de los mismos. A modo de ejemplo, si el factor de produccion 1 corresponde atrabajo, su valoracion unitaria correspondera al salario de mercado por el tipo de trabajador considerado.Esto mismo sigue siendo valido para los productos de la firma.

De esta manera, suponiendo que nuestro proceso productivo consta de dos factores y solo un pro-ducto, designemos el precio unitario de mercado del output como p y de cada factor por w1 y w2respectivamente. Con esto se tiene la siguiente definicion.

Definicion 2.1 Si la firma decide ocupar x1 del factor 1 y x2 del factor 2, entonces el ingreso obtenidosera I = p f(x1, x2) mientras que el costo asociado es C(x1, x2) = w1x1 + w2x2. Con esto, elbeneficio respectivo sera:

pi(x1, x2) = I(x1, x2) C(x1, x2) = p f(x1, x2) (w1x1 + w2x2).

2.3. Maximizacion de beneficio

A partir de lo anterior, dando cuerpo al principio de maximizacion de beneficio de cada firma, setiene la siguiente definicion:

Definicion 2.2 El problema de maximizacion de beneficio de una firma es, dados los precios de pro-ducto e insumos, escoger aquella combinacion de factores x1, x2 de modo que se maximice el beneficio

35


pi(x1, x2) = p f(x1, x2) w1x1 w2x2,lo cual se representa por

maxx1,x2

pi(x1, x2) = maxx1,x2{p f(x1, x2) w1x1 w2x2}.

Nota 2.1 En este modelo, la firma decide sobre la cantidad de factores que ocupara, con lo cual quedadeterminado el producto que elaborara y con ello el beneficio que podra obtener. Esto se resume di-ciendo que las variables de decision de la firma son los niveles de factores que escoge, de modo que elproducto es un dato endogeno a esta decision.

As, el problema de maximizacion de beneficio es uno de optimizacion sin restricciones, que bajosupuestos de regularidad de la funcion de produccion23, se puede resolver a partir de las condicionesnecesarias de optimalidad de primer orden, es decir, igualando a cero cada una de las derivadas delbeneficio c.r a cada una de las variables (factores) y resolviendo el sistema de ecuaciones que se genera.De esta manera, las condiciones de optimalidad que permiten encontrar la soluciones del problemason:

pi(x1,x2)x1

= 0 p Pmgx1(x1, x2) = w1

pi(x1,x2)x2

= 0 p Pmgx2(x1, x2) = w2,es decir, el valor del producto marginal de cada unidad de factor debe ser igual a su costo24. Vistode otra forma, como el beneficio se puede descomponer en Ingresos - Costos:

pi(x1, x2) = I(x1, x2) C(x1, x2),al derivar c.r a xi, i = 1, 2, e igualar a cero, se tiene que

I(x1, x2)xi

=C(x1, x2)

xi,

es decir, en forma equivalente a la anterior, en el optimo se debe cumplir que el ingreso marginal decada factor es igual al costo marginal del mismo.

Esta relacion fundamental para la maximizacion de beneficios puede ejemplificarse a partir de ladecision de contratacion de un trabajador adicional. Hasta cuando debe la firma contratar un trabajadoradicional? A partir de las condiciones de optimalidad, debe hacerlo hasta que el ingreso marginal porsu labor en la organizacion sea igual al costo (marginal) de su inclusion, es decir, hasta que el beneficioextra que aporta su contratacion sea igual al costo extra que dicha contratacion trae asociado. De locontrario, si fuera que el beneficio de contratar un trabajador adicional sigue siendo positivo, entoncesla firma tiene incentivos a seguir contratando y, por el contrario, si el beneficio extra fuese negativo,la firma no debio haber hecho la contratacion, pues incurre en perdidas, con lo cual tiene incentivo adespedir y no contratar mas mano de obra. Expresado lo anterior en terminos matematicos, si fuera

23Por ejemplo, que la funcion de produccion tenga rendimientos decrecientes de escala, que como caso particular se tienecuando es concava.

24Esto viene directamente de la derivacion del beneficio: pi(x1,x2)x1

= 0 p f(x1,x2)x1

w1 = 0 pPmgx1(x1, x2) =w1. Analogo con el factor 2.

36


que p Pmgx1(x1, x2) > w1, entonces la firma obtiene ganancia con el uso de una unidad adicionalde factor 1, ya que su costo unitario es menor que el valor del producto extra que obtiene. De estamanera, tiene incentivo a aumentar la cantidad de factor a utilizar en el proceso productivo. Si fuera quep Pmgx1(x1, x2) < w1, entonces la firma puede obtener mas beneficio si disminuye la cantidad defactor 1 en una unidad, ya que ya que su costo unitario (w1) es mayor que el valor del producto extraque obtiene de mantenerlo. Si fuese que p Pmgx1(x1, x2) = w1, entonces la firma esta en equilibriorespecto del uso de factores, de tal forma que no tiene incentivos a modificar (subir o bajar) el uso delos mismos.

Geometricamente la interpretacion de la condicion de optimalidad es analoga a aquella de maximi-zacion de utilidad para el caso de consumidores. En este caso, la recta presupuestaria es reemplazadapor la denominada recta de isobeneficio.

Definicion 2.3 Dada una cantidad pi > 025, definimos la recta de isobeneficio como el conjunto depuntos x1, x2 e y (insumos y producto) tales que al ser valorados por la firma, dan como beneficio elvalor pi. Es decir, x1, x2 e y tales que:

pi = p y w1x1 w2x2.

Ordenando terminos, la recta de isobeneficio tiene la forma:

y =pi

p+w1px1 +

w2px2,

donde, como tenamos, el valor de pi representa el parametro de beneficio considerado.Si hubiera solo un factor de produccion, la recta de isobeneficio sera:

y =pi

p+w1px1.

En lo que sigue vamos a ilustrar la condicion de optimalidad del problema de maximizacion debeneficio por medio de la recta de isobeneficio. Para ello, supongamos que el proceso productivo tienesolo un factor de produccion. En tal caso, dibujemos la funcion de produccion junto con rectas deisobeneficio (distintos parametros de beneficio):

x1

y(1) (2)

(3)f

x1

y*

*

b

b

b

1

2

3

En la figura, para la recta (1) no existe plan de produccion que nos pueda dar el beneficio b1. En elcaso de la recta (3), existen puntos factibles de ser elaborados que pueden entregar un beneficio mayorque b3 (cualquiera que este en la curva por sobre la recta). Por ultimo, la recta (2) esta definida por elnivel maximo de beneficio que puede alcanzar la firma: en el punto x1 la firma maximiza beneficio y

25Para el caso es un parametro.

37


el valor de este beneficio maximo es b2. Notemos que en el optimo, la recta de isobeneficio es tangentea la funcion de produccion. As, en x1 la pendiente de la recta y la pendiente de la curva en el puntodeben ser iguales, es decir:

w1p

=f(x1)x1

= Pmgx1(x1) p Pmgx1(x1) = w1,

cuestion que ya tenamos.

Siguiendo con la interpretacion de las condiciones de optimalidad, del hecho que p f(x1,x2)xi =wi, i = 1, 2, dividiendo ambas expresiones se tiene que:

p f(x1,x2)x1p f(x1,x2)x2

=w1w2,

es decir,

f(x1,x2)x1

f(x1,x2)x2

=w1w2 RTS1,2(x1, x2) = w1

w2 RTS1,2(x1, x2) = w1

w2.

As, en el optimo, la relacion tecnica de sustitucion es igual a menos el coeficiente de los preciosde insumos. Este resultado es equivalente a todo lo anterior. Sin embargo, tiene riqueza interpretativapropia y es la siguiente: supongamos que por alguna razon hemos escogido el nivel de producto y, demodo que el ingreso esta fijo en I = p y. Para maximizar el beneficio, claramente debemos buscar enla isocuanta respectiva aquella combinacion de factores que tenga el menor costo. Para esto, definamoslas rectas de isocosto al nivel c, como el conjunto de puntos x1, x2 tales que

w1x1 + w2x2 = c.

Graficamente la situacion es como sigue:

(1)(2)(3)y*

x1

x2

x*1

x*2

En la figura se han dibujado tres rectas de isocosto, digamos con parametros c3 < c2 < c1 para cadarecta (1), (2) y (3) respectivamente. Los puntos de la recta (3) no permiten elaborar y pues estan pordebajo de la isocuanta al nivel y. Los puntos de interseccion de la recta (1) con la isocuanta permitenelaborar exactamente y, pero tienen un costo muy elevado de modo que no maximizan beneficio. Elpunto de interseccion (tangencia) entre la recta de isocosto (2) y la isocuanta es compatible con la pro-duccion de y y es, ademas, aquel de menor costo, de modo que resuelve el problema de maximizacion

38


de beneficio. De la tangencia entre la recta y la isocuanta se tiene la igualdad de las pendientes. Para elcaso de la recta es w1w2 26, es decir:

w1w2

= RTS1,2(x1, x2),

que es la condicion que ya se tenia.Otra interpretacion del resultado anterior es la siguiente: supongamos dado un punto x1, x2 que no

maximiza beneficio, de modo que |RTS|1,2(x1, x2) 6= w1w2 . En tal caso, dado que el beneficio es:

pi(x1, x2) = p f(x1, x2) w1x1 w2x2,

si aumentamos x1 es una unidad, para mantener producto constante (y luego, ingreso constante), debe-mos bajar x2 en RTS1,2(x1, x2). Con estas modificaciones, por el lado del primer factor, el costo subeen w1 y, por el lado del segundo factor, baja en |RTS1,2| w2. Luego, el cambio en el costo (y por endeen el beneficio ya que el ingreso no cambia) es

C = w1 |RTS|1,2 w2.Como |RTS|1,2 6= w1w2 , existen dos posibilidades: o bien |RTS|1,2 > w1w2 o bien |RTS|1,2 < w1w2 .

Para el primer caso, C < 0 (bajan los costos), razon por la cual la firma puede incrementar susbeneficios cambiando el uso de factores al aumentar x1 es una unidad y bajando el uso del factor 2 en|RTS|1,2(x1, x2). En el segundo caso, la firma tambien puede incrementar su beneficio disminuyendoel uso del factor 1 en una unidad y aumentando el uso del factor 2 en |RTS|1,2(x1, x2)27. Luego, apartir del hecho que la relacion tecnica de sustitucion es distinta del cuociente de precios, la firmapuede obtener mas beneficio modificando el plan de produccion que tena, de modo que el punto encuestion no puede ser optimo.

2.4. Demanda, oferta y temas relacionados

A partir del problema de maximizacion de beneficio de una firma, se tiene la siguiente definicion:

Definicion 2.4 Dados los precios w1, w2 y p de factores y producto, y dada la funcion de produccionf(), a partir del problema de maximizacion de beneficio

maxx1,x2

{p f(x1, x2) w1x1 w2x2},

denotaremos por x1(p, w1, w2) y x2(p, w1, w2)28 la solucion del problema. Estas funciones de los pre-cios seran llamadas demandas de factores de la firma. Por otro lado, la funcion

y(p, w1, w2) = f(x1(p, w1, w2), x2(p, w1, w2))

sera llamada funcion de oferta de la firma, mientras que la funcion

pi(p, w1, w2) = p y(p, w1, w2) w1x1(p, w1, w2) w2x2(p, w1, w2)es la funcion de beneficio de la firma.

26Viene de despejar x2 en funcion de x1 de la ecuacion w1x1 + w2x2 = c.27Recuerde que |RTS| representa la disminucion en el uso del factor 2 cuando el factor 1 aumenta en una unidad. En

forma equivalente, |RTS| nos da el valor de aumento en el uso del factor 2 cuando el factor 1 disminuye en una unidad.28En forma abreviada, x1(p, w) y x2(p, w).

39


De esta manera, a partir de todo lo anterior, se tiene que, por definicion:

pi(p, w) pi(x1, x2), x1, x2.La siguiente proposicion relaciona todos los conceptos anteriores:

Proposicion 2.1 Lema de Hotelling.A partir de las definiciones anteriores, se tiene que

a.-pi(p, w1, w2)

p= y(p, w1, w2).

b.-pi(p, w1, w2)

wi= xi(p, w1, w2), i = 1, 2.

Demostracion.

a.- Derivemos directamente la funcion de beneficios c.r a p:

pi(p, w)p

=[p f(x1(p, w), x2(p, w))]

p w1 x1(p, w)

p w2 x2(p, w)

p.

Pero, [py(p,w)]p = p f(x1(p,w),x2(p,w))p +y(p, w)). Aplicando regla de la cadena, y simplificandola notacion, se tiene que

p f(x1(p, w), x2(p, w))p

= p fx1 x1(p, w)

p+ p f

x2 x2(p, w)

p.

Por otro lado, de la condicion de optimalidad, sabemos que p fxi = wi, i = 1, 2. Luego,reemplazando en la expresion original, se concluye que:

pi(p, w)p

=[w1x1(p, w)

p+ w2

x2(p, w)p

+ y(p, w)] w1x1(p, w)

p w2x2(p, w)

p.

Simplificando terminos, se tiene lo indicado.

b.- Derivando directamente c.r a w1 (analogo c.r a w2), y simplificando la notacion, se tiene que:

pi(p, w)w1

= p [f

x1

] x1w1

+ p [f

x2

] x2w1

w1 x1w1

w2 x2w1

+ x1.

De las condiciones de optimalidad, se tiene que p [fxi

]= wi, i = 1, 2. Luego, reemplazando

esto en la expresion anterior se obtiene el resultado.

Nota 2.2 En terminos practicos, la utilidad del Lema de Hotteling es que permite encontrar la funcionde produccion a partir de la funcion de beneficio de la firma.

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En lo que sigue haremos un estudio de estatica comparativa de las funciones de oferta y demanda,ante variaciones de los precios de los factores y el precio de venta del producto, obteniendo un resultadogeneral que resume las principales propiedades sobre el tema. Para ello, supongamos que inicialmentese dispone de un set de precios p, w1, w2 (situacion inicial) y que estos son modificados en una etapasiguiente, siendo los nuevos valores p, w1, w2. Con el primer set de precios, la oferta y demanda defactores sera y, x1, x2 mientras que con el segundo estas seran y, x1, x2. Definamos ademas loscambios como y = y y, x1 = x1 x1, w1 = w1 w1, etc.

De esta manera, de la definicion de maximo beneficio, se tiene que:

py w1x1 w2x2 py w1x1 w2x2es decir,

p(y y) w1(x1 x1) w2(x2 x2) 0.En forma analoga, a partir de

py w1x1 w2x2 py w1x1 w2x2se tiene que

p(y y) w1(x1 x1) w2(x2 x2) 0.Sumando ambas inecuaciones, se deduce que

[p(y y) w1(x1 x1) w2(x2 x2)] + [p(y y) w1(x1 x1) w2(x2 x2)] 0.

Finalmente, ordenando terminos, se concluye

(y y)(p p) (x1 x1)(w1 w1) (x2 x2)(w2 w2) 0,es decir:

y px1 w1 x2 w2 0.A partir de esta relacion fundamental se puede concluir lo siguiente:

a.- Si w1 = w2 = 0 (no hay cambios en los precios de los factores) y p > 0 (sube el preciodel producto), entonces necesariamente y 0 (sube la oferta de la firma).

b.- Si w2 = p = 0 (no hay cambios en el precio del factor 2 y en el producto), si w1 > 0 (subeel precio del factor 1), entonces necesariamente x1 0 (disminuye la demanda del factor 1).

c.- Si w1 = p = 0 (no hay cambios en el precio del factor 1 y en el producto), si w2 > 0 (subeel precio del factor 2), entonces necesariamente x2 0 (disminuye la demanda del factor 2).

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2.5. Problema de corto y largo plazo

Recordemos que a diferencia del largo plazo, en el corto plazo existen factores que estan fijos. Parafijar ideas, supongamos que en el corto plazo esta fijo el factor 2 en una cantidad x2. En tal caso, lafuncion de produccion de corto plazo es fcp(x1) = f(x1, xx2), funcion que depende de solo un factor.De esta manera, en el corto plazo existe solo una variable de decision29. Dado x1, el beneficio de cortoplazo es entonces:

picp(x1) = pi(x1, x2) = p f(x1, x2) w1x1 w2x2,y luego el problema de maximizacion de beneficios de corto plazo es

maxx1

picp(x1) = maxx1{p f(x1, x2) w1x1 w2x2}.

Las condiciones de optimalidad son analogas a las anteriores, solo que ahora dicha condicion essolo sobre x1 dado que el factor 2 esta fijo. Luego, la condicion de optimalidad es:

p f(x1, x2)x1

= w1.

Con esto queda definida una funcion de demanda de corto plazo por el factor 1, funcion quedenotaremos x1(p, w, x2)30. As, podemos definir tambien la funcion de oferta de corto plazo y lafuncion de beneficio de corto plazo, respectivamente, como:

ycp(p, w, x2) = p f(x1(p, w, x2), x2),

picp(p, w, x2) = p f(x1(p, w, x2), x2) w1x 1(p, w, x2) w2x2.Con todo lo anterior, se tienen directamente las siguientes

Microeconomía II

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