MIPM_U2_A1_EMTM
-
Upload
emmanuel-torres -
Category
Documents
-
view
7 -
download
0
description
Transcript of MIPM_U2_A1_EMTM
Introduccion al pensamiento matematico
Unidad 2. Metodos de demsotracion
Act.1. Caracterısticas de los metodos de demostracion
Emmanuel Torres Marın
UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO
LICENCIATURA EN MATEMATICAS
MEXICO D.F.
Febrero 2015
1. Instrucciones
Investiga las caracterısticas que tienen cada uno de los metodos de demostracion.
Presenta un ejemplo de cada uno de ellos y argumenta las razones por las cuales se
desarrolla la demostracion por ese metodo.
Recuerda que debes revisar y comentar las aportaciones de tus companeros(as).
2. Introduccion
Antes de comenzar con la definicion de los tipos de demostraciones, convendrıa definir en
que consiste una demostracion, de acuerdo con [1]
"Una prueba es la demostracion de la validez de alguna
proposicion matematica precisa "
La necesidad de contar con medios de demostracion de las diferentes proposiciones ma-
tematicas, permea los inicios de la civilizacion, siendo la cultura griega la mas representati-
va, sin embargo el paso del tiempo a refinado el proceso,. en este sentido una demostracion
tıpica consiste en una secuencia de premisas cuyo valor de verdad (verdadero o falso) puede
derivarse a partir de las otras, entendiendo por derivar, el uso de reglas logicas basadas en
tautologıas, recordemos el caso de Juan [2]. Para estos efectos juegan un papel fundamen-
tal algunos conceptos como son: los axiomas (Proposiciones tan claras y evidentes que se
admiten sin demostracion [3]) y teoremas (Proposiciones que se pueden demostrar a partir
de los axiomas[3]).
Los metodos clasicos de demostracion de acuerdo con [4], son:
Demostracion directa
Demostracion por contra ejemplo
Demostracion por Contradiccion o reduccion al absurdo
Demostracion por contraposicion
Demostracion por Induccion
1
Vale decir que una misma proposicion se puede demostrar por varios metodos, la eleccion
de un metodo u otro obedece en un principio a la forma canonica del problema y en otro
plano el corpus de conocimientos del demostrador.
3. Demostracion Directa
3.1. Caracterısticas
Constituye la tecnica mas comun, principalmente por su simplicidad. Es una manera sim-
ple de demostrar teoremas o proposiciones que tienen la forma de proposiciones
condicionales [5]. Esta tecnica es util para demostrar proposiciones del tipo P → Q, en
un principio se asume que P es verdadera (de la tabla de verdad de la implicacion sabemos
que no necesitamos preocuparnos porque sea falsa), a partir de esta presuncion utilizando
axiomas u otros teoremas encadenados de manera que se pueda derivar Q a partir de P.
3.2. Ejemplo
Teorema 3.1. Si n es un numero entero impar, entonces n2 es un entero impar
Demostracion. Sea n un entero impar, entonces n = 2k + 1 (definicion de un numero
impar) para algun entero k. Entonces
n2 = (2k + 1)2
Resolviendo el binomio cuadrado
n2 = 4k2 + 4k + 1
Factorizando
n2 = 2(2k2 + 2k) + 1
De lo anterior, n2 = 2m + 1 para el entero m = 2k2 + 2k, luego entonces por la definicion
de numero impar, n2 es impar
2
3.3. Argumentacion
Este metodo es el mas directo, por ende deberıa ser nuestra primera opcion para la de-
mostracion, pero en este caso en particular, el desarrollo de ecuaciones de tipo
y = f(x) (1)
= f(x1) (2)
... (3)
= f(xn) (4)
Es equivalente a un encadenamiento de proposiciones del tipo P → P1 . . . → Pn → Q, es
decir llegar a Q a partir de una derivacion de P.
4. Demostracion por Contraposicion
4.1. Caracterısticas
Es una alternativa a la demostracion directa ya que se usa para demostrar proposiciones
del tipo P → Q [5], en este sentido la forma del problema es la misma, es decir que
cualitativamente no hay diferencia entre un metodo y otro, el resultado es el mismo. La
diferencia fundamental con la demostracion directa radica en la forma que toma P → Q,
ya que en la contraposicion el mismo problema se debe establecer como ¬Q → ¬P , se
puede mostrar que ambas formas son equivalentes si verificamos la tabla de verdad
P Q ¬P ¬Q (P → Q) (¬Q→ ¬P ) (P → Q) ⇐⇒ (¬Q→ ¬P )
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 1 1 1
De esta equivalencia se sigue que para demostrar que P → Q es verdadera basta demostrar
que ¬Q→ ¬P , ası pues se parte de la suposicion de que P no es verdadera y se concluye
que entonces Q tampoco lo es
3
De manera que dependiendo de la forma de las premisas hay algunas ocasiones en que el
uso de esta tecnica es mas sencillo, para muestra un ejemplo.
4.2. Ejemplo
Teorema 4.1. si n2 es un numero entero par, entonces n es un entero par
Demostracion. Por contraposicion: si n no es un entero par entonces n2 no es un entero
par
Lo anterior se puede expresar como : Si n es un numero impar entonces n2 es un numero
impar
Esta conclusion fue demostrada de forma directa en 3.2
4.3. Argumentacion
Queda claro que en este caso en particular la demostracion por contraposicion fue mucho
mas rapida y sencilla que una demostracion directa, sin embargo tuvimos que haber hecho
una demostracion directa a priori.
5. Demostracion por Contraejemplo
5.1. Caracterısticas
Esta tecnica permite provar que una propiedad no es verdadera a traves de un ejemplo en
el que dicha propiedad no se cumple [6]
5.2. Ejemplo
Para este ejercicio, primero es necesario recordar la definicion de un numero irracional, el
cual se define como un numero que no puede expresarse como una faccion ab donde m y n
son enteros y n es diferente de 0. Luego entonces, considerese la siguiente proposicion:
Teorema 5.1. ∀n ∈ R si n2 ∈ Q entonces n ∈ Q, es decir, para todo numero real n, si n2
es racional, entonces n es racional
4
Demostracion. Consideremos entonces el caso del numero n =√
2, el cual es un numero
claramente irracional.
Haciendo n2 = (√
2)2 = 2, tenemos que 2 ∈ Q, es decir es racional.
Luego entonces es falso que si n2 es racional entonces n sea racional.
5.3. Argumentacion
En este caso debido a que el problema establece una relacion de generalidad, basta con
ofrecer un ejemplo que no cumpla con la caracterıstica, de lo anterior se sigue que el uso
de un contraejemplo sea mas rapido que una demostracion de otro tipo.
6. Demostracion por Contradiccion
6.1. Caracterısticas
Otra alternativa es la demostracion por Contradiccion, tambien llamada Demostracion por
reduccion al absurdo, como su nombre lo indica consiste en demostrar que si la proposicion
no fuera cierta entonces esto llevarıa a una falacia, por lo tanto no se puede decir que
la proposicion sea falsa; luego entonces la proposicion debe ser verdadera[5]. Ası pues la
forma de los problemas que se pueden resolver mediante esta tecnica no es P → Q, sino
que se debe demostrar que ¬P lleva a una contradiccion
6.2. Ejemplo
Teorema 6.1. La diferencia de cualquier numero racional y cualquier numero irracional
es un numero irracional
Demostracion. Sipongamos que el teorema no es cierto, por lo tanto debe existir un numero
racional x y un numero irracional y, tales que (x− y) es racional.
Por la definicion de racional tenemos que para dos enteros a, b con b 6= 0
x =a
b
Y para otros enteros c, d con d 6= 05
x− y =c
d
Si sustituimos x tenemos que
a
b− y =
c
d
Despejando y tenemos
y =a
b
c
d
Resolviendo el quebrado
y =ad− bc
bd
Sin embargo (ad − bc) es un numero entero, debido a que a, b, c, d son enteros y por
consecuencia sus sumas, restas y producto. Ademas sabemos que bd 6= 0 tambien es un
entero. Luego entonces a partir de la defincion de racional podemos decir que y es racional.
Esto contradice la suposicion inicial de que y es irracional. En consecuencia la suposicion
inicial es falsa y el teorema debe ser verdadero.
6.3. Argumentacion
En este caso el problema no se expresa como P → Q, sino que solo se establece P , esta
sitaucion lo vuelve un candidato idoneo para demostrar que a partir de la negacion de P
se puede llegar a una contradiccion.
7. Demostracion por Induccion
7.1. Caracterısticas
Este metodo es otro de los mas usados comunmente en las matematicas, de hecho es
conocido como Induccion Matematica. [5].
6
Esta tecnica se utiliza cuando es preciso demostrar la veracidad de una serie de proposi-
ciones en secuencia, es decir que se utiliza cuando tenemos un conjunto de proposiciones
S1, S2, S3, . . . , §n y debemos demostrar que todas ellas son verdaderas . [5].
El metodo consiste en los siguientes pasos
Probar que la primera proposicion (S1) es verdadera (Paso Base)
Asumir que la k-esima proposicion es verdadera (Sk para k ≥ 1) (Hipotesis Inductiva)
Si Sk es verdadera demostrar que Sk+1 tambien lo es. (Paso Inductivo)
De lo anterior se sigue que toda Sn debe ser verdadera.
7.2. Ejemplo
Teorema 7.1. Si n ∈ N , entonces 1+ 3+5+7+(2n-1)= n2
Demostracion. Notese que si n = 1, la proposicions e vuelve 1 = 12 (base)
Ahora asumimos que la proposicion es real para k (hipotesis inductiva)
Debemos probar entonces que la proposicion es cierta para k + 1. Tomando en cuenta la
hipotesis inductiva,Entonces
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2(k + 1)− 1)
De aquı e sposible obtener el penultimo termino
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k − 1) + (2(k + 1)− 1)
Agrupando
(1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k − 1)) + (2(k + 1)− 1)
De la hipotesis inductiva tenemos
k2 + (2(k + 1)− 1)
Desarrollando la expresion anterior tenemos
k2 + 2k + 17
Por el binomiio cuadrado perfecto
(k + 1)2
Por lo tanto 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2 con lo que se demuestra la
proposicion.
7.3. Argumentacion
En este caso al tratarse de una propiedad de n numeros, estamos ante el problema de
demostrar que esta se cumple para todos los n lo cual es difıcil si consideramos que n puede
ser cualquier numero. Ası pues, se puede plantear el problema como la demostracion de que
S1, S2, . . . , §n son verdaderos. Por lo tanto la opcio mas sencilla es la induccion matematica
por supuesto.
8. Metodo progresivo-regresivo
8.1. Caracterısticas
De acuerdo con [9], este metodo se usa como complemento a los demas metodos. Su ca-
racterıstica principal es el encadenamiento de las proposiciones que conforman un teorema
de una proposicion a A una prroposicion B y viceversa A→ B.
De manera que cuando se usa B para determinar su veracidad se esta usando el metodo
regresivo, mientras que cuando se hace uso de los datos de A, entonces es el metodo
progresivo.
8.2. Ejemplo
Teorema 8.1. Si se tiene un triangulo rectangulo lados ABC, de hipotenusa C, con area
X = C2
4 ,entonces el triangulo ABC es isoceles.
Demostracion. De geometrıa basica, sabemos que el area del trangulo es Base∗Altura2 , por
lo tanto la proposicion se puede plantear como
AB
2=
C2
4. . . (Progresion)
8
Recordando el teorema de pitagoras a2 + b2 = c2, tenemos que el valor de C es
AB
2=
A2 + B2
4. . . (Progresion)
Igualando a 0 la ecuacion anterior tenemos
AB
2− A2 + B2
4= 0 . . . (Progresion)
Usando algebra tenemos
2AB
4− A2 + B2
4= 0 . . . (Progresion)
2AB − (A2 + B2)
4= 0 . . . (Progresion)
2AB − (A2 + B2) = 0(4) . . . (Progresion)
−A2 + 2AB −B2 = 0 . . . (Progresion)
(−1)(−A2 + 2AB −B2)) = (−1)0 . . . (Progresion)
A2 − 2AB + B2 = 0 . . . (Progresion)
Esta ultima ecuacion se puede factorizar usando el binomio cuadrado en:
(A−B)2 = 0 . . . (Progresion)
Ahora bien, la conclusion es que el triangulo es isoceles, para que un triangulo sea isoceles,
dos de sus lados deben ser iguales, en nuestro ejemplo ya sea que A = B, B = C o A = C,
pero no todas al mismo tiempo (en ese caso serıa equilatero). Una forma de expresar esta
relacion es que (x−y) = 0, donde x y y son cualesquiera de los lados del trangulo. En este
caso haremos regresion al utilizar datos de la conclusion
Sacando la raız cuadrada de los terminos de la ecuacion anterior tenemos√(A−B)2 =
√0 . . . (Regresion)
(A−B) = 0 . . . (Regresion)
De lo anterior se sigue
A = B . . . (Regresion)
9
Lo que cofirma la veracidad de la proposicion original.
8.3. Argumentacion
En este caso, el uso de este metodo obedece al conocimiento que se tiene de los axiomas
y teoremas de geometrıa, mismos que arrojan luz sobre hechos tanto de la hipotesis como
de la conclusion y que convergen en el punto donde dos lados del triangulo son iguales.
9. Metodo por casos
9.1. Caracterısticas
Tambien conocido como metodo por exhaucion, muy usado por Arquımedes [8], consiste
en la demostracion de una proposicion mediante:
Dividir la proposicion en casos que exhaustivamente clasifiquen todas las posibilida-
des
Mostrar que la proposicion se cumple para todos los casos
Es importante notar que en algunos problemas, el numero de casos puede ser demasiado
grande, por lo que es importante una clasificacion de los mismos.
9.2. Ejemplo
Teorema 9.1. Si n es un numero entero n con n ≤ 4 entonces (n + 1)3 ≥ 3n
Demostracion. Dado que n ∈ N entonces n = {1, 2, 3, 4}, lo que constituyye nuestros casos
Caso n = 1, en este caso si sustituımos n tenemos (1 + 1)3 = 8 y 31 = 3, secumple que
8 ≥ 3
Caso n = 2, en este caso si sustituımos n tenemos (2 + 1)3 = 27 y 32 = 9, secumple que
27 ≥ 910
Caso n = 3, en este caso si sustituımos n tenemos (3 + 1)3 = 64 y 33 = 27, secumple que
64 ≥ 27
Caso n = 4, en este caso si sustituımos n tenemos (4 + 1)3 = 125 y 34 = 81, secumple que
125 ≥ 81
Por lo tanto se cumple para todos los casos y queda demostrada la veracidad de la propo-
sicion
9.3. Argumentacion
En este caso la poroposicion pudo haberse hecho por otros metodos, pero dado que la
poposicion delimitaba claramente 4 casos, la forma mas directa de demostracion fue una
sustitucion del valor de n en cada uno de los casos, de no haber existido una limitante
como n ≤ 4, posiblemente una demostracion por contraejemplo huiera sido mas eficaz.
Referencias
[1] Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009.
[2] Evidencia de aprendizaje. Uso de las reglas de inferencia
[3] Diccionario de la Real Academia Espanola
[4] ”La demostracion en matematicas”. - Universidad de Murcia, Dr. Juan Jacobo Simon
Pinero
[5] Book Of Proof Richard Hammack - www.people.vcu.edu - Virginia Commonwealth
University - May 01 11
[6] Proof by Counterexample L. Sorser http://www.math.toronto.edu/writing/Counterexample.pdf
[7] Francisco Armando Carrillo Navarro, EL PRINCIPE DE LAS MATEMATI-
CAS,APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMATICAS VOL.1, NO. 2, MAYO
2002
http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/1-2-3-gauss.pdf11
[8] Angel Ruiz, Historia y Folosofıa de las Matematicas
http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia %20y %20filosofia %20de %20las %20matematicas.pdf
[9] Solow, D. (1992). Como entender y hacer demostraciones en matemticas. Mexico:
Limusa.
12