Introduccion al pensamiento matematico

Unidad 3.Teorıa de Conjuntos

Actividad 1. Operaciones con conjuntos

Emmanuel Torres Marın

UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO

LICENCIATURA EN MATEMATICAS

MEXICO D.F.

Marzo 2015

1. Instrucciones

Construye conjuntos que sean resultado de la union, interseccion, diferencia, complemento

y producto cartesiano de distintos conjuntos.

Sean los conjuntos:

A = {x | x es un multiplo de 2}, B = {y | y es un multiplo de 4} y C = {z | z es un multiplo de 6}

Determina:

1. A ∪ (B ∪ C)

2. A ∩ (B ∩ C)

3. A–(B ∪ C)

4. A–(B ∩ C)

5. A× (B × C)

6. El complemento de B y de C con respecto al conjunto A (tomando como conjunto

universal al conjunto A).

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2. Ejercicio 1

Antes de comenzar conviene establecer algunas relaciones entre A, B y C. A partir d ela

definicion de numero par, el conjunto A puede redefinirse como A = {x | x es par} = {x |x = 2m,m ∈ Z+}, ahora bien, recordando que los productos (y por extension los multiplos)

de cualquier numero par tambien son pares, podemos decir que B ⊂ A y C ⊂ A, debido

a que 4 y 6 son pares y por consecuencia tambien sus multiplos.

a

Figura 1: B y C son subconjuntos de A

Dicho esto se puede definir

D = B ∪ C

D = {x | x ∈ B ∧ x ∈ C}

D = {x | x es multiplo de 4 o multiplo de 6}

D = {x | x = 4m ∨ x = 6n;m,n ∈ Z+}

2

Figura 2: B ∪ C

Resulta claro que tambien D ⊆ A, debido a que

A ∪D = {x | x = 2l ∨ x = 4m ∨ x = 6n; l,m, n ∈ Z+}

A ∪D = {x | x = 2m;m ∈ Z+}

Por lo que A = A ∪D = A. Luego entonces A ∪ (B ∪ C) = A

Figura 3: A ∪ (B ∪ C) = A

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3. Ejercicio 2

En este caso definimos

D = B ∩ C

D = {x | x es multiplo de 4 y multiplo de 6}

D = {x | x = 4m ∧ x = 6n;m,n ∈ Z+}

D = {x | x = 4m ∧ x = 6n;m,n ∈ Z+}

Un numero que es multiplo de dos numeros a y b es por fuerza multiplo del mınimo comun

multiplo (mcm) de a y b , en el caso de 4 y 6 el mcm es 12, por lo que se puede decir

que:

D = {x | x es multiplo de 12}

D = {x | x = 12m;m ∈ Z+}

Y debido a que 12 es numero par entonces D ⊂ A

Figura 4: D = B ∩ C

De tal forma que A ∩ (B ∩ C) puede expresarse como

A ∩ (B ∩ C) = {x | x es multiplo de 12 y es par}

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Por definicion 12 es par y tambien los son sus multiplos, por lo que se puede concluir que

A ∩ (B ∩ C) = D

Figura 5: A ∩ (B ∩ C) = D

4. Ejercicio 3

Para este caso, definiendo D = B ∪ C = {x | x es multiplo de 4 o 6} y recordando lo

establecido en la seccion 2, se tiene que A−D puede expresarse como:

A−D = {x | x ∈ A ∧ x /∈ D}

A−D = {x | x es par, no es multiplo de 4 y no es multiplo de 6}

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Figura 6: A−D

5. Ejercicio 4

Recordando lo definido en la seccion 3 se puede definir D = B∩C = {x | x es multiplo de 12}.A partir de esta definicion se puede definir:

A−D = {x | x ∈ A ∧ x /∈ D}

A−D = {x | x es par y no es multiplo de 12}

Figura 7: A−D

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6. Ejercicio 5

De la definicion de producto cartesiano, se puede expresar

D = B × C

D = {(b, c) | b ∈ B ∧ c ∈ C}

D = {(b, c) | b es multiplo de 4 ∧ c es multiplo de 6}

D = {(b, c) | b = 4m ∧ c = 6n;m,n ∈ Z+}

Y a partir de esta definicion se puede establecer que

A×D = {(a, b, c) | a = 2l, b = 4m, c = 6n | l,m, n ∈ Z+}

7. Ejercicio 6

En este caso el enunciado El complemento de B y de C con respecto al conjunto A

(tomando como conjunto universal al conjunto A). esta compuesto de varias partes,

en un principio que el universo sea A quiere decir que B ⊂ A y C ⊂ A, representado como

en la figura:

Figura 8: B ⊂ A y C ⊂ A

Lo que es una extension de lo establecido en la seccion 2. Ahora bien el complemento de

B y C, se puede expresar como:

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(B ∩ C)c = Bc ∪ Cc

Luego entonces

Bc = {x | x no es multiplo de 4}

Cc = {x | x no es multiplo de 6}

Y en consecuencia

Bc ∪ Cc = {x | xno es multiplo de 4 o ni es multiplo de 6}

El resultado anterior se puede simplificar si recordamos que de la seccion 3 sabemos que

(B∩C) = {x | x multiplo de 12}, luego entonces (B∩C)c = {x | x no es multiplo de 12},recordando que el universo es A, entonces conlcuimos que (B ∩ C)c = {x | x es par y

no es multiplo de 12}

Figura 9: (B ∩ C)c = {x | x es par y no es multiplo de 12}

Referencias

[1] Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009.

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