Universidad Nacional de Colombia. Castillo, Garzón, Márquez, Velandia. Modelado e Identificación 1

Resumen— En esta práctica se desea modelar diferentes

funciones de transferencia teniendo en cuenta el tratamiento

de la información obtenida a partir de datos, representación

lineal del motor y su debido funcionamiento para esto es

necesario el manejo de los polos y demás propiedades que se

obtienen. Como parte de los objetivos esta el conocer cómo

obtener una función de transferencia conociendo solo la

respuesta y la entrada del sistema, es decir, la incógnita es

conocer la “personalidad” del modelo, para esto se usará

métodos gráficos o manuales, función ident de Matlab® y se

graficara en Simulink® y Matlab®

Índice de Términos— Curvas de reacción, función de

transferencia, función ident, modelado, sistemas de primer y

segundo orden.

I. INTRODUCCIÓN

na de las herramientas para generar una función de

transferencia cercana al modelo es por medio de la

muestra de datos en este caso del motor, el cual es

proporcionado de manera continua para generar dicha función.

Estos datos sin importar su valor o magnitud representan una

forma secuencial del funcionamiento del mismo lo que

conlleva a una correlación de datos principales para la

identificación de la función de transferencia del sistema.

Teniendo en cuenta algunos parámetros tales como el tiempo

de subida, magnitudes porcentuales de la grafica y valores en

los cuales la señal es estable, son datos más que suficientes

para generalizar y controlar el funcionamiento del motor.

Ya está en las manos de como se interpretan estos datos o con

que tanta precisión rigurosa se desea modelar el sistema para

tener en cuenta la información obtenida por las diferentes

técnicas descritas a continuación.

La parte central de este informe se encuentra situada en el

numeral III. PROCEDIMIENTO, el cual estará dividido en

tres partes; Análisis y modelado usando Matlab®, Análisis de

respuesta transitoria y modelado experimental del motor

LEGO y Modelado de Motores DC. La importancia de esta

práctica radica en el hecho que permitirá al estudiante

identificar una sistema de acuerdo con la salida y la entrada y

básicamente en la industria en la mayoría de procesos se

conoce la entrada de un sistema y se conoce la salida, por lo

menos la deseada y con esta información se puede generar un

modelo del sistema o un modelo para que el sistema de la salid

que se desea.

II. OBJETIVOS

Brindar una función de transferencia para los

diferentes sistemas modelados

Estudiar diferentes métodos de análisis para una

función de transferencia

Linealizar la función de transferencia dada por los

datos recolectados del motor.

III. PROCEDIMIENTO

A. Análisis y Modelado usando Matlab®

En esta parte, se utilizó el software Matlab® para la

identificación y el análisis de los datos proveídos para la guía

datos1.txt.

1. Análisis gráfico mediante Matlab®

Para esta parte de la práctica, se encontraron gráficamente los

parámetros introducidos en la guía del laboratorio. Se

graficaron los datos proveídos mediante el siguiente script:

load datos1.txt %Carga los datos del archivo .txt

tiempo = datos1(:,1); %Asigna la primera columna a

la variable deseada.

salida = datos1(:,2);

entrada = datos1(:,3);

plot(tiempo,salida,'b',tiempo,entrada,'r')

title('Respuesta ante una entrada escalón'), grid on

legend('Respuesta del sistema','Señal de entrada al

sistema'),xlabel('Tiempo (s)')

Mediante el uso de este código se pudo obtener la siguiente

figura 1.

Siguiendo con las instrucciones de la guía se procede a

encontrar de forma manual los parámetros de la respuesta de

la fig. 1, plantear la función de transferencia y comparar las

curvas para luego analizarlas.

A partir de la gráfica obtenida se pueden sacar los

siguientes valores:

MODELADO E IDENTIFICACIÓN

Laboratorio 2

Castillo Juan. Garzón Daniel. Márquez Jonathan. Velandia Juan

{jpcastillos, dfgarzone, jdmarquezo, jcvelandiag}@unal.edu.co

U

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Fig. 1 Repuesta ante un escalón unitario

De la siguiente ecuación se obtiene :

Además,

Con estos valores, se encontró la función de transferencia

siguiente:

Esta función de transferencia se almacena en Matlab® y se

compara con la respuesta de la fig.1 mediante el uso del

siguiente código:

load datos1.txt

tiempo = datos1(:,1);

salida = datos1(:,2);

entrada = datos1(:,3);

G1=tf(2.1902826402,[1 .6188209317

1.0951413201]);

figure, plot(tiempo,salida,'b')

hold on

step(G1,'g',25)

legend('Respuesta del Sistema Real','Respuesta

del Sistema Aproximado a 2do Orden')

En la fig. 2 se puede comparar la respuesta experimental

contra la respuesta modelada

Fig. 2 Comparación respuesta experimental Vs. Modelada

Las respuestas son similares en cuanto a frecuencia se refiere

y tienen una oscilación con similares sobrepasos, sin embargo

la respuesta experimental toma un tiempo antes de iniciar y el

máximo sobrepaso es mayor que el máximo sobrepaso de la

respuesta modelada.

La razón por la cual ambas respuestas no son las mismas

siendo que se supone que se aplicó correctamente el

modelado, es debido a que no se garantizó desde un principio

que la respuesta experimental se debida a un sistema de 2°

orden, es posible que se necesiten hallar polos adicionales.

Para convertir nuestra respuesta modelada en una que se ajuste

mejor a la real es necesario agregar un polo adicional que nos

represente el tiempo muerto y es posible que se deba

modificar para ajustar el sobrepaso.

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Fig. 3 Corrección de la respuesta modelada

La correcciones que se hicieron para sobreponer las curvas,

fueron agregar un polo, ajustar el y además se aumento la

ganancia en 1%. Se uso el siguiente código:

load datos1.txt

tiempo = datos1(:,1);

salida = datos1(:,2);

entrada = datos1(:,3);

G1=tf(2.1902826402,[1 .588209317

1.0951413201]);

figure, plot(tiempo,salida,'b')

G2=G1*tf(1.01,[.3333 1]);

hold on

step(G2,'g',25)

legend('Respuesta del Sistema Real','Respuesta

del Sistema Aproximado a 2do Orden')

La respuesta se puede observar en la Fig. 3.

2. Utilización del toolbox de identificación y de Simulink®

Matlab® es un software bastante extenso con muchas

herramientas. Dos de esas herramientas que son bastante útiles

son el toolbox de caracterización de sistemas y el Simulink.

Se utilizó primero que todo el toolobox de identificación

de sistemas. Se escribió ident en la ventana de comandos y se

obtuvo lo siguiente:

Fig. 4 Toolbox de identificación de sistemas

En la parte superior izquierda, se encuentra la opción de

importar datos. Se escogió la opción de importar datos en el

dominio del tiempo. Se abrió la siguiente ventana:

Fig.5 Ventana de time domain data

En el cuadro de texto de input se coloca la entrada del

sistema, la cual en nuestro caso es la tercera columna del

archivo datos1.txt. Se debe guardar esta columna en el espacio

de trabajo (workspace). Siguiendo el procedimiento anterior,

esta columna fue guardada bajo el nombre in.

De igual forma, en el cuadro de texto output se coloca la

respuesta al sistema la cual en nuestro caso es la segundo

columna del archivo datos1.txt. En nuestro espacio de trabajo

esta variable se llama out.

En el cuadro de texto Data name se coloca el nombre del

conjunto de datos que se identificará. Se puede colocar

cualquier nombre ya que no influye en nada en el resultado

final.

Por último, en el cuadro de texto Starting Time se coloca el

tiempo inicial de las muestras el cual en nuestro caso es 0. Y

en el cuadro de texto Sampling interval, se debe colocar la

frecuencia de muestreo utilizada en la toma de datos. Se

inspecciona la primera columna de datos1.txt ya que esta es la

columna del tiempo. Se observa que los datos tomados fueron

tomados a intervalos de 0.0039 segundos por lo cual esta es la

frecuencia de muestreo a emplear.

Definidos estos parámetros, se da clic en el botón import.

Se observara a continuación los datos en la ventana del ident.

Luego de importar los datos, se estimo en modelo. Esto se

hacienda seleccionando la opción process models en la

lengüeta que dice estimate. Al seleccionar esta opción, se

abrirá la siguiente ventana:

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Fig. 6 Ventana de procesamiento del modelo

En esta ventana uno puedo poner que características uno

quiere utilizar para el procesamiento de los datos

(aproximación de un modelo a los datos experimentales). Se

puede escoger cuantos polos tiene, ceros, atrasos y colocar los

valores numéricos conocidos de los parámetros de la función

de transferencia. Visto que se sabe que es una función de

segundo orden, o sea que tiene 2 polos y ningún cero, se

seleccionaron estas opciones. Se obtuvo los siguientes

resultados:

Fig. 7 Resultados obtenidos con ident

Se compararon estos datos con los datos experimentales

seleccionando la opción Model Output de la figura 4. Se

obtuvo lo siguiente:

Fig. 8 Figura obtenida seleccionando la opción Output Model

En esta gráfica se logra observar el la gráfica de datos, y el

resultado del la respuesta al escalón del modelo hallada

anteriormente mediante el ident. A la derecha del plot se

observa un numero debajo del título Best Fits. Este número

señala que tan buena es la aproximación entre los datos

experimentales, y los datos obtenidos mediante la

aproximación del modelo. Este numero va entre 0 y 100, 100

siendo un aproximación perfecta. En este caso se logra

observar un best fit de 98.37.

Se obtiene por lo tanto dos funciones de transferencia las

cuales se compararán utilizando Simulink. Las funciones de

transferencia son:

Con estos resultados, y con la función de transferencia en

se realizó una simulación en Simulink®, para comparar ambas

funciones de transferencia. Se obtuvo la siguiente simulación:

Fig. 9 Simulación realizada

El resultado obtenido se observa en las gráficas obtenidas,

en la gráfica superior se observa el resultado al escalón de la

función de transferencia G1, en el de la mitad se logra observar

la respuesta escalón de la función de transferencia G2, y en la

última gráfica se logra observa las respuestas de ambas.

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Fig.10 Resultado de las simulaciones

B. Análisis de respuesta transitoria y modelado

experimental del motor LEGO

1. Análisis gráfico

La siguiente figura muestra la curva de reacción del motor,

estos datos fueron brindados por el profesor.

Fig. 11 Curva de reacción

=0,08

K=7,72

2. Análisis Gráfico con una entrada rampa.

Para esta parte de la práctica se modificó el código

anterior, aumentando la potencia del motor en cada ciclo hasta

llegar a 100. El principio de esta respuesta rampa del motor es

la siguiente:

Fig. 12: Respuesta a una entrada rampa.

El análisis de una respuesta rampa de un sistema de primer

orden recae en la siguiente teoría[1]:

La respuesta a la rampa de un sistema de 1er orden es la

integral de la respuesta al escalón. En general, la respuesta al

escalón es de la forma:

Por lo cual la respuesta a la rampa está dada por:

El error entre la entrada rampa se encuentra por definición:

con una ganancia estática unitaria, o sea k=1:

Por lo cual se halla gráficamente τ con lo siguiente:

Fig. 13 Segundo método gráfico para encontrar características de sistema de

1er orden

Se debe de encontrar la coordenada de la gráfica en el

origen ya que se tiene que ambas gráficas son paralelas con

una diferencia de T o τ, después de un determinado tiempo. En

este caso k no es 1, pero solo se tendrá en cuenta la respuesta

del motor en velocidad (figura 12), y se normalizara esa

gráfica. Se obtiene utilizando Excel y no teniendo en cuenta

los primeros valores, lo siguiente:

Fig. 14 Gráfica obtenida en Excel

y = 388.06x - 63.669 R² = 0.9912

0

200

400

600

800

0 1 2 3

velo

cid

ad a

ngu

lar

Tiempo (s)

Series1

Lineal (Series1)

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Por lo cual se encuentra que:

τ=64ms

k=7,72 (mismo que anterior)

Y se obtiene:

3. Análisis mediante el ident

En esta parte se utilizará el toolbox de identificación de

sistemas de Matlab®. Siguiendo el procedimiento anterior se

tiene:

Fig. 15 Resultado obtenido mediante el ident

Y se obtiene: τ=67ms y K=7,7557

Y la función de transferencia:

Esto se realizó con los datos obtenidos con una entrada

escalón. Se comparó de igual forma con los datos reales y se

obtuvo lo siguiente:

Fig. 16 Comparación entre los resultados reales y el modelo obtenido, se

tiene un best fit de 47.92 debido a todos los sobre picos

4. Comparación de los resultados

Por último, se realizó una pequeña simulación es Simulink,

para simular las 3 funciones de transferencias obtenidas y

compararlas. Las 3 funciones de transferencia tomadas son las

siguientes:

Fig. 17 Simulación para comparar las diferentes funciones de transferencia

obtenidas

Se obtuvo las siguientes gráficas:

Fig. 18 Gráficas obtenidas en Simulink

Se observa en orden de nombre, Glego1, Glego2, Glego3 y

todas las anteriores.

C. Modelado de Motores DC

Para este primer punto se utilizó el modelo matemático de la

ecuación 21 de la guía 2, el cual es una función de

transferencia entre la velocidad del roto y el voltaje de entrada,

de acuerdo a sus parámetros y con la ayuda de Matlab® se

obtuvo lo siguiente:

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Función de transferencia del motor:

La función de transferencia muestra la siguiente grafica:

Fig.19 Curva de reacción del motor

De esta forma se visualiza un comportamiento como si fuese

una función de primer orden, sin embargo la función descrita

es de segundo orden, esto se debe a que el ζ=6.59 es un valor

muy grande por lo que no existe sobre pico característico de

una señal de un sistema de segundo orden.

Función de transferencia:

Realizando una reducción de polos se genera una nueva

función de transferencia:

La reducción de polo está basada en el hecho de la ubicación

en el plano del polo s=-199 debido a que un polo esa ubicado a

mas de 10 veces del polo más cercano a cero así el polo

dominante ejerce toda la parametrización o descripción de la

función de transferencia.

Fig. 20 Reducción de orden

En esta grafica se describe ambas señales siendo una la

correspondiente a la función de transferencia del segundo

orden y la otra se refiere a la función linealizada, como se

puede observar ambas se superponen aproximadamente,

teniendo una leve diferencia desde el punto de estabilidad,

pero cumpliendo con las características principales que

debería tener la función.

Analíticamente en la función de transferencia general para

segundo orden tenemos:

Mientras que la función descrita para el modelado del motor

DC es:

De esta los coeficientes se pueden igualar:

Temiendo en cuenta los valores numéricos y que tan

despreciables en la ecuación pueden ser resulta:

Universidad Nacional de Colombia. Castillo, Garzón, Márquez, Velandia. Modelado e Identificación 8

donde:

Ra = resistencia de la armadura

Jm = inercia del rotor

Bm = coeficiente de friccion

La = inductancia de la armadura

Parámetros mecánicos tanto como la inercia y la fricción son

propios del motor y de esta manera su forma de respuesta

frente a la acción general del motor es más lenta que una

respuesta eléctrica.

IV. CONCLUSIONES

No se puede asegurar a simple vista la cantidad de

polos o el orden de un sistema.

A partir de un muestreo de datos se puede aproximar

el modelado de un sistema que se quiera analizar

teniendo en cuenta parámetros de funcionamiento

estable

Los métodos manuales pueden entregar una

aproximación importante

V. REFERENCIAS

[1] Dorf, Richard C. ; Bishop, Robert H.: Modern control

systems. 12th. Prentice Hall : Pearson, 2010. {

xxi, 1082 p. p.

[2] Golnaraghi, M. F. ; Kuo, Benjamin C.: Automatic control

systems. 9th. Hoboken, NJ : Wiley, 2010. {

786 p. p.

[3] Ogata, Katsuhiko: Modern control engineering. 5th.

Boston : Prentice-Hall, 2010 (Prentice-Hall electrical

engineering series Instrumentation and controls series). { x,

894 p. p.

[4] Smith, Carlos A. ; Corripio, Armando B.: Principles and

practice of automatic process control. 2nd.

Wiley, 1997. { 784 p.