MODELO DE VALORACIÓN DE LA INVERSIÓN EN … · debido a contener restricciones físicas y...

TESIS DE MÁSTER

MODELO DE VALORACIÓN DE LA INVERSIÓN EN UNA CENTRAL

ELÉCTRICA MEDIANTE OPCIONES REALES

AUTOR: JUAN PALOMARES CARRALERO

MADRID, SEPTIEMBRE DE 2010

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)

MÁSTER OFICIAL EN EL SECTOR ELÉCTRICO

Autorizada la entrega del proyecto al alumno:

Juan Palomares Carralero

LOS DIRECTORES DE LA TESIS

Ángel Garro Pérez

Fdo: Fecha:

Mariano Ventosa Rodríguez

Fdo: Fecha:

Vº Bº del Coordinador de Tesis

Michel Rivier Abbad

Fdo: Fecha:

iii

Resumen

En esta Tesis se valora la inversión en diferentes tipos de centrales eléctricas

mediante el método de las opciones reales. Se trata de una herramienta que aúna

modelos ampliamente conocidos en la literatura y validados en numerosos estudios de

valoración de inversiones: el modelo unit commitment, que optimiza la explotación de

una central eléctrica, y métodos estadísticos y de simulación para valorar instrumentos

financieros.

El modelo de opciones reales aporta un valor añadido frente a modelos de

valoración tradicionales en tanto en cuanto a que proporciona la opcionalidad

inherente a la inversión en una central eléctrica. Mientras que en un modelo de

valoración tradicional se considera únicamente un escenario base y un número discreto

de escenarios de riesgo (con una probabilidad previamente condicionada), en el

modelo de la Tesis se obtiene una distribución de probabilidad de la rentabilidad

esperada de la inversión que indica la forma de la incertidumbre de los resultados. Por

tanto, el modelo permite no sólo elegir entre invertir o no invertir, sino también tomar

decisiones sobre opciones de ampliación, de abandono o de espera en la inversión. Por

el hecho de que la explotación de una central eléctrica no tiene una respuesta lineal,

debido a contener restricciones físicas y económicas, el modelo extrae el valor temporal

existente en la inversión, como si de una opción financiera se tratara, aportando una

ventaja competitiva frente a otros inversores que realicen una valoración por un

método tradicional.

El modelo simula, en base a una reversión a la media, cotizaciones eléctricas y de

combustibles de productos de mercados a plazo, de tal modo que los precios acaben

revirtiendo a largo plazo a la esperanza observada en los mercados. Las simulaciones

integran, mediante un proceso de Monte Carlo, información histórica de la volatilidad

de dichos productos futuros y de la correlación entre ellos. Los productos futuros

proyectados para cada día del alcance temporal de la inversión se perfilan en precios

horarios, según un clustering (agrupación por niveles significativos) de los precios

históricos del mercado spot en cuestión. La herramienta de simulación de precios se ha

creado en el entorno de Excel y Visual Basic for Applications. El modelo ha sido

validado por la metodología de Box-Jenkins y por contrastes de normalidad, mediante

el uso de MATLAB.

iv

La herramienta divide la vida útil de la planta en periodos discretos de tiempo y en

cada uno de ellos decide una explotación de la misma a futuro, basándose en las

simulaciones de precios realizadas previamente. Aprovechando la propiedad de alta

correlación entre precios de venta y costes térmicos y la reversión entre precios spot y

futuros, la decisión de explotación en cada escenario se realiza optimizando el

funcionamiento de la central eléctrica en la que se va a invertir, en base a la esperanza

del margen existente entre las simulaciones de precios de los futuros eléctricos y de los

costes variables, considerando unos costes de arranque y de parada. El funcionamiento

está sujeto a restricciones de límites de carga, de periodos mínimos de funcionamiento

y de cantidades máximas de energía disponible, para un determinado alcance

temporal. La reversión a la media se va actualizando a medida que se recorre el alcance

temporal, de tal modo que no se sobrevalore el margen bruto de la central eléctrica.

Esta estrategia de planificación emula la forma de tomar decisiones que se realiza en

una empresa y tiene un menor coste computacional que un problema de optimización

estocástica, lo que permite ampliar el detalle de complejidad de las simulaciones y de

las variables de decisión. Este modelo ha sido desarrollado, junto con el modelo de

simulación de precios, en el entorno de Excel, Visual Basic for Applications y GAMS.

Como ejemplo de aplicación práctica, en la presente Tesis se ha probado la validez

del modelo sobre un hipotético caso real: la decisión de una empresa eléctrica acerca de

la inversión en nueva capacidad (central de ciclo combinado, central de carbón y/o

central de carbón con captura y almacenamiento de CO2) en el mercado alemán. Se ha

medido para todos los casos la rentabilidad de la inversión y el riesgo asociado a la

misma.

También se ha valorado la opcionalidad de un contrato de alquiler (tolling) de una

central de cogeneración, por el que una parte recibe el precio eléctrico (asumiendo el

riesgo de mercado) y realiza, a cambio, un pago que consiste en una fórmula indexada

a diversas commodities (que replica los costes de combustible de la central de

cogeneración que paga la contraparte) más una prima negociada previamente a la

firma del contrato.

v

Summary

This Thesis makes a valuation of different power plants based on the real options

technique. It consists on a tool that joins together models which are very well known in

the literature and which have been validated in several papers: the unit commitment

model, which optimizes the operation of a power plant, and statistical & simulation

methods that compute valuations of financial instruments.

The real options model entails an added value with respect to classical valuation

models because it yields the inherent optionality of a power plant investment. While a

classical valuation model would only consider a base scenario and a discrete number of

risk scenarios (with an already given probability), the model of this Thesis obtains a

probability distribution of the expected investment return, which gives the picture of

the uncertainty related to the results. Therefore, not only the model allows to decide

whether to invest or not, but it also provides the option to expand, defer or abandon

the investment. Since the operation of a power plant does not have a lineal behavior,

due to physical and economic restrictions, the model extracts the temporal value

existent in the investment, as if it were a financial option, giving a competitive

advantage with respect to other investors who may have computed a classical

valuation.

The model simulates, based on a mean reversion, power and commodities prices

from the forward markets, so that they end up reverting in the long term to the

expected value observed in the markets. The simulations incorporate, by means of a

Monte Carlo process, historical data regarding prices volatility and the correlation

among them. The forecasted forward prices for each day of the temporal scope are

broken down on an hourly basis based on a clustering analysis that has been

performed with historical spot market prices. This model has been created in Excel and

Visual Basic for Applications. The model has been validated in MATLAB by the Box-

Jenkins methodology and by normal tests.

The model of the Thesis divides de investment life in discrete periods of time, and

the operation of the power plant is optimized in each one of those periods, based on

the forecasted market prices. Taking advantage of the high correlation existing

between market prices and thermal costs, and the mean-reversion between spot and

forward prices, the decision of the operation of the plant in each scenario is done based

vi

on the spread between market prices and variable costs, considering start-up costs and

shut-down costs. The optimization is subject to some restrictions, regarding load limits,

minimum periods of operation and maximum amounts of energy available, for a given

temporal scope. The mean reversion is updated as the model goes on in the temporal

horizon, so that the power plant gross margin is not overvalued. This planification

strategy emulates the way in which decisions are taken in a company, and it has a

lower computational cost than a stochastic optimization, allowing more complexity in

the decision variables of the simulations. This model has been developed, along with

the mean reversion model, in Excel, Visual Basic for Applications and GAMS

environments.

As a practical example, the model has been run for a hypothetical real case: the

decision of an electrical company regarding the investment in new capacity (CCGT,

coal plant and/or coal plant with CCS) in the German market. It has been measured,

for each case, the profitability of the investment and its associated risk.

It has also been valuated the optionality of a tolling contract for a CHP plant. One

part of the contract receives the electrical price (taking the market risk) and pays, in

exchange, an amount of money which consists on a formula indexed to some

commodities (that replicates the fuel costs of the plant paid by the counterpart) in

addition to a premium negotiated prior to close the contract.

vii

Índice

RESUMEN ...............................................................................................................................................III

SUMMARY .............................................................................................................................................. V

ÍNDICE................................................................................................................................................... VII

ÍNDICE DE FIGURAS ..........................................................................................................................XI

ÍNDICE DE ECUACIONES ..............................................................................................................XIII

ÍNDICE DE TABLAS............................................................................................................................XV

1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 2

1.1 Motivación........................................................................................................... 2

1.2 Descripción del problema ................................................................................. 2

1.3 Objetivos de la Tesis........................................................................................... 4

1.4 Estructura de la Tesis ......................................................................................... 4

2 FINANZAS CUANTITATIVAS ...................................................................................................... 7

2.1 Introducción ........................................................................................................ 7

2.2 Análisis matemático y estadístico .................................................................... 7

2.2.1 Distribución normal 7

2.2.2 Distribución lognormal 8

2.2.3 Volatilidad 9

2.2.4 Coeficiente de correlación y covarianza 10

2.2.5 Descomposición de Cholesky 11

2.3 Simulación. Computación. .............................................................................. 12

2.3.1 Método de Monte Carlo 12

2.3.2 Reversión a la media. Cálculo de parámetros por el método de máxima verosimilitud. 13

2.3.3 Modelo autorregresivo 15

2.4 Series temporales .............................................................................................. 17

2.4.1 Metodología de Box – Jenkins. Modelos ARIMA. 17

2.4.2 Contraste de normalidad. Lilliefors. 20

2.5 Teoría financiera ............................................................................................... 21

2.5.1 Método de valoración tradicional: flujos de caja descontados 21

2.5.2 Coste de los fondos propios (rentabilidad esperada) 23

2.5.3 Opciones 25

2.5.4 Métodos de valoración de opciones 27

2.5.5 Valoración de opciones: modelo de Black & Scholes 28

viii

2.5.6 Valoración de opciones: sensibilidades 35

2.5.7 Volatilidad histórica y volatilidad implícita 36

2.5.8 Valoración de opciones: método binomial 37

3 OPCIONES REALES........................................................................................................................ 43

3.1 Introducción ...................................................................................................... 43

3.2 Relación entre las opciones reales y las opciones financieras .................... 46

3.3 Consideraciones previas para aplicar la teoría de valoración de activos

financieros a modelos de valoración de activos reales del sector

eléctrico .............................................................................................................. 49

4 VALORACIÓN DE LA INVERSIÓN EN UNA CENTRAL ELÉCTRICA MEDIANTE

OPCIONES REALES........................................................................................................................ 52

4.1 Descripción general del modelo de valoración de la inversión en una

central eléctrica mediante opciones reales.................................................... 52

4.2 Detalle de cómo se avanza en el alcance temporal...................................... 55

4.3 Modelo de simulación de cotizaciones de precios y productos futuros .. 57

4.3.1 Introducción 57

4.3.2 Datos de entrada 58

4.3.3 Módulo I y II: componente aleatoria. Cálculo de los parámetros y simulación de

comportamientos. 60

4.3.4 Módulo I y II: componente estacional. Corregir los futuros a una esperanza

observada. 62

4.3.5 Módulo I: componente estacional. Corregir los M+i a una esperanza observada. 62

4.3.6 Módulo I: componente estacional. Corregir los Q+i a una esperanza observada. 63

4.3.7 Cálculo diario de productos futuros combinando la simulación de medias mensuales

de productos futuros (módulo I) con la simulación de unitarios diarios de productos

futuros (módulo II) 63

4.3.8 Módulo III: Perfilado horario (componente estacional) 65

4.3.9 Simulación de los costes de generación 67

4.3.10 Datos de salida 70

4.3.11 Interfaz del modelo de reversión a la media 70

4.4 Modelo unit commitment de optimización de la explotación de una

central eléctrica ................................................................................................. 72

4.4.1 Introducción 72

4.4.2 Datos de entrada 74

4.4.3 Función objetivo: maximización a medida que se recorre el alcance temporal 75

4.4.4 Condición de funcionamiento (unit commitment) 76

ix

4.4.5 Otras restricciones 78

4.4.6 Datos de salida 80

4.4.7 Interfaz del modelo unit commitment 80

4.5 Plan de negocio ................................................................................................. 81

5 RESULTADOS DEL MODELO: VALORACIÓN DE DIFERENTES TECNOLOGÍAS

EN EL MERCADO ALEMÁN ........................................................................................................ 84

5.1 Introducción ...................................................................................................... 84

5.2 Breve descripción del sector eléctrico alemán.............................................. 85

5.3 Selección del modelo por la metodología de Box-Jenkins.......................... 86

5.4 Valoración de la inversión en nueva capacidad: central de carbón

importado .......................................................................................................... 92

5.5 Valoración de la inversión en nueva capacidad: central de ciclo

combinado ......................................................................................................... 95

5.6 Valoración de la inversión en nueva capacidad: central de carbón

nacional con captura y almacenamiento de CO2 (CCS).............................. 98

5.7 Valoración de un contrato de alquiler (tolling) sobre una planta de

cogeneración ................................................................................................... 101

6 CONCLUSIONES........................................................................................................................... 107

6.1 Introducción .................................................................................................... 107

6.2 Resultados de la valoración de la inversión en nueva capacidad ........... 108

6.3 Resultados de la valoración de un contrato de alquiler (tolling) ............. 113

7 LINKS Y BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................ 116

8 AGRADECIMIENTOS .................................................................................................................. 118

A CORREGIR A LA ESPERANZA LAS SIMULACIONES DE PRODUCTOS

FUTUROS ........................................................................................................................................ 121

A.1 Reversión a la media de los productos M+i ............................................... 121

A.2 Reversión a la media de los productos Q+i................................................ 122

B CÓDIGOS DE VBA PARA EXPORTAR E IMPORTAR FICHEROS DE TEXTO CON

LOS DATOS DE ENTRADA Y DE SALIDA DEL MODELO DE OPTIMIZACIÓN........ 124

B.1 Código de VBA para exportar ficheros de texto con los datos de

entrada del modelo de optimización GAMS.............................................. 124

x

B.2 Código de VBA para importar ficheros de texto con los datos de salida

del modelo de optimización GAMS ............................................................ 126

C CÓDIGOS DE MATLAB PARA SELECCIONAR EL ORDEN DEL MODELO

AUTORREGRESIVO QUE MÁS SE AJUSTA A LAS SERIES TEMPORALES Y

PARA REALIZAR CONTRASTES DE NORMALIDAD DE LOS RESIDUOS DEL

MODELO ......................................................................................................................................... 129

C.1 Código de MATLAB para calcular las funciones de autocorrelación

simple y parcial de las series temporales................................................... 129

C.2 Código de MATLAB para evaluar la complejidad frente a la precisión

del modelo autorregresivo............................................................................ 130

C.3 Código de MATLAB para realizar contrastes de normalidad de

Lilliefors sobre los residuos del modelo autorregresivo .......................... 131

D METODOLOGÍA DE BOX-JENKINS ........................................................................................ 133

E FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN SIMPLE Y PARCIAL .............................................. 135

E.1 Patrones gráficos............................................................................................. 135

E.2 Proceso de selección del modelo .................................................................. 136

xi

Índice de Figuras

� Nota: las figuras carecen de referencia porque han sido realizadas por el autor de la Tesis.

Figura 1. Tendencia de una variable que se distribuye lognormalmente a lo largo del tiempo .... 8

Figura 2. Autorregresivo de orden 1 .................................................................................................... 16

Figura 3. Estructura financiera para un WACC óptimo .................................................................... 22

Figura 4. Resolución gráfica del modelo de Markowitz .................................................................... 24

Figura 5. Rentabilidades según el tipo de opción y la posición adquirida...................................... 26

Figura 6. Rentabilidad para un vendedor de una opción de compra (short call)........................... 33

Figura 7. Valor de una opción de compra para distintos tiempos hasta fecha de vencimiento ... 34

Figura 8. Reticulado binomial del activo subyacente y reticulado binomial de valoración (en

el caso de dos periodos) .............................................................................................................. 40

Figura 9. Asimetría entre ganancias y pérdidas al ejercer opciones reales ..................................... 48

Figura 10. Diagrama del modelo de valoración basado en la técnica de opciones reales ............. 54

Figura 11. Senda de precios horarios esperados a partir del 12 de mayo de 2010 ......................... 56

Figura 12. Reversión a la media de los precios esperados el 13 de mayo de 2010 ......................... 56

Figura 13. Filtro de outlayers en el cálculo del logaritmo neperiano de los unitarios diarios

sobre productos futuros .............................................................................................................. 60

Figura 14. Ejemplo de cotizaciones diarias históricas de un producto futuro ................................ 64

Figura 15. Agrupación de precios históricos por niveles................................................................... 66

Figura 16. Clustering de niveles de precios horarios ......................................................................... 66

Figura 17. Hoja Menú de la herramienta de valoración..................................................................... 71

Figura 18. Hoja donde se cargan las simulaciones de los futuros mensuales esperados para

un día concreto ............................................................................................................................. 72

Figura 19. Modelo unit commitment de optimización de la explotación de una central

eléctrica.......................................................................................................................................... 74

Figura 20. Relación entre la potencia y la potencia acoplada por encima de mínimo técnico...... 79

Figura 21. Funcionamiento de una central en base al spread y a unos costes de arranque y de

parada............................................................................................................................................ 80

Figura 22. Interfaz en Excel para exportar datos de entrada del modelo en GAMS...................... 81

Figura 23. Mix energético alemán en 2009 (fuente: EEX)................................................................... 85

Figura 24. Función de autocorrelación simple de la serie temporal de unitarios diarios del

producto futuro M+0................................................................................................................... 86

Figura 25. Función de autocorrelación simple de la serie temporal de unitarios diarios del

producto futuro Q+3 ................................................................................................................... 87

Figura 26. Función de autocorrelación parcial de la serie temporal de unitarios diarios del


xii




producto futuro Q+1 ................................................................................................................... 89

Figura 29. Función que relaciona la desviación típica del ruido blanco del autorregresivo de

los unitario diarios del M+0 frente al orden del modelo ....................................................... 90


los unitario diarios del M+0 frente al orden del modelo ....................................................... 90


los unitario diarios del Q+2 frente al orden del modelo........................................................ 91

Figura 32. Histograma del ruido blanco del autorregresivo de los unitario diarios del M+0 ..... 92

Figura 33. Histograma del ruido blanco del autorregresivo de los unitario diarios del Y+1 ...... 92

Figura 34. Resultado en M€ de la explotación de una central de carbón para 1000

simulaciones ................................................................................................................................. 93

Figura 35. Resultado del VAN (en M€) de una central de carbón importado para 1000

simulaciones ................................................................................................................................. 94

Figura 36. Valor intrínseco y valor temporal del flujo de caja (en M€) de una central de

carbón importado......................................................................................................................... 95

Figura 37. Resultado en M€ de la explotación de un ciclo combinado para 1000 simulaciones .. 96

Figura 38. Resultado del VAN (en M€) de un ciclo combinado para 1000 simulaciones.............. 97

Figura 39. Valor intrínseco y valor temporal del flujo de caja (en M€) de un ciclo combinado ... 98

Figura 40. Resultado en M€ de la explotación de una central de carbón con CCS para 1000

simulaciones ................................................................................................................................. 99

Figura 41. Resultado del VAN (en M€) de una central de carbón con CCS para 1000

simulaciones ............................................................................................................................... 100

Figura 42. Valor intrínseco y valor temporal del flujo de caja (en M€) de una central de

carbón con CCS .......................................................................................................................... 101

Figura 43. Valor total frente a valor intrínseco en la valoración de la inversión en una planta

de cogeneración sujeta a distintas restricciones de horas mínimas de funcionamiento .. 103

Figura 44. Zonas At-The-Money e In-The-Money donde funciona una central sujeta a

diferentes restricciones de horas mínimas de funcionamiento............................................ 104

Figura 45. Producción mensual de una planta de cogeneración bajo distintas restricciones de

horas mínimas de funcionamiento .......................................................................................... 105

xiii

Índice de Ecuaciones

Ecuación 1. Volatilidad y rendimiento ................................................................................................. 10

Ecuación 2. Covarianza de dos variables aleatorias ........................................................................... 10

Ecuación 3. Coeficiente de correlación de Pearson............................................................................. 11

Ecuación 4. Descomposición de Cholesky ........................................................................................... 12

Ecuación 5. Ecuación diferencial estocástica de reversión a la media ............................................. 13

Ecuación 6. Ecuación discreta equivalente de reversión a la media................................................. 14

Ecuación 7. Variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas de la reversión

a la media ...................................................................................................................................... 14

Ecuación 8. Función de probabilidad de la distribución normal...................................................... 14

Ecuación 9. Función de densidad conjunta de las variables aleatorias de la reversión a la

media ............................................................................................................................................. 14

Ecuación 10. Logaritmo neperiano de la función de verosimilitud que estima los parámetros

de la reversión a la media ........................................................................................................... 14

Ecuación 11. Ecuación del modelo autorregresivo ............................................................................. 15

Ecuación 12. Modelo ARIMA ................................................................................................................ 18

Ecuación 13. Coste medio ponderado de capital después de impuestos (WACC) ........................ 21

Ecuación 14. Valor actual neto............................................................................................................... 23

Ecuación 15. Frontera de eficiencia en el modelo de Markowitz...................................................... 24

Ecuación 16. Coeficiente Beta ................................................................................................................ 24

Ecuación 17. Capital Asset Pricing Model ........................................................................................... 24

Ecuación 18. Valor de una opción ......................................................................................................... 27

Ecuación 19. Movimiento browniano geométrico .............................................................................. 29

Ecuación 20. Ecuación en derivadas parciales de Black & Scholes................................................... 30

Ecuación 21. Ecuación de Black & Scholes para una opción europea de compra de una acción

que no reparte dividendos.......................................................................................................... 30

Ecuación 22. Ajuste a la ecuación de Black & Scholes para acciones que pagan dividendos ....... 31

Ecuación 23. Ajuste a la ecuación de Black & Scholes para acciones que pagan dividendos

continuos ....................................................................................................................................... 31

Ecuación 24. Ecuación de Black & Scholes corregida para opciones de compra sobre acciones

que pagan dividendos continuos............................................................................................... 32

Ecuación 25. Ecuación de Black & Scholes corregida para opciones de compra europeas

sobre futuros ................................................................................................................................. 32

Ecuación 26. Ratio de cobertura (método binomial)........................................................................... 38

Ecuación 27. Cartera de arbitraje que elimina el riesgo en la inversión .......................................... 38

Ecuación 28. Probabilidad implícita ..................................................................................................... 39

xiv

Ecuación 29. Hipótesis del método binomial: mundo neutral al riesgo .......................................... 39

Ecuación 30. Valor de una opción de compra europea para un periodo, según el método

binomial......................................................................................................................................... 39

Ecuación 31. Valor de una opción de compra europea para n periodos, según el método

binomial......................................................................................................................................... 41

Ecuación 32. Factores multiplicativos y probabilidad implícita al pasar del método binomial

a la distribución lognormal......................................................................................................... 41

Ecuación 33. Valor actual neto total...................................................................................................... 46

Ecuación 34. Filtro de outlayers por encima de la media en el cálculo de los unitarios diarios

de productos futuros ................................................................................................................... 59

Ecuación 35. Escalar a una esperanza una serie de valores............................................................... 62

Ecuación 36. Coste variable de un ciclo combinado........................................................................... 68

Ecuación 37. Coste de arranque de un ciclo combinado que funciona con gas spot NBP ............ 68

Ecuación 38. Coste variable de una central de carbón ....................................................................... 69

Ecuación 39. Coste de arranque de una central de carbón ................................................................ 69

Ecuación 40. Periodo de tiempo a partir del cual se optimiza el funcionamiento de la central

a futuro .......................................................................................................................................... 75

Ecuación 41. Función objetivo de optimización del funcionamiento de una central..................... 75

Ecuación 42. Restricciones de funcionamiento de la central ............................................................. 76

Ecuación 43. Restricción de funcionamiento considerando un punto de partida hini.................... 78

Ecuación 44. Restricciones de límites mínimo y máximo de potencia ............................................. 78

Ecuación 45. Restricción de horas mínimas de funcionamiento....................................................... 79

Ecuación 46. Restricción de máxima energía disponible ................................................................... 79

xv

Índice de Tablas

Tabla 1. Métodos de valoración según el tipo de opciones ............................................................... 28

Tabla 2. Relación entre las opciones reales y las opciones financieras............................................. 47

Tabla 3. Ejemplo de valoración del funcionamiento óptimo de una cartera de centrales en

base al spark spread..................................................................................................................... 77

Tabla 4. Resultados de un hipotético caso real de inversión en nueva capacidad en el

mercado alemán ......................................................................................................................... 109

1 Introducción

1 Introducción 2

1 Introducción

1.1 Motivación

Como consecuencia de la crisis financiera mundial, que ha afectado a todos los

campos de la industria y de la economía, nos encontramos en un momento de

transición en el que la sociedad está repensando los modelos y las estructuras que han

soportado y que soportarán el desarrollo futuro.

El sector eléctrico se ha visto afectado de igual manera. Este punto de inflexión que

estamos viviendo en el sector propicia el estudio y el análisis de técnicas robustas que

permitan establecer estrategias que solventen las incertidumbres relacionadas con los

aspectos que más preocupan hoy en día: la seguridad de suministro, el impacto

medioambiental y la volatilidad de los mercados.

La Tesis surge con ánimo de ayudar a la toma de decisiones acerca de las

inversiones que puedan resultar más rentables a una empresa, no sólo desde el punto

de vista económico, sino también desde el punto de vista de mitigación del riesgo de

mercado y de potenciación de la sostenibilidad económica, social y medioambiental.

1.2 Descripción del problema

En esta Tesis se valora la inversión en centrales eléctricas basándose en el método de

las opciones reales.

El modelo de opciones reales aporta un valor añadido frente a modelos de

valoración tradicionales en tanto en cuanto a que proporciona la opcionalidad

inherente a la inversión en una central eléctrica. En el modelo de la Tesis se obtiene una

distribución de probabilidad de la rentabilidad esperada de la inversión que indica la

forma de la incertidumbre de los resultados. Además, por el hecho de que la

explotación de una planta no tiene una respuesta lineal por contener restricciones

físicas y económicas, la herramienta de la Tesis extrae el valor temporal existente en la

inversión, como si de una opción financiera se tratara, aportando una ventaja

competitiva frente a otros inversores que realicen una valoración por un método

tradicional.

1 Introducción 3

Se trata de una herramienta que aúna dos modelos ampliamente conocidos en la

literatura y validados en numerosos estudios de valoración de inversiones: el modelo

unit commitment, que optimiza la explotación de una central eléctrica, y métodos

estadísticos y de simulación para valorar instrumentos financieros.

Para valorar la inversión de la central, de forma análoga a un instrumento

financiero, se podría haber optado por la fórmula analítica de Black & Scholes, el

método binomial, o el modelado mediante simulaciones. Se ha considerado este último

método dada la flexibilidad que aporta el mismo en la valoración de cualquier

derivado complejo, como es el caso que abarca la Tesis.

A la hora de modelar los precios y costes de combustibles, se ha optado por utilizar

modelos de reversión a la media, ya que cabe esperar que los precios y los costes

evolucionen correladamente, de tal modo que acaben revirtiendo a largo plazo a la

esperanza observada en los mercados.

Asimismo, la optimización extrae el valor temporal de la inversión, puesto que se

realiza para un abanico de precios proyectados de tal modo que, en cada instante de la

inversión, se optimiza el funcionamiento considerando las restricciones del futuro y se

avanza en función de lo que marque cada simulación de futuro como estrategia de

planificación. No se obtendría el mismo resultado si se valorase por un método

tradicional y se realizase un análisis de sensibilidad, puesto que en tal caso se parte de

supuestos acerca de futuras contingencias (evaluando las consecuencias), en vez de

incorporar en un modelo las contingencias que realmente se esperan e ir evaluando las

consecuencias y alterando la explotación a medida que éstas se desarrollan.

La herramienta que se presenta en esta Tesis trata de modelar numerosos aspectos

de los mercados eléctricos para aproximarse lo más posible a la realidad. Por un lado,

el modelo ofrece ciertas cualidades deseables desde el punto de vista de la simulación

y valoración final, ya que el abanico de cotizaciones de productos futuros no sólo

revierte a la esperanza observada en el instante en el que se realiza la valoración, sino

que también integra información histórica de la volatilidad de los productos eléctricos

futuros y de la correlación entre ellos mediante un proceso de Monte Carlo. Por otro

lado, la herramienta también contiene información del mercado spot, ya que los

productos futuros proyectados, que tienen un detalle mensual, trimestral y anual, se

perfilan horariamente en base a precios históricos del mercado en cuestión.

1 Introducción 4

1.3 Objetivos de la Tesis

El primer objetivo ha sido la documentación y el análisis de las finanzas

cuantitativas que se usan para valorar instrumentos derivados, y el estudio del estado

del arte de las opciones reales y de su aplicación al sector eléctrico.

Una vez los conocimientos básicos han sido aprendidos, se ha procedido a ponerlos

en práctica creando un modelo estadístico y financiero, en el entorno de Excel, Visual

Basic for Applications y GAMS, que permitiese realizar valoraciones por el método de

las opciones reales. El modelo ha sido validado por diversas metodologías y contrastes

de verificación a través del programa informático MATLAB.

Por último, se ha procedido a valorar la inversión en nueva capacidad para diversas

tecnologías como son un ciclo combinado, una central de carbón o una central de

carbón con CCS (Carbon Capture and Storage, que en español es una planta de captura y

almacenamiento de CO2 asociada a una central eléctrica), comparando sus distintas

rentabilidades frente al riesgo asociado a la inversión en cada una de ellas. También se

ha valorado un contrato de alquiler (tolling) de una planta de cogeneración.

En resumidas cuentas, el objetivo de la Tesis ha sido crear una herramienta que

fuera lo suficientemente potente como para poder llegar a aportar cierto valor añadido

a una empresa eléctrica, al ser capaz de extraer el valor temporal inherente a una

inversión.

1.4 Estructura de la Tesis

El capítulo 2 desarrolla aquellos rasgos de las finanzas cuantitativas que son

necesarios para la modelización que realiza la Tesis del comportamiento de las

variables de los mercados.

El capítulo 3 describe la técnica de las opciones reales, la compara con los modelos

de valoración tradicionales, mostrando el valor añadido que aporta el conocimiento de

la opcionalidad de una inversión, y describe las particularidades de la aplicación de las

opciones reales a la valoración de la inversión en diferentes tecnologías eléctricas.

El capítulo 4 muestra en detalle la herramienta de la Tesis, la cual aplica el método

de las opciones reales a la valoración de inversiones en centrales eléctricas. En primer

lugar, se describe el modelo que simula por una reversión a la media sendas de precios

1 Introducción 5

y costes de combustibles para un alcance temporal determinado. A continuación, se

describe el modelo unit commitment, que optimiza la explotación horaria de la central

eléctrica en base al margen existente entre los precios y los costes variables

proyectados, considerando unas determinadas restricciones de funcionamiento.

Finalmente, se plantea un plan de negocio en el que se describen medidas de riesgo

para determinar los niveles de rentabilidad y la opcionalidad inherente a las

inversiones.

El capítulo 5 muestra los resultados del modelo de la Tesis en la valoración de la

inversión en nueva capacidad para diferentes tecnologías eléctricas (ciclos combinado,

central de carbón y central de carbón con CCS), midiendo la rentabilidad y el riesgo

asociado. Asimismo se mide la opcionalidad inherente a la inversión en un contrato de

alquiler (tolling) de una planta de cogeneración.

2 Finanzas cuantitativas

2 Finanzas cuantitativas 7

2 Finanzas cuantitativas

2.1 Introducción

Las finanzas cuantitativas son necesarias para la modelización del comportamiento

de las variables de los mercados. Podría considerarse que las finanzas cuantitativas son

una combinación de matemáticas, computación y teoría financiera.

En el caso que nos ocupa, las finanzas cuantitativas constituyen la herramienta para

analizar y valorar instrumentos derivados, permitiendo la toma de decisiones de un

modo fundamentado a la hora de valorar opciones reales.

2.2 Análisis matemático y estadístico

2.2.1 Distribución normal

Se llama distribución normal a una de las distribuciones de probabilidad de variable

continua que con más frecuencia aparece en fenómenos de distinta índole (naturales,

matemáticos, etc.). La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada

(se conoce como campana de Gauss) y es simétrica respecto de un determinado punto

donde coinciden la media, la moda y la mediana. La importancia de esta distribución

radica en que permite modelar aquellos fenómenos en los que se cumple que cada

observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

Asimismo, la distribución normal aparece en muchas áreas de la estadística (por

ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales se aproxima a una normal,

incluso si la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal) y

de la probabilidad (por ejemplo, la distribución normal aparece como el límite de

varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas).

En la Tesis se tiene que los rendimientos sigue una distribución normal (ver

apartado 2.2.3), por lo que el comportamiento de los precios eléctricos sigue una

distribución lognormal, tal y como se describe en el siguiente apartado.


2.2.2 Distribución lognormal

La distribución lognormal es la distribución de probabilidad de cualquier variable

aleatoria cuyo logaritmo sigue una distribución normal.

Una variable puede ser modelada como lognormal si puede ser considerada como

un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. A efectos

prácticos, las variables que se modelan lognormalmente no pueden tomar valores

negativos y, dada la forma de la función de probabilidad (campana asimétrica), se

cumple que un valor xd por encima de la media se aleja más que un valor xi por debajo

de la misma, siendo sin embargo el área bajo la curva que dejan a su izquierda igual a p

y a 1-p, respectivamente (recordemos que el área hacia la izquierda bajo una función de

probabilidad se denomina función de distribución y representa una probabilidad).

Obsérvese este comportamiento en la Figura 1, donde el eje de abscisas representa el

tiempo desde el momento en el que se realiza el análisis de la tendencia de la variable y

el eje de ordenadas representa los valores que toma dicha variable.

0

40

80

120

160

200

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49

Media Percentil 5% Percentil 95%

Figura 1. Tendencia de una variable que se distribuye lognormalmente a lo largo del tiempo

Este comportamiento se interpreta en el caso del sector eléctrico del siguiente modo:

el precio medio en un mercado puede rondar los 50 €/MWh, pero en horas de baja

demanda donde además sople mucho el viento, el precio puede caer, e incluso llegar a

tener valores cercanos a cero. No obstante, en horas en las que se dé la situación de

indisponibilidad de alguna central nuclear, alta demanda, poco agua disponible y/o

viento despreciable, el precio puede llegar a subir hasta los 1.000 €/MWh (en mercados


donde no halla un precio máximo instrumental), si es necesario arrancar un grupo de

fuel que necesite recuperar en poco tiempo todos sus costes fijos anualizados. Tanto el

primer caso como el segundo, tienen la misma probabilidad de ocurrir, siendo

1.000 €/MWh un precio mucho más alejado de la media de 50 €/MWh que el precio

cercano a cero.

Este comportamiento dependerá en gran medida de la inelasticidad de la demanda

y de la curva de oferta del mercado. En general, la inelasticidad de la demanda es alta y

la curva de oferta no es lineal, produciéndose saltos de precio en la oferta cada vez

mayores, por lo que a la hora de estudiar las series temporales de precio extrayendo

componentes de estacionalidad y ciclicidad, se pueden asemejar las mismas a un

comportamiento lognormal.

2.2.3 Volatilidad

En el apartado 2.5.7 se comenta que, de todos los parámetros que influyen en el

valor de las opciones, sólo tres de ellos no son conocidos hasta la fecha de ejercicio: la

tasa de interés libre de riesgo, el pago de dividendos y la volatilidad. Generalmente, la

sensibilidad del valor de la opción ante cambios en los dos primeros parámetros no es

tan grande en comparación con la sensibilidad ante cambios en la volatilidad. Este

hecho justifica que la volatilidad sea un elemento clave en el cálculo del valor de las

opciones.

La volatilidad es la tasa de fluctuación en el mercado de los precios del activo

subyacente. Mide la dispersión del precio respecto de su tendencia central, es decir, a

mayor volatilidad, mayor es la probabilidad de que el precio resultante diste mucho de

la media. Cabe mencionar que la volatilidad no considera la dirección del movimiento,

es decir, un valor de volatilidad indica que el precio se ha separado mucho o poco de la

tendencia central, pero no informa si el cambio ha sido por encima o por debajo de la

media. Precisamente este hecho forma parte de la oportunidad a la que renuncian

aquellos agentes que tienen aversión al riesgo, puesto que al disminuir la volatilidad,

están acotando tanto pérdidas como ganancias.

En los modelos de valoración de opciones, se asume que los precios del subyacente

son variables aleatorias que se comportan según una distribución lognormal, ya que la

variabilidad del precio es el resultado del producto multiplicativo de muchos

pequeños factores independientes (ver apartado 2.2.2). El rendimiento de los precios se


mide como el logaritmo neperiano del ratio entre precios, por lo que dichos

rendimientos siguen comportamientos normales (tal y como se comenta en el apartado

2.2.2, si una variable sigue una distribución lognormal, el logaritmo neperiano de dicha

variable sigue una distribución normal). Tenidos los rendimientos (u), la volatilidad (σ)

es la desviación típica de los mismos, tal y como se muestra en la siguiente ecuación:

( )

365

11

2

tdíaddía

precio

precioLn

udonden

uutdía

ddían

j

j

−

=−

−=∑

=σ

Ecuación 1. Volatilidad y rendimiento

Nótese que el rendimiento (u) se divide por un factor de anualización, para que se

puedan comparar volatilidades medidas para periodos de tiempo de diferente tamaño.

Existen otros métodos para el cálculo de la volatilidad, que se usan en casos más

complejos como son las opciones sobre precios eléctricos horarios, siendo los futuros

de los precios eléctricos de carácter mensual y no horario. En casos de este tipo, es

necesario computar una volatilidad que combine la volatilidad de los precios horarios

históricos y la volatilidad de las cotizaciones de productos futuros mensuales,

considerando la covarianza entre precios históricos horarios y productos futuros

mensuales.

2.2.4 Coeficiente de correlación y covarianza

La covarianza es una medida estadística de dispersión conjunta de dos variables

estadísticas. Sean X e Y dos variables aleatorias de las cuales se ha obtenido una

muestra con N observaciones. La covarianza de las mismas se define con la siguiente

ecuación:

yxN

yx

YXCov

N

i

ii

−=∑

=1),(

Ecuación 2. Covarianza de dos variables aleatorias


Si el resultado de la Ecuación 2 es positivo, entonces las variables aleatorias guardan

una relación lineal directa. Si es negativo, la relación es lineal inversa. En el caso de ser

nulo, no existe relación lineal.

La varianza 2xσ es la aplicación de la covarianza para el caso particular de comparar

la variable aleatoria X consigo misma, o lo que es lo mismo, es la esperanza del

cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media. Es decir, se trata de

una medida de la dispersión de dicha variable aleatoria que siempre da lugar a un

resultado positivo, siendo la media de la variable aleatoria más cercana al conjunto de

la muestra cuanto menor es el valor de la varianza. Nótese que la raíz cuadrada de la

varianza es la desviación típica, o lo que es lo mismo, la volatilidad.

El coeficiente de correlación (de Pearson) se computa del siguiente modo:

22

),(

yx

xy

YXCov

σσρ =

Ecuación 3. Coeficiente de correlación de Pearson

Este coeficiente de correlación normaliza estas medidas de dispersión, de tal modo

que ρ puede tomar valores entre -1 y 1. Por ejemplo, si vale 1 indica que la relación

entre las variables es completamente lineal (se trata del caso particular de comparar

una variable aleatoria consigo misma).

2.2.5 Descomposición de Cholesky

La descomposición (o factorización) de Cholesky consiste en descomponer una

matriz simétrica definida positiva como el producto de una matriz triangular inferior

(L) y una matriz triangular superior (U), que es la transpuesta de la matriz triangular

inferior. La matriz triangular inferior se define como el triángulo de Cholesky de la

matriz original positiva definida. Es una manera de resolver sistemas de ecuaciones

matriciales y se deriva de la factorización LU, que es un caso más general de

descomposición de una matriz cuadrada (con pivotes no nulos) en un producto de una

matriz L y una matriz U, no siendo necesario que ésta sea la transpuesta de aquélla.

La descomposición de Cholesky de una matriz A = LU se realiza del siguiente

modo:


jj

jk

i

k

ikij

ij

i

k

ikiiii

u

uua

u

uau

∑

∑−

=

−

=

×−=

−=

1

1

1

1

22

Ecuación 4. Descomposición de Cholesky

En la Ecuación 4 se ha descrito el cálculo de los elementos de la matriz U. El cálculo

de los elementos de la matriz L es análogo.

Esta descomposición es interesante en el caso que ocupa a la Tesis porque se usa en

el método de Monte Carlo para simular series temporales que guarden una correlación

dada. Se calcula en primer lugar la volatilidad y la matriz de correlación de

cotizaciones históricas de diferentes productos eléctricos de mercados a plazo, para

obtener la matriz de varianzas y covarianzas de los mismos (según la Ecuación 3). Esta

matriz se descompone en la matriz triangular inferior L, de tal modo que si se

multiplica un vector de números aleatorios (no correlados) por ella, se obtiene un ruido

con las propiedades de covarianza del sistema a ser modelado.

2.3 Simulación. Computación.

2.3.1 Método de Monte Carlo

La técnica de Monte Carlo consiste en repetir muchas veces un experimento

aleatorio (lo que se conoce como muestreo aleatorio), mediante la generación de

números pseudo-aleatorios, para realizar posteriormente medidas estadísticas (en base

a los resultados) que permitan extraer conclusiones para la toma de decisiones.

La simulación por Monte Carlo es un método estadístico numérico usado para

valorar multitud de problemas matemáticos que son muy difíciles de resolver con

exactitud. De hecho, es el único medio para estimar la solución de algunos problemas

matemáticos. Se trata de una técnica que se usa desde los años 40, aunque su uso se

mejoró enormemente con la aparición de los ordenadores. Recibe su nombre en honor

al casino de Monte Carlo, del principado de Mónaco, donde los juegos de azar se basan

en la aleatoriedad.


La clave del método radica en que el error del resultado obtenido decrece a razón de

N

1, según el teorema del límite central. Hoy en día, la simulación por Monte Carlo se

usa en muy diversos ámbitos, como son el financiero, el científico, el industrial o el

empresarial.

En la Tesis se recurre al método de Monte Carlo para valorar la inversión en una

central eléctrica mediante opciones reales, tal y como se describe en los capítulos

sucesivos, de tal modo que los precios simulados integren la volatilidad y la

correlación de las cotizaciones históricas de los mercados a plazo.

2.3.2 Reversión a la media. Cálculo de parámetros por el método de máxima verosimilitud.

En estadística, la reversión a la media hace referencia al fenómeno en el que una

variable que se encuentra alejada de su media en una primera observación, tenderá a

acercarse a la media en observaciones sucesivas. Se trata de un concepto que fue

utilizado por primera vez en el siglo XIX por el estadístico Francis Galton. Este

fenómeno se tiene en cuenta a la hora de realizar inferencias, de tal modo que la

simulación de los posibles escenarios de un experimento no terminen dando lugar a

resultados poco realistas por haberse alejado demasiado de la media.

En el caso que ocupa a la Tesis, la reversión a la media tiene sentido cuando ocurre

un hecho excepcional que produce una alteración al alza o a la baja de una cotización

eléctrica. En tal caso, cabe esperar que, si no se trata de un hecho estructural, las

cotizaciones tenderán a volver a sus niveles previos medios.

La reversión a la media se representa formalmente mediante la siguiente ecuación

diferencial:

( ) t

r

ttt dBSdtSdS ×+−×= σµα

Ecuación 5. Ecuación diferencial estocástica de reversión a la media

Donde α representa la velocidad a la que se revierte a la media a largo plazo µ , σ

es la volatilidad del proceso y tB representa un movimiento browniano (ver Ecuación

19). Si el proceso considerado es lineal, r toma valores de 0 ó 1. Estos parámetros suelen

calcularse por el método de máxima verosimilitud, del siguiente modo:


En primer lugar se discretiza la ecuación diferencial estocástica, obteniendo el

modelo discreto equivalente que se muestra a continuación:

( ) t

r

tttt BStSSS ∆×+∆−×+=+ σµα1

Ecuación 6. Ecuación discreta equivalente de reversión a la media

Se pueden definir las variables Xt del siguiente modo:

( )r

t

ttt

tS

tSSSX

∆−×−−= + µα1

Ecuación 7. Variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas de la reversión a la media

A partir de la Ecuación 6 y de la Ecuación 7 se tiene que Xt = B∆×σ . Por tanto, Xt

sigue una distribución normal, cuya función de probabilidad es la siguiente:

( ) t

X

t

t

et

Xf ∆−

×∆

= 2

2

2

2

1 σ

πσ

Ecuación 8. Función de probabilidad de la distribución normal

Dado que Xt son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, la

función de densidad conjunta se halla como sigue:

( )( )

t

X

nn

n

n

i

t

e

t

XXXf ∆−∑

×∆

==

21

2

2

2

21

2

1,...,, σ

πσ

Ecuación 9. Función de densidad conjunta de las variables aleatorias de la reversión a la media

De esta forma, el logaritmo neperiano de la función de verosimilitud queda

determinado por la siguiente ecuación:

( )[ ] [ ]t

X

tLnn

XXXfLn

n

it

n ∆

∑−∆−= =

21

2

221

22

2,...,,

σπσ

Ecuación 10. Logaritmo neperiano de la función de verosimilitud que estima los parámetros de la reversión a la media


Puesto que Xt es función de los parámetros α ,µ y σ de la reversión a la media (ver

Ecuación 7), basta con hacer la derivada parcial de la expresión de la Ecuación 10

respecto de dichos parámetros e igualar a cero para poder estimarlos.

2.3.3 Modelo autorregresivo

En estadística los modelos autorregresivos son aplicados a series temporales de

datos. Se trata de una herramienta matemática para analizar el comportamiento de una

variable (precios eléctricos y costes de generación, en el caso que ocupa a la Tesis) y

para predecir futuros valores de la serie.

Un modelo autorregresivo de orden p responde a la siguiente ecuación:

tit

p

i

it YAcY ε+×+= −=∑

1

Ecuación 11. Ecuación del modelo autorregresivo

Donde c es una constante, Ai son los parámetros del modelo, y tε es un término de

error.

Los términos de error tε se corresponden con un ruido blanco, es decir, son

variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas tomadas de una

muestra con distribución normal de media cero y desviación típica dada [ tε ~ N(0, σ)].

En la Tesis se procede a realizar simulaciones por Monte Carlo, de tal modo que se

generan vectores de números aleatorios que siguen una distribución normal. Por tanto,

dichos vectores no sólo integran información de la correlación histórica (ver apartado

2.2.5), sino que también se asemejan a un ruido blanco que se usa, junto con los

coeficientes del autorregresivo, para proyectas sendas de precios.

Por ejemplo, para el caso de un autorregresivo de orden 1, se tiene lo siguiente:


Figura 2. Autorregresivo de orden 1

Se observa que un autorregresivo de orden 1 equivale a una regresión lineal en la

que no hay dos variables distintas, sino que el eje de abscisas representa la variable

inmediatamente anterior (en la serie temporal) a la variable del eje de ordenadas. El

valor añadido del autorregresivo radica en que se cumple que la diferencia entre esta

regresión lineal y la coordenada real (Yt-1,Yt) es el término tε , el cual sigue una

distribución normal de media cero.

El orden del autorregresivo se elige de tal modo que la desviación típica del

mencionado ruido blanco no varíe sustancialmente al bajar una unidad el orden.

También es necesario que el orden tenga sentido en función de los fundamentales que

subyacen a la variable estudiada. Por ejemplo, en el caso del sector eléctrico, puede ser

interesante realizar un autorregresivo de orden 7 si se está estudiando la demanda

eléctrica de un sistema, ya que el consumo eléctrico de un sábado probablemente

guarde más relación con el consumo del sábado anterior que con el consumo del día

anterior (a su vez, guardará más relación con el consumo del día anterior, viernes, que

con el consumo del miércoles anterior). Esto se pondría de manifiesto al calcular el

autorregresivo porque el parámetro A7 sería mayor que el parámetro A1, y éste será a

su vez mayor que los parámetros restantes.

La metodología de Box – Jenkins valida formalmente la elección del modelo que

mejor se ajusta a las series temporales consideradas, tal y como se describe en el

siguiente apartado.


2.4 Series temporales

Una serie temporal es una secuencia de valores a lo largo del tiempo. El análisis

estadístico de una serie temporal cobra sentido cuando los valores futuros de ésta no se

conocen con total certeza. En tal caso, la predicción de los valores futuros de la serie se

realiza en base a su comportamiento pasado, acudiendo a la simulación

(computacional) cuando el estudio analítico resulte demasiado complejo.

El hecho de que no se conozcan con certeza los valores futuros de una serie

temporal no significa que la evolución de la misma sea completamente aleatoria (o lo

que es lo mismo, que la serie sea no-estacionaria). Es decir, el interés en el estudio de

las series temporales radica en que existan ciertos patrones y regularidades en su

comportamiento a lo largo del tiempo, de tal modo que sea posible la predicción de las

mismas a partir de modelos basados en análisis estadísticos y distribuciones de

probabilidad. Las series estacionarias son aquéllas que mantienen un equilibrio

estadístico a lo largo del tiempo y que, por tanto, pueden ser objeto de análisis; en el

caso que ocupa la Tesis (precios eléctricos y precios de combustibles), las series son

estacionarias.

Conviene mencionar que no es lo mismo “estacionario” que “estacional”. La

estacionalidad se corresponde con las fluctuaciones periódicas de la variable de la serie

temporal, en periodos relativamente cortos de tiempo. En la Tesis la estacionalidad de

los precios eléctricos viene determinada por cambios en la demanda eléctrica, como

consecuencia de variaciones en la actividad económica (días festivos, periodos de crisis

financiera, etc.) o de variaciones en las estaciones del año (mayor o menor

hidraulicidad, cambios de temperatura, etc.).

2.4.1 Metodología de Box – Jenkins. Modelos ARIMA.

La metodología de Box-Jenkins, que modela procesos ARIMA, fue descrita en 1970

por George Box y Gwilym Jenkins. Se trata de un procedimiento que revolucionó el

análisis de las series temporales y que se utiliza ampliamente desde entonces para

identificar el proceso ARIMA más apropiado.

Un proceso ARIMA es un modelo matemático que se usa para pronosticar valores.

La simplicidad de los modelos ARIMA, por tratarse de una suma lineal de términos,

supone una gran ventaja frente a otros modelos tradicionales. Asimismo, existe una


amplia variedad de procesos ARIMA, por lo que generalmente es posible encontrar un

proceso que se ajuste adecuadamente a la serie temporal en cuestión. El esquema

general del modelo ARIMA es el siguiente:

qtqttptptt bbXaXaX −−−− ++++++= εεε ...... 1111

Ecuación 12. Modelo ARIMA

Donde el acrónimo ARIMA proviene de los procesos que combina: p términos de un

proceso autorregresivo (AR) y q términos de un proceso de medias móviles (en inglés

se conoce por su acrónimo MA, Moving Average). Tal y como se comenta en el

apartado 2.3.3, el autorregresivo modela la influencia de los valores Xt-p anteriores a Xt.

Por otro lado, el proceso de medias móviles modela la influencia del ruido ε en valores anteriores de la serie. La letra I se corresponde con el proceso de integración

que reestablece, una vez ha sido determinado el modelo y los coeficientes del mismo,

las características originales de la serie temporal. Esta integración hace referencia a la

diferenciación que se realiza en la primera etapa de la metodología de Box-Jenkins, tal

y como se comenta más adelante.

La metodología Box-Jenkins conlleva un proceso iterativo que permite reflexionar

acerca de los datos de la serie temporal y encontrar un modelo que se ajuste

adecuadamente. La metodología constaba inicialmente de tres etapas: selección del

modelo, estimación de los parámetros y validación del modelo. Estudios posteriores

añadieron una etapa preliminar de preparación de los datos y una etapa final de

aplicación del modelo en el pronóstico de valores de la serie temporal. A continuación

se describe el proceso iterativo:

1. Preparación de los datos: se trata de comprobar que la serie temporal a

estudiar sea estacionaria y, en caso contrario, transformarla y diferenciarla

para que lo sea. Las transformaciones consisten en la aplicación de raíces

cuadradas y logaritmos neperianos a los datos de tal modo que la varianza

de la serie se estabilice (sea estacionaria) ante cambios de nivel de las series.

La diferenciación consiste en filtrar la tendencia (esto es, el cambio a largo

plazo de la media de la serie) para el periodo de observación dado, mediante

la aplicación de diferencias entre valores contiguos (diferenciación de primer

orden) o entre diferencias (diferenciación de orden n), de tal modo que la


media de la serie se estabilice (sea estacionaria); generalmente basta con

llegar a una diferenciación de orden 2 para que la serie se estabilice.

2. Selección del modelo: el estudio de regularidades en la serie, para poder

identificar el modelo ARIMA que mejor se ajuste a la estacionalidad de la

misma, se realiza a partir de las funciones de autocorrelación simple (en

inglés se conoce por su acrónimo ACF, Autocorrelation Function) y parcial (en

inglés se conoce por su acrónimo PACF, Partial Autocorrelation Function), y se

compara su forma con unos patrones gráficos, eligiendo el modelo que más

se acerque a unos de dichos patrones. En el Anexo E se muestran patrones

gráficos típicos para distintos tipos de modelos.

La función de autocorrelación mide la correlación entre los valores de la

serie distanciados por un periodo de tiempo r. Es decir, dada la serie

temporal [x1, x2, …, xn], se puede obtener el coeficiente de correlación de las

parejas de datos (xi;xk), tal que la diferencia k –i es igual a r, el cual se

denomina coeficiente de autocorrelación de orden r. De este modo, en caso

de existir estacionalidad en la serie temporal, se observará una correlación

entre los valores separados entre sí por los periodos estacionales ri existentes

(el coeficiente de autocorrelación en dichos casos será muy distinto de cero).

La función de autocorrelación parcial proporciona la correlación entre

parejas de valores separados un periodo de tiempo r, pero habiendo

eliminado el efecto debido a la correlación producida por retardos anteriores

a r.

3. Estimación de los parámetros: consiste en la obtención de los parámetros y

coeficientes con el modelo seleccionado en la etapa anterior de la

metodología. Por ejemplo, en el caso de que el modelo que mejor se ajuste a

la serie temporal fuese un autorregresivo de orden 1, se trataría de calcular la

pendiente A1 y la constante c de la Ecuación 11.

4. Validación del modelo: consiste en analizar los residuos resultantes del

modelo (diferencia entre el valor real observado y el valor que arroja el

modelo) con el fin de verificar que el modelo se ajusta adecuadamente a la

serie temporal. Por ejemplo, en el caso de que el modelo que mejor se ajuste

a la serie temporal fuese un autorregresivo, sería necesario aplicar un


contraste de normalidad a los residuos para comprobar que efectivamente se

trata de un ruido blanco (ver apartado 2.4.2).

5. Aplicación del modelo: se recurre a la simulación computacional (en el caso

que ocupa la Tesis, se simula mediante un proceso de Monte Carlo) para

pronosticar valores futuros de la serie temporal, una vez se ha deshecho la

transformación y diferenciación inicial para desestabilizar la serie

(volviendo, de este modo, a valores que se corresponden con la realidad).

En el Anexo D se incluye un diagrama de la metodología iterativa de Box-Jenkins.

2.4.2 Contraste de normalidad. Lilliefors.

Existen diversos contrastes que verifican que una serie de datos sigue una

distribución normal. Algunos de ellos son el contraste de Kolmogorov-Smirnov, el

contraste de Shapiro, el contraste de Jarque-Bera o el contraste de Lilliefors. Este último

es una adaptación del contraste de Kolmogorov-Smirnov para los casos en los que no

se conoce ni la media ni la varianza de la distribución normal. El proceso para

computar un contraste de Lilliefors es el siguiente:

En primer lugar se estima la media y la varianza de la población en base a la

muestra tomada.

A continuación, se busca la máxima discrepancia entre la función de distribución

empírica y la función de distribución acumulada de la distribución normal,

considerando la media y la varianza estimadas.

Finalmente se analiza si el valor obtenido para el estadístico que mide la máxima

discrepancia es suficientemente significativo. Esto se realiza en base a unas tablas

tabuladas por Hubert Lilliefors. Se realiza el contraste para un nivel de confianza dado,

de tal modo que el resultado es cero si no se puede rechazar la hipótesis nula, es decir,

si no se puede demostrar (para el nivel de confianza dado) que la serie no sigue una

distribución normal.


2.5 Teoría financiera

2.5.1 Método de valoración tradicional: flujos de caja descontados

Cuando es necesario plantear la conveniencia de acometer una inversión, se calcula

si los rendimientos esperados del proyecto superan los costes de llevarlo a cabo. Ésta es

la idea que subyace en el método del valor actual neto, en el cual se descuentan los

flujos de caja que se esperan que vaya a generar una inversión para poder compararlos

con el coste de la inversión a realizar.

La tasa de descuento que se utiliza para traer dichos flujos de caja al presente es el

coste de capital, ampliamente entendido, pues no sólo constituye el coste de capital en

sí mismo, sino que también lleva la inflación incorporada. El coste de capital suele

encontrarse en la literatura por su acrónimo inglés WACC (Weighted Average Cost of

Capital, es decir, coste medio de capital ponderado).

Hay distintos costes de capital según el tipo de flujo de caja que haya que descontar:

� Lo más usual es descontar el flujo de caja libre, que se corresponde con el

dinero generado por la empresa asumiendo que no hay deuda. Es decir, una

vez se ha calculado el flujo de caja operativo, se obtiene el flujo de caja libre

restando los impuestos teóricos, que son el resultado de aplicar la tasa de

impuestos al BAII (beneficio antes de intereses e impuestos); en el caso de

aplicársela al BAI (beneficio antes de impuestos), se obtendría el flujo de

caja de capital. El caso es que para descontar el flujo de caja libre, el coste de

capital coherente es el WACC después de impuestos, cuya ecuación es la

siguiente:

ED

DtK

DE

EKWACC de +

×−×++

×= )1(

Ecuación 13. Coste medio ponderado de capital después de impuestos (WACC)

Donde D representa los fondos ajenos, E representa los fondos propios, y t es la tasa

de impuestos y representa el beneficio fiscal que aporta la deuda. Nótese que se

pondera el coste de capital que impone la deuda con la rentabilidad (que no es un

coste) esperada por los accionistas, por lo que la traducción extendida de WACC como

“coste de capital” puede dar lugar a confusión.


� Si en lugar de ponderar con el coste de la deuda después de impuestos, es

decir, con Kd*(1-t), se ponderase con el coste de la deuda antes de impuestos

(Kd ), se obtiene el WACC antes de impuestos, que obviamente es mayor que

el WACC después de impuestos. Este WACC se usa para descontar el flujo

de caja del capital (tiene sentido descontar el flujo de caja de capital con un

WACC mayor, ya que el flujo de caja de capital es mayor que el flujo de caja

libre, pues es la suma de éste más el escudo fiscal).

� Otro caso sería descontar con el coste de los fondos propios (Ke), si se

considerase el llamado flujo de caja de los accionistas.

Tal y como se ha mencionado, el coste de capital incluye la inflación, por lo que los

flujos de caja considerados han de estar en valores nominales, para que al descontarlos

con la inflación se obtengan los valores reales a fecha de valoración de la inversión.

Asimismo, cabe destacar que el coste de capital varía según la estructura de la

empresa, ya que el coste de la deuda es tanto mayor cuanto mayor sea el riesgo del

proyecto y el coste de los fondos propios también aumenta con el riesgo del proyecto (a

la par que es siempre mayor que el coste de la deuda, dado que los accionistas son los

últimos en cobrar cuando una empresa entra en quiebra). Por tanto, se puede

representar gráficamente el WACC para distintos niveles de apalancamiento (D/E), de

tal modo que para un apalancamiento nulo, WACC = Ke, mientras que para

apalancamientos grandes, WACC tiende a valores de Kd. En este recorrido, existe una

estructura financiera óptima en la que el apalancamiento es tal que el WACC es

mínimo:

Figura 3. Estructura financiera para un WACC óptimo


Resulta intuitivo que los flujos de caja se descuenten, no sólo con la tasa de

inflación, sino también con el coste de capital, ya que el dinero que se invierte tiene un

coste de oportunidad por no invertirse (simplificando) en deuda sin riesgo. Asumiendo

que la rentabilidad de la inversión sin riesgo fuese coincidente con el WACC

considerado, la inversión sólo tendría sentido si los flujos de caja esperados fueran

mayores que los intereses que generaría dicha inversión sin riesgo. Este razonamiento

se expresa en las matemáticas financieras como valor actual neto (VAN), considerando

el proyecto rentable si el VAN es mayor que cero. Esto es lo mismo que decir que la

Tasa Interna de Retorno (aquella tasa de descuento que hace que el VAN se igual a

cero) sea mayor que el WACC.

i

t

i

i

WACC

FC

IVAN)1(

1

++−=

∑=

Ecuación 14. Valor actual neto

2.5.2 Coste de los fondos propios (rentabilidad esperada)

Cabe realizar una mención especial al coste de los fondos propios, dado que es

complicado determinarlo y, por consiguiente, dificulta el cálculo del WACC.

Cuando se tiene una cartera de activos, cada uno de ellos con distintos riesgos y

rentabilidades asociados (cabe esperar que la rentabilidad del activo sea mayor si el

riesgo es mayor), se puede calcular cuánto peso ha de tener cada activo para tener el

menor riesgo posible (medido como varianza) dado un nivel de rentabilidad deseado.

Este método recibe el nombre de análisis de la media-varianza y fue introducido por

Markowitz en 1951. Este modelo se puede representar gráficamente del siguiente

modo: considerando unos ejes de coordenadas en donde el eje de abscisas representa el

riesgo (medido como varianza) y el eje de ordenadas representa la rentabilidad

esperada, se pueden situar sobre el plano los distintos activos de la cartera, y se

determinaría una región de soluciones posibles. Dada una rentabilidad deseada, la

solución sería aquel punto de la región que cumpliese la rentabilidad deseada y que

tuviese la menor varianza (estrictamente habría que hablar de covarianza) posible:


Figura 4. Resolución gráfica del modelo de Markowitz

El caso es que para esta representación gráfica, se puede considerar la frontera de

eficiencia según la siguiente ecuación lineal:

iM

m

fm

f

RRRR σ

σ×

−+=

Ecuación 15. Frontera de eficiencia en el modelo de Markowitz

El término σiM/σM de la Ecuación 15 se denomina con la letra β. Como el coeficiente

de correlación (ρ) es el ratio entre la covarianza (σiM) y el producto de las desviaciones

típicas, otra forma de expresar el coeficiente Beta (β) es del siguiente modo:

2M

MiiMi σ

σσρβ ××=

Ecuación 16. Coeficiente Beta

Así que, la rentabilidad esperada se puede expresar en función de Beta, bajo la

ecuación del conocido modelo Capital Asset Pricing Model:

)( fMfe RRRK −×+= β

Ecuación 17. Capital Asset Pricing Model


2.5.3 Opciones

Una opción es un derivado financiero, en tanto en cuanto a que es un producto

financiero cuyo valor se basa en el precio de otro activo financiero, que recibe el

nombre de subyacente.

Las opciones son contratos que se establecen entre dos partes: un comprador y un

vendedor. En estos contratos se establece un precio de ejercicio (en inglés strike) por el

que se tiene la opción de comprar (en inglés call) o vender (en inglés put) un producto

financiero. El comprador de la opción (en inglés long position) tiene el derecho, pero no

la obligación de ejercer el contrato, mientras que el vendedor (en inglés short position)

es una figura pasiva, puesto que ha de ejercer el contrato si así lo requiere el

comprador. Por ello, recibe a cambio una cantidad de dinero llamada prima o “valor de

la opción”.

Lógicamente, al comprador le interesará ejercer una call cuando el precio de ejercicio

al que compre sea menor que el precio del subyacente, mientras que le interesará

ejercer una put cuando el precio de ejercicio al que venda sea mayor que el precio del

subyacente.

Los dos párrafos anteriores se resumen en las siguientes figuras, en las que el eje de

abscisas representa el precio del subyacente (S) y el eje de ordenadas representa la

rentabilidad que se obtiene. Se denota el precio de ejercicio con la letra X:


Figura 5. Rentabilidades según el tipo de opción y la posición adquirida

La conclusión que se extrae de la figura anterior es que en las opciones financieras

simples, el comprador pierde como máximo la prima mientras que el vendedor gana

como máximo la prima, sin tener límite en la pérdida. En resumidas cuentas, las

opciones son instrumentos que mitigan o no el riesgo, según qué parte del contrato sea

la implicada. En el apartado 3.2 se observa que en las opciones reales puede haber un

límite para la pérdida, dada la asimetría existente. En el caso de las opciones

financieras también se puede poner límite a las pérdidas y a las ganancias, haciendo

uso de productos complejos como son los straddles (long call y long put con el mismo

precio de ejercicio) o los strangles, aunque estos productos no forman parte del objeto

de la Tesis.

Las opciones que sólo pueden ejercerse en la fecha de ejercicio reciben el nombre de

opciones europeas, mientras que aquéllas que pueden ejercerse en cualquier instante

desde la firma del contrato hasta una fecha límite de ejercicio se llaman opciones

americanas. Éstas aportan mayor flexibilidad para el comprador y, por tanto, el

vendedor recibe una prima mayor que si se tratase de una opción europea.

Cuando el precio del subyacente resultante es mayor (menor) que el precio de

ejercicio, se dice que la opción call (put) está In-the-Money. En caso contrario, la opción


está Out-of-the-Money. El umbral (precio del subyacente igual al precio de ejercicio) se

denomina At-the-Money. Se comentan más en detalle estos conceptos en el siguiente

apartado, concretamente en las conclusiones relacionadas con la Figura 7.

2.5.4 Métodos de valoración de opciones

Valorar una opción es calcular la prima que el comprador de la misma ha de pagar a

la hora de firmar el contrato.

Sería intuitivo pensar que, de ignorar que existe un tiempo entre la firma del

contrato y la fecha de ejercicio, para un precio esperado de subyacente S0, el valor

intrínseco de una opción sería el Máx(S0 – X;0) para el caso de una call ó el Máx(X –

S0;0) para el caso de una put.

No obstante, no se puede ignorar el riesgo, asociado a la vigencia temporal del

contrato, que asume el vendedor cuando acepta el precio de ejercicio, dado que el

precio final del subyacente S puede ser distinto del valor esperado S0 a fecha de firma

de contrato. Esta fluctuación recibe el nombre de valor temporal de la acción, y es el

verdadero objeto de los distintos métodos de valoración de opciones (puesto que el

cálculo del valor intrínseco es trivial).

Prima = Valor de la opción = Valor intrínseco + Valor temporal

Ecuación 18. Valor de una opción

De entre los diversos métodos existentes para la valoración de opciones, se pueden

considerar tres de ellos que son ampliamente conocidos: el método binomial, el empleo

de la ecuación de Black & Scholes y la simulación por Monte Carlo.

El método binomial y la ecuación de Black & Scholes son los métodos más

didácticos, por lo que en este capítulo 2.5 se comentan en detalle con objeto de centrar

la valoración de opciones. No obstante, en esta Tesis la valoración de opciones reales se

realiza mediante simulación por Monte Carlo, dado que es la más flexible a la hora de

valorar derivados complejos, como es el caso de las opciones sobre precios eléctricos.

La diferencia entre el método binomial y la ecuación de Black & Scholes radica en

que el método binomial es aplicable en todos los casos, pero exige un elevado número

de cálculos (es necesaria la programación por ordenador), mientras que el empleo de la


ecuación de Black & Scholes es relativamente simple, pero no se puede aplicar a la

totalidad de los casos (como sucede con algunas opciones americanas y opciones

compuestas, donde no se puede resolver numéricamente la ecuación diferencial en

derivadas parciales de Black & Scholes para las condiciones de contorno de la opción

en cuestión).

En la práctica se suele proceder del siguiente modo, según el tipo de opción a

valorar:

Pago de dividendos Tipo de opción Opción de venta

(put)

Opción de compra (call)

Opción europea Black & Scholes Black & Scholes Sin dividendos

Opción americana Binomial Binomial

Opción europea Binomial o Black &

Scholes corregida

Binomial o Black & Scholes

corregida Con dividendos

Opción americana Binomial Binomial

Tabla 1. Métodos de valoración según el tipo de opciones

Cabe mencionar que la ecuación de Black & Scholes siempre se puede usar para

valorar el “precio mínimo” que ha de tener una opción americana, dado que las

opciones americanas siempre tienen más valor que las europeas.

2.5.5 Valoración de opciones: modelo de Black & Scholes

En 1973, Fischer Black y Myron Scholes publicaron un trabajo titulado The pricing of

options and corporate liabilities, en donde plantearon su ecuación de valoración de

opciones. El desarrollo matemático del modelo sería posteriormente ampliado por

Robert C. Merton.

El modelo de Black & Scholes parte de las siguientes hipótesis:

� Los costes de transacción, las comisiones y los impuestos diferenciales no se

consideran.

� Se considera que puede tomarse dinero prestado e invertir en renta fija a un

mismo tipo de interés y sin restricciones.


� La tasa de interés sin riesgo es conocida y constante durante el intervalo de

tiempo que transcurre hasta la fecha de ejercicio de la opción.

� La venta a crédito de acciones, con uso completo del dinero procedente de la

venta, no tiene restricción alguna.

� Continuamente se pueden vender y comprar acciones.

� El movimiento del precio de la acción se considera que sigue un proceso de

difusión.

� La acción a la que hace referencia la opción de compra no paga dividendos.

Black y Scholes demostraron que, asumiendo las hipótesis arriba mencionadas, se

puede construir una cartera de valores (denominada cartera réplica) con acciones y

bonos (o tomando dinero prestado) de manera que el rendimiento (es decir, los flujos

de caja) de la misma sea exactamente igual que el rendimiento de una call en un

intervalo de tiempo muy corto. Haciendo cambios continuos en la composición de la

cartera réplica, es posible que ésta tenga un comportamiento idéntico al de la opción.

Por tanto el precio de la opción será en t = 0 igual al precio de dicha cartera réplica.

En resumidas cuentas, el valor de la opción y el precio de la acción dependen de la

misma fuente de incertidumbre, pero se puede construir una cartera réplica formada

por la acción y la opción para eliminar dicha incertidumbre. Esta cartera está libre de

riesgo y debe ganar la rentabilidad del activo libre de riesgo, lo cual conduce a la

ecuación de Black & Scholes.

Se deduce de las hipótesis que el precio del subyacente (s) sigue un movimiento

geométrico browniano, que es el mismo proceso que se estudia en el movimiento de los

gases. La ecuación del movimiento browniano es la siguiente:

tipificadanormalprobalidaddefunciónzddondezddtdts

ds =××+×= σµ

Ecuación 19. Movimiento browniano geométrico

En la ecuación anterior µ y σ son los parámetros de la distribución normal aleatoria

que se denota como zd , la cual representa junto con dt los incrementos de un


proceso de Wiener. Nótese que esta ecuación diferencial implica que el rendimiento del

subyacente se distribuye normalmente.

Aplicando el lema de Ito, que es una conocida ecuación del cálculo estocástico, y

combinando la expresión con el desarrollo matemático de la mencionada cartera

réplica, se obtiene la ecuación en derivadas parciales de Black & Scholes:

02

12

222 =×−

∂∂××+

∂∂×××+

∂∂

SrS

VSr

S

VS

t

V σ

Ecuación 20. Ecuación en derivadas parciales de Black & Scholes

En la ecuación anterior, V es el valor de la opción, S es el valor de la acción, r es la

tasa de interés libre de riesgo y σ es la volatilidad. De las muchas soluciones posibles

que tiene la ecuación diferencial, la solución particularizada para una opción de

compra europea es la denominada ecuación de Black & Scholes (la solución para una

opción de venta tiene una expresión similar, por lo que simplemente se comentan

opciones de compra a lo largo de este apartado):

tdd

t

trX

SLn

ddonde

dNeXdNSc tr

×−=×

×

++

=

××−×= ×−

σσ

σ

12

2

1

21

2

)()(

Ecuación 21. Ecuación de Black & Scholes para una opción europea de compra de una acción que no reparte

dividendos

Donde t es el tiempo hasta la fecha de ejercicio, y N(d1) y N(d2) representan las

correspondientes funciones de distribución particularizadas para d1 y d2 (es decir, la

probabilidad de que la variable que se comporta lognormalmente sea menor que d1 y

d2).

A partir de la Ecuación 21 se pueden extraer las siguientes conclusiones sobre la

sensibilidad del valor de las opciones de compra (para más detalle sobre

sensibilidades, ver apartado 2.5.6):


� Si el precio del activo subyacente (S) aumenta, el valor de la opción (c)

también lo hará.

� Si el precio de ejercicio (X) aumenta, el valor de la opción (c) descenderá.

� Cuanto mayor sea el tiempo hasta el vencimiento, mayor será el valor de la

opción (c).

� Cuanto mayor sea la volatilidad, mayor será el valor de la opción (c), puesto

que d1 crece más de lo que crece d2.

� Un aumento en el tipo de interés sin riesgo (r) produce un aumento del valor

de la opción (c).

Se ha deducido la ecuación de Black & Scholes que aplica a opciones europeas sobre

acciones que no pagan dividendos. En el caso de que las acciones den lugar a

dividendos (D), será necesario incluirlos en la valoración de la opción. Se incluyen

como una reducción del precio esperado (S0) de la acción:

( )∑×−×−=

j

tr

jjeDSS 0

Ecuación 22. Ajuste a la ecuación de Black & Scholes para acciones que pagan dividendos

Una vez se ha realizado esta reducción, basta con reemplazar el precio esperado

resultante en la ecuación de Black & Scholes. Análogamente, si se considera que las

acciones pagan dividendos continuos, la reducción del precio será la siguiente:

dividendoslosdeadrentabilidqdondeeSS tq =×= ×−0

Ecuación 23. Ajuste a la ecuación de Black & Scholes para acciones que pagan dividendos continuos

De tal modo que la ecuación de Black & Scholes para valorar opciones call que

pagan dividendos continuos queda del siguiente modo:


tdd

t

tqrX

SLn

ddonde

dNeXdNeSc trtq

×−=×

×

+−+

=

××−××= ×−×−

σσ

σ

12

20

1

210

2

)()(

Ecuación 24. Ecuación de Black & Scholes corregida para opciones de compra sobre acciones que pagan dividendos

continuos

Del mismo modo, se pueden valorar opciones europeas sobre índices, sobre divisas

y sobre futuros, considerando la rentabilidad por dividendos media, el tipo de interés

de la divisa o el tipo de interés libre de riesgo, respectivamente. Para el caso que ocupa

a la Tesis, que son las opciones sobre futuros de precios eléctricos, la ecuación de Black

& Scholes queda de la siguiente forma:

[ ]

tdd

t

tX

SLn

ddonde

edNXdNSc tr

×−=×

×

+

=

××−×= ×−

σσ

σ

12

20

1

210

2

)()(

Ecuación 25. Ecuación de Black & Scholes corregida para opciones de compra europeas sobre futuros

Intuitivamente, la Ecuación 25 se entiende del siguiente modo: el día en el que se

firma el contrato de la opción call para un precio X de un futuro eléctrico, el comprador

de dicha call ha de pagar el valor de la opción (c) al vendedor de la misma.

Considerando que el vendedor invirtiese la cantidad c en deuda del Estado libre de

riesgo, obtendría una rentabilidad r, de tal modo que en la fecha de ejercicio habría

acumulado la cantidad trec ×× (considerando que el tipo de interés r es compuesto

continuo). Por tanto, si el valor de dicho futuro a fecha de ejercicio fuera efectivamente

S0, el vendedor de la call tendría una pérdida de S0 – X, dado que estaría obligado a

vender por un precio de ejercicio X, menor que el precio S0 al que tendría que comprar.

Nótese que S0-X se corresponde con el valor intrínseco de la opción, por lo que N(d1) y

N(d2) se pueden considerar como factores correctivos que incluyen el valor temporal

de la misma. Por tanto, el vendedor de la call no perdería ni ganaría en el caso de que la


ganancia trec ×× fuese igual a la pérdida. Despejando c (e incluyendo los factores

correctivos mencionados dentro de la pérdida) se obtiene la Ecuación 25.

Nótese que en la Ecuación 25 se pueden extraer las mismas conclusiones que se

extrajeron en la Ecuación 21 sobre la sensibilidad del valor de la opción. Incluso se

cumple que a mayor tiempo hasta el vencimiento, mayor es c, pese a que tre ×− es

menor para tiempos t mayores (y en el caso de la Ecuación 25 multiplica también a S0).

Esto se debe a que N(d1) crece para t mayores, teniendo esto más impacto que lo que

decrece tre ×− .

La reflexión sobre la Ecuación 25 se puede resumir en que, a la hora de valorar una

opción, la prima c es tal que la rentabilidad esperada es nula. Esto no significa que el

comprador de la call no tenga expectativas de obtener una rentabilidad, puesto que

puede negociar pagar una cantidad menor a la prima c, siempre y cuando la

contraparte del contrato tenga unas expectativas diferentes sobre los parámetros que

influyen en el cálculo de la prima. El caso es que la prima c se calcula para el caso ideal

en el que el precio resultante final S sea igual a S0 más el efecto del valor temporal, lo

que se correspondería con el umbral de rentabilidad marcado en la siguiente figura:

Figura 6. Rentabilidad para un vendedor de una opción de compra (short call)


De la gráfica anterior, se extrae la siguiente conclusión: de no existir el valor

temporal de una opción, el umbral de rentabilidad se correspondería exactamente con

[S = S0], puesto que la opción sólo tendría valor intrínseco. Por ejemplo, para el caso

concreto de [S = S0 = X], la prima sería nula y el umbral de rentabilidad se produciría

en [S = X]. No obstante, el valor temporal da lugar a que, aún siendo [S = S0 = X], la

prima sea positiva, por lo que el umbral de rentabilidad se produce para [S = X +

“efecto” valor temporal]. Obsérvese esta idea en la siguiente gráfica, en la cual el eje de

abscisas sigue siendo S, pero el eje de ordenadas no es la rentabilidad para una

posición short call (como ocurre en la Figura 6), sino que es c (prima):

Figura 7. Valor de una opción de compra para distintos tiempos hasta fecha de vencimiento

Otras conclusiones que pueden obtenerse de la Figura 7 son las siguientes:

� Una opción tiene valor por el simple hecho de poseerla, independientemente

de que se ejerza o no.

� No es formalmente correcto considerar que la opción call está In-the-Money si

el precio del subyacente es mayor que el precio de ejercicio, ya que para

valores del subyacente inmediatamente superiores al precio de ejercicio el

comprador todavía no tiene una rentabilidad positiva, puesto que no es

suficiente para compensar la prima que ha pagado (se entiende que la

expresión In-the-Money afecta positivamente al comprador de una opción).

� Para un precio esperado del subyacente dado (S0), menor será el valor

temporal (y mayor será el valor intrínseco) cuanto menor sea el precio de


ejercicio considerado. Se demuestra que impacta más el descenso del valor

temporal que el aumento del valor intrínseco, por lo que al comprador de

una call le interesa que el precio de ejercicio sea lo más bajo posible dentro de

lo razonable (ver la explicación de la sonrisa de la volatilidad en el

apartado 2.5.7).

2.5.6 Valoración de opciones: sensibilidades

La sensibilidad es la medida del cambio de una variable antes variaciones de los

parámetros de los que dicha función es variable. A partir de la Ecuación 21, se

extrajeron con cierta facilidad algunas conclusiones sobre la sensibilidad del valor de

una opción call, pero siendo rigurosos, la cuantificación matemática de la sensibilidad

viene dada por la derivada parcial del valor de la opción con respecto a la variable en

cuestión, tal y como se describe a continuación.

La sensibilidad Delta es la derivada parcial del valor de la opción respecto del

precio de la acción. Tomando como referencia la Ecuación 21, se tiene que Delta es

igual a la función de distribución N(d1). Se trata de una sensibilidad especialmente

interesante por los siguientes motivos:

� Juega un importante papel en el cálculo matemático del valor de la cartera

réplica.

� Toma valores de 0 a 1 para las opciones call, de tal modo que la opción está

Out-of-the-Money para valores cercanos a 0 y está In-the-Money para valores

cercanos a 1. En el caso de las opciones put, toma valores de 0 a -1, de tal

modo que la opción está Out-of-the-Money para valores cercanos a 0 y está In-

the-Money para valores cercanos a -1.

Existen otras sensibilidades según la variable respecto de la que se haga la derivada

parcial. Si se deriva respecto del tiempo hasta la expiración, del precio de ejercicio o de

la volatilidad, se obtienen las sensibilidades Theta, Rho y Vega, respectivamente.

Asimismo, la sensibilidad Gamma es la derivada de Delta respecto del precio del

subyacente.


2.5.7 Volatilidad histórica y volatilidad implícita

Merece la pena hacer mención a la diferencia existente entre la volatilidad histórica

y la implícita, ya que son términos que aparecen frecuentemente en la literatura.

Se ha observado en el apartado anterior que el cálculo del valor de una opción a

través de la ecuación de Black & Scholes es relativamente fácil de realizar, puesto que

no requiere del uso de ordenadores si se tiene una calculadora y una tabla de funciones

de distribución de la normal tipificada. No obstante, es necesario determinar los

parámetros que se usan en la fórmula, los cuales (exceptuando a la volatilidad), son

conocidos (el precio del instrumento financiero subyacente, el tiempo hasta su

expiración, el precio de ejecución), o relativamente fáciles de estimar (dividendos a ser

pagados [en el caso de las acciones] y la tasa de interés sin riesgo).

Así que, en gran medida, la clave de las opciones radica en la volatilidad. Esto no

supondría problema alguno si el comportamiento de los mercados fuera ideal, es decir,

si los precios se comportasen lognormalmente (o, lo que es lo mismo, si el rendimiento

de los precios se comportase normalmente). En tal caso, la volatilidad también sería

conocida, puesto que sólo habría que aplicar los cálculos descritos en el apartado 2.2.3

y ya serían conocidos todos los parámetros de la ecuación. Esta volatilidad “ideal” se

denomina volatilidad histórica.

Sin embargo, la volatilidad ha de regir el comportamiento “real” de los precios, el

cual en ocasiones dista mucho del comportamiento “ideal”, por lo que si no se conoce

con precisión el comportamiento “real”, no se podrá determinar con exactitud su

volatilidad asociada. Esta volatilidad se denomina volatilidad real.

Los agentes del mercado son conscientes de este comportamiento “real”, por lo que

en base a sus expectativas acaban considerando otra volatilidad distinta de la

volatilidad histórica. Esta otra volatilidad se denomina volatilidad implícita, y

pretende acercarse a la volatilidad real más de lo que lo hace la volatilidad histórica.

Las expectativas de los inversores están influidas por diversos factores, relacionados

con problemas de liquidez, distorsiones en los precios, soportes y resistencias en los

subyacentes, miedos a caídas fuertes de precios en tiempos de crisis, etc. En el caso de

la Tesis, los factores son las distintas expectativas alcistas o bajistas que modelan las

curvas de futuro de los productos eléctricos, a saber: nivel de demanda esperado,


tendencias de precios de commodities y combustibles, hidraulicidad, indisponibilidades

fortuitas de centrales eléctricas, etc. Estos aspectos responden al llamado análisis

fundamental, el cual es necesario realizar en paralelo al análisis cuantitativo para

obtener las mejores previsiones posibles acerca del mercado eléctrico

A efectos prácticos, se comprueba que al introducir la volatilidad histórica en la

ecuación de Black & Scholes, el valor resultante queda lejano del valor al que se está

negociando la opción en los mercados. Estos son los casos en los que los mercados

están considerando una volatilidad implícita, diferente de la volatilidad histórica.

Por tanto, la volatilidad implícita no se calcula estadísticamente, sino que es inferida

del precio al que se está negociando la opción en el mercado. En la mayoría de los

casos, se usa la fórmula de Black & Scholes para valorar la opción, por lo que el cálculo

de la volatilidad implícita se hace mediante una iteración computacional, ya que no es

posible invertir dicha fórmula.

Dado que la estimación de la volatilidad implícita por parte de los agentes de

mercado no tiene que ser la misma en todos los casos, se forma una aparente

contradicción, que se conoce con el nombre de la sonrisa de la volatilidad. Consiste en

que, pese a que todas las opciones sobre un mismo activo deberían dar lugar a una

misma volatilidad implícita, la volatilidad implícita es inferior en las opciones At-the-

Money con respecto a las opciones In-the-Money y también con respecto a las opciones

Out-of-the-Money (dando lugar a una curva cóncava, es decir, con forma de sonrisa).

Esto se debe a que la compra y venta de opciones cumple la ley de la oferta y la

demanda, de tal modo que a mayor demanda, mayor será el precio. Es decir, el

comprador de una call busca un strike pequeño y el comprador de una put busca un

strike grande, por lo que lo menos demandado será un strike “mediano”, siendo la

prima que se pedirá mayor para el caso de un strike pequeño ó grande.

2.5.8 Valoración de opciones: método binomial

El método binomial de valoración de opciones fue desarrollado por J. Coss, S. Ross

y M. Rubinstein a finales de los 70. No se trata de un método que mejore a la ecuación

de Black & Scholes, pero tiene gran aplicación debido a lo intuitivo que resulta al poder

ser visualizado en un diagrama y a que se puede generalizar para distintos tipos de

opciones, sean europeas o americanas. A continuación se procede a detallar la técnica

para valorar una opción de compra europea sobre una acción (la explicación sería


similar para el caso de una opción de venta), partiendo del caso de un periodo, para

llegar al caso de n periodos.

Se denota por S al precio de la acción en la actualidad y se considera que éste

coincide con el precio de ejercicio de la call. Se establece como premisa que el precio de

la acción, cada vez que transcurre un periodo de tiempo, puede cambiar por un factor

multiplicativo U (ascendente) o por un factor multiplicativo D (descendente). Por

tanto, el valor intrínseco de la opción, transcurrido un periodo, será bien cu = Máx(SU –

S;0), bien cd = Máx(SD – S).

Si se consideran los factores multiplicativos U y D de un modo determinista, existe

una cartera compuesta por un número H de acciones y la venta de una opción de

compra sobre una única acción (al precio de ejercicio S) tal que la rentabilidad de dicha

cartera sea la misma tanto si el precio de la acción cambia por el factor D como si

cambia por el factor U. Es decir, se trata de una cartera libre de riesgo. La cantidad H se

denomina ratio de cobertura y responde a la siguiente ecuación:

( )DUS

ccHcSDHcSUHcajadeFlujo du

du −×−=⇒−×=−×=

Ecuación 26. Ratio de cobertura (método binomial)

Si se considera una inversión en una cartera compuesta por una cantidad H de

acciones y por una opción de compra (al precio de ejercicio S coincidente con el valor

de la opción en el momento) sobre una acción, esta inversión da lugar, pasado un

periodo, al flujo de caja de la Ecuación 26. Por tanto, se tienen las siguientes

expresiones:

riesgoadrentabilidlaesRdondeR

cajadeFlujoInversiónVAN

opciónladevalorelrepresentacdondecSHInversión

f

f

sin1+

−=

−×=

Ecuación 27. Cartera de arbitraje que elimina el riesgo en la inversión

Haciendo el VAN igual a cero, se podría despejar c de la ecuación anterior,

obteniendo el valor de la opción. No obstante, es preferible expresar c en función de la

probabilidad implícita, tal y como se describe más adelante. Cabe mencionar que se ha


considerado que los agentes actúan racionalmente en un mercado líquido, es decir, que

si el valor de la opción de compra fuese superior a c, el rendimiento que se obtendría

sería superior a Rf, por lo que el arbitraje daría lugar a que se vendieran muchas

opciones de compra y se compraran muchas acciones, con lo que al final el rendimiento

pasaría a ser Rf.

En el método binomial se define la probabilidad implícita p a que el precio cambie

por un factor multiplicativo U del siguiente modo:

DU

DRp

f

−−+

=1

Ecuación 28. Probabilidad implícita

Esta probabilidad es una mera definición, pero nada tiene que ver con la mayor o

menor aversión al riesgo que tenga un inversor. De hecho, p es neutral al riesgo, puesto

que se han considerado los cambios H y D como deterministas, por lo que se puede

establecer la mencionada cartera libre de riesgo. Asimismo, dado que sólo cabe la

posibilidad de que el precio cambie por un factor U o por un factor D, la probabilidad

de que el precio cambie por un factor multiplicativo D es 1-p. Esta conclusión se ve

mejor en la siguiente ecuación, que no es más que una reordenación de la Ecuación 28:

( ) ( )ff R

SDpSUpS

R

DpUp

+×−+×=⇔

+×−+×=

1

1

1

11

Ecuación 29. Hipótesis del método binomial: mundo neutral al riesgo

En la ecuación anterior se observa que el valor actual de los flujos de caja futuros

coincide con la inversión inicial S, si se descuentan con una tasa de interés libre de

riesgo.

Así que operando la Ecuación 27 y sustituyendo por la expresión de la probabilidad

implícita, queda que el valor de la opción de compra es el siguiente:

( )f

du

R

pcpcc

+−×+×=

1

1

Ecuación 30. Valor de una opción de compra europea para un periodo, según el método binomial


Si en vez de un periodo se consideran dos periodos, y se mantienen constantes los

factores multiplicativos U y D, se tiene la siguiente situación:

Figura 8. Reticulado binomial del activo subyacente y reticulado binomial de valoración (en el caso de dos periodos)

El reticulado binomial del activo subyacente se lee de izquierda a derecha, siendo el

valor del nodo izquierdo extremo el valor actual neto del activo subyacente. Sin

embargo, su reticulado de valoración asociado (el cual tiene exactamente el mismo

número de nodos y ramificaciones) sigue un proceso de cálculo inverso. Es decir, el

valor de la opción se realiza valorando los flujos de caja del nodo derecho extremo y

retrocediendo por inducción inversa hasta llegar al momento actual.

Así que se calculan los valores intrínsecos cuu, cud y cdd para el segundo periodo

computando el máximo entre cero y la diferencia del precio de la acción en el segundo

periodo y el strike S. Tenidos cuu, cud y cdd, se calculan cu y cd aplicando la Ecuación 30,

para finalmente obtener el valor c de la opción computando de nuevo la Ecuación 30

para cu y cd. El valor de la opción para el caso de dos periodos es superior al valor de la

misma para el caso de un periodo, tal y como se muestra en la Figura 7.

Si además se calcula el ratio de cobertura para los nudos c, cu y cd, se comprueba que

Hcd< Hc< Hcu, ya que a mayor ratio de cobertura más se encuentra la opción In-the-

Money. Es decir, el ratio de cobertura determina la exposición al riesgo.

Si se aplican conceptos relacionados con la combinatoria y con el triángulo de

Pascal, y se mantiene la premisa de que para cada nudo del árbol binomial el precio

puede cambiar por un factor U o por un factor D, se demuestra que el valor de una

opción europea para n periodos y un precio de ejercicio X (que ya no ha de coincidir


necesariamente con el precio de la acción S para el periodo inicial) tiene la siguiente

expresión:

( ) ( ) ( ) ( ){ }∑=

−−

−×−××−

×+

=n

k

knkknk

n

f

XDSUmáxppkkn

n

Rc

0

0;1!!

!

1

1

Ecuación 31. Valor de una opción de compra europea para n periodos, según el método binomial

Se considera que el valor de la opción c es más realista cuanto mayor sea el número

de subperiodos en el que se divide el tiempo. Un número aceptable de subperiodos

sería mayor de 30, lo cual hace la computación imprescindible para el cálculo.

Asimismo, si se desea pasar de una distribución binomial a una distribución lognormal

por la que se rijan los precios, basta con considerar la desviación típica σ constante,

siendo los factores multiplicativos y la probabilidad implícita los siguientes:

DU

Dtn

R

pU

DeU

f

n

t

−

−×+===

× 1&

1&

σ

Ecuación 32. Factores multiplicativos y probabilidad implícita al pasar del método binomial a la distribución

lognormal

Donde t es el tiempo hasta el vencimiento medido en años, n es el número de

subperiodos en que dividimos dicho tiempo y Rf es tasa de interés sin riesgo anual.

3 Opciones reales

3 Opciones reales 43

3 Opciones reales

3.1 Introducción

El método de las opciones reales es una extensión de los métodos de valoración de

opciones financieras aplicado a la inversión en capital. Es decir, el activo subyacente es

un activo físico “real”. Las opciones reales están relacionadas con el concepto de

intangibles de un proyecto, en tanto en cuanto a que algunos de estos intangibles

pueden trasladarse a un ámbito en el que pueden abordarse de un modo tangible. La

premisa es la siguiente: la valoración de inversiones en activos reales se asemeja a la

valoración de opciones financieras, en tanto en cuanto a que una inversión puede ser

considerada como una opción call “real”, ya que una inversión implica el derecho, pero

no la obligación, de adquirir un activo pagando ciertas cantidades de dinero en

momentos determinados (ver apartado 3.2).

No obstante, el estudio de las opciones reales y de su aplicación en la valoración de

inversiones sobre activos físicos es una técnica relativamente novedosa y muchas

empresas no están familiarizadas con la misma. De hecho, los primeros estudios

basados en opciones reales no aparecieron hasta mediados de los años 80, y todavía

sigue siendo mayoritario el uso del criterio del valor actual neto a la hora de valorar

inversiones en activos reales.

El método tradicional del valor actual neto tiene las siguientes limitaciones:

� Es determinista: no aporta información sobre la distribución de

probabilidad que mide el riesgo derivado de la vida útil del proyecto y de

las variaciones de apalancamiento operativo de la empresa.

� Es estático: sólo considera la posibilidad de invertir o no invertir en el

momento preciso en el que se realiza el análisis. Por tanto, se está ignorando

que la empresa, al gestionar el riesgo, puede alterar los flujos de caja

considerados al ir adaptando la gestión ante las condiciones cambiantes del

mercado a lo largo de la vida del proyecto.

� El resultado de los flujos de caja descontados presenta una sensibilidad

grande ante cambios en el WACC con el que se descuentan los flujos de caja,


siendo además este coste de capital complejo de calcular (ver

apartado 2.5.1). Sin embargo, esta sensibilidad ante la gran variabilidad de

precios a lo largo de toda la vida del proyecto, no se contempla

adecuadamente, ya que a la hora de calcular el VAN se eligen unos pocos de

los muchos caminos posibles.

� Los VAN de los proyectos se consideran aditivos, lo cual no es cierto dado

que existen activos intangibles relacionados con la flexibilidad operativa y

con las sinergias resultantes de la interacción entre proyectos.

Las opciones reales tratan de solventar estas desventajas que presentan los métodos

de valoración tradicionales, debido a que:

� Las opciones reales contemplan que la empresa puede incrementar el valor

actual de los cobros futuros esperados, bien sea aumentando el precio de los

productos o servicios y/o el nivel de producción, bien sea generando

oportunidades de negocio secuenciales (opciones compuestas, en las que

cada opción depende del ejercicio de otra, es decir, una opción de desarrollo

no se puede tomar si no se ha ejercido la opción de explotación, o una

opción de producción no se puede tomar si no se ha ejercido la opción de

desarrollo).

� También consideran que se puede reducir el valor actual de los pagos

futuros esperados, aumentando las economías de escala (el coste unitario

desciende para mayores niveles de producción) y/o las economías de

alcance (usar los mismos costes para realizar dos actividades diferentes).

� Incluso, contemplan que la empresa puede aumentar el valor

incrementando la incertidumbre de los flujos de caja esperados, para

obtener nueva información y/o aumentar los precios que cobren a sus

clientes cuando éstos así lo demanden por causa de dicha incertidumbre.

Es decir, el método de valoración tradicional basado en la técnica de flujos de caja

descontados es correcto (y por ello se usa desde hace décadas), pero no considera el

valor de la flexibilidad en la estrategia empresarial. Por esta razón, en los últimos años

se han empezado a considerar aspectos relacionados con las opciones posibles a la hora

de invertir:


� Retrasar la inversión: opción que otorga el derecho de posponer la inversión

durante un tiempo determinado. Se obtiene un valor añadido, derivado de

obtener más información y de reducirse la incertidumbre, a cambio de un

coste derivado de posponer el proyecto. Esta opción tiene más valor para

aquellas empresas que tengan derechos exclusivos (patentes, por ejemplo)

para invertir, e irá perdiendo valor conforme disminuyan las barreras de

entrada.

� Invertir/ampliar: opción que otorga el derecho de ampliar la inversión e

intercambiar procesos y productos ante un cambio favorable en el precio del

subyacente o en la demanda de procesos y productos, respectivamente. El

hecho de tantear el mercado, ampliando posteriormente la inversión si las

condiciones son favorables, conlleva un coste adicional.

� Desinvertir/reducir: opción que otorga el derecho de renunciar a parte de la

inversión (a cambio de un ahorro de costes) y de adaptarse a una estructura

de costes más liviana y flexible (ante un cambio adverso en la demanda).

Incluso, si es oportuno, otorga el derecho temporal o definitivo de

abandonar un proyecto, liquidando su valor residual.

Podría discutirse si es posible solventar las limitaciones del método de flujos de caja

descontados sin necesidad de acudir a las opciones reales. Por ejemplo, realizando

análisis de sensibilidad que mejoren la información que proporciona el VAN, o

calculándose nuevos VAN a medida que se avanza en el proyecto. La respuesta es que

los análisis de sensibilidad no son del todo realistas, ya que parten de supuestos acerca

de futuras contingencias (evaluando las consecuencias), en vez de incorporar en un

modelo las contingencias que realmente se esperan e ir evaluando las consecuencias a

medida que éstas se desarrollan. En cuanto a la posibilidad de calcular de nuevos VAN,

no es aconsejable, ya que puede ser tarde para tomar decisiones si el proyecto está

avanzado cuando se calculan los mismos.

Por consiguiente, se podría considerar que la técnica de las opciones reales no

sustituye a los métodos de valoración tradicionales, sino que más bien los amplia,

puesto que modeliza la incertidumbre para poder dar respuesta simultáneamente a

dos interrogantes: cuál es la mejor decisión de inversión y cuándo es el mejor momento

para hacerla. En otras palabras, las opciones reales no ignoran el coste de oportunidad


derivado de realizar la inversión en el preciso momento del análisis, renunciando a las

otras opciones (expansión, abandono y demora) mencionadas anteriormente. No hay

más que observar el caso de algunas empresas que en los últimos años se han

adjudicado concursos de explotación porque realizaban la mejor oferta, ya que tenían

más confianza que otras empresas gracias a haber considerado las opciones reales del

proyecto. De ahí que las empresas que aplican el método de las opciones reales sean

reticentes a divulgar su know-how, ya que temen perder esa ventaja competitiva.

Así que podría considerarse el valor actual neto “total” del siguiente modo:

( )implícitasopcionesVAVANVAN ltradicionatotal +=

Ecuación 33. Valor actual neto total

Se pueden extraer las siguientes conclusiones a partir de la Ecuación 33:

� Las opciones reales aportan mayor valor añadido cuanto mayor sea la

incertidumbre (desviación típica) del proyecto, puesto que en ese caso cabe

esperar valores muy grandes o muy pequeños del valor actual de las

opciones implícitas. Nótese que el VANtradicional se corresponde con el valor

medio de la distribución lognormal que considera la incertidumbre

inherente al proyecto.

� Las opciones reales son especialmente interesantes para proyectos que se

encuentren próximos al umbral de rentabilidad, es decir, aquellos proyectos

en los que el VANtradicional sea cercano a cero (si fuese mucho mayor o mucho

menor que cero sería indiscutible invertir o no invertir, respectivamente, por

lo que no haría falta dedicar tiempo a calcular el valor que aporta el método

de las opciones reales).

3.2 Relación entre las opciones reales y las opciones financieras

La posibilidad de realizar una inversión implica el derecho, pero no la obligación,

de adquirir un activo pagando ciertas cantidades de dinero en momentos

determinados. Se observa que esta definición de inversión es precisamente la

definición de una opción de compra (call). En la siguiente tabla se muestran las

analogías para las distintas variables de una opción de compra:


Variable Opción de compra financiera Opción de compra real

S Precio del activo financiero (valor actual

de los flujos de caja que genere el mismo)

Valor actual de los flujos de caja

que genere el activo real

X Precio de ejercicio al que se tiene derecho a

adquirir el activo financiero

Coste del proyecto de inversión

t Tiempo hasta el vencimiento de la call Tiempo que se puede demorar la

decisión de realizar la inversión

σ2 Varianza de los rendimientos del activo

subyacente

Riesgo de variación del valor

actual de los flujos de caja

rf Tasa de interés sin riesgo Tasa de descuento

D Dividendos del activo subyacente Flujos de caja a los que se

renuncia mientras se demora la

inversión

Tabla 2. Relación entre las opciones reales y las opciones financieras

Las conclusiones que se extrajeron de la Ecuación 21 en cuanto a la sensibilidad de

la opción son aplicables al caso de opciones reales en vista de la analogía presentada en

la tabla anterior.

Por ejemplo, para tiempos t mayores de demora de una inversión, el valor de la

opción es mayor, ya que la empresa puede examinar la tendencia de los

acontecimientos futuros, de forma que tiene más posibilidades de aumentar la

rentabilidad del proyecto o, por el contrario, de renunciar al proyecto para evitar una

pérdida innecesaria.

Por otro lado, para mayores riesgos asociados al proyecto, más valiosa es la opción

de demorarlo, debido a la asimetría existente entre pérdidas y ganancias. Es decir, si

una mayor volatilidad σ da lugar a unos flujos de caja mayores, bien venidos sean. No

obstante, el aumento del riesgo de un proyecto puede da lugar a coeficientes Beta

mayores (ver Ecuación 16), siendo Ke mayor, el correspondiente WACC mayor y, por

consiguiente, el VANtradicional menor. Por ello, habrá casos en los que el aumento del

VA(opciones implícitas) supere al descenso del VANtradicional, pero existirán otros casos

en los que ocurra lo contrario. Por tanto, el valor de la opción de demorar la inversión

refleja exactamente la necesidad de esperar “todo lo que se pueda” (mientras el


aumento del VA(opciones implícitas) supere al descenso del VANtradicional) antes de

proceder a realizar el proyecto.

Si, por el contrario, los flujos de caja son menores, entonces simplemente no se

ejercerá la opción de inversión para poder acotar las pérdidas. Por tanto, se considera

que las posibles ganancias son asimétricas con respecto a las posibles pérdidas. Estas

ideas se muestran en la siguiente figura:

Figura 9. Asimetría entre ganancias y pérdidas al ejercer opciones reales

No obstante, no debe olvidarse que las analogías entre opciones financieras y reales

no son exactas. El precio de ejercicio es fijo en una opción financiera, mientras que su

análogo en las opciones reales (el coste de inversión) puede ser volátil, fluctuando con

las condiciones del mercado, los precios de las empresas de servicios y la

disponibilidad de los equipos. La incertidumbre en una opción financiera es externa

(exógena), mientras que una opción real puede afectar a su propia volatilidad. Y el

tomador de una opción financiera tiene la garantía de que la opción puede mantenerse

hasta la fecha de vencimiento, lo cual no ocurre con las opciones reales.


En el siguiente apartado se describen los aspectos particulares que se han

considerado en la Tesis a la hora de valorar los activos eléctricos por el método de las

opciones reales.

3.3 Consideraciones previas para aplicar la teoría de valoración de activos

financieros a modelos de valoración de activos reales del sector eléctrico

Por un lado, la valoración de opciones reales se realiza mediante métodos

financieros que consideran variables estocásticas exógenas, es decir, se representa una

tendencia de precios de tal modo que no se puede influir en el comportamiento de los

mismos. Por lo tanto, un error podría derivarse del uso de estas variables estocásticas

exógenas, ya que las opciones reales de una cartera de activos eléctricos y su estrategia

conjunta, pueden llegar a impactar en el entorno de la inversión, tal y como se comenta

en el apartado 3.2. No obstante, en la Tesis se considera la valoración de activos de

forma aislada sin que otros activos puedan influir en el resultado final.

Por otro lado, las valoraciones realizadas en la Tesis se centran en tecnologías

eléctricas que tienen suficiente opcionalidad. Tal y como se ha comentado en anteriores

capítulos, las opciones reales valoran la rentabilidad de una inversión y determinan

cuál es el la forma óptima para realizar dicha inversión. Es decir, cuanto mayor sea la

incertidumbre del proyecto, mayor valor añadido otorgará el método de las opciones

reales frente al método tradicional de flujos de caja descontados (ver Ecuación 33). Por

ejemplo, la valoración de la opción de inversión en una central nuclear tiene poca

opcionalidad (es decir, poco valor temporal, lo cual no significa que la inversión en una

central nuclear no conlleve un alto riesgo), por lo que no sería especialmente

interesante realizar dicha valoración por el método de opciones. Sin embargo, la

valoración de la inversión en un ciclo combinado, en una central de carbón, en una

central de carbón con CCS o en una planta de cogeneración, tiene un valor temporal

mayor que una central nuclear, por lo que en estos casos resulta más interesante

realizar la valoración mediante el método de las opciones reales (ver capítulo 5).

Asimismo, se pueden cometer errores graves de simplificación cuando se realiza la

analogía entre activos reales y activos financieros. Aquéllos conllevan restricciones

técnicas que, en el caso de la Tesis, están asociadas con las limitaciones en el

almacenamiento y el transporte de la energía. Ambas limitaciones, junto con el hecho

de que los activos reales no se negocian tan activamente en el mercado conllevan que el


arbitraje no pueda unificar el precio de las opciones reales y de su cartera réplica

asociada con la misma agilidad que en el caso de los activos financieros (ver el

apartado 2.5.8). En la Tesis se hace uso de los productos futuros de los mercados a

plazo para estimar a partir de ellos escenarios de spreads eléctricos horarios, los cuales

se van modificando (en base a una reversión a la media respecto de los futuros

eléctricos del mercado en cuestión) a medida que se recorre el alcance temporal. De

este modo no se sobrevalora la opción, tal y como sucedería en el caso de optimizar el

funcionamiento para un abanico de sendas de precios según un movimiento

browniano de los rendimientos, ya que dichas sendas tenderían a ir abriéndose a

medida que transcurre el tiempo, en vez de revertir continuamente a la esperanza.

Por último, al valorar activos financieros se considera el ejercicio de la opción como

instantáneo, lo cual es un supuesto aceptable en el caso de las opciones financieras,

pero no lo es así en muchas opciones reales, ya que los desembolsos y las operaciones

necesarias pueden llevar varios años. Aunque esto es así en algunos casos, las opciones

reales consideradas en esta Tesis gozan de una flexibilidad suficiente para responder a

la incertidumbre futura, bien porque se ha simplificado la inversión a un único

desembolso inicial, o bien porque se ha considerado un tolling de una central eléctrica,

que es un contrato de alquiler en vez de una inversión propiamente dicha, por el que

una parte recibe el precio eléctrico (asumiendo el riesgo de mercado) y realiza, a

cambio, un pago que consiste en una fórmula indexada a diversas commodities (que

replica los costes de combustible de la central de cogeneración que paga la contraparte)

más una prima negociada previamente a la firma del contrato (que es necesario

valorar, tal y como se indica en el apartado 5.7).

4 Valoración de la inversión en una

central eléctrica mediante

opciones reales

4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante opciones reales 52

4 Valoración de la inversión en una central eléctrica mediante

opciones reales

4.1 Descripción general del modelo de valoración de la inversión en una central

eléctrica mediante opciones reales

El modelo de la Tesis consiste en una herramienta que optimiza la explotación de

una central eléctrica a lo largo de un alcance temporal dividido en periodos horarios,

en base a unas simulaciones de margen eléctrico y a unas restricciones técnicas de la

central.

En primer lugar, la herramienta modela el margen eléctrico (en inglés, spread) de la

central, que es la diferencia entre los precios del mercado donde se pone en marcha

dicha central y los costes variables de la misma. Por un lado, se modelan sendas de

precios del mercado eléctrico y, por otro lado, se modelan costes de generación

correlados con las sendas de precios proyectadas. La herramienta consiste en un

modelo de reversión a la media, en el entorno de Excel y Visual Basic for Applications

(VBA). En la literatura existen modelos de reversión a la media del spread eléctrico,

como es el caso de la referencia bibliográfica FLEX07 (capítulo 7 del presente

documento).

Posteriormente, las simulaciones del spread generadas previamente se introducen en

un modelo unit commitment desarrollado en el entorno de GAMS y, considerando

algunas características técnicas, se optimiza el funcionamiento de la central (y,

consecuentemente, su margen bruto). La decisión de explotación se basa en la

esperanza del comportamiento de la reversión a la media, la cual se va actualizando a

medida que se recorre el alcance temporal. Tal y como se ha comentado en el

apartado 3.3, si no se realizase esta actualización, sino que simplemente se optimizase

el margen bruto para un número N de sendas de spreads eléctricos, se obtendría un

valor mayor del que realmente tiene la opción.

Finalmente, se introduce la distribución de márgenes brutos de la central en un plan

de negocio, donde se incluyen los costes fijos, hallándose la rentabilidad de la inversión

y valorándose la opcionalidad de la tecnología eléctrica en cuestión.


La simulación de precios y futuros está basada en tres módulos secuenciales:

I. Módulo mensual � se realizan simulaciones de series temporales que constan

de dos componentes: una componente aleatoria, basada en una reversión a la

media de las cotizaciones mensuales medias de productos eléctricos de

mercados a plazo, y una componente estacional, de tal modo que el promedio

de las simulaciones coincide con la esperanza observada a fecha de valoración

en las curvas de futuro de los mercados.

II. Módulo diario � se realizan simulaciones de series temporales que constan de

dos componentes: una componente aleatoria, basada en un autorregresivo de

los ratios entre las cotizaciones diarias de productos de mercados a plazo y las

medias mensuales de los mismos, y una componente estacional, de tal modo

que en cada simulación el promedio de los ratios para cada mes es igual a 1.

Los residuos de las simulaciones están correlados entre sí, según la correlación

de los datos históricos, mediante un proceso de Monte Carlo.

III. Módulo horario � tenidas un número N de simulaciones del módulo mensual

y un número N de simulaciones del módulo diario, se multiplican entre sí,

obteniendo para cada día del alcance temporal N simulaciones de cada uno de

los productos futuros considerados. A dichos productos futuros se les aplica

una componente estacional, mediante unos perfiles horarios que se han

obtenido en base a un clustering (agrupación según niveles significativos de

mes, tipo de día y hora) de cotizaciones históricas del mercado spot.

Por tanto, se puede considerar que la Tesis presenta un algoritmo de simulación de

precios y futuros que se compone de tres etapas secuenciales de mayor a menor

granularidad hasta alcanzar precios con detalle horario, acorde a las particularidades

de la mayoría de los mercados europeos.

El modelo unit commitment de optimización de la explotación de la central realiza el

siguiente proceso:

A medida que se avanza de forma discreta en el tiempo, se simulan nuevos futuros

de electricidad y de combustibles que sirven para prever spreads y se optimiza el

funcionamiento de la central según las restricciones técnicas consideradas. Cada vez

que se actualizan los futuros, se optimiza el funcionamiento para el tiempo restante de


lo que queda del alcance temporal, a la par que se guarda registro del funcionamiento

resultante entre el instante de tiempo en el que se realizó la reversión anterior y el

instante de tiempo de la reversión actual. En la siguiente figura se muestra este

proceso:

Figura 10. Diagrama del modelo de valoración basado en la técnica de opciones reales

Cabría preguntarse por qué es necesario simular todo el alcance temporal si se va

guardando registro del funcionamiento resultante que se ha dejado aguas arriba y, al

fin y al cabo, los futuros van cambiando según se avanza. La razón estriba en que el

funcionamiento de una central puede verse influido no sólo por las expectativas de

precio a corto plazo, sino también por las condiciones de contorno que establece el

medio y largo plazo. Por ejemplo, en el caso de un ciclo combinado sujeto a un contrato

take-or-pay, puede interesar, si las expectativas de precio son suficientemente alcistas,

“guardar” el gas para quemarlo más adelante si existe la posibilidad de asociarlo a un

contrato de almacenamiento de gas. Para más detalle al respecto, ver el apartado 4.3.

En resumidas cuentas, el modelo (basado en la técnica de opciones reales) integra

una optimización del funcionamiento de la central que se va retroalimentando (a

medida que se avanza en el alcance temporal) y tomando decisiones de acuerdo a una

reversión a la media de precios y futuros que guardan (mediante un proceso de Monte

Carlo) información de la volatilidad y la correlación de cotizaciones históricas de

productos futuros.

En el apartado 4.3 se describe el modelo de reversión a la media de los precios, en el

apartado 4.4 se detalla el modelo unit commitment de optimización de la explotación de


la central eléctrica, y en el apartado 4.5 se comenta el plan de negocio. Previamente, en

el apartado 4.2, se detalla cómo se avanza en el alcance temporal.

4.2 Detalle de cómo se avanza en el alcance temporal

El horizonte temporal se define como el tiempo que transcurre entre el momento en

el que se realiza una valoración y el momento en el que da comienzo dicha valoración,

mientras que el alcance temporal se define como el periodo en el que se valora la

inversión. A lo largo de este capítulo se hará siempre mención al alcance temporal de la

inversión, dando por hecho que el modelo siempre se actualiza (tal y como se describe

en el apartado 4.3.2) hasta el día en el que se corre el mismo, por lo que el horizonte

temporal será nulo. Si la inversión que se valora no tiene un horizonte temporal nulo,

basta con ignorar la valoración realizada hasta la fecha en la que realmente da

comienzo la inversión (ver apartado 4.2). A continuación, se comenta un caso concreto

que muestra esta idea:

Considérese que se valora una inversión a fecha de 12 de mayo de 2010 para un

alcance temporal que transcurre desde octubre de 2010 hasta noviembre de 2027, y que

se han considerado las cotizaciones de los siguientes productos futuros: M+0, M+1,

M+2, Q+1, Q+2, Q+3 e Y+1. Dado que el producto futuro de mayor plazo es el Y+1,

que es el precio medio esperado para el año siguiente a la fecha en la que se cotiza

dicho producto (para más información acerca de futuros de precios eléctricos, ver los

apartados 4.3.5 y 4.3.6), el modelo optimizará el funcionamiento de la central para el

horizonte temporal que transcurre desde el 12 de mayo de 2010 hasta el 31 de

diciembre de 2028, aunque posteriormente sólo se considerará el resultado que abarca

el alcance temporal (desde octubre de 2010 hasta noviembre de 2027).

El modo de proceder consiste en avanzar, día a día o en saltos de un número

determinado de días, valorando (cada vez que se da un salto) la explotación durante

los meses correspondientes, que abarcan hasta el Y+1 del día en cuestión. Este proceso

se repite para cada simulación.

Habiendo actualizado la herramienta para que integre las cotizaciones históricas de

futuros hasta el 12 de mayo de 2010, el modelo se situará en el 12 de mayo de 2010 y

proyectará una tendencia de precios a futuro que llegarán hasta el Y+1 que se observa

el 12 mayo de 2010, es decir, llegarán hasta diciembre de 2011. Por tanto, se optimizará


a través del modelo unit commitment el funcionamiento de la central en las horas que

transcurren desde el 12 de mayo de 2010 hasta el 31 de diciembre de 2011. En la

siguiente figura se muestra la tendencia de precios proyectada (sólo para 4 días) a

partir del 12 de mayo:

Figura 11. Senda de precios horarios esperados a partir del 12 de mayo de 2010

Considérese que se actualiza la reversión a la media cada día. En tal caso, el modelo

avanzará al 13 de mayo de 2010 y se proyectará una nueva senda de precios horarios

hasta el 31 de diciembre de 2011. Por un lado, se guardará registro tan sólo del

funcionamiento de la central en las horas correspondientes al avance realizado, que en

este caso se corresponden con las 24 horas del 12 de mayo de 2010. Por otro lado, se

optimizará de nuevo el funcionamiento de la central para la senda de precios del 13 de

mayo de 2010. En la siguiente figura se muestra en gris la senda de precios proyectada

el 12 de mayo de 2010 y en verde la nueva senda de precios, fruto de la reversión a la

media realizada el 13 de mayo:

Figura 12. Reversión a la media de los precios esperados el 13 de mayo de 2010

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

12-5

-10 0

:00

12-5

-10 4

:00

12-5

-10 8

:00

12-5

-10 1

2:00

12-5

-10 1

6:00

12-5

-10 2

0:00

13-5

-10 0

:00

13-5

-10 4

:00

13-5

-10 8

:00

13-5

-10 1

2:00

13-5

-10 1

6:00

13-5

-10 2

0:00

14-5

-10 0

:00

14-5

-10 4

:00

14-5

-10 8

:00

14-5

-10 1

2:00

14-5

-10 1

6:00

14-5

-10 2

0:00

15-5

-10 0

:00

15-5

-10 4

:00

15-5

-10 8

:00

15-5

-10 1

2:00

15-5

-10 1

6:00

15-5

-10 2

0:00

16-5

-10 0

:00

€/M

Wh

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

12-5

-10 0

:00

12-5

-10 4

:00

12-5

-10 8

:00

12-5

-10 1

2:00

12-5

-10 1

6:00

12-5

-10 2

0:00

13-5

-10 0

:00

13-5

-10 4

:00

13-5

-10 8

:00

13-5

-10 1

2:00

13-5

-10 1

6:00

13-5

-10 2

0:00

14-5

-10 0

:00

14-5

-10 4

:00

14-5

-10 8

:00

14-5

-10 1

2:00

14-5

-10 1

6:00

14-5

-10 2

0:00

15-5

-10 0

:00

15-5

-10 4

:00

15-5

-10 8

:00

15-5

-10 1

2:00

15-5

-10 1

6:00

15-5

-10 2

0:00

16-5

-10 0

:00

€/m

wH


Se puede proseguir sucesivamente, avanzando día a día, hasta recorrer todo el

alcance temporal. La última reversión a la media se realizaría para el 30 de noviembre

de 2027, en donde se proyectarían precios horarios hasta el 31 de diciembre de 2028

(que se corresponde con el último día del Y+1 del 30 de noviembre de 2017), para

posteriormente optimizar el funcionamiento de la central en las horas que transcurren

del 30 de noviembre de 2017 al 31 de diciembre de 2028, aunque sólo se guardaría

registro del funcionamiento en las 24 horas del 30 de noviembre de 2011, ya que es el

último día considerado en el avance temporal.

Cabe comentar que la técnica de las opciones reales va perdiendo relevancia a

medida que aumenta el alcance temporal, dado que existen menos referencias de

mercado o éstas son menos líquidas. Por tanto, los análisis cuantitativos del modelo

han de ser complementados con análisis más fundamentales sobre factores regulatorios

y/o macroeconómicos.

� NOTA: una ampliación de los modelos basados en opciones reales es integrar la

ocurrencia de sucesos discretos relacionados con el análisis fundamental del sector (por

ejemplo, impulso masivo o no de nueva potencia renovable, mantenimiento o no de la

potencia nuclear instalada) que puede ponderarse (% ocurrencia) e integrarse en el sorteo

de casos, reflejando su impacto en la distribución de retornos.

4.3 Modelo de simulación de cotizaciones de precios y productos futuros

4.3.1 Introducción

Tal y como se adelanta en el apartado 4.1, el modelo de simulación de precios consta

de tres módulos: módulo mensual, módulo diario y módulo horario.

En el módulo I (módulo mensual), se utiliza un modelo de reversión a la media,

para la simulación de cotizaciones medias mensuales de los productos futuros. En el

módulo II (módulo diario), se analizan las diferencias entre las cotizaciones diarias y

las medias mensuales. Para este análisis se recurre a un modelo autorregresivo que

integra información de la volatilidad y la correlación histórica de los elementos

considerados mediante un proceso de Monte Carlo. Tal y como se explica más adelante

en el apartado 4.3.7, no es posible simular directamente, mediante una reversión a la

media, los productos futuros diariamente porque hay un salto cualitativo al cambiar de


mes que distorsionaría el cálculo de los parámetros con los que se realiza dicha

reversión a la media

Los resultados obtenidos en ambos módulos se combinan, dando lugar a una

reversión a la media de simulaciones diarias de productos futuros. En el módulo III

(módulo horario) se procede a perfilar, para cada día, dichos productos en precios

horarios, en base a unos perfiles obtenidos mediante un clustering (agrupación de

precios según el mes, la hora y el tipo de día) que contiene información histórica del

mercado spot del país donde se realiza la inversión.

4.3.2 Datos de entrada

Tal y como se comenta en el apartado 4.1, se presupone que el modelo se actualiza

antes de correrlo con las últimas cotizaciones existentes de productos eléctricos de

mercados a plazo. Los pasos a seguir para actualizar las cotizaciones de la herramienta

son los siguientes:

i) Se introducen las cotizaciones diarias de productos futuros hasta la fecha. En

el modelo se han considerado productos de carácter mensual (M+0, M+1 y

M+2), trimestral (Q+1, Q+2 y Q+3) y anual (Y+1). Las cotizaciones se

etiquetan con el año y el mes del día al que pertenecen, filtrándose aquellos

días en los que no hubo cotización.

ii) Se introducen los precios horarios del mercado spot hasta la fecha y la media

diaria de los mismos. Dado que los fines de semana no hay cotizaciones de

productos futuros, se filtran las medias diarias de los precios horarios en fin

de semana, de cara a poder darles a éstas un tratamiento producto de

mercado a plazo (entendido como un producto M+0). La finalidad consiste

en obtener un vector de datos del mismo tamaño que los vectores de datos

del paso i). De este modo, se pueden integrar los datos en una matriz, a

partir de la cual se realizan medidas estadísticas que extraigan las

volatilidades y las correlaciones históricas. El hecho de no tener en cuenta las

medias de los fines de semana no impacta a posteriori, ya que la esperanza a

la que se corrigen las simulaciones del M+0 es la media mensual histórica, la

cual considera todos los días del mes.


iii) Se calcula el logaritmo neperiano (es decir, se transforma la serie temporal,

tal y como se describe en el apartado 2.4.1) de las medias mensuales

históricas de los productos futuros, los cuales han sido previamente filtrados

en los pasos i) y ii). Estos logaritmos neperianos se expresan gráficamente

para poder filtrar por observación aquellos outlayers (en español, valores

atípicos) que se observen a simple vista.

iv) Se calcula el logaritmo neperiano de los unitarios diarios, los cuales son las

cotizaciones diarias de los productos futuros divididas entre las medias

mensuales correspondientes. En este caso los outlayers pueden tener mayor

impacto que en el caso de las medias mensuales, por lo que en vez de

expresar gráficamente los logaritmos neperianos para filtrarlos por pura

observación, se procede a filtrar mediante el siguiente algoritmo matemático:

todos aquellos valores que se alejen de la media por encima (o por debajo)

de un cierto factor f de la desviación típica, a elegir por el usuario de la

herramienta, se filtran para que tomen el valor de la media más (o menos) el

factor de la desviación típica. La fórmula que realiza este filtro para valores

que se encuentren por encima de la media es la siguiente (la fórmula es

análoga para filtrar valores por debajo de la media):

[ ]

=

×−×>−

imensual

idiaria

i

innnin

x

xLnadonde

aaadesvestfaamediaaadesvestfaaamediasi );,...,(),...,();,...,(),...,( 1111

Ecuación 34. Filtro de outlayers por encima de la media en el cálculo de los unitarios diarios de productos futuros

Si no se filtrasen estos elementos atípicos, la reversión a la media saldría muy

desvirtuada. A continuación se muestra una figura en la que se filtran todos los valores

que quedan por encima o por debajo de la media más (menos) un factor igual a 2 sobre

la desviación típica (es decir, se filtran alrededor del 5% de los datos de la serie

temporal):


-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Ln(u

nita

rios

diar

ios)

Valores Filtro

Figura 13. Filtro de outlayers en el cálculo del logaritmo neperiano de los unitarios diarios sobre productos futuros

v) Se selecciona como primer mes del alcance temporal a simular el mes del

último día que del que se tiene cotización. El resto de meses del alcance

temporal los introduce el usuario de la herramienta. Asimismo, el usuario

ha de introducir las esperanzas de los productos futuros para que el modelo

pueda integrar la componente estacional observada en el último día que se

tiene cotización. El usuario introduce tantos M+i, Q+i e Y+i como le indica la

herramienta, tal y como se describe en los apartados 4.3.5, 4.3.6 y 4.3.7.

� Nótese que el usuario introduce el M+0 que se corresponde con la media

mensual histórica, la cual incluye fines de semana, tal y como se

comentaba en el paso ii).

vi) Finalmente, el usuario introduce el número de simulaciones N a realizar, que

será el mismo tanto para la reversión a la media de los logaritmos

neperianos de las medias mensuales como para el autorregresivo de los

logaritmos neperianos de los unitarios diarios (por las razones que se

comentan en el apartado 4.3.7).

4.3.3 Módulo I y II: componente aleatoria. Cálculo de los parámetros y simulación de

comportamientos.

Una vez han sido actualizados los datos de entrada del modelo, se procede a

calcular los parámetros de reversión a la media de las medias mensuales de los


productos futuros (módulo I), así como los parámetros del autorregresivo de los

unitarios diarios (módulo II).

En primer lugar, el modelo vuelca los coeficientes, así como el ruido blanco

resultante de cada modelo (en el caso de la Tesis, se calculan siete comportamientos de

las medias mensuales y otros siete de los unitarios diarios, ya que hay siete productos

futuros distintos). A continuación, el modelo calcula la volatilidad de cada ruido

blanco (siete volatilidades en las medias mensuales y otras siete volatilidades en los

unitarios diarios) y la matriz de varianzas-covarianzas de los ruidos blancos (una

matriz de las medias mensuales y otra matriz de los unitarios diarios).

Las simulaciones se realizan del siguiente modo: en base a las volatilidades y a las

matrices de correlación, el modelo calcula la matriz de covarianzas. A esta matriz se le

aplica una descomposición de Cholesky, de tal modo que la matriz triangular obtenida

se multiplica por siete series de números aleatorios, distribuidos normalmente,

generada por un proceso de Monte Carlo. De este modo, se obtienen siete series

distribuidas normalmente que guardan la correlación histórica de los ruidos blancos

del anterior apartado.

Tenidas dichas series, se toman las últimas cotizaciones históricas del producto en

cuestión (tantas como sea el orden del modelo autorregresivo que se ha seleccionado

mediante la metodología de Box-Jenkins). Éstas se multiplican por los coeficientes, se

suma la ordenada en el origen y se añade el primer elemento del ruido obtenido a

través del proceso de Monte Carlo. Se computa la exponencial del resultado obtenido y

se obtiene el primer valor simulado a futuro.

Se procede de este modo sucesivamente, multiplicando los últimos elementos

obtenidos por los coeficientes en cuestión, sumando la ordenada en el origen y

añadiendo el ruido blanco correspondiente (al que previamente se le ha realizado un

contraste de normalidad de Lilliefors), hasta que se termina de recorrer el alcance

temporal. Las series de ruidos blancos que se calcula en cada simulación, aún

guardando la misma correlación, no son las mismas, por lo que se acaba obteniendo un

abanico de sendas diferentes para cada simulación.


4.3.4 Módulo I y II: componente estacional. Corregir los futuros a una esperanza observada.

Para eliminar el error de de simulación de Monte Carlo, el cual disminuye cuantas

más simulaciones se realicen, se recurre a corregir la media de las simulaciones con los

futuros observados como esperanza. Tanto las simulaciones de medias mensuales

(módulo I) como las de unitarios diarios (módulo II) se han de escalar a la componente

estacional. Para ello, se recurre a la siguiente ecuación:

)()()( esperanzaLnescalaraelementosmediaLnescalaraelementoLnbdonde

eescaladoelemento b

+−==

Ecuación 35. Escalar a una esperanza una serie de valores

Por un lado, los logaritmos neperianos de los unitarios diarios se revierten de tal

modo que la esperanza de los mismos en cada mes y para cada simulación sea 1. Por

otro lado, los logaritmos neperianos de las medias mensuales se escalan para que la

esperanza de los productos coincida (en cada simulación) con la esperanza

correspondiente que se observa en la fecha en la que se corre el modelo. El tratamiento

para revertir a una esperanza varía según si el producto simulado es un M+i ó un Q+i,

tal y como se indica en los apartados 4.3.5 y 4.3.6, respectivamente. En el caso de la

Tesis, sólo se considera el Y+1, por lo que resulta fácil escalarlo, pero en el caso de

considerar más productos Y+i el tratamiento sería análogo.

4.3.5 Módulo I: componente estacional. Corregir los M+i a una esperanza observada.

Considérese que se corre el modelo en abril de 2010. La media de las simulaciones

del M+0 para cada mes del alcance se corrige al vector de esperanzas M+j (observadas

en abril de 2010) que se corresponden con dichos meses. Sin embargo, la media de las

simulaciones del M+1 para cada mes del alcance habrá que corregirla al vector de

esperanzas usado para corregir las simulaciones del M+0, decalado un mes. En general,

la media de las simulaciones del M+i para cada mes del alcance habrá que corregirla al

vector de esperanzas M+j (observadas en abril de 2010), decalado “i meses”. En el caso

concreto de la Tesis, como el modelo simula hasta el producto M+2, el máximo decalaje

será de dos posiciones respecto del vector de esperanzas M+j usado para corregir las

simulaciones del M+0.


Para más detalle, ver el anexo A.1, donde se muestra gráficamente la idea trasmitida

en este apartado.

4.3.6 Módulo I: componente estacional. Corregir los Q+i a una esperanza observada.

En el caso de las simulaciones de los productos trimestrales, se procede de un modo

similar al caso de los productos mensuales, pero teniendo en cuenta la diferencia entre

Q+i y Qi: el Q+i hace referencia al siguiente trimestre natural Qi respecto del mes en

cuestión. Los trimestres naturales son Q1, Q2, Q3 y Q4, de tal modo que Q1 es enero,

febrero y marzo, Q2 es abril, mayo y junio, Q3 es julio, agosto y septiembre, y Q4 es

octubre, noviembre y diciembre.

En el caso de correr el modelo en abril de 2010, la media de las simulaciones del

Q+i para cada mes del alcance habrá que corregirla al Q+j correspondiente de abril de

2010. En este caso concreto, el Q+1 de abril, mayo y junio de 2010 (que es el Q3-2010)

coincide con el Q+1 de abril de 2010, pero el Q+1 de julio, agosto y septiembre de 2010

(que es el Q4-2010) coincide con el Q+2 de abril de 2010. Sin embargo, el Q+2 de abril,

mayo y junio de 2010 (que es el Q4-2010) coincide con el Q+2 de abril de 2010, mientras

que el Q+2 de julio, agosto y septiembre de 2010 (que es el Q1-2011) coincide con el

Q+3 de abril de 2010. Así que la esperanza que se usa para corregir las simulaciones del

Q+i se decala “3n meses” para el Q+i+n. En el caso concreto de la Tesis, como el

modelo simula hasta el producto Q+3, el máximo decalaje será de 3x2 = 6 meses

respecto del vector de esperanzas Q+j usado para corregir el producto Q+1.

Para más detalle, ver el anexo A.2, donde se muestra gráficamente la idea trasmitida

en este apartado.

4.3.7 Cálculo diario de productos futuros combinando la simulación de medias mensuales de

productos futuros (módulo I) con la simulación de unitarios diarios de productos

futuros (módulo II)

En los anteriores apartados se ha comentado que, tenidas las cotizaciones diarias

históricas, se extrae de éstas el valor medio y se estudia la variación de las cotizaciones

diarias frente a la media mensual mediante un ratio (unitario diario) que revierte a 1.

La razón estriba en que, al proceder de este modo, se aísla el comportamiento diario

del mensual eliminando cualquier estacionalidad que aporten los datos históricos, ya


que no existe distorsión en el valor de los unitarios diarios como consecuencia del

cambio de mes.

Por tanto, para pasar de las simulaciones con detalle mensual al detalle diario es

necesario multiplicar las medias mensuales por los unitarios diarios. Por tanto, se

simulan también unitarios diarios, es decir, los productos futuros diarios entre la

media mensual de dichos productos (dividir el valor al que apuntan las flechas rojas de

la Figura 14 entre la barra roja sobre la que se apoyan):

Figura 14. Ejemplo de cotizaciones diarias históricas de un producto futuro

La combinación de medias mensuales y unitarios diarios se realiza para cada

simulación. Por tanto, el número de simulaciones de las medias mensuales debe

coincidir con el número de simulaciones de los unitarios diarios. Al combinar medias

mensuales y unitarios diarios se obtienen, para cada día del alcance temporal del

modelo, N simulaciones de cada uno de los productos futuros. Nótese que los procesos

de Monte Carlo usados para las simulaciones mensuales son independientes de los

procesos de Monte Carlo de las simulaciones de los unitarios diarios.

Recuérdese que el promedio de las N simulaciones de las medias mensuales es la

esperanza mensual correspondiente, observada el día en el que se corre el modelo. Sin

embargo, los unitarios por los que se han multiplicado estas medias mensuales no

tienen promedio exactamente igual a 1 (aunque sí muy cercano a 1), puesto que se

corresponden con los unitarios de un día concreto para las N simulaciones, mientras


que se corrigió el promedio para que valiera 1 en cada una de las simulaciones (para

todos los días de un mismo mes).

Por tanto, una vez se han obtenido N simulaciones de productos futuros para cada

día del alcance temporal, se procede a revertir a la esperanza del siguiente modo: para

cada día se ha obtenido una matriz de tamaño N simulaciones por K productos M+i.

Los dos primeros meses se corresponden con el M+1 y el M+2, mientras que en el resto

de los meses se repiten (según de qué trimestre o año natural se trate) los valores

obtenidos en las simulaciones del Q+1, Q+2, Q+3 e Y+1. Así que dicha matriz de

productos futuros se corrige mediante N vectores de esperanzas, siendo K el tamaño de

cada vector. Por simplicidad, se usa el mismo vector de esperanzas que corregía las

simulaciones de los productos M+i (ver apartado 4.3.5), siendo el tamaño de éste igual

al numero de meses del alcance temporal más el decalaje que impone el producto Y+1

(que será, como máximo, 23 para el caso de que el último mes del alcance temporal sea

enero, ya que el producto Y+1 abarca hasta diciembre del siguiente año).

4.3.8 Módulo III: Perfilado horario (componente estacional)

Hasta el momento se han obtenido, para cada día del alcance temporal,

simulaciones de productos de mercados a plazo. No obstante, el modelo unit

commitment de optimización de la explotación de la central requiere de un detalle de

precios horarios de mercados spot. Por tanto, es preciso romper los productos futuros

horariamente mediante unos perfiles unitarios que han sido calculados tal y como se

describe a continuación.

El punto de partida son los precios horarios históricos. Cada día se divide en tres

grupos: laborable, sábado o domingo/festivo. Se calcula horariamente la media de los

precios históricos para cada tipo de día y para cada mes, obteniendo una matriz de

dimensiones 36 (3 tipos de día x 12 meses) x 24 horas. Nótese que los 864 elementos de

dicha matriz son diferentes, tal y como se muestra en la Figura 15.


Figura 15. Agrupación de precios históricos por niveles

A continuación, se realiza un clustering (agrupar por niveles significativos). Para ello

se procede a minimizar la distancia al cuadrado entre cada uno de los 864 elementos de

la matriz anterior respecto de un número N de clusters dados. Se parte de unos N

niveles iniciales dados y se calcula directamente qué cluster Xi (donde i = 1, 2,…, N) es

el más cercano a cada elemento de la matriz. Posteriormente, se minimiza mediante un

algoritmo de optimización la suma de las 864 distancias, variando el valor de los

niveles. De este modo, los 864 elementos de la matriz pasan a valer únicamente uno de

los N niveles obtenidos en la optimización, tal y como se muestra en el ejemplo de la

siguiente figura:

1 2 … 24LABORABLES 35.10 44.72 … 54.92SÁBADOS 30.23 35.10 … 54.92

DOMINGOS/FESTIVOS 22.61 30.23 … 44.72LABORABLES … … … …SÁBADOS … … … …

DOMINGOS/FESTIVOS … … … …LABORABLES 44.72 54.92 … 35.10SÁBADOS 44.72 44.72 … 30.23

DOMINGOS/FESTIVOS 35.10 30.23 … 22.61

…

DICIEMBRE

ENERO

Figura 16. Clustering de niveles de precios horarios

Finalmente, los niveles se transforman en unitarios horarios (dividiéndolos por la

media de los niveles de todas las horas del mes) y se asignan a cada hora del alcance

temporal que se está valorando. De este modo, los perfiles unitarios horarios

resultantes tienen una media para cada mes igual a 1, de modo que el perfilado horario


no modifica la esperanza a la que han sido corregidas las simulaciones. Es decir, al

multiplicar los perfiles unitarios horarios de cada mes por el elemento M+i, Q+i e Y+i

correspondiente, se obtienen unos precios horarios a futuro cuyo promedio mensual

también es M+i, Q+i e Y+i. Por consiguiente, el promedio mensual de todas las

simulaciones de precios horarios es igual a la esperanza observada.

4.3.9 Simulación de los costes de generación

Los costes de generación se simulan de un modo análogo a la simulación de precios

eléctricos. Se llega al detalle mensual, dado que los costes de generación son más

planos en comparación con las fluctuaciones horarias que sufren los precios eléctricos.

A la hora de proceder a simular, se integra la correlación histórica entre los precios

eléctricos y los combustibles, de modo que las simulaciones no sean independientes y

el spread resultante tenga sentido. La esperanza de los costes de generación se calcula

en base a las cotizaciones de los combustibles en los mercados de commodities, según las

componentes que conforman el coste variable de la tecnología en cuestión. En el caso

de la Tesis, se van a valorar las siguientes tecnologías: ciclo combinado, central de

carbón y planta de cogeneración. A continuación se describe en detalle el coste variable

de una central de carbón y de un ciclo combinado.

El combustible en el caso de los ciclos combinados es el gas natural, cuyo precio se

expresa generalmente en MMBtu

$, y se puede obtener en mercados spot o a través de

contratos a largo plazo (con cláusulas como take-or-pay). La relación entre el poder

calorífico del combustible y el rendimiento energético que se obtiene en un generador

eléctrico se denomina eficiencia energética, la cual se mide en MMBtu

MWh. A la hora de

calcular el coste variable de un ciclo combinado es necesario no sólo considerar el coste

de combustible, sino también otros costes como son el coste de emisión, los peajes de

acceso de terceros a la red variables (ATRs), costes de operación y mantenimiento, y

costes de arranque y parada, tal y como se expresa en la siguiente ecuación:


[ ]

[ ]•×

×

×

=

+++•

+

×

+=

η

η1

.

1

$

€$€

&.

.

€€ varvar

MMBtu

MWhenergéticaEf

TdCMMBtu

pMWh

pdonde

ParArrMOATR

MWh

tonTasa

tonpp

MWhC

gasgas

emisionemisiongasciclo

Ecuación 36. Coste variable de un ciclo combinado

El coste de arranque representa el consumo de gas necesario para alcanzar las

condiciones óptimas de temperatura y presión en la caldera del ciclo combinado antes

de empezar a producir energía. El coste de parada representa el coste del gas que se

consume innecesariamente una vez el ciclo ha dejado de producir energía, y también

puede incluir el coste de desgaste durante las operaciones de arranque y de parada del

ciclo combinado. En la Ecuación 36, estos costes se expresan en unidades de

MWh

€

porque el coste de arranque (o de parada) en € se ha multiplicado por el número de

arranques (o de paradas) estimado para un periodo determinado (típicamente un año)

y se ha dividido por la energía prevista según el número de horas esperadas de

funcionamiento para dicho periodo. Este coste de arranque, medido en €, se calcula del

siguiente modo (el cálculo es análogo para el coste de parada):

[ ] [ ]termiasConsumoArrtermias

Therm

GBPTdC

Therm

cGBPpArr gasspotgas ×

×

××

= −

25

1€10€ 2

Ecuación 37. Coste de arranque de un ciclo combinado que funciona con gas spot NBP

Donde la termia (thermie en inglés) es una unidad de energía, equivalente a 1 millón

de calorías (es decir, equivale a la energía necesaria para incrementar en 1ºC la

temperatura de una tonelada de agua). Sin embargo, therm (en inglés) es una unidad de

energía no perteneciente al Sistema Internacional que equivale a 100.000 unidades

térmicas británicas (BTU). La conversión entre termias y therms es de 25,2

termias/therm. Se han considerado el caso de quemar gas spot del Reino Unido (NBP).

Si fuera gas sport del Henry Hub (EE.UU.) las unidades serían USD/MMBtu.


En el caso de una central de carbón, el combustible se mide en .

$

ton y la eficiencia

energética en .ton

Termias. En este caso, el rendimiento no es adimensional, sino que se

mide en MWh

Termias. Así que el coste variable de una central de carbón queda del

siguiente modo:

×

×

=

+++

+

×

+

×

+=

..

$

€

.

$€

&

..

.

€log

.

.

€€var

ton

TermiasenergéticaEf

MWh

Termias

TdCton

pMWh

pdonde

ParArrMO

ton

TermiasenergétEf

MWh

Termias

toníst

MWh

tonT

tonpp

MWhC

carbóncarb

ememcarbcarb

η

η

Ecuación 38. Coste variable de una central de carbón

En una central de carbón, el coste de arranque representa el consumo de carbón

necesario para alcanzar las condiciones óptimas de temperatura y presión en la caldera

antes de empezar a producir energía, y el coste de parada representa el coste del

carbón que se consume innecesariamente una vez el ciclo ha dejado de producir

energía. El coste de arranque, medido en €, se calcula del siguiente modo (es análogo

para el coste de parada):

[ ] [ ]termiasConsumoArrtermias

ton

PCSTdC

tonpArr carbóncarbón ×

×

×

= .1

$

€

.

$€

Ecuación 39. Coste de arranque de una central de carbón

Donde la conversión considerada entre termias y toneladas de carbón es el poder

calorífico neto en cuestión.

� Nota: el spread recibe el nombre de spark spread, en el caso de las centrales de ciclo

combinado, o dark spread, en el caso de las centrales de carbón (se añade la palabra clean en


el caso de haber internalizado el coste de las emisiones de dióxido de carbono dentro del

coste variable).

4.3.10 Datos de salida

Tal y como se adelanta en el apartado 4.1, la optimización del funcionamiento en

GAMS se hace a partir de la simulación del spread eléctrico que vuelca el modelo de

reversión a la media. Tanto el modelo unit commitment de optimización de la

explotación de una central como el modelo de reversión a la media que simula precios

horarios forman parte de la misma herramienta. Por consiguiente, se trata de dos

procesos sucesivos, de tal modo que las salidas del modelo reversión a la media se

exportan en ficheros de texto que se optimizan en el modelo de GAMS. Asimismo, las

salidas de GAMS son ficheros de texto que se importan de vuelta a la herramienta

informática.

Por tanto, los datos de salida (datos de entrada para el modelo de optimización) se

corresponden con el perfilado horario del spread eléctrico que se ha comentado en el

apartado anterior, el cual se actualiza dentro del bucle que avanza a lo largo del

alcance temporal optimizando la explotación de la central.

4.3.11 Interfaz del modelo de reversión a la media

El modelo es una herramienta desarrollada en el entorno de Excel y VBA, en la que

se introducen los datos necesarios para simular tendencias de precios, se simulan

dichas tendencias, se introducen en un bucle que genera ficheros de texto que son

entradas de GAMS, y guarda registro de las salidas del fichero de texto que genera

GAMS.

En la hoja “Menú” se indica el número de simulaciones deseado, el número de

productos futuros que se simulan, el alcance temporal, el número de periodos que se

avanza en cada actualización de la reversión a la media y la esperanza mensual a la

que deben revertir los precios (paso 0º mostrado en la Figura 17). Asimismo, en la hoja

“Menú” se encuentran los botones con los que se simulan los precios en base a futuros

históricos (pasos 1º a 5º de la Figura 17).


Figura 17. Hoja Menú de la herramienta de valoración

Cabe mencionar que en el último paso 6º de la Figura 17 se encuentran los botones

con los que se puede perfilar horariamente un día seleccionado (yendo previamente a

la hoja “Selecciona Día”, donde se cargan las simulaciones de los futuros mensuales de

dicho día y se revierten a la esperanza correspondiente, tal y como se muestra en la

Figura 18). Cabe la posibilidad de realizar este proceso manualmente o mediante un

bucle (botones “Selecciona fecha de valoración” y “Perfila horariamente”, o botón

“Simulaciones”, respectivamente).


Figura 18. Hoja donde se cargan las simulaciones de los futuros mensuales esperados para un día concreto

4.4 Modelo unit commitment de optimización de la explotación de una central

eléctrica

4.4.1 Introducción

El modelo unit commitment optimiza el margen bruto de una central eléctrica, en

base a los spreads eléctricos simulados y considerando unas determinadas restricciones

de funcionamiento.

El modelo de optimización de la explotación de una central eléctrica ha sido

realizado en el programa de optimización GAMS, siendo la interfaz que introduce los

datos de entrada y extrae los datos de salida el mismo fichero de Excel con VBA que

genera los precios horarios a futuro.

El pseudocódigo de optimización de la explotación de la central eléctrica es el

siguiente:


Máximización de la Función Objetivo (F.O.):

F.O. = Spread * Potencia funcionamiento – Coste arranque/parada * Nº de arranques/paradas

Sujeta a unas Restricciones:

Restr. de Carga: Potencia de Funcionamiento = 0 ó Mínimo Técnico ó Plena Carga

Restr. de Mínimas Horas: Si la central arranca � funcionará, al menos, N horas

Restr. de Cantidad Máxima de Energía: Energía Disponible en una semana/mes/año = Q

Restr. de Unit Commitment: u = 1 si central funciona. u = 0 si central no funciona

Donde y = 1 si central arranca. y = 0 si central no arranca

z = 1 si central para. z = 0 si central no para

� Nota: obsérvese que el coste de arranque y de parada no se internaliza dentro del spread

porque no está considerado dentro del coste variable de la central (tal y como se indica en la

Ecuación 36 y en la Ecuación 38), sino que los costes de arranque y de parada son un

término adicional medido en € (tal y como se indica en la Ecuación 37) de la función

objetivo.

En la siguiente figura se muestra un detalle del modelo de optimización:


Figura 19. Modelo unit commitment de optimización de la explotación de una central eléctrica

A continuación se detalla el código de optimización, así como el proceso para

exportar los datos de entrada e importar los datos de salida de GAMS.

4.4.2 Datos de entrada

Los datos de entrada del modelo de optimización son los siguientes: conjuntos

(también suelen denominarse por su nombre en inglés sets), conjuntos dinámicos,

parámetros y escalares. A continuación se describen cada uno de ellos.

Los conjuntos representan las variables fundamentales de la optimización. En el

caso de la Tesis, se trata de los periodos de tiempo considerados (horas), denotados por

hi. Como conjunto dinámico, que representa un subconjunto de los sets, se tiene p(h).

Más adelante, cuando se describen los escalares, se muestra la utilidad de este conjunto

dinámico.

Los parámetros representan las variables de control del problema de optimización.

En el caso de la Tesis, los parámetros son los precios horarios del alcance temporal


pSMP(h), los mínimos técnicos de funcionamiento pPowerMin(h), las potencias

máximas de funcionamiento pPowerMax(h), el precio de oferta al mercado pMargCost(h)

basado en los costes variables de la central, los costes de arranque pStarUpCost(h) y de

parada pShutDownCost(h), y el estado inicial de funcionamiento de cada central u0(h),

el cual se va actualizando a medida que se recorre el alcance temporal (para más

detalle, ver apartado 4.4.4).

Los escalares son constantes que se usan en el modelo. En la Tesis se hace uso del

escalar hini que, al igual que ocurre con el parámetro u0(h), se va actualizando a

medida que se recorre el alcance temporal con el valor del periodo de tiempo h en el

que se actualiza (con una reversión a la media) la senda de spreads eléctricos.

4.4.3 Función objetivo: maximización a medida que se recorre el alcance temporal

En el modelo de GAMS se introduce la siguiente línea de código:

))($()( hinihordYEShp ≥=

Ecuación 40. Periodo de tiempo a partir del cual se optimiza el funcionamiento de la central a futuro

De este modo, el conjunto dinámico p(h) vale 1 para las horas que quedan aguas

abajo de la reversión a la media (para h >= hini), y 0 para las horas que quedaron aguas

arriba (para h < hini).

La utilidad de dicho conjunto dinámico radica en que se introduce en la función

objetivo del siguiente modo:

[ ]

×−×−−×−

=)()()()(

)()(arg)(),()$,(

hostpShutDownChzhstpStartUpCohy

hvPowerhCostpMhpSMPhpghsumfobj

Ecuación 41. Función objetivo de optimización del funcionamiento de una central

Recuérdese que, tal y como se comenta en el apartado 4.1, la esperanza del

comportamiento de los futuros se va actualizando a medida que se recorre el alcance

temporal en vez de optimizar las simulaciones de precios spot, para no sobrevalorar la

opción de inversión. Cada vez que se actualiza la esperanza de los comportamientos de

precio, se optimiza el funcionamiento para todo el tiempo que queda del alcance


temporal aguas abajo del momento en el que se realiza dicha reversión, a la par que se

guarda registro del funcionamiento resultante entre el instante de tiempo en el que se

realizó la reversión anterior y el instante de tiempo de la reversión actual. Gracias al

conjunto dinámico p(h), la maximización del margen de la central considerando costes

de arranque y de parada se realiza sólo para las horas en las que p(h) es igual a uno,

que son las horas que quedan aguas abajo del instante de decisión de explotación de la

planta.

4.4.4 Condición de funcionamiento (unit commitment)

En el código de optimización se han introducido las siguientes restricciones

relacionadas con las condiciones de funcionamiento (estas restricciones se denominan

unit commitment en inglés y dan nombre a este modelo de optimización):

11

≤+−+= −

hh

hhhh

zy

zyuu

Ecuación 42. Restricciones de funcionamiento de la central

Las variables u, y, z son binarias (sólo pueden tomar valores de cero o de uno).

Cuando u = 1, la central está funcionando (bien a mínimo técnico, bien a plena carga).

Por tanto, cuando yh = 1, la central ha arrancado en la hora h, ya que uh = 1, uh-1 = 0 y

zh =0 cumplen la Ecuación 42. Del mismo modo, cuando zh = 1, la central ha parado en

la hora h, ya que uh = 1, uh-1 = 0 e yh = 0 cumplen la Ecuación 42.

Cabe comentar la particularidad que existe al principio de cada simulación, es decir,

para h = 1, donde se tiene que no existe dentro del alcance temporal la hora h – 1 = 0.

Por tanto, es necesario introducir un parámetro que establezca una condición de

funcionamiento inicial u0 = uh-1 para la hora h = 1. Si se considera u0 = 1, entonces caben

dos posibilidades: uh = 1 y las variables de arranque y de parada igual a cero, ó uh = 0 y

zh = 1. En este caso, pese a no funcionar inicialmente, se estaría forzando a incurrir en

un coste de parada, mientras que en caso de funcionar inicialmente no habría que

incurrir en un coste de arranque. Sin embargo, si se considera u0 = 0, entonces caben

otras dos posibilidades: uh = 1 e yh = 1, ó uh = 0 y las variables de arranque y de parada

igual a cero. En este caso ocurre lo contrario: se incurre en coste de arranque si se


funciona inicialmente, mientras que no hay coste de parada si no se funciona

inicialmente.

Los resultados que arroja el modelo pueden ser diferentes según sea u0 = 1 ó u0 = 0.

Por ejemplo, considérese un breve ejemplo de optimización del margen de una cartera

de inversión donde se establece u0 = 1. La cartera está compuesta por dos centrales, G1

y G2, de 100 MW de potencia cada una, con unos costes de arranque de 2000 € y de

parada de 1500 €, y cuyas ofertas de generación en el mercado son a 27 y 25 €/MWh,

respectivamente:

Periodo

(h)

PRECIO (€/MWh) Margen (€) de

G1 a Mínimo

Técnico

Margen (€) de

G2 a Mínimo

Técnico

Margen (€) de

G1 a Plena

Carga

Margen (€) de

G2 a Plena

Carga

1 15 -1200 -1000 -2400 -2000

2 6 -2100 -1900 -4200 -3800

3 50 2300 2500 4600 5000

4 7 -2000 -1800 -4000 -3600

Tabla 3. Ejemplo de valoración del funcionamiento óptimo de una cartera de centrales en base al spark spread

El modelo dará como solución óptima un funcionamiento a mínimo técnico en las

horas h = 1 y h = 2, subir a plena carga en la hora h = 3 y parar las máquinas en la hora

h = 4, de tal modo que el margen resultante de la optimización es 400 €. Esto se debe a

que compensa funcionar a mínimo técnico en h = 1 y h = 2, ya que las pérdidas son -

1200 – 1000 - 2100 - 1900 = -6200 € mientras que si se para en h = 1 para arrancar en h =

3 las pérdidas serían mayores: -2000 * 2 – 1500 * 2 = -7000 €. Sin embargo, compensa

parar en h=4, ya que -1500 * 2 = -3000 € son pérdidas menores que si funcionasen a

mínimo técnico: -2000 – 1800 = -3800 €.

Nótese que este resultado habría sido diferente si se hubiera considerado u0 = 0. En

tal caso, habría funcionado únicamente en la hora h = 3 (parando en h = 1, arrancando

en h = 3, y parando de nuevo en h = 4), pero sólo incurriendo en los costes de arranque

y de parada de las horas h = 3 y h = 4, respectivamente.


En el modelo de la Tesis se ha considerado u0 = 0 para h = 1, aunque el resultado no

varía prácticamente si se hubiera considerado u0 = 0 para h = 1, ya que no se optimizan

cuatro horas, sino varios años.

Por último, cabe comentar que, en realidad, la Ecuación 42 se corresponde con la

siguiente expresión:

[ ] [ ] hhiniinihh zyhhorduhhorduu −+=+>= − )($)($ 01

Ecuación 43. Restricción de funcionamiento considerando un punto de partida hini

Esto se debe a que al avanzar en el alcance temporal, el modelo sólo optimiza el

funcionamiento aguas abajo del instante en el que se realiza la reversión a la media y

guarda registro del funcionamiento aguas arriba. Por otro lado, tal y como se comenta

en el apartado 4.4.3, el escalar hini indica a partir de qué periodo temporal se está

optimizando el funcionamiento de la central. Por tanto, para cada reversión a la media

se introduce como u0 la condición de funcionamiento del último día que ha quedado

aguas arriba para el instante que marca el escalar hini.

4.4.5 Otras restricciones

El modelo proporciona un funcionamiento que optimiza el margen de la central,

permitiendo que la variable vPower(h) tome uno de los siguientes valores: cero, mínimo

técnico o plena carga.

Esto lo realiza gracias a las siguientes restricciones:

[ ])()()()(1

)(1)()()(

hpPowerMinhpPowerMaxhuhvPower

hvPowerhpPowerMinhuhvPower

−×≤+×=

Ecuación 44. Restricciones de límites mínimo y máximo de potencia

Donde vPower1(h) y vPower(h) están relacionadas tal y como se indica en la

siguiente figura:


Figura 20. Relación entre la potencia y la potencia acoplada por encima de mínimo técnico

Por otro lado, también es posible optimizar la explotación de la central eléctrica

sujeta a una restricción de horas mínimas de funcionamiento. Esto es, si se arranca la

máquina, ha de funcionar al menos el número hmin de horas indicado.

La restricción a incluir en el código de GAMS es la siguiente:

( ) ( ) ( ) 11 ≤−+ −+ ptptpt uuu τ

Ecuación 45. Restricción de horas mínimas de funcionamiento

Nótese que esta restricción ha de cumplirse para todas las horas p del alcance

temporal, siendo τ igual a hmin – 1. τ será igual a tmax – p cuando queden menos horas

en el horizonte temporal que horas mínimas de funcionamiento hmin.

Asimismo, se introduce una restricción de máxima cantidad de energía disponible,

que establece unas condiciones de contorno en el corto plazo provenientes del medio y

largo plazo, tal y como se comenta en el apartado 4.1. Esta restricción, en el caso de una

cantidad máxima de gas establecida en un contrato take-or-pay, respondería a la

siguiente ecuación:

{ } )()(),($ hMaxEnergiahvPowerhphsum ≤

Ecuación 46. Restricción de máxima energía disponible

Donde MaxEnergia(h) es la cantidad máxima de gas existente en el contrato

actualizada a medida que se avanza en la optimización.

Por último, cabe comentar que no es necesario considerar las restricciones de

ingresos mínimos por arranque y parada de las centrales, ya que éstas se incluyen


penalizando la maximización de la función objetivo (ver apartado 4.4.3). Tampoco es

necesario considerar restricciones relacionadas con las rampas de subida y de bajada,

ya que el carácter medioplacista de la inversión no obliga a llegar a tanto detalle.

4.4.6 Datos de salida

Una vez ha sido optimizado el funcionamiento de la central, se genera un fichero de

texto que guarda registro de la variable de salida vPower(h), mediante la instrucción

[LOOP ((h),PUT vPower.l(h)/);], para calcular el spread. De un modo similar, se

exportan las variables y(h) y z(h) para calcular los costes de arranque y parada

incurridos. Tenido el spread y los costes de arranque y de parada, se computa el margen

bruto que obtiene la central en cada simulación y se introduce en el plan de negocio

(ver apartado 4.5).

En la siguiente figura se observa el funcionamiento de una central en base al spread y

a los costes de arranque y de parada. Se observa que, para spreads positivos, la central

funciona a plena carga, mientras que para spreads negativos, la central funciona a

mínimo técnico (horas 50 a 53), o para (horas 26 a 32), según si la pérdida de parar y

luego volver a arrancar es mayor o menor que el spread negativo, respectivamente:

-250

-200

-150

-100

-50

-

50

100

150

200

250

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65

MW

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

€/M

Wh

Potencia Spark spread

Figura 21. Funcionamiento de una central en base al spread y a unos costes de arranque y de parada

4.4.7 Interfaz del modelo unit commitment

Los datos de entrada y datos de salida, mencionados en los apartados 4.4.2 y 4.4.6

respectivamente, se importan y exportan a través de una interfaz de Excel. Tal y como

se ha comentado anteriormente, la interfaz forma parte de la misma herramienta que

contiene el modelo de reversión a la media que se ha descrito en el apartado anterior.


Los datos de entrada se exportan cargándolos en variables de VBA y pasándolos a

ficheros de texto con el siguiente formato, que es el requerido por GAMS para leer

conjuntos, parámetros y escalares: Nombre Variable / {valores} /. Desde GAMS se leen

estos ficheros mediante la instrucción: $include NombreFichero.txt. A continuación se

muestra una figura de la hoja “Inputs”, donde se introducen los datos de entrada:

Figura 22. Interfaz en Excel para exportar datos de entrada del modelo en GAMS

Por otro lado, los datos de salida de GAMS se exportan mediante la instrucción

PUT, tal y como se describe en el apartado 4.4.6. Desde el modelo en Excel se importan

dichos datos de salida haciendo uso de programación en VBA, y se guardan en

variables de programación que los vuelcan en la hoja “Outputs”.

Tanto el código que exporta los datos de entrada de GAMS como el código que

importa los datos de salida de la optimización se encuentran adjuntos en el anexo B.

4.5 Plan de negocio

Un plan de negocio se compone, generalmente, de un balance, de una cuenta de

resultados y de un flujo libre de caja, todo ellos calculado para el alcance temporal de

la inversión.

En el caso de inversiones en centrales eléctricas, la cuenta de resultados parte de un

margen bruto que considera la diferencia entre ingresos correspondientes del mercado


spot y los costes variables. Si a este margen bruto se le restan los costes fijos, se obtiene

el EBITDA (Earnings Before Interests, Taxes, Depreciation and Amortization), que en

español es el beneficio antes de intereses, impuestos y amortizaciones. El beneficio neto

se obtiene de considerar los intereses, impuestos y amortizaciones, y forma parte del

balance en el apartado de fondos propios. El balance depende del tipo de financiación

de la empresa (pasivo) y de la liquidez del activo. Por último, el flujo de caja libre se

calcula en base al EBITDA, los impuestos, la variación del fondo de maniobra y las

inversiones, usando como factor de descuento el WACC (tal y como se describe en el

apartado 2.5.1).

El objeto de esta Tesis es el cálculo del valor temporal inherente a una inversión.

Éste viene determinado por los diferentes márgenes brutos que arroja el modelo. Por

tanto, el interés de los resultados radica no tanto en el detalle del plan de negocio en

cuanto a impuestos o estructura financiera de la empresa, sino más bien en el cálculo

de la opcionalidad inherente a cada tipo de tecnología eléctrica, que viene determinada

tanto por la diferencia relativa entre el valor total y el valor intrínseco como por la

dispersión en la distribución estadística de los resultados.

Por consiguiente, para un coste fijo y un WACC determinados se calcula el valor

total que arroja el modelo como el VAN (Valor Actual Neto) y la TIR (Tasa Interna de

Retorno) del promedio de los márgenes brutos anuales resultantes en cada una de las

N simulaciones mientras que el valor intrínseco es el resultado de calcular el VAN y la

TIR del margen bruto anual optimizado para una senda de precios promedio de las N

sendas de precio simuladas.

En cuanto a la dispersión de los la distribución estadística de los resultados, se

procede a graficar un histograma de los VAN resultantes para las N simulaciones, de

tal modo que la inversión conllevará más riesgo cuanto más abierta sea la distribución,

siempre y cuando la esperanza de la misma se encuentre en valores At-The-Money. En

el caso de que la distribución tome valores negativos, se puede calcular el Value at

Risk¸, como la medida de riesgo de pérdida medida en M€ para un determinado nivel

de probabilidad.

5 Resultados del modelo:

valoración de diferentes

tecnologías en el mercado alemán

5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en el mercado alemán 84

5 Resultados del modelo: valoración de diferentes tecnologías en

el mercado alemán

5.1 Introducción

Tal y como se comenta al principio del capítulo 4, las valoraciones realizadas en la

Tesis se centran en tecnologías eléctricas que tienen suficiente opcionalidad, puesto

que cuanto mayor sea la incertidumbre del proyecto, mayor valor añadido otorga el

método de las opciones reales frente al método tradicional de flujos de caja

descontados (ver Ecuación 33).

Por tanto, en este capítulo se va a proceder a describir y detallar la valoración de la

inversión en nueva capacidad para las siguientes tecnologías eléctricas: un ciclo

combinado, una central de carbón y una central de carbón con CCS (Carbon Capture and

Storage, que en español es una planta de captura y almacenamiento de CO2 asociada a

una central eléctrica). Asimismo se valora la inversión en un contrato de alquiler

(tolling) en una planta de cogeneración. Se han considerado 1000 simulaciones para

valorar cada inversión, ya que se trata de una muestra significativa para extraer el

valor temporal inherente con bastante precisión, sin que los tiempos de ejecución

necesarios sean demasiado grandes. El modelo se ha corrido en un ordenador con las

siguientes características: Intel® Core ™ 2 Duo CPU. 2,33 GHz y 1,95 GB de RAM.

Se ha procedido a valorar la inversión en el mercado alemán. Las cotizaciones

históricas de Alemania que se han considerado son las comprendidas entre el 1 de

enero de 2002 y el 31 de mayo de 2010. Asimismo, como esperanza de las simulaciones

se han utilizado las cotizaciones de los futuros del 31 de mayo de 2010.

En el apartado 5.2 se describen aspectos generales del sector eléctrico de Alemania,

en el apartado 5.3 se seleccionan y validan los modelos que mejor se ajustan a las series

temporales, y en el resto de apartados del capítulo se procede a valorar la inversión en

diferentes tecnologías eléctricas.


5.2 Breve descripción del sector eléctrico alemán

La liberalización del sector eléctrico (y de gas) en Alemania se produjo en 1998 con

una ley que se conoce por el acrónimo de EnWG. Se produjo otro importante cambio

regulatorio en el sector en 2005, con una nueva ley que establecía, entre otros aspectos,

cambios en las tarifas de acceso y la creación del regulador Bundesnetzagentur. La

liberalización de la comercialización se produjo en 2007.

Hay cuatro compañías eléctricas que controlan alrededor del 80% de la generación y

del 50% de la comercialización eléctrica de Alemania: E.On, RWE, Vattenfall y Energie

Baden-Wuerttemburg (EnBW). Asimismo, hay cuatro operadores de la red de

transporte: 50hertz, Amprion, EnBW y Transpower.

La capacidad instalada total de Alemania es de 127 GWh, que se reparte del

siguiente modo entre las diferentes tecnologías eléctricas:

Figura 23. Mix energético alemán en 2009 (fuente: EEX)

La demanda eléctrica en Alemania en 2009 fue de 610 TWh. Se espera que la

demanda crezca hasta niveles de 700 TWh para 2018. Por otro lado, se prevé el cierre

próximo de centrales de carbón antiguas. Por tanto, cabe esperar cierto hueco en los

próximos años para la entrada de nuevas centrales eléctricas, tanto de carbón como de

gas, siendo éstas las tecnologías marginales en las horas pico y aquéllas las tecnologías

marginales para el resto de las horas.


Se ha procedido a realizar las valoraciones de esta Tesis en el mercado alemán, entre

otras razones, por tratarse de un país con alta liquidez en sus mercados a plazo.

5.3 Selección del modelo por la metodología de Box-Jenkins

Antes de proceder a valorar las distintas tecnologías eléctricas, se han seleccionado

los modelos parametrizados que explican el comportamiento de los precios y los

futuros por medio de la metodología de Box-Jenkins y se han validado los residuos de

los mismos por contrastes de normalidad de Lilliefors, tal y como se describe a

continuación.

Las series de unitarios diarios, los cuales son las cotizaciones diarias de los

productos futuros divididas entre las medias mensuales correspondientes, se han

transformado aplicándoles un logaritmo neperiano. Las series resultantes se han

introducido en el código de MATLAB que se adjunta en el anexo C.1. El código vuelca

como resultados las funciones de autocorrelación simple y parcial.

A continuación se muestran dos figuras de las funciones de autocorrelación simple

que ha arrojado el modelo:

Figura 24. Función de autocorrelación simple de la serie temporal de unitarios diarios del producto futuro M+0


Figura 25. Función de autocorrelación simple de la serie temporal de unitarios diarios del producto futuro Q+3

Este comportamiento exponencial de la función de autocorrelación simple se

corresponde con un autorregresivo de parámetros positivos, tal y como se indica en el

anexo E.1.

La función de autocorrelación parcial indica el orden del modelo autorregresivo que

más se ajusta a la serie temporal. En las siguientes figuras se muestran tres casos de

autocorrelación parcial que ha arrojado el modelo:


Figura 26. Función de autocorrelación parcial de la serie temporal de unitarios diarios del producto futuro M+0

Figura 27. Función de autocorrelación parcial de la serie temporal de unitarios diarios del producto futuro M+1


Figura 28. Función de autocorrelación parcial de la serie temporal de unitarios diarios del producto futuro Q+1

En primer lugar, cabe destacar que la función de autocorrelación parcial para el

producto spot M+0 (ver Figura 26) tiene un comportamiento distinto al de los

productos futuros propiamente dichos, ya que en estos últimos la función de

autocorrelación parcial, para el orden 1, ronda valores de 0,8 (ver Figura 27 y Figura

28) frente a los 0,5 del caso del M+0.

Asimismo, los puntos que no rebasan las asíntotas horizontales indican que, con un

95% de confianza, el orden no mejora significativamente la precisión del modelo

respecto del orden inmediatamente anterior. Se observa que en todos los casos el orden

1 es predominante, aunque cabe preguntarse si un modelo de orden 5 o, incluso, de

orden 10 puede resultar más preciso. Para ello, se recurre al código de MATLAB que se

adjunta en el anexo C.2, en donde se calcula el modelo autorregresivo para cada uno

de los productos considerados (M+0, M+1, M+2, Q+1, Q+2, Q+3 e Y+1) desde el

autorregresivo de orden 1 hasta el autorregresivo de orden 11. Se computa, para cada

orden, la desviación típica del ruido blanco del autorregresivo, de tal modo que se

observa cuánto decae la misma a medida que aumenta el orden. En las siguientes

figuras se muestra que la desviación no mejora (disminuye) cualitativamente al

aumentar el orden del modelo autorregresivo:


Figura 29. Función que relaciona la desviación típica del ruido blanco del autorregresivo de los unitario diarios del

M+0 frente al orden del modelo


M+0 frente al orden del modelo



Q+2 frente al orden del modelo

La desviación típica tan sólo cae un 0,23%, 0,40% y 0,58% (Figura 29, Figura 30 y

Figura 31, respectivamente) al pasar de un orden 1 a un orden 11. Por tanto, se ha

optado por valorar las diferentes tecnologías eléctricas para un autorregresivo de

orden 1, dada la buena solución de compromiso entre su precisión a la hora de

ajustarse a la serie temporal frente a la menor complejidad por tratarse de un modelo

de primer orden. Se habría obtenido esta misma conclusión si se hubiera recurrido al

llamado Criterio de Información de Akaike.

Por último, una vez se han modelado las series temporales y previamente a

proceder con las simulaciones, se ha verificado la validez del modelo realizando un

contraste de normalidad con los residuos del modelo autorregresivo. Para ello se ha

hecho uso del código de MATLAB del anexo C.3, en el que se realiza un gráfico del

histograma de los ruidos blancos resultantes, así como se computa un contraste de

Lilliefors en el que el resultado ha sido cero en todos los casos (lo cual indica que se

rechaza la hipótesis nula, es decir, no se puede demostrar que los residuos no siguen

una distribución normal). A continuación se muestran dos histogramas a modo de

ejemplo:


Figura 32. Histograma del ruido blanco del autorregresivo de los unitario diarios del M+0

Figura 33. Histograma del ruido blanco del autorregresivo de los unitario diarios del Y+1

5.4 Valoración de la inversión en nueva capacidad: central de carbón importado

Se ha procedido a valorar una central de carbón importado (indexado al API2) de 40

años de vida útil, considerando 500 MW de potencia a plena carga y 250 MW de


mínimo técnico, con unos costes de arranque y de parada de 10000 € y 6000 €,

respectivamente, en base a los precios de los productos futuros observados a fecha de

31 de mayo de 2010. La correlación existente entre el precio eléctrico y el coste de

combustible se ha realizado en base a la siguiente información histórica:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

may

-08

jun-0

8jul -0

8

ago-

08

sep-

08

oct-0

8

nov-

08

dic-0

8

ene-0

9

feb-0

9

mar-0

9

abr-0

9

may

-09

jun-

09ju

l-09

ago-

09

sep-

09

oct-0

9

nov-

09

dic- 0

9

ene-

10

feb-

10

mar

-10

abr -1

0

Precio eléctrico Coste variable de central de carbón importado

Figura 34. Resultado en M€ de la explotación de una central de carbón para 1000 simulaciones

Donde el coeficiente de correlación que relaciona el precio con el coste variable de

producción es del 75% (habiendo filtrado el pico de precio en octubre de 2009).

Se han realizado 1000 simulaciones para un periodo de un año. El modelo ha ido

avanzando a lo largo del alcance temporal, tomando decisiones de producción cada 5

días, siendo el 31 de mayo el día en el que se comienza a valorar la inversión. El tiempo

que ha tardado en ejecutarse el modelo ha sido de 9 horas y 32 minutos.

Se ha calculado el VAN para cada simulación, habiendo sumado previamente los

márgenes brutos resultantes de la optimización para cada año y simulación, y

considerando un WACC del 6% y un coste fijo de 1915 $/kW (ver pág. 103 de la

referencia bibliográfica PROJ10). El histograma del VAN (en M€) ha sido el siguiente:


Central de carbón importado

0

50

100

150

200

250

-75 -58 -40 -23 -6 11 28 45 63 80 97

VAN (M€)

Fre

cuen

cia

Figura 35. Resultado del VAN (en M€) de una central de carbón importado para 1000 simulaciones

El VAN promedio es 6,83 M€, siendo la desviación típica de la distribución de

33,54 M€. El Value at Risk para una probabilidad del 5% es -48,7 M€, es decir, sólo existe

un 5% de probabilidad de incurrir en pérdidas superiores a 48,7 M€. En estas

valoraciones no se ha considerado una gestión del riesgo de mercado a través de un

equipo de Trading que mantenga el valor del activo y minimice el riesgo a corto y

medio plazo.

Considerando el promedio anual del margen bruto de las 1000 simulaciones, se

obtiene el flujo de caja correspondiente al valor total de la opción. Si se optimiza para

una simulación que parte de la esperanza de precio eléctricos y de la esperanza de

costes variables de generación, se obtiene el flujo de caja correspondiente al valor

intrínseco de la opción. En la siguiente figura se muestra el flujo de caja

correspondiente al valor total, siendo la zona rayada de las barras el valor intrínseco y

la parte restante el valor temporal:


Central de carbón importado

20

25

30

35

40

45

50

55

60

2010

2012

2014

2016

2018

2020

2022

2024

2026

2028

2030

2032

2034

2036

2038

2040

2042

2044

2046

2048

2050

Flu

jo d

e ca

ja (M

€)

Figura 36. Valor intrínseco y valor temporal del flujo de caja (en M€) de una central de carbón importado

Tal y como se ha mencionado anteriormente, si se considera un WACC del 6% y un

coste fijo de 1915 $/kW, el VAN correspondiente con el valor total es 6,83 M€. Sin

embargo, el VAN correspondiente con el valor intrínseco de la opción es -65,71 M€. Es

decir, el valor temporal de la opción indica que la inversión puede ser rentable, por ser

el valor intrínseco nulo, pero estar la opción muy At-The-Money. De hecho, la TIR

considerando el valor total es 6,08% mientras que la TIR considerando el valor

intrínseco es 5,21% (inferior al WACC).

El factor de carga promedio ha sido de un 61%.

5.5 Valoración de la inversión en nueva capacidad: central de ciclo combinado

Se ha procedido a valorar un ciclo combinado (indexado al gas negociado en el

mercado TTF) de 25 años de vida útil, considerando 400 MW de potencia a plena carga

y 200 MW de mínimo técnico, con unos costes de arranque y de parada de 8000 € y

6000 €, respectivamente, en base a los precios de los productos futuros observados a

fecha de 31 de mayo de 2010. La correlación existente entre el precio eléctrico y el coste

de combustible se ha realizado en base a la siguiente información histórica:


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

may

-08

jun-0

8jul

-08

ago-

08

sep-

08

oct- 0

8

nov-

08

dic-

08

ene-

09

feb-

09

mar

-09

abr-0

9

may

-09

jun-0

9jul

-09

ago-

09

sep-

09

oct-0

9

nov-

09

dic-

09

ene-

10

feb-

10

mar-10

abr-1

0

Precio eléctrico Coste variable de ciclo combinado

Figura 37. Resultado en M€ de la explotación de un ciclo combinado para 1000 simulaciones

Donde el coeficiente de correlación que relaciona el precio con el coste variable de

producción es del 92% (habiendo filtrado el pico de precio en octubre de 2009).


avanzando a lo largo del alcance temporal, realizando decisiones de producción cada 5





considerando un WACC del 6% y un coste fijo de 1018 $/kW (ver pág. 103 de la

referencia bibliográfica PROJ10). El histograma del VAN (en M€) ha sido el siguiente:


Ciclo Combinado

0

50

100

150

200

250

119 128 136 145 154 162 171 180 188 197 205

VAN (M€)

Fre

cuen

cia

Figura 38. Resultado del VAN (en M€) de un ciclo combinado para 1000 simulaciones

El VAN promedio es 161,99 M€, siendo la desviación típica de la distribución de

16,98 M€.









Ciclo combinado

20

25

30

35

40

45

2010

2012

2014

2016

2018

2020

2022

2024

2026

2028

2030

2032

2034

Flu

jo d

e ca

ja (M

€)

j

Figura 39. Valor intrínseco y valor temporal del flujo de caja (en M€) de un ciclo combinado


coste fijo de 1915 $/kW, el VAN correspondiente con el valor total es 161,99 M€. Sin

embargo, el VAN correspondiente con el valor intrínseco de la opción es 140,53 M€. La

TIR considerando el valor total es 11,25% mientras que la TIR considerando el valor

intrínseco es 10,70%.

La opcionalidad no es clave en la decisión de inversión, dado que la opción se

encuentra muy In-The-Money. No obstante, es interesante observar que el valor

temporal es mayor en el caso de la central de carbón importado (del apartado 5.4) que

en el caso del ciclo combinado, precisamente por encontrarse éste más In-The-Money.

Esta idea se muestra más adelante en la Figura 44.

El factor de carga promedio ha sido del 54%, inferior al 61% del caso de la central de

carbón.

5.6 Valoración de la inversión en nueva capacidad: central de carbón nacional con

captura y almacenamiento de CO2 (CCS)

Se ha procedido a valorar una central de carbón nacional, de coste de combustible

inferior al API2 y bajo coste logístico, de 40 años de vida útil, considerando 500 MW de

potencia a plena carga y 250 MW de mínimo técnico, con unos costes de arranque y de


parada de 10000 € y 6000 €, respectivamente, en base a los precios de los productos

futuros observados a fecha de 31 de mayo de 2010. La central lleva asociada una planta

de captura y almacenamiento de CO2 (CCS), por lo que el coste fijo es mayor (3336

$/kW, según pág. 103 de la referencia bibliográfica PROJ10) que en el caso de una

central de carbón sin CCS, pero no se internaliza el precio de los derechos de emisión

dentro del coste variable de la planta. La correlación existente entre el precio eléctrico y

el coste de combustible se ha realizado en base a la siguiente información histórica:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

May

-08

Jun-

08

Jul-0

8

Aug

-08

Sep

-08

Oct

-08

Nov

-08

Dec

-08

Jan-

09

Feb

-09

Mar

-09

Apr

-09

May

-09

Jun-

09

Jul-0

9

Aug

-09

Sep

-09

Oct

-09

Nov

-09

Dec

-09

Jan-

10

Feb

-10

Mar

-10

Apr

-10

Precio eléctrico Coste variable de central de carbón con CCS

Figura 40. Resultado en M€ de la explotación de una central de carbón con CCS para 1000 simulaciones

El coeficiente de correlación resultante, habiendo filtrado el pico de precio en

octubre de 2009, es del 75%. La baja correlación se debe, entre otras razones, a que el

histórico de los derechos de emisión, que guarda correlación con el precio eléctrico, no

se ha internalizado en el coste variable de la central.


avanzando a lo largo del alcance temporal, realizando decisiones de producción cada 5






considerando un WACC del 6% y el mencionado coste fijo de 3336 $/kW. El

histograma del VAN (en M€) ha sido el siguiente:

Central de carbón nacional con CCS

0

50

100

150

200

250

300

-196 -183 -169 -155 -142 -128 -114 -100 -86,8 -73,1 -59,4

VAN (M€)

Fre

cuen

cia

j

Figura 41. Resultado del VAN (en M€) de una central de carbón con CCS para 1000 simulaciones

El VAN promedio es -129,73 M€, siendo la desviación típica de la distribución de

27,07 M€.









Central de carbón con CCS

40

50

60

70

80

90

100

110

2010

2012

2014

2016

2018

2020

2022

2024

2026

2028

2030

2032

2034

2036

2038

2040

2042

2044

2046

2048

2050

Flu

jo d

e ca

ja (M

€)

j

Figura 42. Valor intrínseco y valor temporal del flujo de caja (en M€) de una central de carbón con CCS


coste fijo de 3336 $/kW, el VAN correspondiente con el valor total es -129,73 M€. Sin

embargo, el VAN correspondiente con el valor intrínseco de la opción es -193,09 M€.

La TIR considerando el valor total es 5,25% mientras que la TIR considerando el valor

intrínseco es 4,84%.

En vista de los resultados, se observa que el valor temporal de la opción es

relativamente grande, dado que la opción de inversión se encuentra Out-of-the-Money ,

pero cercana a estar At-The-Money, ya que su coste variable es muy bajo. La

rentabilidad no llega a superar al WACC, pero se encuentra tan sólo un 0,75% por

debajo, lo cual hace pensar que la inversión es viable con cierto apoyo regulatorio.

El factor de carga promedio ha sido del 82%, es decir, ha funcionado prácticamente

en base.

5.7 Valoración de un contrato de alquiler (tolling) sobre una planta de

cogeneración

La valoración de un contrato de alquiler (tolling) sobre una planta de cogeneración

se ha realizado considerando una potencia instalada de 40 MW, un coste de arranque

de 1200 € y un coste de parada nulo. Se han considerado las cotizaciones de mercados a


plazo correspondientes al 31 de mayo de 2010. El alcance temporal del contrato abarca

desde junio de 2010 hasta diciembre de 2012. Se han realizado 1000 simulaciones y el

tiempo que ha tardado en ejecutarse el modelo ha sido de 17 horas y 22 minutos.

A diferencia de los anteriores apartados, en este caso no se valora una inversión

propiamente dicha, sino que se trata un contrato en el que se recibe el precio que cobra

en el mercado una planta de cogeneración, a cambio de pagar al dueño de la misma un

strike que consiste en una fórmula indexada a las cotizaciones del gas TTF, del carbón

API2 y de los derechos de emisión EUAs. Adicionalmente, se paga una prima que se

negocia antes de firmar el contrato. El negocio consiste en que el dueño de la planta

deja de asumir el riesgo de mercado y obtiene como beneficio la prima (siempre y

cuando su coste de gas se mantenga correlado a la fórmula que rige el precio de

ejercicio). A cambio, el agente que asume el riesgo de mercado obtiene un beneficio si

el precio de mercado es mayor que el strike más la prima negociada.

Asimismo, se ha considerado una restricción adicional de un número mínimo de

periodos de funcionamiento (ver apartado 4.4.5): se han comparado los resultados que

arroja el modelo para una restricción de mínimo de funcionamiento de 6 horas frente a

una restricción de un mínimo de funcionamiento de 108 horas (4 días y medio).

Cabe esperar que la valoración sea mayor o igual en unidades monetarias para el

caso de 6 horas mínimas de funcionamiento, por tratarse de una condición menos

restrictiva que el funcionamiento mínimo de 108 horas. En el caso de las 6 horas

mínimas, la explotación de la central se realizará en los periodos que “interese”, es

decir, mayoritariamente serán horas de spreads positivos (y algunas pocas horas

tendrán spreads negativos, aunque el margen bruto resultante de cada periodo será

positivo). Sin embargo, en el caso de las 108 horas mínimas de funcionamiento, la

planta de cogeneración funcionará (generalmente) de lunes a viernes, dado que son

días de precios medios mayores que los fines de semana (siempre y cuando el margen

bruto total sea positivo, aunque bajo en comparación con los márgenes brutos del

funcionamiento con una restricción de 6 horas mínimas), y no arrancará

(generalmente) los fines de semana.


En la siguiente figura se muestran los resultados obtenidos para ambos casos. Se

observa que el valor total para un funcionamiento mínimo de 6 horas es mayor que el

valor total para un funcionamiento mínimo de 108 horas:

Valor total frente a valor intrínseco

0

50

100

150

200

250

300

350

400

jun-1

0

ago-1

0

oct-1

0

dic-1

0

feb-1

1

abr-1

1

jun-1

1

ago-1

1

oct -1

1

dic-11

feb-1

2

abr-1

2

jun-1

2

ago-1

2

oct -1

2

dic -12

k€

k€ (6 h) k€ (6h) intrínsecok€ (108 h) k€ (108 h) intrínseco

Figura 43. Valor total frente a valor intrínseco en la valoración de la inversión en una planta de cogeneración sujeta a

distintas restricciones de horas mínimas de funcionamiento

En la figura se ha graficado el valor total en línea continua y el valor intrínseco en

línea a trazos, para las dos restricciones de horas mínimas de funcionamiento. Se

observa que la curva continua se aleja más de la curva a trazos en el caso de 108 horas

mínimas de funcionamiento, es decir, el valor temporal es mayor en el caso de una

explotación sujeta a una restricción de 108 horas mínimas de funcionamiento que en el

caso de una restricción de 6 horas mínimas de funcionamiento.

La razón es la siguiente: recordemos que, tal y como se ha comentado en el apartado

3.2, una inversión se asemeja a una opción call. En este tolling existe una opción call

para cada hora, donde el strike representaría un precio igual al coste de la inversión, es

decir, a la suma del coste variable y de los costes de arranque y de parada de la hora en

cuestión. En el caso de la restricción de 6 horas de funcionamiento mínimo, dada la

mayor flexibilidad de la restricción, la planta de cogeneración funcionará generalmente

en horas en las que el precio del mercado sea bastante mayor que el strike (estará

bastante In-The-Money), mientras que en el caso de 108 horas de funcionamiento


mínimo funcionará en horas de precio medio más cercano al strike (estará bastante At-

The-Money).

En la siguiente figura se muestra en un óvalo verde la zona de precios medios de las

horas en las que la planta de cogeneración funciona para el caso de 108 horas mínimas

de funcionamiento, y en un óvalo azul la zona de precios medios de las horas en las

que la planta de cogeneración funciona para el caso de 6 horas mínimas de

funcionamiento. Se observa que los valores temporales de la zona del óvalo verde (108

horas mínimas de funcionamiento) son mayores que los valores temporales de la zona

del óvalo azul (6 horas mínimas de funcionamiento):

Figura 44. Zonas At-The-Money e In-The-Money donde funciona una central sujeta a diferentes restricciones de

horas mínimas de funcionamiento

Cabe destacar que el óvalo verde abarca zonas en las que el valor del subyacente

(esto es, el precio del mercado) está por debajo del strike. Es decir, el abanico de precios

proyectados a futuro revierte a la esperanza observada en el día en el que se realiza la

inversión, pero en una simulación en concreto los precios pueden haber resultado

mayores que la esperanza de todas las simulaciones. En este caso, la planta de

cogeneración funciona en horas donde el valor intrínseco es cero, ya que el valor del

subyacente (la esperanza) está por debajo del strike, habiendo sólo valor temporal.

Por último, cabe mencionar que la opción de compra de energía de la planta de

cogeneración con una restricción de 108 horas mínimas de funcionamiento no tiene por


qué suponer una mayor generación de energía que el caso de la opción bajo restricción

de 6 horas mínimas de funcionamiento, aunque pueda no resultar intuitivo. Esto se

debe a que el caso de 108 horas mínimas de funcionamiento implica que se funcione

entre semana siempre y cuando la opción no esté muy Out-of-the-Money. En caso

contrario, la mejor opción sería no arrancar en toda la semana, mientras que el

funcionamiento bajo restricción de 6 horas mínimas, por ser más flexible (lo cual no

significa que tenga mayor valor temporal), daría lugar a un funcionamiento de la

planta de cogeneración en los periodos de horas pico. Esta idea se muestra en la

siguiente figura:

Producción mensual

0

5

10

15

20

25

jun-1

0

ago-

10

oct-1

0

dic-1

0

feb-1

1

abr-1

1

jun-1

1

ago-

11

oct-1

1

dic-1

1

feb-1

2

abr-1

2

jun-1

2

ago-

12

oct-1

2

dic-1

2

GW

h

6h 108 h

Figura 45. Producción mensual de una planta de cogeneración bajo distintas restricciones de horas mínimas de

funcionamiento

6 Conclusiones

6 Conclusiones 107

6 Conclusiones

6.1 Introducción

Esta Tesis ha pretendido aunar no sólo conceptos y materias tratados a lo largo del

Máster del Sector Eléctrico de ICAI, sino también aspectos que resulten de aplicación

práctica en Iberdrola. Esta aplicación tenía que ser lo más novedosa posible, para que

el esfuerzo realizado pudiera aportar, en último término, algún valor añadido. La

herramienta de valoración de la inversión en una central eléctrica basada en el método

de las opciones reales es novedosa en tanto en cuanto a que aúna dos modelos

ampliamente conocidos en la literatura y validados en numerosos estudios de

valoración de inversiones: el modelo unit commitment, que optimiza la explotación de

una central eléctrica, y el modelo de reversión a la media, que proyecta a futuro

cotizaciones de productos eléctricos de mercados a plazo.

Los campos de aplicación de herramientas como la realizada en la presente Tesis

son típicamente el desarrollo y la estrategia de nuevos negocios (como puede ser la

inversión en nueva capacidad de generación, o los contratos de alquiler físico o

financiero de plantas existentes). Para este tipo de estudios (y como primera

aproximación), el modelo de flujos de caja descontados es ciertamente potente, ya que

de una manera rápida y sencilla permite dar unos valores de referencia y órdenes de

magnitud de la rentabilidad esperada y/o viabilidad de un proyecto, siendo

conveniente dotarlos de los estudios de riesgos asociados correspondientes.

Los modelos de valoración de opciones reales son notablemente más complejos que

los anteriores, ya que en lugar de reflejar una función “inyectiva” (a cada conjunto de

hipótesis le corresponde un único resultado-margen-rentabilidad) generan

distribuciones de soluciones probabilísticas que incorporan explícitamente una

cuantificación del riesgo (qué forma/desviación tienen los márgenes obtenibles en los

distintos escenarios plausibles). Además, la respuesta de los modelos de este tipo ante

una perturbación (ocurrencia de un suceso con impacto relevante en la rentabilidad del

proyecto) es notablemente más dinámica que en el caso de flujos de caja descontados

(de un resultado se pasa a otro), ya que muestra la deformación de la curva de

6 Conclusiones 108

resultados, o lo que es lo mismo, la sensibilidad del proyecto en términos de riesgo

ante la ocurrencia de un evento determinado.

Como ejemplo de aplicación práctica, en la presente Tesis se ha probado la validez

del modelo sobre un hipotético caso real: la decisión de una empresa eléctrica acerca de

la inversión en nueva capacidad (central de ciclo combinado, central de carbón y/o

central de carbón con CCS) en el mercado alemán, así como la valoración de un

contrato de alquiler (tolling) de una central de cogeneración.

Es obvio que en un caso de valoración real, el análisis cualitativo/fundamental es

absolutamente imprescindible (análisis de márgenes de reserva, planes de inversión

declarados por las empresas, voluntad de inversión de la Administración, riesgos

particulares asociados al proyecto [tecnológico, país, etc.]) y complementa al análisis

cuantitativo. Sin embargo, el objeto de esta Tesis no es elaborar un plan de negocio

detallado ni un análisis de riesgos exhaustivo, sino proporcionar la parte numérico-

cuantitativa del análisis (que ya internaliza una parte notable del riesgo de mercado a

través de las volatilidades y correlaciones introducidas en el modelo).

En definitiva, las empresas son canales de inversión que cuentan con una

determinada marca, un personal específico y un know-how. Serán capaces de atraer

capital en la medida en que inspiren la confianza necesaria (basada en su propia

posición) entre los entes con capacidad de financiación (accionistas, particulares,

bancos y otras entidades financieras). La comunicación entre empresa y “capital” es

clave, tanto en lo que concierne a presentaciones de resultados, balances y situación

financiera como a planes de futuro (planes estratégicos o proyecciones financieras).

Esta Tesis ha permitido desarrollar una herramienta útil en la elaboración de planes de

negocio, aportando valor al diseño de nuevas inversiones respecto de métodos más

sencillos y tradicionales, sin que éstos dejen de ser válidos, dada su amplia aceptación

y rango de utilización.

6.2 Resultados de la valoración de la inversión en nueva capacidad

En relación a la inversión en nueva capacidad en el mercado alemán, los tres

análisis que se han realizado son los siguientes:

6 Conclusiones 109

� Inversión en un nuevo ciclo combinado de 400 MW suministrado con

gas indexado a TTF (precio medio del gas en frontera de Alemania).

� Inversión en una nueva central de carbón de 500 MW suministrada con

carbón importado indexado a API2 (precio del carbón en puerto ARA

[Ámsterdam Rótterdam Amberes])

� Inversión en una nueva central de carbón de 500 MW suministrada con

carbón nacional (por ejemplo, lignito extraído a cielo abierto en las

proximidades de la central), dotado de una planta de captura y

almacenamiento de CO2.

Se han ejecutado 1000 simulaciones de cada caso. En la siguiente tabla se resumen

los resultados obtenidos para cada uno de los tres casos analizados:

Medida Ciclo combinado Central de carbón importado Central de carbón

nacional con CCS

VAN promedio (M€) 161,99 6,83 -129,73

VAN percentil 5% (M€) 136,29 -48,70 -255,71

Desviación típica de la

distribución de VAN (M€)

16,98 33,54 27,07

TIR % (valor total) 11,25 6,08 5,25

TIR % (valor intrínseco) 10,70 5,21 4,84

Factor de carga (%) 54 61 82

Tabla 4. Resultados de un hipotético caso real de inversión en nueva capacidad en el mercado alemán

� Nota: se ha considerado un WACC del 6% y unos costes fijos para el ciclo combinado,

la central de carbón y la central de carbón con CCS de 1018 $/kW, 1915 $/kW y 3336

$/kW, respectivamente (costes fijos obtenidos de la referencia bibliográfica PROJ10,

pág.103).

En relación a los resultados obtenidos hay que tener en cuenta los siguientes

aspectos:

6 Conclusiones 110

1. Los spreads correspondientes al período utilizado para construir la reversión

a la media y los autorregresivos (junio 2008 – abril 2010) fueron

especialmente elevados en Alemania, en particular en el caso del clean spark

spread.

2. El análisis puramente cuantitativo es bastante optimista (poco conservador)

con la viabilidad de nuevos ciclos combinados (TIR del 11,25%). De cara a

un plan de negocio real debería también considerarse un análisis

fundamental basado en otros efectos relevantes, como puede ser la

competitividad relativa entre gas y carbón (podría estar más a favor del

carbón que en el período histórico de partida), o el desarrollo de tecnologías

renovables en Alemania (el régimen feed-in tariff podría seguir fomentando

la instalación masiva de potencia renovable, reduciendo consecuentemente

los spreads).

3. Los parámetros de coste de combustible indexado al API2, de coste de

operación y mantenimiento y de coste logístico utilizados en el caso de

carbón importado varían en un rango bastante amplio según la localización,

ya que las centrales que queman carbón importado en Alemania se

encuentran (generalmente) en la costa, por lo que tienen un bajo coste

logístico e importan típicamente carbón ruso, con un descuento frente al

API2. Por tanto, cabe esperar que la central de carbón importado “media”

en Alemania tuviese una TIR superior al 6,08%.

4. En el caso de carbón nacional con CCS se ha considerado un bajo coste

logístico y de combustible (aparte de no internalizarse el coste de CO2).

Cabe destacar que el peso del carbón importado en Alemania es bajo en

relación al carbón nacional empleado en su parque de generación térmico

(un 80% del carbón proviene de lignitos y hard coal nacional, siendo el 20%

restante proveniente de importaciones). El coste de combustible de una

central de carbón nacional y/o mixta puede ser hasta un 20% inferior al de

una central de carbón importado (centrales en boca de mina a cielo abierto).

Por tanto, los márgenes netos resultantes han sido bastante altos para el

elevado coste fijo que lleva asociado (TIR del 5,25%).

6 Conclusiones 111

Aunque la información de partida ha sido limitada, dado que el histórico disponible

comparable a la situación futura de competitividad relativa ciclo combinado – central

de carbón se corresponde con la fase II de EU-ETS, los resultados del modelo han sido

satisfactorios:

Se ha partido de correlaciones históricas de un 92% entre el coste del ciclo

combinado y el precio eléctrico, y correlaciones de un 75% entre el coste de una central

de carbón y el precio eléctrico. Por tanto, este último sería a priori el caso con más

riesgo, por ser el menos correlado de los dos (el riesgo podría interpretarse como la

volatilidad de los spreads, es decir, cuanto más correlado esté un coste con el precio

eléctrico, menos dispersión habrá en la distribución del margen neto del proyecto y,

por tanto, menor será el riesgo).

En cuanto a la rentabilidad, que está asociada tanto a la esperanza de los spreads

como a la recuperación de los costes fijos, cabe destacar que en el histórico considerado

el coste de los ciclos combinados presentó una situación muy In-The-Money, en

ocasiones más aún que el de una central de carbón importado, cuyos costes fijos son

típicamente superiores. Esto se debió a una serie de factores históricos: índice TTF más

estable y moderado que la subida del precio de carbón internacional durante la

escalada de commodities de 2008, precios eléctricos excepcionalmente elevados antes de

la crisis financiera, o exceso de gas como consecuencia de la caída libre de commodities

(que ha penalizado su valor frente a otros productos energéticos). Esto ha propiciado

unos resultados “generosos” para el ciclo combinado frente al carbón importado

(menos dispersión de márgenes y rentabilidades notablemente superiores).

En otras palabras: tanto la central de carbón importado como la central de carbón

nacional con CCS, cuyos costes fijos son mayores que los de un ciclo combinado, han

arrojado mayores spreads (márgenes brutos), lo cual tienen sentido económico desde el

punto de vista de la amortización de su inversión, ya que en caso contrario (mayor

coste fijo y menor spread) la central se quedaría automáticamente fuera del mercado

(como ha ocurrido con las centrales de fuel tras la aparición del ciclo combinado). No

obstante, al considerar el coste fijo en el flujo de caja, el modelo inclina la balanza

claramente a favor del ciclo combinado como nueva inversión de capacidad en

Alemania (el retorno del carbón importado apenas supera en algunas décimas el

WACC considerado del 6%). En cuanto al carbón nacional dotado de CCS, el retorno ha

6 Conclusiones 112

resultado aceptable (TIR del 5,25%) a pesar del elevado coste de inversión, ya que ha

funcionado muchas horas (82% de factor de carga) con mayores spreads asociados

(debido al bajo coste del carbón nacional y a no considerarse el coste de emisiones de

CO2 en el coste variable). La inversión resultaría viable siempre y cuando se recibiese

cierto apoyo regulatorio.

En vista de los resultados, cabe reflexionar acerca de la relación existente entre la

rentabilidad de una inversión y el riesgo que lleva asociado la misma. Intuitivamente,

se espera obtener una relación directa entre riesgo y rentabilidad a la hora de valorar

distintos tipos de inversiones. Por tanto, resulta interesante analizar los resultados

obtenidos, que en cierta medida han sido antiintuitivos (la inversión más riesgosa

[carbón] es a su vez la menos rentable), pero que permiten ponderar las limitaciones

del modelo (fundamentalmente de los datos de partida), así como el valor añadido que

supone el concepto de opcionalidad aplicado al caso de estudio.

Es decir, el objeto fundamental de este hipotético caso real no ha sido tanto obtener

una decisión de inversión en nueva capacidad, sino más bien comprobar la validez de

la herramienta ante un determinado caso de estudio y reflexionar acerca de ciertos

aspectos:

� Al comparar la TIR calculada para el valor total con respecto de la TIR

calculada para el valor intrínseco, se observa que el valor temporal es mayor

en una inversión At-The-Money (caso de la central de carbón importado) que

en una inversión In-The-Money (caso del ciclo combinado).

� Cuanto menor sea la correlación de los costes variables de la central con

respecto al precio eléctrico, mayor resulta la dispersión de la distribución de

probabilidad de los márgenes brutos obtenidos por la central (las centrales

de carbón tiene mayor dispersión en sus resultados como consecuencia de

partir de unos costes menos correlados con los precios eléctricos).

� El factor de carga es menor en el caso de una central con menores costes de

arranque y de parada (el factor de carga del ciclo combinado es un 7%

menor que el de la central de carbón importado, en parte debido a que los

costes de arranque y de parada de aquél son de 14000 € mientras que los de

éste son de 16000 €).

6 Conclusiones 113

6.3 Resultados de la valoración de un contrato de alquiler (tolling)

La valoración de un contrato de alquiler (tolling) sobre una planta de cogeneración

se ha realizado considerando una potencia instalada de 40 MW, un coste de arranque

de 1200 € y un coste de parada nulo.

A diferencia de la inversión en nueva capacidad, en este caso se trata de valorar un

contrato en el que se recibe el precio que cobra en el mercado una planta de

cogeneración, a cambio de pagar al dueño de la misma un strike que consiste en una

fórmula indexada a las cotizaciones del gas TTF, del carbón API2 y de los derechos de

emisión EUAs. Adicionalmente, se paga una prima que se negocia antes de firmar el

contrato. El negocio consiste en que el dueño de la planta deja de asumir el riesgo de

mercado y obtiene como beneficio la prima (siempre y cuando su coste de gas se

mantenga correlado a la fórmula que rige el precio de ejercicio). A cambio, el agente

que asume el riesgo de mercado obtiene un beneficio si el precio de mercado es mayor

que el strike más la prima negociada.

La ventaja de un tolling radica en el menor apalancamiento que supone no tener que

hacer una gran inversión y la consiguiente deuda asociada, y en lo flexible que puede

ser el contrato. De hecho, no es necesario que la planta de cogeneración exista como tal.

Puede darse el caso de que se disponga de varias cogeneradoras, y que se modelen

todas ellas en una central ficticia de una potencia instalada igual a la suma de las

potencias instaladas de las cogeneradoras reales, siendo el strike una fórmula que cubre

el coste variable de todas las centrales.

Otro aspecto relacionado con la flexibilidad del contrato está asociado con las

restricciones adicionales que se pueden imponer. En el caso estudiado, se ha

considerado una restricción adicional de un número mínimo de periodos de

funcionamiento, de tal modo que se han comparado los resultados que arroja el

modelo para una restricción de mínimo de funcionamiento de 6 horas frente a una

restricción de un mínimo de funcionamiento de 108 horas (4 días y medio).

El modelo ha arrojado, tal y como cabía esperar, mayores beneficios para el

funcionamiento de 6 horas mínimos que para el de 108 horas, por ser éste un caso más

restrictivo. Sin embargo, el valor temporal es mayor en el caso de las 108 horas

6 Conclusiones 114

mínimas de funcionamiento, por tratarse de una opción At-The-Money con periodos en

los que incluso el valor intrínseco es nulo (de agosto de 2011 a diciembre de 2012).

Por último, cabe mencionar que la opción de compra de energía de la planta de

cogeneración con una restricción de 108 horas mínimas de funcionamiento no ha

resultado, para algunos meses, en una mayor generación de energía que el caso de la

opción bajo restricción de 6 horas mínimas de funcionamiento. Esto se debe a que el

caso de 108 horas (4 días y medio) mínimas de funcionamiento implica que se

funcione entre semana (puesto que los fines de semana los precios son generalmente

más bajos), siempre y cuando la opción no esté muy Out-of-the-Money. En caso

contrario, la mejor opción sería no arrancar en toda la semana, como ha sucedido en

ciertos periodos. Sin embargo, con el funcionamiento bajo restricción de 6 horas

mínimas, por ser más flexible (lo cual no significa que tenga mayor valor temporal), ha

resultado en una mayor generación de energía para ciertos meses del alcance temporal

de la opción.

7 Links y bibliografía


116


� Nota: este proyecto contiene muchos conocimientos adquiridos del

equipo de Análisis de Mercados de Gestión de la Energía (Iberdrola) y,

concretamente, de mis directores Ángel Garro y Mariano Ventosa. Se trata

lógicamente de conocimientos que no se pueden plasmar como referencia

bibliográfica en este apartado.

[ELEC02] Electricity prices and power derivatives. E. Schwartz, J. Lucia. Kluwer

Academic Publishers. Edición de 2002.

[NONL03] Nonlinear Time Series Nonparametric and Parametric Methods.

Jianquing Fan, Qiwei Yao. Springer. Edición de 2003.

[TIME94] Time Series Analysis. James D. Hamilton. Princeton. Edición de 1994.

[ELME00] El método binomial de valoración de opciones. Juan Mascareñas.

Universidad Complutense de Madrid. Edición de octubre de 2000.

[INVE07] Investment risks under uncertain climate change policy. William Blyth,

Richard Bradley, Derek Bunn, Charlie Clarke, Tom Wilson, Ming Yang.

Energy Policy 35 (2007) 5766-5773.

[FLEX07] Flexibility and technology choice in gas fired power plant investments.

Erkka Nasakkla, Stein-Erik Fleten. Edición de 2005.

[OPCI00] Opciones reales en la valoración de proyectos de inversión. Juan

Mascareñas. Universidad Complutense de Madrid. Edición de julio de

2007.

[VALO00] Valoración de las opciones reales. William Bailey, Ashlish Bhandari,

Soussan Faiz, Sundaram Srinivasan, Helen Weeds. Oilfield Review.

Edición de 2000.

[PROJ10] Projected costs of generating electricity. International Energy Agency,

Nuclear Energy Agency. Edición de 2010.

8 Agradecimientos

8 Agradecimientos

118

8 Agradecimientos

En primer lugar, gracias a mis directores de proyecto: Ángel Garro y Mariano

Ventosa. Al primero, gracias por todo el apoyo y la ayuda brindados no sólo durante la

realización de la Tesis, sino también durante los casi dos años que llevo en Iberdrola. Y

al segundo, gracias por todo el apoyo y la ayuda durante toda la carrera, y

posteriormente durante el desarrollo de este Máster.

Gracias también a Iberdrola, a todo el equipo de Gestión de la Energía y, en

concreto, al departamento de Análisis de Mercados, por haberme prestado tanta ayuda

en todo momento.

Gracias también a todo el profesorado del Máster del Sector Eléctrico. Gracias por

haber influido tan positivamente en mi ámbito académico no sólo durante este año,

sino también durante los cinco años de la carrera.

Gracias también a todos los alumnos del Máster del Sector Eléctrico. Gracias por

haber sido tan buenos compañeros y amigos durante este año, y por haberme ayudado

siempre que lo he necesitado.

Gracias, en último lugar, pero no por ello menos importante, a todos los que me

rodeáis desde hace mucho tiempo: amigos, padres y demás familiares.

Anexos

A Corregir a la esperanza las

simulaciones de productos

futuros

A Corregir a la esperanza las simulaciones de productos futuros 121

A Corregir a la esperanza las simulaciones de productos futuros

A.1 Reversión a la media de los productos M+i

A Corregir a la esp

eranza las simulaciones d

e productos fu

turos 122

A.2

Reversión

a la media d

e los productos Q

+i

A fecha de abril de 2010, se observan los futuros d e los siguientes productos futuros:

Q+1 Q+1 Q+1 Q+2 Q+2 Q+2 Q+3 Q+3 Q+3 Q+4 Q+4 Q+4 Q+5 Q+5 Q+5 Q+6 Q+6 Q+640.09 40.09 40.09 46.53 46.53 46.53 49.60 49.60 49.60 43.00 43.00 43.00 45.95 45.95 45.95 48.05 48.05 48.05

Las simulaciones de los futuros Q+i para los siguie ntes meses han de revertir a las siguientes esperan zas:Q+1 abr-10 may-10 jun-10 jul-10 ago-10 sep-10 oct-10 nov-10 dic-10 ene-11 feb-11 mar-11

Q+1 Q+1 Q+1 Q+2 Q+2 Q+2 Q+3 Q+3 Q+3 Q+4 Q+4 Q+4 Q+5 Q+5 Q+5 Q+6 Q+6 Q+640.09 40.09 40.09 46.53 46.53 46.53 49.60 49.60 49.60 43.00 43.00 43.00 45.95 45.95 45.95 48.05 48.05 48.05

Q+2 abr-10 may-10 jun-10 jul-10 ago-10 sep-10 oct-10 nov-10 dic-10 ene-11 feb-11 mar-11Q+1 Q+1 Q+1 Q+2 Q+2 Q+2 Q+3 Q+3 Q+3 Q+4 Q+4 Q+4 Q+5 Q+5 Q+5 Q+6 Q+6 Q+6

40.09 40.09 40.09 46.53 46.53 46.53 49.60 49.60 49.60 43.00 43.00 43.00 45.95 45.95 45.95 48.05 48.05 48.05

Q+3 abr-10 may-10 jun-10 jul-10 ago-10 sep-10 oct-10 nov-10 dic-10 ene-11 feb-11 mar-11Q+1 Q+1 Q+1 Q+2 Q+2 Q+2 Q+3 Q+3 Q+3 Q+4 Q+4 Q+4 Q+5 Q+5 Q+5 Q+6 Q+6 Q+6

40.09 40.09 40.09 46.53 46.53 46.53 49.60 49.60 49.60 43.00 43.00 43.00 45.95 45.95 45.95 48.05 48.05 48.05

B Códigos de VBA para exportar e

importar ficheros de texto con los

datos de entrada y de salida del

modelo de optimización

B Códigos de VBA para exportar e importar ficheros de texto con los datos de entrada y de salida del modelo de optimización 124

B Códigos de VBA para exportar e importar ficheros de texto con

los datos de entrada y de salida del modelo de optimización

B.1 Código de VBA para exportar ficheros de texto con los datos de entrada del

modelo de optimización GAMS

Sub ExportaTxt() Dim vMatrizResumen As Variant Dim sFicheroTXT, sNombreFicheroTxt As String Dim iNCol As Integer Dim sHojaInputs As String Dim iFilaScalars, iColScalars, iFilaSets, iColSets, iFilaParameters, iColParameters As Integer sHojaInputs = "InputsReducido" iFilaScalars = 9 iColScalars = 3 iFilaSets = 9 iColSets = 6 iFilaParameters = 9 iColParameters = 10 'Sets iNCol = 0 vMatrizResumen = CargaInputs(sHojaInputs, iFilaSets , iColSets, iNCol) sFicheroTXT = CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu"). [RutaFicheroTxt]) & CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[NombreFichero TxtSets]) Call EscribirFicheroTxt(sFicheroTXT, vMatrizResumen ) 'Scalars iNCol = 0 vMatrizResumen = CargaInputs(sHojaInputs, iFilaScal ars, iColScalars, iNCol) sFicheroTXT = CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu"). [RutaFicheroTxt]) & CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[NombreFichero TxtScalars]) Call EscribirFicheroTxt(sFicheroTXT, vMatrizResumen ) 'Parameters iNCol = 1 vMatrizResumen = CargaInputs(sHojaInputs, iFilaPara meters, iColParameters, iNCol) sFicheroTXT = CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu"). [RutaFicheroTxt]) & CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[NombreFichero TxtParameters]) Call EscribirFicheroTxt(sFicheroTXT, vMatrizResumen ) ThisWorkbook.Worksheets("InputsReducido").Activate Cells(1, 1).Select


End Sub Public Function CargaInputs(ByVal sHInputs As String, ByVal iFIni As Integer, ByVal iCIni As Integer, ByVal NCol As Integer) Dim cont02, cont03 As Integer Dim iFFin As Integer Dim vAuxiliarPrecios As Variant Dim vMatrizPrecios As Variant cont02 = 0 Do While Not ThisWorkbook.Worksheets(sHInputs).Cell s(iFIni, iCIni + cont02).Value = "" ThisWorkbook.Worksheets(sHInputs).Activate Cells(iFIni, iCIni + cont02).Select cont03 = 0 Do While Not Cells(iFIni, iCIni + cont02).Offse t(cont03, 0) = "" cont03 = cont03 + 1 Loop iFFin = iFIni + cont03 - 1 With ThisWorkbook.Worksheets(sHInputs)

vAuxiliarPrecios = .Range(.Cells(iFIni, iCIni + co nt02), .Cells(iFFin, iCIni + cont02 + NCol)).Value2

End With If cont02 = 0 Then vMatrizPrecios = vAuxiliarPrecios Else

vMatrizPrecios = m_pega(vMatrizPrecios, vAuxiliarP recios, True) End If cont02 = cont02 + 1 + NCol Loop CargaInputs = vMatrizPrecios End Function Public Function EscribirFicheroTxt(ByVal sFichero As String, ByVal vMatriz As Variant) Dim iFil, iCol As Variant Dim cont01, cont02 As Integer Dim strAuxLinea As String iFil = UBound(vMatriz, 1) iCol = UBound(vMatriz, 2) Open sFichero For Output As #1 For cont01 = 1 To iFil strAuxLinea = vbNullString For cont02 = 1 To iCol If cont02 = 2 Then

strAuxLinea = strAuxLinea & " " & CStr(vMatriz(con t01, cont02)) Else strAuxLinea = strAuxLinea & CStr(vMatriz(co nt01, cont02)) End If Next If (vMatriz(cont01, 1) = 0) Or IsEmpty(vMatriz( cont01, 1)) Then Else Print #1, strAuxLinea End If Next Close #1 End Function


B.2 Código de VBA para importar ficheros de texto con los datos de salida del

modelo de optimización GAMS

Sub LeeGAMS() Dim Contenido As String Dim GAMS() As String Dim Potencia(), Arranque(), Parada() As Variant Dim aux As Variant Dim sFichero As String Dim f As TextStream '.dll MicrosoftScripting Runtime(Herramientas-Ref) Dim fso As New FileSystemObject Dim sHojaOuputs, sHojaInputs As String Dim iNFilas, iNCol, iNFilasMax, iNColMax, cont01, c ont02 As Integer Dim iFilaPotencia, iColPotencia, iFilaArranque, iCo lArranque, iFilaParada, iColParada As Integer sHojaInputs = "InputsReducido" sHojaOutputs = "Outputs" iFilaPotencia = 5 iColPotencia = 5 iFilaArranque = 5 iColArranque = 8 iFilaParada = 5 iColParada = 11 With ThisWorkbook With .Worksheets(sHojaInputs) iNFilas = .Cells(6, 6).Value End With End With iNCol = 1 iNFilasMax = 60000 iNColMax = 1 'Potencia sFichero = CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[Ru taFicheroTxt]) & CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[NombreFichero TxtGAMS]) Set f = fso.OpenTextFile(sFichero, ForReading) Contenido = f.ReadAll GAMS = Split(Contenido, vbCrLf) cont01 = 1 cont02 = 1 ReDim Potencia(1 To iNFilas, 1 To iNCol) As Variant For Each aux In GAMS If cont02 > iNCol Then cont01 = cont01 + 1 cont02 = 1 End If If cont01 <= iNFilas Then Potencia(cont01, cont02) = aux End If cont02 = cont02 + 1 Next With ThisWorkbook.Worksheets(sHojaOutputs)

.Range(.Cells(iFilaPotencia, iColPotencia), .Cells( iNFilasMax, iColPotencia + iNColMax - 1)).ClearContents


.Range(.Cells(iFilaPotencia, iColPotencia), .Cells( iFilaPotencia + iNFilas - 1, iColPotencia + iNCol - 1)).Value2 = Potencia

End With 'Arranque sFichero = CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[Ru taFicheroTxt]) & CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[NombreFichero TxtStartGAMS]) Set f = fso.OpenTextFile(sFichero, ForReading) Contenido = f.ReadAll GAMS = Split(Contenido, vbCrLf) cont01 = 1 cont02 = 1 ReDim Arranque(1 To iNFilas, 1 To iNCol) As Variant For Each aux In GAMS If cont02 > iNCol Then cont01 = cont01 + 1 cont02 = 1 End If If cont01 <= iNFilas Then Arranque(cont01, cont02) = aux End If cont02 = cont02 + 1 Next With ThisWorkbook.Worksheets(sHojaOutputs)

.Range(.Cells(iFilaArranque, iColArranque), .Cells( iNFilasMax, iColArranque + iNColMax - 1)).ClearContents .Range(.Cells(iFilaArranque, iColArranque), .Cells( iFilaArranque + iNFilas - 1, iColArranque + iNCol - 1)).Value2 = Arranque

End With 'Parada sFichero = CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[Ru taFicheroTxt]) & CStr(ThisWorkbook.Worksheets("Menu").[NombreFichero TxtShutGAMS]) Set f = fso.OpenTextFile(sFichero, ForReading) Contenido = f.ReadAll GAMS = Split(Contenido, vbCrLf) cont01 = 1 cont02 = 1 ReDim Parada(1 To iNFilas, 1 To iNCol) As Variant For Each aux In GAMS If cont02 > iNCol Then cont01 = cont01 + 1 cont02 = 1 End If If cont01 <= iNFilas Then Parada(cont01, cont02) = aux End If cont02 = cont02 + 1 Next With ThisWorkbook.Worksheets(sHojaOutputs)

.Range(.Cells(iFilaParada, iColParada), .Cells(iNFi lasMax, iColParada + iNColMax - 1)).ClearContents

.Range(.Cells(iFilaParada, iColParada), .Cells(iFil aParada + iNFilas - 1, iColParada + iNCol - 1)).Value2 = Para da

End With

End Sub

C Códigos de MATLAB para

seleccionar el orden del modelo

autorregresivo que más se ajusta

a las series temporales y para

realizar contrastes de normalidad

de los residuos del modelo

C Códigos de MATLAB para seleccionar el orden del modelo autorregresivo que más se ajusta a las series temporales y para

realizar contrastes de normalidad de los residuos del modelo 129

C Códigos de MATLAB para seleccionar el orden del modelo

autorregresivo que más se ajusta a las series temporales y para

realizar contrastes de normalidad de los residuos del modelo

C.1 Código de MATLAB para calcular las funciones de autocorrelación simple y

parcial de las series temporales

%Autor: Juan Palomares

%Box-Jenkins

function ACFyPACF()

%Inicializar

close all

clear all

clc

%Matriz con unitarios diarios

load UnitariosDiarios

%Dimensiones

NProductos = size(UnitariosDiarios,2);

NUnitariosDiarios = size(UnitariosDiarios,1);

for Cont01 = 1 : NProductos

Vector(1:NUnitariosDiarios,1) = UnitariosDiarios(1:NUnitariosDiarios,Cont01);

%ACF

figure

autocorr(Vector)

%Guardar ACF

NbArchivo = strcat(num2str(Cont01),'_F5');

saveas(gcf,NbArchivo,'jpeg');

%PACF

figure

parcorr(Vector)

%Guardar PACF



end

return



C.2 Código de MATLAB para evaluar la complejidad frente a la precisión del

modelo autorregresivo


%Desviación típica para distintos ordenes del AR

function DesvestAR()

%Inicializar

close all

clear all

clc

%Matriz con nombre unitarios diarios

load UnitariosDiarios

%Dimensiones

NProductos = size(UnitariosDiarios,2);

NUnitariosDiarios = size(UnitariosDiarios,1);

OrdenMaxAR = 11;


Vector(1:NUnitariosDiarios,1) = UnitariosDiarios(1:NUnitariosDiarios,Cont01);

x=[];

for Cont02 = 1 : OrdenMaxAR

%AR

[A,E] = armcov(Vector,Cont02);

x=[x,sqrt(E)];

end

figure

plot(x,'o-')

%Guardar



end

return



C.3 Código de MATLAB para realizar contrastes de normalidad de Lilliefors sobre

los residuos del modelo autorregresivo


%Contraste de normalidad de Lilliefors

function Lilliefors()

%Inicializar

close all

clear all

clc

%Matriz con residuos

load ResiduosDiarios

%Dimensiones

NProductos = size(ResiduosDiarios,2);

NResiduosDiarios = size(ResiduosDiarios,1);


Vector(1:NResiduosDiarios,1) = ResiduosDiarios(1:NResiduosDiarios,Cont01);

%Histograma

figure

hist(Vector);



%Constraste de normalidad de Lilliefors

Constraste=lillietest(Vector,0.01);

end

return

D Metodología de Box-Jenkins

D Metodología de Box-Jenkins 133

D Metodología de Box-Jenkins

E Función de autocorrelación

simple y parcial

E Función de autocorrelación simple y parcial 135

E Función de autocorrelación simple y parcial

E.1 Patrones gráficos

E Función de autocorrelación simple y parcial 136

E.2 Proceso de selección del modelo

MODELO DE VALORACIÓN DE LA INVERSIÓN EN … · debido a contener restricciones físicas y...

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