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T 3 Tema 3 MODELOS MATEMÁTICOS DE MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS FÍSICOS
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Sistemas Físicos
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T 3Tema 3MODELOS MATEMÁTICOS DEMODELOS MATEMÁTICOS DE
SISTEMAS FÍSICOS
Introducción
Las técnicas de análisis y diseño propias de los sistemas de regulaciónLas técnicas de análisis y diseño propias de los sistemas de regulaciónrequieren inicialmente de la obtención de un modelo matemático del sistemaen cuestión. Una de las formas de modelo matemático mas adecuada paralos sistemas lineales continuos, invariantes con el tiempo de parámetroslos sistemas lineales continuos, invariantes con el tiempo de parámetrosconcentrados (empleo de bloques funcionales, de los diferentes elementosindependientes que componen el sistema, con sus entradas y salidas) y conun número de limitado de entradas y salidas es la Función de Transferencia.yEstudiaremos las ecuaciones definitorias y funciones de transferencia dealgunos de los elementos o componentes físicos más frecuentes utilizadosen los sistemas de regulación automática. Con ello se pretende obtener lafunción de transferencia global de cada sistema partiendo de las de suscomponentes y valiéndose del álgebra de bloques, o directamente,asociando las ecuaciones integro – diferenciales que caracterizan elcomportamiento físico de los distintos elementos del mismo.
En general los componentes o elementos que aparecen en los sistemas deregulación suelen ser, eléctricos, mecánicos, electromecánicos, hidráulicos,regulación suelen ser, eléctricos, mecánicos, electromecánicos, hidráulicos,térmicos, …
E. García
Bloques funcionales de sistemas eléctricos
Los bloq es f ncionales básicos de sistemas eléctricos pasi os sonLos bloques funcionales básicos de sistemas eléctricos pasivos son: Resistencias (R), Bobinas (L) y Condensadores (C).
Símbolos y unidadesMagnitud Símbolo UnidadMagnitud Símbolo Unidad
Corriente i AmperioTensión u VoltioResistencia R OhmioResistencia R OhmioCapacidad C FaradioInductancia L Henrio
E. García
Recordando el concepto de Función de Transferencia y su aplicación a un elemento resistivo (R).
Se define como función de transferencia a la relación existente entre la salida y laentrada de un dispositivo o sistema.
En realidad, la función de transferencia de un dispositivo representa lap prespuesta que éste tiene ante una señal de entrada determinada; por tanto, paradeterminar la función de transferencia de un sistema de control, lo que debemos haceres aplicar a la entrada una señal conocida, tanto en tiempo como en amplitud, yanalizar la salida del mismoanalizar la salida del mismo.
A modo de ejemplo vamos a desarrollar las ecuación lineal y función detransferencia de una resistencia “R”, y las variables utilizadas en su estudio la tensión“v” y la intensidad “i”
Si aplicamos una tensión “v” a una resistencia R, se produce una intensidad“i” en sus extremos que sera proporcional a dicha tensión. Consideramos que laintensidad es la salida y la tensión la entrada, la función de transferencia será la salida“i” dividida por la entrada “v”; por tanto obtendremos:i dividida por la entrada v ; por tanto, obtendremos:
E. García
Es decir:tiRt )()(
LaplacededatransformaLaRtu
titiRtu
:
1)()(
)(·)(
=
=
R1)(sU )(sI
RsUsI
LaplacededatransformaLa
1
1)()(
:
=
R
RsUsI 1)·()( =
Características de los bloques funcionales eléctricosBloque funcional Ecuación descriptiva a) Ecuación descriptiva b) Energia almacenada /
Potencia disipada
Energía almacenada
Inductancia
CapacidaddttdiLtu )()( = ∫= dttu
Lti )·(1)( 2
21 LiE =
∫= dttiC
tu )·(1)(dttduCti )()( = 2·2
1 uCE =
Energía disipada
Resistencia
∫C
)(·)( tiRtu =
dt
Rtuti )()( =
2
21 uR
P =
E. García
R R
Formación de un modelo para un sistema eléctrico
Las ecuaciones que describen cómo se pueden combinar los bloques funcionales eléctricos son las Leyes de Kirchhoff.funcionales eléctricos son las Leyes de Kirchhoff.
EJEMPLO:
En el circuito de la figura determinar, la función de transferencia y diagrama de bloques siendo la entrada u(t) y la salida i(t)de bloques siendo la entrada u(t) y la salida i(t)
R L
u(t)
R
A+
i(t)
E. García
A li d l d L d Ki hh ff E i it d l d
SOLUCIÓN 1:
Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff: En un circuito cerrado la suma defuerzas electromotrices es igual a la suma de caídas de tensión.
dttdiLtiRtu
tututu LR
+=
+=)()(·)(
)()()(
LsRsIsILssIRsULaplacededaTransformaLaAplicando
dt
+=+= ))·(()(·)(·)(
LsRsUsIsG
+==
1)()()(
1)(sU )(sILsR +
E. García
SOLUCIÓN 2:
También se puede hallar la función de transferencia a partir del diagrama debloques del sistema, construido con las funciones de transferencia de cadauno de los elementos aislados, en la forma que se muestra en la figura.
Por reducción del diagrama de bloques
LsRLsRR
LsR
sUsI
+=
+=
+=
11
·11
1
)()(
RR
1)(sU )(sI
E. García
LsR +
EJEMPLO:
En el circuito de la figura determinar las ecuaciones para obtener la función deEn el circuito de la figura determinar las ecuaciones para obtener la función de transferencia y diagrama de bloques siendo la entrada u(t) y la salida uo(t).
A
u(t) V+
uo(t)
R1
2
R3
4
A
i2i3i1
u(t) V uo(t)R2
R4
B
i2
SOLUCIÓN 1:
A li l i L d Ki hh ff l i t d d d iAplicamos la primera Ley de Kirchhoff las corrientes de nudo, es decir
321 III +=
Y tomamos como referencia la tensión “VAB” por lo que tendremos
E. García
22
11
)(·)()(·)()(
tiRtVtiRtUtV
AB
AB
=−=
343
22
)()(
)()·()()()(
esIntensidadlasdespejandotiRRtVAB
AB
+=
11
)()(
)()()(
tVti
RtVtUti
AB
AB−=
2
22
)()(
)()(
RRtVti
Rti
AB
AB
+=
=
43 RR +
Si sustituimos las intensidades en ecuación de los nudos I1=I2+I3 tendremos:)()()()( tVtVtVtU ABABAB−
4321
)()()()(RRtV
RtV
RtVtU ABABAB
++=
Operando ésta ecuación podremos tener como entrada U(t) y como salida p p ( ) yVAB(t); la entrada de VAB(t) a las resistencias R3 y R4, nos dará la salida I3 y la entrada de la intensidad I3 a la resistencia R4 nos dará la salida Uo(t).
E. García
+=− 11)·()()( tVtVtU
ABAB
+=−
+
1
4321
11)·(·)()(
)(
RRRtVRtVtU
RRRtV
R
ABAB
AB
+
++=
+
1
4321
11)·(·)()(RRR
tVRtVtU
RRR
ABAB
ABAB
+
++=
+
1
432
11·1)·()(RRR
RtVtU
RRR
AB
=
+ 432
111
1)()(
RtUtV
RRR
AB
+
++432
1·1RRR
R
)(tU )(tVAB
++ 111·1
1
R
E. García
+
++432
11RRR
R
La entrada VAB a las resistencias R3 y R4 nos dará la salida I3 por lo que t dtendremos.
1RR +
)(tVAB )(3 tI
43 RR +
La entrada I3 a la resistencia R4, nos dará la salida de Vo(t)
4R)(3 tI )(tVo
Juntando los bloques
)(tU )(tVAB
43
1RR +
)(3 tI4R
)(tVo
+
++ 111·1
1
RRRR
43 RR +
+ 432 RRR
E. García
SOLUCIÓN 2:
A partir de la ecuación:A partir de la ecuación:
4321
)()()()(RRtV
RtV
RtVtU ABABAB
++=
−
4321
Tendríamos:
11)()()()( tVtVtVtU
+
+=+
+=−
4324321
11
11)·()()()()(RRR
tVRRtV
RtV
RtVtU
ABABABAB
+
+=−432
111·)·()()(RRR
RtVtVtU ABAB
Lo que implicaría:q p
U(t) U(t)-VAB(t)+
VAB(t)-
E. García
Si determinamos la Función de Transferencia VAB(t)/U(t)-VAB(t) tendremos
+
+=−432
111·)·()()(RRR
RtVtVtU ABAB
+
+=
−
4321
11·
1)()(
)(
RRRR
tVtUtV
AB
AB
+ 432 RRR
Lo que implica:
U(t) U(t)-VAB(t)+
+1
11·
1
RRRR
VAB(t)
VAB(t)- + 432
1 RRR
E. García
La entrada de la tensión VAB(t) a las resistencias R3 + R4 nos dará la salida de la intensidad I ; por lo que tendremos:de la intensidad I3; por lo que tendremos:
)(tVAB 1RR +
)(3 tI
43 RR +
La entrada de la intensidad I3 a la resistencia R4 nos dará la salida de la tensión Uo(t); por lo que tendremos:tensión Uo(t); por lo que tendremos:
)(3 tI4R
)(tVo4
Juntando los bloques
)(tVAB 1RR
)(3 tI4R
)(tVo
+11·
1
RU(t) U(t)-VAB(t)+
43 RR + 4
+
+432
1· RRRR
VAB(t)-
E. García
Bloques funcionales de sistemas mecánicos
Los componentes de los sistemas mecánicos de reg lación p eden ser enLos componentes de los sistemas mecánicos de regulación pueden ser, engeneral, de traslación de rotación o una combinación de ambos. Ladiferencia fundamental existente entre ellos es, que mientras los primerostratan con fuerzas y variables correspondientes a desplazamientos linealestratan con fuerzas y variables correspondientes a desplazamientos lineales,los segundos lo hacen con pares y variables correspondientes adesplazamientos angulares. Ambos sistemas actúan según la ley de Newtondel movimiento que básicamente establece que la suma algebraica dedel movimiento, que básicamente establece que la suma algebraica defuerzas ( pares ) que actúan sobre un cuerpo en un sentido dado, es igual ala masa (momento de inercia) del cuerpo multiplicada por su aceleraciónlineal ( angular ) en el mismo sentido.lineal ( angular ) en el mismo sentido.
Sistemas mecánicos de traslaciónSistemas mecánicos de traslación
Los elementos básicos que intervienen en un sistema mecánico, que realizaun movimiento de traslación o lo largo de una línea recta, son los siguientes:
ll ó t li l i t i ó ti dmasa, muelle ó resorte lineal y rozamiento viscoso ó amortiguador.
E. García
Características de los bloques funcionales mecánicos de traslaciónCaracterísticas de los bloques funcionales mecánicos de traslaciónBloque funcional Ecuación descriptiva
en función del desplazamiento
Ecuación descriptiva en función de la velocidad
Energia almacenada / Potencia disipada
Energía almacenada
Masa
f 21
2
2 )()(dttydMtf = 2
21MvE =
dttdvMtf )()( =
t
Resorte
Energía disipada
A ti d
)()( tkytf =kfE2
21
=
tdy )(
∫=t
tdtvKtf0
)()()(
AmortiguadordttdyBtf )()( = 2BvP =)(·)( tvBtf =
E. García
Símbolos y unidades empleadas para las magnitudes que intervienen en el movimiento de traslación.
E. García
Formación de un modelo para un sistema Mecánico de Traslación
El movimiento de traslación es el que realizamos a lo largo de una línea recta y queda descrito por las variables de aceleración, velocidad y desplazamiento. La Ley que rige el movimiento de traslación es la segunda Ley de Newton, la cual establece: La suma algebraica de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido en una dirección dada, es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleración en la misma di iódirección.
∑ = aMF ·
EJEMPLOS:
1.- En el sistema mecánico de la figura determinar, la función de transferencia y diagrama de bloques siendo: a) la entrada f(t) y la salida y(t);transferencia y diagrama de bloques siendo: a) la entrada f(t) y la salida y(t); y b) la entrada y(t) y la salida f(t).
E. García
SOLUCIÓN
Según la tabla de bloques funcionales mecánicos de traslación
2
2 )()(
LaplaceAplicandodttydMtf =
2
1)()()(
sYsYMssF
LaplaceAplicando
=
=
2
1Ms
)(sF )(sY
2
2
)()()(
MssYsF
MssF
=
Ms
)(F)(sY2Ms
)(sY )(sF
E. García
EJEMPLOS:
2 E l i t á i d l fi d t i l f ió d2.- En el sistema mecánico de la figura determinar, la función de transferencia y diagrama de bloques siendo la entrada f(t) y la salida y(t);
E. García
SOLUCIÓN
L i t h i l l i t i d l fLo primero que tenemos que hacer es aislar el sistema, viendo las fuerzas que actúan, para poder aplicar la segunda Ley de Newton
Al aplicar la fuerza “F” sobre el carrito en la dirección del desplazamiento “x”, el amortiguador y el resorte tenderan abrirse, por lo que aplicaran una fuerza igual y de sentido contrario sobre el carrito.g y
Aplicando la 2ª Ley de Newtton tendremos
2 )(txd2
)()(dttxdMtF∑ =
E. García
En la figura anterior vemos que la fuerza del resorte y del amortiguador, actúan en sentido contrario al desplazamiento, por lo que irán precedidas de p , p q psigno negativo.
La fuerza aplicada al carrito “F” actua en el mismo sentido que el desplazamiento por lo que irá precedida de signo positivo por lo que:desplazamiento por lo que irá precedida de signo positivo, por lo que:
2
2 )(dttxdMFFF oramortiguadresorte =+−−
dt
Según la tabla de bloques funcionales mecánicos
)()( 2 tdtd )()()()( 2
2
dondededttxdMtF
dttdxBtkx =+−−
)()()()( 2
2
tkxdttdxB
dttxdMtF ++=
)()()()()()()(
2
2
XkBMFskXsBsXsXMssF
LaplaceAplicando++=
E. García
)()·()( 2 sXkBsMssF ++=
Si lo que deseamos es el desplazamiento X(s) en función de la entrada F(s)
sXsXkBsMssF
=
++= 2
1)()()·()(
kBsMssF ++= 2)(
kBsMs ++21)(sF )(sX
E. García
SOLUCIÓN 2:
También se puede hallar la función de transferencia a partir del diagrama deTambién se puede hallar la función de transferencia a partir del diagrama debloques del sistema, construido con las funciones de transferencia de cadauno de los elementos aislados, en la forma que se muestra en la figura.
Por reducción del diagrama de bloques
MMMsY 222111
)(
YMs
BskMsMs
MsBsk
Ms
MsBs
MskMs
sFsY
++=
++
=++
=
2
2
2
2
2
22
2
1)(
11)()(
E. GarcíakBsMssF
sY++
= 2
1)()(
Sistemas mecánicos de rotación
Las tres características f ndamentales de n sistema mecánico de rotaciónLas tres características fundamentales de un sistema mecánico de rotaciónson: el momento de inercia “J”, la rigidez “k” y el rozamiento viscoso(amortiguador) “B”.
Los sistemas mecánicos de rotación son bastantes parecidos a los detraslación, salvando la diferencia de que en ellos para describir el equilibriodel sistema se utilizan las ecuaciones de par en lugar de valerse de las defuerza.
Equivalencias traslación y rotaciónTraslación Rotación
Distancia y ó x Ángulo θ
Velocidad V Velocidad angular ωVelocidad V Velocidad angular ω
Aceleración a Aceleración angular Α
Fuerza f Par ó Torque P ó T
Masa M Momento de Inercia JMasa M Momento de Inercia J
Rigidez K Rigidez K
Rozamiento viscoso B Rozamiento viscoso B
E. García
Características de los bloques funcionales mecánicos de rotaciónBloque funcional Ecuación descriptiva
en función del desplazamiento
Ecuación descriptiva en función de la velocidad
Energia almacenada / Potencia disipada
desplazamiento velocidad
Energía almacenada
Momento de Inercia 2
2 )()(dttdJtT θ
=2
21 ωJE =
dttdJtT )()( ω
=InerciaResorte
Energía disipada
)()( tktT θ=kTE2
21
=
dt 2dt
∫=t
tdtKtT0
)()()( ω
Energía disipada
AmortiguadordttdBtT )()( θ
= 2ωBP =)(·)( tBtT ω=
E. García
Símbolos y unidades empleadas para las magnitudes que intervienen en el movimiento de traslación.
E. García
Formación de un modelo para un sistema Mecánico de RotaciónFormación de un modelo para un sistema Mecánico de Rotación
La resolución de estos sistemas mecánicos es similar a los de traslación, salvando las diferencias del desplazamiento angular, la velocidad angular y l l ió lla aceleración angular.
∑ = α·JT
EJEMPLOS:
1.- En el sistema mecánico de la figura determinar, la función deg ,transferencia y diagrama de bloques siendo: a) la entrada T(t) y lasalida θ(t); y b) la entrada θ(t) y la salida T(t).
T(t) θ(t)
J
E. García
SOLUCIÓN
Según la tabla de bloques funcionales mecánicos de rotación
2
2 )()(
LaplaceAplicandodttdJtT =
θ
2
1)()()(
ssJssTLaplaceAplicando
=
=θ
θ
2
1Js
)(sT )(sθ
2
2
)()()(
JsssT
JssT
=θ
Js
)(T)(sθ2Js
)(sθ )(sT
E. García
EJEMPLOS:
2 E l i t á i d l fi d t i l f ió d2.- En el sistema mecánico de la figura determinar, la función de transferencia y diagrama de bloques siendo la entrada T(t) y la salida θ(t);
E. García
SOLUCIÓNLo primero que tenemos que hacer es aislar el sistema.p q q
Al aplicar el par o torque “P” o “T” sobre el disco en la dirección del desplazamiento “θ”, el amortiguador y el resorte tenderan a crear una fuerza igual y de sentido contrario sobre el discoigual y de sentido contrario sobre el disco.
Aplicando la ecuación
2
2 )()( tdJtT θ∑ =
E. García
2)(dt∑
En la figura anterior vemos que el par o torque del resorte y del amortiguador, actúan en sentido contrario al desplazamiento, por lo que irán g , p , p qprecedidas de signo negativo.
El par de fuerzas aplicado al disco “P” o “T” actua en el mismo sentido que el desplazamiento por lo que irá precedida de signo positivo por lo que:desplazamiento por lo que irá precedida de signo positivo, por lo que:
2
2 )(dttdJTTT oramortiguadresorte
θ=+−−
dt
Según la tabla de bloques funcionales mecánicos
)()( 2 tdtd θθ )()()()( 2
2
dondededttdJtT
dttdBtk θθθ =+−−
)()()()( 2
2
tkdttdB
dttdJtT θθθ
++=
)()()()()()()(
2
2
kBJTsksBssJssT
LaplaceAplicando
θ
θθθ ++=
E. García
)()·()( 2 skBsJssT θ++=
Si lo que deseamos es el desplazamiento θ(s) en función de la entrada T(s)
sskBsJssT
=
++= 2
1)()()·()(
θθ
kBsJssT ++= 2)(
kBsJs ++21)(sT )(sθ
E. García
SOLUCIÓN 2:
También se puede hallar la función de transferencia a partir del diagrama deTambién se puede hallar la función de transferencia a partir del diagrama debloques del sistema, construido con las funciones de transferencia de cadauno de los elementos aislados, en la forma que se muestra en la figura.
Por reducción del diagrama de bloques
JJJs 222111
)(θ
JsBskJs
Js
JsBsk
Js
JsBs
JskJs
sTs
++=
++
=++
=
2
2
2
2
2
22
2
1)(
11)()(
θ
θ
E. GarcíakBsJssT
s++
= 2
1)()(θ
Trenes de engranajes
Los sistemas de reducción de engranajes se utilizan normalmente conLos sistemas de reducción de engranajes se utilizan normalmente conmotores en un intento de optimizar la potencia que se dispone a velocidadesaltas. Aunque existen muchos tipos diferentes de configuraciones deengranajes, las relaciones fundamentales se describen utilizando un par deg j , pruedas dentadas tal como se ilustra en la Figura.
Como las fuerzas aplicadas y de carga sobre los dientes del engranaje queestán en contacto son iguales, la magnitud de los pares respectivos debenestar en proporción directa al radio. La relación de los radios es, porsupuesto, igual a la relación de las circunferencias. Por lo tanto, la relaciónd l li d l t itid i l l l ió d l ú ddel par aplicado al par transmitido es igual a la relación del número dedientes del engranaje tales que
11
NN
TT
=
E. García
22 NT
donde N es el número de dientes. Con la rotación de los engranajes, ladistancias recorridas a lo largo de las circunferencias deben ser iguales yesta igualdad se puede plantear en términos del producto del cambio enángulo y el radio tal que θ1·R1 = θ2·R2. Derivando con respecto al tiempo seobtiene ω1·R1 = ω2·R2. Para evitar el signo menos, la dirección de
i i t iti i i t l d j Simovimiento que se supone positiva se invierte para el segundo engranaje. Silas relaciones de los radios se sustituyen por relaciones de dientes,entonces
122 Nωθ
2
1
1
2
1
2
N==
ωθ
Definidas estas relaciones pueden escribirse las ecuaciones que caracterizan el sistema como la Inercia y el Rozamiento a un eje común, sin mas que multiplicar estos por el cuadrado de la relación entre el número de dientes de los engranajes del eje común y del eje a reducir. NOTA: Si se tratase de i t á d d j t d í lti li l d d dsistemas con más de dos ejes, tendríamos que multiplicar por el cuadrado de
la relación total existente entre el eje considerado y el eje común.
E. García
EJEMPLOS:
1 E l i t á i d l fi f i l á t d I i1.- En el sistema mecánico de la figura referir los parámetros de Inercias y rozamientos al eje primario.
E. García
SOLUCIÓN
Referimos J3 y B3 del eje de carga al Eje E22
3·
+=NJJJ
2
3
4322
·
+=
+=
NBBB
NJJJ eq
4322
+=N
BBB eq
Referimos J2eq y B2eq del eje 2 al Eje E1
2
3
2
1
2
1
2
1 ····
+
+=
+=NNJNJJNJJJ
2
3
2
1
2
1
2
1
423
221
2211
····
····
+
+=
+=
+
+=
+=
NNBNBBNBBB
NNJ
NJJ
NJJJ eqeq
423
221
2211
+
+=
+=NN
BN
BBN
BBB eqeq
E. García
2
4
3
2
2
13
2
2
1211 ···
+
+=
NN
NNJ
NNJJJ eq
2
4
3
2
2
13
2
2
1211 ···
+
+=
NN
NNB
NNBBB eq
MODELOS SIMPLES ANALOGIAS
Si comparamos las relaciones lineales de las tablas anteriores encontramossimilitudes entre los modelos eléctricos y mecánicos.Consideremos el modelo mecánico de la figura, suponiendo que la superficieg , p q pestá libre de rozamiento.
La ecuación correspondiente del sistema será:La ecuación correspondiente del sistema será:
∫++=t
dttvKtBvtdvMtf )()()()( ∫dtf
0
)()()(
donde v(t) es la variable dependiente (de salida) y f(t) es una fuerza de entrada.
E. García
Si comparamos las ecuaciones anteriores con las de un circuito eléctrico encontramos que: tdiLtdvM )()(
∫∫
⇒
⇒
tt
tRitBvdt
Ldt
M
1
)()(
)()(
∫∫ ⇒ dttiC
dttvk00
)(1)(
por lo que:
i(t)
L1A+
∫++=t
dttiC
tRidttdiLtv
0
)(1)()()(
D d i(t) l i bl
C1
R1v(
t) Donde i(t) es la variable dependiente (de salida) y v(t) es la señal de entrada.
C
Esto es una analogía fuerza-tensión; Fuerza ⇒ Tensión
Velocidad ⇒ Corriente
Masa ⇒ Autoinducción
C f d i t i R i t i
E. García
Coef. de rozamiento viscoso ⇒ Resistencia
Constante del resorte ⇒ Inversa de la Capacidad
Esta no es la única analogía con el circuito eléctrico, puesto que tiene una f t áti l l í f i t id l i itforma matemática con la analogía fuerza-corriente, consideremos el circuito siguiente:
V+
v(t)
A+
i3A+
i2A+
i1
(t)
a
dttvL
tGvdttdvCti
t
)(1)()()(0
++= ∫( )i
C1
L1G1
bR
G 1=
La analogía en este caso es:
Fuerza ⇒ Corriente
Velocidad ⇒ Tensión
Masa ⇒ CondensadorMasa ⇒ Condensador
Coef. de rozamiento viscoso ⇒ Conductancia
Constante del resorte ⇒ Inversa de la Autoinducción
E. García
MODELOS CON COMPONENTES TÉRMICOS E HIDRAÚLICOS
Las resistencia y los condensadores tienen analogía con modelos térmicos eLas resistencia y los condensadores tienen analogía con modelos térmicos e hidráulicos.
Los sistemas térmicos e hidráulicos, están basados en la Ley de la conservación de la energía; la energía introducida ha de ser igual a laconservación de la energía; la energía introducida ha de ser igual a la energía almacenada más las perdidas.
• Sistema térmico y su correspondiente analogía eléctrica:• Sistema térmico y su correspondiente analogía eléctrica:
Sólo existen dos bloques funcionales básicos para sistemas térmicos:
La resistencia eléctrica con la resistencia térmica.
E. García
La capacidad eléctrica (condensadores) con la capacidad térmica.
Sólo existe flujo de calor entre dos puntos si hay una diferencia de temperatura entre ellos. El equivalente eléctrico sería: que solo circula una
i t lé t i “i” t d t i t ll h dif i dcorriente eléctrica “i” entre dos puntos si entre ellos hay una diferencia de potencial “v”.
Rvi =
Por analogía podremos dterminar la resistencia térmica R. Si “q” es el flujo de calor y (θ1-θ2), la diferencia de temperatura, entonces
)21( θθR
q )21( θθ −=
El valor de la resistencia depende de la forma en que se transmita el calorEl valor de la resistencia depende de la forma en que se transmita el calor por conducción o por convección (conducción en sólidos; convección en líquidos y gases).
Donde:
AkLR:Conducción =
L = Longitud del material entre los puntos cuyas temperaturas son θ1 y θ2.
A = Área de la sección transversal del material por el cual se
hAR
'1:Convección =
conduce el calor. K es la conductividad térmica
A’ = Área superficial a través de la cual existe la diferencia de temperaturas.
E. García
hA h = Coeficiente de transferencia de calor
La capacidad térmica es una medida de almacenamiento de energía interna en un sistema. De este modo, si la razón de flujo de calor en el , jinterior de un sistema es q1 y la razón de flujo de calor que sale es q2 tendremos:
dθ Dónde:
21
21
qdCq
dtdCqq
+=
=−
θ
θ= Variación de temperatura.
C = Capacidad térmica = m·cdt
dθ
21 qdt
Cq +=m = masa de la sustancia
c = calor especifico de la sustancia
Si l t t if d t d l t dSi suponemos que la temperatura es uniforme dentro del contenedor, entonces el flujo de calor que entra al contenedor, qi (en kcal/seg) se divide en un componente almacenado y en un componente de perdida de calor, tal que:que:
p tRdt
tdCtqideciresqdtdCqi +=+= )(1)()( θθθ
pqqqiq
⇒⇒21
E. García
La ecuación anterior la podemos expresar de la forma
)()(··)(· tdttdCRtqiR θθ+=
Donde θ es la temperatura relativa (diferencia de temperatura en ºC) con respecto a la temperatura ambiente fuera del contenedor. La capacidad térmica C = m·c (m = masa de la sustancia considerada en kg; c = calor ( g;especifico de la sustancia kcal/kg ºC) y R la resistencia térmica especifica en ºC seg/kcal.
La función de transferencia donde el cambio del flujo de calor producido por el calefactor qi(t) que actúa como entrada, y la variación de temperatura θ(t) es la salida.
1··)()(
+=
sCRR
sQisθ
1)( +sCRsQi
E. García
EJEMPLO:
Introducimos un termómetro que se encuentra a una temperatura θ en un liquido que se encuentra a una temperatura θL. Determinar la ecuación que describa la variación de la temperatura del termómetro en función de la temperatura del liquido.
La resistencia térmica al flujo de calor del liquido al termómetro es R por lo que:
RLq )( θθ −
=
La capacidad térmica C del termómetro vendrá dada por la ecuación
dCqq θ=− 21
dtCqq =21
Puesto que solo hay un flujo de calor del liquido al termómetro, entonces q1 = q y q2 = 0. De esta manera:
dtdCq θ
= Si sustituimos el valor de q R
LdtdC θθθ −
= LdtdRC θθθ
=+
1)()()()(
=
=+s
sLssRCsLaplaceAplicandoθ
θθθ
E. García
1)( +=RCssLθ
• Sistema hidráulico y su correspondiente analogía eléctrica:
En la figura se muestra una situación análoga que relaciona el flujo del fluidoEn la figura se muestra una situación análoga que relaciona el flujo del fluido que entra en el tanque que se divide entre el almacenado y el que sale del tanque.
La Resistencia Hidráulica “R” es la resistencia a fluir que se presenta como resultado de un flujo de líquido a traves de válvulas o cambios de diametros de las tuberias. La resistencia “R” para el flujo de líquidos en los tubos y/o valvulas, se define como el cambio en la diferencia de nivel necesaria para producir un cambio en una unidad en la velocidad del flujo.
segmflujodelvelocidadlaencambio
malturaniveldediferencialaencambioR 3,
),(=
E. García
segf j ,
El caudal de salida del depósito, es proporcional a la altura en el depósito (en régimen laminar) y a la raíz cuadrada de la altura en el depósito (en régimen turbulento)
laminarRégimenh 2
turbulentoRégimenh
2qhR =
22qhR =
La Capacitancia hidráulica “C”, es el termino empleado para definir la energía potencial almacenada por el líquido en el deposito.
La Capacitancia “C” de un tanque se define como el cambio necesario enLa Capacitancia C de un tanque se define como el cambio necesario en la cantidad de liquido almacenado, para producir un cambio de una unidad en la altura.
malturalaencambiomalmacenadolíquidoelencambioC
,, 3
=
Nota: No debemos confundir la capacidad del depósito en m3, con la capacitancia en m2, son diferentes. La capacitancia del depósito es igual a su área transversal.
E. García
La energía potencial almacenada por el líquido en el deposito dependerá del volumen de líquido almacenado y éste a su vez dependerá de la diferencia
dV21
volumen de líquido almacenado, y éste a su vez dependerá de la diferencia entre el caudal de entrada “q1” y el caudal de salida “q2”.
dtqq =− 21
Pero el volumen depende del área del tanque y de la altura de liquido
dtdhAqq =− 21
Donde:
A = Área del tanque C
h Alt d l fl iddt h = Altura del fluido
De donde: dhC 21
hq
qdt
Cq
=
+=
2como
21
Rh
dtdhCq
Rq
+=1
2como
E. García
Rdt
)(1)()( ththdCti
O lo que es lo mismo:
La función de transferencia donde qi(t) se considera el caudal de entrada y h
)()()( thRdt
Ctqi +=
el nivel alcanzado por el deposito la salida.
1··)()(
+=
sCRR
sQisH
1)( +sCRsQi
La función de transferencia donde qi(t) se considera el caudal de entrada y qo(t) el caudal a la salida.
1··1
)()(
+=
sCRsQisQo
qi = Caudal de entrada en (m3/seg).
qo = Caudal de salida en (m3/seg).
h = Altura en estado estable en (m).
R = Resistencia hidráulica en (seg/m2).
E. García
C = Capacitancia hidráulica en (m2).
E. García
E. García
E. García
E. García
