modulo de rigidez 4

5/16/2018 modulo de rigidez 4 - slidepdf.com

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MODULO DE RIGIDEZ DE UN MATERIAL.

I. Objetivos:

∋ Determinar experimentalmente la constante elástica de un resorte por el método dinámico.

∋ Calcular el módulo de rigidez del hilo de un resorte helicoidal.

II. Materiales a utilizar:

∋ Un resorte helicoidal.

∋ Un soporte universal con dos varillas de hierro y una nuez.

∋ Una regla graduada en milímetros.

∋ Un vernier cuya sensibilidad es 0.05 mm.

∋ Un micrómetro cuya sensibilidad es 0.01 mm.∋ Pesas ranuradas y portapesas.

∋ Una balanza.

∋ Un cronómetro.

∋ Un nivel de burbujas.

III. Marco teórico y conceptual:

3.1. Vibraciones Libres de Partículas:

Un método para calcular la constante elástica (K) de un resorte es el método dinámico el que comprende a un movimiento

armónico simple. Para mostrar esto, consideremos un cuerpo de masa m suspendido de un resorte tal como se muestra en la

fig.

Si se desplaza al cuerpo una distancia ym a partir de la posición de equilibrio estático y luego se le suelta sin velocidad

inicial, el cuerpo se moverá hacia arriba y hacia abajo realizando un M. A. S. De amplitud ym.

Para determinar el periodo de oscilación del cuerpo m, se aplica la segunda ley de Newton en una posición arbitraria y, estoes:

∑ =↓ y y ma F

...(1)



Por otro lado cuando el cuerpo está en la posición de equilibrio estático, la segunda ley de Newton, se escribe:

Reemplazando la ec. (2) en (1), resulta:

Haciendo wo2 = k/m, la ecuación (3), puede escribirse en la forma siguiente:

La ecuación (4) constituye la ecuación diferencial que describe el movimiento armónico simple y su solución tiene la forma:

Donde: ym es la amplitud del M. A. S.; wo es la frecuencia angular y ι el ángulo de desfasaje. El periodo de oscilación de partículas es:

Si se considera la masa efectiva del resorte (mrf ), la ecuación se escribe de la forma:

Si se traza una gráfica T2 vs. M, la existencia de mrf es el motivo por el cual la curva no pasa por el origen. La ec. (7)establece un medio cómo hallar el valor de la constante elástica de un resorte por el método dinámico.

3.2. Ley de Hooke:

Consideremos un resorte helicoidal, fijo en uno de sus extremos y el otro libre, al aplicar al extremo libre una fuerza exterior

como por ejemplo colocando una pesa m1, el resorte experimentará una deformaciónx. Se encuentra que la fuerza aplicada

es directamente proporcional al desplazamiento o al cambio de longitud del resorte. Esto se expresa como:

F = k x = k(x-x0)

2

2

)(dt

yd W g k mg st =+− δ

∑ = 0 Fy

0=− st k mg δ ...(2)

02

2

=+ ym

k

dt

yd ...(3)

02

02

2

=+ wdt

yd .... (4)

)sen( 0 φ += t w y y m...(5)

k mT /2π = ...(6)

k

mmT

rf )(2

+= π

...(7)



Donde k es una constante de proporcionalidad comúnmente llamada “constante elástica o de fuerza”. Mientras mayor sea k,

más rígido o fuerte será el resorte.

3.3. Torsión:

Llámese así a la deformación que experimenta una barra fija por uno de sus extremos y el otro sometido a un par de fuerzas

(M = F.d), aplicado a un plano perpendicular al eje. La aplicación de la carga de torsión produce en la barra:

∋ Un desplazamiento angular de la sección en un extremo respecto del otro.

∋ Origina esfuerzos cortantes en cualquier sección de la barra.

3.4. Momento Torsor:

En la figura siguiente se observa una barra sometida a un momento torsor aplicado a un extremo de la barra. Una generatriz

cualquiera, tal como AB en la superficie del cilindro, inicialmente paralela al eje y recta, se tuerce formando una hélice AC al

tiempo que la sección en B gira un ángulo θ, con respecto a la sección en A.

Fig. Momento torsor aplicado a un árbol.

El momento torsor viene expresado por la relación:

Donde: I p, es el momento de inercia polar de la sección transversal circular con respecto a un eje que pasa por su centro, θ es

el ángulo de giro, L la longitud de la barra y G el módulo de rigidez.

IV. Metodología:

I.- Para determinar la constante elástica del resorte:

a. Armar el equipo tal como se muestra en la figura 1. de la guía de laboratorio, suspendiendo el resorte del soporte

horizontal.

pt I L

G M

θ =

...(10)



b. Medir la longitud (L0) del resorte sin deformar.

c. Colocar el peso P1 en el extremo libre del resorte y llevarlo lentamente hasta la posición de equilibrio estático.

d. Llevar el sistema resorte pesa de la posición de equilibrio h1 a la posición h2 produciendo así un estiramiento ∆h entre 2 a

3 cm.

e. Soltar y dejar oscilar el sistema.

f. A continuación medir con el cronómetro la duración de unas 10 oscilaciones. Anotar sus valores en la tabla I.

g. Calcular el período de oscilación.

h. Repetir todos los pasos de “a” hasta “g” para las demás pesas y anote sus respectivos valores en la tabla I.

II - Para calcular el módulo de rigidez del resorte.

a. Con el Vernier y/o cronómetro medir 12 veces el diámetro del resorte. Anotar sus valores en la tabla II

b. Con el Vernier y/o cronómetro medir 12 veces el diámetro del hilo del resorte en diferentes posiciones. Anotar sus

valores en la tabla II

c. Contar el número de espiras que posee el resorte. Anotar este valor en la tabla II.



V. Cálculos y resultados

Tabla I. Datos y cálculos para hallar “k”

No Masa (g) Tiempo (s) Tiempo

Promedio

(t)

Periodo (T)

(s)

T2

(s2)

1 2 3 4 51 25 3.23 3.22 2.55 2.68 3.04 2.952 0.2952 0.0872 45 3.33 3.71 3.81 3.56 3.42 3.566 0.3566 0.127

3 65 3.81 3.74 3.67 3.89 3.87 3.786 0.3786 0.1434 85 4.04 4.24 3.90 4.18 4.01 4.074 0.4074 0.166

5 105 4.55 4.41 4.36 4.42 4.33 4.414 0.4414 0.195

Tabla II. Datos y cálculos para “G”

D(cm) 1.510 1.520 1.510 1.500 1.500 1.500 1.520 1.490 1.495 1.485 1.500 1.515d(mm) 0.90 0.89 0.89 0.91 0.89 0.90 0.89 0.91 0.89 0.91 0.91 0.90

N 75 79 76 77 78 76 77 79 79 76 75 78

VI. Cuestionario:

1. Con los datos de la tabla I y la ecuación (7), trazar una gráfica colocando los cuadrados de los períodos

de oscilación(T2), en el eje de las ordenadas y las masas (m), en el eje de las abscisas, y a partir de ella determinar

el valor de la constante elástica del resorte (k), así como la masa efectiva del mismo.

Para el gráfico T vs. mi;

Grafico T(cuadrado) Vs

0

0.05

0.1

0.150.2

0.25

25 45 65 85 105

(Masa) en

(g)

(T2)en(s2)



Ajuste de curva: Se utilizo la siguiente formula:

Datos Iniciales:

N Masa (x) (g) T2 (y) (s2)

1 25 0.0872 45 0.1273 65 0.1434 85 0.1665 105 0.195

N x (g) y (s2) xy (g s2) X2 (g2)

1 25 0.087 2.175 6252 45 0.127 5.715 20253 65 0.143 9.295 42254 85 0.166 14.11 72255 105 0.195 20.475 110253 325 0.718 51.77 25125

)(655

)(325 g

g

n

x x

i ===∑

)(1436.05

)(718.0 22

s s

n

y y

i ===∑

b = [51.77 - 5(65)(0.1436)] / [25125 - 5 (65)2]

b = 0.001275 (s2/g)

a = 0.1436 - 0.001275 (65) = 0.060725(s2)

y = 0.060725 (s2) + 0.001275 (s2/g) x(g)

Datos finales con ajuste de curvas:

N Masa (x) (g) Y

2

(s

2

)1 25 0.093

xba y +=

∑

∑−

−=

22

)()(

xn x

y xn xyb

xb ya −=

∑∑

−

−=

22

)()(

xn x

y xn xyb

xb ya −=



2 45 0.118

3 65 0.1484 85 0.169

5 125 0.195

Para determinar la constante elástica del resorte (k)

a) Para determinar la constante del resorte:

Se tiene que: b = 4Β2/k

k = 4(3.1415)2 / (0.0127515 (s2/g)) = 30.963 (N/m)

k = 30.96 (N/m)

Variación de k () k)

Del gráfico hallamos la variación de Φ:

2/1

2

1

2

i

2

1i

)x(xnn

2n

)yy(

−−−

−=σ ∑ ∑∑

2/1

2)325()25125(5

5

25

000127.0

−−

−=σ

) b = Φ= ∀ 0.0001029 (s2/g)

Luego para ) k:

b b

4k

2

2

∆π−=∆

)0001029.0()001275.0(

)146.3(4k

2

2

±−

=∆

) k = ∀2498.945 (g/s2)*(1Kg/1000g)*(m/m)

) k = ∀3.4989 (N/m)

Para el trato del error:Error = ) k/k = (2.4989(N/m)/30.96 (N/m)) = 0.08072

Para el error porcentual:

Error % = 0.08072 *100% = 8.072%

b) Para determinar la masa efectiva del resorte:

k

m4

a

ef

2π

=



2ef 4

ak m

π=

2ef )1416(.4

)96.30)(0060725(m =

mef = 0.0476219(N)(s2/m) = 0.0476219(Kg.)(m/s2)(s2/m)

mef == 47.62 (g).

2. Con los datos de la tabla I y el valor de “k” obtenido, hallar el módulo de rigidez del resorte (G), utilizando la

ecuación (23), con su respectivo valor absoluto y porcentual.

Tabla II. Datos y cálculos para “G”

D(cm) 1.510 1.520 1.510 1.500 1.500 1.500 1.520 1.490 1.495 1.485 1.500 1.515

d(mm) 0.90 0.89 0.89 0.91 0.89 0.90 0.89 0.91 0.89 0.91 0.91 0.90N 75 79 76 77 78 76 77 79 79 76 75 78

De los promedios:

D(cm) = 1.504 (cm) R = 0.752 (cm) R = 7.52 (mm)

d(mm) = 0.899 (mm) r = 0.4495 (mm)

N = 76.82 = 77.

De la siguiente ecuación:

4

3

r

NkR 4G =

4

3

)4495.0(

)52.7)(96.30)(77(4G =

G = 99331365.54(N/m)(N/m)

G = 99.33 * 109 (N/m)

G = 99.33 (GPas)

La variación del módulo esta dado por:

r r

GR

R

Gk

k

GG ∆

∂

∂−∆

∂

∂+∆

∂

∂=∆

r r

NkR 16R

r

NkR 10k

r

NR 4G

5

3

4

2

4

3

∆−

+∆+∆=∆

Donde:

) k = 2.4289 (N/m)



)cm(0875.000875.02

01.0

2

)07425()76.0(

2

RminRmaxR ===

−=

−=∆

)mm(005.02

)445.0()455.0(

2

r r r minmax

=−

=−

=∆

N = 77 (Espiras)

Hallando ) G:

) G = ) G1 + ) G2 - ) G3

Hallando ) G1:

4989.2)4485.0(

)52.7)(77(4k

r

NR 4G

4

3

4

3

1 =∆=∆

) G1 = 8.027 (GPas)

Hallando ) G2:

)00875()4495.0(

)52.7)(96.30)(77(12R

r

NkR 12G

4

2

4

2

2 =∆=∆

) G2 = 3.47 (Gpas)

Hallando ) G3:

)005.0()4495.0(

)52.7)(96.30)(77(16r

r

NkR 16G

5

3

5

3

3

−=∆

−=∆

) G3 = 4.42 (Gpas)

Luego:

) G = ) G1 + ) G2 - ) G3

) G = (8.02 + 3.47 + 4.42)(Gpas)

Para el Error Absoluto:

Error = ) G / G = (15.91)(Gpas)/(99.33)(Gpas) = 0.1602

Para el error porcentual:

0.1602 (100%) = 16%

3. ¿Qué importancia tiene el determinar el módulo de rigidez de algunos materiales?

Saber el módulo de rigidez de algunos materiales sólidos, nos permite averiguar que tan rígido o duro puede ser este material

y, si se requiere o no un esfuerzo grande para impartirle una deformación, el módulo de rigidez de un material sólido

depende directamente de la forma que tenga éste.

Y posteriormente nos será de mucha utilidad para poder establecer la resistencia de estructuras, entre otras cosas.

4. ¿Cuáles son las posibles fuentes de error en la experiencia?



∋ En la instalación del equipo de la figura 1, la barra no podría permanecer horizontal durante la experiencia.

∋ En la obtención del tiempo, respecto de las 10 oscilaciones con diferentes masas.

∋ En la medición de los diámetros interior y exterior del resorte helicoidal.

∋ Posiblemente también en el cálculo los redondeo de cifras.



VII. Conclusiones:

Luego de la siguiente practica se llego a las siguientes conclusiones:

Luego de seguir los procedimientos se puede experimentar la existencia del modulo de rigidez de un material.

Un cuerpo esta sometido a varias condiciones como torsión, modulo de rigidez.

Se llego a comprobar experimentalmente la constante elástica (k), de un resorte.

VIII Recomendaciones y Sugerencias:

∋ Que al realizarce la practica se tenga cuidado en el seguimiento de los procedimientos de la guía de laboratorio.

∋ Ser cuidadoso al tomar las medidas.

∋ Tener cuidado al manipular los instrumentos de medición puesto que son de gran precisión.∋ Armar correctamente los equipos para seguir los procedimientos siguientes.

IX. Bibliografía

∋ Félix Aucallanchi V. “Física I” Edit. Racso 1991.

∋ Goldemberg, J. “Física General y Experimental”, Vol. I y II

∋ Singer, F “Resistencia de Materiales”, Edit. Harla. México 1999

∋ Beer-Jonsthon “Mecánica de materiales”. Edit. Mc Graw Hill. Colombia 1993

∋ Tipler, P. “Física”, Vol. I. Edit. Reverté. España 1994.

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