Monografia de Fisica I - MOVIMIENTO MECANICO

8/18/2019 Monografia de Fisica I - MOVIMIENTO MECANICO

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CINEMATICA

1. MOVIMIENTO MECANICO

La más sencilla forma de movimiento de la materia es el movimiento

mecánico, que consiste en el desla!amiento de los cueros o de susartes unos resecto a otros.

"ic#o movimiento transcurre tanto en el esacio, como en el tiemo

$esacio % tiemo son dos formas inte&rales de e'istencia de la

materia(

El con)unto de cueros que destacamos ara la o*servaci+n lo

denominamos sistema mecánico

El sistema de referencia, está formado or un con)unto de cueros

inm+viles unos con relaci+n a otros, resecto de los que se e'amina el

movimiento % or un relo) que re&istra el tiemo.

El movimiento de un mismo cuero con relaci+n a diferentes sistemas

de referencia uede tener distinto carácter.

Como e)emlo ima&inmonos que un tren acelera, suon&amos que

or el asillo de uno de los va&ones en marc#a #a% un asa)ero a

velocidad constante, en dic#o caso el movimiento del asa)ero

resecto del va&+n será uniforme, mientras que en lo que resecta a

la Tierra este será acelerado.

La descrici+n del movimiento de un cuero si&ni-ca indicar ara

cada momento de tiemo, la osici+n en el esacio % la velocidad del

cuero.

Con el -n de re-)ar el estado de un sistema mecánico, #a% que

indicar las osiciones % las velocidades de todos los cueros que lo

forman. El ro*lema tico de la mecánica, consiste en que

conociendo el estado del sistema en cierto momento de tiemo inicial

to, as como las le%es que &o*iernan el movimiento, determinar el

estado del sistema en los si&uientes momentos de tiemo t.

Al mismo tiemo de-nimos al unto material al cuero cu%as

dimensiones es osi*le desreciar de acurdo con las condiciones del

ro*lema lanteado. En el ro*lema odemos considerar o no el

cuero concreto que e'aminamos como unto material, % esto a su

ve! no deende de las dimensiones del cuero, sino del

lanteamiento del ro*lema. /n mismo cuero en muc#os casos

uede ser considerado unto material, mientras que en otros de*ee'aminarse como cuero e'tendido.


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Cuando se #a*la de un cuero como unto material, este

reviamente se #a a*strado de sus dimensiones. 0osteriormente

odemos deducir la se&unda a*stracci+n con la que troe!amos en

mecánica La del cuero r&ido. En la naturale!a no e'isten cueros

que sean indeforma*les, or lo tanto llamamos cuero r&ido a uncuero en el cual sus dimensiones ueden ser desreciadas en las

condiciones del ro*lema dado.

Es osi*le descomoner todo movimiento de un s+lido en dos formas

de movimiento el de rotaci+n % el de traslaci+n.

Llamamos traslaci+n a un movimiento que &ira alrededor de una

referencia $unto(.

El movimiento de rotaci+n se de-ne como el &iro de un cuero *a)o su

mismo e)e de rotaci+n que uede estar situado dentro o fuera delcuero.

0ara o*tener la osi*ilidad de descri*ir el movimiento de forma

cuantitativa, es necesario li&ar con los cueros que forman el sistema

de referencia ciertos sistemas de coordenadas. Entonces la osici+n

del unto material uede de-nirse re-)ando tres n2meros ', %, ! que

serán las coordenadas cartesianas de dic#o unto.

3. VECTO4E5

Los vectores son ma&nitudes caracteri!ados or valoresnumricos con direcci+n % sentido, as tam*in or el #ec#o que

se suman $comonen( or la re&la de aralelo&ramo./na de-nici+n más ri&urosa es la de llamar vector a un con)unto

de tres ma&nitudes, que se transforman al &irar los e)es de

coordenadas se&2n determinadas le%es.El valor numrico del vector es denominado modulo, en otras

ala*ras el modulo nos indica la lon&itud del vector, dic#o

modulo es un escalar siemre ositivo.La 6ec#a nos indica el sentido del vector.0ara de-nir su m+dulo utili!amos

|a| Es el modulo del vector a→

Los vectores diri&idos a lo lar&o de rectas aralelas $en un

mismo sentido o sentido ouesto( reci*en el nom*re de

colineales.Los vectores que %acen en lanes aralelos son llamados

colanarios.7. 5/MA 8 5/5T4ACION "E VECTO4E59. 04O8ECCION "EL VECTO4


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3

1 7

3

1

"E50LA:AMIENTO

T4A8ECTO4IA

Es ro%ecci+n del vector a en el e)e l. la ro%ecci+n se desi&na

con la misma letra que el vector, a;adiendo un ndice que

indica la direcci+n so*re la que se ro%ecta el vector.La ro%ecci+n del vector es una ma&nitud al&e*raica.5i el vector % la direcci+n forman un án&ulo a&udocosα >0

La ro%ecci+n será ositiva.5i el án&ulo es o*tusocosα


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d'

v

r

%

'

rGdr

5i en transcurso de i&uales intervalos de tiemo, la artcula asa i&uales

recorridos el movimiento de la artcula reci*e el nom*re de uniforme.

En este caso la velocidad se calcula dividiendo el recorrido s or el tiemo t .

v=s

t

La velocidad instantánea es la derivada del radio vector de la artcula

resecto del tiemo.

v=dx

dt

El desla!amiento d' coincide con un elemento in-nitesimal de la

tra%ectoria .0or consi&uiente, el vector v está diri&ido or la tan&ente de latra%ectoria.

La velocidad media, si tomamos los intervalos Ht cada ve! más eque;os, el

cociente∆ r

∆t nos ofrecerá en el lmite el valor de la velocidad v en el

momento de tiemo t.

v=limt →0

∆ r

∆ t =

dx

dt

5i tomamos los se&mentos del recorrido Hr, corresondiente a intervalos de

tiemo Ht en constante disminuci+n, la diferencia entre Hs % ⌈ ∆ r⌉

decrecerá %, en el lmite, su ra!+n será i&ual a la unidad.

limt →0

∆ s

∣ ∆ r ∣=1


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"e este modo el m+dulo de la velocidad es i&ual a la derivada del recorrido

resecto al tiemo.

Con el movimiento uniforme el m+dulo de la velocidad queda invaria*le

$vconstante(, mientras el sentido del vector v varia al a!ar $en articular

uede ser constante(.

El desla!amiento elemental de una artcula es i&ual a

dx=v.dt

El vector velocidad, como cualquier otro vector, uede ser reresentado

como

v=vx+vy+vz

5e desrende que

vx= x vy= yvz= z

0or consi&uiente, la ro%ecci+n del vector velocidad en el e)e de

coordenadas es i&ual a la derivada resecto del tiemo de la coordenada

corresondiente de la artcula de un movimiento. Tomando en

consideraci+n, o*teneos la si&uiente forma

v=√ x2+ y2+ z2

El vector velocidad uede ser reresentado en la forma v=vev , donde v es elm+dulo de la velocidad, ev , el versor del vector v. Introdu!camos el versorde la tan&ente de la tra%ectoria r , onindonos de acuerdo que está diri&ido

en el mismo sentido que v .Es evidente que los versores ev % r coincidirán ,or lo que odemos escri*ir la si&uiente e'resi+n

v=¿v ev=¿vr

"e las formulas anteriores o*tenemos

vr=ℜr


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Está diri&ida a lo lar&o del radio vector r% caracteri!a la raide! de variaci+n

de modulo r. La se&unda comonente, que desi&naremosvΨ , es i&ual a

vΨ =ℜr

Caracteri!a la raide! de variaci+n del radio vector or la direcci+n,

odemos escri*ir

er=dΨ

dt eΨ =Ψ e Ψ

"onde J es el án&ulo entre el radio vector % el e)e ', eΨ un versor

erendicular al radio vector diri&ido #acia el sentido de crecimiento del

án&ulo J.

vΨ =rΨeΨ

Kemos introducido las desi&naciones devΨ %

eΨ ara remarcar que la

comonentevΨ % el versor que le corresonde, están li&ados con la

variaci+n del án&ulo J.

Está claro que los vectores vr % vΨ son erendiculares entre s, or lo

tanto

v=√ vr2+vΨ

2=√ r

2+r

2

Ψ

2

CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN

La rotaci+n de un cuero a un án&ulo ϕ uede ser re-)ado en forma

de un se&mento, cu%a lon&itud es i&ual a dic#o án&ulo ϕ, coincidiendo

as la direcci+n del se&mento con el e)e alrededor del cual ocurre la

rotaci+n. 0ara e'licar #acia qu lado se reali!a la rotaci+n alrededordel e)e re-)ado. La direcci+n de rotaci+n % el se&mento que la


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reresenta se relaciona or medio de la regla del sacacorchos la

direcci+n del se&mento de*e ser tal, que al mirar a lo lar&o de ste

$veamos -&. >.1( veamos la rotaci+n en sentido #orario $&irando el

man&o del sacacorc#os en sentido #orario rovocaremos un

desla!amiento ale)ándose del lector(. Como fue mostrado en elunto 3, los &iros a án&ulos -nitos no se suman se&2n la re&la del

aralelo&ramo, or lo que se uede a-rmar que no son vectores. Al

&irar a án&ulos mu% eque;os ϕ, el ro*lema es comletamente

diferente. El recorrido que reali!a cualquier unto del cuero durante

un &iro mu% eque;o uede lle&ar a ser considerado rectilneo $vase

-&. >.3(.

0or esa ra!+n, dos eque;os

&iros Δ φ

1 % Δ φ

2 que se

reali!an sucesivamente condicionan, como se uede ver en el di*u)o,

un desla!amiento i&ual∆ r

3=∆ r

1+∆ r

2 de cualquier unto del

cuero, lo mismo sucede con la rotaci+n ∆ φ3 se o*tiene de la suma

de ∆ φ

1 %∆ φ

2 se&2n la re&la del aralelo&ramo. Aqu se entiende

que rotaciones mu% eque;as se ueden considerar como vectores,

los cuales desi&naremos con Δφ o dφ . El sentido del vector de

rotaci+n se relaciona con la direcci+n de rotaci+n del cuero.

0or tanto se entiende que dϕ no es un vector real, sino que es un

seudovector.

Fig.5.1 Fig. 5.2


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.>

r

4

v

O

.7

O.9

O

s

L

La ma&nitud vectorialω= lim

∆ t →0

∆ φ

∆ t =

dφ

dt

• "onde t es el tiemo durante el que efect2a la rotaci+n Δ

Esta ma&nitud vectorial reci*e el nom*re de velocidad angular del

cuero, en ocasiones se denomina lineal la velocidad estudiada en la

arte 7. La velocidad an&ular ω, que es un seudovector, está diri&ida

a lo lar&o del e)e, alrededor del cual &ira el cuero, en el sentido que

determina la re&la del sacacorc#os $vase -&. >.7(. El m+dulo de la

velocidad an&ular es i&ual adφ

dt .

Llamamos uniforme la rotaci+n a velocidad an&ular constante. 5i la

rotaci+n es uniforme,ω=❑

t , donde ϕ es el án&ulo -nito de rotaci+n

durante el tiemo t $ v=s

t (. "e este modo, la rotaci+n uniforme ω

nos muestra a qu án&ulo &ira el cuero or la unidad de tiemo.

La rotaci+n uniforme uede ser caracteri!ada or el erodo de

rotaci+n T, or el que se entiende el tiemo que el cuero tarda aradar una vuelta, es decir, &ira en un án&ulo de 3π. Como el intervalo

de tiemo tT le corresonde el án&ulo de rotaci+n ϕ 3π,


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"onde

• ω=

2 π

T • T =

2 π

ω


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• El n2mero de revoluciones or unidad de tiemo v es i&ual a

• v=

1

T =

ω

2 π

• "e esta ecuaci+n se desrende que la velocidad an&ular es

i&ual a 3π multilicada or el n2mero de revoluciones or

unidad de tiemo

• ω=2πv

• Los concetos de erodo de rotaci+n % n2mero de revoluciones

or unidad de tiemo ueden ser tam*in conservados ara la

rotaci+n variada, entendiendo or valor instantáneo de T el

tiemo durante el cual el cuero da una vuelta, si el cuero

&irara uniformemente con el valor dado de la velocidad an&ular

instantánea % sa*iendo que v es el n2mero de revoluciones or

unidad de tiemo que reali!a el cuero en condiciones

seme)antes.

• El vector ω uede cam*iar tanto or la variaci+n de la velocidad

de rotaci+n alrededor del e)e, en seme)ante caso variará en

ma&nitud, como a cuenta del &iro del e)e de rotaci+n en el

esacio aqu ω cam*iará de sentido. 5ea que durante el tiemot, el vector ω reci*e un incremento ω. La variaci+n del vector

de la velocidad an&ular con resecto al tiemo se caracteri!a

or la ma&nitud llamada aceleración angular .

• β= lim

∆ t →0

∆ ω

∆ d=

dω

dt

• Al i&ual que la velocidad an&ula, la aceleraci+n an&ular es un

seudovector.

• 0untos aislados de un cuero en rotaci+n tienen diferentes

velocidades lineales v . La velocidad de cada uno de estos

untos cam*ia ermanentemente de direcci+n. La ma&nitud de

la velocidad v se determina or la velocidad de rotaci+n ω del

cuero % la distancia R del e)e de rotaci+n al unto considerado.

5i suonemos que en un eque;o intervalo de tiemo, el cual

#a &irado al án&ulo ϕ $vase -&. >.9(. El unto que

encontramos a la distancia R del e)e, asa un recorrido

∆ s= R ∆ φ . La velocidad lineal del unto


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• v= lim

∆ t →0

∆ s

∆ t = lim

∆t →0

R ∆ φ

∆ t = R lim

∆t →0

∆ φ

∆ t = R

dφ

dt = Rω

• Es decir,

• v= Rω

• La f+rmula anterior relaciona el m+dulo de la velocidad lineal %

la velocidad an&ular. Kallamos una e'resi+n que relacione los

vectores v % . La osici+n del unto que #emos considerado sedeterminara or el radio vector r , tra!ado desde el ori&en de

coordenadas O, que se encuentra en el e)e de rotaci+n $veamos

-&. >.>(. La -&ura nos muestra que la direcci+n del roducto

vectorial $ωr( coincide con el vector v % tiene un m+dulo i&ual aωr sin α =ωR . 0or tanto

• v= (ωr )

• El m+dulo de la aceleraci+n normal de los untos de un cuero

en rotaci+n es i&ual #a |W n|=v2

R . 4eemla!ando el valor de v ,

o*tenemos

• |W n|=ω

2 R

• 5i introducimos el vector R, erendicular al e)e de rotaci+n,

tra!ado al unto dad del cuero $vase -&. >.>(, damos forma

vectorial a esta relaci+n

• W n=−ω

2 R

• 5e uede o*servar un si&no menos, esto es de*ido a que los

vectoresW n % R tienen sentido ouesto.

• 5uon&amos que el e)e de rotaci+n del cuero no &ira en el

esacio. "e acuerdo con |W τ |=|v| , el m+dulo de la

aceleraci+n tan&encial será i&ual a

|

dv

dt

|. /samos el valor de


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la velocidad % teniendo en cuenta que la distancia del unto del

cuero que se consider+ al e)e de rotaci+n R=cte , odemos

escri*ir

• |W τ |=| lim∆ t →0∆ v∆ t |=| lim∆ t →0

∆(ωR )∆ t |=|limR∆ t →0

∆ ω∆ t |= R| lim∆ t →0

∆ ω∆ t |= Rβ

• "onde β es el m+dulo de la aceleraci+n an&ular. 0or lo tanto.

Los m+dulos de la aceleraci+n tan&encial % an&ular están

relacionados mediante la correlaci+n

• |W τ |= βR

• "e este modo, las aceleraciones normal % tan&encial crecen

linealmente al aumentar la distancia desde el unto #asta el e)e

de rotaci+n.

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