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FISICA II
VIBRACIONES MECANICAS

PRESENTADO POR

OPTACIANO VSQUEZ GARCA

Docente de la Facultad de Ciencias de la UNASAM

2010

*

OBJETIVOS
Despus de finalizada esta unidad el alumno ser capaz de
Aplicar las leyes de Newton al estudio de las vibraciones mecnicasDiscriminar las diferentes vibraciones que aparecen en mecnicaResolver ejemplos de vibraciones mecnicasRealizar prcticas de laboratorio para estudiar las vibraciones mecnicas

II.INTRODUCCIN
Una vibracin es la oscilacin repetida de una partcula o cuerpo rgido en torno a una posicin de equilibrio.En muchos dispositivos es conveniente que haya vibraciones y se generan deliberadamente por ejemplo el pndulo de un reloj, el vibrador usado para el proceso de compactacin.En tales problemas el ingeniero tiene por misin crear y regular dichas vibraciones

II.INTRODUCCIN
Sin embargo, en otros elementos las vibraciones no son deseables por ejemplo en las mquinas rotatorias y en las estructuras, las vibraciones son nocivas.Si no se equilibran pueden causar molestia y a veces daar las estructuras.Las vibraciones que producen en las estructuras a causa de los terremotos o de la circulacin prxima de vehculos puede daar a aquella e incluso destruirla.Por ello el ingeniero debe tratar de eliminar las vibraciones o al menos reducirlas por ello debe realizar un proyecto adecuado

II.INTRODUCCIN
En las figuras se muestran algunos ejemplos de vibraciones.La caracterstica comn de estos ejemplos es que sobre el cuerpo se ejercen fuerzas recuperadoras que le hacen volver a su posicin de equilibrio304.unknown

II.INTRODUCCIN

En muchos casos, la posicin o movimiento puede quedar especificada completamente con una sola coordenada por ejemplo X, y o . En este caso se dice que los cuerpos tienen un solo grado de libertad.

En otros casos el cuerpo puede vibrar independientemente en dos direcciones o cuando se conectan dos cuerpos que vibran independientemente en una direccin.

En esta unidad solo estudiaremos sistemas con un grado de libertad

II.INTRODUCCIN

En la figura podemos ver graficas del desplazamiento respecto a la posicin de equilibrio en funcin del tiempo.

Las oscilaciones que se repiten uniformen te se llaman peridicas y las que o se repiten se llaman aleatorias o aperidicas.

II.INTRODUCCIN

Una caracterstica importante de una oscilacin peridica es su perodo () definido como el intervalo de tiempo que ha de transcurrir para que se repita el movimiento.

Al movimiento que se completa durante un perodo se llama ciclo .

El perodo se expresa en segundos y a la inversa se llama frecuencia f , definida como el nmero de ciclos por segundo y se expresa en Hertz (Hz).

En esta unidad estudiaremos las vibraciones de un solo grado de libertad aplicando las leyes de Newton

III.VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS

Consideremos una partcula de masa sujeta a un resorte ideal de rigidez k tal como se muestra en la figura.

Si el movimiento descrito por m es vertical, la vibracin es de un solo grado de libertad.

Si se aplica las ecuaciones de equilibrio al DCL, se tiene


Si ahora se desplaza a m un desplazamiento xm menor que st desde la posicin de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial la partcula se mover hacia arriba y hacia abajo alrededor de la posicin de equilibrio generando de esta forma una vibracin libre.

Para determinar las ecuaciones que gobiernan a la vibracin consideremos a la partcula en una posicin arbitraria x medida a partir de la posicin de equilibrio como se muestra


Aplicando la segunda ley de Newton en direccin x resulta

Al remplazar la ecuacin (1) en (2), resulta

Esta ecuacin se conoce como movimiento armnico simple y se caracteriza por que la aceleracin es proporcional y de sentido opuesto al desplazamiento


La ecuacin (3) puede escribirse en la forma

En donde n se denomina frecuencia natural circular o pulsacin natural, y se expresa

La solucin de la ecuacin diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes dada por la ecuacin (4) es de la forma


A veces es conveniente expresarla en la forma

La cantidad xm se le denomina amplitud de la vibracin, el ngulo se denomina ngulo de fase, t es el tiempo.

La frecuencia natural y el perodo estn dados por


La graficas velocidad y aceleracin en funcin del tiempo pueden ser expresadas en la forma

Graficas x-t, v-t y a-t para un MAS

IV.ENERGIA EN MAS

Cuando un resorte es comprimido o estirado por un agente externo, la energa es transferida del agente al resorte.

La energa ganada por el resorte se denomina energa potencial elstica.

Esto implica que un resorte comprimido o estirado puede realizar un trabajo sobre un objeto

IV.ENERGIA EN MAS

Para un resorte ideal de constante k que ha sido comprimido o estirado en una cantidad x respecto a su longitud sin deformar la energa potencial se expresa

La energa total esta dada por

IV.ENERGIA EN MAS

Cuando la energa mecnica se conserva la energa potencial se transforma en energa cintica y viceversa

As por ejemplo cuando la energa cintica es mxima, la energa potencial es mnima (cero) y cuando la energa potencial es mxima, la energa cintica es mnima

IV.ENERGIA EN MAS
La energa en cualquier posicin ser

IV.ENERGIA EN MAS
En general un objeto unido a un resorte puede tener un movimiento de traslacin y rotacin, por tanto habr una energa potencial elstica y gravitacional ms una energa cintica, entonces la energa mecnica se escribe
E = m v2 + I 2 + m g h + k x2

Si el trabajo neto hecho por las fuerzas no conservativas es nulo, entonces se conserva la energa mecnica

V.PENDULO SIMPLE
Un pndulo simple se define como una partcula de masa m suspendida de un punto fijo por medio de una cuerda de longitud l y de masa despreciable como se muestra en la figura. Si la partcula se desplaza un ngulo 0 de su posicin de equilibrio y luego se suelta, el pndulo oscilar simtricamente respecto a su posicin de equilibrio.

V.PENDULO SIMPLE
En la figura se muestra el DCL y cintico de la masa pendularAplicando las ecuaciones de movimiento se tienePara ngulos pequeos

V. PENDULO SIMPLE (SOLUCIN EXACTA

VI. PENDULO FSICO
Un pndulo compuesto es un cuerpo de dimensiones finitas que oscila alrededor de un eje horizontal fijo que pasa por un punto del cuerpo debido a la accin de la fuerza gravitacional (peso). El cuerpo rgido oscilar en un plano vertical cuando se le separe de su posicin de equilibrio un ngulo 0 y se suelte.

VI. PENDULO FSICO
Para deducir las ecuaciones que gobiernan al pndulo fsico consideremos un cuerpo rgido en forma de barra de seccin rectangular AB de masa m, suspendida de un eje transversal que pasa por el punto S, tal como se muestra en la figura

VI. PENDULO FSICO
Aplicando las ecuaciones de movimiento de rotacinDonde IO es el momento de inercia del cuerpo con respecto al punto O y es la aceleracin angular, el signo menos se debe a que el peso produce un momento de restitucin. Esta ecuacin diferencial es no lineal, por lo que no corresponde a una ecuacin diferencial de un movimiento armnico.

VI. PENDULO FSICO
Para desplazamientos angulares pequeos, la funcin trigonomtrica sen , donde se expresa en radianes. Por tanto la ecuacin diferencial se escribeEsta ecuacin es la ecuacin diferencial de un movimiento armnico simple, movimiento en el cual la aceleracin angular es directamente proporcional al desplazamiento angular y de direccin opuesta. La solucin de dicha ecuacin diferencial es de la forma

VI. PENDULO FSICO
Donde las constante max y se determinan de las condiciones iniciales y n es la frecuencia natural circular expresada porEl perodo del MAS serA veces es conveniente expresar IS en trminos del momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje que pase por su centro de gravedad IG, para ello se usa el teorema de los ejes paralelos, esto es

VI. PENDULO FSICO
Donde h es la distancia entre los dos ejes. Por otro lado, el momento de inercia tambin puede expresarse en funcin del radio de giro KG, en la formaEntonces el momento de inercia se escribeEs decir el perodo del pndulo puede expresarse en la forma

VI. PENDULO FSICO
La ecuacin del perodo expresa el perodo del pndulo fsico en trminos de la geometra del cuerpo. Es decir, el perodo es independiente de la masa, dependiendo slo de la distribucin de masa KG. Por otro lado, debido a que el radio de giro de cualquier cuerpo es constante, el perodo del pndulo en funcin slo de h. La comparacin de entre los perodos de un pndulo compuesto y un simple nos daAlgunas veces es conveniente especificar la localizacin del eje de suspensin S en trminos de la distancia d medida desde uno de los extremos de la barra, en lugar de su distancia h medida desde el centro de masa.

VI. PENDULO FSICO
Si las distancia d1, d2 y D son medidas desde el extremo superior, la distancia h1 debe ser considerada negativa ya que h es medida desde el centro de gravedad. De esta forma, si D es la distancia fija desde el extremos superior A de la barra al centro de gravedad G, El perodo se escribe en la forma

VI. PENDULO FSICO
Cuando el perodo T es trazado como funcin de d, son obtenidas un par de curvas idnticas SPQ y SPQ como se muestra en la figura. El anlisis de estas curvas revela varias propiedades interesantes y observables del pndulo fsico.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIN
Un bloque de 50 kg se mueve entre guas verticales como se muestra. Se separa 40 mm hacia debajo de su posicin de equilibrio y se abandona desde el reposo. Determine el perodo de vibracin, la velocidad y aceleracin mxima del bloque en cada uno de los esquemas representados


Una masa de 2 kg est suspendida en un plano vertical por tres resortes, segn se muestra en la figura. Si el bloque se desplaza 5 mm hacia abajo a partir de su posicin de equilibrio y se suelta con una velocidad hacia arriba de 0,25 m/s cuando t = 0. Determinar: (a) La ecuacin diferencial que rige al movimiento, (b) El periodo y la frecuencia de la vibracin, (c) La posicin de la masa en funcin del tiempo y (d) El menor tiempo t1 > 0 del paso de la masa por su posicin de equilibrio

Una charola A est unida a tres resortes como se muestra en la figura. El perodo de vibracin de la charola vaca es de 0,75 s. Despus de que el resorte central C se ha suprimido se observa que el perodo es de 0,9 s. Si se sabe que la constante del resorte central es 100 N/m. Determine la masa m de la charla.


Las dos masas de la figura se deslizan por sendas superficies horizontales exentas de friccin. La barra ABC est en posicin vertical en el equilibrio y su masa es despreciable. Si los resortes estn sometidos a traccin en todo momento, escribir la ecuacin diferencial del movimiento para la posicin X(t) de la masa de 10 kg y determinar la frecuencia y el perodo de la vibracin resultante. (Supngase oscilaciones de pequeas amplitudes).


Una barra uniforme AB de 0,75 kg de masa est articulada en A y unida a dos resortes, ambos de constante elsticas k = 300 N/m. Halle: (a) la masa m del bloque C para que el perodo de las pequeas oscilaciones sea T = 0,4 s, (b) Si el extremo se desplaza 40 mm y se suelta desde el reposo, halle la velocidad mxima del bloque C.


Un bloque de 25 kg est soportado por un cable, que se enrolla sobre un disco circular de 35 kg y 0,5 m de radio y est sujeto a un resorte como se muestra en la figura. Se tira el bloque hacia abajo 0,2 m desde su posicin de equilibrio y se suelta. Determine: (a) la ecuacin diferencial para el movimiento del bloque, (b) el perodo natural de la vibracin y (c) la velocidad mxima del bloque.


Un cilindro escalonado de 3 kg se mantiene sobre un plano inclinado mediante un resorte cuya constante es k = 400 N/m. El radio de giro del cilindro con respecto a su centro de masa es KG = 125 mm; los radios son r1= 100 mm y r2 = 200 mm. Determine: (a) La ecuacin diferencial del movimiento del carrete, (b) El perodo y la frecuencia para pequeas oscilaciones.


Los dos bloques mostrados en la figura se deslizan por sendas superficies horizontales sin friccin. Las barras de conexin tienen peso despreciable y en la posicin de equilibrio, ABC est vertical. Supngase oscilaciones de pequea amplitud y determine. (a) la ecuacin diferencial del movimiento del bloque de 75 N y (b) la pulsacin propia de la oscilacin.


Un bloque que pesa 100N se desliza por una superficie horizontal sin friccin como se muestra. Los dos resortes estn sometidos a traccin en todo momento y las poleas son pequeas y sin rozamiento. Si se desplaza el bloque 75 mm hacia la izquierda de su posicin de equilibrio y se suelta con velocidad de 1,25 m/s hacia la derecha cuando t = 0, determine: (a) La ecuacin diferencial que rige el movimiento; (b) El perodo y la amplitud de la vibracin, (c) La posicin del bloque en funcin del tiempo

Una esfera A de 400 g y una esfera C de 280 g estn unidas a los extremos de una varilla rgida de masa despreciable que puede girar en un plano vertical alrededor de un eje que pasa por B. Hallar el perodo de las pequeas oscilaciones de la varilla.

Un cilindro uniforme de 13,6 kg puede rodar sin deslizar por un plano inclinado 15. A su permetro est sujeta una correa y un muelle lo mantiene en equilibrio como se muestra. Si el cilindro se desplaza hacia abajo 50 mm y se suelta. Determinar: (a) El perodo de la vibracin, (b) La aceleracin mxima del centro del cilindro 364.unknown


Un peso de 6 kg pende de un cilindro de 4 kg como se muestra en la figura, mediante un pasador sin friccin que pasa por su centro. Escriba la ecuacin diferencial del movimiento para la posicin YG(t) del centro de masa del cilindro y determine el perodo y la frecuencia del movimiento vibratorio resultante
365.unknown

Una barra uniforme esbelta de 3 kg est atornillada a un disco uniforme de 5 kg. Al disco est sujeto un muelle de constante 280 N/m que est sin deformar en la posicin representada. Si el extremo B de la varilla recibe un pequeo desplazamiento a la izquierda y se suelta, halle el perodo de la vibracin del sistema.

Un cilindro uniforme de 4 kg pende en un plano vertical en el seno de un hilo ligero, como se muestra en la figura. Si el cilindro de 250 mm de radio no se desliza por el hilo, escribir la ecuacin diferencial del movimiento para la posicin YG(t) del centro de masa del cilindro y determinar el perodo y la frecuencia de la vibracin resultante.

La barra uniforme AB de 8 kg est articulada en C y sujeta en A a un resorte de constante K = 500N/m. Si el extremo A recibe un pequeo desplazamiento y se suelta, hallar: (a) La frecuencia de las pequeas oscilaciones, (b) El mnimo valor de la constante K del resorte para el que habr oscilaciones.

Dos barras uniformes cada una de masa m =12 kg y longitud L = 800 mm, estn soldadas formando el conjunto que se muestra. Sabiendo que la constante de cada resorte K = 500N/m y que el extremo A recibe un pequeo desplazamiento y luego se suelta, determine la frecuencia del movimiento subsiguiente.

Determine la pulsacin natural n del sistema mostrado en la figura. Se desprecian la masa de las poleas y el rozamiento en ellas.

Si los dos resortes estn sin deformar cuando la masa se halla en la posicin central representada, determine el desplazamiento esttico de la misma, Cul es el perodo de las oscilaciones en torno a la posicin de equilibrio?.

Una barra uniforme AB de 8 kg est articulada en A a un soporte fijo mediante los pasadores B y C a un disco de 12 kg y 400 mm de radio. El muelle sujeto en D mantiene el equilibrio de la barra el a posicin representada. Si el punto B se mueve 25 mm hacia abajo y se suelta, halle: (a) el perodo de la vibracin, (b) la velocidad mxima del punto B.


Hallar el perodo T del sistema si la pieza articulada AB de masa m2 est horizontal en la Posicin de equilibrio esttico representada. El radio de giro de AB con respecto a O es K0 y su centro de gravedad est ubicado en el punto G. Suponga pequeas oscilaciones.


Una varilla delgada uniforme tiene una masa de 3 kg. Halle la posicin x en que debe encontrarse el cursor de 1 kg de masa para que el perodo del sistema sea 0,9 segundos. Suponer pequeas oscilaciones en torno a la posicin horizontal de equilibrio representada.


Una barra uniforme ABC de 2 kg est sujeta por un pasador en B y sujeta en C a un muelle. En A est conectada a un bloque DE de 2 kg, que puede rodar sin deslizar, unido a un muelle. Sabiendo que ambos muelles pueden trabajar a traccin o a compresin, determine la frecuencia de las pequeas oscilaciones del sistema cuando la barra se gira levemente y s suelta.

Una masa de 4 kg est suspendida en un plano vertical segn se muestra. Los dos resortes estn sometidos s y traccin en todo momento y las poleas son pequeas y sin friccin. Si se lleva a la masa a 15 mm por encima de su posicin de equilibrio y se suelta con una velocidad de 750mm/s hacia abajo cuando t = 0. Halla: (a) La ecuacin que rige al movimiento, (b) el periodo y la amplitud de la vibracin resultante, (c) la posicin de la masa en funcin del tiempo.

Un cilindro de masa m y radio R est conectado con muelles idnticos de constante k y gira sin rozamiento alrededor del punto O. Para pequeas oscilaciones, cul ser la frecuencia natural?. El cordn que soporta a W1 est enrollado alrededor del cilindro.

Hallar la frecuencia natural fn de las oscilaciones verticales del cilindro de masa m. despreciar la masa del cilindro escalonado y el rozamiento del mismo.

Una barra de 1 m de longitud y 120 N de peso se mantiene en posicin vertical mediante dos muelles idnticos cada uno de los cuales tiene una constante k igual a 50 000 N/m. Qu fuerza vertical P har que la frecuencia natural de la barra alrededor de A se aproxime a un valor nulo para pequeas oscilaciones.

El hilo ligero atado al bloque de 50 N de la figura est arrollado a un cilindro uniforme de 35 N. Si el hilo no se desliza por el cilindro, escribir la e. D del movimiento para la posicin y(t) del bloque de 50 N y determine el perodo y la frecuencia de la vibracin resultante.

Una partcula de masa m, esta soportada tal como se muestra, a dos alambres fuertemente tensos. Determine la pulsacin natural n de las pequeas oscilaciones verticales del sistema bajo la hiptesis de que la traccin T en ambos alambres se mantiene constante. Es necesario calcular el pequeo desplazamiento esttico de la partcula?

La boya cilndrica flota en agua salada (densidad, 1030 kg/m3) y tiene una masa de 800 kg con un centro de masa bajo para que se mantenga estable en la posicin vertical. Hallar la frecuencia fn de sus oscilaciones verticales. Suponga que la superficie del agua permanece tranquila en sus proximidades.

Con la ausencia de deslizamiento, hallar la masa m del bloque a colocar encima del carrito de 6 kg para que el perodo del sistema sea 0,75 s. Cul es el coeficiente de rozamiento esttico mnimo s del sistema para el cual el bloque no resbala sobre el carrito cuando ste se aparta 50 mm de su posicin de equilibrio y luego se suelta?.

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http://www.dailymotion.com/video/x6m8cf_resonancia-magnetica_school

http://www.colegioheidelberg.com/deps/fisicaquimica/applets/OscilacionesMAS/oscilacionestotal.htm

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