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. En este número:
Introducción a la lógica matemática.
Relaciones y funciones.
Probabilidades
Los números en colores, y otros
más.
IY otros más.
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NOVEDADES DE
PUBLICACIONES CULTURAL S. A.Preocupados por brindar a los docentes la más moderna biblioteca, en la mejor presentación,
con la complemcnlacion visualizada por una profusa ilustración en colores y esmerada impresión, esta empresa editorial, vinculada a todos los países de América, se complace en presentar estas obras de excepcional interés actual para docentes y alumnos.
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ALGEBRA MODERNA Y TRIGONOMETRIAEstructura y método.
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Autores: M. P. DOLCIANI, S. L. BERMAN y W. WOOTON PRIMERA EDICION EN CASTELLANO
16 capílulos en 625 páginas, a tres colores. En cada capítulo hay infinidad de ejercicios orales y escritos, vocabulario matemático, revisión, resúmenes e incluso notas biográficas. Cada tema se presenta en la forma más moderna, abandonando por completo lo tradicional. Se estudia especialmente la teoría de conjuntos y se establece la estructura axiomática. Para que la materia se comprenda mejor, cada libro lleva ¡uevos de encartes transparentes, impresos en varios colores.
GEOMETRIA ANALITICA (plana y del espacio).Autores: F. H. STEEN y D. H. BALLOUS
Comentarios: MARCELO SANTALÓ PRIMERA EDICION EN CASTELLANOI
Esta obra, además del texto original, contiene un suplemento con más de quinientos problemas, ejercicios, orientaciones y esquemas, para que el esludioso advierta la importancia de una base sólida de geometría analítica para la comprensión del cálculo diferencial e integral. La mayoría de los temas se presentan con métodos nuevos, probados en cursos efectivos como más ventajosos que los tradicionales; se piensa que las clases resultarán mucho más agradables para los alumnos.
GEOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO (con una introducción a la trigonometría).
Autor: J. A. BALDORTexto revisado y prólogo: MARCELO SANTALÓ
Se introducen innovaciones para facilitar la enseñanza. Consta de dos secciones: geometría plana y del espacio (300 páginas) y nociones de trigonometría (150 páginas). Contiene, además, una sección de "Repasos de Álgebra", para que el lector encuentre con facilidad solución a los problemas de los ejercicios correspondientes. Una última sección —importantísima— contiene 90 ejercicios adicionales, cada una para una hora de clase de un curso normal. Esto ahorrará mucho liempo al profesor, que no necesitará buscar nuevos problemas para sus alumnos.
CURSO MODERNO DE TRIGONOMETRIAA. HOOPER y A. L. GRISWOLD
PRIMERA EDICION EN CASTELLANO
Se exponen los fundamentos de esla rama de la malemática para que los estudiantes estén en condiciones de aplicarlos en los diversos campos de la matemática y de la ciencia. Tiene tablas y un suplemento de ejercicios.
CULTURAL ARGENTINA S. A.MONTEVIDEO 666 - Planta Baja
Buenos AiresT. E. 40 - 6438
40-1054
MATEMATICA INTUITIVA¡APARECIO!ANA G. DE HOUSSAY - AURORA G. DE ROMERO - Í1D1A V. VICENTE
DE MATEMATICAel material didáctico usado en susEn esta obra las autoras exponen clases y las experiencias vividas en los cursos piloto autorizados por la Se-
Educación de la Nación para la en.senanza de !a Año I Abril - Mayo - Juni-o 1967 N9 2cretaría de Cultura y matemática.
Es una muestraorientaciones modernas, por lo que el libro será un elemen.o útil para e profesor que no sólo debe encarar nuevos temas sino también nuevos enfoques en el tratamiento de temas clásicos, según lo dispuesto por Resolución Ministerial N? 1772/65. El contenido del libro abarca temas correspondientes a los tres cursos del ciclo básico de los programas vigentes y al programa de
viva de la forma de conducir el aprendizaje siguiendoCARTA AL LECTOR
CONCEPTOS * Hoy llega a usted el segundo número de CONCEPTOS DE MATEMÁTICA. Agradecemos, en primer termino, los juicios vertidos sobre nuestra labor, anotando, de paso, que no omitiremos esfuerzos para mejorarla. Agradecemos, también, el invalorable apoyo que se nos ha prestado en forma de sugerencias, colaboraciones y suscripciones, llegadas desde los más apartados rincones de nuestro país y desde otros países americanos.* Señalamos un hecho auspicioso, digno de ser imitado: el “Centro de Estudios de Matemáticas y Física ’ de Arequipa, Perú, se ha hecho presente con 25 suscripciones. Frente a esa situación ¿será excesivo pedir que el Consejo Nacional de Educación, el Servicio Nacional de Enseñanza Secundaria, Normal, Especial y Superior, el Consejo Nacional de Educación Técnica, el Servicio Nacional de Enseñanza Privada, las Facultades de Ciencias de las Universidades, nacionales y privadas, los organismos educativos , provinciales y municipales, adopten las medidas tendientes a que no quede escuela o biblioteca del país sin recibir un material que entendemos indispensable para el desarrollo de sus actividades? No queremos ser pesimistas y, por ello, esperamos que esos organismos tomen la palabra.* Junto al auspicio de tantos docentes, sabemos que otros, acaso por falta de tiempo, no han hecho efectiva una adhesión a la cual se sienten impulsados. Pedimos a quien tenga la buena voluntad de hacerlo se tome el trabajo de reunir esa adhesiones y enviárnoslas: no ocultamos que los gastos de todo género son muy elevados, pero esperamos que fructifique el esfuerzo común y se superen todas las dificultades.* Volvemos a recomendar el material que se publica, cuya calidad iguala, sino supera, a la del primer número. Hay importantes artículos de Choquet, Papy, Scbastiao e Silva, Serváis, Santaló, cuya exposición sobre “Relaciones y funciones” ha sido muy solicitada por los lectores, Trejo, que vuelca su saber y su experiencia ocupándose de “Probabilidades” en un trabajo que se publicará en varios números y que tiende a resolver dificultades pedagógicas ante un tema esencialmente nuevo en nuestra enseñanza secundaria. Marzik, de Chioilcoy, hace por su parte, interesantes consideraciones sobre la enseñanza de la matemática en la escuela secundaria argentina.
Lo saluda muy atentamente
DE MATEMATICA
Publicación trimestrci Socio; Fernández Blanco 2045 - Bs. As.
Director - Editor
Geometría del Espacio.Al texto se agrega una guía para el profesor en la que se fundamenta
el enfoque metodológico y la organización de los contenidos. Dicha guía será de gran utilidad para todos aquellos que se interesen en el problema del
didáctica apropiada a la moderna enseñanza de la
\JOSÉ BANFl
aprendizaje y en una matemática. ♦
Precio "Guía para el Profesor": $ 150.— Asesores: José Babin-, Juon I. Blaquícr, luis A. Santaló.
Redactores: Raúl A. Chiappa, Emilio De Ceceo, Haydéc Fernández, Elsa Sab- botticllo, Andrés Valciras y Crístinu Verdagucr de Banfi.
Dibuiar.’c: Arquiicclo Julio R. Juan.
Suscripción anual: Argentina mSn. 6C0; Exterior, 4 dólares, los piros postales o sobre bancos de Buenos Aires, deben ser extendidos = nombre de CONCEPTOS.
Ejcmplcr suelto: m$n. 200.-
Lugarcs de venta: En nuestra sede, Fernández Blanco 2045, Buenos Aires y en Librería y Editorial Alsina, Perú 127; Librería y Editorial El Ateneo. Florida 340; Librería del Colegio, Alsina y Bolívar; Librería General de Tomás Pardo, Maipú 618; Librería Rcsio, Callao 621; Librería Santa Fe, Santa Fe 2427, Buenos Aires; Librería del Azul, San Martín 472, 'Azul; Librería "Erasmo", San Martín 3330, Mar del Plata; Librería El Universitario, H. Yrigoycn y San Juan, Corrientes.
Para colaboraciones, números atrasados, suscripciones y avisos, dirigirse directamente al editor.
Registro do la Propiedad Intelectual: No 927 648.
Precio: $ 950.—Precio para docentes: $ 550.— — Con certificados —.
Editorial TROQUELBUENOS AIREST. E. 38-0118 / 0349SAN JOSE 157
MATEMATICA MODERNA"Segundo
por ANTONIO ROBERTO LOPEZ
Curso"
Lógica matemática — Teoría de conjuntos — Operci-CONTENIDO:ciones con conjuntos — Par ordenado — Operaciones binarias, interna y externa — Los números naturales — Los números enteros — Los números racionales — Numeración binaria.
Contiene el programa fijado para el segundo curso de ensayo. La presentación de los distintos temas permite un aprendizaje inmediato de los mismos.
♦Impreso en COGTAL
Rivadavia 767, Capital
En el próximo número: Introducción o la lógica matemática; Probabilidades y estadística; Operaciones binarlas internas y elementos especiales; Algunos problemas que plantea la enseñanza do la matemática.
PRECIO DEL EJEMPLAR: $ 600.i
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LA SEMBLANZA PROBLEMAS ARGENTINOS
deas sobre a enseñanza de la
matemática moderna\ •oussay
la escuela primaria y atraviesa raudamente los senderos de la escuela secundaria para obtener muy joven, a los 17 años, el primer título universitario, al que pronto habría de agregar otros en una carrera abra zada con ardor y cumplida con empeño y sacrificio, en la que se hace un deber señalar la gran cantidad de discípulos formados, los cuales, si no han alcanzado aun la consagración o los honores del maestro, constituyen, no obstante, un motivo de legítimo orgullo para la ciencia argentina.
¿Por qué incluimos a Iioussay en nuestra galería de semblanzas?
La nuestra es una revista de matemática, esto es, una revista científica. Y aun cuando no se trate de un matemático, su inquietud intelectual le ha permitido interesarse por los problemas de nuestra disciplina y de su enseñanza en nuestro país a través de las funciones que desempeña en el Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Desde allí ha colaborado gozosamente con profesores argentinos que querían realizar algún proyecto útil para el país y ciertamente le ha dolido cuando le faltaron medios para favorecer esa obra. Vimos su alegría durante las conferencias de Papy, alegría que se justifica porque el doctor Iioussay advirtió prontamente que Papy era el portador de un mensaje, pero también trasmitía lervor. Por ello, estamos seguros que el doctor Iioussay estará siempre presto a colaborar con quienes realicen alguna acción en favor de la enseñanza de la temática. Y creemos que no faltarán profesores argentinos capaces de darle esa sa- tisfación.
Amor a la patria, dignidad personal, cumplimiento del deber, amor a la libertad, respeto por la justicia y por los hombres son todos atributos que permiten caracterizarlo, sobria pero elocuentemente: es un gran ciudadano.
Nada más. No hace falta nada más para caracterizar a un hombre que se auto- define con uno de sus pensamientos: ‘‘El trabajo es la diversión más barata”.
Luis' S. MAR7JK (Chivilcóy, Argentina)
i Los profesores ya no dudan hoy que la enseñanza de la matemática debe ser encarada con criterio moderno de modo que no sólo haya un cambio de programas sino también, muy especialmente, un cambio de modalidad enfocado hacia las estructuras y sus relaciones. Asimismo, es evidente que aun no se ha logrado un acuerdo acerca del contenido de los programas, pese a las numerosas conferencias y reuniones de nivel internacional en las que se establecieron algunas condiciones mínimas para la redacción de los mismos.
Sería desvirtuar el propósito de este artículo referirse a dichos temas, discutidos en planos tan elevados y por calificados especialistas; queremos tan sólo ubicar dentro de la enseñanza media argentina los aspectos problemáticos para una aplicación conveniente y acorde con los propósitos de este nuevo enfoque.
El principal escollo de este planteo radica, sin duda, en la dificultad de preparar al docente y de acercarlo a esta llamada “revolución”, dificultad que se torna mayor cuando ya están ejerciendo la enseñanza de la especialidad? Este tema es de tanta importancia como para ser encarado independientemente; pero quedan otros aspectos que predisponen a una profunda reflexión que intentaremos bosquejar.
La iniciativa de nuevas estructuras para la enseñanza media de nuestro país correspondió a un grupo de profesores en su mayoría universitarios, cuya profunda ansiedad e inquietud anhelaban el mejo- i amiento del conocimiento matemático del estudiante secundario para proveerlo de una base más firme en su futura carrera superior; pero la problemática que pretendemos plantear aquí es la de los jóvenes adolescentes cuyos estudios tienen su finalidad en sí mismos, sea porque no tienen
posibilidad de estudios superiores, sea porque pueden iniciarse de inmediato en una profesión remunerativa, tal como ocurre con técnicos, peritos mercantiles y maestros. Corresponden, pues, tres enfoques distintos para esas carreras de la enseñanza media.
Comencemos por los peritos mercantiles. Excepto algunos casos aislados, los egresados de las escuelas de comercio tienen su norte en alguna carrera perteneciente a las ciencias económicas, en donde la matemática moderna encuentra poderosa razón de ser (citemos algunos temas directamente vinculados: estadística, probabilidades, matrices, programación lineal, etcétera). Subsiste la idea de si corresponde en los programas de las escuelas de comercio intensificar la enseñanza de algunos temas que no serían imprescindibles para quienes no ingresen a facultades de ciencias económicas. Creemos que no ha de resultar difícil encontrar una coordinación que satisfaga ambos fines, el educativo y el profesional, pues los fundamentos serían los mismos. Cabe, eso si, urgir una renovación de los programas de cuarto y quinto año, pues entre otros detalles importantes, no se debiera terminar la cañera sin alguna noción de geometría tridimensional aunque fuera elemental. En lo que se refiere a los temas modernos,
insinúa una tímida reacción en los
El doctor Bernardo A- Iioussay, que acaba de cumplir sus “primeros ochenta años”, es el único hombre de ciencia argentino que ha sido distinguido con el galardón del premio Nobel y ese hecho es de gran importancia para valorar su personalidad, pero mucho más importante es que se trate de un auténtico trabajador científico cuyo vigor y perseverancia no han decaído a lo largo de su dilatada vida dedicada a la búsqueda de la verdad científica y a encaminar a sus discípulos por los senderos de Ja investigación. Porque Iioussay entiende que “una nación sin actividad científica vive como un parásito, ya que no contribuye al fondo común de los conocimientos sin el cual el hombre no puede vivir con seguridad y libertad”.
Para nosotros es todavía más importante que la obra de Houssay no se haya reducido a un sólo sector del conocimiento científico sino que se haya dado tiempo para auspiciar los esfuerzos de todos aquellos que quisieron dar un paso adelante en el camino de la ciencia.
Nacido en Buenos Aires el 10 de abril de 18S7, su vida esta signada por cacióñ: “el trabajo”. Termina precozmente
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ya seprogramas de cuarto año.
La gravedad del problema se agudiza en las escuelas de educación técnica, dependientes del CONET. Allí ni siquiera se ha iniciado un estudio sobre la adecuación de los programas de matemática a los tiempos que corren, o por lo menos se desconoce totalmente la posibilidad de que se haya hecho o esté haciéndose. De los técnicos han de surgir, en elevado porcentaje, los futuros ingenieros y, más aún,
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(Véanse dos artículos de CONCEPTOS DE MATEMATICA, N9 1: “Los número* en colores ’, p. 38, y "Preparación de los docentes*, p. 6, párrafo ]). De todo lo dicho se infiere que la orientación que se pretende para la enseñanza de la matemática en el ciclo del magisterio dehe tener dos metas bien determinadas: la formación del futuro maestro
LOS FUNDAMENTALESr* la ingeniería, como carrera técnica, io alcanza directamente todo progreso o evolución de la ciencia, pues esto trae consigo un cambio radical de las técnicas. Entendemos, pues, que en la rama de las ex- ('scuelas industriales es donde se debe trabajar con más intensidad y premura. Piénsese aue el CONET ni siquiera inició cursos pilotos ni tampoco inició una adecuación de su personal especializado; allí existe, por tanto, un campo de acción inmediata y de arduo trabajo. Si llamamos la atención de los < specialistas sobre estas circunstancias es porque nos preocupa el silencio que reina en esas áreas sobre ia renovación. Y queda todavía un agravante: la novísima aplicación de equivalencias entre los estudios de las escuelas técnicas y otras escuelas secundarias que se realiza siguiendo normas que no contemplan en absoluto los distintos programas, singularmente el de matemática. Reiteramos, pues, nuestro llamado de atención y agregamos que nos parece irreal que una carrera tan vinculada a los aspectos y a los adelantos científicos y técnicos se halle olvidada este fundamental desenvolvimiento.
Quedan por considerar los cursos de magisterio. Aquí deben considerarse dos aspectos primordiales: a) la enseñanza del adolescente, y b) su futura condición de maestro. Para el primero caben las sugestiones generales que corresponden a la planificación común de la enseñanza de la matemática moderna (¡qué feo nombre!) según los enfoques ya comenzados con los cambios de programa habidos. El segundo aspecto requiere preferente atención. Sobre él debemos batallar e insistir puje para obtener lo q u c es claramente previsible y ya se logra en algunos países: Ja introducción de conceptos básicos de matemática moderna en la escuela primaria. No. es necesaria mucha imaginación para hacer conocer los aspectos fundamen- lalcs de los conjuntos a niños de 11 años de edad o menos, pues aparecen implícitos* en el número, en la operación de lar,, y pueden comunicarse perfectamente
muy poco esfuerzo pedagógico. Casi sin quererlo, el maestro tiene que dar al niño esta noción fundamental y establecer relaciones entre elementos; es verdad que el rigorismo técnico y lingüístico debe ser obviado para evitar inútiles confusiones.
:l método axiomáticoGustave CHOQUET
(Francia)
tructuras: la de grupo, la de cuerpo, la de espacio vectorial, la de orden y la de espacio topológico. Recíprocamente, se puede hallar una estructura, siempre la misma, en un grupo de teorías distintas. Por ejemplo, la estructura de grupo hallada en el estudio de R se encuentra también en los enteros de módulo p y en los movimientos especiales.
Para que el estudio de una estructura sea aplicable a teorías diferentes, los juntos considerados deben necesariamente ser muy generales, la naturaleza de sus elementos no debe ser factor sino sólo las relaciones entre ellos. Estas relaciones están claramente expresadas en los axiomas que definen la estructura.
Así, la estructura ordenada de un con junto arbitrario S es una relación binaría en S, denotada -j, que satisface a los siguientes axiomas o postulados:
Para cualquier x, y, z pertenecientes a S tenemos:
1) x ] x2) (x \ y3) (.v \ yAlgunas de estas estructuras tienen una
significación más fundamental porque se las encuentra en todas las teorías. Son llamadas estructuras - madres e incluyen las estructuras asociadas a la relación de equivalencia; las estructuras de orden; las estructuras algebraicas y topológicas.
Cuando comparamos estructuras entre si, podemos ver que algunas son “más ricas’ que otras. Así, las estructuras llamadas grupos o cuerpos abolíanos finitos son más ricas que cualquier estructura que sea meramente una estructura de grupo.
Algunas estructuras son más complejas exhiben varias estructuras madres
El estudio de la historia de la matemática muestra en forma suficientemente cla- ía que después de cada período de investigación y extensión sigue un período de revisión y síntesis durante el cual se desarrollan métodos más generales y se consolidan los fundamentos de la matemática. Así es que la contribución de Descartes puede considerarse como la culminación de un largo período de investigaciones aparentemente muy diversas, que hicieron posible relegar a los museos gran número de procedimientos diferentes para el estudio de curvas y funciones particulares y reemplazarlos por un procedimiento que se acerca más a lo universal. Hoy, el número de matemáticos investigadores es tan grande (¡ue los dos procesos, investigación y síntesis, pueden realizarse fácilmente en for-
simultánea. No obstante, el trabajo de síntesis en los últimos cincuenta años, hecho posible por la teoría de conjuntos y su terminología propia, ha sido particularmente notable. Esto está claramente establecido en Bourbaki, y allí lo estudiaré.
Para Bourbaki sólo existe una MATEMATICA, y el principal instrumento para su evolución hacia la unidad es el método axiomático. Para aplicar este método al estudio de una teoría, el matemático “separa las principales líneas de razonamiento que figuran en ella, y luego, tomando cada
aisladamente, la considera como un principio abstracto y deduce sus consecuencias naturales; entonces, volviendo a la teoría que estudia! recombina los elementos que consideró previamente por separado y ve cómo reaccionan entre sí” (Bourbaki). Encontramos en este juicio una presentación estructural de uno de los principios básicos de Descartes: subdividir cada dificultad en tantos elementos como sea necesario para comprenderla.1. ESTRUCTURAS
Las “líneas principales de razonamiento” son las estructuras. Por ejemplo, el conjunto R de los números reales posee varias es-
y su preparación para aplicar esos conceptos en la escuela primaria. Así se evitarían en parte dos inconvenientes que padece esta escuela actualmente: carencia de personal docente con suficientes conocimientos v cambio de mentalidad necesario para poder enseñar matemática moderna.
Insistimos en (¡ue el planteamiento hecho no pretende ser un estudio de las condiciones en que se debe desarrollar la enseñanza de ía matemática en nuestra escuela media y sí un esbozo de algunos problemas sobre este aspecto fundamental.
RESUMIENDO: queda mucho camino por anclar y los pasos para recorrerlo serían:a) Formación de profesores;b) Adecuación de los programas a las
cuatro orientaciones fundamentales de nuestros planes ele estudios secundarios.
I. Ciclo básico y bachillerato: indudable preparación para continuar estudios.
II. Escuelas de educación técnica: comenzar ya mismo una profunda revisión de los programas, adecuándolos a dos aspectos. Por parte, preparación para seguir carrera técnica, y, por otra, posibilidad de aplicación a fines inmediatos, como ocurre, por ejemplo, con la profesión de técnico especializado. No debe perderse de vista la notable y continua evolución de la ciencia y de la técnica en el mundo de hoy
11 í. Ciclo del magisterio:
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e y -¡ x) — (.Y = y) e y ] z) - (x \ z)
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prepararniaestros capaces de introducir conceptos de matemática moderna en la escuela primaria
IV. Cursos de escuelas da comercio: darle a los programas de cuarto y quinto año (ciclo superior) el carácter de preparación para carreras de ciencias económicas y completarlos con elementos ele geometría
tridimensional.
con-porqueligadas por las condiciones de compatibilidad. Son denominadas estructuras - múl- lipes. Por ejemplo, un grupo topológico es un conjunto que exhibe al mismo tiempo una estructura de grupo y una estructura topológica vueltas compatibles estipulando
con
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mismo que proyectar ortogonalmente cono convexo de un espacio de Hilbert. Más generalmente, aunque los conjuntos convexos pertenecen a la geometría, resultan una de las herramientas básicas del analista que está estudiando espacios loríales topológicos.
Esta multivalencia de las grandes estructuras es, por tanto, un factor unificador que permite un ensanchamiento mutuo de diversas teorías matemáticas. Un fenómeno tal no es nuevo. Ya teníamos ejemplos en la representación geométrica de los números complejos, en la síntesis de álgebra y geometría efectuada por Descartes, en el empleo que hizo Monge de la geometría en sus investigaciones en análisis. Pero se dejó para el álgebra de conjuntos y su lenguaje universal amplificar este fenómeno. He aquí sólo unos pocos ejemplos típicos:
— Topología de Zariski en geometría algebraica.
— Interpretación topológica y demostración de un numero de teoremas importantes en lógica.
— Teoría de Lera y sobre los haces fibrosos, estudiados primeramente en topología algebraica, pero ahora invadiendo el álgebra y el análisis.(c) Mutua iluminación de los entes ma
temáticos: DinamismoSe sigue de esta multivalencia que ya no
se estudian más entes aislados; lo que se estudia son familias de entes que tienen algunas relaciones mutuas. No sólo los teo-
adquieren con ello mucho mayor generalidad, sino que al mismo tiempo, es individualmente, mejor conocido cada ente, puesto que sus relaciones con otros entes sacan a luz sus aspectos variados propios. Aquí también lo que es nuevo no es el uso
“contexto” sino el conocimiento del fenómeno y de su generalidad:
Se sabe bien que una tangente apunto ha sido definida por
familia de secantes; que las funciones
ciones, saltos, flechas y esquemas con flechas.
en unestructuras - madres, a las herramientas - máquinas.
El método axiomático efectúa economía en pensamiento y en notación, puesto que los importantes teoremas que se necesitan en formas variadas, en diferentes contextos, se establecen una vez para siempre sistema de axiomas suficientemente general como para que incluya todas las aplicaciones útiles. En ese sistema general, de referencia, la terminología y la notación se eligen para ajustarse a los variados especiales, y siempre se da preferencia a las palabras más sugestivas que producen resonancia y llamadas a la intuición. Este cuidado en la elección de los términos es- parejo con la inquietud por la claridad en la presentación; los matemáticos modernos han desarrollado un estilo preciso y austero y sólo están satisfechos cuando sus escritos sólo consisten de descarnados esqueletos de definiciones, lemas, teoremas, corolarios, observaciones y advertencias.(b) Multivalencia: una garantía de unidad y universalidad.
Los primeros sistemas axiomáticos fueron categóricos o univalentes, como la axioma- tización de la geometría elemental por Eu- c lides y por Hilbert, la definición de teros por Peano. Por contraste, las estructuras fundamentales son multivalentes, lo que significa que los axiomas que los definen pueden aplicarse a vastas clases de conjuntos que contienen estructuras no iso- mórficas.
Esta multivalencia es una garantía de su adaptabilidad a las más variadas situaciones. Se sigue de ello que a veces es difícil decir si una proposición pertenece al álgebra, la geometría o el análisis.
Así, podemos decir que la geometría elemental del espacio no es nada más que el álgebra lineal en un espacio vectorial de tres dimensiones en el cual se define el producto escalar, y que el estudio de las formas cuadráticas en ese espacio es equivalente al estudio de las cónicas planas.
De manera similar, estudiar el espacio de Hilbert es, por supuesto, estar haciendo geometría (puesto que allí se puede hablar de esferas, ángulos, perpendiculares), pero es igualmente * estar haciendo álgebra y análisis.
Por ejemplo, para Iienri Cartan, el barrido (Balayage) en la teoría potencial es lo
que las operaciones (x, y) x. y y x -* xmí deben ser continuas.
El álgebra topológica y la topología algebraica están vinculadas con estructuras múltiples; la geometría diferencial y el álgebra diferencial consideran estructuras todavía más ricas. En la cúspide del edificio encontramos “estructuras de enlace” que realmente implican muchas estructuras. La teoría del potencial es un ejemplo particularmente bueno de una estructura semejante. La multiplicidad de las estructuras madres halladas en tales teorías es lo que explica por qué matemáticos tan diferentes entre sí tienen tanto interés en ellas; cada paso hacia adelante en el estudio de las estructuras constituyentes repercute en toda la teoría. Es fácil establecer que el progreso en la teoría del potencial corresponde al progreso en otras teorías como la integración de Lebesguc, espacios topológicos, espacios vectoriales topológicos, medición de Radon, grupos compactos localmente abelianos, distribuciones, etc.
Tales estructuras son el cuerpo real de estudio de los analistas y podemos definir el análisis como el conjunto completo de estructura de enlace. Pero así como éstas no han definido rígidamente las regiones limítrofes, nuestra definición de análisis sólo establece una jerarquía.
Una teoría A se clasificará como más perteneciente al análisis que una teoría B si las estructuras estudiadas en A son más ricas que las estudiadas en B.
El análisis aparece como un universo cuya complejidad recuerda la de la vida misma. Aunque el álgebra es un mundo de materiales cuyas bondades son las de los cristales con sus formas puras, el análisis está habitado por seres cuyas formas son tan inciertas como las de las algas, hidras o esponjas; es un mundo exuberante lleno lie oportunidades en el que las exploraciones pueden seguir cualquiera de un gran número de cursos y donde cada uno juede < olocar la impronta de su personalidad en el área que explora.2. CARACTERISTICAS DEL
METODO AXIOMATICO (a) Economía de pensamiento
Desarrollos recientes en la matemática v en la industria muestran interesantes analogías: el método axiomático es análogo
línea de producción automática; las
Una notación muy conveniente y sugestiva fue creada para indicar relaciones y transformaciones.
/\ ► A*
7t Ai ; E/Rx -*■ f (x);
x ~ y ; A X B ;En manos de los matemáticos, los entes
son modelados como piedras preciosas en manos del joyero y cada una de las transformaciones que se le producen revela una nueva faceta, un aspecto inesperado.
Este aspecto relacional de la matemática está de acuerdo con el bien conocido principio de que para conocer bien una noción se deben estudiar sus formas y las opuestas. Está también de acuerdo con un principio que parece dominar todas las investigaciones científicas modernas, vale decir, que no podemos alcanzar la “esencia” de los entes estudiados sino sólo las relaciones de uno con otro. Un experimento en física sólo revela una relación entre el Universo y el aparato experimental. Lo esencial en una red telefónica no es la naturaleza del alambre o su forma, sino el circuito. Para el matemático, dos conjuntos estructurados isomórficamente son equivalentes.
La virtuosidad con que la nueva generación de matemáticos se ha nutrido de los
métodos, usa el dinamismo de las
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en un
casos
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ennuevos•/elaciones y la satisfacción que obtiene de ello, parece probar que ese dinamismo se adapta bien a la estructura del cerebro humano.(d) Adaptabilidad al universo físico
Esta multivalencia de teorías es una garantía de mayores posibilidades para su
la física. Así, el espacio de Hilbert ha servido para interpretar mejor las teorías de los quanta; la simetría de los espacios de Riemann y el campo diferencial exterior han formado* el esqueleto de la Relatividad General. La misma física teórica moderna está desarrollando ahora sus propias estructuras axiomáticas: se toman como postulados algunos hechos fundamentales de los
deducen consecuencias cuya veri-
remas
uso en
íae un
unacurva en un unaanalíticas de variable real resultan mejor c onocidas cuando se las estudia en el plano complejo, y que por algún tiempo, las familias normales” de Jas funciones analíticas han sido una herramienta poderosa. La matemática moderna es “relacional , y esto le da un dinamismo interno reflejado en el vocabulario especial y los signos topográficos especiales: correspondencias, inyec-
I que seficación experimental se busca luego. Naturalmente se comprende que los axiomas elegidos corresponden a sólo un aspecto del universo físico.(e) Validación de las nociones que se han
vuelto metafísicasA menudo, la única manera de resolver
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general no implica que será útil, particularmente si la luz que arroja es demasiado débil. En otro lugar veremos con qué economía Bourbaki ha seleccionado las teorías a las cuales ha dado el derecho de piso. Pero es interesante buscar las defensas que protegerán a Bourbaki de caer en la tentación de desarrollar sistemas axiomáticos como un objetivo en sí mismo.
Para André Weyl, “si la lógica senta las reglas de la higiene para u n a matemática, el alimento básico de que vive está formado por los grandes problemas”. Esta es otra manera de expresar lo que Ililbert acostumbraba decir: “Una rama de la ciencia está llena de vida mientras presenta abundantes problemas; la ausencia c falta de ellos es un signo de muerte”.
Para Bourbaki, Ililbert es un modelo y casi una figura señera. El hijo imita al padre en la elegancia y simplicidad de trabajos “debido al hecho de que extrajo de la tierra donde nadie había sido capaz de verlos hasta entonces los principios fundamentales que hicieron posible trazar el camino real que hasta entonces se había buscado en vano”. Es el Maestro del método axiomático, ya se consideren estructuras univalentes (como en geometría elemental), o multivalentes, y él ha enseñado a los matemáticos a pensar axiomáticamente. “Nunca cae en la trampa de alguno de sus discípulos, de crear una teoría elaborada para
dificultades metafísicas es un buen sistema axiomático. Así, los números complejos sólo perdieron su misterio y su “absurdidad cuando su conjunto fue identificado con R~ al cual se asocian dos operaciones bien definidas. En épocas más recientes, los fundamentos de la teoría de probabilidades eran muy nebulosos cuando se basaba en la teoría de juegos, en la teoría de errores y en la teoría estocástica. La teoría de probabilidades sólo ha encontrado su unidad y sus fundamentos sólidos cuando Kolmo- gorov le da su presentación axiomática. Por estos axiomas, aparece de la teoría de la medida, pero especial que muestra mucho vigor, tiene mi propio lenguaje y sus propios problemas >' que podría enriquecerse con los resultados de la teoría de la medida a la
EL PANORAMA
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matemática'repre-
L. A. SANTALO y H. R. VOLKER (Argentina)
un dominio cabal del tema, visto con sentido crítico y desde un nivel superior, habilita para discernir con claridad la mejor forma y el medido alcance con que debe ser enseñado. El futuro profesor secundario debe recibir su formación científica en la Universidad o en institutos de categoría similar a la universitaria y la intensidad y extensión de los cursos que siga —sobre todo en los primeros años o semestres — no tienen por qué diferir mayormente de los que siguen los futuros matemáticos profesionales. Un seminario elemental a esa al tina de los estudios, que lo capacite para enfrentar por cuenta propia temas nuevos y sacar de ellos provecho para su formación científica será de incalculable valor para su evolución futura. En los cursos superiores, en cambio, ha de tenerse en cuenta que no se trata de preparar un investigador científico, sino un docente que por cierto debe conocer con solidez las distintas disciplinas matemáticas y su interrelación pero que, al mismo tiempo, debe estar particularmente capacitado para adaptar los temas que interesan, a las posibilidades de ser enseñados a los alumnos secundarios.2. La capacitación pedagógica.
Paralelamente a la formación científica —pero con preferencia en los cursos superiores— es preciso que el futuro docente reciba una adecuada formación pedagógica, que abarcará desde planteos educativos amplios hasta el tratamiento de cuestiones específicas de la enseñanza matemática. Los cursos de pedagogía general suelen basarse en otros de filosofía y es usual que éstos figuren entre las materias que se desarrollan al comienzo de la carrera, es decir, cuando el candidato aun no tiene ni la información ni la madurez científica suficientes como para apreciar la necesidad
como una rama una rama
I. NOTA PRELIMINAREl extraordinario desarrollo de los co
nocimientos matemáticos durante las últimas décadas y las posibilidades crecientes de sus aplicaciones a las distintas ciencias y la tecnología obligan a revisar los contenidos y métodos de la enseñanza temática en la escuela secundaria y, consecuentemente, la formación de los docentes para dicho ciclo.
Hay consenso prácticamente general sobre la necesidad de enseñar en la escuela de nivel secundario cuestiones de la así llamada “matemática moderna”, pero al mismo tiempo se advierte que el personal en ejercicio no siempre está capacitado para hacerlo, porque no ha sido formado, en su
vez queiertilizaría el análisis clásico. Una brillante ilustración de este último hecho puede contrarse en la estrecha relación que últimamente se ha demostrado que existe entre los procesos de Markov y la teoría pa- tcncial.
ma-cn- SllS
3. PELIGROS DEL METODO AXIOMATICO
Aunque los sistemas axiomáticos son las herramientas - máquinas de la matemática, fácilmente se comprenderá que sólo interesan cuando su producción es buena. Es relativamente sencillo construir siste-
axiomáticos, modificando ligeramente sistemas conocidos; infortunadamente, se encuentra que se producen, y se producen demasiados, como tesis o trabajos de fin de carrera. Sus autores pueden haber hallado gran placer en formularlos y esto los lleva a exagerar su importancia. Una tidad de estas vastas teorías tienen o ninguna aplicación. Surge entonces pregunta urgente: ¿cuáles son los sistemas axiomáticos útiles?
Probablemente no haya un criterio absoluto que permita decidir sobre este asunto. Sin embargo, podemos concordar en que no hay necesidad de un tanque si uno sólo desea matar una mosca. Úna teoría general se justifica si revela lazos fructíferos e inesperados entre teorías hasta entonces aparentemente no relacionadas, o si resuelve un desafío hasta solución. El hecho de
momento, para afrontar por cuenta propia las situaciones cambiantes y paraadaptarse a ellas. Se advierte, además, la necesidad de adecuar la formación de los futuros profesores secundarios a las nuevas exigencias y surge así la pregunta de cómo hacerlo de la mejor manera a la vez de condicionar esa formación a las posibilidades y características de cada país.
El presente documento de trabajo trata de señalar aspectos que se consideran básicos para esa formación y, sin entrar en detalles, los caracteriza con el fin de que puedan ser debatidos, ampliados y precisados en su justo alcance.II. ASPECTOS BASICOS I. La preparación matemática.
La información científica adecuada — por su extensión, intensidad y actualidad— se considera esencial para un eficaz desempeño docente. De allí que el profe-
secundario deba disponer de conocimientos sólidos y actualizados que superen ampliamente los contenidos que se proponga transmitir a sus alumnos. Sólo
pocos resultados magros, y nunca generaliza por el placer de generalizar.” (Dicudonné). Es del problema espacial, preciso y concreto. Fue con el fin de resolver tales problemas que ha creado las herramientas cuya importancia no ha disminuido aun: el método directo en el cálculo de variaciones basado en la semicontinuidad, con el fin de resolver el problema de Diriclilet; la definición y el uso de los “espacios de Hil- bert” para la solución de las integrales, etc.
unosmas
un amante
!
can-pocauna
ecuaciones
Los grandes problemas sobre los cuales llamó la atención de los. matemáticos en el Congreso de 1900, continúan estimulando investigaciones fructíferas. Hoy, por ejemplo, el problema de los ceros de la función (g) está provocando aun muchos intentos de solución, aunque la verdadera naturaleza del problema parece todavía escapar a todos.
i
sor
entonces sin que una teoría sea
* Proycclo presentado por los autores en la Conferencia de Lima, do 1966 (N. do R.).10
11
cesivo sera, pues, conveniente prever en la formación del profesor una gran flexibilidad, es decir, que la carrera se estructurará de tal forma que la aptitud para el cambio quedase asegurada. Ello implica capacitar al futuro docente secundario para que, una vez recibido y en actividad, siga estudiando por cuenta propia y considere
imperativo el mantenerse informado sobre los adelantos científicos y metodológicos por medio de revistas y libros especializados y la asistencia sistemática a reuniones profesionales. Acaso esta exigencia parezca pretensiosa y de difícil o imposible cumplimiento, si so considera que el docente en ejercicio es hombre atareado y de escaso tiempo. No obstante, es lícito suponer que la inclusión en el plan del profesorado de, por ejemplo, un seminario sobre temas de matemática como ciencia y otro sobre adaptación a la escuela secundaria de cuestiones de matemática actual, como asimismo algún curso sobre fundamentos de matemática o de cuestiones de matemática elemental vistas desde un punto de vista superior, dejarán en el futuro docente profundas huellas y lo habilitarán para afrontar con éxito responsabilidades del tipo señalado.4. La conexión con otras ciencias.
El hecho de tener la matemática una influencia decisiva en el desarrollo de otras ciencias, a tal punto que algunas, como la Física o la Economía, tienen de ella necesidad vital, requiere poner de manifiesto esa situación en la enseñanza; sólo porque contribuye a cjue el alumno adquiera un concepto más claro y completo de la importancia de la matemática como 1 actor de cultura y progreso, sino para que advierta fundamentalmente el amplísimo campo de sus aplicaciones que evidencia su valor como herramienta insustituible del pensamiento. Por ello conviene que el profesor secundario de matemática conozca bien alguno de esos campos de aplicación y esté en condiciones de ilustrar a sus alumnos sobre el tema con los ejemplos del caso. La incorporación al plan del profesorado de matemática de algún curso de mecánica o de física-matemática o de temática aplicada a la economía, la biología o el rendimiento escolar —para no citar sino algunos ejemplos posibles— puede ser, en el sentido expuesto, de gran utilidad.
de una fundamcntación filosófica. Se su- esto ha contribuido de alguna la falta de prestigio de la for
mación pedagógica entre los estudiantes de disciplinas científicas, en general; pero es de suponer también que un replanteo de estas cuestiones producirá un cambio, sobre todo si la capacitación pedagógica so orienta hacia los problemas concretos que debe afrontar el docente secundario en el ejercicio profesional; problemas de cuya acertada solución depende el éxito de la enseñanza que imparte. Así, por ejemplo, interesa para el desempeño docente la conducta individual y colectiva que observan los alumnos frente a la necesidad y conveniencia del conocimiento. La cuestión se vincula con la psicología del adolescente y la dinámica de grupos. También es fundamental conocer teoría y técnicas del aprendizaje para aplicarlas a la enseñanza de la matemática, especialmente cuando se trata de adaptar al nivel secundario y en ía forma más clara y accesible para los alumnos, cuestiones nuevas que derivan de un nivel superior. Un curso o seminario especial dedicado a este tipo de tareas parece justificarse, máxime si se lo utilizara también para familiarizar a los futuros docentes con los trabajos y conclusiones de conferencias y congresos que han versado sobre el tema. Se trataría así de capacitarlos para una labor crítica, creativa y renovadora, directamente vinculada con su quehacer diario. El período de práctica de la enseñanza —más o menos prolongado, de acuerdo con las especiales aptitudes del candidato— serviría de ensayo para la aplicación concreta de los conocimientos y técnicas adquiridos.
LA ORIENTACIONpone que manera a
a geometría en la enseñanza
moderna de la matemáticacomo un
G. PAPY (Bélgica)
de los espacios vectoriales con producto escalar es el marco natural del precioso legado de la tradición euclidiana!
¿Es posible estudiar los espacios vectoriales sin introducir la estructura de grupo... cuando un espacio vectorial es, ante todo, un grupo conmutativo.. . y cuando aparecerán inevitablemente los grupos do transformaciones lineales?
La mayoría de los grupos examinados son grupos de permutaciones. Se tratará, pues, de distinguir las permutaciones entre Jas transformaciones.
El conjunto de las clases laterales de lodo sub-cspacio vectorial constituye una partición.
Y no hemos evocado todavía el campo de los coeficientes. Los espacios vectoriales considerados son reales: se trata, pues, de introducir el cairqDo ordenado de los números reales, en el que la estructura de orden desempeña un papel del todo fundamental.
Inútil prolongar esta enumeración en cascada; una buena enseñanza de los elementos de los espacios vectoriales emplea inevitablemente todos los conceptos de la teoría elemental de los conjuntos, de las relaciones y de los grupos.
La introducción del estudio del espacio vectorial en el programa de la enseñanza secundaria impone las grandes líneas de ese programa que examinaremos detalladamente más abajo, siguiendo el orden cronológico y polarizando nuestras observaciones sobre la geometría y el espacio vectorial euelidiano plano.
En 1961, en el mismo momento en que la empresa belga de renovación de la enseñanza de la matemática se inició en la clase sexta (12-13 años), tomé una clase tercera de la especialidad científica (alumnos de 15 -16 años, 7 períodos de 45 mi-
E1 programa de la experiencia belga para los cinco primeros años del ciclo secundario (12 a 17 años) está de acuerdo con las voces unánimes emitidas en todas las reuniones de matemáticos puros y aplicados que se han preocupado por el problema de la enseñanza:1. La matemática actualmente útil es la
matemática moderna. Ella tiene las mayores posibilidades de entrar en resonancia con el espíritu de los niños ele hoy.
2. Es necesario aprender a “matematizar’ situaciones.
3. Los programas de enseñanza secundaria deben incluir: conjuntos, relaciones, gráficos, grupos, espacios vectoriales (comprendiendo los. espacios vectoriales con producto escalar euelidiano), las primeras nociones de análisis matemático y del cálculo diferencial e integral.
El punto central, el más fundamental del programa precedente, es sin disputa:
ESPACIOS VECTORIALESLa puesta en evidencia sistemática de
los espacios vectoriales subyacentes, en las ramas más variadas, es uno de los rasgos característicos del verdadero rostro de la matemática de hoy. El estudio de difíciles problemas de topología usa especialmente la estructura de anillo-módulo, que generaliza la de espacio vectorial.
¿Quién no ve la imposibilidad actual de desarrollar honestamente un curso de análisis matemático sin usar de manera fundamental los espacios vectoriales (DI)? ¿Es admisible disimular que diferenciales e integrales son ejemplos importantes de aplicaciones lineales?
Gustavo CROQUET ha indicado con cuánta fuerza y razón los espacios vectoriales con producto escalar constituyen el Camino Real de la Geometría. ¡La teoría
una
no
o. La aptitud para el cambio.Desde que los formidables adelantos de
la matemática como ciencia exigen una rápida actualización de los contenidos y métodos de enseñanza en el nivel secundario, el profesor de la asignatura debe imprimir a su labor docente un carácter esencialmente dinámico. Quiere decir, que debe estar capacitado para el cambio, circunstancia que la formación tradicional del profesor de matemática no tenía en cuenta; hecho que dificulta en el presente rápida adaptación del personal en ejercicio, que debe ser actualizado mediante cursos de todo tipo, lo que significa ingentes gastos de tiempo y dinero. Para lo su-
fma-
una
(sigue en pág. 46)
1213
?l
geometría porque nuestros alumnos han estudiado ante conjuntos y relaciones especialmente, las permutaciones.
CLASE QUINTA (13-14 años) (4 períodos semanales de 4o minutos).
Este año está casi enteramente consagrado a la génesis simultánea del campo ordenado de los reales y de la estructura vectorial plana. El hecho importante para recordar aquí es que existe por lo un método que permite introducir nociones importantes, de manera a la vez rigurosa c intuitiva.
Esta enseñanza ha podido tener éxito gracias a la presentación anterior de los elementos de la geometría en forma conjuntóla, axiomática y relacional. La i ación posicional desempeña un papel esencial en la introdución del conjunto ordenado de los reales. Para mayores detalles, volvemos a enviar al lector interesado a (F1), obrita dedicada a los enseñantes, c a (MM2), manual dedicado a los alumnos y escrito después de la experiencia.
Un andar paciente nos ha conducido de los axiomas originales de carácter intuitivo a la estructura del espacio vectorial real de dimensión dos. A medida que se desarrolla el curso, se invocan cada vez menos los axiomas originales y las proposiciones intermedias y cada vez más las propiedades que caracterizan la estructura de espacio vectorial real del plano.
El curso culmina por la puesta en evidencia de esta estructura y termina con su utilización sistemática. Se prepara así < 1 retorno psicológico del comienzo de la clase tercera en donde la estructura vectorial es la base axiomática de partida.
CLASE CUARTA (14-15 años) (4 pe- i iodos semanales de 45 minutos).
"El marco del espacio vectorial eucli- diano plano es el camino real para la enseñanza de la geometría”. Entonces, conviene llegar sin choques a este camino. Tal es el objetivo de nuestra enseñanza de la geometría métrica en la clase cuarta.
A partir de la noción muy intuitiva de simetría ortogonal, se introduce o se vuelven a encontrar los desplazamientos (rotaciones o traslaciones) y los retornos (simetrías deslizantes o no).
El medio pedagógico de las rectas moradas facilita el acceso al grupo de las
isometrías v al de los desplazamientos (MM0) y (MM3).
El uso simultáneo de esos grupos v de las señales afines de las rectas introduce la noción de distancia, bajo su forma moderna, como aplicación de - X en R+, lo que da por sobreentendida la elección previa de la unidad. No hay ninguna objeción para la fijación de ésta, puesto, que el cambio de unidad plantea un problema cuya solución es trivial.
El grupo conmutativo de las rotaciones de centro dado conduce al grupo de los ángulos. Como la medida de los ángulos no desempeña ningún papel en la geometría elemental, el problema que plantea su introducción se traslada a la clase primera donde se resuelve en el marco de Ja teoría de las funciones circulares. La aprehensión numérica del ángulo se hará primeramente por intermedio del coseno.
Distancia y coseno introducen el producto escalar. Su conmutatividad
La geometría es abordada en el curso de la segunda mitad de ese año, empleando a la vez las nociones conjuntólas adquiridas y el método axiomático de las ciencias experimentales. El plano es considerado como dato que se idealiza de ma-
armoniosa cuando la experiencia pro
habíanulos por semana) para ver si no allí manera de enseñar la teoría de jos espacios vectoriales a alumnos de 15 años que habían seguido una enseñanza tradicional.
Esta experiencia me llevó a la siguiente conclusión:1. La enseñanza tradicional anterior a los
15 años ya había condicionado a los alumnos en sentido opuesto al espíritu de la matemática moderna. Se debían realizar grandes esfuerzos para desintoxicarlos. El condicionamiento anterior no tenía nada de natural ni de espontáneo: tesoros de pedagogía y de abnegación tradicionales habían sido gastados para llegar a ese resultado... (pie ahora convenía destruir.
¡Qué pérdida de tiempo y de energía!2. Las nociones fundamentales concer
nientes a los conjuntos y relaciones se enseñan más fácilmente a los 12 que a los 15 años. Ellas taponan el curso de la clase de 15 años donde demasiados conceptos deben ser introducidos simultáneamente.
3. Conjuntos, relaciones, grupos... si son enseñados desde los 12 -13 años es posible usar armoniosamente esos conceptos como útiles motores de la construcción misma del edificio matemático y, en particular, de la geometría. Resulta así una enorme ganancia de tiempo y de motivación y la matemática aparece entonces en una visión unitaria.
CLASE SEXTA (12-13 años) (4 períodos semanales de 45 minutos) (*)
La primera mitad de este año está reservada a los conjuntos y relaciones, enseñadas con ayuda de representaciones geométricas por diagramas de Venn y gráficos multicolores.
Todos los que han procedido de esta manera —y han dedicado tiempo a esta enseñanza-- han podido comprobar, en los años siguientes, que las principales nociones de esta teoría elemental e ingenua eran asimiladas definitivamente v for ma b a n parte del conocimiento adquirido inmediatamente disponible.
El uso de los aiagoamas de Venn y de los gráficos enseña subsidiariamente a dibujar esquemas y a esquematizar situa- cionesj lo que es fundamental para todos los estudios posteriores.
y»
nerapíamente dicha deja de dar respuestas. El maestro elige situaciones que provocan la expresión de ciertas afirmaciones más o
descriptivas. Entre ellas se eligen los axiomas de incidencia de la geometría
menos esasmenos
plana.A menudo, es difícil razonar sobre fi
guras, porque se ven las respuestas sin razona r. Este inconveniente se obvia empleando diagraams de Venn (MM1, pág. G8-71) y, notablemente, pidiendo que se dibujen en el plano situaciones primitivamente descriptas por los diagramas.
El axioma de las paralelas se introduce en forma global (MM1, pág. 73-75).
Las cadenas de paralelogramos conducen en forma totalmente natural a la noción de pares equipolentes. El carácter arguesiano del plano está contenido en el axioma que afirma la transitividad de la equipolencia.
Las traslaciones o vectores (clases de equivalencia de la equipolencia) aparecen de buenas a primeras como permutaciones del plano. La identificación deliberada de vector y traslación con una permutación del plano economiza conceptos y evita distingos sutiles pero inútiles.
En lo que concierne a la geometría, el curso sexto termina por la puesta en evidencia del grupo conmutativo de los vectores, al cual se identifica el plano x después de la fijación de un origen. Los alumnos efectuarán cálculos en el grupo
la que es en sí misma una prodigiosa situación pedagógica.
Además de las traslaciones, se consideran en esta clase las proyecciones paralelas del plano sobre una recta y una de las primeras demostraciones dignas de ese nombre consiste en probar que las proyecciones paralelas de los pares equipolentes, son equipolentes, primer paso hacia el teorema de Tales. Se empleará, a ese efecto, el medio pedagógico de las tiras didácticas para señalar las etapas de la demostración (MM1, p. 362).
Es posible una presentación tal de la
nume-
y su condición de ser bilineal implican el teorema de Pitágoras, la desigualdad de Cauchy - Schwartz y la desigualdad triangular.
El curso culmina por la puesta en evidencia de la estructura del espacio vectorial euclidiano plano y termina con su empleo sistemático.
CLASE TERCERA CIENTIFICA (15- 16 años) - (7 períodos semanales de 45 minutos).
Los alumnos han tenido ocasión de darse cuenta de la importancia de la estructura del espacio vectorial, lo que motiva un pequeño estudio intrínseco cuyo punto crucial es el teorema de la base:
SI un espacio vectorial admite una base de n elementos, ENTONCES toda base de ese espacio vectorial comprende n elementos.
Este teorema se pone al alcance de los alumnos de 15 años gracias a un medio pedagógico que materializa las sustituciones en el pasaje de una base a otra. Este procedimiento se describe de manera esquemática en (F2; ps. 32-33).
Adquirido este punto, ha llegado el momento de efectuar el retorno psicológico a que ya hemos hecho alusión. El fin do los cursos de las clases quinta y cuarta ya ha enseñado, en efecto, a servirse de los axiomas de definición de la estructura del espacio vectorial euclidiano plano.
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enu-;:■'
1514
formaciones lineales) que conservan el producto escalar? Felizmente se puede esla- blacer que las únicas transformaciones ortogonales son las ya conocidas: simetrías
rotaciones. El estudio de las matrices de transformaciones en una base orto-
Los alumnos que han recorrido otros el camino que conduce de los axiomas originales de esta estructura tienen a menudo cierta angustia por la idea de no letener el detalle del itinerario recorrido. El retorno psicológico viene en el momento oportuno: calma y reconforta saber que se tiene el derecho de no retener más que los axiomas de definición de los reales y los de la estructura del espacio vectorial euclidiano plano.
La dimensión no interviene en las demostraciones concernientes al cuadrado escalar de una suma y el teorema de Pitá- goras. Se matan dos pájaros de un tiro puesto que esos resultados siguen valiendo en el espacio.
La mayor parte de los cursos terceros, en lo que concierne a la geometría, está consagrada, sin embargo, a un estudio más sistemático del espacio vectorial euclidiano plano. Sería doloroso no usar esta importante estructura más que para establecer de una nueva manera resultados ya adquiridos en la enseñanza anterior y especialmente en la clase cuarta. El desarrollo del curso tercero debe convencer a los alumnos que el espacio vectorial euclidiano plano es una formidable base de partida para la conquista de nociones absolutamente fundamentales de Ja matemática de siempre.
La linealidad de las proyecciones paralelas, de las homotecias y de las simetrías paralelas (y ortogonales), puestas en evidencia en las clases quinta y cuarta, motiva el estudio de las transformaciones lineales del espacio vectorial euclidiano plano.
Toda transformación lineal está determinada por la imagen de los elementos de una base. Se adivina de inmediato el beneficio que se podría obtener por el empleo adecuado del método de los gráficos, cuyo interés aumenta aquí súbitamente. A cada uno de esos gráficos parciales está asociada la matriz de la transformación en la base considerada. Este estudio pone en evidencia el anillo de las transformaciones lineales (y subsidiariamente el de las matrices R2*2, +, .) y el grupo lineal general (ver A7, cap. 2).
Se ha visto, en los cursos anteriores, que las isometrías centradas son lineales. De allí el problema inverso: ¿cuáles son las transformaciones ortogonales (o las trans-
con nos- LO DIDACTICO
introducción a la lógica matemáticai yosasnormada conduce al coseno de una rotación lo mismo que al semigiro y a los dos cuartos de giro.
El grupo de las semejanzas y el semi- grupo de las semejanzas directas se obtienen componiendo homotecias y trans- Jormaciones ortogonales. Se establece, en fin, que el conjunto de semejanzas directas os un campo (o cuerpo conmutativo).
Una de las maneras de orientar al espacio vectorial consiste en decidirse a llamar i a uno de los cuartos de giro. Toda semejanza directa se identifica con el número complejo a + bi; la componente real a no depende de la orientación, contrariamente al signo de su parte imaginaria b. En el plano orientado, se define el seno de una rotación o de un ángulo.
Los ángulos se introducen como elementos de un grupo aditivo, isomorfo al grupo composicional de las rotaciones o al grupo multiplicativo de los números complejos de módulo 1.
Es fácil deducir algunas fórmulas trigonométricas importantes de las propiedades de los números complejos.
Para mayores detalles, volvemos a remitir a la bella obra (D2) de Jean DIEU- DONNE, escrita para las necesidades de estudiantes intrépidos y a (MM6) directamente destinada a los alumnos.
En la clase segunda (16-17 años) se desarrolla la geometría del espacio a partir del espacio vectorial euclidiano de dimensión tres.
J. SEBASTIÁO c SILVA (Portugal)
F y el valor V), conjunto que podemos designar abreviadamente por la notación i V. F }. \
Tales operaciones quedan definidas por las tablas anteriores.
Ete nuevo punto de vista simplifica considerablemente el estudio de la lógica, como tendremos ocasión de verificar.J2. Las operaciones lógicas y las máquinas de calcular. El funcionamiento de las modernas computadoras electrónicas se basa en gran parte en la lógica matemática. Presentaremos los esquemas de circuitos eléctricos que efectúan las operaciones de conjunción, disjunción y negación, en máquinas de tipo simple basadas en electroimanes (en las máquinas electrónicas, mucho más rápidas, la idea es esencialmente la misma, pero los electroimanes son reemplazados por válvulas electrónicas).
El circuito de conjunción (o circuito “y”) está esquematizado en la Fig. 1; el circuito de disjunción (o circuito “o”) en la Fig. 2, y el circuito de negación (o circuito "no”) en la Fig. 3.
J1 . Las operaciones lógicas consideradas como operaciones sobre valores lógicos. So dijo antes que designamos con “V" al valor de verdad y con “F” al valor de falsedad. Para determinar el valor lógico de la negación, de la conjunción y de la dis- junción, partiendo de los valores lógicos de las proposiciones dadas, pueden usarse las siguientes tablas, llamadas habitual- nlente tablas de verdad:
f\ q pn
FV F tTFV
VV F VVVF V FVrF FFLas dos últimas son tablas de dos en
tradas, semejantes a las tablas pitagóricas de la multiplicación; en ellas se ve inmediatamente que el valor de la conjunción es V cuando ambos datos tienen el valor V (y sólo en ese caso), y que el valor de la disjunción es V cuando uno, por lo menos, de los datos tiene el valor V (y sólo en ese caso).
Estas tablas nos inducen a considerar la negación, la conjunción y la disjunción, *fio propiamente como operaciones sobre pro- jiosiciones, sino como operaciones sobre valores lógicos. De ese modo, el resultado de la negación sobre los valores lógicos V y F será, respectivamente, F y V, o sea, en símbolos: ^ V F; ^ F = V.
Análogamente se tendrá:V A V = VV A F = F F A V = F F A F = F
Se trata, ahora, muy simplemente, de las operaciones definidas -en un conjunto formado apenas por dos elementos (el valor
* Véase No 1, paos. 21 a 26 (N. de R.).
a Ab
(Fig- 1)
El valor lógico V se traduce en este caso por pasaje de corriente y valor F por ausencia de corriente.
En el primer esquema, los interruptores están colocados en serie y, por tanto, habrá corriente en el circuito cuando se envíe corriente a las dos bobinas ai mismo tiempo, cerrando los dos interruptores que, de otro modo, se mantienen abiertos por medio de válvulas. Así, el resultado será V cuando, y sólo cuando, ambos datos a y b sean V; trátase, pues, de la conjunción.
En el segundo esquema, los interruptores están dispuestos en paralelo y, por tanto, pasará corriente en el circuito cuan-
(Fig. 2)\
BIBLIOGRAFIA1. (A) ARTIN. Algebre Géométrique, Cau-
thiers - Villars, 1962.2. (DI) DIEUDONNE. Fondements ele VAna-
b/se Moderno, Gauthier - Villars, 1963.3. (D2) DIEUDONNE. Algebre linéaire ct Geo
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6. (Fl) PAPY - DEBBAUT. Géemétrie affineplañe el nombres róels, Presses Univer- sitaires de Bruxelles, 1962.
V V V = VV V F = V F V V = V FVF=F
/
(sigue en pág. 24)
1617
a. (b + c) == (a. b) + (a.c) siendo a, b, c números cualesquiera.
Muchas veces, por comodidad de lenguaje, la conjunción es también llamada producto lógico, escribiéndose entonces p. q (Leer “p veces q”) en lugar de p A q. A su vez, la disjunción es llamada lógica, escribiéndose p + q (leer p más q) en lugar de p V q. En este caso, se acostumbra a designar los valores lógicos V y F con los símbolos 1 y 0. Entonces, el producto lógico coincide con el producto usual en el conjunto -¡0, 1J-, pero no sucede lo mismo con la suma lógica, dado que V V V = V, o sea 1 + 1 = 1.
Obsérvese que la disjunción también es distributiva con respecto a la conjunción:
p V (q A r) = (p V q) A (p V r)Por ejemplo, la proposición:“O llueve o está ventoso y frío”
equivale a afirmar las dos proposiciones:‘'Llueve o está ventoso” y “Llueve o
hace frío”.
operaciones fundamentales, por ejemplo, según la fórmula:
a V — (a V b) A - (a A b)(esto es, verifícase a V b cuando se verifica a o b, pero no a y b al mismo tiempo).
Uno de los tipos de problemas de lógica matemática, impuesto por los cerebros electrónicos, que exigen cada vez más el
de especialistas de la materia,
Para hacer una lista de las propiedades de la conjunción y de la disjunción, supondremos que las letras a, b, c designan cualesquiera de los valores lógicos V, F.
A) Propiedades de la conjunción.1. La conjunción es conmutativa, esto es,
a A b = b A a2. La conjunción es asociativa, esto es,
(a A b) A c = a A (b A c)3. El elemento V es tal que:
a A V = a, cualquiera sea a (V o F)4. El elemento F es tal que:
a \ F = F cualquiera sea a.B) Propiedades de la disjunción.
I’- La disjunción es conmutativa:a V b = b V a
2\ La disjunción es asociativa:(aVb) Vc = aV (bVc)
3’. El elemento F es tal que:a V F = a cualquiera sea a
4’. El elemento V es tal que: a V V = V cualquiera sea a
C) Propiedades mixtas (de la conjunción ¡I de la disjunción)ó. La conjunción es distributiva con
respecto a la dis junción. a A (b V c) = (a A c)
G. La disjunción es distributiva con respecto a la conjunción:
a V (b A c) = (a V b) A (a V c) La demostración de estas propiedades
puede reducirse a una simple verificación empleando las tablas de la conjunción y de la disjunción y considerando todas las sustituciones posibles de las letras a, b, c por valores lógicos. En efecto, como cada letra sólo puede tener dos valores (V y F), el número de tales sustituciones es finito. Así, por ejemplo, la propiedad conmutativa de la conjunción resulta de la tabla respectiva observando que:
1) si a = V y b = V, es a A b = b A a = V
2) si a = V y b — F, es a A b = b A a = F
3) si a = F y b = V, es a A b = b A a = F
4) si a = F y b = F, es a A b = b A a = F
Análogamente para la propiedad asociativa:
do (y sólo cuando) se envía corriente por lo menos a una de las dos bobinas: tratase, pues, de la disjunción.
Finalmente, en el tercer esquema, el envío de corriente a la bobina produce interrupción en el circuito y existe una vula que cierra automáticamente el interruptor cuando no hay corriente en la bobina; se trata, pues, de la negación.
vál- suma
concurso es el siguiente:
Dada una expresión de cálculo proposi- cionaly reducirla a una expresión mínima, esto es, a una expresión equivalente que requiera el mínimo de circuitos elementales Cy”, V’ y “no') y, por tanto, el mínimo de consumo energético del cerebro.
Esto se consigue aplicando las propiedades de las operaciones lógicas, que vamos a estudiar, y cuya utilidad fundamental es: ECONOMIA DE TIEMPO, ECONOMIA DE PENSAMIENTO, ECONOMIA DE ESFUERZO.
A modo de ejemplo, obsérvese que, de las dos formas anteriores para definir a V b, la segunda es más económica visto que elimina un circutio “no”.13. Propiedades de la conjunción y de la disjunción. Consideremos la siguiente proposición :
“Carlos estudia y Pedro oye música o
'S'cL;
*-¿(Fig. 3)
A partir de estos tres tipos de circuitos elementales, que podemos indicar respectivamente con los símbolos
-TU—z=Lies fácil construir varios circuitos que efectúen otras operaciones lógicas más o menos complicadas, en vista de que todas, en último análisis, se pueden definir a partir de aquellas tres. Por ejemplo, la disjunción exclusiva, dada por la tabla adjunta, puede ser definida a partir de la conjunción, de
aVb
Por lo contrario, en el caso de los números, la adición no es distributiva con respecto a la multiplicación, esto es, no se tiene generalmente:
a + (b. c) = (a. b)Por ejemplo:
(a.c)
3 + (2.5) - (3 + 2). (3 + 5)Observemos desde ahora el provecho que
se puede obtener de estas propiedades de la conjunción y de la disjunción en los cerebros electrónicos. Por ejemplo, la expresión (a A b) V (a V c) conduce al esquema de la Fig. 5, en tanto que la expresión equivalente a A (b V c) conduce al esquema de la Fig. 6: ésta es, puesr, más económica, pues elimina un circuito “y”.
Pero hay otras propiedades de la adición y de la multiplicación de números que se extienden a la disjunción y a la conjunción (sobre proposiciones o valores lógicos).
lee”.)Es obvio que esta proposción equivale
a la siguiente:“Carlos estudia y Pedro oye música, o
Carlos estudia y Pedro lee”.Usando las letras a, b, c, respectivamen
te, como abreviatura de las proposiciones “Carlos estudia”, “Pedro oye música”, “Pedro lee”, la referida equivalencia queda traducida por la fórmula:
VV rv FFla disjunción y de la negación, por medios de la fórmula:
a V b = (a A ^ b) V (b A ^ a)esto es, verifícase a V b cuando se verifica sólo a o sólo b). De acuerdo con esta fórmula, representamos en la Fig. 4 el esquema de un circuito que efectúa la disjunción exclusiva.
• 1
a A (b V c) = (a A b) V (a A c)Es evidente que esta fórmula es verda
dera, cualesquiera sean las proposiciones en los lugares de las letras. Se expresa esteb A*v3.
Aft(bvc)(Fig. 5) b —«r. 0—V b
hecho diciendo que la conjunción es distributiva con respecto a la disjunción. Esta manera de decir fue adoptada por analogía con lo que ocurre con respecto a los números; en este caso, la multiplicación es distributiva con respecto a la adición, esto
o _r (Fig. 6)a a b1) si a = V, b = V y c = V,
es (a A b) Ac= (V A V) \ V = V y a A (b A c) =
V A (V A V) = V
V
Aun se pueden imaginar otros circuitos para efectuar esta operación, pues podemos definirla de otros modos a partir de las
(aAbMbAc)
es:1918
i
í
i
a a x = F y a V x = VClaro es que este valor x es precisamente
el contrario de a, o sea ^ a, igual a F si a = V, igual a V si a = F. Tenemos, pues:
a A ^ a = F; a V ^ a = V, cualquiera sea a.
Estas fórmulas, aplicadas a proposiciones, traducen a una nueva forma los principios de la lógica bivalente:
PRINCIPIO DE NO CONTRADICCION. Decir que una proposición es verdadera o falsa al mismo tiempo, es siempre falso.
PRINCIPIO DEL TERCERO EXCLUIDO. Decir que una proposición o es verdadera o es falsa, es siempre verdadero.
Finalmente, es fácil deducir de las tablas de verdad las dos propiedades siguientes:
~ (a A b) = a V ~ b;^ (a V b) = ^ a A bSuponiendo que en los lugares de a y
b se ubican proposiciones, estas fórmulas expresan las dos siguientes leyes del pensamiento, llamadas primeras leyes de DE MORGAN.
por tanto:(a A b) A c = a A (b A c);
2) si a = V, b == F y e = V es (a A b) A c =(V A F) AV == F y a (b A c) = V A (F A V) = F
Y-te aciones y funcionesLuis A. Santaló
(Argentina)Por tanto:(a A b) A c = u A (b A c),
y así sucesivamente (en este caso mero de sustituciones posibles es S).
De este modo, adquirimos la certeza de que todas las referidas propiedades válidas.
Obsérvese que, empleando las notaciones a.b, a -}- b, 1 y 0 (en lugar de las notaciones a A b, a V b, V y F, las propiedades 3, 4, 3’ y 4* relativas a V y F, toman, respectivamente las formas:
a. 1 = a, a. 0 =0 a + 0 = a, a + 1 = 1
siendo a cualquiera de los valores lógicos. De estas propiedades, sólo la última no se verifica en el caso de la adición y de la multiplicación usuales con números.
Las propiedades 3, 4, 3’ y 4', respectivamente, se expresan diciendo: V es el demento neutro de la conjunción, F es el elemento absorbente de la conjunción, F es el elemento neutro de la disjunción, V es el elemento absorbente de la disjunción.
Las propiedades de la conjunción y de la disjunción revelan Ja armonía de las leyes del pensamiento. Volviendo a la lista anterior, un hecho llama luego la atención:
Las propiedades de la conjunción y de la disjunción son formalmente idénticas, esto es, se pasa de unas a otras cambiando sólo “a” por “V" y “V" por “F\
En este hecho, y en otros que se apuntarán oportunamente, (que no se verifican c-n el caso de operaciones con números) consiste el PRINCIPIO de DUALIDAD LOGICA.14. Propiedades de la negación: sus relaciones con ¡a conjunción y la disjunción. La propiedad más simple de la negación es la PROPIEDAD DE LA DOBLE NEGACION:
^ a = a, cualquiera sea a (esto es, la doble negación equivale a la afirmación).
Observemos ahora que la negación puede definirse por la siguiente propiedad de la conjunción y de la disjunción:
Cualquiera sea el valor lógico a existe solo un valor lógico x, y uno sólo, tal que:
el nú-Una de las principales ventajas de la
matemática moderna es su universalidad. Es aplicable a situaciones mucho más generales que la matemática clásica. Contribuye decididamente a que la naturaleza y la vida sean vistas con ojos de matemático. Pero la matemática moderna, si bien se aplica a dominios muy diversos del conocimiento y a muchas situaciones corrientes de la vida ordinaria, es ante todo matemática sin adjetivos y, por tanto, no puede desligarse de la matemática clásica, a la cual comprende y de la cual recibe los principales flujos de vitalidad.
Sobre todo en la enseñanza secundaria puede ser peligroso dejarse llevar por un entusiasmo exagerado y dejar de lado todo lo que tiene sabor a clásico, reduciendo la matemática a un conjunto de definiciones o propiedades que por su gran generalidad y amplio espectro de aplicaciones, devienen muchas veces puras trivialidades. Al contrario, es necesario insistir en que la matemática moderna comprende todo lo útil e importante de la matemática clásica y que merced a ella todo lo que esta última tiene de fundamental y permanente se alcanza a ver de manera más clara, por lo cual se asimila mejor y se aprende de manera más fácil y agradable.
En lo que sigue, vamos a ver si conseguimos mostrar como lo nuevo es útil a lo clásico y como, a su vez, lo clásico es la fuente mas importante para ejemplificar lo moderno.
1. RELACIONES. Vamos a reunir primero las principales definiciones, juntando a continuación unos cuantos ejemplos típicos para aclarar las mismas. Ello no es él camino más conveniente desde el punto de vista didáctico, pues conviene siempre motivar antes las definiciones, pero en cambio puede ser útil para el x:>rofesor tener reunidas en breve espacio las principales definiciones.
Def. 1.1. Se llama producto cartesiano de dos conjuntos X, Y el conjunto formado por los pares ordenados (x, y) con x 6 X, y 6 Y. Se representa X X Y.
Def. 1.2. Se llama relación entre un conjunto X y un conjunto Y a todo subconjun- to de X X Y.
Sea R una relación entre X, Y. Si (x, y)£ R se escribe también x R y y se dice que x e y están relacionados.
El conjunto X se llama el dominio de R y el conjunto Y el codominio de R. Estas denominaciones, como otras que vendrán a continuación, no son universalmente aceptadas, pues todavía no hay una nomenclatura indiscutida.
Def. 1.3. A toda relación R entre X e Y corresponde una relación R_l entre Y y X llamada inversa de R, que se define por la condición(x, y) £ R'1 si y solo si (y, x) £ R.
Según esta definición, el dominio de R_l es el codominio de R y el codominio de R~l es el dominio de R. Al conjunto de elementos x£X tales que se cumple (y0, x) £R_1, con y0 un elemento fijo de Y, se le llama un conjunto de nivel de X respecto de R.
Consideremos el caso en que X=Y; se dice entonces que R es una relación en X. En este caso, cabe considerar algunas propiedades que pueden poseer las relaciones, a saber:
a) R es reflexiva si (x, x) £ R para todo x £ X.
b) R es simétrica si (x, y) £ R implica (y,x) £ R.
c) R es transitiva si (x,y) £ R, (y, z) £ R implican (x, z) £ R.
d) R es antisimétrica si (x, y) £ R, (y, x) £ R implican x=y.
c) R es circular si (x, y) £R, (y, z) £R implican (z, x)£R.
f) R es triangular si (x, y) £ R, (x, z) £ R implican (y, z) £ R.
Def. 1.4. Una relación R definida en un conjunto X se dice que es una relación de equivalencia, si es reflexiva, simétrica y transitiva.
Ejercicio: probar que R es una relación de equivalencia:
a) si es reflexiva y circular; b) si es reflexiva y triangular.
son
I. Negar que dos proposiciones dadas son al mismo tiempo verdaderas equivale a afirmar que una, por lo menos, es falsa.
II. Negar que una, por lo menos, de dos proposiciones es verdadera equivale a afirmar que ambas son falsas.
Por ejemplo, la negación de “Es inteligente y estudia” equivale a “NO es inteligente o no estudia”; la negación de “Es médico o profesor” equivale a “NO es médico y no es profesor”.
Estas propiedades pueden asimismo expresarse diciendo que la negación transforma la conjunción en disjunción y la disjunción en conjunción. Así, las leyes de De Morgan explican el ya citado PRINCIPIO DE DUALIDAD LOGICA y muestran cómo es posible definir la disjunción a partir de la conjunción y de la negación, o la conjunción a partir de la disjunción y de la negación:
a V b = r-/ (É a A ■—- b), a A b = ^ a V ^ b)Esto quiere decir que un cerebro elec
trónico podría funcionar con sólo dos tipos de circuitos elementales: circuitos de conjunción y de negación, o circuitos de disjunción y de negación. (continuará)
2021
I
3. EJEMPLOS DE RELACIONES I. Relaciones entre conjuntos de Ja vi
da común. Es conveniente mostrar algu- ejemplos de relaciones que aparecen
de manera natural en la conversación corriente. Ellas dan idea de cómo la matemática se extiende a dominios de la vida común y no es solamente pura calculatoria como daba la impresión de ser la matemática clásica. El análisis de relaciones definidas coloquialmente, que no pueden ex
mediante fórmulas matemáticas
Dcf. 1.5. Una relación R definida en un conjunto X se dice que es una relación de orden si es reflexiva, transitiva y antisime- trica.
Si R es una relación de orden en X, se dice que ella define en X un orden. Este orden se llama teta! x =:= y implica que (x,y) £R o bien (y, x) £ R. Si, en cambio, existen elementos x => y tales que ni el par (x, y) ni el par (y, x) son elementos de R, el orden se llama parcial.
i cpasai muchas propiedades que suelen aparecer desconectadas entre sí. Ejemplos:
19) X=Y— conjunto de los círculos del plano.
a) ^y) ^ s* y sólo si x coincide o es interior
Es una relación reflexiva y transitiva, pero no simétrica.
b) ( y)r £ R- si y sólo si x, y tienen punto común. Es reflexiva, simétrica, transitiva.
c) (x> y) <5 R3 si y sólo si los radios r, r’ de x, y cumplen (r-1) (r-1) > 0, Es simétrica y transitiva, pero no es reflexiva para los círculos de radio 1.
29) X--=Y= todos los polígonos del pla-
Fijo x, los conjuntos de nivel (x, y) £ R son las circunferencias de centro x.
6o) X= puntos de la Tierra, Y= números reales representativos de una escala termométrica.
(x, y) £ R si y sólo si en el punto x la temperatura es y (en un instante dado). Los conjuntos de nivel (x, y0) £ R, para cada y0 fijo son las líneas isotermas. Definir análogamente las líneas isóbaras.
79) X= rectángulos del plano, Y= pares de rectas del plano.
(x, y) £ R si y sólo si el par de rectas y son las diagonales del rectángulo x.
Ejercicio: construir la relación inversa, o sea, dados dos rectas del plano, no paralelas, construir rectángulos que las tengan por diagonales; probar que todos son semejantes.
III. Relaciones entre conjuntos de números. Aparecen de manera natiual en varias cuestiones de aritmética y álgebra. Ejemplos:
19) X= conjunto de los números naturales, Y= conjunto de los números primos.
nos
i
a y.
nopresarsesimples, es útil para agilizar el razonamiento y para acostumbrar a ver el mundo dentro el marco de los esquemas matemáticos. Veamos algunos ejemplos:
19) X= conjunto de las ciudades, Y— conjunto de los países, (x, y) £ R si y sólo si la ciudad x pertenece al país y.
Otra relación puede ser:(x, y) £ Ri si y sólo si la ciudad x es la
capital del país y.Expresar las relaciones inversas.2?) X= alumnos de una clase, Y= nú
meros de 1 a 31. (x, y) £ R si y sólo si el alumno x nació el día y del mes.
Se trata de una relación uniforme, pues a cada alumno corresponde un solo número; son las relaciones que luego llamaremos funciones. La inversa no es unifor-
2. OBSERVACIONES SOBRE LAS REI. ACION ES DE EQUIVALENCIA
I. En la definición de relación de equivalencia aparentemente sobra la condición do ser reflexiva, pues dado x, si (x, y) £ R, por ser simétrica es también (y, x) £ R, y de estas dos condiciones, por la tran- sitividad se deduce (x, x) £R. Sin embargo, obsérvese que esta demostración supone que, dado x, existe siempre por lo menos un y relacionado con él. Esta condición puede no cumplirse, en cuyo caso la demostración anterior falla y por esto la reflexividad debe postularse. Por ejemplo, sea X=Y el conjunto de los números reales y la relación “(x, y) £ R si y sólo si x y > O”. Es simétrica y transitiva, y sin embargo no se cumple que (0,0) £ R, debido a que 0 no está relacionado con ningún elemento de X. La condición de ser reflexiva puede, por tanto, ser sustituida por la condición “todo elemento está relacionado por lo menos con un elemento”.
II. Las relaciones de equivalencia sirven para clasificar los elementos de un conjunto. Se establece la siguiente
Def. 2.1. Dada una relación de equiva- cencia R en un conjunto X, se llama clase de equivalencia en X según R, al conjunto de elementos de X equivalentes a un x dado.
El conjunto de las clases de equivalencia se llama el conjunto cociente de x por R y se representa X/R. De esta manera a toda relación de equivalencia R corresponde una partición de X. Recíprocamente, a toda partición de X en subconjuntos X,, corresponde la relación de equivalencia R definida por “(x, y) £ R si y solo si x, y pertenecen a un mismo X,”. Es inmediato comprobar que se trata, efectivamente, de una relación de equivalencia.
no.a) (x, y) £ Ri si y sólo si x, y tienen igual
número de lados. Es una relación de equivalencia. Las ciases de equivalencia son los triángulos, cuadrados, pentágonos,...
b) (x, y) £ Ro si y sólo si x, y tiene la misma área. Es una relación de equivalencia.
!!
39) X=Y= conjunto de las rectas del plano.
a) (x, y) £ Rt si x, y son perpendiculares. Es simétrica, pero 110 reflexiva ni trans- sitiva.
b) (x, y) £ Ro si y sólo si x, y coinciden o son paralelas. Es una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia son las direcciones en el plano. En lenguaje de la geometría proycctiva, las clases son los puntos impropios o puntos del infinito.
49) X=Y= conjunto de los segmentos orientados del plano = conjunto de los pares ordenados de puntos de plano = conjunto de los vectores fijos del plano.
a) (x,y) £ R, si y sólo si los segmentos son iguales, paralelos y del mismo sentido. O bien: si x es el par de puntos (A, B), e y es el par (C, D), es (x, y) £ Ri si y sólo si los cuatro puntos A B CD están alineados o son vértices de un paralelogramo.
Es una relación de equivalencia. Las clases son, por definición, los vectores libres del plano.
b) (x, y) £ R2 si y sólo si los segmentos x, y son iguales, del mismo sentido y pertenecen a una misma recta. Es una relación de equivalencia. Las clases son, por definición, los vectores deslizantes del pla-
59) X=Y= los puntos del plano.(x, y) £ R si y sólo si la distancia xy—I.
(x, y) £ R si y sólo si x es múltiplo de y.Definir la inversa y utilizarla para repa
sar divisibilidad; por ejemplo hallando todos los relacionados con x=15, x=47,...
29) X=Y conjunto de los pares de números naturales.
( [ x, y] , |X,y’] ) £ R si y sólo six + y’=x’ + y.
Es una relación de equivalencia. Las clases son, por definición, los números enteros, o sea, X/R= conjunto de los números enteros.
39) X=Y conjunto de los pares de números enteros.
me.39) X=Y= conjunto de los alumnos de
un colegio, (x, y) £ R si y sólo si x, y son del mismo año.
Es una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia son los conjuntos de alumnos de cada año.
49) En un conjunto de personas X cabe considerar muchas relaciones. Por ejemplo: Ri = ‘ser igual o más alto”, R2= “tener distinto nombre”, R3= “ser hermano de”, R.,= “sentarse en el mismo banco” (si son alumnos de una misma clase), R:>= “vivir en la misma calle”, Rtí= “haber nacido el mismo año”.
Es muy fácil analizar las propiedades (reflexiva, simétrica,...) de estas relaciones. Por ejempljo R„ Rc, Rc son relaciones de equivalencia; Rt es una relación de orden. Las clases de equivalencia de RG están formadas por las personas de las misma edad.
II. Relaciones entre elementos geométricos. Desde el punto de vista didáctico, es muy útil “relacionar” elementos geométri-
y con ello sistematizar, o por lo menos
, IX,y’] ) £ R si y sólo si( [x,y]x y* = x* y.
Es una relación de equivalencia. Las clases son, por definición los números re- cionales, o sea X/R = conjunto de los números racionales.
49) X = Y = conjunto de los números enteros.
(x, y) e R si y sólo si x— y = múltiplo del número primo p.
Es una relación de equivalencia. X/R = conjunto (0, 1, 2, ... p — 1) = cuerpo de los enteros módulo p.
59) X = números reales positivos,Y = números reales.
no.
eos
2322
j
r
origen. A cada x corresponden infinitos valores de y. Analizar la inversa R
2?) X = Y = conjunto de los números reales.
(x, y) £ R si y sólo si se cumplen las dos condiciones.
' x + y - 1 > 0,
(x, y) e R si y sólo si y2 = x.A cada x corresponden dos valores de
y, a saber, ± Vx.Es importante hacer hincapié sobre la
no uniformidad de x para evitar el falso
razonamiento siguiente: “ V4 = 2, V4 = — 2, luego 2 = — 2”. Desde la primera vez que aparece el signo de raíz y se conocen los números negativos, hay que señalar su carácter multiforme, es decir, y =
Vx no es un valor determinado, sino que significa que x, y están relacionados por la ecuación y2 — x = 0. ¿Y si se trata de la raíz cúbica y se conocen los números complejos?
IV. Representaciones gráficas. Cuando el dominio X y el codominio Y de la relación R están constituidos por números reales, cada par (x, y) £ R se puede representar por un punto del plano, tomando los elementos de X como abscisas y los de Y como ordenadas. De esta manera, R queda representada por un conjunto de puntos del plano que se llama la gráfica de R. Representaremos por R indistintamente a la relación y a su gráfica.
Recíprocamente, cualquier conjunto de puntos del plano es la gráfica de una relación en el conjunto de los números reales.
Si R es reflexiva, su gráfica debe contener los puntos de la bisectriz y = x correspondiente a todo x £ X.
Si R es simétrica, su gráfica debe ser simétrica respecto de la bisectriz y = x.
Para ver la caracterización geométrica de las relaciones transitivas, representemos por Q el conjunto de los rectángulos de lados paralelos a los ejes coordenados (supuestos ortogonales) que tienen un vértice
ociones sobre cálculo de
probabilidadesx — y — 2 < 0. La gráfica es el ángulo limitado por las
rectas x + y — 1 = 0, x — y — 2 = 0 que contiene el segmento 1 < x < 2. César R. TREJO
(Argentina)39) X = Y = números enteros.(x, y) £ R si y sólo si existe un número
entero z tal que x2 + y2 = z2.La gráfica está formada por los puntos
del plano dados por x == u2 — v2, y = 2 u v, para valores enteros cualesquiera de u, v.
4?) X = Y = conjunto de los números reales.
Introducción0. “vuelco hacia la matemática”, con el estudio de conceptos fundamentales como los de independencia de eventos, de probabilidad condicional, de variable aleatoria, etc.
Lo que diremos al niño para cultivar su mente no debe ser un primer pedazo de lo que estudia el adulto cuando busca instrumentos idóneos para otras cosas, que pueden ser problemas científicos, técnicas agronómicas, médicas, ingeníenles, etc., o menesteres de la vida diaria.
1. Concepto de probabilidad 1.1 Al hablar de probabilidades, parece natural comenzar por definir “probabilidad”. Este es un problema delicado, que ha preocupado desde muy antiguo a matemáticos y filósofos, y aún divide tanto a unos como a otros. Veremos que desde el punto de vista estrictamente matemático
define la probabilidad sino dentro de mía estructura que se llama “espacio de probabilidad”.
No obstante, para comenzar con una introducción informal, usaremos una definición provisoria de “probabilidad”. Para Aristóteles “lo probable es lo que ocurre
frecuencia”. A esta “definición” imprecisa (y perfeccionada luego), pero objetiva y empírica, se oponen definiciones de tipo subjetivo, en relación con el grado de nuestro conocimiento respecto de un suceso que pueda verificarse o no. Así, si en una urna tenemos 10 bolilas iguales salvo el color, y extraemos una al azar, suponemos que no hay ninguna razón para esperar la aparición de una bolilla con preferencia a otra. Diremos entonces que todas las bolillas tie-
la misma probabilidad de salir, o que las extracciones de las distintas bolillas constituyen sucesos igualmente probables. Si entre las 10 bolillas hay 3 blancas dire-
que la probabilidad de obtener una blanca es p = 3/10, y en general:
0.1 Nos proponemos dar un esquema coherente lo más sencillo y preciso posible, ele conceptos básicos sobre probabilidades que el profesor debe tener presente para trasmitir una noción clara de probabilidad y un enfoque correcto de problemas elementales, al alumno de la segunda mitad del ciclo medio, que suponemos familiarizado con las operaciones de Boole sobre conjuntos y provisto de nociones precisas sobre relaciones en general, relaciones de equivalencia y funciones.0.2 Con tocio, lo que puede trasmitirse al alumno es sólo una parte (acaso pequeña) de lo que aquí expondremos, suavizando el camino con más ejemplos y motivaciones, y comenzando con un lenguaje más “suelto”.0.3 El desarrollar uno de los posibles “esquemas para el profesor” obliga a restringir el uso informal de términos habitualmente muy imprecisos, como “experimento”, “evento”, etcétera, y a tender a un enfoque axiomático, con limitación a un molde abstracto en una exioosición no exenta de cierto dogmatismo. Sólo al final, relación con el teorema de Bernoulli, dire-
algo sobre la relación entre probabilidad y experiencia. Pero algo de eso debe decirse al alumno desde el comienzo.0.4 En un tema tan controvertido y tan pródigo en confusiones y malentendidos como el de la probabilidad, se hace más necesario un esquema conceptual de cierta rigidez, para decidir qué decir, cómo decirlo, y qué no decir.0.5 En lo que respecta al contenido, exposición elemental pero formativa no debe caer en un juego intrascendente de destrezas “combinatorias” — por otra parte muy útiles en las aplicaciones— y nada más. Esta etapa debe considerarse previa a un
(x, y) £ R si y sólo si x — y — l < 0, - x - I < Ó.La gráfica es la banda de plano limitada
por las rectas x — y — 1 = 0, y — x — 1 = 0. Es reflexiva y simétrica, pero no tiansitiva.
5?) X = Y = conjunto de los números reales.
(x, y) £ R si y sólo si y — x2 > 0, y2 — x < 0.
y
La gráfica es la intersección del interior de las dos parábolas y — x2 = 0, y2 —0; es una relación simétrica.
no sex =
(continuará)(viene de la pég. 16)7. (F2) PAPY. Iniliation aux Espaccs Vecto-
riels, Prenses Universitaires de Bruxe- lles, Gauthier - Villars, 1963.
S. (MM1) PAPY. Matliématique Moderno 1, Didicr, 1963.
9. (MM2) PAPY. Matliématique Moderno 2, Didier, 1965.
conv en
en la bisectriz y = x. Si R es transitiva, todo rectángulo de Q que tenga los dos
mos
vértices opuestos no pertenecientes a la bisectriz y = x contenidos en R, debe tener en R también su cuarto vértice.
Ejercicio: buscar la caracterización de las gráficas de las relaciones circulares y triangulares.
Ejemplos:l9) X = Y == conjunto de los números
reales.(x, y)£ R si y sólo si 2x — y -f 1 > 0.La gráfica es el semiplano limitado por
la recta 2x — y-f 1 = 0 que contiene el
10. (7) PAPY. (Con la colaboración de los ayudantes del C. B. P. M.). Documen- iation potir V enseignement clu Vecto- riel euclidien plan, Centro Belga de Pedagogía de la Matemática, 1965.
11. (MM6) PAPY. Matliématique Moderno 6,Labor, Didier. nenuna
12. (MM3) PAPY. Matliématique Moderno 3, a aparecer, Didier.
(1) Ciertas clases sextas belgas disponen de 5 a 6 períodos semanales. Es el ideal. Personalmente, hemos realizado la experiencia en cursos de 4 períodos.
mos
2524
í
Los eventos son, pues, conjuntos de resultados. Por consiguiente debemos distinguir entre el resultado 5 ey el evento Í5Í que es un conjunto unitario.2
1.6 Lo que hasta ahora hemos dicho con respecto al espacio de resultados (4) es completamente general y aplicable a todos los espacios de resultados y espacios de probabilidad (que luego definiremos) excepción de la manera de calcular p(A) p(B) y p (C) en (5), (6) y (7).
Ahora señalaremos para (4), aspectos generales pero que, para evitar malentendidos, importa destacar juntamente con la advertencia de que no tienen vigencia general.
(i) Memos asignado la misma probabilidad, 1/6, a cada elemento de E, es decir, a cada resultado posible. No lo hemos dicho explícitamente, pero hemos usado esta asignación para calcular p (A), p (B) y P(C).
(ii) En (5) a (7) hemos calculado probabilidades de eventos, que son subconjuntos de E, sumando las probabilidades de sus elementos (resultados posibles pertenecientes al evento).
(iii) Con la ampliación señalada en 1.4, los eventos en el espacio de resultados (4) son todos sus subconjuntos, o sea los 2G = 64 elementos del conjunto de partes P (E). O sea, podemos escribir en este caso la fórmula más estricta que (8):
S evento^SCE->Ss P (E). (13)
rrir que un evento con probabilidad 1 no sea cierto o seguro, y que un evento con probabilidad 0 no sea imposible.1.7 Analicemos los aspectos (i) a (iv) de 1.6.
están E mismo, pues E C E, que llamare- euento cierto, y el conjunto vacío 0,
pues 0CE, que llamaremos evento imposible, Por extensión de lenguaje, y violando el sentido habitual de la palabra 'evento”, incluiremos el evento cierto E y el evento imposible 0 entre los eventos.
En términos más intuitivos, y con referencia al espacio (4), si n es uno de sus puntos (que en este caso son números)
es cierto o seguro que n < 10,
pues el conjunto de los elementos de E que verifican n < 10, es E mismo:
*jn | íuEyn < 10}■ = -¡n | n e E[■
En el lenguaje que hemos adoptado, diremos:
La probabilidad p de un suceso S es igual al número f de casos favorables (casos en que se verifica S) sobre el número total t de casos posibles:
mos
(1) (i) En (4) hemos asignado la misma probabilidad a cada elemento de E, es decir, a cada resultado posible.
a. Cotejemos esta asignación de probabilidades, que podríamos llamar definición de dado simétrico o no cargado, con esta reflexión histórica: Uno de los primeros matemáticos que enunciara una definición clásica de probabilidad es P. S. Laplace [4]: “La teoría del azar consiste en reducir to- “dos los acontecimientos del mismo género “a un cierto número de casos igualmente “posibles, es decir, tales que estemos igual- “mente inseguros sobre su existencia, y en “determinar el número de casos favorables “al acontecimiento cuya probabilidad se “busca. La relación de este número con “el de todos los casos posibles es la me- “dida de esa probabilidad”.
Esta afirmación de Laplace es en sí imprecisa y subjetiva debido a la frase que hemos puesto en cursiva.
Veamos, sobre la base de un ejemplo, su interpretación en un enfoque moderno de la teoría de la probabilidad, en su aspecto matemático. Se arrojan dos dados, uno rojo y uno negro. Llamemos r y n al número de puntos obtenido en cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma r+n=5?
a,. Si no conociéramos nada sobre el dispositivo por el cual aparece la suma, como ésta puede tomar los valores
2, 3, 4, .. ., 12,
podría parecer legítimo considerar que te- 11 casos posibles y uno solo favora
ble (suma 5), luego p = 1/11.Esto equivale a observar sólo las sumas
y -f- n (y no los sumandos r y n), conside- el espacio de resultados
F - *¡2, 3, 4, ..., 12^, (14)
cuyos puntos son esas sumas, y asignar la misma probabilidad 1/11 a cada una.
au. Pero, teniendo en cuenta como puede formarse cada suma, resulta intuitivo que
p = -t
supuestos todos los casos igualmente probables.1.2 Ejemplo. Si en una urna hay a bolillas blancas y b negras, por lo demás todas iguales, la probabilidad de obtener una blanca es
con
(9) no
ap = E.a -f- b
y la de obtener negra:1b E, evento cierto; probabilidad
p (E) = 1.q = (10)a -f- bPor otra parte, también con referencia al
espacio (4)Obsérvese que la suma de estas proba
bilidades es(2)p + q = i-
1.3 Consideremos los posibles resultados n al arrojar un dado, y observemos si se verifican o no los sucesos:
es imposible que n ^ 10, ( 11)
pues el conjunto de los elementos n de E que verifican n ^ 10 es el vacío:
■|n | n e E y n ^ 10J- = 0.En el lenguaje que hemos adoptado, diremos:
n es par, n < 4, n = 5.Los resultados posibles forman un con
junto
(3)
t0, evento imposible; probabilidadp (0) =0.
1.5 Nombres. El concepto de espacio de resultados se debe a R. von Mises [6] \ quien usó el término Merkmalraum. Este podría traducirse por “espacio de marcas o señales”. En inglés se dice sample space (espacio de muestras).
El espacio de resultados es el conjunto de los resultados posibles de un experimento, en nuestro caso arrojar un dado y observar el número de puntos en la cara superior. Kolmogorov [3] llama eventos elementales (elementare Ereignisse; clemen- tary events) a estos resultados posibles, que en nuestro caso son
E = i 1, 2, 3, 4, 5, 6 },que llamaremos espacio de los resultados. Los elementos de este conjunto se llaman puntos.
Cada suceso (3) corresponde a un subconjunto de E:
neA = •{ 2,4,6 }-, probabilidad: p (A)=—, (5)
nsB = \ 1,2,3}-, probabilidad: p (B)== —, (6)2
neC = *¡ 5 probabilidad: p (C) = i, (7)
Consideramos, pues, palies o subconjuntos del espacio de resultados E; los llamaremos eventos. Indicando con P (E) el conjunto de partes de E, tenemos:
S evento C E ^ S e P (E). (8)1.4 Cualquiera sea el espacio de los resultados E, entre sus partes o subconjuntos
(4) (12)1
Pero, en general, no vale (13) sino sólo (8), es decir, los eventos son algunos subconjuntos del espacio de resultados.
(iv) En (4), el único evento con probabilidad 1 es el evento cierto, y el único evento con probabilidad 0 es el evento imposible.
Veremos que, si bien valen las implicaciones
nemos
S cierto p (S) = 1,S imposible p (S) = 0,
no valen las implicaciones contrarias; en espacios de resultados infinitos, puede
'rarocu-
•. — Las denominaciones "evento elemental , eventocontener una pri-1, 2, 3, 4, 5, 6,;
y eventos aleatorios (Zufállinge Ereignisse; random events) a los conjuntos que hemos llamado simplemente eventos.1. Estos corchetes se rofieren a la bibliografía, que so incluirá al final.
(13)í aleatorio", lian originado confusiones por mera palabra, "evento", para objetos do categorías logic distintas. Los "eventos aleatorios" indescomponibles, es decir, no cxprcsablcs como unión disjunta de c°?l£n,os " vacíos, son subconjuntos unitarios de E, y no deben * fundirse con los "eventos elementales en el sentí Kolmogorov, que son elementos do E, como 5 o • .subconjuntos de E, como (S) o (6). Sobre el concep o experimento, véase nota 3 al pie.
2726
I
Es inmediato verificar. ., , . , clue ~ es una relación de equivalencia, es decir, tiene las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Por tanto determina una partición de G en clases de equivalencia (fig. 3).
c. Para resolver nuestro problema (probabilidad de obtener suma 5) o cualquiera donde sólo intervenga la suma r -f- n, podemos realizar este otro experimento,
los resultados do F no son igualmente pro- hables. Por ejemplo, es más fácil obtener
suma 5 (— 1 -f-4 = 2-1-3 = 3+2 = 4+1),(pie que consiste en arrojar los dos dados y ob
servar la suma de los puntos en las caras que quedan hacia arriba. Este otro experi-Si indicamos cada clase de equivalencia
Ch por la suma h = r + n correspondiente a un par ordenado cualquiera (r, n) e Ch, obtenemos (como conjunto cociente G/^ de G respecto de la relación de equivalencia -—'), el espacio de resultados F (fig. 4), correspondiente a otro experimento.3
ssuma 2 (=1+1),y tomando como igualmente probables las 36 asociaciones de cada valor posible de r con cada uno de n, resulta para la suma 5 la probabilidad
mentó corresponde al espacio de resultados F (fig. 4). Pero obviamente debemosi +4asignar a cada uno de los puntos de F no la misma probabilidad, sino la suma de lasprobabilidades en el espacio G, para la cla-
i14 se correspondiente:\(15)P 36"Esto equivale a:1) Considerar como resultados posibles
todos los pares ordenados (r, n) con r, n e E, con lo cual el espacio de los resultados es el producto cartesiano ExE (fig. 1):G = E X E = <¡ (r, n) | r e E, n e E (16)
9■ó-2
G
O1
5P
n 3 A S2A/C -O-■ 4Fig. 2. Evento S (suma r + n === 5).
b. Mirar sólo las sumas r + n (y no los sumandos r y n por separado), significa considerar equivalentes los pares (r, n) y (r, n) si r + n = r + n, es decir, definir la relación ^ en G por(r,n) (r’,n) si y sólo si r+n = r+n\ (17)
s3
(4.4) O——A
2E<3
1
2 cJ
5
p! 452 3 4 G\
E 3
Fig. 1. Espacio de resultados G = E X E para un par de dados.
z
que tiene 6.6 = 36 elementos (puntos), y2) asignar la misma probabilidad 1/36 a
cada uno de estos elementos.En la figura 2 se han rodeado con una
curva los puntos que representan los pares ordenados (r, n) para los cuales r + n 5. El conjunto formado por ellos es el evento S, de probabilidad dada por (15).
probabilidades:
,n cccpondenci. AXocb.
i21
resultados, quo _ .
“correspondiente a otro experimento", y más explíc.tamcntc •en el apartado c.
36 36 * 36 ’ 36
Lo mismo que en (5) a (7), tanto en F como en G calculamos las probabilidades
36 ’ 36 *
3 ~ A G521
Fig. 3. Partición de G en clases de equival.29
28
.
:
!
el. En cambio, r > n, o sea (fig. 6) el evento
de eventos, que son conjuntos, sumando las probabilidades de sus elementos.
La figura 5 representa los conjuntos S C G y S' C F correspondientes a r n ^ 5.
i
número infinito numerable de veces. Es decir, si partiendo de conjuntos de S se efectúan esas operaciones, los resultados son también conjuntos de S.
En partículas, si Si y S_. son conjuntos de la clase S, conjuntamente con los eventos Si y S2 se pueden considerar:
Él evento S! U S- (fig. 9), verificado por un resultado x e E si y sólo si
x e Si U Sj,
T = -j (r, n) e E X E | r > n j-,
del espacio de resultados G, no puede po- correspondencia natural con
evento T del espacio F.Tampoco es posible hacer esta reducción
del espacio G al espacio F con la verificación de
n(18) cI ! v
unnerse en &i nc I-«r \\\\ \\ A\s \V. A
1 i \ \LUI )\A (r + n<5) A (r > n),
donde indicamos con A el conectivo lógico “y”, o sea, con el evento (fig. 7),
(19)\! \\ \ \14 \ N-5 \ S\ \\>s P 12
T'-o-—42 "vrt"2 §2Si\\'X 4-i n
\ c'\ > á i\S>\ A\ S\ c\ *
\ \ \ \
•J
\ZT\B\ j . Fig. 9. Evento S, U S2
(contorno grueso)PZc\
2 5A A BVig. 5 \ c/7\ o sea, si y sólo siS1 4 Fig. S. SUT
Por ejemplo, en el tiro al blanco, la probabilidad de dar en el centro, considerado como punto matemático, es 0, y lo mismo la probabilidad de hacer impacto en un punto exactamente a x cm del centro, cualquiera sea el número positivo x. Por tanto, la probabilidad, no nula, de hacer impacto a menos de 20 cm del centro, no puede obtenerse como suma de esas probabilidades para los infinitos valores entre 0 cm y 20 cm.
Sin embargo, para un tirador dado, existe y no es 0 la probabilidad de hacer impacto a menos de 20 cm del centro, lo mismo la probabilidad de hacer impacto entre 20 y 50 cm del centro, a más de 50 cm, etcétera.
Esto muestra que en general debemos asignar probabilidades a ciertos subconjuntos del espacio de resultados E, que llamamos eventos, y no necesariamente a cada punto de E.
(iii) Si el espacio E de resultados es infinito, los eventos no son necesariamente todos sus subconjuntos o elementos del conjunto P(E). Debe darse, además de E, una clase S de partes de E que se llaman tos. Esta clase SCP(E) puede no ser todo P(E), pero debe tener estas propiedades de P(E).
1) EeS;2) S es cerrada con respecto a las ppera-
cion.es de Boole (unión U, intersección y complemento ’) incluso efectuadas un
x 8 Si V x 8 Sj2
/5 - ► I
X !10 S'reliemos P(s) - -ge
pues S tiene 10 puntos, y también1 2 3 4 10
36 = 36
§2Si i2
é■ 1i' p(S’) _ -L I. T36 36 36; i Fig. 10. Evento Si f] Sa
(contorno grueso)
El evento S, D S2 (fig. 10), verificado por un resultado x 8 E si y sólo si
se Si fl S^., o sea, si y sólo si
X 8 Sl A X 8 S2Y el evento S’,, llamado complementario
de Si, verificado por un resultado x 8 E si y sólo si x e S’,, o sea, si y sólo si x 8 Si.
n Pc ■A < -bi1 z 5 c4 5
Fig. 7. S n Ts.i
-I (r,n)eNXN | (r+n<5) A (r>n) }=SflT,4(19)
y con el evento, donde indicamos con V el conectivo lógico “o” (inclusivo):
(r + n ^ 5) V (r > n),
?> + tT (20) Ei 2
o sea (fig. S),
■i (r,n)eNxN | (r+n^5)V(r>n) )=s u T’ :even-i (20’) !
(ii) Si el espacio E de resultados tiene infinitos puntos, puede ocurrir que la probabilidad de un evento, que es un cierto subconjunto de E, no se obtenga sumando probabilidades asignadas a sus puntos.
Pt\ 2 5 4 5 C :.Fig. 6 Fig. 11. Evento Sx\ complementario de Sx
• ■
30i 5 31!
■
•I
isignados por “resultado posible”, “evento”, probabilidad . Por ahora nos limitamos al
caso de espacios de probabilidad finitos (confrontar 2.4, nota).
Sea E un conjunto finito (llamado espacio de resultados) de elementos llamados resultados posibles, S una clase de subcon- juntos de E, llamados eventos, y p una función de S en R (números reales) llamada probabilidad. Estos objetos verifican los axiomas siguientes:
Axioma 1. E e S.Axioma 2. S es cerrada con respecto a
las operaciones de Boole.Axioma 3. Para todo S e S p (S) ^ 0.Axioma 4. p(E) = 1.Axioma e. Si fl S.= 0 -*■ p (Sx U So) ==
(S.) + p(Ss).2.6 Un sexto axioma, que se cumple au
tomáticamente si E es finito; se introdu-
bilidad a toda terna ordenada (E, S, formada por:
1) Un conjunto E, llamado espacio deresultados;
2) Una clase S de subconjuntos de E, llamados eventos que contiene a E y es cerrada con respecto a las operaciones de Boole, incluso en número infinito numera-
ce en el caso de espacios de probabilidad infinitos.
Los ejemplos de § 1, con E finito y S=P(E), muestran que el sistema de los axiomas anteriores es consistente. Además, es no categórico, es decir, no determina un campo de probabilidades a menos de un isomorfismo. Recordemos que la no catego- ricidad de los sistemas axiomáticos y estructuras (grupo, anillo, etc.) los hace más fecundos y adaptables al admitir interpretaciones esencialmente variadas, y distinguen en cierta medida la matemática moderna de la clásica.1
P),(iv) El ejemplo del tiro al blanco, con siderado en (ii), nos muestra que no valen las implicaciones contrarias a jas de (iv). La probabilidad de hacer impac o en el centro, considerado como punto matemático, es Ó, pero este acontecimiento no es imposible. La probabilidad de no haca impacto en el centro es 1, pero este acontecimiento no es cierto o seguro.
2. Espacios de probabilidad. Axiomas del Cálculo de probabilidades.
2.1 Puesto que a cada elemento S de la (lase S de conjuntos, le corresponde una probabilidad p(S) que es un número real, la probabilidad es una ¡unción
p: S •“* R,cuyo dominio es la clase S y cuyo codomi- nio es el conjunto R de los números reales.
Convención. En lo que sigue designaremos con S, S„ S2 ..., eventos,es decir, conjuntos de la clase S.
2.2 Las consideraciones anteriores muestran que la probabilidad tiene la propiedad siguiente, llamada propiedad aditiva: si Si y S2 son eventos disjuntos (o sea, sin puntos comunes, S, fl S2= 0), la probabilidad del conjunto unión ST U S2 (que es también un evento) es la suma p (S,) + p (So) o sea,
Propiedad aditiva. La función (21) veri-
iible;
3) Una función p: S -► R, llamada medida de probabilidad, o simplemente probabilidad, que verifica (22) y p(E) = i.
Nota. En el caso en que E es un conjunto finito, basta con que la clase S cerrada respecto de las operaciones de Boole, y en tal caso puede omitirse en 2) la frase “incluso en número infinito numerable".
4 Dice Dicudonnc (Algebre lincairc ct géomó- trie élémentaire, París, 1964; nota al pie de pág. 19) con referencia a otro contexto: “Cela a aussi heurcmcmcnt pour cffet de rendre la thcoric “non catégorique'’ (c’est-a-dirc non déterminéc á isomorphisme pres par les axiomes) rompant ainsi avec une exigence ridicule des niatliémati- ques elassiques.”
sea(21) I:
2.5 Un espacio de probabilidad puede darse en forma axiomática. Recordemos brevemente en qué consiste el método axiomático.
Una teoría científica no es una mera lista o catálogo de proposiciones. Estas se estructuran de modo sistemático, de suerte que podamos advertir sus mutuas relaciones. Pero ¿qué relaciones mutuas importa percibir?; ¿cómo se estructuran las pro: posiciones en una disciplina científica? En una ciencia, algunas proposiciones pueden deducirse o demostrarse a partir de otras: por ejemplo, tanto las leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas como las de Galileo sobre la caída de los graves pueden deducirse de las leyes generales de la Dinámica y de la gravitación de Newton, y la relación mutua entre estas leyes es una parte de la ciencia física.
Una disciplina matemática se estructura conjunto de proposiciones llamadas
teoremas, cada uno de los cuales se deduce de otros anteriores. Puesto que para demostrar una proposición o teorema hay que partir de otras proposiciones ya establecidas, siempre hemos de partir de unas pro- posiciones primeras o axiomas, que deben aceptarse sin demostración. De igual modo, los teoremas de la teoría enuncian propiedades de ciertos objetos ideales, algunos de os cuales podrán definirse mediante otros, pao también ahora es forzoso partir de ciatos conceptos primitivos u objetos pd' míticos no suceptibles de definición.
La axiomática del Cálculo de probabih- ( ac cs se basa en conceptos primitivos de-
(continuará) 1lii:
INCOMPRENSION DE LA MATEMATICA1 Caso de falsa percepción de las propo
siciones: hacer analizar esas proposiciones, impedir que el niño concentre su atención en una palabra valorizándola a expensas de las otras palabras.
Falsa percepción visual:
Investigación de sus causas psicológicasEs necesario distinguir desde ahora cau
sas afectivas y causas psico-intelectuales. Sólo estas últimas se estudian en esta ex-posición.
Primera causa: falta o retardo de maduración intelectual —uno de sus aspectos es el pensamiento conceptual.
Segunda causa: falta percepción de las proposiciones, de los problemas y de las figuras geométricas.
Esta causa parece la más importante porque es independiente de la edad y explica también la incomprensión de la matemática entre ciertos adultos de gran inteligencia.
Tercera causa: ausencia de la preparación intelectual que debe preceder inmediatamente a un problema.
He aquí, pues, el esbozo de un método para adquirir las aptitudes necesarias para el estudio de la matemática utilizando clacos de la psicología experimental.
Caso de retardo de la aparición del pensamiento conceptual: habituar a los alumnos a transformar lo concreto en abstiacto, es decir, hacerles expresar lo concreto, que ellos han visto y comprendido, primeramente en términos de la lengua familiar, y después empleando la terminología geométrica. ----------
Ifica:s,ns2= 0-p(s,(js,.) = p(s,) + p( s2). Entrenar al niño, teniendo en cuenta
los datos de la Gestaltthcorie, en el análisis de todos los detalles de la figura geométrica. Impedir que concentre su atención en un aspecto particular de la figura
lo conduciría a una solución del
( I(22)
Ejemplos. Si Sx v S2 son los conjuntos de la partición de G (fig. 3) correspondientes ar + n = 2i/r + n = 3 respectivamente, es p(SO = 1/36, p(S2) = 2/36, y p (SxU S2) = 3/36 = p (Si) +p (S2)
Con referencia a la figura 8 se tiene p(S) = 10/36, p( T) = 15/36 y p(SUT) = 21/36 =!= p (S) + p (T), pero S y T disjuntos.
2.3 En virtud de la propiedad aditiva (22), la probabilidad es una medida especial. Esta medida está definida para los conjuntos de S, y cumple p (E) = 1.
2.4 En todo problema sobre probabilidades debemos tener el conjunto de todos los resultados posibles, o espacio de resultados L, una clase S de conjuntos de E v una función p: S - E, con las propiedades se- saladas en 1.6 (íü), 2.2 y 2.3. Este siste- c/«í/dc dat0S Se ama eslmcio de probabili-
Definición. Se llama
:i
que noproblema. Descentralizar artificialmente su falsa visión geométrica ocultándole las partes, provisoriamente inútiles, de la figura.
Preparación intelectual:La psicología experimental muestra que
Ja respuesta a una cuestión planteada a una persona no depende del contenido del pensamiento del período siguiente al estímulo sino del contenido del pensamiento que precede al estímulo. Es necesario, pues, preparar el pensamiento del alumno antes de que conozca el problema o la cuestión planteada, recordándole las proposiciones que se relacionan a la solución del problema que se le ha de plantear. Se provoca así, artificialmente, una asociación entre la pro-
(Sigue en pág. 44)
en unno son
i;i I
i íespacio de proba- !i 33
32i¡
t
ESPACIO DE POLEMICA |
LA ENSEÑANZA DE LOS N/ÑOS!Carta abierta i
Estudiantes que se han educado en Ja nueva matemática en Ja escuela secundaria están ahora comenzando a aparecer en las clases vocacionales de las escuelas técnicas. Este hecho ha impulsado al que escribe, Jefe del Departamento de Ingeniería Mecánica de una escuela técnica, a averiguar de que trata la nueva matemática y descubrir qué efectos tendrá en la educación posterior de los jóvenes ingenieros. Los siguientes comentarios y observaciones son el resultado de esta investigación.
Un examen de los libros recientemente publicadas sobre la
os números en cooresde arreglarse si trabaja con decenas; (b) los maestros protestan por tener que enseñar a sus niños a trabajar en docenas y veintenas en la aritmética monetaria; (c) cuando ni uno en un millar manejará, alguna vez un computador, y (d) la conversión de números decimales al régimen binario de un computador se hace automáticamente.
W. SERVAIS (Bélgica)
La gama de regletas, ordenadas por orden creciente o decreciente, da el primer ejemplo de progresión aritmética. Se construyen otros variando la razón. Pero lo que interesa en una progresión aritmética es la estructura en escalera que se puede subir o bajar.
Cuando se examinan las operaciones de adición o de sustracción que deben efectuarse para pasar de un término a sus vecinos, se ve de inmediato que un término es la media aritmética de los dos términos que lo encuadran.
De la misma manera, si se progresa, en los dos sentidos, se obtiene la bien conocida propiedad de la suma de dos términos equidistantes de los extremos.
Números negativosPor ejemplo, representemos la diferencia
en una sustracción, yuxtaponiendo los dos términos de esta última, colocando el yor a la izquierda, como en la escritura habitual; la diferencia está entonces representada por el extremo de la regla más grande que excede a la más pequeña. (Figura NT<? 4)
Cambiemos la posición de las dos regletas, colocando la más pequeña a la izquierda. (Figura 5)
¿Qué significación se dará a esta simetría que no sea el pasaje de un número a su opuesto?
Se puede considerar que éste está representado por el vacío en forma de regleta que bastaría superponer a la regla pequeña para obtener la longitud de la más grande.
Efectuando la suma de dos números opuestos en forma totalmente intuitiva, se obtiene evidentemente cero (una diferencia nula) (Fig. 6)
! !ma-Otro rasgo digno de atención de los nue
vos libros de matemática es la gran parte del texto ocupado por temas no matemáti-
por ejemplo, “ilustraciones cómicas"; insustanciales referencias históricas a los sistemas numéricos chino, egipcio y romano; trozos poéticos de ninguna significación particuplar, explicaciones ampulosas veces ca pricli osas.
Muchas de las cuestiones requieren respuestas verbales no matemáticas y en algunos libros hay marcada insuficiencia de problemas dedicados a enseñar el manejorápido y exacto de cifras y símbolos matemáticos.
También hago la crítica de que mucha de la nueva matemática es abstracta, abstrusa e innecesariamente complicada. Así, por ejemplo, se apela a las matrices para resolver ecuaciones simultáneas, y a los conjuntos para establecer la naturaleza de las fracciones. Como ejemplo de oscuridad, el siguiente extracto de un libro escrito niños de tercer año de la escuela dariay sería difícil de superar:
“‘Las transformaciones afines planas a su vez casos particulares de transformaciones proyectivas planas, que son descriptas algebráicamcnte por la ecuación (dada en el texto), con una condición que garantice que la matriz tenga una inversa, de modo que el sistema forme un grupo” ¡Pobre alumno de tercer año!
Obviamente, las escuelas tienen tanto cJ derecho como la responsabilidad de decidir cómo debe enseñarse una asignaturar pero ellas no son necesariamente los mejores jueces acerca de lo que se deberá enseñar. Las escuelas debieran sin una industria eficiente construir
'
¡ieos,nueva matemática
muestra que ella contiene muchos temas no familiares ni siquiera sugeridos en los textos tradicionales, como conjuntos, sistemas de notación (particularmente el binario), matrices, poliedros, topología, diagramas de Venn, modelos numéricos, inecuaciones, álgebra de Boole, etc. La única característica común a todos esos diversos temas es su casi completa irrelevancia respecto a la matemática que se usa generalmente en la industria. Esta irrelevancia es confirmada por la ausencia de los nuevos temas, prácticamente en cualquier libro de texto empleado en la educación técnica y comercial. El que escribe puede establecer categóricamente que se pueden estudiar temas tales como resistencia de materiales, mecanismos de máquinas, inge- ncría termodinámica, estructuras, mecánica de fluidos, aerodinámica, hasta el nivel de graduados sin conocer la diferencia tre un diagrama de Venn y una matriz. .
Es un hecho que las únicas destrezas matemáticas requeridas por la vasta mayoría de las personas empleadas en la industria, es la habilidad para sumar y restar, usar una regla de cálculo, leer tablas matemáti-
• y sustituir cifras en una fórmula extraída de un libro de referencia. Sólo los que se ocupan de tecnología deberán hacer alguna vez alguna matemática seria, y aún en este campo pocos operarán alguna sobre el nivel “O".
!
!!y o
conPr
i.p !Fig. 7
La suma de los términos de una P. A. permite una ilustración muy sugestiva (Fi- gura 7)Variables
:!1para
secun- íien- son 1l ii i El uso que acabamos de hacer no ha subrayado los valores numéricos que les
atribuidos individualmente. Cuando comprendemos la posibilidad de operar sobre las regletas tomadas a voluntad, las regletas desempeñan el papel de variables como podrían hacerlo las letras a las cuales estamos acostumbrados.
m son
Fig. 6Fig. 4No es difícil materializar la adición de
dos números positivos o negativos o de dos números de signos contrarios y reencontrar la habitual regla de la adición algebraica.
Fig 5cas
.:
! AreasvezAcabamos de superponer sobre un plano
las regletas, lo que recuerda la noción de extensión.
Yuxtaponiendo de distintas maneras las un mismo conjunto sobre la
V por que razón debe enseñarse a los niños el sistema binario cuando (a) la inmensa mayoría de las
Progresiones aritméticasUna cuestión particularmente cómoda
para estudiar con ayuda de las regletas es la de las progresiones aritméticas o poi diferencia.
recordar que no se podrán
nuevas escuelas ni pagar los sala-(sigue en pág. *10)
:peí sonas a fíenos puc-
regletas de34
35 !5j
;
:J
*1mesa, se obtienen con gran facilidad superficies desiguales (pie tienen la misma úrea (o extensión o superficie). Lo mis-
que la longitud estaba representada por una clase de regletas iguales, el área (stá representada por una clase de superficies equivalentes.
La suma y la diferencia de dos áreas pueden entonces ser presentadas intuitivamente bajo diversas formas.
Así, ha bastado que actuáramos sobre las regletas por yuxtaposición plana, en formas cualesquiera, para que apareciera el área, noción matemática manera, es sólo una cara lateral de una regleta la que se ha tomado en consideración, y las regletas de un mismo color tienen superficies equivalentes.
La medida de una cara lateral de una regleta en centímetros cuadrados es igual a la medida de la longitud de esa regleta en centímetros.
Eso nos permite evaluar las áreas de todas las superficies (pie hemos obtenido.
Una superficie de construcción particularmente simple es el rectángulo formado por la yuxtaposición de regletas del mismo color. Lo que precede da inmediatamente la medida del área de esta superficie por el producto de la medida de sus dos lados. (Figura S)
Si todavía fuéramos más torpes, yuxtapondríamos las regletas como en la Fig. 10.
Lo que conduce a la proposición: Si se hace experimentar a un arco simple de línea una traslación en una determinada dirección, se determina una superficie cuya área tiene una medida calculable como la de un paralelogramo. (Fig. 11)
¿Es necesario subrayar aquí cómo la presentación dinámica del estudio de las áreas está alejado de la investigación escolar del áiea de rectángulo con ayuda de un cuadriculado de cuadrados.
En este punto, no quisiera no indicar aproximaciones que el material vuelve evidentes: el área del trapecio y la suma de los términos de una P. A. se calculan por fórmulas análogas.
la actividad matemática de los alumnos es superior a la memorización que conduce a repetir con inteligencia más o menos grande las explicaciones doctrinarias del fesor.
Pero volvamos a las regletas que, esta vez, aglomeraremos entre sí de manera de formar un sólido.
Con el mismo conjunto de regletas, podemos obtener sólidos muy variados que tienen evidentemente el mismo volumen. Desde este nuevo punto de vista, las regletas del mismo color tienen volúmenes ¡guales. Se tiene así una partición en clases de equivalencia que se superpone a las precedentes.
Paro obtener la expresión en centímetros cúbicos del volumen de un sólido compuesto de regletas, basta hacer la suma de los volúmenes de estas.
Hallar el volumen de un paralelepípedo íectángulo es entonces un juego. Como yo me permito subrayarlo, no es por cálculo por donde abordamos el estudio de los volúmenes sino por la adquisición de las nociones de equivalencia y de adición de volúmenes.
En este orden de ideas, tocios los montones compactos formados por los mismos conjuntos ele regletas de igual longitud tienen el mismo volumen. De tal suerte que los sólidos prismáticos o cilindricos de bases equivalentes y de la misma altura, tienen volúmenes equivalentes.
Si en un montón hacemos subir o descender ciertas regletas, la sección recta del montón no cambia, y de allí la expresión del volumen obtenido al someter a una traslación una porción simple de superficie.Fracciones
Una cuestión delicada es la de las fracciones.
Hasta ahora hemos admitido que la re- • gleta blanca era la unidad (unidad de
longitud, unidad de superficie, unidad de volumen, según la manera en que la consideremos).
Si tomamos como nueva unidad la regla x oja, los valores atribuidos a las regletas cambian.
Una vez que estamos empeñados en este camino, cada entero considerado como operador está representado por un par de re-
1 V77?.)
^~rIIK) pro-
Fig. 16
La vinculación entre el producto de dos números y el área de un rectángulo ha sugerido a Cuisenairc la representación de ese producto por la cruz formada por dos regletas que recuerda, además, al producto cartesiano de dos segmentos.
Un producto de varios factores está representado por una superposición de regletas en cruz. (Fig. 17)
Cuisenaire ha desarrollado una pedagogía de la multipicación en la que los números aparecen con sus descomposiciones en productos de dos factores. Estos prod tos son retenidos con extraordinaria vivacidad gracias a los colores.
La movilización de la memoria se realiza en un tiempo de reacción cuya brevedad contrasta con la inercia creada por la recitación de las tablas de multiplicación.Logaritmos
|i
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nueva. De esta;
!zoV/'/’-'A -■ : : - ■:
uc-m-r - - ~~ ’-'/Xi
Fig. 12
A = Yl (a + b). h S = Vz (a 4* 1). n
Propiedades de la multiplicación y de la división
El cálculo del área del rectángulo permite volver muy intuitivas las propiedades de la multiplicación y de la división.
1. Conmutatividad. (Fig. 13) ^
ese
La formación de cruces con ayuda de icgletas del mismo color conduce a las potencias y a las progresiones geométricas mediante una acción y una representación muy sugestivas.
Así, para repetir una multiplicación por un número, basta superponer regletas del mismo color en cruz, mientras que para repetir la suma de un número basta colocar una tras otra a tales regletas.
Si realizamos las multiplicaciones en unasor-
í ¡iF 7i-r
F/fi. 8 Fig. 9 Fig.•Si se es un 2. Distribulividad de lapoco torpe para superponer
las regletas, se obtiene una figura con escalona* tos que evoca imperfectamente un paralelogramo (Fig. 9). Para obtener más correctamente un paralelogramo, necesitaríamos regletas más delgadas, lo que nos conduce al comienzo de la noción clave del cálculo de las áreas por integración. También se puede cortar los escalona’tos extremo para trasladarlos al otro.
Esta operación puede ser simplemente virtual o incluso figurada mediante recortes en cartón.
C« respeelo , ], a(|¡ctón. (,.”“5$™'“" i,:íparte y las adiciones en otra, cómo no
prendernos ante la correspondencia entre las potencias y los múltiplos sucesivos. Allí reside en germen el isomorfismo sobre el que se apoyan los logaritmos.
Es tan simple que una clase de niños de 9 a 10 años descubre esa correspondencia y puede hacer uso de ella.
Es tan potente que una presentación activa semejante me ha permitido descubrir durante una lección en una clase de tercera de latín-matemática las propiedades de las progresiones aritméticas y deducir de ellas, por traspaso, las propiedades homólogas de las progresiones geométricas. Y puedo aseguraros que el conocimiento obtenido poi
ÜFig. 14
3. Distributividad de la multiplicación con respecto a la sustracción. (Fig. 15)
:1en un
Fig. 15Si se multiplica el dividendo y el divisor
de una división por un mismo factor, el cociente no cambia pero el resto queda multiplicado por ese factor. (Fig. 16)
pBFig. 10 Fig. 11
36 37
í
1i.
1 longitud, área y volumen , permite comprender sus relaciones mutuas y procura un conocimiento tangible de su orden de magnitud.
Por otra parte, se puede emplear el material liara la representación decimal de los números enteros. Antes de ser transferidos a su forma habitual, las operaciones elementales, adición, sustracción, son efectuadas concretamente con la ayuda de regletas.
El material puede contribuir al estudio de ciertas figuras geométricas. Señalaremos el uso de regletas para la construcción de sólidos que se representarán en proyección. No sólo el material proporciona los modelos a representar sino que permite construir un sólido cuyas proyecciones están dadas.
Ese problema, que Piette realiza también mediante un juego de construcciones más variado que el de las regletas, es indispensable para desarrollar la lectura de las proyecciones entre los alumnos poco dotados desde ese punto de vista. El material Cui- senaire permite también realizar ciertas demostraciones de fórmulas como lo hace el “algebloc” material constituido por paralelepípedos coloreados debidos a Van Lier-
3x3 = 1 i1glelas que escribiremos superponiéndolas (orno en las razones o fracciones, siendo la unidad el denominador.
Así, se tendrá para representar al número 3 los pares:
regleta roja = — regleta verde oscuroH3 Se tiene también: ■
1 3X^3 = 1lo que conduce a 2 = - .6verde claro verde oscuro 1 !3
blanca En los casos precedentes, multiplicar cantidad por un operador y después el resultado obtenido por un segundo operador, equivale a multiplicar la cantidad inicial por el producto de los operadores.
Seo multiplicar una regleta verde claro 7
por — y después el resultado obtenido
roja una1 1
De manera tal que multiplicar por —azul 2 azul3
verde claro 2 verde claro
pero se puede también obtener la segunda relación atribuyendo a la regleta roja el valor 2, a la verde claro el valor 3,..., o aun pasando a los números atribuidos inicialmente a cada regleta:
vuelve a resultar, tanto para los números cómo para las cantidades, lo mismo que dividir por 3.
Se define fácilmente la multiplicación por una fracción cualquiera.
Suma de fracciones
¿Cómo llegar a la suma de fracciones? Multiplicar una cantidad por 7 equivale
a multiplicarla por 4 y por 3 y hacer después la suma de las cantidades obtenidas:
35
por —.
La primera operación conduce de la regla verde claro a la negra, la segunda de la negra a la amarilla. El producto de las dos fracciones deberá conducirnos de la verde claro a la amarilla.
Se tiene, pues:
!3 6.9 9X2
1 2 3 3X2
de manera tal que el nuevo símbolo, la fracción, indica el cociente exacto de su numerador por el denominador. Podemos todavía subrayar el papel de los operadores enteros por las escrituras:
regleta verde oscura = 3 regletas rojas
lo que corresponde a 6 = 3x2.Efectuemos una simetría entre las regle
tas; tendremos:
7 = 4 + 3
7 4 3 14 S 55 76 i+ de.- X1 1 1 2 2 3 32 7
Conclusión ¡JEste caso privilegiado permite calcular
el producto de dos fracciones cualesquiera.De la misma manera, multiplicar
longitud por —— equivale, por ejemplo, a o
4multiplicarla por —
5suma de las longitudes obtenidas.
unaAsí hemos recorrido, un poco rápida
mente, el panorama de ciertas cuestiones que pueden ser abordadas y trabajadas gracias a las regletas en colores.
Hemos hecho resaltar, sobre todo, la multivalencia de ese material y, al mismo tiempo, hemos destacado en qué forma determina nuestra manera de actuar sobre las regletas la matemática que nosotros truimos.
Para algunos de esos empleos, el material Cuisenaire puede eventual mente actuar concurrencia con otros materiales, cada uno de los cuales tiene algún mérito. Él los
sus múltiples usos y por su
8 4 8X4 5X4
5 7 5x4 ' 5x^
(8X4) X (5X4)
(5x4) X (5X7)
3— y por —— y hacer la } >>
verde claro verde oscuro - X - —blanca roja
ií7 4 3verde claro cons-2 verde claro Escribiremos:5 5 5azul 2 azul
Para pasar del denominador al oor, basta esta vez tomar un tercio del pri-
Sc tendrán naturalmente las equivalencias entre fracciones:
;en
Multiplicación de fracciones
Para los operadores enteros, multiplicar longitud por 2 y después el resultado
por 3, equivale a multiplicarla por 6: 2X3-6
: 1Multiplicar una longitud por — y luego
| 3el resultado por 3 equivale a tomar una vez la longitud. Escribiremos:
S 4 SX4numera-X. mero. 5 7 5x7
En todo lo que precede, no he dicho nada acerca de la utilidad del material Cui- senaire en el sistema métrico; ¡es demasiac o evidente!
Desde la escuela primaria, ese , da una idea concreta de las unidades c e
. supera porsimplicidad. /
La idea de representar a los números reglas de longitud apropiada Ya la señora Montessori había construido y empleada reglas divididas en partes de igual longitud por bandas de dos colores alternados.
una1 con
1 no es nueva.2 3 3X2
3 6 9 9X2
Traduciremos tomar como signo de multiplicación. Y escribiremos:
material
3938
ii
■
tsi•:
de la Unión Internacional de Matemáticos, ha dicho:
“Con Klein hemos tenido las matemáticas elementales desde un punto de vista superior; con las regletas podemos hacer las matemáticas superiores desde un punto de vista elemental”.
Hay una forma de hacerse una opinión sobre las regletas en colores; es ver el partido que pueden sacar de ellas los niños, los alumnos de una clase y, a lo mejor, hacer un ensayo en su clase y con sus propios niños.
Ninguno de los colegas que ha hecho esta experiencia personal ha denigrado el material.
Sin querer hacer de esto una panacea pedagógica, creo que debemos estar reconocidos a quien las inventó.
Lo que ól llamó, para el empleo que había concebido, los “números en colores”, quedará en la pedagogía de la matemática como un material de múltiples usos.
Esc material ha hecho comprender, un poco mejor, no sólo a los alumnos sino también a los maestros qué es la matemática como actividad natural, psicológica y lógica. Las regletas en colores tiene una utilidad que supera la denominación de “números en colores”.
¿Por qué no reservar toda la multivalcn- cia de sus usos designándolas más adecuadamente con el nombre: “Regletas en colores de Georges Cui sena iré”?
Esta presentación restringe de inmediato el alcance del material; además no fuerza, como las regletas Cuisenairc, a considerar una regleta o un número como un todo.
Si no se tienen en cuenta las estructuras (pie hacemos aparecer por nuestra acción sobre el material, queda que las regletas son objetos pequeños. En este nivel, podemos emplearlas para realizar las manipulaciones sobre los conjuntos finitos y familiares con las nociones de inclusión, equivalencia, unión, intersección de conjuntos.
Por ejemplo, las regletas permiten un estudio muy vivo, a la vez que verdaderamente activo, de las permutaciones. Estas aparecen bajo su verdadera luz: las transformaciones de un conjunto en sí mismo (cuando nuestra presentación en la enseñanza secundaria hace series de letras).
Estas transformaciones se componen de forma totalmente natural. Su conjunto, provisto de la ley de composición, es un grupo cuyo estudio puede ser hecho intuitivamente.
Volvemos a encontrar así una noción fundamental que bien se puede satisfacer antes del fin de la enseñanza secundaria o de la inscripción en la universidad.
Los matemáticos que han asistido a la actividad de una clase provista de ese material siempre han experimentado viva satisfacción.
Uno de ellos, Ilopf, que fue Presidente
¿SABIA UD. QUE...!
I. MEDIDAS ANTIGUAS DE LONGITUD. Primitivamente los hombres usaban, para medir longitudes, unidades o módulos relacionados con su propio cuerpo o con sus sentidos. Para longitudes pequeñas, la longitud del pie, la de las falanges del dedo pulgar (pulgada), la máxima abertura de la mano (palmo), la longitud del brazo (yarda), etc.
Para distancias cortas empleaban el paso; para mayores, el alcance de una flecha o tiro de ballesta, o el radio de la máxima visión en un terreno plano, que llamaron legua. Las superficies las relacionaban la siembra; así el acre era la superficie ble en una mañana, y algunas unidades de superficie usadas en Babilonia estaban determinadas por la cantidad de grano necesario para sembrarlas.
La necesidad fundamental de poder reproducir las unidades de medida en cualquier momento, independientemente de la (xistencia de modelos o patrones determinados, indujo a definirlas, pero se hacía de manera tan imprecisa como puede verse en estos ejemplos: “La pulgada es la longitud de tres granos de cebada tomados de la mitad de la espiga" (Estatuto inglés).
"Para determinar la longitud de una vara en forma recta y legal y de acuerdo a usos científicos, debe reunirse a la salida de la Iglesia en día domingo, una vez terminado el oficio religioso, a 16 hombres de la concurrencia, altos y bajos, y alinearlos con sus respectivos pies izquierdos unos a continuación de otros; la longitud obtenida es la recta y legal vara para medir la tierra, y su décima sexta parte la recta y legal longitud del pie". (Definición de Kobel, 1514).
A veces se introducían nuevas unidades arbitrarias, como por ejemplo, la longitud de la yarda, fijada bajo Enrique I en Inglaterra (1811), la cual, según la tracli- f ión, era la longitud del brazo de su amiga favorita.
Como los patrones o modelos de las unidades de medida no se podían redeterminar con precisión, dado su carácter convencional, eran protegidos de las adultera- ciones fraudulentas, y se confiaba su custodia, por lo general, a los sacerdotes, o
se esculpían en los basamentos de algunos monumentos, como en Roma, en la estatua de Vespasiano, y en Londres, en la de Nelson, en donde se grabó la longitud de la yarda. También se acostumbraba a fijar los de longitud, por la distancia entre dos garfios de hierro empotrados en los muros de las ciudades.
Como es fácil imaginar, la variedad de medidas usadas, aun dentro de un territorio y con un mismo nombre, dificultaba enormemente el intercambio mercantil, expuesto así a toda clase de engaños, por la deficiencia e ignorancia de sus equivalencias.
En todos los países se producía este fenómeno; así, por ejemplo, en Francia había unas 200 unidades de medida diferentes, impuestas, en La Edad Media por los señores feudales en sus respectivos territorios, v en España, cada región, y aun cada pueblo, tenía su vara, su libra, etc.
(De J. Rey Pastor, Aritmética, 1937)2. EL ULTIMO TEOREMA DE FER-
MAT. En el margen de un libro que estaba leyendo, la Aritmética de Diofanto (Siglo III), el famoso matemático francés P. FERMAT (1601-1665) escribió: “Si n es un número mayor que 2, no existen números naturales x, y z tales que xn + yn = z*. He encontrado una demostración verdaderamente maravillosa de esta propiedad, pero el margen es demasiado pequeño para colocarla allí”.
Mucho tiempo antes de Fermat ya se sabía que cuando n = 2 es fácil encontrar números naturales x, y, z tales que xs -f if = z', por ejemplo, 3, 4 y 5, o 5, 12 y 13. Por ello, tales números han sido denominados números pitagóricos. Pero nadie pudo hallar ternas que cumplieran la propiedad cuando n es mayor que 2. En realidad, Fermat sólo propuso los casos n = 3 y ii = 4.
Descubierta la nota marginal de Fermat, los matemáticos trataron de demostrar la citada propiedad, pero sin éxito, pese a los enormes esfuerzos realizados. La imposibilidad de solución para n = 3 fue intuida por el árabe BEIIA EDDIN (1547-1622) v demostrada por L. EULER (1707-1783), " (sigue en pdg. 42)
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conara-
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:
(viene de pdg. 34)
ríos de los maestros, de lo cual se deduce que no sólo es obligación de la escuela baria la sociedad enseñar Jo que requiere la industria, sino también, un asunto de bien entendido interés personal.
En la escuelas técnicas, nosotros, debido a nuestra larga y estrecha asociación con la industria, estamos probablemente mejor equipados que muchos maestros para apreciar la clase de destreza matemática, que la industria requiere del egresado. En las escuelas secundarias, la matemática está, m considerable extensión, aislada de los otros asignaturas, mientras que en una escuela técnica, la matemática no se enseña
materia por derecho propio, sino como el lenguaje en la cual son presentadas
las materias tecnológicas aplicadas. Si la escuela evade la enseñanza de la matemática básica requerida para este objetivo, entonces este trabajo deberá agregarse al ya atestado horario de los cursos de las escuelas técnicas.
Un comentario final. Si el objetivo prin- cipal de la nueva matemática no es enseñar a los alumnos a dar respuestas correctas a los problemas prácticos, entonces, en lo que la industria le concierne, bien pudiera ser dejada de lado en el plan escolar o, alternativamente, mantenida esas materias, latín, del que se dice que es enseñado puramente como una disciplina educativa y no con ningún objetivo de sór- dico utilitarismo.
como una de
como fí. M. 1IELSDON (Inglaterra)
40 41
!
.*
BIBLIOGRAFIAHISTORIA MILENARIAí
A. M. e. CECI, J. B. CGSENTINO, O. M. de PAGULLA, Matemática I, (de acuerdo al programa de primer año del Ciclo Básico y Escuelas Nacionales de Comercio, con los nuevos temas de Matemática Moderna), Biblioteca Pedagógica, EDITORIAL GUADALUPE, Buenos Aires! 1967.De la matemática moderna
y usa constantemente la nomenclatura y la notación conjuntista, al mismo tiempo que se procura desarrollar y canalizar la intuición mediante gráficos y ejemplos bien seleccionados. Aun atados por las exigencias del programa oficial, los autores han acertado al variar, según la importancia, la ex- • tensión dedicada a cada uno de ellos. Para nuestro gusto, es un poco excesiva la axiomática y el formalismo en ciertos puntos, pensando en que está dedicado a alumnos de 13 años, pero este es precisamente una de las cuestiones que se trata de analizar a través de experiencias y ensayos.
La publicación de libros como el pro- rente de los profesores Ceci, Cosentino y de Paglilla es muy útil y necesaria. Con ella se tiene la base para ir experimentando la reacción de los alumnos ante las nuevas
iiA J. WALLIS (1G46-JL716) se debe el
productoEste importantísimo número de la
matemática, cuyas primeras cifras son 3,1415926535..., como es sabido, expresa la relación entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su respectivo diámetro. El símbolo fue introducido por G. OUGIITRED (1574-1650), pero su difusión general se debe a I. BARROW (1630- 1677).
Pero la historia de este número es muy anterior. En el Antiguo Testamento se le asigna el valor 3. Los egipcios, con procedimiento gráfico, obtuvieron el valor 3,1605, empíricamente. El conocido valor 3,1416 era ya usual en la época tolemaica, unos 150 años d.J.C., aunque el primer método racional para determinar su valor se debe a ARQUIMEDES (2S7P-212 a.C.): se trata del método de los polígonos inscriptos y circunscriptos para lograr la cuadratura del círculo; mediante un polígono de 96 lados determinó que n estaba comprendido entre 3 f 1/7 y 3 -f 10/71, siendo el primero de estos valores, 22/7, aún muy útil en la práctica. LIEU HUEI, en el siglo III, mediante polígonos de 192 y 3072 lados, obtiene el valor 3,14159.
El método arquimediano puede extenderse indefinidamente, pero los cálculos se vuelven muy engorrosos, no obstante lo cual, con notable paciencia y constancia, L. VAN CEULEN (1540-1610) llegó a calcular 35 cifras, por lo cual algunos lo han denominado “número ludolfiano” aludiendo a su nombre de pila.
El problema varía de aspecto cuando, en 1593, VIETA cambia los antiguos métodos de aproximación por el primer algoritmo infinito conocido, resultado que fue expuesto por C. IIUYGENS (1629-1695) en una pequeña obra, De circuli magnitucline invenia que cierra definitivamente el período arquimediano de la cuadratura e ini- ciael período moderno.
jt/2 = 2/1.2/3.4/3..., y su amigo G. BOUNCKER (1620-1684) logra éxito empleando la fracción continua
jt = 4/ + 17 2 + 37 2 + ... empleando una idea esbozada por R. BOMBEELE
Asimismo, uno de los primeros éxitos de G. LEIBNIZ fue el descubrimiento de la
se conocenbien sus aspectos generales y los fines a los que, con ella, se quiere llegar. Se saben los puntos que la caracterizan y se saben, todavía mejor, los defectos de la matemática clásica. En el caso de la enseñanza media está bastante claro lo que debe darse y lo que debe suprimirse. La dificultad comienza en el momento de llevar a la
serie alternadajt/4 = 1 - 1/3 + 1/5 ...
Estas relaciones entre expresiones infinitas y el número tí prueban una vez más la íntima conexión entre las diversas formas matemáticas; con descubrimientos de nuevas series, J. MACHIN, J. HERMAN y L. EULER, lograron determinar mayor número de cifras de x
Uno de los resultados más espectaculares fue logrado en 1873 por G. SIIANXS (1812- 1SS2) quien, empleando una serie rápidamente convergente calculó 707 cifras del número tí cometiendo algunos errores que luego fueron corregidos.
La verdadera naturaleza del número sólo fue determinada por J. II. LAMBERT (1728-1777) quien demostró rigurosamente (iue era un número irracional, y en 1882, C. F. L. LINDEMANN (1852-1939) probó que era un número trascendente.
En nuestros días, las modernas máquinas de calcular han resuelto definitivamente el problema v en muy poco tiempo pueden calcular millares de cifras; el problema ha dejado de tener interés para la investigación matemática.
Digamos, en fin, que el número jt, lo mismo que el número e resulta imprescindible para la descripción de muchos fenómenos o procesos de la naturaleza; las mareas, por ejemplo, no podrían ser des- criptas analíticamente sin su ayuda, ni muchas fórmulas probabilísticas serían posibles sin él.
práctica de manera orgánica estas supresiones y añadidos, de modo que quede una unidad comprensible para los alumnos, en la cual los conceptos modernos aparezcan de manera natural, cada uno a su debido tiempo, como base y sostén de la parte utilitaria de la matemática, que nunca debe olvidarse ni retacearse. Es natural que así sea. La matemática clásica lleva siglos de experiencia, durante los cuales se ha ido destilando lo que de ella debe darse, > cómo debe darse, en cada ciclo de la enseñanza; se tienen de ella una ordenación y gradación perfectas. Pero es precisamente esta perfección misma lo que hace difícil la introducción en su edificio del estilo y del contenido modernos, cosa por otra parte imprescindible dado el progreso general de todas las ciencias relacionadas con la matemática, que necesitan otras cosas y otros puntos de vista diferentes de los tradicionales.
La matemática moderna, como su precursora inmediata de la década del 20, usa mucha axiomática. Pero hay que procurar no incluir o por lo menos no insistir en los axiomas hasta que el alumno pueda comprender su necesidad. Hay que pasar rápidamente sobre los resultados evidentes — y la evidencia es una función decreciente con la edad— para dejar tiempo a las novedades, -que son muchas y muy necesarias las que deben aprenderse durante el segundó ciclo de la enseñanza.
En el libro que nos ocupa se introduce
tendencias, con lo cual, junto con las opiniones de los profesores de matemática y de materias afines, se irá decantando y puliendo la mejor forma de presentar los lemas y la distribución de los mismos a lo largo del ciclo medio. Dos temas de este primer año, por ejemplo, son las presentaciones de los números enteros y racionales. Los autores optan en ambos casos por la definición como pares ordenados con la correspondiente equivalencia. Es una definición excelente desde el punto de vista estrictamente matemático, pero ¿lo será también desde el punto de vista didáctico para ser expuesto a los 13 años? Los profesores tienen la palabra, siempre que, como en todo hecho tratado científicamente, la avalen con experiencias efectivas e imparcialmente practicadas, no únicamente con opiniones personales a prior?, muy respetables pero igualmente muy discutibles.
(
í
L. A. Santaló
Elbridge P. VANCE. Introducción a la matemática moderna, ADD1SSON - WESLEY PUBLISHING COMPANY, Reading, EE. UU., 1966.
534 páginas de gran formato contienen el material de esta obra del prestigioso profesor americano del Oberlin Collegc presentado en edición bilingüe en caste-
(viene de pág. 41) lo mismo que para 4, caso ya probado por el mismo Fermat. Otros autores lograron probar otros casos particulares, llegán- üose hasta n — 600 por lo menos,
a la demostración general, para la cual, desde 1906, se ha instituido en Alemania un premio de cien mil marcos, sea que se pruebe su validez o su invalidez.
n =!
ipero no43i 42 i
pj
noticiasración de las funciones circulares a la resolución de triángulos, Más aplicaciones cíe las funciones circulares, Números piejos, Secciones cónicas, Integración.
Para el desarrollo de su tarea el autor se basa en las instrucciones de la “Asociación Matemática de América” y de la comisión de matemática de la “Mesa Examinadora para el Ingreso a la Universidad”, y en las numerosas experiencias Üzadas en su país. Además cíe subrayar la importancia del razonamiento lógico, intenta presentar un esquema unificado del álgebra, la trigonometría y la geometría analítica y asimismo una sólida introducción al cálculo infinitesimal que permita al alumno secundario dominar estos temas y abordar sin dificultades posteriores estudios de lógica matemática, probabilidades, estadística, matemática finita, etc. Los ejercicios han sido bien seleccionados para contribuir a la unidad de la materia y para permitir la introducción de conceptos; no cabe ninguna duda de que el autor conoce su oficio y sabe exponer los temas con claridad, destacándose que la noción de conjunto, introducida al comienzo, se usa en todo el libro, el cual se caracteriza por la ordenada presentación de las ideas modernas. En trigonometría, aun cuando se ha subrayado el aspecto analítico, nos parece excesivo el espacio destinado a los .aspectos computativos tratándose de un iexto para la enseñanza secundaria.
De paso, una objeción: las figuras y las fórmulas sólo figuran en el texto en inglés,, lo cual obliga al lector de la parte en castellano a cambiar frecuentemente de columna, lo cual, sin duda, no favorece la lectura.^ La presentación del libro es muy cuidada y los gráficos, simples pero muy claros.
llano o inglés. La traducción a nuestra idioma es del Dr. Alberto Saenger, de la Universidad Católica de Chile, con quien colaboraron 11. Paz Estrada, II. Cantó S. y Francisco Garriga. Estas ediciones bilingües presentan ciertas ventajas y algunos inconvenientes. En verdad, han de ser muy apreciadas en muchos medios educativos de EE. UU., decididos empeñosamente a difundir en su país nuestro idioma al que intentan convertir en su segunda lengua; la apreciarán también muchos estudiantes latinoamericanos que tienen necesidad de reforzar sus conocimientos do inglés para su futuro desenvolvimiento, por más que no sea la traducción el medio más útil para lograr los objetivos expuestos. El inconveniente mayor radica en el volumen que adquiere el libro con la lógica consecuencia de la elevación de su precio de venta que se aleja así de las po- ribilidades de algunos interesados.
En cuanto a la obra en sí se trata de un serio intento para educar al estudiante en la naturaleza de la matemática considerada como esquema lógico. Trata de lograrlo en 22 capítulos cuya enumeración interesa para comprender cómo se ha resuello en otros países —y el del autor era tradicionalmente deficitario— el problema de los conocimientos que se consideran imprescindibles a la finalización de los estudios secundarios. Los nombres de dichos capítulos son: Conjuntos y números, El álgebra de los números como sistema lógico, Generalizaciones de la lógica del álgebra, Desigualdades, valores absolutos y sistemas de coordenadas, Funciones y su representación gráfica, Funciones circulares, Funciones lineales, Funciones cuadráticas, Determinantes, Método de Inducción, Funciones, límites y continuidad, Derivadas, Polinomios, Algunas aplicaciones de la diferenciación, Funciones inversas, Funciones exponencial y logarítmica, Apli-
icom- 1. CONCEPTOS DE MATEMATICA:
se dispone a dar cumplimiento cumplimiento a objetivos señalados en su primer número. Sabe de la preocupación reinante entre los profesores de matemática ante algunos temas introducidos en los programas actuales, especialmente los que se refieren a Probabilidades y Estadística. Para enfrentar esa dificultad ha tenido la singular fortuna de lograr el asentimiento del prestigioso matemático argentino, doctor Carlos A. Trejo, cuya capacidad es bien conocida por los docentes y trasciende, por etra parte, las fronteras de nuestro país. Con nuestra organización el Dr. Trejo dictará un cursillo de seis clases sobre probabilidades en el Salón de Conferencias del Liceo Nacional de Señoritas NT<? 2, Rivada- via 4950, Buenos Aires, los días 12, 19 y 26 de junio y 10, 17 y 24 de julio próximo, ii las 1S,45 lis. La entrada a dicho cursillo será absolutamente gratuita y quienes se inscriban en el mismo podrán obtener ci correspondiente certificado de asistencia.
Otra iniciativa nuestra, generosamente recogida por el Departamento de Enseñanza de las Ciencias del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, permitirá al Dr. Trejo repetir su cursillo en la ciudad de Córdoba durante las vacaciones de invierno. Los artículos del Dr. Trejo serán publicados en nuestra revista con exclusividad.
2. Organizado por el Departamento para la Enseñanza de las Ciencias del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas y el Servicio Nacional de Enseñanza Media, Normal, Especial y Superior, se está dictando desde el 25 de abril un curso sobre probabilidades y estadística a cargo de la profesora Marta Moraschi de Mastrogiovani. Dado el exceso de inscripciones, el curso se ha desdoblado y otro análogo se iniciará el 1° de junio y en el mismo lugar y a cargo de la misma profesora.
3. Asimismo, la profesora Mastrogio- vaimi repetirá ese curso en forma intensiva, con clases por la mañana y por la tarde, en la ciudad cordobesa de Bell Ville, •durante las vacaciones de invierno.
4. En la misma época, vale decir, des
de el 10 hasta el 15 de julio la profesora Nelly Vázquez de Tapia tendrá a su cargo un curso sobre ‘Funciones, Estructuras Algebraicas y Espacios Vectoriales', que se dcsarrolará en el Colegio Nacional de* Mercedes, San Luis.
5. La EDITORIAL GUADALUPE ha organizado un “Curso de matemática cierna en el cual la profesora Angélica M.E. Ceci desarrolla los lunes, miércoles y viernes, en 26 horas de clase, de 18,30 a 20,30, los programas oficiales de primer año, a partir del 3 de mayo de 1967 en Man- silla 3865, Buenos Aires.
6. Se están preparando nuevos progra- cle matemática para 5? año de las es
cuelas de comercio. La Comisión que tiene a su cargo esta tarea está integrada pollos inspectores R. R. Vólker y A. A. Piaña, del Servicio Nacional de Enseñanza Secundaria, Normal, Especial y Superior, los doctores C. Lambiasse y J. González Calé, ele la Escuela Superior de Comercio “Carlos Pellegrini” y los Dres. R. F. Pistrclli yF. I. Toranzos, de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de B. Aires.
7. También se están redactando los programas para 5? año de bachillerato que comprenden por una parte, Trigonometría, y Nociones de Límites, Continuidad y Derivadas, y, por otra, Nociones de Astronomía Elemental, programa este último redactado por el Dr. Jorge Sallado, del Observatorio Astronómico de La Plata, que colaboró con la comisión integrada por L. A. Santaló, II. R. Volker y A. A. Piaña.
8. Ha partido para Europa el profesor Atilio A. Piaña quien, entre otras ciudades, piensa visitar Roma, París, Bruselas y Madrid. Su reconocida inquietud le ha de brindar sin duda, oportunidades para obtener informaciones que habrán de resultar útiles para las funciones que desempeña en nuestro país.
9. En la Escuela Normal “A Lincoln” de Lincoln, Bs. As., se dictó un cursillo sobre “Temas de álgebra moderna”, que estuvo a cargo de las profesaras María de las M. Guitiérrez, Esther C. R. de Huzmán, Élsa Pallavicini María C. J. de Raggio, Su- san C. de Sánchez, Elsa A. Santángelo, Isabel A. Santángelo y Julia Vegas.
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Cristina Verdaguei de Banfi1
I(Viene tic la jxífíina 33) f
posición o las proposiciones útiles y la solución del problema.
Todo lo que se ha dicho no vale más que para los reacios a la matemática. Los dolados están
espíritus las proposiciones que les permitirán comprender y encontrar las soluciones del problema planteado.
a sus
en posesión de esquemas operatorios que, automáticamente, imponen M. Pattinger
(Bélgica)’
4544
i
!
1742, Rosario; Arturo M. González Tilomas» Colón 41S, Coya; Susana S. de Hinríksen Santa Fe 1595, Rosario; Catalina J. B. de Lacena, Av. Rosario 265, Bo. Crisol, Córdoba; María D. Manghi, General Paz 1295, Tandil; Luis S. Marzik, Av. José L. Suárez 25, Chivilcoy; Nélida L Mclan i, Colón 2815, Córdoba; María D. Reguero, Lavalle 430, Lujan; Estela A. Santángelo, Pellegrini 265, Lincoln; Natalia Tomaszewski, Almirante Brown 3S22, Mar del Plata; Delia A. Vilas, 32 N9 1443, La Plata; Nelly C. de Camba, Av. San Martín 2040, Tunuyán.
Varios lectores. Como era nuestro deseo, este número se publican varios trabajos
de docentes argentinos: Marzik, Sanlaló, Trejo, Volker. Anunciamos para próximos números colaboraciones de Yolanda M. de García, A. R. López, Emilio de Ceceo y otros.
CORREO MATEMATICA MODERNATenemos el agrado de dar a conocer a
nuestros lectores la lista de nuestros corresponsales en el interior, prestigiosos docentes lodos ellos que han aceptado colaborar en la tarea de que CONCEPTOS DE MATEMATICA se constituya en un vínculo entre educadores argentinos. Les solicitamos quieran colaborar con ellos, en la segura de que su colaboración será justamente apreciada.
Hasta ahora constituyen dicha nómina:José María Arango, Zapiola .128, Bahía
Blanca; Lela N. Bachur, Maipú 488,Tucu- mán; Vicente II. Bajfa Trasci, Caseros 10S4, Salta; Enrique Bilbao, Av. Rawson 1126 (n), San Juan; María E. Bloise, Belgrano 340, Chacabuco; Rey naide Borghesaleo, Av. Julio A. Roca 316, Junín, Liliana Casetti, Do- rrego 1523, Guaymallén, Mendoza; Alfredo ]. Cossi, Av. Rene Simón 1608, Bañadero; María A. Crespi, 50 N9 379, La Plata; Ricardo M. Dupleich, 25 de Mayo 953, Concordia; María E. Franco Puig, Mendoza
Textos de ARITMETICA y GEOMETRIA, para los cursos del ciclo básico, de los profesores Lidia E. Alcántara, Raquel Lomazzi y Félix Mina.
T.
Incluyen los temas nuevos, incorporados a los programas oficiales, y orientan progresivamente la enseñanza de la Matemática de acuerdo didáctica especializada.
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La parte destinada a Matemática inicia a los alumnos en el conocimiento de los principios modernos de esta disciplina.
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EDITORIAL ESTRADAProf. Isabel de Garin, Glew (Bs. As.). No olvidamos su pedido y próximamente trataremos de ocuparnos especialmente del problema de la enseñanza de la matemática en la escuela primaria.
BOLIVAR 462/66 T.E. 33-6520/29
O S AIRES
(Continuará)
—.-.-r'r.11.—-5. Matemática y cultura general.El profesor secundario de matemática
debe desarrollar su enseñanza atendiendo, en primer término, a los contenidos específicos de su materia y subsidiariamente — como ya se señaló— a las posibilidades de su aplicación; pero en su carácter de educador no puede sustraerse a la obligación de contribuir a la cultura general de sus alumnos. La influencia notable que en casi todas las ramas del saber y en la tecnología ejerce el pensamiento matemático en el siglo actual, pone al profesor de matemática frente a una responsabilidad grave y requiere de su parte un conocimiento fundado de esa influencia, lo que a su vez implica que esté al tanto de las grandes corrientes del pensamiento matemático y de sus relaciones con la evolución científica general en épocas anteriores. Parece pues, recomendable que en la preparación del profesor secundario de matemática y preferentemente en los años superiores, no falte algún curso que verse sobre historia de la matemática, o sobre la evolución del conocimiento científico, sobre matemática y lógica o cuestiones semejantes. (Continuará)
(viene de la púg. 12)Es tradicional en..algunos países que el
profesor que enseña matemática como molería principal, también dicte física o química como materia subsidiaria; lo que por cierto obliga a incorporar al plan del profesorado de matemática la cantidad suficiente de asignaturas de la otra especialidad que garantice un desempeño decoroso. Puede este criterio —de la doble carrera — ser útil en muchos lugares, sobre todo en escuelas o localidades menores, donde resulte difícil conseguir docentes secundarios para las ciencias básicas; pero no es del caso recomendar esa salida, sino hacer hincapié en la necesidad de que el profesor de matemática esté lo suficientemente familiarizado con otro campo del saber como para usar en él sus conocimientos matemáticos a modo de instrumento e ilustrar a sus alumnos sobre la matemática como ciencia aplicada. Va de suyo que ello requerirá una buena preparación en esc otro campo y que tal circunstancia puede servir de base para la obtención de un segundo titulo docente o la de mejores calificaciones profesionales, hechos de todos modos auspiciosos.
YA ESTAMOS
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FUTURO
Cuando csrc niño sea hombre y po- sca un automóvil, cuando utilice un tractor o cualquier otra maquinaria para su trabajo, el adelanto de la tcc- n,Ca exigirá para entonces nuevos combustibles, lubricantes y productos químicos derivados del petróleo, quepueden ser totalmente desconocidos hoy.Adelantándose a Jas necesidades del
dedicados a esas tarcas, que significan una cuantiosa inversión anual de casi cien millones de dólares.Este intenso esfuerzo empresario y científico, mira al futuro de ios niños de hoy, extendiendo los beneficios de la investigación de SHELL a todos los países en que actúan sus empresas asociadas.
mundial de cons-
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miles de elementos ytantcmemc con nuevos procesos, para con las exigencias del progreso. En 21 centros de investigación diseminados en varios países, unos 6.000 técnicos y hombres de ciencia de la organización SHELL
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