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Revista académica de los

Educadores y Mentores del

Programa Jóvenes Talento

Año 1 Número 1

Mayo 2009

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Apuntes sobre discriminantes

Gabriel Alexander Chicas Reyes

1. Discriminantes

Dado un polinomio cuadratico p(x) = ax2 + bx + c, donde a, b, c ! R, su discriminante viene dadopor ! = b2 " 4ac. Esta expresion surge en la formula cuadratica

x ="b ±

#b2 " 4ac

2a,

y por ello es bien conocido que puede usarse como un criterio para determinar si el polinomio poseeraıces reales o no. Concretamente, p(x) tiene raıces reales si ! $ 0 o no tiene ninguna si ! < 0.

Sin embargo, aparte de esto el discriminante puede ser util para establecer desigualdades relacionadascon polinomios cuadraticos. Asumamos sin perder generalidad que a > 0. Observemos que decir quep(x) no tiene raıces reales es equivalente a p(x) > 0. Podemos verificar esto de manera intuitivagraficando p(x); claramente la parabola se encuentra por completo en el semiplano y > 0 ya que nointerseca al eje x. Introduciendo la nocion de discriminante nos queda que p(x) $ 0 si y solo si ! % 0.

Podemos ver una interesante aplicacion de este principio en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1. Si a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn son numeros reales cualesquiera, la desigualdad deCauchy-Schwarz establece que !

n"

i=1

aibi

#2

%n"

i=1

a2i

n"

i=1

b2i ,

donde la igualdad se alcanza si y solo sia1

b1=

a2

b2= · · · =

an

bn.

Demostracion. Una forma de probar esta desigualdad es considerando el polinomio

f(x) =n"

i=1

(aix + bi)2 =n"

i=1

a2i x

2 +n"

i=1

2aibix +n"

i=1

b2i .

Claramente f(x) es un polinomio cuadratico en x, que por definicion es no negativo al ser una sumade cuadrados. Pero esto quiere decir que su discriminante

! =4

!n"

i=1

aibi

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" 4n"

i=1

a2i

n"

i=1

b2i = 4

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n"

i=1

aibi

#2

"n"

i=1

a2i

n"

i=1

b2i

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debe ser no positivo por la observacion que hicimos al principio. En consecuencia!

n"

i=1

aibi

#2

%n"

i=1

a2i

n"

i=1

b2i ,

1

como querıamos demostrar. Observemos tambien que ! = 0 si y solo si f(x) tiene raıces reales; perof(x) =

!(aix + bi)2 = 0 si y solamente si aix + bi = 0 para 1 ! i ! n. Luego tenemos la igualdad si

y solo si a1/b1 = a2/b2 = · · · = an/bn.

Ahora pasemos a una aplicacion a la factorizacion de polinomios. Al encontrarse con una expresiondifıcil de manejar, a veces es ventajoso considerarla como cuadratica en una de sus variables; al intentarresolver la ecuacion obtendremos una factorizacion conveniente si el discriminante es lo suficientementesimple.

Ejemplo 2. Dados a, b, c > 0, probar que la desigualdad

(a2 + b2 + c2)2 < 4(a2b2 + b2c2 + c2a2)

se cumple si y solo si a, b y c son los lados de un triangulo.

Demostracion. Expandiendo y reduciendo terminos semejantes la desigualdad toma la forma 2(a2b2 +b2c2 + c2a2) " a4 + b4 + c4. El problema esta resuelto (¿por que?) si notamos la factorizacion

2(a2b2 + b2c2 + c2a2)# a4 # b4 # c4 = (a + b + c)(b + c# a)(c + a# b)(a + b# c),

que incidentalmente es la expresion que aparece en la formula de Heron. Sin embargo, si no conoce-mos la factorizacion anterior necesitamos construirla por nosotros mismos. Una manera de hacerlo esescribiendo

2(a2b2 + b2c2 + c2a2)# a4 # b4 # c4 = #a4 + 2(b2 + c2)a2 # (b2 # c2)2.

Esta expresion es cuadratica en a2, y su discriminante viene dado por ! = 4(b2 + c2)2 # 4(b2 # c2)2 =16b2c2, que afortunadamente es un cuadrado perfecto. Al aplicar la formula cuadratica llegamos a quelas raıces del polinomio son (b + c)2 y (b# c)2, y en consecuencia

2(a2b2+b2c2+c2a2)#a4#b4#c4 = [a2#(b+c)2][a2#(b#c)2] = (a+b+c)(b+c#a)(c+a#b)(a+b#c).

Manipulaciones de este tipo tambien son frecuentes en el contexto de la teorıa de numeros. Unaobservacion de utilidad es la siguiente: un polinomio cuadratico de coeficientes enteros tiene raıcesracionales si y solo si su discriminante es un cuadrado perfecto. Basandonos en esto podemos resolverel siguiente problema de la Olimpiada rusa de 1997.

Ejemplo 3. ¿Existen numeros reales b, c tales que cada una de las ecuaciones

x2 + bx + c = 0

2x2 + (b + 1)x + c + 1 = 0

tiene dos soluciones enteras?

Demostracion. Si r, s $ Z son las raıces de la segunda ecuacion, por las relaciones de Viete tenemosque c + 1 = 2rs y b + 1 = #2(r + s), de donde b y c son ambos enteros impares, digamos b = 2b! + 1 yc = 2c! + 1. Entonces el discriminante de la primera ecuacion queda

! = b2 # 4c = (2b! + 1)2 # 4(2c! + 1) = 4b!2 + 4b! # 8c! # 3 % 4b!(b! + 1)# 3 (mod 8).

Y como b!(b! + 1) es claramente par, la congruencia anterior se reduce a ! % #3 (mod 8). Se sigueque ! no puede ser un cuadrado perfecto y en consecuencia x2 + bx + c = 0 no tiene raıces enteras.Por tanto no existen b y c que satisfagan las condiciones del problema.

2

2. Problemas propuestos

1. Probar que para cualesquiera numeros reales x e y se cumple que

3(x + y + 1)2 + 1 ! 3xy.

2. Dado el polinomio ax2 + bx + c, se le transforma repetidamente de la siguiente forma: Se inter-cambian a y c, o bien se sustituye x por x + t, donde t " R. Si comenzamos con el polinomiox2 + 2008x# 2009, ¿es posible llegar de esta manera a x2 + 2009x# 2008?

3. Encuentre la falacia en el siguiente razonamiento. Dado el polinomio cuadratico ax2 + bx + c deraıces p y q, por las relaciones de Viete tenemos que pq = c/a, p+ q = #b/a, por lo que podemosexpresar el discriminante en funcion de las raıces del polinomio:

! = b2 # 4ac = a2

!b2

a2# 4 · c

a

"= a2[(p + q)2 # 4pq] = a2(p# q)2 ! 0.

Por tanto ax2 + bx + c siempre tiene raıces reales sin importar los valores de a, b y c.

4. Sea k un entero positivo tal que la ecuacion kx2 # (1 # 2k)x + k # 2 = 0 tiene dos solucionesracionales. Probar que k es igual al producto de dos enteros consecutivos.

5. Se sabe que el polinomio de coeficientes enteros ax2 + bx + c tiene dos raıces enteras. Si se lesuma uno a todos sus coeficientes, ¿es posible que el nuevo polinomio tambien tenga dos raıcesenteras?

6. Hallar el numero de parejas de enteros positivos coprimos (a, b) tales que

a

b+

14b

9a

es un numero entero.

7. Encontrar todas las soluciones enteras de la ecuacion

x =#

y2 #$

y2 + x.

Referencias

[1] Bellot, F., Problemas cuadraticos de Olimpiadas, Revista Escolar de la Olimpiada Iberoamericanade Matematica numero 22 (noviembre–diciembre 2005).

[2] Bulajich, R., Gomez Ortega, J.A., Valdez Delgado, R., Inequalities, Cuadernos de Olimpiadas deMatematicas, Instituto de Matematicas, UNAM, 2005.

[3] Engel, A., Problem-solving strategies, Problem Books in Mathematics, Springer, 1998.

[4] Herman, J., Kucera, R., Simsa, J., Equations and inequalities: Elementary problems and theoremsin algebra and number theory, CMS Books in Mathematics, Springer, 2000.

[5] Zeitz, P., The art and craft or problem solving (second edition), Wiley, 2007.

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Ya deje el vicio

Humberto Sermeno

Sı, admito que por muchos anos fui un adicto. No se si era la emocion de instalarlo repetidas veces durante elano, la adrenalina generada por esperar una pantalla azul mientras trabajaba, o el simple hecho de revivir batallasepicas contra troyanos, pero Windows era un vicio del que no podıa salir.

Siendo un profesional de la computacion no puedo ahora ni comenzar a entender como no veıa (o en su defecto,no querıa ver) que existıan alternativas. Y no hablo solo de uno, sino de dos o tres sistemas que ofrecen muchamas libertad, seguridad, estabilidad y practicamente la misma funcionalidad que Microsoft Windows. Y lo peor delcaso es que cuando me informe mejor y explore brevemente otras opciones, no hice mas que criticar sus debilidadessin siquiera darme cuenta que eran mucho menores que las de mi sistema operativo de preferencia. Esa reticencia,desde luego, tenıa un nombre: costumbre.

Y no tenemos que irnos muy lejos para demostrar mi punto. Si usa Windows regularmente, estoy seguro que masde alguna vez ha dicho: “mi computadora se esta poniendo lenta”. Desde luego que reinstalar Windows resuelve elproblema por un par de meses, antes que vuelva a “ponerse lenta”. De igual manera, hoy en dıa es casi imposibleencontrar a alguien que conecte una computadora con Windows al Internet y no tenga que protegerla con antiviruso antispyware, y aun eso no evita que algun virus nuevo logre de vez en cuando entrar al sistema. De cierta maneraya estamos acostumbrados a que este tipo de cosas sucedan y la mayorıa de personas simplemente asumen despuesde un tiempo que estos son problemas con las computadoras en general y no del sistema operativo que usan. Loadmito, alguna vez tambien cometı ese error.

Afortunadamente, encontre Linux.Debo admitir una vez mas que, como muchos que ya han estado en esa situacion, el cambio a un nuevo sistema

me fue extremadamente difıcil. Eso principalmente porque una u otra cosa que yo sabıa como hacer dentro deWindows no se hacıa o estaba en el mismo lugar en Linux y, desde luego, la conveniencia de lo ya conocido leganaba a la razon. En mi caso, deshacerme de Windows completamente fue la unica medida que dio resultado parausar Linux por mas de 30 minutos. Sin embargo, una semana de uso fue mas que suficiente para habituarme a losnuevos ıconos y menus, y darme cuenta de las virtudes tecnicas del sistema.

Estabilidad

Creo que la mayorıa de lectores pueden familiarizarse con al menos una de las siguientes situaciones:

• Verse obligado a apagar la computadora forzosamente (es decir, sosteniendo el boton de apagado por unossegundos) porque Windows no responde.

• Haber visto la llamada “pantalla azul de la muerte”

• Haber recibido mensajes que Windows debe apagarse inmediatamente por razones que no comprende.

• Haber tenido que borrar toda la informacion del disco duro porque Windows se nego a iniciar. Con un pocode suerte, pudo recuperar su informacion personal.

No se preocupe, no es el unico. Un estudio de 10 meses conducido por ZDNet, encontro que en promedio unservidor ejecutando Windows tiene un error grave cada 6 semanas, el cual debe ser manualmente reparado por almenos 30 minutos. No suena tan mal hasta que se sabe que la version de Windows utilizada es la version paraservidores, que es mucho mas estable que la version para escritorio que usted y yo utilizamos dıa a dıa. Suena muchopeor cuando se sabe que ninguno de los servidores Linux con las mismas caracterısticas de hardware y operandobajo el mismo ambiente y carga promedio que los de Windows tuvo problema alguno durante los 10 meses delestudio.

Con esto no estoy asegurando que Linux es perfecto. A menos que se trate de un sistema extremadamentepequeno, cualquiera que asevere que su sistema operativo no tiene errores de programacion esta demostrando suignorancia en el area. Sin embargo, una de las maneras mas practicas de medir la estabilidad del sistema es con lafrecuencia en que un error grave (es decir, uno que requiera reiniciar o apagar la computadora) aparece. Si bien es

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cierto que las nuevas versiones de Windows, especialmente las “Profesionales”, son mucho mas estables que antes,este tipo de problemas aun sucede con mucha frecuencia.

Por el contrario, un usuario ejecutando Linux puede utilizarlo por muchos anos sin encontrarse con dichos errores.De hecho, Linux puede ejecutarse por meses o anos sin necesidad de ser reiniciado (un ejemplo de ello es nuestroservidor principal, que lleva alrededor de 9 meses sin ser reiniciado). Como podran imaginarse, no es casualidad que439 de las 500 supercomputadoras mas potentes del mundo, que suman un increıble total de 2,099,535 procesadores,ejecuten Linux, mientras que unicamente cinco de ellas corre alguna version de Windows1.

Seguridad

Ya los usuarios experimentados de Windows sabran que una memoria flash USB no puede conectarse a cualquiercomputadora. A menos que quiera ser responsable de una expansion mayor de algun virus o arriesgarse a perder susdatos, la computadora donde conecta su memoria deberıa estar los suficientemente resguardada como para saber,con una alta probabilidad, que no tiene virus alguno. Lastimosamente, tener ese alto nivel de confianza no es algofacil de lograr en Windows.

Crealo o no, el tiempo promedio transcurrido antes que una PC (conectada al Internet con una instalacion pordefecto del Service Pack 2 de Windows XP) contraiga un virus es 40 minutos, y dicha cifra puede llegar tan bajocomo 30 segundos. Ante esa situacion tiene dos opciones.

La primera es instalar Windows, cortar la conexion de internet e instalar un cortafuegos, un antivirus y unanti-adware/spyware. Conectar la computadora a Internet y descargar todas las actualizaciones de seguridad desdeel sitio de Microsoft. Luego esperar a que los piratas no sean los suficientemente listos para contrarrestar estasdefensas y que, en caso una falla de seguridad sea descubierta, Microsoft se tarde menos de un mes en publicar unaactualizacion. Si todo esto le suena un poco exagerado, preguntele a cualquier usuario avanzado de Windows y veraque estos son los pasos necesarios para poder aumentar un poco la seguridad del sistema.

En mi humilde opinion, su segunda opcion es mucho mas facil: instale Linux y navegue tranquilamente de aquıen adelante.

Es curioso como una de las preguntas mas frecuentes que recibo de personas que han instalado Linux por primeravez es “¿Que antivirus me recomienda?”. Mi respuesta es simple: “ninguno”. Y una vez mas quiero aclarar queeso no quiere decir que Linux sea perfecto y no se encuentren virus para el. De hecho, se considera que existenalrededor de 200 virus para Linux, pero a excepcion de Slapper, que infecto a servidores web (no escritorios normalesde usuario) en 2002, ninguno de ellos ha logrado infectar mas que un numero insignificante de computadoras fuerade su ambiente original. Compare esto con los 75,000 virus, troyanos, gusanos y spyware conocidos para Windowsy la facilidad con la que estos infectan el sistema.

Muchos defensores de Windows adjudican dicha diferencia al hecho que la cantidad de usuarios de Windows esabismalmente mas grande que la cantidad de usuarios de Linux, y, por lo tanto, los creadores de virus se enfocanen Windows para lograr la mayor cantidad de infecciones posible. Sin embargo, dicho razonamiento se viene abajocuando se toma en cuenta que un estimado del 51% de los servidores Web en Internet corren Apache (que es softwarelibre, al igual que Linux) y solo un 33% corren el Internet Information Server (IIS) de Microsoft2, y aun ası haymuchos mas ataques dirigidos a IIS, que contiene un numero significativamente mayor de agujeros de seguridad.

Para realmente lograr entender ese contraste en la cantidad de virus disponibles para cada sistema deben recono-cerse las razones principales por las que los virus y gusanos logran propagarse de computadora en computadora:ingenierıa social, mal diseno y baja calidad del software.

Analicemos primero los efectos de un sistema de baja calidad. Cuando un “bicho” (bug)3 es descubierto porlas personas equivocadas, puede ser usado para obtener acceso privilegiado a recursos dentro de una computadora.Con “acceso privilegiado” me refiero a permiso para enviar cualquier tipo de informacion a traves de Internet (comonumeros de tarjetas de credito) y de modificar cualquier archivo, pudiendo tomar control total sobre el sistema.Este fue precisamente el caso del gusano Blaster, que se aprovecho de un error de programacion en un componentefundamental de Windows 2000 y Windows XP para infectar a miles de computadoras y realizar un ataque conjuntoal sitio windowsupdate.com de Microsoft en Agosto de 2003.

La calidad de un sistema de computadoras, por lo tanto, puede medirse a traves de su densidad de bichos. Deacuerdo al Instituto de Ingenierıa de Software de la Universidad Carnigie-Mellon4, el software propietario en generaltiene de 1 a 7 errores de programacion por cada 1,000 lıneas de codigo fuente5. En un sistema de 5.7 millones de

1http://www.top500.org/stats/list/32/osfam2http://news.netcraft.com/archives/web server survey.html3Nombre comun dado a los errores dentro de un programa de computadoras4http://www.cyberpartnership.org/index.html5Serie de instrucciones escritas en un lenguaje de programacion

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lıneas de codigo como el nucleo de Linux, por lo tanto, se espera entre 5,700 y 40,000 errores de programacion.Sin embargo, un proyecto de investigacion de cuatro anos conducido por la companıa de analisis de codigo fuente6

Coverity encontro unicamente 985 errores en el nucleo de Linux, con una tendencia a disminuir dicho numero apesar de incrementarse el numero de lıneas de codigo.

Aun cuando la polıtica de codigo cerrado de Windows impide la realizacion de un conteo de errores similar alrealizado sobre el nucleo de Linux, basta basarse en la gravedad de los problemas y en la frecuencia relativa conla que Microsoft y la comunidad de Linux deben realizar actualizaciones crıticas de seguridad a sus sistemas paradeterminar intuitivamente que sistema tiene menos errores de programacion. Desde luego, Linux sale triunfantepor mucho sobre la familia de Windows.

Pero dado que los puristas no estaran satisfechos por el analisis empırico del parrafo anterior, asumamos porun momento que Windows y Linux tienen la misma cantidad de errores de programacion. Despues de todo, si bienel numero de errores en un sistema aumenta la probabilidad que este sea atacado, no garantiza que dichos erroressean descubiertos o que sean lo suficientemente graves para que un intruso pueda apoderarse del sistema. Bajo esapremisa, no es el numero de errores lo que importa sino mas bien que tan rapidamente un problema de seguridadpuede ser resuelto una vez ha sido descubierto. En ese sentido, se ha estimado que el modelo de codigo abierto deLinux asegura que dado que un error de seguridad en un programa puede ser resuelto por cualquier miembro dela comunidad, la solucion (y la correspondiente actualizacion) usualmente aparece a pocos dıas, e incluso a pocashoras, de haber sido descubierto. Por otro lado, en repetidas ocasiones Microsoft ha tardado hasta un mes parapublicar soluciones a problemas ampliamente conocidos y, con igual frecuencia, disfraza actualizaciones de seguridadcomo “nuevas caracterısticas” del sistema operativo.

Tambien es necesario en este momento remarcar los peligros del dominio de un solo sistema operativo mencio-nando los peligros inherentes de cualquier monocultivo, ya sea biologico o tecnologico. De la misma manera queuna de las razones por las que la diversidad biologica dentro de una poblacion de criaturas vivientes es deseablepara reducir el riesgo que una enfermedad (como un virus) pueda destruir completamente todos los miembros dela poblacion, la diversidad en los ambientes de computadoras ayuda a proteger los usuarios de dichos dispositivos.El hecho que casi el 80% de las computadoras en el mundo ejecuten los sistemas operativos de Microsoft, haceque un buen porcentaje de dichas computadoras sean practicamente vulnerables a los mismos virus y gusanos almismo tiempo. Esto, a su vez, significa que un buen porcentaje de sistemas vitales puede ser deshabilitado de unsolo golpe, como fue el caso de las infecciones de los virus/gusanos Melissa en 2002, Blaster y Slammer en 2003,habiendo infectado este ultimo a 75,000 computadoras en los primeros 10 minutos de distribucion, ocasionandodanos estimados de 1.2 mil millones de dolares en todo el mundo.

Pero dejenme llegar aun mas alla y asumir que ni Windows ni Linux tiene problema alguno de seguridad.Despues de todo, estudios han indicado que aunque la explotacion de errores de programacion es la manera masrapida por la cual un virus puede expandirse, no es la manera como la mayorıa de virus, troyanos y gusanos semultiplican. Y es aquı donde podemos empezar a entender la importancia de los errores en el diseno de un sistemay de la ingenierıa social.

En este contexto, ingenierıa social es el arte de enganar a alguien para hacer algo que no deberıa o para revelaralgo que debiera mantenerse en secreto. Los autores de virus utilizan ingenierıa social para convencer a personaspara hacer cosas ingenuas, como abrir archivos adjuntos infectados de virus en un correo electronico. Un programamal disenado hace que la ingenierıa social cumpla su cometido mucho mas facilmente, pero tambien puede derrumbarlos esfuerzos de una organizacion o individuo con buenas practicas de seguridad.

Analicemos primero el rol de un sistema mal disenado con respecto a la ingenierıa social. Los programas deWindows son considerados ejecutables dependiendo de la extension de los archivos. Ası que si el nombre de unarchivo termina con .exe o .scr, puede ser ejecutado como un programa (claro esta, el archivo debe contenerinstrucciones validas para la computadora). Es facil ejecutar uno de estos archivos en el mundo de Windows, porlo que los usuarios que reciben correos con datos adjuntos, supuestamente de personas conocidas, pueden ejecutarun virus con solo presionar el boton izquierdo sobre el archivo. Pero quizas lo mas alarmante es que el programade correos de Microsoft puede infectar una computadora con solo hacer algo tan inofensivo como leer un correoelectronico. Y mi testigo principal es el mismo Microsoft a traves de los boletines de seguridad7 que muestran queha aparecido al menos un virus importante de este tipo por ano en los ultimos cinco anos. Y aun cuando las ultimasversiones de Outlook bloquean por defecto la mayorıa de archivos adjuntos ejecutables, aun es posible derrotardichas medidas de seguridad8. La ultima version de Windows, Vista, ha tratado de disfrazar eso con confirmacionesal usuario, que terminan siendo tan engorrosas que la mayorıa de personas termina deshabilitandolas o simplemente

6Las herramientas de analisis de codigo fuente normalmente utilizan principios de diseno de software para analizar un programa ymarcar posibles errores.

7Vea, por ejemplo, los boletines MS99-032, MS00-043, MS01-015, MS01-020, MS02-068, o MS03-0238http://www.slipstick.com/outlook/esecup/getexe.htm

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presionando el boton “continuar”.Este tipo de ingenierıa social, tan facil de lograr en Windows, requiere de muchos mas pasos y mucho mayor

esfuerzo por parte del usuario de Linux. En lugar de simplemente leer un correo, un usuario de Linux debe leerel correo, guardar el archivo adjunto, darle permisos de ejecucion y, finalmente, correr el archivo ejecutable. Masaun, debido a la fuerte separacion entre un usuario normal y el usuario privilegiado (llamado root) en Linux, elusuario debe ejecutar el programa como root para poder hacer dano alguno al sistema. Puede danar sus archivospersonales, pero el virus no causara danos a los archivos de otros usuarios o al sistema mismo. Ya que a los usuariosde Linux se les recomienda desde el principio a ejecutar como root solo aquellos programas que sean completamentenecesarios para la administracion del sistema, es obvio que existe una baja probabilidad que virus y gusanos que seesparcen a traves de la ingenierıa social lleguen a realizar infecciones en masa.

Desafortunadamente, ejecutar programas como root (o, en el lenguaje de Windows, “Administrador”) es muycomun en el mundo de Windows. De hecho, Windows XP, el cual antes de Vista era considerado el mas seguro delos sistemas operativos de Microsoft para el usuario comun, y que aun es utilizado ampliamente en el mercado, au-tomaticamente adjudica al primer usuario del sistema los permisos de Administrador con el poder de hacer cualquiercosa que se desee dentro del sistema. Eso se traduce en que cualquier programa (lease “virus”) ejecutado por dichousuario tiene el mismo poder dentro de la computadora. Pero esto no es todo. Incluso si el sistema operativo hasido configurado correctamente, con una cuenta de Administrador y una cuenta de usuario no privilegiado, los pro-gramas instalados por un usuario no administrativo pueden agregar librerıas dinamicas y otros archivos de sistemaque pueden ser ejecutados a un nivel de seguridad que puede danar al sistema.

Costo

Probablemente lo primero que deba preguntarle es “¿cuanto pago por Windows?”. Muchos responderan “nada”,pero, ¿estan completamente seguros de ello? A menos que usted haya comprado una computadora sin marca queno venıa con una instalacion de Windows y, despues de eso, obtuvo una copia de Windows ilegalmente, usted pagoalrededor de $100 por un pedazo de papel con un numero de serie pegado a un costado o en la parte trasera de sucomputadora que le otorga el derecho de utilizar el sistema operativo que tanto quiere.

Pero ese es solo el principio. Estoy seguro que pago por el resto de programas que utiliza a diario, ¿o meequivoco? Es posible que la respuesta sea “no, no se equivoca” y que usted haya pagado cientos de dolares porprogramas como Microsoft O!ce, Adobe Acrobat Professional o MatLab. Sin embargo, incluso aquellos que hayancomprado sus programas no pueden negar que las copias ilegales de software son muy comunes en nuestro ambiente.Despues de todo, no todos podemos pagar $350 por Word, Powerpoint y Excel. El problema es que a medida queel tiempo avanza, los creadores de software estan ideando nuevas maneras de detectar a los propietarios ilegales yencontrar los programas necesarios para contrarrestar dichas medidas de seguridad no siempre esta al alcance deun usuario comun. Con la baja de los precios de hardware de computadoras, el costo de software en general puedesignificar un alto porcentaje del precio de la computadora.

Por otra parte, Linux y el conjunto de programas que componen el sistema se basa en las licencias GPL delGNU, que permiten la colaboracion comunitaria para la creacion de programas. En pocas palabras, eso significa nosolo que usuarios de todo el mundo pueden tener acceso irrestricto al codigo fuente y empresas y usuarios puedenmodificarlo para satisfacer sus necesidades particulares, sino tambien que todo esto pueden tenerlo sin costo alguno.Las distribuciones modernas de Linux, como Ubuntu, instalan por defecto el OpenO!ce, un conjunto de programasde oficina similar al Microsoft O!ce, y otros programas de productividad. La obtencion de nuevos programas puedehacerse con paquetes instaladores o, si se tiene una conexion de Internet, a partir de las librerıas de programas dela distribucion especıfica sin costo adicional.

Incluso muchos gobiernos han visto la factibilidad tanto economica como del modelo de desarrollo de Linux,incluyendo a las ciudades de Munich y Viena, el gobierno Espanol, Peruano y Venezolano.

Debo notar que la experiencia de usuario de Linux no es completamente perfecta y hay programas como elOpenO!ce que aunque tienen todas las funciones principales de MS O!ce, les falta un poco el trabajo en el area deexperiencia al usuario. Sin embargo, la experiencia de usuario, incluyendo efectos de escritorio similares y mejoresque los del Aero de Windows, ha mejorado mucho. De la misma manera, como mencione al inicio, puede que algunastareas para las que ya este acostumbrado en Windows se realicen de forma diferente en Linux, pero basta un pocode costumbre para hacer el cambio, tal y como basto un poco de costumbre para comenzar a realizar dichas tareasen Windows.

Tambien es de admitir que Linux no es para todos. Aquellos para quienes sean imprescindibles programasespecializados o cientıficos hechos exclusivamente para Windows o aquellos que gusten de los juegos modernosdeberan seguir utilizando Windows. Aunque siempre tienen la opcion, como yo, de instalar ambos sistemas y utilizar

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Windows solo cuando sea absolutamente necesario. Sin embargo, para la mayorıa de personas Linux deberıa sermas que suficiente, y espero con este artıculo haber convencido a algunos de ustedes de al menos intentar dejar elvicio de Windows. Es paso a paso, pero es posible. Yo lo hice.

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Problemas propuestos. Nivel 1Arnoldo Aguilar

1. (American Mathematics Contest 10, 2009) Calcular la suma de los dıgitos del numero 1111111112

sin efectuar la multiplicacion.

2. (Olimpiada mexicana 2007) Encontrar el valor numerico de la expresion

20092 ! 20082 + 20072 ! 20062 + · · · + 32 ! 22.

3. (Olimpiada Nandu 1996) En el juego de “PAN Y QUESO” dos ninos dicen PAN, QUESO enforma alternada y van uno al encuentro del otro siguiendo la lınea punteada y poniendo un piejunto al otro. Gana aquel que pisa primero al oponente.

En el recreo se armaron dos equipos de tres ninos para jugar. En el equipo de Anıbal los trescalzan 40 (40 cm), mientras que los ninos del equipo de Blas calzan 33, 34 y 35. La lınea punteadadel juego mide 775 cm. Cada equipo elige a un nino para jugar.

Si inicia el juego el equipo de Anıbal, ¿a quien debe elegir Blas para ganar?Si inicia el juego el equipo de Blas, ¿a quien debe elegir este para ganar?

4. (Olimpiada de Mayo 2003) Determinar el menor entero positivo que termina en 56, es multiplode 56 y tiene la suma de sus dıgitos igual a 56.

5. (Olimpiada Rioplatense 1999) Diremos que un entero positivo es bueno si no contiene el dıgito0 ni el dıgito 1. Para cada numero bueno entre 1 y 1000 se calcula el producto de sus dıgitos.¿Cual es el valor de la suma de todos esos productos?

Problemas propuestos. Nivel 2Riquelmi Cardona, Eder Jacobo

1. (Olimpiada inglesa 2007) Calcular el valor de la siguiente expresion sin utilizar calculadora:

14 + 20084 + 20094

12 + 20082 + 20092.

2. (Olimpiada espanola 1993) En una reunion hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes. Sesabe que entre cada grupo de 6 personas al menos dos tienen la misma edad. Demostrar que hayal menos 5 personas del mismo paıs, de la misma edad y del mismo sexo.

3. (Propuesto para la APMO 2009) Sean a1, a2, . . . , a7 numeros reales mayores que !1 tales que

a31 + 1!

a52 + a4

2 + 1+

a32 + 1!

a53 + a4

3 + 1+ . . .

a36 + 1!

a57 + a4

7 + 1+

a37 + 1!

a51 + a4

1 + 1" 9.

Demostrar que

a21 + 1!

a52 + a4

2 + 1+

a22 + 1!

a53 + a4

3 + 1+ . . .

a26 + 1!

a57 + a4

7 + 1+

a27 + 1!

a51 + a4

1 + 1# 5.

4. (Olimpiada alemana 1996) Comenzando desde el punto (1, 1), una ficha se mueve en el planode acuerdo a la siguiente regla: En un movimiento se puede duplicar una de las coordenadas, obien restar la coordenada mas pequena de la mayor. Determinar el conjunto de puntos (x, y),donde x e y son enteros positivos, que pueden ser alcanzados por la ficha luego de una serie demovimientos validos.

5. (Olimpiada estonia 2007) Se trazan dos circunferencias en el interior de un paralelogramo ABCDde modo que la primera es tangente a los lados AB y AD, mientras que la segunda es tangentea los lados CB y CD. Si las circunferencias son tangentes entre sı y se tocan en el punto K,demostrar que K esta sobre la diagonal AC.

Seccion de Olimpiadas

Presentamos a continuacion los problemas de la XXI Asian Pacific Mathematics Olympiad, celebrada el 10de marzo de 2009.

1. Dada una pizarra con varios numeros reales escritos en ella, se efectua repetidas veces la siguienteoperacion: Se borra un numero r escrito en la pizarra y en su lugar se escriben dos numeros realespositivos a y b que cumplan con la condicion 2r2 = ab. Inicialmente hay un solo numero r en la pizarra.Luego de aplicar la operacion k2 ! 1 veces, probar que entre los k2 numeros resultantes existe uno deellos que es menor o igual que kr.

2. Sean a1, a2, a3, a4, a5 numeros reales que satisfacen

a1

k2 + 1+

a2

k2 + 2+

a3

k2 + 3+

a4

k2 + 4+

a5

k2 + 5=

1k2

para k = 1, 2, 3, 4, 5. Encontrar el valor numerico (expresado como una fraccion simple) de la siguienteexpresion:

a1

37+

a2

38+

a3

39+

a4

40+

a5

41.

3. Sean !1, !2 y !3 tres circunferencias mutuamente exteriores y que no se cortan. Para todo punto P delplano, se toman puntos A1 y B1 sobre !1 de manera que PA1 y PB1 son tangentes a !1, y se definende manera analoga los puntos A2, B2, A3, B3. Decimos que P es excepcional si se cumple que A1B1,A2B2 y A3B3 son concurrentes. Probar que, si existen, todos los puntos excepcionales del plano sonconcıclicos.

4. Demostrar que para todo entero positivo k existe una sucesion aritmetica de numeros racionales

a1

b1,

a2

b2, . . . ,

an

bn

donde ai y bi son enteros positivos coprimos para i = 1, 2, . . . , k tales que a1, b1, a2, b2, . . . , an, bn

son todos distintos.

5. Ludwin y Ramon manejan un carro desde Guatemala a San Salvador, pero lo hacen de acuerdo a lassiguientes reglas: Contando desde el punto de partida, Ludwin vira 90! a la izquierda cada ! kilometros,y Ramon vira 90! a la derecha cada r kilometros, donde ! y r son dos enteros positivos primos entresı. En caso de que ambos tengan que doblar al mismo tiempo, el carro prosigue su marcha sin cambiarde direccion. Asumiendo que el carro se puede mover en cualquier direccion sobre el plano, determinarlas parejas de enteros positivos (!, r) que garantizan que este llegara a San Salvador sin importar ladistancia entre las dos ciudades.

Tiempo permitido: 4 horasCada problema vale 7 puntos

Columna de problemas

1. Una profesora de matematicas reparte una pila de cubitos de lado 1 entre sus N estudiantes dela siguiente manera: Ordena a los alumnos en fila, y al primero le entrega 1 cubito, al segundo3+5 cubitos, al tercero 7+9+11 cubitos, y ası sucesivamente hasta el N -esimo alumno.

a) Demostrar que el el numero total de cubitos repartidos por la profesora es un cuadradoperfecto.

b) Probar que para 1 ! k ! N , el k-esimo nino de la fila puede construir un cubito de lado kusando los cubitos que recibio.

Comentario del editor. Estos resultados son conocidos desde la antiguedad; generalmente seatribuyen al griego Nicomaco de Gerasa (60-120 d.C.).

Propuesto por Ivan Gonzalez, Instituto Tecnologico y de Estudios Superiores de Monterrey

2. Una caja contiene p bolas blancas y q bolas negras, y fuera de ella hay una pila de bolas negras.Se extraen dos bolas de la caja. Si las bolas son del mismo color, se reemplazan con una bolanegra de la pila. Si las bolas son de diferente color, se devuelve a la caja solo la bola negra. Si serepite este proceso hasta que queda una sola bola en la caja, calcular la probabilidad de que laultima bola sea blanca. (Examen selectivo para la Olimpiada Iberoamericana 2006)

Propuesto por Jonathan Gamez, Universidad Centroamericana “Jose Simeon Canas”

3. Dada la funcion f(x) = "x2 + 4px" p + 1, con p # Q, sea A el area del triangulo determinadopor el vertice de la parabola y las dos intersecciones de f(x) con el eje x. Determinar todos losvalores de p para los que A es entero. (Bulgarian Spring Competition 1995)

Propuesto por Gabriel Chicas, Universidad de Tokio

4. A y B participan por turnos en el siguiente juego. Se tiene una baraja de 40 cartas de 4 coloresdiferentes, 10 de cada color, y ademas las cartas de cada color estan numeradas del 1 al 10. Alcomenzar el juego A y B se reparten 20 cartas cada uno. En cada turno un jugador puede colocaruna carta sobre la mesa de juego, o bien retirar un grupo de cartas tales que la suma de susvalores sea 15. Al finalizar el juego, se sabe que A tiene un 5 y un 3, B tiene una sola carta, yun 9 quedo sobre la mesa. Encontrar el valor de la carta de B. (Olimpiada italiana 2006)

Propuesto por Eder Jacobo, Universidad de El Salvador

5. Hallar las condiciones necesarias y suficientes para garantizar que la curva y = log x y la rectay = px + q no tengan puntos en comun. (Examen de admision de la Universidad de Kioto 2008)

Propuesto por Gabriel Chicas, Universidad de Tokio