UNA PRESENTACIÓN SOBRE LOS PRIMEROS CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL

CÁLCULO; LA RELACÍON ENTRE DERIVADAS E INTEGRALES DEFINIDAS

Notación Sigma y el

Teorema Fundamental del Cálculo

Universidad Fermín ToroIngeniería EléctricaSemestre 2013/02Asignatura: Matemática II

Prof. Domingo MéndezIntegrante:

Thomas TurkingtonC.I. 20488982

Secuencias y Series Aritméticas

La Suma de Riemann o sumatoria es utilizada para sumar una serie de términos de una secuencia aritmética.

Esta suma se denomina serie aritmética.

Este es un ejemplo de una secuencia aritmética:

Este es un ejemplo de una serie aritmética:

1,2,3,4,5.......N

1 2 3 4..... N

Notación Sigma (Suma de Riemann)

La sumatoria se utiliza como un atajo para realizar la suma de términos que corresponden a una serie, para no tener que sumarlos uno por uno.

La notación generalizada para una serie aritmética se representa utilizando la notación sigma:

En la parte superior e inferior se especifica el tamaño del intervalo en que se desarrollará; p. ej. desde 1 hasta 6. Estos números se denominan “índice inferior” e “índice superior”

“N” es un entero y representa el índice superior. Siempre será mayor o igual que el inferior

“k” representa el índice inferior, y puede comenzar en cualquier entero

La expresión delante del símbolo de la sumatoria, siempre contendrá la variable, en este caso es

Desarrollando la expresión anterior tenemos la serie aritmética:

1

N

kk

x

kx

1 2 3 4 11

....N

k N Nk

x x x x x x x

Uso de la Derivada

Que tiene que ver la sumatoria con integración? Poco a poco. Primero tenemos que saber algo de que es una derivada.

Consideremos la siguiente gráfica. (figura 1.) La forma de la curva representada nos indica que no podemos utilizar los métodos para una recta, donde la razón de cambio es constante. Aquí la razón de cambio va en aumento, por lo tanto al derivar la función obtendremos la razón media de cambio para la curva. (figura 2.)

La curva que representa la función dada.

La recta que representa la derivada de la función de la curva, es decir la razón media de cambio para la curva.

La Sumatoria y la Integral definida

Por supuesto, queremos hallar un valor mas ajustado al área bajo la curva que la razón media de cambio. Resulta que si es posible, con el uso de la sumatoria en la integral definida.

Derivando la función, hallamos la pendiente de la gráfica de f en x , y también la razón instantánea de cambio en y con respecto a x.

Supongamos que dividiéramos el área bajo la curva en varias particiones rectangulares. Si sumamos el área de cada uno de estos rectángulos, tendríamos una aproximación al área bajo la curva, y a la vez el valor de la magnitud que buscamos. Para hallar el área de cualquier rectángulo multiplicamos el intervalo recorrido por la curva f(x), (la altura de un rectángulo), por el intervalo d(x) recorrido en x (la base del rectángulo).

Si dividimos el área bajo la curva en una cantidad infinita de particiones rectangulares muy angostas, podríamos usar el limite mientras d(x) tiende a 0 y la cantidad de rectángulos tiende al infinito para hallar un resultado mas ajustado a la realidad. Para esto utilizamos las propiedades de la sumatoria, utilizando una notación muy similar a la notación sigma…la integral definida.

La Integral Definida

La Integral Definida se utiliza para hallar el área bajo la curva contenida entre la función f(x), el eje x, y los dos limites a y b.

El símbolo de la integral se puede comparar a el sigma. En la parte inferior esta el limite inferior del intervalo cuya área que se quiere calcular, y en la parte superior está el limite superior del intervalo cuya área se quiere calcular, como está indicado en la figura 3.

( )b

a

f x dx

Para hallar el área bajo la curva utilizando la integral definida, hay que hallar la antederivada de la función, luego evaluar el resultado en b, después en a, y la diferencia de b – a es el área bajo la curva.

(El Teorema fundamental del Cálculo.) Sea f una función continua (y por lo tanto integrable) en [a,b] y sea F una antiderivada cualquiera de f en el.Entonces,

( ) ( ) ( )b

a

f x dx F b F a

Teorema de Valor Medio para Integrales

Este teorema es sencillo y quizas al parecer de poca importancia, pero es necesario para la resolucion de problemas mas adelante.

  Dada una función "f" contínua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un valor dentro del mismo, tal que la derivada de la función evaluada en "c", representa dicho valor promedio, conocido también como valor medio para integrales.

Analiticamente:

( ) ( ) ( )b

a

f x dx b a f c

Sustitución o Cambio de Variable

A veces se da el caso de una integral que no podemos evaluar directamente usando los teoremas de integración. Hay algunas funciones que debemos modificar y expresar de forma que no cambie el resultado final, pero así podremos hallar su antederivada.

En estos casos la función a integrar tendrá una expresión que resulta de derivar otra parte de ella, esto nos indica que debemos realizar la sustitución con alguna variable. Veamos un ejemplo para aclarar lo que estamos diciendo:

Vemos aquí que está la derivada de –cos x muy cerca, o sea sin x. Por lo tanto, si cosx=u, entonces –sin x = du.

Antes de continuar, debemos hacer la sustitucion en los limites de la integral definida, o tambien podriamos reemplazar el cambio primero, regresar el cambio, y luego evaluar los limites. Haremos lo anterior.

Cuando x = π/2, u = cos π/2. Cuando x = π, u = cos π. Por lo tanto, tenemos:

2

2

(cos ) ( sin )x x dx

1cos 1 32 2

0 0cos 2

1

3 3

uu dx u dx

¡Muchas Gracias!