Matematicas I

Cristian Reyes R.

Otono 2002

Indice General

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Capıtulo 1

Introduccion

En este curso introduciremos algunos conceptos matematicos, algunas ideasque han sido utilizadas desde siglos y formalizadas desde hace no tanto; estasideas y conceptos si bien son ocupados en casi todas las carreras que usanmatematicas no son tan importantes en sı como el metodo que usaremospara desarrollar nuetras teorias, es probable que las definiciones que dare-mos se olviden luego de acabado el curso, y es probable que, como armas,las construcciones que haremos no se ocupen nunca o tal vez, a priori, no seentienda del todo que se quiere hacer o a que se quiere llegar; sin embargo, loque queremos lograr es que los estudaintes puedan ser originales en la formade abordar los problemas en cualquier area o en la vida cotideana, que seanordenados mentalmente, que logren encontrar la escencia de los problemas,que en cada instancia se bucee hasta encontrar lo realmente importante ypoder relacionar aquello con otros problemas en otras areas que en un prin-cipio no tiene nada que ver con el contexto en cuestion.

Las matematicas para muchos es un lenguaje preciso, exacto e ideal ( idealen el sentido de Platon), que permite modelar situaciones de la vida cotideanay resolver problemas en Biologıa, Quımica, Fısica, Ingenierıa, Economıa, in-cluso en Antropologıa, Psicologıa, Sociologıa, Filologıa y otros. Para otros esuna ciencia, que tiene sus fundamentos, sus metodos y sus resultados.

En Biologia (el estudio de los seres vivos) aun no existe un consenso endecidir que es un “ser vivo, de hecho la Facultad de Ciencias de nuestraUniversidad tiene una de las mas reconocidas definiciones de ser vivo dadapor Humberto Maturana; sin embargo se hace Biologıa y se avanza y se logranresultados que tal vez permitan despejar algunas dudas. El origen de lo vivoes tambien un asunto no resuelto,“imaginarse las condiciones en que ocurrio

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eso es un tema que a los biologos apasiona, la forma en que lo vivo surge delo no-vivo es una pregunta fundamental, pero aun no resuelta.

En Fısica han habido varias teorıas para explicar el origen del universo,las revoluciones no han sido pocas en Fısica. En Quımica los modelos paraexplicar la teorıa atomica tampoco ha sido unica.

Es decir, se suponen cosas ciertas para todos a modo de convenio y se tra-baja en ese contexto asumiendo que son “leyes basicas sin explicacion, peroque la intuicion acepta sin mayores reparos. Cuando uno busca una palabraen el diccionario ocuure algo similar, por ejemplo la palabra: Rubefaccion:Rubicundez producida en la piel por un medicamento irritante. En este ejem-plo el diccionario esta suponiendo que conocemos las palabras: Rubicundez,producida, en ,la ,piel, por, un, medicamento, irritante. Entonces alguien po-drıa decir que podemos ir al diccionario de nuevo y buscar las palabras queno conocemos ; OK, vamos. Rubicundez: Calidad de Rubicundo. Y sigamos,Rubicundo: Dıcese de la persona de rostro muy colorado. En ese punto unopuede hacerse una idea de lo que se trata y este metodo funciona bien, perosin duda que suponemos un conocimiento basico de la lengua castellana. Dehecho el diccionario no define muchas palabras o se “pisa la cola definiendopalabras a partir de sinonomos que nunca aparecen como conceptos indepen-dientes.

En matematicas tambien hay conceptos basicos que no se definen y seaceptan como obvios, porque la intuicion dice que ası es como debe ser, sinembargo nadie lo puede demostrar, ni tampoco probar que son falsos. Losmatematicos a esas leyes basicas para las cuales no hay demostracion lesllaman Axiomas, y a aquellas leyes que se deducen a partir de esos axiomasles llama Teoremas o Proposiciones y a las concecuencias inmediatas de esosteoremas les llaman Corolarios.

Por ejemplo, uno de los teoremas mas famosos en la ensenanza media esel Teorema de Pitagoras, ( que ni siquiera se sabe si ese resultado se debeefectivamente a Pitagoras o a uno de sus discipulos) dice lo siguiente:

Teorema 1.0.1 (Teorema de Pitagoras) La suma de las areas de los cuadra-dos en los catetos es igual al area del cuadrado formado en la hipotenusa.

¿Por que eso es cierto? ¿Por que siempre lo hemos ocupado, asumiendoque nuestro profesor no nos mintio? ¿Como convencernos de eso? ¿Comodemostrar esto?Demostracion:

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Consideremos un triangulo rectangulo de catetos a, b e hipotenusa c, comomuestra la figura

ahora dispongamos cuatro triangulos congruentes a el, como muestra la figu-ra, formando un cuadrado de lado a + b encerrando un cuadrado de lado c,como muestra la figura

Ahora bien, el area de la figura achurada es por un lado el area del cuadradoexterior menos el area del cuadrado interior, y por otra parte es cuatro vecesel area del triangulo en cuestion. Es decir,

(a+ b)2 − c2 = 4(ab

2)

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desarrollando el cuadrado resulta

a2 + 2ab+ b2 − c2 = 2ab

sumando a ambos lados c2 − 2ab resulta:

a2 + b2 = c2

que es exactamente lo que querıamos probar.2Eso es una demostracion del teorema de Pitagoras, pero para eso asum-

imos que el area de un cuadrado es el cuadrado del lado, que el area de untriangulo es la mitad de la base por la altura, que a, b, c son numeros realeslos cuales se suman, se multiplican, y tienen una ley distrubutiva que nos per-mite desarrollar el cuadrado del binomio, tambien suponemos que conocemosalgunas propiedades de ecuaciones,. . . , etc.

Este ejemplo, espero que muestre la necesidad de suponer algunas cosasbasicas, y desde allı desarrollar algunas ideas mas interesantes. Esos axiomasseran los cimientos sobre los cuales edificaremos nuestro castillo. Algunos delos conceptos que no definiremos son: Conjunto, pertenencia, inclusion, lasotras cosas las nombraremos en el camino y les llamaremos axiomas, y en sumomento las comentaremos.

Esperamos que este curso sea aprovechado al maximo y que la discucionsea enriquecedora para todos.

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Capıtulo 2

Numeros Naturales

En este capıtulo estudiaremos a los numeros naturales, sus propiedades masimportantes, induccion matematica, aplicaciones en combinatoria, estudiare-mos algunas propiedades del binomio de Newton, del triangulo de Pascal, yalgunas ideas de probabilidades.

2.1 Induccion Matematica

Uno de los cimientos abstractos a cuales nos referimos en la introduccion esla exixstencia de los numeros naturales cumpliendo una de las propiedadesmas importantes que se llama Principio de Induccion Matematica, que unavez que se la mostremos les parecera una trivialidad, que en realidad lo es.

Para nosotros, los numeros naturales es el conjunto:

N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, . . . . . .que supondremos por todos conocido. Cuyos elementos estan ordenados demenor a mayor y cada elemento tiene un sucesor inmediato salvo el primerelemento (1).

1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < 10 < 11 < 12 < 13 < 14 < . . .

Como cada elemento tiene un sucesor inmediato, resulta que nuestro conjun-to es infinito, nunca se acaba. Una propiedad algebraica importante es quelos elementos de N se pueden sumar, es decir, dados dos numeros naturales lasuma entre ellos es de nuevo un numero natural, esta suma tambien la supon-dremos conocida. Esta suma es conmutativa y asociativa como sabemos. En

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sımbolos :a+ b = b+ a, a+ (b+ c) = (a+ b) + c

Tambien existe una multiplicacion en N, esto es, para cualesquiera par deelementos de N, el producto entre ellos es de nuevo un numero natural,esta multiplicacion tiene buenas propiedades: conmutatividad, asociatividad,tiene un elemento neutro, y distribuye con respecto a la suma. En sımbolos:

ab = ba, (ab)c = a(bc), 1a = a, a(b+ c) = ab+ ac.

Existe una propiedad, que es la que nos ocupara en esta seccion, queaparecera muy natural y obvia y resultara muy util, y es la siguiente: Supong-amos que tenemos un subconjunto A de N con las siguientes propiedades:

i) 1 ∈ Aii) Cada vez que un numero esta en A implica que su sucesor esta en A.

Entonces ¿Que podemos decir de A? Veamos, por i) tenemos que 1 ∈ A, por

ii) 2 ∈ A, pues 1 ya esta en A, ahora como 2 ∈ A por ii) 3 ∈ A, ahora como3 ∈ A por ii) 4 ∈ A y ası sucesivamente todos los elementos de N estan enA, entonces A = N. Esta conclusion que no se ve tan complicada es lo quellamamos el principio de induccion matematica o quinto postulado de Peano.Formalicemos esto.

Axioma 2.1.1 (Principio de Induccion Matematica, primera version)Sea A un subconjunto de los numeros naturales tal que:

i) 1 ∈ Aii) Si cada vez que un numero natural n esta en A implica que su sucesorn+ 1 esta en A.Entonces A = N.

Veamos algunas aplicaciones:

1 = 1

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52

7

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 62

Al parecer la suma de los primeros n impares resulta el cuadrado de n.Probemos esto por induccion. Ordenemos un poco y escribamos formal-

mente lo que queremos probar.

Ejemplo 2.1.1 La suma de los primeros n numeros impares es el cuadradode n. En sımbolos: Para cualquier n ∈ N se tiene

1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ 2n− 1 = n2

Demostremos la proposicion anterior por induccion.Demostracion:Sea A = n ∈ N/1+2+3+· · ·+2n−1 = n si logramos probar que A tiene lasdos propiedades de (2.1.1) entonces A = N y en ese caso todo numero naturalsatisfacerıa la proposicion en cuestion. Entonces basta probar que A satisfacei) y ii). Que 1 esta en A es obvio, pues la suma del primer impar es igualal primer cuadrado, resulta de la igualdad trivial 1 = 1. Ahora supongamosque n esta en A y debemos demostrar que n+ 1 esta en A. Que n esta en Asignifica que

1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ 2n− 1 = n2

eso es lo que estamos suponiendo (la llamaremos hipotesis inductiva). Y loque queremos probar es que n+ 1 esta en A, esto es,

1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ 2n− 1 + 2(n+ 1)− 1 = (n+ 1)2.

Notemos que

1+3+5+7+ · · ·+2n−1+2(n+1)−1 = 1+3+5+7+ · · ·+2n−1+2n+1

por hipotesis inductiva tenemos que

1+3+5+7+· · ·+2n−1+2(n+1)−1 = [1+3+5+7+· · ·+2n−1]+2n+1 = n2+2n+1

pero n2 + 2n + 1 = (n + 1)(n + 1) = (n + 1)2. Luego juntando el principiocon el final de nuestra cadena de igualdades se tiene:

1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ 2n− 1 + 2(n+ 1)− 1 = (n+ 1)2

que es lo que querıamos probar, entonces lo que hemos probado es que A = N,es decir, para cualquier numero natural n la suma de los primeros n numerosnaturales impares es igual al cuadrado de n. 2

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Una forma distinta de ver el principio de induccion es la siguiente: Con-sideremos una proposicion P que involucra a los numeros naturales, si esaproposicion P es satisfecha por n entonces diremos que n cumple P , ası porejemplo, para fijar ideas, podemos pensar en la proposicion: 2n + 1 es unnumero primo. Entonces, 1 cumple P , 2 cumple P , 3 NO cumple P , y asısucesivamente. Si necesitasemos decidir si P es falsa o cierta para todos losnumeros naturales, podemos hacerlo por induccion sin necesidad de usar ellenguaje de teoria de conjuntos, del siguiente modo:

Teorema 2.1.1 (Principio de Induccion, segunda version) Si P es unaproposicion para los numeros naturales, tales que:

i) 1 cumple P .ii) Cada vez que n cumple P tambien n+ 1 lo cumple.Entonces P es cierto para todo n ∈ NLa demostracion del teorema resulta de definir A = n ∈ N/n cumple P,

se deja al estudiante los detalles.Esta nueva version, que es lo mismo que antes escrito de otro modo, a

algunas personas le es mas comoda que la anterior, pues no se necesita ellenguaje de teoria de conjuntos.

Ejemplo 2.1.2 El producto de un numero natural por su sucesor es unnumero par.

Probaremos la afirmacion anterior por induccion. La proposicion es lasiguiente: Para cualquier n ∈ N se tiene n(n + 1) es par. Recordemos queun numero es par si se puede escribir como el producto de 2 por un numeronatural.Demostracion:i) 1 cumple P , pues 1(2)=2 que obviamente es par. ii) Supongamos que ncumple P esto es n(n + 1) es par. (Hip. inductiva) Debemos demostrar quen + 1 cumple P asumiendo cierta la hipotesis inductiva. Es decir, debemosprobar que (n + 1)(n + 2) es par, sabiendo que n(n + 1) es par. Notemosque (n+ 1)(n+ 2) = (n+ 1)n+ 2(n+ 1) ,el primer sumando es par por hip.inductiva y el segundo por que evidentemente es un multiplo de 2 y la sumade numeros pares es par, luego (n+ 1)(n+ 2) es par. Luego n+ 1 cumple Pcada vez que n la cumple. Luego todo numero natural multiplicado por susucesor es par.2

Muchos ejercicos de divisibilidad se pueden resolver por induccion, peroantes de mostrar un ejemplo, recordemos ese concepto.

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Definicion 2.1.1 Diremos que n es divisible por m, o m divide a n, o m esun factor de n,o n es un multiplo de m, si existe k ∈ N tal que n = mk.

Ejemplo 2.1.3 Para cualquier numero natural n se cumple que 7n − 4n esdivisible por 3.

i) 1 cumple la proposicion, de hecho, 71 − 41 = 7 − 4 = 3 = 3(1), que esclaramente divisible por 3.

ii) Supongamos que n cumple la proposicion, esto es, existe k ∈ N tal que7n − 4n = 3k y debemos demostrar que 7n+1 − 4n+1 = 3(algo). Notemos que

7n+1 − 4n+1 = 7(7n)− 4(4n) = (6 + 1)7n − (3 + 1)4n

pero (6 + 1)7n− (3 + 1)4n = 6(7n)− 3(4n) + [7n− 4n] = 3(27n− 4n) + 3k

pero 3(2(7n)− 4n) + 3k = 3(2(7n)− 4n + k)

Luego uniendo el principio con el fin de nustra cadena de igualdades se obtiene

7n+1 − 4n+1 = 3(2(7n)− 4n + k)

que es lo que queıamos probar. Luego para cualquier numero natural n setiene que 7n − 4n es divisible por 3. 2

Veamos un ultimo ejemplo antes de introducir nuevos conceptos.

Ejemplo 2.1.4 La suma de los primeros n numeros naturales es igual a lamitad del producto entre n y su sucesor.

Lo que queremos probar es que, para cualquier valor de n se tiene que

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + · · · · · ·+ n =n(n+ 1)

2

Demostracion:i)1 = 1(2)

2, luego 1 cumple la proposicion.

ii) Supongamos que n cumple la proposicion, esto es,

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + · · · · · ·+ n =n(n+ 1)

2,

y debemos probar que n + 1 cumple la proposicion, es decir, basta probarque

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + · · · · · ·+n+ (n+ 1) =(n+ 1)(n+ 2)

2.

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Notemos que

[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + · · ·+n] + (n+ 1) =n(n+ 1)

2+ (n+ 1)

por hipotesis inductiva y factorizando por (n+ 1) se tiene que

n(n+ 1)

2+ (n+ 1) = (n+ 1)(

n

2+ 1) = (n+ 1)

n+ 2

2=

(n+ 1)(n+ 2)

2

Uniendo el final y el comienzo de nuestra cadena de igualdades se tiene:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + · · · · · ·+n+ (n+ 1) =(n+ 1)(n+ 2)

2.

que es lo que querıamos probar.2Este resultado tambien demuestra la proposicion del ejemplo (2.1.2).

2.2 Sumatorias

Queremos notar que se vuelve un poco molesto escribir sumas del estilo

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + · · · · · ·+ n o

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + · · ·+ (2n− 1) + (2n+ 1)

de forma tal que escribiremos esas sumas de un modo mas abreviada, perosolo sera eso, un diminutivo para un nombre mas largo, no habra nada ocul-to ni misterioso, del mismo modo que a Jose Emilio Ignacio Del CarmenIrarrazaval Fernandez de Castro le llamamos Pepe.

Definicion 2.2.1 Si tenemos una coleccion finita de numeros, digamosa1, a2, a3, . . . , an, el simbolo

n∑i=1

ai

significara la sumaa1 + a2 + a3 + · · ·+ an

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Ası por ejemplo,

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + · · · · · ·+ n

se escribiran∑i=1

i

la suma1 + 4 + 9 + 16 + 25 + · · ·+ n2

se escribiran∑

k=1

k2.

Algunas propiedades claras de la sumatoria, ası le llamaremos al simbolo∑, que en realidad es la letra sigma mayuscula del alfabeto griego, son las

siguientes: (las demostraciones se dejan al estudiante.)

Propiedades 2.2.1 Si a1, a2, a3, . . . , an y b1, b2, b3, . . . , bn son dos con-juntos de numeros y c es un numero fijo cualquiera. Entonces:

1)n∑j=1

(aj + bj) =n∑j=1

aj +n∑j=1

bj

2)n∑

l=1

c(al) = c

n∑

l=1

al

3)Si 1 ≤ N ≤ n, entoncesn∑

m=1

am =N∑m=1

am +n∑

m=N+1

am.

4)(Propiedad Telescopica)n−1∑i=1

(ai+1 + ai) = an − a1

5)n∑

k=1

c = nc

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Usemos propiedades de la sumatoria para calcular algunas sumas, comence-mos con unas conocidas: Recordemos que

n∑

k=1

k =n(n+ 1)

2.

Calculemos ahora la misma suma, pero ahora de otro modo. Sabemos que(k + 1)2 − k2 = 2k + 1, entonces la suma:

n∑

k=0

(k + 1)2 − k2 =n∑

k=0

2k + 1

por propiedades de la sumatoria y reconociendo en el lado izquierdo de laigualdad una suma telescopica se tiene:

(n+ 1)2 = 2n∑

k=0

k +n∑

k=0

1

(n+ 1)2 = 2n∑

k=0

k + (n+ 1)

(n+ 1)2 − (n+ 1) = 2n∑

k=0

k

(n+ 1)((n+ 1)− 1) = 2n∑

k=0

k

(n+ 1)n = 2n∑

k=0

k

(n+ 1)n

2=

n∑

k=0

k

y comon∑

k=0

k =n∑

k=1

k por que?

se tiene lo que se querıa probar.

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Recordemos tambien que por induccion probamos que

n∑t=1

2n− 1 = n2,

veamos ahora lo facil que resulta usando propiedades de sumatoria:

n∑t=1

2n− 1 = 2n∑t=1

n−n∑t=1

1 = n(n+ 1)− n = n2.

En la guıa de ejercicios encontraran ejercicios suficientes para resolver.

2.3 Combinatoria

Otra de las aplicaciones de los numeros naturales, es que sirven para contar,ası de simple, es por eso que se llaman numeros naturales, por cuentan lascosas que estan en la naturaleza. Sin embargo contar, mas especıficamentecontar en forma ordenada no es un problema facil. Por ejemplo, ¿Cuantas di-agonales tiene un hexagono regular?, ¿Cuantas diagonales hay en un polıgonoregular de n lados? ¿Cual es el numero maximo de patentes que se puedecrear en Chile, con el actual formato? ¿Cuantos subconjuntos de k elementostiene un conjunto de n elementos?. Estas son las preguntas que intentaremosresponder en esta seccion.

Un problema clasico es el siguiente: Hay 7 personas con las cuales seformaran comites del siguiente modo: i) Dos personas estan en un unicocomite. ii)Dos comites tienen solo a una persona en comun. iii) Existen cuatropersonas tal que cada tres no estan en un mismo comite.

¿Existe tal confuguracion?¿Todos los comites tendran la misma cantidad de personas? ¿Cuantos

comites resultaron? Si tal configuracion existe, ¿cuantas existen?Las respuestas ya se conocen y son las siguientes:

Si las personas son Anastacio(A), Beatriz(B), Carmela(C), Diogenes(D),Eetela(E), Filordina(F) y Guillermina(G), una posible configuracion es lasiguiente:

A,E,C, A,F,B, A,D,G, B,E,D, B,G,C, C,E, F, F,E,G

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Invitamos a los estudiantes a verificar que efectivamente cumple con laspropiedades requeridas. No es difıcil comprobar que escencialmente es launica configuracion posible, cualquier otra difiere de la nuestra solo en uncambio de nombre de las personas. Ademas se puede probar que 7 es elmenor numero para el cual existe una tal configuracion, se invita al estu-diantado a verificar esta afirmacion, el siguiente numero posible es 13. Sinembargo, aun no se sabe con absoluta certeza para cuales existe y para cualesno, de hecho es un problema abierto en matematicas si para 111 existe unatal configuracion, existe una prueba computacional, pero aun ninguna conlapiz y papel. Si alguno de uds. lo resuelve el resultado se puede publicar enuna de las mas prestigiosas revistas matematicas del orbe.

Sin embargo, no nos detendremos en problemas tan difıciles, sino que enaquellos que podamos atacar prontamente.

Supongamos que queremos llegar a la azotea de un edificio, el edificiotiene 4 puertas de acceso y 3 ascensores . ¿De cuantas maneras distintaspuedo llegar hasta la azotea? Para responder a esto, podemos describir todaslas formas posibles y eso haremos, al menos una vez en la vida. Si las puertasson P1, P2, P3, P4 y los ascensores A1, A2, A3, si anotamos (Pi, Aj) cuandose entra por la puerta i y se sube por el ascensor j nos damos cuenta quetodas las formas distintas de llegar a la azotea son las siguientes:

(P1, A1), (P1, A2), (P1, A3),

(P2, A1), (P2, A2), (P2, A3),

(P3, A1), (P3, A2), (P3, A3),

(P4, A1), (P4, A2), (P4, A3)

que en total suman 12. Un diagrama, llamado diagrama de arbol, permitecontar las posibles formas de un modo mas simple:

Si uno cuenta las puntas finales de las flechas del ultimo paso se tiene queson 12. El diagrama de arbol muestra graficamente, lo que los matematicosllaman El Principio Fundamental del Conteo, que dice lo siguiente: Si unaaccion, o un resultado cualquiera, se puede obtener luego de realizadas dosetapas, si la primera etapa se puede realizar de n formas distintas y la segunda

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de m formas distintas, entonces el resultado se puede obtener de nm formasdistintas.

Esto ultimo se puede generalizar: Si una accion, o un resultado cualquiera,se puede obtener luego de realizadas n etapas, si la primera etapa se puederealizar de m1 formas distintas y la segunda de m2 formas distintas, la terceraetapa de m3 formas distintas, y ası sucesivamente, hasta llegar a la n−esimaetapa que se puede realizar de mn formas distintas, entonces el resultado sepuede obtener de m1m2m3 · · ·mn formas distintas.

Por ejemplo, si tenemos un abecedario de 26 letras y un conjunto de 10dıgitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, se quiere hacer patentes para automovilescon 6 casilleros, donde los 2 primeros estan formados por letras y los 4restantes por dıgitos.¿ Cuantos patentes se pueden crear?Respuesta:

Para la primera letra tenemos 26 posibilidades.Para la segunda letra tenemos 26 posibilidades.Para el primer dıgito tenemos 10 posibilidades.Para el segundo dıgito tenemos 10 posibilidades.Para el tercer dıgito tenemos 10 posibilidades.Para el cuarto dıgito tenemos 10 posibilidades.En total tenemos 26× 26× 10× 10× 10× 10 patentes distintas, esto es,

6.560.000 patentes diferentes.

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Otro ejemplo: ¿De cuantas maneras distintas podemos ordenar, n per-sonas en una fila?Respuesta Empecemos estudiando los casos, cuando n es pequeno, para teneruna idea como hacer el caso general. Si n = 1, solo existe una forma dehacerlo, es un caso muy facil, pero no indica nada. Si n = 2, tambien es facil,solo hay dos posibilidades AB y BA. Si n = 3 las posibilidades son ABC,ACB, BAC, BCA, CAB y CBA. Son 6 posibles formas, pero contemosordenadamente ahora para obtener un metodo que nos alumbre en el casogeneral, tenemos tres elementos para ubicar en tres casilleros (∗, ∗, ∗), parael primer lugar tengo 3 posibilidades , pues cualquiera de ellos puede ocuparel primer lugar, para el segundo solo tengo dos posibilidades, pues el primeroya se fijo, y para el ultimo solo una posibilidad pues los dos anteriores yaestan fijos. Por el principio fundamental del conteo, tenemos 3 × 2 × 1 = 6formas distintas de ordenar tres personas en una fila. Si n = 4, contaremosdirectamente las posibilidades, sin determinarlas, debo ubicar 4 elementosen 4 casilleros (∗, ∗, ∗, ∗), para el primer casillero tenemos 4 posibilidades yfijamos cualquiera de ellos en el primer lugar, notemos que ya utilizamos unelemento, para el segundo solo me quedan 3 posibilidades, entonces fijemosuno de ellos en las segunda posicion, notemos que ya hemos utilizado 2, parael tercero solo me que dan 2 posibilidades, y notemos que ya hemos ocupado3 de los cuatro elementos, por fin para la cuarta posicion solo nos queda 1posibilidad; es decir, en total tenemos 4× 3× 2× 1 = 24 posibles formas deordenar 4 personas el una fila. Ahora, parece que ya encontramos la formade generalizar nuestro resultado, si queremos ordenar a n personas en unafila, lo podemos hacer de

n× (n− 1)× (n− 2)× (n− 3)× (n− 4)× · · · × 3× 2× 1 maneras

a ese numero le llaman el factorial de n y se anota n!. Por ejemplo,

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

5! = 120

6! = 720

17

......

30! = 265252859812200000000000000000000 aproximadamente

Hagamos una pequena variacion del problema anterior. Supongamos quetenemos un conjunto de n objetos y las quiero ordenar en una fila de kcasilleros, con k ≤ n. Usando el mismo metodo que en el problema anteriortenemos que para el primer casillero tenemos n posibilidades, para el segundocasillero (n − 1) posibilidades, para el tercero (n − 2) posibilidades, y asısucesivamente hasta llegar al k-esimo casillero para el cual hay (n− (k− 1))posibilidades,pues ya hemos llenado k − 1 casilleros; en total tenemos:

n× (n− 1)× (n− 2)× (n− 3)× · · · × (n− (k − 1)) posibilidades

a ese numero le llaman las permutaciones de n sobre k, y se anota P (n, k) otambien P n

k ; en particular P (n, n) = n!.

Notemos que P (n, k) no es otra cosa que n! truncado en el k−esimofactor, es decir, es el factorial de n al cual se le quito la cola final, es decir,si a P (n, k) le pegamos la cola final se obtiene el factorial de n, esto es:

n! = P (n, k)(n−k)×(n−(k+1))×(n−(k+2))×(n−(k+3))×· · ·×3×2×1

esto es:n! = P (n, k)(n− k)!

entonces

P (n, k) =n!

(n− k)!

notar que esta ultima relacion no tiene sentido cuando n = k, pues estamosdividiendo por 0!, pero para que esta relacion sea cierta siempre y por otrasrazones que ya veremos es bueno convenir, es un convenio no hay una buenarazon para esto, definir 0! = 1, y para el resto de este curso ası sera.

Por ejemplo, ¿De cuantas formas se puede escoger una directiva de uncurso de 32 alumnos, que cuente de un presidente, de un secretario y untesorero. El resultado es

P (32, 3) = 32× 31× 30 = 29.760

formas distintas.

18

Notar que esa pregunta es distinta a la siguiente: ¿De cuantas formas sepuede escoger un comite de tres estudiantes de un curso de 32 para discutirsobre la adhesion al proximo paro?En el caso anterior, no es lo mismo escoger a Jacinto de presidente, a Mireyade secretaria y a Mallen de tesorera, o a Jacinto de presidente, a Mallende secretaria y a Mireya de tesorera, o a Mireya de presidenta, a Jacinto desecretario y a Mallen de tesorera, o a Mireya de presidenta, a Mallen de secre-taria y a Jacinto de tesorero, o a Mallen de presidenta, a Mireya de secretariay a Jacinto de tesorero, o a Mallen de presidenta, a Jacinto de secretario ya Mireya de tesorera; son todos caso distintos, pero en nuestro caso todosellos se confunden en uno solo, a saber, el comite formado por Marıa, Juan yMallen. En este caso, el de los comites, hay claramente menos que en el casoanterior. ¿Cuantos menos? o mejor dicho ¿Cuantas veces menos?

Notemos que por cada trıo escogido en el problema de los comites hay 6posibles directivas distintas, o dicho de otro modo, las 29760 posibles direc-tivas se pueden agrupar en saquitos de 6 en los cuales se repiten los nombrespero no el orden y esos 6 se confunden en un solo comite, es decir, si C denotael numero de posibles comites entonces

6C = 29760,

es decir,C = 29760 : 6 = 4960

o tambien

C =P (32, 3)

3!.

¿De cuantas formas se puede escoger un subconjunto de k elementos deun conjunto de n elementos? Al numero que es el resultado a esa respuestase le llama las combinaciones de n sobre k, y se anota C(n, k) o bien Cn

k

o mas popularmente(nk

); por ejemplo

(n0

)= 1, pues el unico subconjunto

con cero elementos es el vacıo,(n1

)= n, pues hay n formas distintas de

escoger un elemento de un total de n. Intentemos responder a la preguntageneral, para eso intentemos comparar

(nk

)con P (n, k). Para eso calculemos

P (n, k) de una forma distinta como lo hicimos antes. Recordemos que P (n, k)cuenta las posibles manera de poner k objetos de un total de n en una filade k casilleros. Entonces primero escojamos k personas, y luego contamos lasdistintas formas distintas de ordenarlas. Para la primera etapa tenemos

(nk

)

19

formas distintas, y k objetos se ordenan de k! formas distintas en k casilleros,por el principio fundamental del conteo se tiene:

P (n, k) =

(n

k

)× k!,

es decir,n!

(n− k)!=

(n

k

)× k!,

es decir, (n

k

)=

n!

(n− k)!k!

En este punto tambien es necesario que 0! = 1 para no descartar casostriviales.

Por ejemplo, si se imprimieran todos los posibles cartones de Kino solouna vez, Cuantos cartones se imprimirıan? La respuesta se deja al lector.

2.4 Binomio de Newton

Consideremos un cuadrado de lado a+b, y dividamoslo como muestra la figura

20

Notemos que el area del cuadrado es la suma del area del cuadrado delado a del cuadrado de lado b y de dos rectangulos conguentes de lados a yb. Es decir:

(a+ b)2 = a2 + ab+ ba+ b2 = a2 + 2ab+ b2

que no es otra cosa que el ya famoso desarrollo del cuadrado del binomio.Con un cubo de arista a + b se puede hacer lo mismo y se obtendrıa, uncubo de arista a, tres paralelepipedos de aristas a, a y b, tres paralelepipedosde aristas a, b y b y un cubo de arista b, es decir, calculando volumenes seobtiene:

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

se invita al estudiante de convenserse de esta ultima relacion. En cuatrodimensiones es un poco dificil imaginarse el resultado, pero algebraicamentese puede hacer con ayuda de los numeros combinatorios. Calculemos (a+b)4,para eso lo podemos hacer de muchas formas distintas, lo podemos hacer(a+ b)3(a+ b) o tambien (a+ b)2(a+ b)2 o tambien

(a+ b)(a+ b)(a+ b)(a+ b).

Elijiremos esta ultima. El resultado sera la suma de las posibles formas demultiplicar un elemento del primer parentesis, otro del segundo, otro del ter-cero y otro del cuarto, por ejemplo puedo escoger una a del primer parentesis,una b del segundo parentesis, una a del tercero y una a del cuarto, y aparecerael sumando abaa = a3b, la pregunta es ¿Cuantas veces aparece ese mismosumando? La respuesta es 4 pues es la forma de escoger tres a de un totalde 4, es decir

(43

)= 4, o lo que es lo mismo escoger una b de un total de

4. Entonces los factores que aparecen son: a4, a3b, a2b2, ab3, b4. La pregunta areponder es ¿ Cuantas veces aparece cada uno de ellos?

a4 → ¿ De cuantas formas puedo escoger cuatro a de un total de cuatro?o equivalentemente ¿ De cuantas formas puedo escoger cero b de un total decuato?→ (

44

)=(

40

)= 1.

a3b → ¿ De cuantas formas puedo escoger tres a de un total de cuatro?o equivalentemente ¿ De cuantas formas puedo escoger una b de un total decuato?→ (

43

)=(

41

)= 4.

a2b2 → ¿ De cuantas formas puedo escoger dos a de un total de cuatro?o equivalentemente ¿De cuantas formas puedo escoger dos b de un total decuato?→ (

42

)= 6.

21

ab3 → ¿ De cuantas formas puedo escoger una a de un total de cuatro?o equivalentemente ¿ De cuantas formas puedo escoger tres b de un total decuato?→ (

41

)=(

43

)= 4.

b4 → ¿ De cuantas formas puedo escoger cero a de un total de cuatro? oequivalentemente ¿ De cuantas formas puedo escoger cuatro b de un total decuato?→ (

40

)=(

44

)= 1.

Entonces:(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4

o equivalentemente

(a+ b)4 =

(4

0

)a4 +

(4

1

)a3b+

(4

2

)a2b2 +

(4

3

)ab3 +

(4

4

)b4

o equivalentemente

(a+ b)4 =4∑i=0

(4

i

)a4−ibi

Del mismo modo, se puede calcular (a + b)n. El resultado sera la sumade los productos que resulten de escoger un elemento del primer parentesis,uno del segundo, uno del tercero, uno del cuarto, . . . , y uno del n−esimo. Losmonomios que apareceran son an, an−1b, an−2b2, an−3b3, . . . , an−kbk, . . . , abn−1, bn,la pregunta ahora es: ¿ Cuantas veces aparece an−kbk para todos los posiblesk? o equivalentemente ¿ De cuantas formas puedo escoger (n − k) a de untotal de n? o equivalentemente ¿ De cuantas maneras puedo escoger k b deun total de n? y la respuesta es inmediata de

(nk

)maneras distintas. Es decir

(a+ b)n =

(n

0

)an+

(n

1

)an−1b+

(n

2

)an−2b2+· · ·+

(n

k

)an−kbk+· · ·+

(n

n− 1

)abn−1+

(n

n

)bn

o equivalentemente

(a+ b)n =n∑

k=0

(n

k

)an−kbk

Invitamos a los estudiantes a que pruben esta ultima relacion por induc-cion. A esta ultima relacion se le llama la formula del Binomio de Newton.

Por ejemplo:¿ Cual es el termino central del desarrollo de (2x2 − 3y)4?Solucion

22

(2x2 − 3y)4 =4∑i=1

(4

i

)(2x2)4−1(−3y)i

no es difıcil darse cuenta que este desarrollo cuenta de 5 sumandos, que soncuando i toma el valor: 0, 1, 2, 3 o 4 y entonces el termino central se logracuando i = 2, luego el termino central es:(

4

2

)(2x2)2(−3y)2 = 6× 4x4 × 9y2 = 216x4y2. 2

Notemos que para conocer el desarrollo de (a + b)n es necesario conocerlos monomios que aparecen y los coeficientes que los acompanan. Pero losmonomios son conocidos y es facil de memorizarlos, solo aparecen a y b, lasuma de las potencias es siempre n y las potencias de a van en decenso y lasde b en ascenso, esto es:

anb0 = an, an−1b1 = an−1b, an−2b2, an−3b3, . . . , a2bn−2, a1bn−1 = abn−1, a0bn = bn

si esto ya esta claro, estaremos de acuerdo que para conocer el desarrollo delBinomio de Newton, basta conocer los coeficientes. La verdad es que ya losconocemos son las combinaciones de n sobre k, pero queremos conocer esosnumeros de forma mas simple. Observemos lo siguiente:

(a+ b)0 = 1

(a+ b)1 = 1a+ 1b

(a+ b)2 = 1a2 + 2ab+ 1b2

(a+ b)3 = 1a3 + 3a2b+ 3ab2 + 1b3

(a+ b)4 = 1a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

(a+ b)5 = 1a5 + 5a4b+ 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5

(a+ b)6 = 1a6 + 6a5b+ 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6

(a+ b)7 = 1a7 + 7a6b+ 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + 1b7

Tenemos un esplendido triangulo donde cada fila tiene exactamente unelemento mas que el anterior. Si estamos de acuerdo que los coeficientes sonlos que tienen la informacion necesaria para desarrollar el binomio, como locomentamos en el parrafo anterior, basta que consideremos el triangulo delos coeficientes:

23

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Viendo este ultimo triangulo hagamos algunas observaciones:

Observacion 1: Al comienzo y al final de cada fila aparece un 1, lo cual erade esperar pues esos numros corresponden a

(n0

)y a

(nn

)respectivemente.

Observacion 2: El triangulo es totalmente simetrico respecto a la altura quebaja desde el vertice superior hasta la base. ¿Eso era de esperar?

Observacion 3: Si numeramos la fila, comenzando por la fila 0 aquella quetiene solo al 1, la fila 1 aquella que tiene 1 1, y ası sucesivamente. Entoncesla suma d elos terminos de la fila n es 2n. ¿Es claro por que pasa eso?

Observacion 4: Las diagonales que estan a los lados de la primera y la ultimaindican la numeracion de la fila que hicimos en la observacion anterior.¿Porque?

Observacion 5: Si n es primo todos los elementos de la fila n son divisiblespor n.¿Por que?

Observacion 6: Cada elemnto de cada fila, salvo los extremos, es la suma delos termino de la fila superior que estan exactamente sobre el. ¿Era claro, apriori, que ası ocurrirıa?

Existen otras particularidades bastante interesantes de este trianguloque invitamos a los estudiantes a descubrir. Este triangulo se conoce co-mo Triangulo de Pascal en honor al genial matematico y fısico frances Blaise

24

Pascal (1623-1662). Probaremos que las observaciones 2 y 6 son ciertas engeneral.

Demostracion de la observacion 2: Lo que debemos probar es que:

(n

k

)=

(n

n− k)

para cualquier n y para cualquier k ≤ n. Esto se podrıa probar por induc-cion, o tambien explicitando los respectivos valores de esos n’umeros; peroen cualquiera de esos casos no se sabe que es lo que esta pasando en escen-cia. De modo que aquı lo haremos contando ordenadamente. Cada vez queescojemos un subconjunto de k elementos de un total de n estamos dejandon− k sin elejir, es decir, da lo mismo pedir que se escoja k de un total de ny dejelos dentro de un saco o escoja n− k elementos y dejelos fuera del saco,es decir: (

n

k

)=

(n

n− k).

2

La observacion 6, lo que esta diciendo es que:

(n− 1

k

)+

(n− 1

k − 1

)=

(n

k

),

esta ultima relacion es muy importante y se llama Formula de Pascal yque aquı la damos en forma de teorema.De nuevo esto se puede probar porinduccion o simplemente calculando esos valores explicitamente y luego com-parandolos, pero nosotros lo haremos contando ordenadamente.

Teorema 2.4.1 (Formula de Pascal) Para cualquier n ∈ N y para cualquierk ∈ N tal que 1 ≤ k ≤ n− 1, se tiene:

(n− 1

k

)+

(n− 1

k − 1

)=

(n

k

)(2.1)

Demostracion:Recordemos que

(nk

)cuenta la cantidad de subconjuntos de k elementos de

un conjunto con n. Escribamos a nuestro conjunto A = a1, a2, . . . , an−1, an,

25

para contar los subconjuntos de k elementos que tiene A lo hare en formaseparada, primero a aquellos que no contienen a an y luego los que si locontienen.

¿Cuantos subconjuntos de k elementos de A no contienen a an? La re-spuesta es: basta contar los subconjuntos de k elementos que puedo formarde a1, a2, . . . , an−1 pero ese conjunto tiene n − 1 elementos, entonces elnumero de subconjuntos de k elementos que no contienen a an son

(n−1k

)Ahora contemos aquellos subconjuntos de A con k elementos que con-

tienen a an Cualquiera de aquellos subconjuntos contienen necesariamente aan luego cada uno de ellos necesita a otros k − 1 elementos para formar unconjunto con k elementos, pero esos k− 1 elementos que debo elejir los deboescojer de entre a1, a2, . . . , an−1, entonces la cantidad de subconjuntos conk elementos de A que contienen a an son

(n−1k−1

)Luego cualquier subconjunto con k elementos de A esta contado en los(

n−1k

)primeros que no contienen a an o en los

(n−1k−1

)ultimos que si contienen

a an, luego tenemos que:(n− 1

k

)+

(n− 1

k − 1

)=

(n

k

)2

Notemos que como la ultima observacion es cierta, es muy facil obtenerla siguiente fila, aquella que aparece en el desarrollo de (a+ b)8. Al principioy al final ponemos un 1 :

1 1

los siguientes elementos de la fila son:

1 + 7 = 8

7 + 21 = 28

21 + 35 = 56

35 + 35 = 70

35 + 21 = 56

21 + 7 = 28

7 + 1 = 8

ası tenemos la siguiente fila, que es:

26

1 8 28 56 70 56 28 8 1

del mismo modo podemos construir la siguiente, y la siguiente, y la siguiente,. . . etc. Y tenemos un triangulo un poco mas grande:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1...

......

......

......

......

Dejemos por un momento el triangulo de Pascal en abstracto, y veamoslode un modo distinto. Consideremos un enrejado como el que muestra la figura,

y supongamos que en el vertice superior hay 512 hormigas que bajaran porel enrejado hasta llegar a los puntos de abajo

A,B,C,D,E, F,G,H, I, Jque estan llenos de miel. Las hormigas no tienen preferencias entre izquierday derecha de modo que en cada nodo, se reparten: la mitad de ellas bajan porla izquierda y las otras por la derecha. ¿Cuantas llegaran a cada nodo de labase?, ¿ Que tienen en comun las hormigas que llegaron a un mismo nodo?¿Que tiene que ver esto con el triangulo de Pascal? Si agregamos una fila alenrejado y doblamos la cantidad de hormigas ¿Que esperarıas que ocurriese?

Calculemos, solo por ocio, las potencias e 11 hasta la cuarta potencia:

27

110 = 1

111 = 1 1

112 = 1 2 1

113 = 1 3 3 1

114 = 1 4 6 4 1

De nuevo aparecen nuestros viejos conocidos. ¿Por que aparecieron acatambien? ¿Que tiene que ver las potencias de 11 con el triangulo de Pascal?¿Podre usar el triangulo de Pascal para calcular las potencias siguientes de11

Por ultimo apreciemos el triangulo de Pascal jugando al cara o sello.Lanza una moneda y cuenta las posibles formas que aparezca una cara y

cero caras.

Una cara Cero carac s1 1

28

Lanza dos monedas distinas, anota y cuenta las posibles formas de obten-er dos caras, una cara o cero cara.

Dos caras Una cara Cero carascc cs,sc ss1 2 1

Lanza 3 monedas distitas, anota y cuenta las posibles maneras de obtenertres caras, dos caras, una cara, cero caras.

Tres caras Dos caras Una cara Cero carasccc ccs,csc,scc ssc,scs,css sss1 3 3 1

Lanza cuatro monedas. . .¿Que se obtiene? Nuestro viejo y majadero amigo, pero ¿Que tiene que

ver el cara o sello con el triangulo de Pascal o con las hormigas?

Dejemos de lado a Pascal y a su triangulo para pasar a una nueva seccion.

2.5 Probabilidades

La teoria de Probabilidades se ha desarrollado enormemente, y constituyeun area independiente dentro de las matematicas junto a la Estadıstica, suhermana, con gran cantidad de aplicaciones en Fısica, Quımica, Biologıa,Antropologıa, Historia, Sociologıa, Psicologıa y otras. Existen revistas espe-cializadas en el tema y se requiere un fuerte conocimiento matematico paralograr hacer avances en el tema, interactua fuertemente con analisis, algebra,geometrıa, ecuaciones diferenciales,. . . , etc. La teorıa de probabilidades nacioformalmente, durante la primera mitad del siglo XV II, cuando un jugadorempedernido, el Chevalier de Mere, le presenta a un genial matematico desu tiempo los problemas que tenıa para elegir, entre todos los juegos que leofrecıan, cual era el mas conveniente. El matematico era Pascal, que mode-lando teoricamente los problemas del Chevalier, comenzo a reflexionar sobre

29

el azar y las probabilidades. En ese instante Pascal comenzo a contar susreflexiones y dudas a un amigo, otro gran matematico, Pierre de Fermat, conquien termino por construir los fundamentos del calculo de probabilidades.

Quizas el mas famoso de los problemas que quitaban el sueno al Chevalierde Mere era el siguiente:

Dos jugadores, de igual destreza, llamados A y B, se miden en un torneode tenis. Se lleva el premio aquel que entera primero 7 juegos ganados. Perosucede que cuando hiba ganando A 5 a 4 a B se debe concluir el torneo porfuerza mayor.¿Cual es la reparticion justa del premio entre A y B?

Todos estan de acuerdo que A debe recibir un porcentaje mayor que B,pero ?Cuanto mas?

Esperamos que una vez finalizada esta seccion podamos responder a estapregunta. La verdad, es que ese problema ya se conocıa desde el siglo XIVy varios matematicos italianos ya le habian hincado el diente, pero cada unode ellos refutaba la solucion de su antecesor y proponıa otra nueva, ası sepasaron bastante tiempo, incluso la solucion que propuso Pascal fue refutadapor Roverbal; despues de eso el propio Pascal desconfio de su resultado,Fermat leyo la solucion de Pascal y llego a la misma conclusion y le diotranquilidad a Pascal y se pusieron a formalizar sus razonamientos y asınacio el calculo de probabilidades.

Los matematicos ya definieron “probabilidad , pero esa definicion es de-masiada tecnica y requiere un conocimiento previo de teorıa de la medidaque se estudia en tercer ano de una carrera de matematicas, sin embargotodo el mundo entiende cuando se dice que la probabilidad de obtener caraen un lanzamiento de la moneda es 1

2. Y experimentalmente sucede que si se

lanza 100000 veces la moneda, las veces que marco cara fueron alrededor de50000, es decir, un 50% del total. Sin embargo, esto no quiere decir, y nadielo cree ası, que despues de lanzar la moneda y resulta cara y lanzarla otravez resulte sello. De hecho en 10 lanzamientos, nadie espera que el resultadosea: cscscscscs ni tampoco scscscscsc.

Hagamos algunas definiciones:

Definicion 2.5.1 Se realiza un experimento, (por ejemplo: lanzar un dadoy queremos observar el numero que muestra la cara superior) a los posiblesresultados observables les llamaremos “eventos ( en nuestro ejemplo, 1 es un

30

evento, 8 no es un evento) al conjunto de todos los eventos les llamaremos“espacio muestral(en nuestro ejemplo el espacio muestral es 1, 2, 3, 4, 5, 6y un “suceso sera un subconjunto del espacio muestral ( en nuestro ejemplo,“ el numero que aparece es par=2,4,6).

Definicion 2.5.2 Si un experimento se realiza n veces, el total de veces queresulto el evento i se llama la frecuencia total de i y se anota fi, al cuocientefin

se le llama la frecuencia relativa de i.

En el caso de la moneda, decimos que la frecuencia relativa que aparezcacara es aproximadamente 1

2, cuando n es 100000.

Una definicion intuitiva de probabilidad, y es la que ocuparemos ahora,sera:

La probabilidad que ocurra un suceso, es la frecuencia relativa de esesuceso cuando n es muy grande.

Observacion 2.5.1 Notemos que si un suceso no ocurre nunca, se tieneque su frecuencia es cero, por lo tanto su frecuencia relativa tambien es cero,y por lo tanto su probabilidad es nula, es decir, si consideramos el espaciomuestral como un conjunto, que lo es, y a un suceso como un subconjuntodel espacio muestral, un suceso que no ocurre nunca es el conjunto vacıo, esdecir, lo que queremos decir es que:

P [φ] = 0

Ejemplo: Si el experimento es lanzar un dado y estudiamos el valor de la caraque muestra, entonces la probabilidad de que aparezca 8 es cero.

Observacion 2.5.2 Notemos que si un suceso ocurre siempre, se tiene quesu frecuencia es n para n veces que se realiza el experimento, por lo tantosu frecuencia relativa es 1 independientemente del valor de n, y por lo tantosu probabilidad es 1, es decir, si consideramos el espacio muestral como unconjunto, que lo es, digamos Ω y a un suceso como un subconjunto del espaciomuestral, un suceso que ocurre siempre es el propio espacio muestral, es decir,lo que queremos decir es que:

P [Ω] = 1

31

Ejemplo: Lanzo una piedra con la mano al aire, la probabilidad que la piedrano llegue al sol es 1.

Observacion 2.5.3 Notemos que si consideramos un suceso A, cualquiera,una vez que se ha realizado n veces el experimento, su frecuencia relativasera un numero entre 0 y n, y por lo tanto su frecuencia relativa sera unnumero entre 0 y 1, independiente del valor de n, entonces su probabilidad esun numero entre 0 y n, esto es:

0 ≤ P [A] ≤ 1

Cuando el experimento realizado, arroja un numero finito de resultadosigualmente posibles, digamos m tenemos que f1 = f2 = f3 = · · · = fm, ypor ende las frecuencias relativas tambien son iguales y como la suma de lasfrecuencias es m entonces todos tienen la misma probabilidad 1

m, entonces la

probabilidad que ocurra el suceso S es:

P [S] =Numero de resultados favorables a S

Numero total de resultados

Esta formula de conoce comunmente como “Ley de Laplace, y muchasveces se confunde con la definicion de probabilidad, pero hay que notar quecoinciden solo en un caso particular.

Veamos algunos ejemplos:

¿Cual es la probabilidad que al lanzar un dado dos veces la suma de losnumeros que aparecen sea 8?

Solucion:Primero que nada, debemos reconocer en total de los casos, el espacio

muestral. Anotemos en un par ordenado, el valor de las posibles pares denumeros que aparecen, en la primera coordenada, el primer lanzamiento, yen la segunda el resultado del segundo lanzamiento, por ejemplo si en laprimera lanzada resulto 1 y en la segunda 4 lo anotaremos: (1, 4). De estemodo el ewspacio muestral esta formado por:

(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6)

(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6)

32

(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6)

(4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6)

(5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6)

(6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)

que suman 6 × 6 = 36 posibles resultados. De ellos reconozcamos los favor-ables:

(2, 6); (3, 5); (4, 4); (5, 3) y (6, 2)

que si contamos suman 5. Como los 36 casos son igualmente probables (losdados no estan cargados) segun la formula de Laplace, se tiene que la prob-abilidad de que la suma de las caras que muestran dos dados sea 8 es:

5

36≈ 0, 138. 2

Antes de seguir con los ejemplos haremos dos observaciones importanes.

Observacion 2.5.4 En un experimento donde los eventos que puedan ocur-rir son igualmente probables, consideremos un suceso en particular S y elsuceso complementario, que no ocurra S, denotemoslo por S, en un espaciomuestral Ω, luego cualquiera de todos los casos posibles es o bien favorable aS o no es favorable a S, es decir, el conjunto de todos los posibles casos esla union de los casos favorables a S y los que no, y ningun caso esta a la vezen S y en S, es decir y abusando de la notacion:

#Total de casos = #Casos favorables a S + #Casos no favorables a S

es decir,

1 =#Casos favorables a S + #Casos no favorables a S

#Total de casos

escrito de otro modo:

1 =#Casos favorables a S

#Total de casos+

#Casos no favorables a S

#Total de casos

33

pero el primer sumando de la derecha es la probabilidad de S y el segundola probaibilidad que no ocurra S, es decir, el primer sumando es P [S] y elsegundo es P [S] ası se tiene la relacion:

1 = P [S] + P [S]

o mejor aunP [S] = 1− P [S].

Notar que S ∪ S = Ω y S ∩ S = φ y la formula de arriba dice entoncesque:

P [Ω] = P [S] + P [S]

Esto es mas general: Si Γ = U ∪ V y U ∩ V = φ entonces

P [Γ] = P [U ] + P [V ]

y se conoce como la propiedad aditiva de la probabilidad. Se invita al estudi-ante a probar esto ultimo. Cuando dos sucesos como U y V son tales que nopueden pasar ambos a la vez se llaman sucesos mutuamente excluyentes. Porejemplo en el lanzamiento de un dado, que aparezca un numero par y queaparezca un numero divisible por 5 son sucesos mutuamente excluyentes.(Laverdad es que esta relacion es general, no es necesaria la suposicion que setrata de un experimento donde los resultados son igualmente probables, y seinvita al estudiante a verificar esto.)

Observacion 2.5.5 Si un experimento, donde todos los resultados son igual-mente probables y finitos, se realiza en dos etapas y un suceso S ocurre siem-pre y cuando en la primera etapa ocurre S1 y luego en la segunda etapa ocurreS2, entonces la probabilidad que ocurra S es el producto de la probabilidadque ocurra S1 y la probabilidad que ocurra S2, es decir

P [S] = P [S1]× P [S2],

de hecho si suponemos que los casos totales en la primera etapa son n y loscasos favorables a S1 son a y los casos totales en la segunda etapa son m ylos favorables a S2 son b, entonces por el principio fundamental del conteo, elexperimento tiene nm posibles resultados, y los favorables a S son los que selogran de empezar por uno de los casos favorables a S1 seguido de cualquiera

34

de los favorables a S2 que en total son ab, es decir la probabilidad que ocurraS son:

P [S] =ab

nm=a

n× b

m

y esto ultimo de la derecha no es otra cosa que P [S1]× P [S2].(Esto se puede generalizar a un experimento en n etapas, donde n es

cualquier numero natural, se invita al estudiante a hacer esta generalizacion)

Haciendo un resumen de algunas de las observaciones que hemos hecho esque dado un experimento y su espacio mustral Ω, tenemos que la probabilidades una forma de asignar valores numericos a los subconjuntos de Ω tal que:

i) 0 ≤ P [A] ≤ 1, para cualquier suceso A ⊆ Ω

ii) P [Ω] = 1

iii)Si Γ = U ∪ V y U ∩ V = φ, entonces P [Γ] = P [U ] + P [V ]

Para un matematico cualquier forma de asignar valores a los subconjuntosde un conjunto Ω, de forma tal que cumple con i), ii)yiii) es una probaili-dad. El asunto que muchas de ellas no son interesantes, pero para estudiarprobabilidades en total generalidad es necesario definir de este modo prob-abilidad. Antes de esta definicion hubo un numero importante de paradojasy de problemas de fondo que no tenıan solucion, los primeros en formalizarestas ideas fueron Emile Borel (1871-1956) y Henri Lebesgue (1875-1941).Otro ejemplo:

En una urna hay 5 bolitas rojas, 4 bolitas blancas y 6 bolitas negras. Seintrocuce la mano y a ciegas se cogen 3 bolitas. ¿Cual es la probabilidad queen la muestra aparezca al menos una bolita blanca?

Solucion 1:Primero, reconozcamos el espacio muestral, el total de posibles resultados,

notemos que el espacio muestral en este caso no es el conjunto de las 15bolitas, porque nuestro experimento no es sacar una bolita al azar si no quetres. De modo que nuestro espacio muestral es el total de posibles muestrasde 3 bolas de un total de 15, y aunque no las describiremos las podemoscontar y son: (

15

3

)=

15× 14× 13

3× 2× 1= 455,

35

de esa cantidad ¿cuantos son favorables a nuestro suceso?. Por lo visto an-teriormente, tambien podemos preguntarnos: ¿Cuales son los casos NO fa-vorables a nuestro suceso? y luego hacer la resta correspondiente. Los casosno favorables son aquellos en no sale ninguna bolita blanca en nuestra mues-tra.¿Cuantos son esos casos? Del total de las 455 muestras, las que NO sonfavorables son (

11

3

)= 165

que indica la cantidad de formas distintas de sacar 3 bolas de un total de 11que suman las bolas que no son blancas. Entonces la probabilidad de que enla muestra aparezca al menos una blanca es:

P = 1− 165

455= 1− 33

91=

58

91≈ 0, 637

Solucion 2: El experimento arroja los mismos resultados que el siguiente: Dela misma urna se saca una bolita, luego otra y luego otra sin ir devolviendoa la urna las ya sacadas. Se ve el color de las bolitas que se saco. ¿Cual esla probabilidad que al menos una de las bolitas sea blanca? Nuevamente cal-cularemos la probabilidad de que ninguna bolita sea blanca y luego haremosla resta correspondiente. Pero ahora lo haremos de otro modo. ¿Cual es laprobabilidad de que la primera bolita no sea blanca? La respuesta es clara:

11

15,

si la primera bolita no es blanca ¿Cual es la probabilidad que la segundabolita tampoco sea blanca? La respuesta es:

10

14,

pues de las 11 bolitas no blancas que habıa en un principio solo quedan 10y en la urna en total solo quedan 14. Si la primera y la segunda bolitas nofueron blancas ¿Cual es la probabilidad que la tercera bolita tampoco seablanca? Del mismo modo que antes podemos decir que es :

9

13

36

segun la observacion de antes tenemos que la probabilidad que no salga ningu-na blanca es :

P [S] =11

15× 10

14× 9

13=

33

91,

entonces la probabilidad que al menos una de ellas sea blanca es:

P [S] = 1− 33

91=

58

91.

Esto ultimo sugiere introducir un nuevo concepto que es el de probabilidadcondicional, ¿Cal es la probabilidad que ocurra B sabiendo que ya ocurrioA? Al resultado a esa pregunta se anota

P (B|A)

y se lee “la probabilidad que ocurra B bajo la condicion que A ya ocurrio.Por ejemplo: Se tienen en total 100 artıculos de los cuales 20 son defec-

tuosos. Se sacan dos artıculos al azar, uno despues de otro, si el primero esdefectuoso ¿Cual es la probabilidad que el segundo sea defectuoso?

Solucion:Como ya saque un artıculo, me quedan solo 99 de los 100 artıculos ini-

ciales, como el primero ya fue defectuoso, me quedadn para elegir solo 19defectuosos, entonces la probabilidad que el segundo artıculo sea defectuosoes:

P =19

99.

Notar que lo unico que hacemos es reducir el espacio muestral, debido a lainformacion “ya ocurrio A. Conjuntistamente tenemos el siguiente diagrama:

A y B son los sucesos en cuestion y Ω el espacio muestral de nuestro experi-mento. P [B|A] es la probabilidad de estar en B sabiendo que estamos en A,es decir, debo comparar A ∩B con B.

Numericamente:Si los resultados son igualmente probables y si #Ω = n,#A = a, #B = b, y #A ∩B = i. Entonces:

P [B|A] =i

a=

inan

=P [A ∩B]

P [A]

37

del mismo modo

P [A|B] =i

b=

inbn

=P [A ∩B]

P [B]

o tambienP [B|A]P [A] = P [A ∩B] = P [A|B]P [B]

Por ejemplo si dos sucesos, A y B, son mutuamente excluyentes, entonces

P [B|A] = 0 = P [A|B] = P [A ∩B]

Definicion 2.5.3 Dos sucesos, A y B, se dicen independientes si: P [B|A] =P [B] y P [A|B] = P [A], es decir, a A no le importa nada si ocurrio o no By viceversa. Equivalentemente, A y B son independientes si P [B]P [A] =P [A ∩B]

Un ejemplo:Se lanzan dos dados uno despues de otro ?Cual es la probabil-idad de obtener dos numeros pares si se sabe que el primero marco un numeromayor que el primero? ?Cual es la probabilidad que el segundo muestre un5 si el primero muestra un 3?

solucion:Para la primera pregunta tenemos

A = (2, 2); (2, 4); (2, 6); (4, 2); (4, 4); (4, 6); (6, 2); (6, 4); (6, 6) y

38

B = (2, 1); (3, 1); (3, 2); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (6, 1); (6, 2)

(6, 3); (6, 4); (6, 5)y necesitamos calcular P [A|B], y esos son:#A∩B

#B, y eso es igual a 3

15.

Para la segunda pregunta tenemos que los sucesos son independientes.Luego la probabilidad que el segundo dado muestre 5 si el primero muestra3 es igual a la probabilidad que al lanzar el segundo dado muestre 5, y esoes 1

62

Otro ejemplo: Un borrachito, llamado Kike, tiene un llavero con 6 llavesde las cuales solo una es la que abre la puerta de su casa. Pone una llave en lacerradura, con el mayor cuidado posible por temor al uslero de su mujer , sifalla deja la llave libre en el llavero, producto del alcohol en su cerebro, eligeotra llave pero no se sabe si es la misma llave que antes o es otra nueva.Y asicontinua hasta que logra abrir la puerta.¿ Cual es la probabilidad que abrala puerta nuestro amigo Kike exactamente en el tercer intento?

Solucion:Notemos que estamos calculando la probabilidad que logre su objetivo

en su tercera oportunidad suponiendo que fallo los dos anteriores, es decir,si B es acierta en el tercer intento y A falla en los dos primeros intentos,entonces lo que estamos calculando es:

P (B|A)

Para calcular esto hare un diagrama. Supongamos que tenemos un litro deun fluido probabilıstico, como dirıa Jorge Soto, de ese litro 1

6se va a un frasco

que corresponde a la probabilidad de acertar en el primer intento, y 56

se va aotro frasco, que corresponde a la probabilidad de no acertar en el primer in-tento; entonces nos preocupamos de aquel frasco. De aquel frasco, 1

6de el, es

decir, 16

de 56, es decir, 1

36del litro inicial,se va a otro frasco que corresponde

a la probabilidad de acertar en el segundo intento habiendo fallado en elprimero, y los otros 5

6del frasco en cuestion, es decir,5

6de 5

6, es decir,25

36del

litro inicial, se va a otro frasco, que corresponde a la probabilidad de fallaren los dos primeros intentos . De aquel frasco, 1

6de el, es decir, 1

6de 25

36, es

decir, 25216

,se va a otro frasco que corresponde a la probabilidad de acertar enel tercer acierto habiendo fallado en los dos primeros, y los otros 5

6del frasco

en cuestion, es decir,56

de 2536

, es decir,125216

del litro inicial, se va a otro frasco,que corresponde a la probabilidad de fallar en los tres primeros intentos .La

39

figura siguiente muestra el proceso anterior.

Entonces la probabilidad de que el borrachito acierte en el tercer intento es:

P (B|A) =25

216≈ 0, 115

?Desde que intento es bueno apostar a que Kike logra abrir la puerta?

Otro ejemplo: Uno de los problemas que tenıa intrigado al Chevallier de Mere,era el siguiente. ?A partir de cuantas tiradas es bueno apostar que sale dobleseis en el lanzamiento de dos dados?

Solucion:Nadie apostarıa a que en el primer lanzamiento aparece un doble seis,

ni en los dos primeros tampoco, pero que aparezca al menos un doble seis

40

en la tirada numero 30 tal vez si e incluso antes. Estudiemos. Para cadalanzamiento, el espacio muestral es:

(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6)

(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6)

(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6)

(4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6)

(5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6)

(6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)

que muestra en la primera coordenada el resultado del primer dado, y en lasegunda coordenada el valor que muestra el segundo dado, como ya lo hemoshecho antes. La probabilidad de obtener doble seis en un lanzamiento es:

1

36

y de fallar es35

36.

La probabilidad de acertar en el segundo lanzamiennto habiendo falladoen el primero es

35

362.

y la probabilidad de fallar en el segundo lanzamiento habiendo fallado elprimero es

352

362.

41

Y ası sucesivamente se tiene que la probabilidad de acertar en el tercer intentohabiendo fallado en los anteriores es 352

363 y la probabilidad de acertar en el

cuarto intento habiendo fallado en los anteriores es 353

364 y la probabilidad de

acertar en el quinto intento habiendo fallado en los anteriores es 354

365 y asısucesivamente. Luego la probabilidad de acertar, por ejemplo, al menos unavez antes del lanzamiento numero 6 es:

1

36+

35

362+

352

363+

353

364+ +

354

365=

4∑j=0

35j

36j+1, pero

4∑j=0

35j

36j+1=

1

36

4∑j=0

35j

36j=

1

36

4∑j=0

(35

36)j =

1

36

1− 3536

5

1− 3536

≈ 0, 131

No es dificil darse cuenta que la probabilidad de acertar al menos una vezantes del k−esimo lanzamiento es

1− (35

36)k−1,

entonces es mas probable ganar que perder antes del k−esimo lanzamiento,cuando el numero de arriba sea mayor que 1

2y el primer numero k para el

42

cual eso ocurre es 26, de hecho, la probabilidad que salga doble seis al menosuna vez antes de la vigesima sexta lanzada es:

1− (35

36)25 ≈ 0, 505 > 0.5

Una pregunta curiosa: ¿Cual es el valor de la suma infinita

1

36+

35

362+

352

363+

353

364+

354

365+

355

366+

356

367+ · · ·?

Esta suma denota la probabilidad que gane alguna vez en la vida, suponien-do ademas que nuestro amigo es inmortal, luego la probabilidad que ganealguna vez es cierta, luego esta suma debiera ser 1, si sumar infinitamentetuviese algun sentido.

Para terminar con esta seccion y este capıtulo, comentaremos brevementeun concepto muy estudiado en teorı de probabilidades, pero que escapa alcontenido de este curso, que es solo una introduccion a las matematicas.

43

Muchas veces, cuando se realiza un experimento el espacio muestral no esnecesariamente un conjunto de numeros, pueden ser conjunto de muestras debolitas, pares ordenados, posibles desarrollos de un partido de tenis,. . . etc.Sin embargo, podemos asignar a esos elementos un valor numerico en cadacaso; y esto lo que queremos definir ahora:

Definicion 2.5.4 Dado un experimento, donde el conjunto de los resultadosobservables posibles es Ω, cualquier asignacion de valores numericos a loselementos de Ω la llamaremos una Variable Aleatoria. Es decir, una variablealeatoria X toma un elemento ω ∈ Ω y le asigna un numero X(ω).

Ejemplo: Lanzamos un par de dados una vez y estudiamos el valor queellos muestran. El espacio muestral esta formado por los elementos:

(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6)

(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6)

(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6)

(4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6)

(5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6)

(6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)

Una variable aleatoria para este experimento puede ser: X(a, b) = a+b. ¿Cuales el conjunto de posibles valores deX? La respuesta es: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12¿Cuantos pares (a, b) son tales que X(a, b) = 8? La respuesta es cinco y son:

(2, 6); (3, 5), (4, 4); (5, 3) y (6, 2)

¿Cual es la probabilidad que la variable aleatoria X tome el valor 8?

P [X = 8] =5

36

que corresponde a los cinco casos posibles en que X tome el valor 8 divididopor el total de casos.

Ası tenemos:

P [X = 2] =1

36

44

P [X = 3] =2

36

P [X = 4] =3

36

P [X = 5] =4

36

P [X = 6] =5

36

P [X = 7] =6

36

P [X = 8] =5

36

P [X = 9] =4

36

P [X = 10] =3

36

P [X = 11] =2

36

P [X = 12] =1

36

Ademaas

12∑

k=2

P [X = k] =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

36= 1 como era de esperar

Es importante notar que si consideramos como espacio muestral los posi-bles valores que puede tomar X en vez de los posibles pares ordenados. En-tonces los posibles resultados, a saber, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 no sonequiprobables, como acabamos de ver.

Otro ejemplo: ¿Cual es la probabilidad que al lanzar un par de dados lasuma sea menor que 7?

45

Solucion: Consideremos la misma variable aleatoria X que en el ejemploanterior, entonces lo que estamos buscando es:P [X ≤ 6]. Como los casosX = 2, X = 3, X = 4, X = 5, X = 6 son mutuamente excluyentes se tieneque

P [X ≤ 6] = P [X = 2]+P [X = 3]+P [X = 4]+P [X = 5]+P [X = 6] =15

36=

5

122

Espero que estos comentarios y observaciones les permita tener una ideade que se trata el calculo de probabilidades y les permita responder a algunaspreguntas. En la guıa de ejercicios numero 4 hay ejercicios que uds. debieranrealizar.

46

Capıtulo 3

Numeros Reales

En el capıtulo anterior vimos escencialmente propiedades de los numerosnaturales, pero no en su estructura algebraica, mas bien lo que estudiamosfue su ley de orden y algunas aplicaciones en combinatoria. En este capıtulo loque veremos es que los numeros naturales no son tan buenos algebraicamente,ni mucho menos sirven para medir. Entonces lo que haremos es completara los numeros naturales para que sirvan para resolver ecuaciones lineales ypara que podamos medir con total libertad.

3.1 Los Numeros Naturales No Resuelven Ecua-

ciones

Habıamos dicho que los numeros naturales tienen una suma y un producto.La suma es asociativa y conmutativa, sin embargo no hay neutro aditivo enN ni tampoco inversos aditivos. Esta carencia de N no nos permite resolverecuaciones del tipo:

3x+ 8 = 2x+ 6 ni tampoco 2x+ 4 = x+ 4,

pues si x es un numero natural 3x + 8 es siempre mayor que 2x + 6, lomismo que 2x + 4 es mayor que x + 4. Para resolver la segunda ecuacionnecesitamos un “numero tal que x + x = x o mejor aun, un “numero talque x + a = a para caulquier valor de a. Ese elemento no vive en N, demodo que lo inventaremos y le llamaremos originalmente cero, y lo anotamospor 0. Sin embargo, la primera ecuacion aun no la podemos resolver. Lo

47

que necesitamos es un “numero x tal que x + 8 = 6 o equivalentemente un“numero x tal que x + 2 = 0, ese elemento como ya vimos no vive en N demodo que lo inventamos y le llamamos el inverso aditivo de 2 y lo denotamospor −2. En general si n es un numrero natural, no existe x ∈ N tal quex+n = 0, como no existe lo inventamos y lo llamamos el inverso aditivo de ny lo anotamos −n. Entonces despues de estos inventos tenemos un conjuntomas grande formado por N y nuestros inventos recientes, a la union de esosconjuntos le llamamos el conjunto de los numeros enteros y lo denotamos porZ.

Z = N ∪ −N ∪ 0donde −N = −n/n ∈ N.

Entonces en Z tenemos neutro aditivo y opuestos aditivos para los enterosrespecto de la suma que supondremos conocida. La multiplicacion tambien lasupondremos conocida en Z. Y tambien concordaremos que la multiplicacionno es tan buena como la suma, si bien tambien es conmutativa y asociativa,tiene neutro (1), y distribuye con respecto a la suma, no tiene inversos mul-tiplicativos, es decir en Z, el siguiente problema no tiene solucion:¿Cuantomide el lado de un cuadrado de perımetro 2? Si la medida del lado lo deno-tamos por x, buscamos un numero x tal que 4x = 2. Si tal x viviese en Znecesariamente vivirıa en N, pero para cualquier numero natural x, 4x ≥ 4luego es imposible que 4x = 2. En realidad buscamos un numero x tal que2x = 1. Al igual como hicimos de N a Z, a tal numero lo inventamos y lodenotamos por 2−1, y en general si 0 6= a ∈ Z, el sımbolo a−1 denota elinverso multiplicativo de a, es decir, lo unico que sabemos de a−1 es queaa−1 = a−1 = 1, . pero en el nuevo conjunto que inventemos debieramossumar por ejemplo 2−1 + 2−1 + 2−1 a ese numero obviamente lo denotamospor 3 · 2−1, entonces lo que inventamos es el conjunto

Q = b−1a = ab−1/a ∈ Z y 0 6= b ∈ Z.Sin embargo, por ejemplo la ecuacion 3x = 4 tiene a x0 = 3−14 como solucion,de hecho, 3×3−14 = 1×4 = 4, pero tambien es cierto que x1 = 9−112 tambienes solucion de esta ecuacion, de hecho, 3× 9−112 = 3−19× 9−112 = 3−112 =3−13×4 = 1×4 = 4. Sin embargo, nosotros esperamos que esa ecacion tengauna unica solucion, es decir, esperamos que x0 y x1 sean distintas formas deescribir la misma cosa. Entonces en Q hay elementos que estan escritos demuchas formas distintas. Entonces diremos que

ab−1 = cd−1 ⇔ ad = bc.

48

Por convencion al elemento ab−1 tambien lo anotamos como ab, de este modo

se tiene:a

b=c

d⇔ ad = bc.

AQ con esta identificacion de elementos se le llama el conjunto de los numerosracionales.

Supondremos conocida la suma y producto en Q, pero de todos modosaquı los recordamos:

a

b+c

d=ad+ bc

bdy

a

b× c

d=ac

bd.

Ası tenemos que Q algebraicamente es todo lo bueno que esperasemos quefuese. Los matematicos dicen que Q, con la suma y el producto antes definidoes un Cuerpo. Esto es en Q hay una suma y un producto bien definidos paralas cuales se cumplen las siguientes propiedades:

Asociatividad para la suma:

Para cualquier trio de elementos, a, b y c, de Q se tiene:(a+b)+c = a+(b+c).(3.1)

Conmutatividad para la suma:

Para cualquier par de elementos, a y b de Q se tiene:a+ b = b+ a. (3.2)

Neutro aditivo:

Existe 0 en Q tal que para cualquier elemento a en Q se tiene:a+ 0 = a.(3.3)

Inverso aditivo:

Para cualquier elemento a en Q, existe −a en Q tal que:a+−a = 0. (3.4)

Asociatividad para la multiplicacion:

Para cualquier trio de elementos, a, b y c de Q se tiene:a(bc) = (ab)c.(3.5)

49

Conmutatividad para la multiplicacion:

Para cualquier par de elementos, a y b de Q se tiene:ab = ba. (3.6)

Neutro para la multiplicacion:

Existe 1 en Q tal que para cualquier a en Q se tiene:1a = a. (3.7)

Inverso multiplicativo:

Para cualquier a no nulo en Q existe a−1 no nulo en Q tal que:aa−1 = 1.(3.8)

Distributividad del producto co respecto a la suma:

Para cualquier trio de elementos, a, b y c, de Q se tiene:a(b+ c) = ab+ ac.(3.9)

Estas nueve propiedades se pueden probar usando las propiedades de Zy las definiciones que hicicimos en el parrafo anterior a la enumeracion depropiedades del cuerpo Q. Se invita al estudiante a probar estas cosas.

Los matematicos se dieron cuenta que dados dos racionales distintos, dig-amos x < y, existe un racional entre medio, es decir, existe t ∈ Q tal quex < t < y, por ejemplom el promedio puede ser uno de esos t, de hecho x <x+y

2< y. Pero tambien notaron que si podemos encontra un racional entre

dos racionales distintos podemos encontrar infinitos repitiendo varias vecesel mismo proceso. Por ejemplo entre 0, 0000000000000000000000001 = 1

1024

y 0, 0000000000000000000000002 = 21024 hay infinitos numeros racionales. Lo

que pensaron fue entonces que los racionales estan muy juntos y que si losponemos distribuidos en 1una recta no habra ningun punto de la reca sinque le corresponda algun racional. Entonces midieron todas las distanciascon “huinchas racionales. Sin embargo, no todas las distancias se puedenmedir con huinchas que solo tienen medidas racionales. Por ejemplo, consid-eremos el cuadrado de lado 1.

Por el Teorema de Pitagoras tenemos que la medida d de la diagonalcumple con:

d2 = 12 + 12,

es dedcir, d es tal que: d2 = 2.La pregunta es ¿Existe un numero racional dtal que su cuadrado sea 2.? Y la respuesta es:

50

Proposicion 3.1.1 No existe numero racional que su cuadrado sea 2.

Demostracion:Supongamos que existe d en Q tal que d2 = 2, podemos escribird = a

bcon

a, b ∈ Z, b 6= 0, sin restriccion podemos suponer que a y b no tienen factoresen comun, pues si los tuviesen simplifico hasta que ya no tengan factorescomunes. Pues bien, tenemos:

d2 = 2 =(ab

)2

=a2

b2

2b2 = a2

Esto significa que a2espar, pero esto implica que a es par pues si fuese im-par tambien lo serıa a2. Entonces tenemos que a = 2k para cierto k ∈ Zrremplazando esto en nuetra ultima igualdad tenemos:

2b2 = (2k)2

2b2 = 4k2

b2 = 2k2

Esto ultimo muestra que b2 es par del mismo modo que antes b es par. Peroesto es una contradiccion pues no pueden ser ambos, a y b, pares, ya que enese caso a y b tendrıan a 2 como factor comun. Luego suponer que existed ∈ Q tal que d2 = 2 es un error, luego lo correcto es No existe ningunnumero racional tal que su cuadrado es 2. 2

Como este ejemplo hay muchas (infinitas) medidas que una huincha racionalno se da cuenta que existen. Este ejemplo tal vez podrıa distraer a un lector

51

desatento y hacerlo creer que la carencia de soluciones de ecuaciones es lafalla que tiene Q, pero seremos enfaticos en decir que aquello no es correcto.

Por ejemplo si consideramos un cırculo de diametro 1. La longitud dela circunferencia no la podemos medir con una huincha racional. A aquellamedida los griegos le llamaron π y recien en el siglo ?? un matematico aleman,Lindermman, logro probar que no existe ninguna ecuacion del tipo:

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0 (∗)que tenga a π como solucion, donde aknk=1 es un conjunto de numerosracionales. Es decir, este es un ejemplo que muestra que hay medidas queno son soluciones de ecuaciones. Existen muchos ejemplos, como la diagonaldel cubo, que no se pueden medir con una huincha racional y entre aquellashay muchas (infinitas) que no son soluciones de ecuaciones del tipo (∗). Dehecho en comparacion son mas las que no son soluciones de ecuaciones quelas que si. Ademas hay muchas (infinitas) ecuaciones que no encuentran sussoluciones en el conjunto de todas las medidas, por ejemplo x2 + 1 o tambienx2 + x + 1. Ahora bien, si consideramos el conjunto de todas las medidasy le llamamos M y a y b viven M ¿Por que ab vive tambien en M? Porejemplo:¿ (π)2 es la medida de que? O podemos ser mucho mas drasticos ¿Que

mide (√

2)√

2.? Otra pregunta es: Si logramos inventar un conjunto que logrejuntar a todas las medidas ¿Por que razon este nuevo conjunto no perderalas propiedades algebraicas que con tanto esfuerzo logramos encontrar en Q?O equivalentemente ¿Por que este nuevo conjunto es un cuerpo?

3.2 Numeros Reales

Para dar una definicion formal y rigurosa de numeros reales se necesitan al-gunas herramientas que aun no tenemos. A partir de N nosotros construimosZ, y a partir de Z construimos Q. A partir de Q se construye R, el conjun-to de los numeros reales, una de esas construcciones se llama El metodo delas cortaduras de Dedekind y se puede consultar en un apendice del librode M.Spivak “Calculo Infinitesimal. Otro metodo es el de “Completacion deCauchy que es mucho mas claro e intuitivo que el anterior y se puede encon-trar en cualquier libro de Analisis Matematico o de Topologıa en el capıtulode espacios metricos. Nosotros supondremos 1 que el estudiante conoce algo

1Suponer que conocemos a los numeros reales es una afirmacion bastante ambiciosa,pues si conocieramos realmente a este conjunto habrıa muchos problemas del analisis

52

de los numeros reales o que esta algo familiarizado con esa idea. El estudiantepuede pensar que el conjunto de los numeros reales es el conjunto de todasla “medidas y sus inversos aditivos. Puede pensar que son los puntos de unarecta o que es el conjunto de todos lo numeros decimales, y no serıan malospensamientos. De hecho esta ultima, aquella de los numeros decimales, es unabuena idea. Pongamonos de acuerdo. Primero que nada R es un cuerpo, estoes, satisface las propiedades (3.1) hasta (3.9) cambiando R por Q. Ademascontiene a Q . Ademas cumple con

Propiedades 3.2.1 (Densidad de Q) Dados dos elementos distintos en Rsiempre existe un numero racional entre ellos.

Ademas en R existe un subconjunto P que satisface las siguientes propiedades:

1. Si a y b son elementos de P entonces a + b ∈ P y ademas ab ∈ P .(Clausura de P bajo suma y producto).

2. Si a ∈ P entonces a ∈ P o bien a = 0 o bien −a ∈ P y esas trescondiciones son excluyentes. (Ley de Tricotomıa)

Hagamos algunas observaciones:

Observacion 3.2.1 El neutro aditivo y el neutro multiplicativo son unicos.De hecho si existiesen dos neutros aditivos distintos , digamos 0 y 0′, se

tendrıa que0 = 0 + 0′ = 0

luego 0 = 0′ lo cual es una contradiccion. Luego el neutro aditivo es unico. Ysi existiesen dos neutros multiplicativos distintos , digamos 1 y 1′, se tendrıaque

1 = 1× 1′ = 1′

luego 1 = 1′ lo cual es una contradiccion. Luego el neutro aditivo es unico.

que podrıamos resolver, y muchas preguntas que han interesado a matematicos de to-dos los tiempos que podrıiamos responder, ademas si conociesemos a los numeros realesconocerıamos a todos sus subconjuntos, a todos los cuerpos reales a todos los numerostrascendentes que contiene, a Q en particular y a N y la teorıa de numeros no tendriasecretos para nosotros, lo cual esta muy lejos de ser cierto. En realidad lo que queremosdecir es que tenemos una idea intuitiva de lo que estamos hablando

53

Observacion 3.2.2 El inverso aditivo y el inverso multiplicativo (cuandoexiste) son unicos .

De hecho si x ∈ R tuviese dos inversos aditivos distintos , digamos −x yy, se tendrıa que

−x = (x+ y) +−x = (x+−x) + y = y

por asociatividad de la suma, luego −x = y lo cual es una contradiccion.Luego el inverso aditivo es unico. Y si x 6= 0 tuviese dos inversos multiplica-tivos distintos , digamos x−1 y y, se tendrıa que

x−1 = (xy)x−1 = (xx−1)y = y

luego x−1 = y lo cual es una contradiccion. Luego el inverso multiplicativoes unico.

Observacion 3.2.3 Para cualquier numero real x se tiene x × 0 = 0. (Sedeja la prueba de esto como ejercicio para el estudiante.)

Observacion 3.2.4 El inverso aditivo del inverso aditivo de x es x. Ensımbolos: −(−x) = x.

De hecho 0 = −(−x) + (−x) y ademas x+ (−x) = 0 luego x = [−(−x) +(−x)] + x = −(−x) + [−x+ x] = −(−x).

Observacion 3.2.5 El inverso multiplicativo del inverso multiplicativo de xes x. En sımbolos: (x−1)−1 = x. (Se deja al estudiante la prueba de esto.)

Observacion 3.2.6 El producto del inverso aditivo de x por y es igual alproducto del inverso aditivo de y por x y es igual al inverso aditivo del pro-ducto de x por y es x. En sıimbolos: (−x)y = x(−y) = −(xy).

De hecho xy + x(−y) = x(y + −y) = x × 0 = 0 luego x(−y) es elinverso aditivo de (xy), luego x(−y) = −(xy). Del mismo modo xy+(−x)y =(x + −x)y = 0 × y = 0 luego (−x)y es el inverso aditivo de (xy), luego(−x)y = −(xy).

Observacion 3.2.7 Si x ∈ P y 0 6= y 6∈ P entonces xy 6∈ P .De hecho si 0 6= y 6∈ P entonces −y ∈ P entonces se tiene que x(−y) =

−(xy) ∈ P , luego concluimos que xy 6∈ P .

54

Observacion 3.2.8 Si 0 6= x 6∈ P y 0 6= y 6∈ P entonces xy ∈ P .De hecho si 0 6= x 6∈ P y 0 6= y 6∈ P entonces −x ∈ P −y ∈ P entonces

se tiene que (−x)(−y) = (xy) ∈ P , luego concluimos que xy ∈ P .

Observacion 3.2.9 1 ∈ P . Mas generalmente si x 6= 0 entonces x2 ∈ P .Ademas N ⊆ R.

De hecho como 0 6= x 6∈ P entonces x ∈ P o −x ∈ P entonces si x ∈ Pentonces x× x = x2 ∈ P , y si −x ∈ P se tendrıa que (−x)(−x) = (x× x) =x2 ∈ P , luego en cualquiera de los casos se tiene que x2 ∈ P . En particular1×1 = 1 ∈ P.Ademas como P es cerrado bajo la suma se tiene que 1+1 ∈ P yası inductivamente se tiene que n ∈ P , para cualquier n ∈ N, es decir N ⊆ P .

Al conjunto P se le llama el conjunto de los numeros positivos. Al con-junto de los inversos aditivos de elementos de P se les llama el conjunto delos numeros negativos.

El conjunto P define un orden en R como sigue:

Definicion 3.2.1 Si x y y son numeros reales tales que y− x ∈ P entoncesdiremos que x es menor que y. Y anotamos x < y. O tambien decimos que yes mayor que x y anotamos y > x.

Por ejemplo 1 < 0 pues 1− 0 = 1 ∈ P . Del mismo modo x < x+ 1, paracualquier numero real.

Observacion 3.2.10 Si x < y y y < z entonces x < z. (Transitividad)De hecho como x < y y y < z entonces y − x ∈ P y z − y ∈ P entonces

(y − x) + (z − y) ∈ P lo cual implica que z − x ∈ P lo cual a su vez implicapor definicion que x < z.

Observacion 3.2.11 Si x < y y c ∈ R entonces x + c < y + c. Es decircuando sumamos un numero real a cada lado de una desigualdad, el sentidode la desigualdad se mantiene.

De hecho como x < y se tiene que y−x ∈ P entonces (y−x)+(c−c) ∈ Plo cual implica que (y+c)−(x+c) ∈ P lo cual a su vez implica por definicionque x+ c < y + c.

Observacion 3.2.12 Si x < y y c ∈ P entonces xc < yc. Notar que c ∈ Pes equivalente a c − 0 ∈ P en nuestro nuevo lenguaje es equivalente a decirc > 0. Entonces nuestra ultima observacion es equivalente a la siguiente: Si

55

x < y y c > 0 entonces xc < yc. Es decir, cuando multiplicamos por unnumero positivo ambos lados de una desigualdad el sentido de la desigualdadse mantiene.

De hecho como x < y se tiene que y − x ∈ P y como c ∈ P entoncesse tiene que c(y − x) ∈ P lo cual implica que yc − xc ∈ P lo cual a su vezimplica por definicion que xc < yc.

Observacion 3.2.13 Si x < y y 0 6= c 6∈ P entonces xc > yc. Notar que−c ∈ P es equivalente a 0−c ∈ P en nuestro nuevo lenguaje es equivalente adecir c < 0. Entonces nuestra ultima observacion es equivalente a la siguiente:Si x < y y 0 < c entonces xc > yc. Es decir, cuando multiplicamos por unnumero negativo ambos lados de una desigualdad el sentido de la desigualdadse invierte.

De hecho como x < y se tiene que y− x ∈ P y como −c ∈ P entonces setiene que −c(y − x) ∈ P lo cual implica que −yc + xc ∈ P lo cual a su vezimplica por definicion que xc > yc.

Ejemplo: Como 1 < 2 y −1 < 0 se tiene que −1 > −2.

Mas definiciones y notaciones:

Definicion 3.2.2 Si x y y son numeros reales , x ≤ y significara que x < yo x = y. Note que las tres ultimas observaciones siguen siendo ciertas sicambiamos < por ≤ .

Definicion 3.2.3 Si a, b son numeros reales y a < b. Al conjunto I = x ∈R/a ≤ x ≤ b se le llama el intervalo cerrado a b. Y se anota I = [a, b].

Definicion 3.2.4 Si a, b son numeros reales y a < b. Al conjunto J = x ∈R/a < x < b se le llama el intervalo abierto a b. Y se anota J = (a, b).

Definicion 3.2.5 Si a, b son numeros reales y a < b. Al conjunto K = x ∈R/a ≤ x < b se le llama el intervalo semi-cerrado por la izquierda a b. Y seanota K = [a, b).

Definicion 3.2.6 Si a, b son numeros reales y a < b. Al conjunto L = x ∈R/a < x ≤ b se le llama el intervalo semi-cerrado por la derecha a b. Y seanota L = (a, b].

56

Definicion 3.2.7 Si a ∈ R al conjunto M = x ∈ R/x ≥ a lo anotamospor M = [a,∞).

Definicion 3.2.8 Si b ∈ R al conjunto N = x ∈ R/x ≤ b lo anotamospor N = (−∞, b].Definicion 3.2.9 Si a ∈ R al conjunto O = x ∈ R/x > a lo anotamospor O = (a,∞).

Definicion 3.2.10 Si b ∈ R al conjunto T = x ∈ R/x < b lo anotamospor T = (−∞, b).Definicion 3.2.11 R = (−∞,∞).

A los numeros reales se les suele dibujar como puntos de una recta. Enalguna parte se ubica al 0. A la derecha de el a los numeros positivos y a laizquierda de el a los numeros negativos. En general si x < y a y si dibuja auna distancia y − x a la derecha de x.

Ası por ejemplo el intervalo (1, 5] se dibuja del siguiente modo:

Por ejemplo: Encuentre todos los numeros reales x tales que 3x + 5 <7x− 3.

Solucion: Se trabaja igual que en ecuaciones teniendo cuidado que al mul-tiplicar por un negativo el sentido de la desigualdad se invierte. Suponiendoque x es una solucion se simplifica la expresion que debe cumplir, por ejemplo

3x+ 5 < 7x− 3/− 5

57

3x < 7x− 8/− 7x

−4x < −8/−1

4

x > 2

Luego el conjunto de todas las solucioes es: (2,∞). Generalmente, hay masde una solucion y hablamos del conjunto solucion de la desigualdad (o in-ecuacion).

Otro ejemplo: Encuentre todos los numeros reales x tales que x2−6x+6 <x.

Solucion 1:x2 − 6x+ 6 < x/− xx2 − 7x+ 6 < 0

(x− 6)(x− 1) < 0

Tenemos que el producto de dos numeros reales,(x − 6) y (x − 1), es unnumero negativo. Por las observaciones que hicimos antes, se tiene que esose logra si (x − 6) < 0 y (x − 1) > 0 o bien (x − 6) > 0 y (x − 1) < 0.Estudiemos el primer caso: (x− 6) < 0 y (x− 1) > 0 es equivalente a x < 6y x > 1 luego este caso tiene por solucion al intervalo S1 = (1, 6).

Estudiemos ahora el segundo caso: (x−6) > 0 y (x−1) < 0 es equivalentea x > 6 y x < 1.¿ Cual numero real es menor que 1 y mayor que 6? Larespuesta es ninguno. Luego este caso tiene por solucion al conjunto S2 = Φ.Entonces el conjunto de los x ∈ R tal que x2 − 6x + 6 < x es el intervalo(1, 6).

Solucion 2:x2 − 6x+ 6 < x/− x

58

x2 − 7x+ 6 < 0

(x− 6)(x− 1) < 0

Estudiemos la recta real en tres intervalos: (−∞, 1), (1, 6) y (6,∞)Si x ∈ (−∞, 1) entonces (x−6) < 0 y (x−1) < 0 entonces (x−6)(x−1) >

0. Luego no hay ninguna solucion de nuestro problema en ese intervalo.Si x ∈ (1, 6) entonces (x−6) < 0 y (x−1) > 0 entonces (x−6)(x−1) < 0.

Luego todo el intervalo (1, 6) es solucion de nuestro problema .Si x ∈ (6,∞) entonces (x−6) > 0 y (x−1) > 0 entonces (x−6)(x−1) > 0.

Luego no hay ninguna solucion de nuestro problema en ese intervalo.Luego la solucion general a nuestro problema es el intervalo (1, 6)

Un concepto importante es el de valor absoluto de un numero real, a lahora de medir distancias, y de formalizar esta idea.

Definicion 3.2.12 Si x ∈ R definimos el valor absluto de x por:

|x| =x si x ≥ 0−x si x < 0

Algunas propiedades del valor absoluto son las siguientes:

Propiedades 3.2.2 1. Para cualquier par de numeros reales x, y se tiene:|xy| = |x||y|

2. Para cualquier numero real x se tiene: | − x| = |x|3. Para cualquier numero real x se tiene: |x| ≥ 0.

4. Si c > 0 entonces se tiene que x ∈ R/|x| < c = (−c, c).5. Si c > 0 entonces se tiene que x ∈ R/|x| ≤ c = [−c, c].6. Para cualquier par de numeros reales x, y se tiene: |x+ y| ≤ |x|+ |y|.

(Desigualdad Triangular)

7. Para cualquier par de numeros reales x, y, con y 6= 0, se tiene: |x||y| =∣∣∣xy∣∣∣

59

Las demostraciones de la veracidad de esas propiedades se deja al lectora modo de ejercicio.

Un error muy comun es pensar que −x denota siempre un numero neg-ativo, y en realidad lo que denota es el inverso aditivo de x y solo eso. Porejemplo, si x esta a la izquierda de 0 entonces −x es un numero positivo. Delmismo modo muchas personas creen que el valor absoluto de un numero realx es “sacarle el signo a x. Lo cual tambien es un error pues, por ejemplo si xesta a la izquierda de 0 entonces |x| = −x y en este caso le pusimos un signo.

Ejemplo: Encuentre todos los numeros reales x tales que

|x+ 2|+ |3x− 1| > 4

Solucion:Para hacer este tipo de ejercios necesitamos dividir nuestra recta real, en

intervalos para obtenr desigualdades equivalentes a la del problema, dondeno aparezaca el valor absoluto.

Los puntos que tenemos marcados son exactamente los valores donde losvalores absolutos que aparecen se anulan.

Caso 1: Si x < −2. En este caso x + 2 < 0 y 3x − 1 < 0, luego en estecaso se tiene que |x+ 2| = −(x+ 2) y |3x− 1| = −(3x− 1), entonces nuestradesigualdad en este caso es equivalente a:

−(x+ 2)− (3x− 1) > 4

−4x− 1 > 4/+ 1

60

−4x > 5/−1

4

x <−5

4,

luego si x < −2 y x satisface nuestra desigualdad se tiene que x < −54. Los x

que son solucion viven en el intervalo S1 = (−∞,−2).

Caso 2: Si −2 ≤ x ≤ 13. En este caso x + 2 ≥ 0 y 3x − 1 ≤ 0, luego en

este caso se tiene que |x+2| = x+2 y |3x−1| = −(3x−1), entonces nuestradesigualdad en este caso es equivalente a:

x+ 2− (3x− 1) > 4

−2x+ 3 > 4/− 3

−2x > 1/−1

2

x <−1

2,

luego si −2 ≤ x ≤ 13

y x satisface nuestra desigualdad se tiene que x < −12.

Los x que son solucion viven en el intervalo S2 = [−2, −12

).

Caso 3: Si x ≥ 13. En este caso x+ 2 ≥ 0 y 3x− 1 ≥ 0, luego en este caso

se tiene que |x+ 2| = x+ 2 y |3x− 1| = 3x− 1, entonces nuestra desigualdaden este caso es equivalente a:

x+ 2 + 3x− 1 > 4

4x+ 1 > 4/− 1

4x > 3/1

4

x >3

4,

luego si x ≥ 13

y x satisface nuestra desigualdad se tiene que x > 34. Los x

que son solucion viven en el intervalo S3 = (34,∞).

Luego la solucion total de nuestro problema es:

S = S1 ∪ S2 ∪ S3 = (−∞, −1

2) ∪ (

3

4,∞) = R− [

−1

2,3

4]

61

Definicion 3.2.13 Si x y y son numeros reales, la distancia entre x y y sedefine como |x− y|.

Se invita al estudiante decir por que esta es una buena definicion. Enparticular |x| es la distancia de x a 0.

Si ε > 0 y a ∈ R entonces el conjunto de todos los numeros reales x queestan a distancia menor que ε de a es x ∈ R/|x − a| < ε = (a − ε, a + ε).Hay quienes a ese conjunto le llaman el vecindario de centro a y radio ε. Elestudio de aquellos conjuntos sera muy importante en los capıtulos venideros,ya que dan cuenta de la nocion de cercania, de aproximacion. Por ejemplo,dibuja en una misma recta real los intervalos abiertos In = x ∈ R/|x− 2| <1n = (2− 1

n, 2+ 1

n), para cada n ∈ N. Son vecindarios cada vez mas pequenos

al rededor de 2. ¿Podrıas decir que conjunto es la interseccion de todos losconjuntos In ası definidos?

3.3 Conjuntos Acotados:Infimo y Supremo

Consideremos el siguiente conjunto A = q ∈ Q/q2 ≤ 2. Este conjunto esun subconjunto no vacıo de Q, ademas para cualquier elemento q de A setiene que q ≤ 2. De hecho puedo ser mas preciso y decir que

q ≤ 3

2∀q ∈ A.

De hecho puedo ser aun mas preciso y decir

q ≤ 7

5∀q ∈ A.

De hecho puedo ser aun mas preciso y decir

q ≤ 141

100∀q ∈ A.

De hecho puedo ser aun mas preciso y decir

q ≤ 707

500∀q ∈ A.

Ası sucesivamente podemos encontrar numeros racionales que estan a laderecha de A, sin embargo no podemos encontrar el numero racional mas

62

pequeno que esta a la dercha de A ni tampoco podemos encontrar el masgrande dentro de A. Esa es la verdadera razon formal por la cual es nece-sario construir los numeros reales. Antes que nada pongamonos de acuerdoen algunos nombres, que a estas alturas ya forman un diccionario.

Definicion 3.3.1 Un subconjunto A de R se dice acotado superiormente, siexiste M ∈ R tal que para cualquier a ∈ A se tiene que a ≤M, a M se llamauna cota superior de A. Se dice acotado inferiormente, si existe m ∈ R talque para cualquier a ∈ A se tiene que m ≤ a, a m se llama una cota inferiorde A. A se dice acotado si es acotado inferiormente y superiormente a la vez.

Ejemplo: El conjunto X = (0, 1) es acotado. Pues para cualquier elementode x ∈ X se tiene que 0 ≤ x ≤ 1.

Notar que si M es una cota superior de A, y si N ≥ M entonces N esuna cota superior de A tambien. Del mismo modo si m es una cota inferiorpara A y n ≤ m entonces n es tambien una cota inferior de A.

Definicion 3.3.2 Si A es un conjunto acotado superiormente y s es unacota superior de A tal que si t es otra cota superior de A siempre se cumpleque s ≤ t, entonces s se llama Supremo de A. Y anotamos sup(A) = s. Si Aes un conjunto acotado inferiormente e i es una cota inferior tal que si j esotra cota inferior siempre se cumple que j ≤ i entonces i se llama Infimo deA. Y anotamos inf(A) = i.

Ejemplo: sup((0, 1)) = 1 e inf((0, 1)) = 0.

La siguiente es una propiedad muy importante de los numeros reales,que si los hubiesemos construido la podrıamos demostrar, pero como nuestrapresentacion fue axiomatica la presentamos como

Axioma 3.3.1 (Axioma del Supremo) Todo conjunto no vacıo de numerosreales que es acotado superiormente tiene un supremo.

Como concecuencia de este axioma se tiene el siguiente

Teorema 3.3.1 Todo conjunto no vacıo de numeros reales que es acotadoinferiomente tiene un ınfimo.

63

Demostracion:Si A es un conjunto acotado inferiormente entonces −A = −a/a ∈ A

es un conjunto acotado superiormente por axioma del supremo existe s =sup(−A) esto es s es la menor de las cotas superiores de −A. Como enparticular s es cota superior de −A se tiene que

s ≥ −a, ∀ − a ∈ −Ao equivalentemente

−s ≤ a, ∀a ∈ Aes decir −s es cota inferior de A. Ahora bien si −s no fuese el ınfimo de Ase tendrıa que existe j ∈ R cota inferior de A, pero mayor que −s, esto es

−s < j ≤ a, ∀a ∈ Ao equivalentemente

s > −j ≥ −a, ∀ − a ∈ −Alo cual es una contradiccion pues s = sup(−A), es decir suponer que −s noes el ınfimo de A es un error, es decir inf(A) = −s, en particular el inf(A)existe. 2

Lo que tenemos que tener claro es que el supremo de un conjunto acotadosuperiormente no vacıo es la menor de las cotas superiores. Cuando el supre-mo de un conjunto A es un elemento de A, entonces al supremo en ese casose le llama Maximo y se anota Max(A). Cuando el supremo de un conjuntono es un elemento del conjunto en cuestion, es un punto que esta pegado alconjunto, esta adherido al conjunto. Es decir, no lo podemos separar de nue-stro conjunto, es decir, si sup(A) = s entre A y s no existe ningun intervalo.Es decir, cualquier vecindario de la forma (s − ε, s + ε) contiene elementosde A.

Otra forma de entender el concepto de supremo es la siguiente: s = sup(A)si y solamente si s es una cota superior de A y cada vez que nos movemosun poco a la izquierda de s se nos cuela un elemento de A. De otro modo,Para cualquier ε > 0 existe a ∈ A tal que s− ε < a.

Lo mismo podemos decir del ınfimo: i = inf(A) si y solamente i es unacota inferior de A y para cualquier ε > 0 existe a ∈ A tal que i + ε > a.En el caso en que A es acotado inferiormente y i = inf(A) y ademas i ∈ Adecimos que i es el minimo de A y anotamos i = min(A)

64

Algunas observaciones:

Observacion 3.3.1 El supremo y e ınfimo cuando existen son unicos. Poreso le llamamos “el supremo y “el ınfimo.

Observacion 3.3.2 Un conjunto A es acotado si y solamente si existe unnumero positivo M tal que para cualquier a ∈ A se tiene que |a| ≤M.

Observacion 3.3.3 Si s es cota superior de A y ademas s ∈ A, entoncess = sup(A). Mejor aun s = Max(A)

Observacion 3.3.4 Si i es cota inferior de A y ademas i ∈ A, entoncesi = inf(A). Mejor aun i = min(A)

Observacion 3.3.5 Si s = sup(A), entonces −s = inf(−A).Es decir, −sup(A) =inf(−A).

Observacion 3.3.6 El vacıo es un conjunto acotado para el cual todo numeroreal es una cota superior y por lo tanto no tiene supremo.

Observacion 3.3.7 Si A es un conjunto finito entonces es acotado y existeel minimo y el maximo del conjunto.

Observacion 3.3.8 Si φ 6= A ⊆ Z es acotado superiormente entonces tienemaximo, en particular sup(A) ∈ Z.

Una concecuencia interesante de la observacion anterior es la siguiente:

Observacion 3.3.9 Si φ 6= A ⊆ N entonces min(A) = inf(A) ∈ N. Todosubconjunto no vacıo de numeros naturales tiene un menor elemento.

65

Se invita al estudiante a probar la veracidad de estas observaciones. O almenos que se convenza de algun modo.

Una propiedad importante:

Propiedad 3.3.1 (Propiedad Arquimedeana) Para cualquier numero re-al R existe un numero natural N tal que R < N.

Esta propiedad dice entre otras cosas que el conjunto de los numerosnaturales no es acotado superiormente. No es una gran novedad, pero esbueno dejarlo establecido.

La propiedad arquimedeana es equivalente a la siguiente:

Proposicion 3.3.1 El ınfimo de A = 1n/n ∈ N es 0.

Demostracion:Que el conjunto A es acotado inferiormente es claro pues A es un conjunto

de numeros positivos, por lo tanto 0 < a ∀a ∈ A. Luego 0 es una cota inferiorde A.

Para probar que 0 es el ınfimo de A tenemos que probar que si me muevoun poco a la derecha de 0 hay un elemento del conjunto que se cuela entremedio. Es decir, debemos probar que para cualquier ε > 0 se tiene que existea ∈ A tal que 0 + ε > a. O equivalentemente: Para cualquier ε > 0 existen ∈ N tal que ε > 1

n.

Pues bien, sea ε > 0 cualquiera, pero desde ahora fijo, por propiedadarquimedeana existe N ∈ N tal que 1

ε< N multiplicando esta ultima de-

sigualdad por εN

que es un numero positivo, por lo tanto el sentido de ladesigualdad se mantiene, se obtiene que

1

N< ε que es lo que queremos probar. 2

Un ejemplo: Consideremos el conjunto A = nn+1

/n ∈ N ¿Es el conjunto Aacotado? ¿Que podemos decir acerca del supremo y el ınfimo?

Solucion:El conjunto A es acotado, pues todos los elementos de A son positivos por

lo tanto 0 es una cota inferior. Por otra parte, sabemos que n < n+1 ∀n ∈ N,luego multiplicando por 1

n+1se tiene que n

n+1< 1, luego 1 es una cota superior

66

de A. Luego A es acotado. Notemos que n2 + 2n + 1 > n2 + 2n, es decir(n+ 1)2 > n(n+ 2) o equivalentemente

n+ 1

n+ 2>

n

n+ 1∀n ∈ N

Es decir, los elementos de A estan ordenados

1

2<

2

3<

3

4<

4

5<

5

6<

6

7<

7

8<

8

9<

9

10<

10

11<

11

12< · · ·

Por lo tanto 12≤ a ∀a ∈ A y como 1

2∈ A se tiene que inf(A) = 1

2=

min(A). Por otra parte notamos que a medida que n crece nn+1

tambiencrece y cada vez mas se parece a 1. Por ejemplo, para n = 1010 se tiene quenn+1

= 0, 999999999. En general:

∀n ∈ N se tienen

n+ 1= 1− 1

n+ 1

y como sabemos por la proposicion anterior que 1n

es tan pequeno comoqueramos, podemos afirmar que n

n+1= 1 − 1

n+1esta tan cerca de 1 como

queramos aunque menor que 1. Es decir, afirmamos que sup(A) = 1, dehecho si ε > 0, cualquiera, existe N ∈ N tal que 1

N< ε, o equivalentemente

− 1N> −ε, o equivalentemente 1− 1

N> 1−ε, o equivalentemente N−1

N> 1−ε,

y sabems que NN+1

> N−1N

> 1 − ε, es decir acabamos de probar que para

cualquier ε > 0 existe a ∈ A, a saber a = NN+1

tal que 1 − ε < a. Es decir,sup(A) = 1 2

Un ultimo ejemplo antes de ver una pequena aplicacion es la siguiente:

Proposicion 3.3.2 Si 0 < r < 1 entonces A = rn/n ∈ N es un conjuntoacotado tal que sup(A) = r e inf(A) = 0.

Indicacion de Demostracion:Notemos que 1 > r implica que r > r2, multiplicando por r. Inductiva-

mente podemos probar que para cualquier n ∈ N se tiene que rn > rn+1 .Mas generalmente, se puede probar que rn > rm siempre y cuando m > n.De este modo para cualquier n ∈ N se tiene que r = r1 ≥ rn, es decir, r ≥ apara cualquier a ∈ A. Luego Max(A) = sup(A) = r.

67

Notamos que a medida que n crece rn decrece, se hace cada vez maspequeno. Mostraremos que se hace tan pequeno como queramos. Observa-mos que 1

r> 1, es decir, existe c > o tal que 1

r= 1 + c, (¿Por que?) o

equivalentemente, existe c > 0 tal que r = 11+c

. Luego rn = 1(1+c)n

, peronotamos que:

(1 + c)n =n∑

k=0

(n

k

)ck = 1 + nc+

n∑

k=2

(n

k

)ck ≥ 1 + nc (¿Por que?)

(Esta ultima desigualdad se conoce como desigualdad de Bernoulli.)Pues entonces tenemos que si ε > 0:

rn =1

(1 + c)n≤ 1

1 + nc≤ 1

nc=

1

c× 1

n,

pero por Proposicion(3.3.1) se tiene que existe N ∈ N tal que 1N< cε, luego

1Nc

< ε, resumiendo existe N ∈ N tal que rN < ε, es decir para caulquier ε >existe a ∈ A, a saber a = rN , tal que 0 + ε > a, luego inf(A) = 0 2

Antes definimos el valor absoluto de un numero, y era algo ası como aso-ciarle a cada numero real x un unico numero positivo del “mismo tamanoque x. Ahora a cada numero real le asociaremos un unico numero entero,pero para ello ocuparemos la Observacion(3.3.8), de modo que ahora la pro-baremos.

Prueba de Obs.(3.3.8) Si φ 6= A ⊆ Z acotado superiormente en R, poraxioma del supremo existe sup(A) = s ∈ R. En particular se tiene ques ≥ a, ∀a ∈ A. Afirmamos que existe un unico elemento α ∈ A tal que0 ≤ s−a < 1. Que s−a ≥ 0 es claro pues s es cota superior de A. Si tal α noexistiese se tendrıa que s− a ≥ 1, ∀a ∈ A, lo cual es equivalente a decir ques− 1 ≥ a, ∀a ∈ A, lo cual quiere decir que s− 1 es cota superior lo cual esuna contradiccion pues (s = sup(A). Luego existe α ∈ A tal que s− α < 1.

Si existiesen al menos dos elementos distintos de A con la propiedad deα, digamos α y β tales que s − α < 1 y s − β < 1 y supongamos α < β,entonces

β − α = |β − α| = |β − s+ s− α| ≤ |β − s|+ |s− α| < 1 + 1 = 2,

luego como α y β son numeros enteros se tiene que β − α = 1, o equiva-lentemente β = α + 1, luego s − α = s − β + 1 = 1 + (s − β) ≥ 1, lo cual

68

contradice el hecho que s − α < 1. Luego tal α existe y es unico. Luegos ≥ a ∀a ∈ A− α, consideremos s− α = t, entonces si t 6= 0 tenemos quet2> 0.

En este caso s > s − t2> a, ∀a ∈ A lo cual contradice el hecho que

s = sup(A) luego t = 0. Luego s = α. Luego s ∈ A. Luego sup(A) =Max(A) ∈ A. 2

Ahora si x ∈ R cualquiera, consideremos el conjunto Ax = a ∈ Z/a ≤ xque depende de x, y que es un conjunto no vacıo (¿Por que?) de numerosenteros acotado superiormente por x. Por lo tanto, y por lo visto anterior-mente sup(Ax) = Max(Ax) ∈ Ax ⊆ Z a tal numero entero se le llama laParte entera de x y se anota [x] = Max(Ax). Por ejemplo si n ∈ Z se tiene[n] = n. Hay que tener en mente que [x] es el mayor entero menor o igual quex. Si x 6∈ Z entonces [x] es el entero que esta “inmediatamente a la izquierdade x.

Por ejemplo: [12] = 0, [−1

2] = −1.

Por ejemplo: Si n ∈ N se tiene que [n + x] = n + [x], ∀x ∈ R. (¿Estoultimo sigue siendo cierto si cambiamos N por Z?)

¿Es cierto que [x+ y] = [x] + [y] ∀x, y ∈ R?

La parte entera es otro ejemplo de un asignacion de valores numericosa los elementos de ciertos conjuntos, que a su vez pueden ser numeros. Elvalor absoluto tambien es un ejemplo de ello, a cada punto de la recta real leasociamos un numero real positivo o cero. En el prximo capıtulo estudiaremosesas asociaciones en total generalidad.

69

Capıtulo 4

Funciones

4.1 Ejemplos y Conceptos Basicos

Como ya vimos existen formas de asociar a cada elemento de un conjuntoun elemento de otro conjunto (que puede ser el mismo). Por ejemplo el valorabsoluto de un numero real asocia a cada numero x la distancia que hayentre x y 0. Por ejemplo, cuando a cada numero positivo x asociamos el areadel cuadrado de lado x, decimos que el area esta en funcion del lado. Larelacion F = ma dice que a masa constante, la fuerza esta en funcion de laaceleracion. En la relacion E = mc2 decimos que la energıa esta en funcionde la masa. Y ası tenemos muchos ejemplos:

La posicion de un movil es una funcion del tiempo.La presion de un gas en un recipiente es una funcion de la temperatura.El volumen de una esfera es una funcion del radio dela esfera.La fuerza de atraccion entre dos cuerpos es una funcion de la distancia

que los separa.El numero de habitantes de una comunidad es una funcion de la natalidad.La velocidad de la sangre en una arteria es una funcion de la distancia

de la sangre al eje central de la arteria.(Ley dePoiseuille).La rapidez con que se propaga un chisme es funcion de la cantidad de

gente que ya lo sabe.La cantidad de palabras que quedan del Latın en el castellano es una

funcion del tiempo.La firmeza con que se mantiene un habito en una persona es una funcion

de la cantidad de estımulos favorables al habito.

70

La probabilidad que un suceso ocurra es una funcion de la cantidad decasos favorables al suceso.

La propagacion de una epidemia es una funcion de la cantidad de pa-cientes ya infectados.

Pues bien, esa palabra , funcion, es sin duda el objeto mas estudiado enmatematicas, es tanto o mas importante conocer las funciones que actuan enun conjunto que el propio conjunto. Entonces hagamos una definicion parasaber de que estamos hablando, o al menos para tener un consenso:

Definicion 4.1.1 Dados dos conjuntos A y B una funcion de A en B esuna relacion, una asignacion, que a cada elemento a de A le asocia un unicoelemento b en B.Y anotamos f : A → B. f(a) = b denota que f asocia alelemento a ∈ A el elemento b ∈ B, y decimos que b es la imagen de a vıaf, o tambien a es una preimagen de b vıa f. Al conjunto A le llamamos elconjunto de salida de f, o tambien le llamamos el dominio de f, y anotamosDom(f) = A (hay libros en que Dom(f) denota otra cosa). Al conjunto B lellamamos el conjunto de llegada de f, o tambien el recorrido de f y anotamosRec(f) = B. (hay libros en que Rec(f) denota otra cosa).Al conjunto deelementos de B que son la imagen de algun elemento a ∈ A vıa f le llamamosel conjunto de las imagenes de f, y anotamos

Im(f) = b ∈ B/ existe a ∈ A tal que f(a) = bo mas sucintamente

Im(f) = f(a) ∈ B/ a ∈ A.Ejemplo:id : R→ R definida por id(x) = x, es la funcion que no hace nada.A cada elemento lo deja fijo. A esa funcion le llamamos la funcion identidad.Y tiene la particularidad que Im(f) es todo el conjunto de llegada.

Otro ejemplo: Si c ∈ R, fijo, consideramos la funcion que a cada numero realx le asocia el mismo numero c, independiente del valor de x. A tal funcionle llamamos la funcion constante de valor c, o tambien la funcion constanteigual a c, o simplemente la funcion c. Anotamos f : R → R definida porf(x) = c. Y se tiene que Im(f) = c.Otro ejemplo:La relacion que a cada elemento de R le asocia su inverso mul-tiplicativo, No es una funcion. Pues el elemento 0 no tiene una imagen. Estoes f : R→ R definida por f(x) = 1

xno es funcion.

71

Otro ejemplo:La relacion que a cada elemento x de R le asocia un numero realr tal que r2 = x. No es una funcion. Pues el elemento 1 tiene dos imagenes,a saber, 1 y −1. Ademas el elemento −1 no tiene imagen. Si asumimos quetodo numero real no negativo es el cuadrado de un numero real no negativo 1,podrıamos restringir el dominio y el recorrido de nuestra relacion para obteneruna funcion. Entonces la relacion que a cada numero real x no negativo leasocia un numero r no negativo tal que r2 = x, es una funcion y se conocecomo la funcion raız cuadrada. Anotamos f : [0,∞) → [0,∞) definida porf(x) =

√x. En este caso Im(f) = [0,∞) que es todo el conjunto de llegada.

Si tenemos una funcion f : A→ B tal que Im(f) = B, diremos que f esuna funcion Epiyectiva o tambien Sobreyectiva. Por ejemplo la funcion raızcuadrada, como la definimos en el ejemplo anterior es epiyectiva. La funcionidentidad es una funcion epiyectiva. La funcion constante no es epiyectiva. Lafuncion f : R→ R definida por f(x) = x2 no es epiyectiva, pues −1 6∈ Im(f).

Una observacion inmediata es que si f : A→ B es una funcion, entoncessi restringimos el recorrido obtenemos una funcion epiyectiva, esto es: f :A→ Im(f) definida por f(x) = f(x) es una funcion epiyectiva.

Ejemplo: La funcion f : R→ [0,∞), definida por f(x) = |x| es epiyectiva.Y ademas cada elemento del conjunto de llegada salvo el 0 tiene dos preima-genes. Esto es, si y 6= 0 en el conjunto de llegada, entonces f(y) = f(−y) = y.Para ciertos propositos esta propiedad no es muy bienvenida, en muchos casosquisieramos que puntos distintos del conjunto de salida sean transformadosvıa f en elementos distintos en el conjunto de llegada.

Una funcion f : A → B tal que si a 6= a′ en A entonces f(a) 6= f(a′) enB, se llama funcion inyectiva o funcion uno a uno. Por ejemplo la funcionvalor absoluto del ejemplo anterior NO es inyectiva. La funcion identidades inyectiva y ya sabıamos que es epiyectiva. La funcion f : R − 0 →R− 0 definida por f(x) = 1

xes inyectiva y epiyectiva a la vez. La funcion

g : [0,∞) → R definida por f(x) = x2 es inyectiva pero no epiyectiva.Una caracterizacion de las funciones inyectivas es la siguiente: Una funcionf : A→ B es inyectiva si y solamente si cada vez que f(a) = f(a′) en B, setiene que a = a′ en A. Si asumimos que todo numero real no negativo es el

1Aun no estamos preparados para probar esa afirmacion, pero pronto lo estaremos.

72

cuadrado de un numero real no negativo 2, entonces las siguientes funcionesson distintas:

f1 : [0,∞)→ [0,∞) definida porf1(x) = x2,

f2 : [0,∞)→ R definida porf2(x) = x2,

f3 : R→ R definida porf3(x) = x2,

pues la primera es inyectiva y epiyectiva a la vez, la segunda es inyectivapero no epiyectiva y la tercera no es inyectiva ni tampoco epiyectiva, demodo que no pueden ser iguales. Hay libros que no hacen diferencias entreesas funciones, en particular entre f1 y f2, pero en este curso si haremos estadiferencia. Resumiendo una funcion es un triple, un conjunto de salida A,un conjunto de llegada B y una relacion f entre ellos, con la condicion quetodos los elementos de A tengan una imagen en B vıa f y que esa imagen seaunica. Si cambiamos uno de esos tres ingredientes la funcion que se obtienees distinta a la anterior.

Una funcion que es a la vez inyectiva y epiyectiva se llama Biyectiva.

4.2 Composicion de Funciones

Dadas dos funciones, f : A → B y g : B → C, podemos definir una funcionde A en C. Lo que haremos es poner a B como puente entre A y C, delsiguiente modo:

A→ B → C

¿Como podemos ir de A a B? La respuesta es simple, tomamos un elementoa en A y lo mandamos a B vıa f, digamos f(a) = b ∈ B, ahora bien, comob esta en B sabemos mandarlo a C vıa g, es decir, g(b) = c ∈ C. Luegoc = g(f(a)), es decir, hemos construido una funcion de A en C tal que acada elemento a en A lo manda a g(f(a)) ∈ C, a tal funcion se llama lafuncion composicion de g con f, y se anota:

g f : A→ C definida por g f(x) = g(f(x)).

Por ejemplo: Cosideremos las funciones f, g : R→ R definidas por: f(x) = x2

2idem

73

y g(x) = 2x+ 3 entonces g f : R→ R es la funcion

g(f(x)) = g(x2) = 2x2 + 3,

como en nuestro caso A = B = C = R tiene sentido considerar f g : R→ R,que es la funcion

f(g(x)) = f(2x+ 3) = (2x+ 3)2 = 4x2 + 12x+ 9,

que como vemos son distintas, de hecho, por ejemplo gf(0) = 3 y f g(0) =9. Hay casos en que f g tiene sentido y g f no tiene ningun sentido.

Por ejemplo:Cosideremos las funciones f : R→ R definida por: f(x) = x2

y g : R− 0 → R definida por g(x) = 1x, entonces f g : R− 0 → R, que

es la funcion

f(g(x)) = f(1

x) =

(1

x

)2

=1

x2,

lo cual tiene sentido pues x = 0 no pertenece al dominio f g esta biendefinida, sin embargo, g f : R→ R, no tiene sentido pues g f(0) no existe.

Un caso particular es el siguiente: Supongamos que f : A→ B y g : B →A son funciones tales que f g : B → B es la funcion identidad de B, esdecir, f g = idB, es decir f(g(b)) = b ∀b ∈ B y ademas g f : A→ A es lafuncion identidad de A, es decir, g f = idA, es decir g(f(a)) = a ∀a ∈ A. Esdecir, f deshace lo que g hace y viceversa. Es decir, f(a) = b si y solamentesi g(b) = a. En ese caso, decimos que f y g son funciones inversas entresi, o tambien decimos que f es la inversa de g y que g es la inversa de f,y anotamos f−1 = g y g−1 = f. Cuando una funcion f tiene una funcioninversa decimos que f es invertible.

Un ejemplo: Consideremos la funcion f : R−0 → R−0 definida porf(x) = 1

x, notemos que si x 6= 0 entonces

f f(x) = f(f(x)) = f(1

x) =

11x

= x,

es decir, f f = idR−0.(Note que la composicion en el otro sentido no esnecesaria hacerla en este caso). Luego f es invertible y f es su propia inversa.

74

Si f : A → B es biyectiva, entonces para todo elemento b en B existeun elemento a en A tal que f(a) = b (epiyectividad), ademas tal a es unico(inyectividad). Luego definamos g : B → A por g(b) = a si y solamente sif(a) = b. No es difıcil darse cuenta que g−1 = f. Fue exactamente lo quehicimos cuando definimos la funcion raız cuadrada. Es decir, f : [0,∞) →[0,∞) definida por f(x) = x2 es biyectiva y definimos g : [0,∞) → [0,∞)g(x) = r donde r es el unico numero real no negativo tal que r2 = x, es decir,g(x) = r si y solamente si f(r) = x, es decir g−1 = f.

La pregunta que algun estudiante curioso se pudiese hacer es: ¿ Si f es in-vertible es necesariamente biyectiva? La respuesta es Si, pero no es tan obvio,ası que la prueba de eso la daremos como la demostracion de la siguiente

Proposicion 4.2.1 Toda funcion invertible es biyectiva.

Demostracion:Si f : A → B es invertible, entonces por definicion existe g : B → A tal

que f g = idB, es decir f(g(b)) = b ∀b ∈ B y ademas g f = idA, es decir,g(f(a)) = a ∀a ∈ A. Si dos elementos a y a′ en A tales que f(a) = f(a′) = b,en ese caso g(f(a)) = g(b), pero por otra parte g(f(a)) = a, del mismo modog(f(a′)) = g(b), pero por otra parte g(f(a′)) = a′, luego a = g(b) = a′, Luegof es inyectiva. Ahora sea b ∈ B, sabemos que f(g(b)) = b, luego si a = g(b),entonces se tiene que para cualquier b ∈ B existe a ∈ A tal que f(a) = b,luego f es epiyectiva. Luego f es Biyectiva.2

La demostracion sugiere los siguientes ejercicios para el estudiante:

1. Si g f es biyectiva entonces f es inyectiva y g es epiyectiva.

2. Si f y g son biyectivas entonces si g f existe es biyectiva.

3. Im(f g) ⊆ Im(f)

La funcion f : R→ [0,∞) no es biyectiva, por lo tanto no tiene inversa,sin embargo podemos considerar la funcion g : [0,∞) → [0,∞), definidapor g(x) =

√x y componer con f en el unico sentido que se puede, a saber

g f : R→ [0,∞), y obtenemos

g f(x) = g(f(x)) =√x2

esta funcion se confunde comunmente con la funcion identidad, sin embargono lo es, de hecho, si x ≥ 0 se tiene que g f(x) = x por definicion de la

75

funcion raız cuadrada, pero si x < 0 se tiene que g f(x) = −x, es decir,g f(x) = |x|, es decir, √

x2 = |x|y notar ademas que f g(x) no tiene sentido en general. Es decir, hay numerospara los cuales la expresion (

√x)2 ni siquiera tiene sentido.

4.3 Funcion Afın

Como ya vimos la funcion identidad id : R→ R es biyectiva . ¿Que podemosdecir ahora de la funcion f : R → R definida por f(x) = 2x? Es facil darsecuenta que tambien es biyectiva. De hecho, si y es un numero real existe xen R, a saber x = y

2tal que f(x) = y, luego la funcion es epiyectiva. Ademas

si f(a) = f(a′), esto es 2a = 2a′, implica que a = a′, entonces f es inyectiva.Luego la funcion f es biyectiva.¿Que podemos decir de f(x) = 2x + 3? Darla respuesta a esta pregunta es un ejercicio para los estudiantes. Antes de

seguir con ejemplos, daremos una definicion general.

Definicion 4.3.1 Sea D ⊆ R y sea f : D → R una funcion. Al conjunto depuntos del plano de la forma (x, f(x)) se llama el grafico de f y anotamos,Γf = (x, y) ∈ R2/y = f(x).

Por ejemplo Γid = (x, y) ∈ R2/y = x = (x, x)/x ∈ R

El grafico de f : R → R definida por f(x) = 2x y el de f : R → Rdefinida por f(x) = 2x+ 3, son los que damos a continuacion, el primero enrojo y el segundo en azul.

Notamos que ambos graficos, al igual que el grafico de la identidad, ge-ometricamente representan lıneas rectas. Recordemos ahora ese concepto.

Definicion 4.3.2 Una recta L es el lugar geometrico de todos los puntos delplano tal que para cada par de puntos P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) en L setiene que x1 = x2 o bien el cuociente y2−y1

x2−x1= m es constante. A tal constante

m se llama la pendiente de la recta L.

76

Las rectas del primer tipo, L= (a, y)/y ∈ R, no las estudiaremos eneste curso, escencialmente por que no representan el grafico de funcion algu-na, ya que a tendrıa infinitas imagenes distintas. El siguiente es el grafico deL= (1, y)/y ∈ R.

En lo sucesivo cuando diga ”recta” me estare refiriendo a las rectas delsegundo tipo. Si de una recta L conocemos su pendiente, digamos m, y un

punto por el cual la recta pasa, digamos P1 = (x1, y1) entonces podemosconocer todos los otros puntos de la recta. De hecho, P = (x, y) pertenece ala recta L si y solamente si

y − y1

x− x1

= m

o equivalentemente si y solamente si los numeros x y y satisfacen la ecuacion:

y = mx+ (y1 −mx1), si a y1 −mx1 le llamamos n, obtenemos:

y = mx+ n,La cual se conoce como la ecuacion principal de la recta

Entonces tenemos que L= (x,mx + n)/x ∈ R. La pregunta ahora esinmediata ¿ Es L el grafico de alguna funcion f? La respuesta es igual deinmediata y es Si. De hecho es claro que es el grafico de f : R→ R definidapor f(x) = mx + n. Reciprocamente, dada una funcion del tipo f : R → R

77

definida por f(x) = ax + b, para ciertos a y b numeros reales fijos. ¿EsΓf = (x, ax + b)/x ∈ R una recta? Tomemos dos puntos cualesquiera enΓf , digamos P = (p, ap + b) y Q = (q, aq + b), como son puntos distintosp 6= q, hagamos el cuociente y2−y1

x2−x1en nuestro caso particular y si resulta ser

constante, independiente de p y de q estaremos en presencia de una recta.Ası tenemos:

aq + b− (ap+ b)

q − p =a(q − p)q − p = a pues p 6= q

Luego la funcion f : R→ R definida por f(x) = ax+ b, tiene por graficouna recta de pendiente a. A tales funciones les llamaremos funciondes afines,tambien les llaman funciones lineales, pero nosotros reservaremos ese nombrea otro tipo de funciones que veremos en un curso de Algebra Lineal.

Como por un par de puntos pasa una unica recta, para graficar una fun-cion afın basta conocer dos puntos del grafico y trazar la recta que porellos pasa. E inversamente si dos puntos pasan por la recta L, digamosP1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2), se tiene que y2−y1

x2−x1= m es la pendiente de la

recta. Luego la ecuacion de la recta es: y− y1 = m(x−x1), luego la ecuacionprincipal de la recta que pasa por los puntos dados es: y = mx+ (y1−mx1);Luego la funcion cuyo grafico es la recta que pasa por los puntos P1 = (x1, y1)y P2 = (x2, y2), es f : R→ R definida por f(x) = mx+ n, donde m = y2−y1

x2−x1

78

y n = y1 −mx1

Observemos los siguientes graficos:

Vemos una familia de varias (21) rectas del tipo y = ax, con a variando.La recta que es mas inclinada coresponde a a = 10, es decir, la recta masinclinada corresponde a y = 10x y la menos inclinada corresponde a y = 1

5x.

Es decir la pendiente de la recta es un nombre acertado, e indica la inclinacionde la recta.

Observemos ahora el siguiente grafico:

Vemos una familia de varias (21) rectas del tipo y = x+ a donde a varıadesde a = 10 la recta que esta mas hacia la derecha, es decir la recta demas hacia la derecha es y = x + 10 y la que esta mas hacia la izquierdaes y = x − 10. Entonces notamos que rectas que tienen igual pendiente sonparalelas. Probemos ese hecho, que conocemos desde el colegio, como una:

Proposicion 4.3.1 Dos rectas son paralelas si y solamente si tienen la mis-ma pendiente.

Demostracion:

79

Si tenemos dos rectas L y L′ , como vemos en el grafico:

ellas son paralelas si y solo si los angulos a y a′ son iguales, o equivalen-temente los triangulos OPQ y O′P ′Q′ son semejantes, o equivalentementelos lados de los triangulos son proporcionales. Es decir, |OP ||OQ| = |O′P ′|

|O′Q′| .Si

P = (x1, y1). Q = (x2, y2),P ′ = (x′1, y′1) y Q′ = (x′2, y

′2), entonces la ultima

igualdad es equivalente a:

y2 − y1

x2 − x1

=y′2 − y′1x′2 − x′1

,

pero el cuociente de la izquierda por definicion es la pendiente de L y el dela derecha es la pendiente de L′, que es lo que queremos probar.2

Por ejemplo: ¿Cual es la ecuacion de la recta L que pasa por (1, 1) y esparalela a la recta L′ que pasa por (−2, 0) y (0, 3)?

80

Solucion:La pendiente de la recta L′ es 32, luego la ecuacion de la recta L

es (y − 1) = 32(x− 1), o equivalentemente y = 3

2x− 1

2. 2

Un ejercicio para los estudiantes:Pruebe que dos rectas son perpendicu-lares si y solo si el producto de sus pendientes es −1(Ayuda: Use el teoremade Euclides, para triangulos rectangulos.)

Estudiemos ahora a las funciones afines con respecto a la biyectividad.Sea aR− 0 y bR fijos, y consideremos la funcion afın: f : R→ R definidapor f(x) = ax + b. Esta funcion es inyectiva, de hecho si f(x) = f(x′) setiene que ax + b = ax′ + b, o equivalentemente ax = ax′ y como a 6= 0 setiene que x = x′, luego es inyectiva. Ademas si y ∈ R entonces y−b

aes un

numero real pues a 6= 0 luego f(y−ba

)= y, luego f es epiyectiva, por lo tanto

f es biyectiva. Por lo tanto f tiene una funcion inversa, es decir una funciong : R→ R tal que f(g(x)) = x, es decir,

ag(x) + b = x

81

ag(x) = x− b

g(x) =x− ba

Falta comprobar que la composicion en el otro sentido es tambien la funcioniedentidad, pero eso se deja de ejercicio para el estudiante. Luego la inversade f es una funcion afın, a saber f−1(x) = 1

ax− b

a.

En el caso en que a = 0 lo que obtenemos es una funcion constante iguala b, en ese caso no es invertible, obviamente.

Antes de pasar a estudiar las funciones cuadraticas, quiero hacer notarque los procesos en la vida que son modelados por rectas, por ejemplo, unmovil que se mueve con velocidad constante, no son infinitos es decir, noesta todo el tiempo con velocidad constante, pues a veces puede aceleraro frenar, puede pasar que en un momento se detenga tome un descanso yluego de un rato continue. Por ejemplo: del segundo 0 al 1800 se mueve con

82

velocidad constante igual a 2ms, en el minuto 30 se detiene a comer algo

durante 5 minutos y luego sigue con velocidad constante igual a 4ms

duranteuna hora que es cuando llega a su destino final. Lo que tenemos entonces esuna funcion, definida por tramos, ası:

f : [0, 5400]→ R, definida por:f(x) =

2x si 0 ≤ x ≤ 18003600 si 1800 ≤ x ≤ 21003600 + 4x si 2100 ≤ x ≤ 5400

Un ejemplo, de las funciones descritas en el parrafo anterior es la funcionvalor absoluto. f : R→ R definida por:

f(x) =

x si x ≥ 0−x si x < 0

cuyo grafico es :

Existen procesos en los cuales los tramos son constantes. Por ejemplo,cuando uno toma un taxi, los primeros 200m uno paga una tarifa constante$250 y por cada 200m aumenta el precio en $80 y ası sucesivamente. Elgrafico de la funcion plata que depende del desplazamiento es algo ası como:

83

Un ejemplo teorico de lo antes descrito es la funcion parte entera.

f : R→ R definida por:f(x) = supn ∈ Z/n ≤ x

Se invita al estudiante a graficar esta funcion.

4.4 Funcion Cuadratica

La funcion f : R → R definida por f(x) = x2 ha sido un objeto que hemosmencionado bastante en este capıtulo, y ya sabemos varias cosas de ella. Porejemplo, sabemos que no es inyectiva ni tampoco epiyectiva, sin embargo, lafuncion f1 : R→ [0,∞) definida por f(x) = x2 si es epiyectiva, es decir, todoelemento de [0,∞) es el cuadrado de algun numero real. Ademas sabemosque f(x) = f(−x). En honor a ella las funciones f : R → R tales quef(x) = f(−x) se les llama funciones pares. Es decir, basta conocer f(x) parax no negativo para conocer f completamente. Geometricamente el grafico def sera simetrico con respecto al eje de la abcisas. Entonces, estudiare f(x)para x ∈ [0,∞). Notemos primero que si x, y ∈ [0,∞) y x < y entoncesy − x > 0 y como y + x > 0 se tiene que (y − x)(y + x) > 0, es decir,y2 − x2 > 0, equivalentemente x2 < y2, es decir f(x) < f(y), es decir f en[0,∞) preserva el orden. Es decir, si 0 ≤ x < y entonces f(x) < f(y).

84

En general, a las funciones f : D → R tales que cada vez que x < y setiene que f(x) < f(y) se les llama funciones crecientes. Lo que dice el parrafoanterior es que f en [0,∞) es creciente.

Notemos tambien que si 0 ≥ x < 1 se tiene que x2 < x, multiplicandola desigualdad anterior por x. Es decir, el grafico de f esta por debajo de ladiagonal en el intervalo (0, 1). En el caso en que x > 1 se tiene que x2 > x,es decir, el grafico de f esta sobre la diagonal.Ademas x2 = x si y solamentesi x2 − x = 0 si y solamente si x = 0 o bien x = 1, es decir, el grafico def intersecta a la diagonal en (0, 0) y en (1, 1) solamente. El grafico de f lopodemos mostrar ası , despues de las consideraciones anteriores.

Ahora bien, que podemos decir de las funciones f : R → R definidaspor f(x) = ax donde a es una constante. Nosotros acabamos de hacer elcaso a = 1. El caso a = 2 es muy parecido al anterior, con la diferenciaque crece mas rapido que la funcion vista anteriormente. Es decir, el graficosera de la misma manera, pero la curva que aparece sera mas cerrada. Ahoramostramos varias funciones del tipo f(x) = ax para a > 0.

La curva que tiene los brazos mas abiertos corresconde a f(x) = 15x y la

mas cerrada corresponde a f(x) = 10x.En el caso en que a < 0 lo que se obtendra sera el mismo grafico que

85

antes reflejado hacia abajo.Ahora bien, consideremos el caso en que la curva no pasa por el origen.

Por ejemplo las funciones del tipo fR→ R definidas por f(x) = ax2 +bx+c.Por supuesto que estoy considerando a no nulo de lo contrario estarıamos enfrente de una funcon afın que ya conocemos bien. En este caso

Γf = (y, x) ∈ R2/y = ax2 + bx+ c

Γf = (y, x) ∈ R2/y = a(x2 +b

ax) + c

Γf = (y, x) ∈ R2/y = a(x2 +b

ax+

b2

4a2− b2

4a2) + c

Γf = (y, x) ∈ R2/y = a(x+b

2a)2 − b2

4a) + c

Γf = (y, x) ∈ R2/y = a(x+b

2a)2 +

4ac− b2

4a)

Γf = (y, x) ∈ R2/y − 4ac− b2

4a= a(x+

b

2a)2

Γf = (Y,X) ∈ R2/Y = aX2 donde Y = y − 4ac−b24a

y X = x+ b2a

Lo unico que tenemos que entender, para conocer el grafico de f es ¿Quesignifica un cambio de coordenadas del tipo Y = y−k y X = x−h? Notemos

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primero que Y = 0 siempre y cuando y = k y X = 0 cuando x = h. Ahorabien si el punto P = (a, b) esta en el plano, escrito en las coordenadas xy¿Como se escribira en las coordenadas XY ? Si x = a y y = b entoncesX = a−h y Y = b−k, es decir en las coordenadas XY el punto P se escribe(a− h, b− k). Es decir, lo que hacemos es trasladar rıgidamente hasta que elorigen coincida con (h, k). Por ejemplo la recta Y = X en el plano XY es ladiagonal, pero en el plano xy corresponde a la recta y = x+ k − h.

Luego el grafico de f se ve ası:donde h = − b

2ay k = 4ac−b2

4aal punto V = (h, k) se le llama vertice y

corresponde al punto mas bajo de la curva en el caso en que a > 0 y al puntomas alto de la curva en el caso en que a < 0.

Por ejemplo el grafico de la funcion f : R → R definida por f(x) =x2 − 2x+ 4, corresponde a todos los puntos (x, y) del plano que satisfacen:

y = x2 − 2x+ 4

y − 3 = x2 − 2x+ 1

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y − 3 = (x− 1)2

y se ve ası, donde el vertice es (1, 3).

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