NOTAS PRELIMINARES DE MATEMÁTICA

NOTAS PRELIMINARES

DE MATEMAacuteTICA

Ingreso FRT -UTN 2022

Lic Adriana Moya Coordinadora Aacuterea Matemaacutetica Lic Aida Fernaacutendez Editora Aula Virtual Matemaacutetica

UTN-FRT 1

IacuteN D I C E

SIacuteMBOLOS helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Paacuteg 2

UNIDAD 1 CONJUNTOS NUMEacuteRICOS ndash NOCIONES BAacuteSICAS DE

GEOMETRIA

bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipPaacuteg 3

UNIDAD 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Paacuteg 27

UNIDAD 3 TRIGONOMETRIacuteA

bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipPaacuteg 47

UNIDAD 4 ECUACIONES

bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg4 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Paacuteg 71

UNIDAD 5 FUNCIONES

bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Paacuteg 88

UTN-FRT 2

Siacutembolos Matemaacuteticos

Alfabeto Griego

alfa beta gamma delta

eacutepsilon lambda mu rho

pi sigma psi omega

= igual a and y

ne no es igual a or o en sentido inclusivo

cong aproximado a or o en sentido exclusivo

lt menor que implica (condicioacuten necesaria)

≮ no es menor que

Implica doblemente (condicioacuten

necesaria y suficiente)

gt mayor que there4 Por lo tanto en consecuencia

≯ no es mayor que Tal que

le menor o igual que exist Existe

ge mayor o igual que forall Para todo

plusmn mas o menos isin Pertenece

infin Infinito sube Incluido en

prop proporcional a sub Incluido estrictamente en

paralelo a supe Incluye a

perp perpendicular a sup Incluye estrictamente a

∡ aacutengulo cup Unioacuten o junta

⊾ aacutengulo recto cap Interseccioacuten o reunioacuten

UTN-FRT 3

UNIDAD Ndeg1

Nuacutemeros Naturales

Nuacutemeros Enteros

Nuacutemeros Racionales e Irracionales

Nuacutemeros Reales

Propiedades de los nuacutemeros reales

Operaciones entre los nuacutemeros reales

Potenciacioacuten y Radicacioacuten

Intervalos

Valor Absoluto

Caacutelculo de periacutemetros aacutereas y voluacutemenes

UTN-FRT 4

NOCIONES BAacuteSICAS DE CONJUNTOS

Los teacuterminos conjunto elemento y pertenencia son ldquoconceptos primitivosrdquo en la teoriacutea

de conjuntos por lo que no se daraacute una nueva definicioacuten de ellos

Cuando hablamos de un conjunto nombrando o enumerando uno a uno los elementos

que forman parte del mismo decimos que lo hemos expresado por extensioacuten

Ejemplo A= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Si en cambio expresamos una propiedad que caracteriza a dichos elementos decimos

que el conjunto estaacute expresado por comprensioacuten

Ejemplo A= x x es un diacutegito

En la uacuteltima expresioacuten la barra inclinada ldquordquo se lee como ldquotal querdquo

Relacioacuten de pertenencia e inclusioacuten

Operaciones entre conjuntos

Unioacuten

Ejemplo

Para designar o nombrar a los conjuntos se utilizan letras de

imprenta mayuacutesculas

A B C etc

Los elementos de los conjuntos se simbolizan con letras de

imprenta minuacutesculas

abc etc

Para representar un conjunto se utiliza el siacutembolo de las

llaves

Ejemplo

Para representar que un elemento pertenece a un conjunto a isin A

Para representar que un elemento que no pertenece a un

conjunto

119886 notin A

Para representar que un conjunto A estaacute incluido o

contenido en un conjunto B

A sub B

Para representar que un conjunto A no estaacute incluido o no

estaacute contenido en un conjunto B

A B

UTN-FRT 5

Dados dos conjuntos A y B se llama unioacuten de A con B a otro conjunto que tiene todos

los elementos de A y de B En siacutembolos A U B

A U B = x x A x B

Interseccioacuten

Dados dos conjuntos A y B se llama interseccioacuten de A y B a otro conjunto que tiene

soacutelo los elementos comunes de A y B En siacutembolos s A cap B

A cap B = x x A x B

CONJUNTOS NUMEacuteRICOS


Los nuacutemeros 1 2 3 4 5 hellip reciben el nombre de nuacutemeros naturales o enteros positivos

Al conjunto de estos nuacutemeros se los simboliza por ℕ o por ℤ+

Entonces

ℕ =ℤ+ = 1 2 3 4 5

Si lo incluimos al 0 en el conjunto de los naturales lo denotamos como

ℕ0 = 0 1 2 3 4 5

Propiedades

1- El conjunto de los nuacutemeros naturales es infinito

2- Tiene primer elemento y no tiene uacuteltimo elemento

3- Todo nuacutemero natural tiene un sucesor Un nuacutemero natural y su sucesor se dicen

consecutivos Ejemplo 6 es el sucesor de 5rArr5 y 6 son consecutivos

4- Todo nuacutemero excepto el primer elemento tiene un antecesor

Operaciones posibles en N0

Las operaciones de adicioacuten (suma) y multiplicacioacuten (producto) son siempre posibles en

N0 La adicioacuten y multiplicacioacuten se dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los nuacutemeros

naturales es decir

Si a isin ℕ y b isin ℕ entonces (a + b) isin ℕ Ejemplo 2 isin ℕ y 4 isin ℕ rArr 2+4=6 isin ℕ

Si a isin ℕ y b isin ℕ entonces (a b) isin ℕ Ejemplo 3 isin ℕ y 7 isin ℕ rArr 37=21 isin ℕ

Otras operaciones no siempre son posibles en ℕ0 por ejemplo la sustraccioacuten

UTN-FRT 6

Ejemplo 5 isin ℕ y 8 isin ℕ pero 5-8=-3 notin ℕ

Para resolver estos casos como una extensioacuten del conjunto de los naturales se crearon

los nuacutemeros enteros


El conjunto de los nuacutemeros enteros se simboliza con la letra ℤ es decir

ℤ = hellip -3 -2 -1 0 1 2 3 hellip

Otra forma de denotarlo es

ℤ =ℤminus U 0 U ℤ+

Siendo ℤminus-= hellip -5 -4 -3 -2 -1

ℤ+= 1 2 3 4 5 hellip

Propiedades

1- El conjunto de los nuacutemeros enteros es infinito

2- No tiene primero ni uacuteltimo elemento

3- Todo nuacutemero entero tiene un sucesor Un nuacutemero entero y su sucesor se dicen

consecutivo Ejemplo -3 es el sucesor de -4 rArr-3 y -4 son consecutivos

4- Todo nuacutemero entero tiene un antecesor Ejemplo -7 es el antecesor de -6

Operaciones posibles en Z

Las operaciones de adicioacuten (suma) sustraccioacuten (resta) y multiplicacioacuten (producto) son

siempre posibles en ℤ Estas operaciones se dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los

nuacutemeros enteros

Otras operaciones no siempre son posibles en ℤ por ejemplo la divisioacuten (cociente)

Ejemplo 5 isin Z y 8 isin ℤ pero 58 notin ℤ

Para resolver estos casos como una extensioacuten del conjunto de los enteros se crearon

los nuacutemeros racionales

Nuacutemeros Racionales

El conjunto de los nuacutemeros racionales se simboliza con la letra ℚ es decir

ℚ = 119886

119887119886 119887 isin 119885 119888119900119899 119887 ne 0

Propiedades

1- El conjunto de los nuacutemeros racionales es infinito


3- Ninguacuten nuacutemero racional sucesor ni antecesor

Operaciones posibles en Q

Las operaciones de adicioacuten (suma) sustraccioacuten (resta) multiplicacioacuten (producto) y la

divisioacuten (con divisor distinto de cero) son siempre posibles en ℚ Estas operaciones se

dicen ldquocerradasrdquo en el conjunto de los nuacutemeros racionales

UTN-FRT 7

Expresioacuten decimal de un racional

A todo nuacutemero racional se lo puede expresar en forma decimal Al dividir a por b (b

distinto de cero) se obtiene una expresioacuten decimal del nuacutemero racional

Todo nuacutemero racional puede escribirse como una expresioacuten decimal cuya parte decimal

puede tener un nuacutemero finito o infinito de cifras perioacutedicas puras o mixtas

Ejemplos

Decimal finita 05 - 2 43 14 456

Decimal perioacutedica pura 0 4⏜ = 04444 8 13⏜ = 8131313

Decimal perioacutedica mixta 01 8⏜ = 018888 73 16⏜ = 73161616

Para transformar una expresioacuten decimal en una fraccioacuten lo veremos con los siguientes

ejemplos

Ejemplos

Para convertir una expresioacuten decimal finita a fraccioacuten

05 =5

10=

1

2

minus243

= minus243

100

14456

=14456

1000

=1807

125

Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica pura a fraccioacuten

0 4⏜ =4

9

8 13⏜

=813 minus 8

99

=805

99

UTN-FRT 8

Nuacutemeros Irracionales

Los nuacutemeros irracionales son nuacutemeros que no son racionales Son aquellos nuacutemeros

cuya representacioacuten decimal es infinita y no perioacutedica por lo que estos nuacutemeros no

pueden ser expresados como cociente de dos nuacutemeros enteros

El conjunto de los nuacutemeros irracionales se simboliza con la letra 119868 es decir

119868 = 119886119886 notin ℚ

Ejemplos

radic2 = 241421356hellip

120587 = 314159hellip

radic53

= 1709975hellip

e = 2718281828459045hellip

Nuacutemeros Reales

El conjunto de los nuacutemeros racionales ℚ y el conjunto de los nuacutemeros irracionales 119868

forman el conjunto de reales ℝ

El conjunto de los nuacutemeros reales se simboliza con la letra ℝ es decir ℝ = ℚ cup 119868

El siguiente cuadro te muestra las sucesivas ampliaciones de los conjuntos numeacutericos

hasta llegar a los nuacutemeros reales

Naturales ℕ0

enteros negativos ℤminus Enteros ℤ Racionales ℚ

Fraccionarios F Realesℝ

Irracionales 119868

Para convertir una expresioacuten decimal perioacutedica mixta a fraccioacuten

01 8⏜

=18 minus 1

90

=17

90

73 16⏜

=7316 minus 73

990

=7243

990

UTN-FRT 9

Propiedades

1- El conjunto de los nuacutemeros reales es infinito


Propiedades de la igualdad

Nombre En siacutembolos

Reflexibilidad forall119886 isin ℝ 119886 = 119886

Simetriacutea forall119886 119887 isin ℝ 119886 = 119887 rArr 119887 = 119886

Transitividad forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 = 119887 and 119887 = 119888 rArr 119886 = 119888

Operaciones posibles en R

En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones baacutesicas la adicioacuten

y la multiplicacioacuten

Si a y b son nuacutemeros reales entonces a + b se llama Suma y es el resultado de la

adicioacuten entre a y b y el Producto a b es el resultado de multiplicar a y b

En la adicioacuten a y b reciben el nombre de sumandos y en la multiplicacioacuten factores

Propiedades de la adicioacuten y la multiplicacioacuten

Nombre de

la propiedad

Adicioacuten y multiplicacioacuten

Ley de

composicioacuten

interna

forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 isin ℝ

forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 isin ℝ

Conmutativa forall119886 119887 isin ℝ 119886 + 119887 = 119887 + 119886

forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886

Asociativa forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)

forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)

Elemento

neutro

exist0 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 + 0 = 0 + 119886 = 119886

exist1 isin 119877 forall119886 isin 119877 119886 1 = 1 119886 = 119886

Existencia

del

forall119886 isin 119877 exist minus 119886 isin 119877 119886 + (minus119886) = (minus119886) + 119886 = 0

UTN-FRT 10

Ten en cuenta

Dados a y b nuacutemeros reales con bne0 entonces existen q y r tales que

119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939

Ejemplo Divide 13 en 3

120783120785 |120785

minus120783120784 120786

120783

por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783

Representacioacuten de los nuacutemeros reales en la recta

El conjunto de los nuacutemeros reales es la unioacuten de los racionales con los irracionales esto

implica que el conjunto de los nuacutemeros reales es continuo es decir el conjunto de los

nuacutemeros reales completa la recta numeacuterica En consecuencia a todo nuacutemero real le

corresponde un punto de la recta A todo punto de la recta le corresponde un nuacutemero

real

POTENCIACIOacuteN

Si a es un nuacutemero real y n es un entero positivo entonces la potencia n-eacutesima de a se

define como

an=aaahellipa (n factores de a) donde n es el exponente y a es la base

Ademaacutes si ane0

a0=1 y a-n=1

119886119899

Ejemplos

elemento

inverso forall119886 isin 119877 119886 ne 0 exist119886minus1 =

1

119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1

Distributiva forall119886 119887 119888 isin 119877 119886 (119887 + 119888) = 119886 119887 + 119886 119888

forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886

ORIGEN

SENTIDO NEGATIVO SENTIDO POSITIVO

UTN-FRT 11

1 23=8 porque 23=222

2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)

3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)

4 -22=-4

5 (2

5)

2=

2

5

2

5=

4

25

Propiedades forall119886 119887 isin ℝ 119886 ne 0 119887 ne 0 119898 119899 isin ℤ

Propiedad Ejemplos

119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78

119886119899

119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0

6minus3

6minus4= 6minus3minus(minus4) = 61 = 6

(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310

(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093

(119886

119887)

119899

=119886119899

119887119899 (

119910

minus3)

2

=1199102

(minus3)2=

1199102

9

Ejemplos

1 (minus3 119909)2 119909minus4 = (minus3)2 1199092 119909minus4 = 9 1199092minus4 = 9 119909minus2 =9

1199092

2 (2

311990921199103)

4= (

2

3)

4(1199092)4(1199103)4 =

16

8111990924

11991034=

16

81119909811991012

Ten en cuenta

La potenciacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta

Ejemplos

1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22

2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12

RADICACIOacuteN

Si n es un entero positivo par y a un nuacutemero real no negativo entonces la raiacutez n-eacutesima

de a se define como el uacutenico nuacutemero real b no negativo tal que

radic119886119899

= 119887 hArr 119887119899 = 119886 donde n es el iacutendice y a es el radicando

Ejemplo radic273

= 3porque 33=27

UTN-FRT 12

Si n es un nuacutemero entero positivo impar nne1 y a es un nuacutemero real cualquiera entonces

la raiacutez n-eacutesima de a se define como el uacutenico nuacutemero real b tal que

radic119886119899


Ejemplo radicminus325

= minus2 porque (-2)5=-32

Ejemplos

1 radic81 = 9

2 radicminus83

= minus3

3 radicminus4no es un nuacutemero real

4 radic25

9=

5

3


Propiedad Ejemplos

radic119886 119887119899

= radic119886119899

radic119887119899

radic41199094 = radic4radic1199094 = 21199092

radic119886

119887

119899=

radic119886119899

119887 119887 ne 0 radic

8

343

3

=radic83

radic3433 =

2

7

radic radic119886119899

119898

= radic119886119898119899

radicradic643

= radic646

= 2

119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899

119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899

radic823= 823 = (radic8

3)

2= 4

(minus125)13 = radicminus1253

= minus5

Racionalizacioacuten del denominador

Ejemplos

1 2

radic7=

2

radic7

radic7

radic7=

2radic7

(radic7)2 =

2radic7

7

2 2

radic11990925 =2

radic11990925

radic11990935

radic11990935 =2 radic11990935

radic119909211990935 =2 radic11990935

radic11990955 =2 radic11990935

119909 119909 ne 0

Recuerda (119886 + 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 1198872

3 3

radic119909+119910=

3

radic119909+119910

(radic119909minus119910)

(radic119909minus119910)=

3(radic119909minus119910)

(radic119909)2

minus1199102=


119909minus1199102

UTN-FRT 13

Ten en cuenta

La radicacioacuten no es distributiva con respecto a la suma ni a resta

Ejemplo

radic36 + 64 ne radic36 + radic64

radic100 ne 6 + 8

10 ne 14

INTERVALOS REALES

Los conjuntos numeacutericos maacutes frecuentes son los intervalos de la recta real

Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887

bull Intervalo abierto (119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 lt 119887

bull Intervalo cerrado [119886 119887] = 119909 isin ℝ119886 le 119909 le 119887

bull Intervalo semiabierto o semicerrado

119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887

119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887

bull Intervalos infinitos

(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886

[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886

(minusinfin 119887) = 119909 isin ℝ119909 lt 119887

(minusinfin 119887] = 119909 isin ℝ119909 le 119887

(minusinfininfin) = ℝ

Ejemplos

1 minus14 = 119909 isin ℝminus1 lt 119909 le 4

UTN-FRT 14

2 minusinfin 2 = 119909 isin ℝ119909 le 2

Resuelve (minus25) cap 05 = 119909 isin ℝminus2 lt 119909 lt 5 and 0 lt 119909 le 5 = (05)

VALOR ABSOLUTO

Para todo nuacutemero real x el valor absoluto de x es igual a

|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0

El valor absoluto de un nuacutemero se interpreta geomeacutetricamente como la distancia del

nuacutemero al 0 en la recta numeacuterica

Ejemplos

a) |0| = 0 porque 0 ge 0

b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0

c) |7 | = 7 porque 7 ge 0

Algunas propiedades

1 forall119886 isin ℝ 119886 ne 0 rArr |119886| gt 0

2 forall119886 isin ℝ |minus119886| = |119886|

3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|

4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|

5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|

6 forall119909 isin ℝ 119886 gt 0 (|119909| le 119886 hArr minus119886 le 119909 le 119886)

7 forall119909 isin 119877 119886 gt 0 (|119909| ge 119886 hArr 119909 le minus119886 or 119909 ge 119886)

Ejemplos 1 Determina el conjunto solucioacuten de |119909 + 1| = 7

|119909 + 1| = 7

119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7

119909 = 6oacute119909 = minus8

119862119878 = minus86

2 Determina el conjunto solucioacuten de|2119909 minus 3| le 1

UTN-FRT 15

|2119909 minus 3| le 1

minus1 le 2119909 minus 3 le 1

minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3

2 le 2119909 le 4

21

2le 2119909

1

2le 4

1

2

1 le 119909 le 2

119862119878 = [12]

Ten en cuenta

1 forall119909 isin ℝ radic1199092 = |119909|

2 La distancia d entre dos puntos a y b en la recta real es

119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|

Ejemplo

NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA

La notacioacuten cientiacutefica es una manera concisa para escribir nuacutemeros muy grandes o muy

pequentildeos

Ejemplos

598times1024 kilogramos es la masa aproximada de la tierra

167 10minus27 kilogramos es la masa de un protoacuten

Un nuacutemero positivo estaacute escrito en notacioacuten cientiacutefica si tiene la forma

a bcdhellipx10n donde la parte entera a lt10 y n es un nuacutemero entero

Reglas de conversioacuten

Ejemplos

1 La distancia a la que Plutoacuten se encuentra del sol es 7600000000000 metros

en notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 76x1012 metros

2 El peso de un aacutetomo de hidroacutegeno es 0 00000000000000000000000166 En

notacioacuten cientiacutefica lo escribimos como 1 66 x 10-23

3 Escribe en notacioacuten cientiacutefica 125145 x 108 = 125145 x 1010

Operaciones con notacioacuten cientiacutefica

Ejemplos escribir en notacioacuten cientiacutefica el resultado de las siguientes operaciones

UTN-FRT 16

1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)

= 21404 x 104=21404 x 105

2 (216119909104)(125611990910minus12)

31711990910minus18 = 856119909109

APLICACIONES A LA GEOMETRIacuteA

Para resolver problemas aplicaremos la siguiente metodologiacutea

bull Comprender el problema Leer cuidadosamente el enunciado Identificar datos e

incoacutegnitas Representar si es posible graacutefica o geomeacutetricamente

bull Disentildear un plan de accioacuten Elaborar una estrategia de resolucioacuten vinculando datos

e incoacutegnitas

bull Ejecutar el plan Justificar y explicar los pasos seguidos

bull Examinar la solucioacuten obtenida Analizar si la respuesta tiene sentido si se cumplen

las condiciones y realizar la verificacioacuten correspondiente

Foacutermulas de la geometriacutea

UTN-FRT 17

Ten en cuenta

1 Teorema de Pitaacutegoras

2 Foacutermula de Heroacuten

Tabla de aacutereas totales (A) y voluacutemenes (V)

Donde a y b son

catetos y h es la

hipotenusa

UTN-FRT 18


Ejemplo R S y T son centros de circunferencias ABCDEF es un hexaacutegono regular

Calcule el aacuterea de la figura sombreada

Comprendemos el problema identificando los datos

Sabemos que el aacuterea de un poliacutegono regular es A=Pa2 y de una semicircunferencia

es (2πR) 2

Debemos calcular el aacuterea sombreada

Disentildeamos un plan de accioacuten

Calculamos el aacuterea del hexaacutegono y le restamos el aacuterea de las 3 semicircunferencias

Ejecutamos el plan

El periacutemetro de hexaacutegono es P=nxl=6x4=24

UTN-FRT 19

Para calcular el aacuterea del hexaacutegono necesitamos conocer la apotema que lo

calcularemos mediante el teorema de Pitaacutegoras

Por lo tanto el aacuterea del poliacutegono regular es A=(24x2radic3)2=24radic3

El aacuterea de cada semicircunferencia es 2π

El aacuterea sombreada resulta (24radic3-6π) cm2

Verificamos

Verificamos que el resultado obtenido es un nuacutemero positivo ya que estamos calculando

un aacuterea

Por el teorema de Pitaacutegoras

2 2 2

2 2 2

2 4

4 2

16 4

12 2 3

a

a

a

a

+ =

= minus

= minus

= =

UTN-FRT 20

Trabajo Praacutectico Ndeg 1

ldquoLos nuacutemeros reales y su aplicacioacuten a la geometriacuteardquo

1 Sean los siguientes conjuntos A = 3 0 -e 1 74⏜ radic3 -3 minus1

4 120587

B = radicminus113

-3 -025 0 -2 120587 -radic3

3 C =

1

2 0 -2 radic9 120587 -

radic3

3

Resuelve las siguientes operaciones

a119860 cap 119861 b 119860 cap ℚ c 119861 cap 119868 d 119861 cap ℕ e 119861 cup 119862 f 119862 cap ℕ

2 Transforme las siguientes expresiones decimales en fracciones

a 012 b 358484hellip c 42727hellip

d 54132132hellip e 28666hellip f 89753

3 Escribe como nuacutemero decimal y clasifique la expresioacuten que obtenga

a 25

14 b

3

11 c

77

36 d

61

9

4 Dadas las siguientes proposiciones indique cuaacutel es verdadera y cuaacutel es falsa

a) El producto de un nuacutemero impar de nuacutemeros negativos es negativo

b) La diferencia de dos nuacutemeros positivos es siempre positiva

c) El cociente de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero negativo

d) La diferencia de un nuacutemero positivo y otro negativo es siempre un nuacutemero

negativo

e) La suma de dos nuacutemeros irracionales es necesariamente otro nuacutemero irracional

5 Califica de Verdadero (V) o Falso (F) Justifica tu respuesta

a (3 + 4)2 = 32 + 42

b (12 4)2 = 122 42

c 32 34 33 = 39

d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910

e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873

f radic36 + 64 = radic36 + 8

g (42)345 = 4

h radic(minus7)2 = minus7

i (minus1)minus1 = 1

UTN-FRT 21

j (1198862)3 = 119886(23)

6 Aplique propiedades de potenciacioacuten y escribe cada expresioacuten de manera que todos los

exponentes sean positivos

a (2 1199093 119910minus3

8 1199094 1199102 )minus1

b (7 1198864 119887minus4

2 1198862 1198872 )minus2

c (3 119909minus3 1199104

10 1199092 1199106)minus1

d (5 1198862 1198873

125 119886minus4 119887minus5)minus1

e (9 119909 119911minus2

27 119909minus4 119911)

minus3

f (3 1199092 1199105

1199093 119910)

3

7 Resuelve

a 427+2(minus6)

4+(minus3)6minus10+ 2 (

1

2)

2

23 2minus5 b 21 2frasl 2minus3 2frasl 20 + (0125+045minus0075

075minus0625)

2

c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05

(minus27)1 3frasl +(minus8)2 3frasl

e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1

10119910+1102119910+1 f radicradic1633

+ radic33

radic323radic363

+ [2 (1

3+ 1)]

2

[(3

5minus 3)

5

3]

2

8 Exprese los siguientes radicales como potencia de exponente racional y resuelve

a radic593 b radic174

c radic3 radic3

radic34

5

d radic2723 e radic10024

f

119886minus2radic1

119886

radic119886minus53

9 Racionalice los denominadores

a 3

radic2 b

2minus119909

radic119909 c

3 119886

radic9 119886 d

119909minus119910

radic119909+radic119910

e minus7

radic11988623 f 2

radic119911minus3 g

5

radic1199094 h

4minus1199092

2+radic119909

10 Indique la expresioacuten correcta radic119909 minus radic119910 =

i 119909+119910

radic119909+radic119910 ( ) ii

119909minus119910

radic119909+radic119910 ( ) iii

119909+119910

radic119909minusradic119910 ( )

11 Un estudio del medio ambiente realizado en una determinada ciudad sugiere que el

nivel promedio diario de smog en el aire seraacute 119876 =05 119901+194

radic05 119901+194 unidades cuando la

poblacioacuten sea 119901 (en miles)

a) Racionalice la expresioacuten de 119876

UTN-FRT 22

b) Determine el valor exacto de la expresioacuten anterior cuando la poblacioacuten sea de

9800 habitantes

12 Se espera que la poblacioacuten 119875 de una determinada ciudad (en miles) crezca de acuerdo

con 119875 =221minus3119905

15minusradic3119905+4 donde el tiempo 119905 estaacute medido en antildeos

a) Racionalice el denominador y simplifique la expresioacuten

b) Calcule la poblacioacuten de la ciudad dentro de 4 antildeos

13 La madre de Gabriela compra 6 kg de ciruelas para hacer mermelada Los carozos

quitados representan frac14 del peso de las frutas Antildeade un peso de azuacutecar igual al peso

de la pulpa que queda La mezcla pierde por la coccioacuten 15 de su peso

Determine el nuacutemero de potes de 375 gramos que puede llenar con el dulce de ciruelas

elaborado

14 Determine el conjunto solucioacuten y represente graacuteficamente

a 119909 + 5 le 2 b minus7 le 119909 + 1 le minus2

c 1 minus 119909 lt 4 119910 1 minus 119909 gt minus3 d minus(119909 + 2) lt 1 119910 minus (119909 + 2) gt 0

e 3119909 + 7 gt 1 119910 2119909 + 1 le 3 f minus2119909 minus 5 le 7

15 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a -3 sea menor

que 5

16 Determine el conjunto de todos los nuacutemeros reales tales que su distancia a 3 es mayor

o igual que 4

17 Determine el conjunto solucioacuten

a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16

d |119909 minus 2| le 3 e |119909 + 1| gt 2 f |119909| minus (2|119909| minus |minus8|) = |minus3| + 5

18 Exprese a cada nuacutemero en notacioacuten cientiacutefica

a 324517 x 104 b 716392 x 10-5

c 000000842 d 00025 x 107

UTN-FRT 23

e 542000000000 f 64317 x 10-6

19 Resuelve y exprese el resultado en notacioacuten cientiacutefica

a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)

317 10minus18

c 921 108

306 105 d (233 104)(411 103)

20 La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 4 108 metros Exprese esa

distancia como un numero entero iquestComo se lee

21 Durante el antildeo 2018 Argentina realizoacute exportaciones a Brasil por un monto aproximado

de 17500 millones de doacutelares Exprese este monto utilizando notacioacuten cientiacutefica

22 El robot explorador espacial Curisity de la NASA recorrioacute 567 millones de km para

aterrizar en el planeta Marte el 6 de agosto de 2012 a los 8 meses y 17 diacuteas de su

partida Exprese en km la distancia recorrida usando notacioacuten cientiacutefica

23 Exprese mediante radicales las medidas de

a El lado y la diagonal de un cuadrado de radic5 1198881198982 de superficie

b La superficie de un rectaacutengulo de base radic18 119888119898 y diagonal 5radic2 119888119898

c El periacutemetro y la superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos miden

3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898

d El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de base (2radic5 minus 1) 119888119898 y de altura

(1

3radic5 +

1

2) 119888119898

e El periacutemetro y la superficie de un rectaacutengulo de altura (radic3 minus 1)minus1

119888119898 y de base

3(radic3)minus1

119888119898

f El volumen de un cono de radic3 119888119898 de generatriz y radic2 119888119898 de radio de la base

g El volumen de un cilindro circular de altura 2120587 119888119898 y radio de la base 120587 119888119898

24 Determina el aacuterea sombreada sabiendo que la figura total es un cuadrado y

UTN-FRT 24

a El aacuterea del cuadrado es de 64 cm2 y b es el triple de a iquestCuaacutento mide el lado

del cuadrado

b Considerando la misma aacuterea si a es las dos terceras partes de b iquestCuaacutel es el

aacuterea de la parte no sombreada

25 Si una pizza de 32 cm de diaacutemetro se corta en 8 porciones exactamente iguales

determine el aacuterea de cada porcioacuten

26 Calcule el aacuterea de la regioacuten sombreada sabiendo que 120572 =2

3120573 y el radio es 10 cm

(Exprese el resultado en funcioacuten de 120587)

27 Calcule el volumen de un tanque ciliacutendrico de 2 m de altura y radio de la base igual a

05 m

28 La siguiente figura representa una mesa iquestCuaacutentas personas se podraacuten ubicar alrededor

si cada una ocupa 054 m (Utilice 120587 = 314 y tome como resultado al nuacutemero entero

maacutes proacuteximo al resultado obtenido)

UTN-FRT 25

29 Calcule el volumen de una esfera de diaacutemetro de 10 cm

30 Calcule el volumen del cono de radio 4 cm y altura 5 cm

31 Un cuadrado y un hexaacutegono regular tienen el mismo periacutemetro P determine cuaacutel es la

relacioacuten entre las aacutereas si P es igual a 4 m

32 Calcule el aacuterea sombreada de las siguientes figuras

a)

b)

c) d)

UTN-FRT 26

e) f)

33 Eduardo y Marina estaacuten forrando sus libros Cada uno tiene un papel de 15 m de largo

y 1 m de ancho Para cada libro necesitan un rectaacutengulo de 49 cm de largo y 34 cm de

ancho Observe en los dibujos coacutemo han cortado cada uno de ellos los rectaacutengulos

a) Calcule en cada caso cuaacutentos cm2 de papel les han sobrado

b) iquestQuieacuten ha aprovechado mejor el rollo de papel

UTN-FRT 27

UNIDAD Ndeg2

Expresiones Algebraicas

Polinomios

Operaciones entre polinomios

Ceros de un Polinomio

Regla de Ruffini

Factorizacioacuten de polinomios

Expresiones Algebraicas Fraccionarias

Operaciones entre expresiones algebraicas

fraccionarias

UTN-FRT 28

Una expresioacuten algebraica es una combinacioacuten de nuacutemeros y variables (letras)

vinculadas entre siacute por un nuacutemero finito de operaciones (tales como adicioacuten

sustraccioacuten multiplicacioacuten divisioacuten potenciacioacuten y radicacioacuten)

Ejemplos

1 2120587radic119871

119892 2

7

119910minus 1199092 3 1199070119905 +

1

21198921199052

4 119909minus5

radic119909minus53

+3 5 minus2119909minus1 + 5119909minus2 minus 1199093 6 1199070 + 119892 119905

3-

Una de las aplicaciones de las expresiones algebraicas consiste en expresar

generalizaciones foacutermulas o propiedades simplificar o acortar expresiones mediante

el lenguaje simboacutelico por ejemplo

Lenguaje coloquial Lenguaje simboacutelico

Un nuacutemero cualquiera x

El s iguiente de un nuacutemero x+1

El doble de un nuacutemero cualquiera 2x

El cuadrado de la suma de dos nuacutemeros

cualquiera

(a+b)2

El promedio de dos nuacutemeros (a+b)2

La suma de los cuadrados de dos nuacutemeros a2+b2

El producto de dos nuacutemeros cualesquiera xy

Cualquier nuacutemero mayor que 4 xgt4

La velocidad (kmhora) de un moacutevil que recorre y

km en x horas

yx

El reciacuteproco de la suma de dos nuacutemeros (x+y) -1=1

119909+119910 119909 ne minus119910

Las expresiones algebraicas se clasifican

Expresiones Algebraicas Racionales

EnterasFraccionarias

Irracionales

UTN-FRT 29

Ejemplos

1 Expresiones algebraicas enteras 2 minus 1199053 1

41199092 minus 119909 + 1 radic3 minus radic2119909

En estas expresiones algebraicas las variables pueden estar afectadas por las

operaciones de adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes

enteros no negativos y no tienen variables en el denominador

2 Expresiones algebraicas fraccionarias 5 minus 119909minus3 radic2minus119910

1199102 3

4+ 119909 +

1

119909

En estas expresiones algebraicas algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes

enteros negativos o tienen variables en el denominador

3 Expresiones algebraicas irracionales radic119905+2

119905 11991123 + 119911minus12 119909 +

2

radic119909

En estas expresiones algebraicas algunas de las variables tienen como exponentes un

nuacutemero racional no entero

Un monomio es una expresioacuten algebraica entera en la que no figuran las operaciones

adicioacuten y sustraccioacuten (tienen un solo teacutermino)

Ejemplos

I)minus1

511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902

Dos o maacutes monomios son semejantes si tienen ideacutentica parte variable

El grado de un monomio es el nuacutemero de factores literales de la expresioacuten y se lo

calcula sumando los exponentes de las variables que lo componen

Se llama polinomio a una suma algebraica de monomios no semejantes

Ejemplos

I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1

21199052 minus 4 III) 2119909119911 minus 1199112 + radic3

Los polinomios que estudiaremos son los polinomios en una variable

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman

Ejemplos Determina el grado de los siguientes polinomios

i)119875(119909) = minus51199094 + 31199092 minus 12 119892119903119875 = 4 ii) 119876(119910) = 31199102 minus 81199103 + 10 + 1199107 119892119903119876 = 7

En general un polinomio de una variable de grado se expresa como

UTN-FRT 30

119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860

1198860 1198861 1198862 119886119899minus1 119886119899119888119900119899119886119899 ne 0 son nuacutemeros reales llamados coeficientes

ldquonrdquo es un nuacutemero entero no negativo

ldquoxrdquo es la variable

1198860es el teacutermino independiente

119886119899es el coeficiente principal

P(x) simboliza un polinomio en la variable ldquoxrdquo

Ejemplo Determinar el grado coeficiente principal y teacutermino independiente en el

siguiente polinomio P(x)= 21199093 minus radic51199094 minus 3 + 119909

P(x)= minusradic51199094 + 21199093 + 119909 minus 3

Si ldquoxrdquo toma el valor ldquoardquo P(a) se llama valor numeacuterico del polinomio para x = a

Ejemplo Dados los siguientes polinomios P(x) = minus21199093 +1

3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909

determina P(1) y P(-1)+Q(0)

119875(1) = minus2(1)3 +1

3 1 minus 1 = minus2 +

1

3minus 1 = minus

8

3

119875(minus1) = minus2(minus1)3 +1

3(minus1) minus 1 = 2 minus

1

3minus 1 =

2

3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0

119875(minus1) + 119876(0) =2

3+ 0 =

2

3

Dos polinomios de una variable son iguales si tienen el mismo grado y si los

coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales

Ejemplo P(x) = 1

21199093 + 21199092 minus 1 y Q(x) = minus1 + radic41199092 + 051199093 son semejantes ya que

tienen el mismo grado y todos los coeficientes de los teacuterminos semejantes son iguales

Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los teacuterminos semejantes son

opuestos

Ejemplo P(x) = 31199094 minus1

51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +

1

51199092 minus 7 son opuestos ya que los

coeficientes de los teacuterminos semejantes son opuestos

Coeficiente Principal 5minus

Teacutermino independiente 3minus

Grado P=4

UTN-FRT 31

Operaciones con polinomios

La suma dos polinomios es otro polinomio cuyos teacuterminos son la suma de los monomios

semejantes de ambos polinomios y los monomios no semejantes

Se simboliza P(x)+ Q(x)

Ejemplo Determina 119875(119909) + 119876(119909)siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 + 3119909 +

41199092 minus 6

119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)

= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6

= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)

= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5

La diferencia entre dos polinomios P y Q en ese orden es otro polinomio que se

obtiene sumando a P(x) el opuesto de Q(x)

Se simboliza P(x)- Q(x)=P(x)+ [- Q(x)]

Ejemplo Determina 119875(119909) minus 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 1199093 +

3119909 + 41199092 minus 6

119875(119909) minus 119876(119909) = 119875(119909) + [minus119876(119909)] = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) minus (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)

= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 minus 1199093 minus 3119909 minus 41199092 + 6

= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)

= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7

La multiplicacioacuten de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando

cada teacutermino del primero por cada teacutermino del segundo y luego se suman los teacuterminos

semejantes si los hubiera

Se simboliza P(x) Q(x)

Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = 51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1 y 119876(119909) = 2119909 minus 1

119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)

= 51199094 2119909 minus 21199093 2119909 + 31199092 2119909 + 12119909 + 51199094(minus1) minus 21199093 (minus1) + 31199092 (minus1) + 1 (minus1)

= 101199095 minus 41199094 + 61199093 + 2119909 minus 51199094 + 21199093 minus 31199092 minus 1

= 101199095 minus 91199094 + 81199093 minus 31199092 + 2119909 minus 1

Ten en cuenta

Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n entonces el gr (PQ)= m+n

UTN-FRT 32

La divisioacuten de un polinomio P(x) por otro polinomio Q(x)0 donde el grado de P(x) es

mayor o igual que grado de Q(x) nos permite determinar dos polinomios C(x) y R(x) que

son uacutenicos y que cumplen las siguientes condiciones 1) P(x)=Q(x) C(x)+R(x) y 2) Si

R(x)0 entonces el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x)

Se simboliza P(x) Q(x)=P(x)Q(x)

Ten en cuenta

1 P(x) recibe el nombre de dividendo Q(x) es el divisor C(x) es el cociente y R(x)

es el resto de la divisioacuten de P en Q

2 Para dividir dos polinomios debemos completar y ordenar en forma decreciente

el dividendo Y ordenar el divisor

Ejemplo Determina 119875(119909) 119876(119909) siendo 119875(119909) = minus21199092 + 1 + 31199095 y 119876(119909) = 2 minus 1199092

31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2

+ minus 31199093 minus 6119909 + 2

minus31199095 + 61199093

61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1

+

minus61199093 + 12119909

minus21199092 + 12119909 + 1

+

21199092 minus 4

12119909 minus 3

Donde el cociente 119862(119909) = minus31199093 minus 6119909 + 2 y el resto es119877(119909) = 12119909 minus 3

Ten en cuenta

1 Dados dos polinomios P y Q tales que gr P=m y gr Q=n mgen entonces el gr

(PQ)= m-n

2 Si al dividir P en Q el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que el cociente es

exacto es decir

i) P(x)=C(x) Q(x)

ii) Q(x) es divisor de P(x)

iii) P(x) es divisible por Q(x)

UTN-FRT 33

Regla de Ruffini

Para determinar los coeficientes del cociente y el resto de una divisioacuten cuando el divisor

es de la forma x-a con a isin ℝ se aplica la Regla de Ruffini

Ejemplo Determinar el cociente y el resto de la divisioacuten de P en Q siendo

119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3

minus3|

|minus5 0 32 minus42

15 minus45 39

minus5 15 minus13 minus3

09

9

Obtenemos el cociente 119862(119909) = minus51199093 + 151199092 minus 13119909 minus 3y el resto 119877(119909) = 9

Cero (o raiacutez) de un polinomio

Sea a isin ℝ a es un cero (o raiacutez) de polinomio P(x) si y solo si P(a)=0

Ejemplo Dado 119875(119909) = 1199093 minus 2119909 + 1verifica que a=1 es un cero del polinomio

119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0

Teorema del resto

Sea a isin ℝ el resto de la divisioacuten de un polinomio P(x) en un binomio de la forma

Q(x)=x-a es R(x) = R = P(a)

Ten en cuenta Si al dividir P(x) en Q(x)=x-a el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que

i) P(x)=C(x) (x-a)

ii) x+a es divisor de P(x)

iii) P(x) es divisible por x-a

iv) a es un cero de P(x)

Teorema Fundamental del Aacutelgebra

Un polinomio de grado n nge1 tiene exactamente n raiacuteces

Ten en cuenta

1 Un polinomio de grado n admite n raiacuteces considerando las reales y las

complejas

2 Un polinomio de grado n admite a lo sumo n raiacuteces reales

Coeficientes del

dividendo

Coeficientes del

cociente

resto

Coefic

ientes

del

divide

ndo

UTN-FRT 34

3 En los polinomios con coeficientes reales las raiacuteces complejas vienen siempre

de a pares entonces un polinomio de grado impar siempre tiene por lo menos

un cero real

Algunos casos de factoreo

Factor comuacuten

Un nuacutemero o una expresioacuten algebraica es factor comuacuten de todos los teacuterminos de un

polinomio cuando figura en todos ellos como factor

Ejemplo Factorea 1511990931199102 + 611990921199103

1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)

Factor comuacuten por grupos

Si los teacuterminos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual nuacutemero de teacuterminos o

no con un factor comuacuten en cada grupo se saca en cada uno de ellos el factor comuacuten

Si queda la misma expresioacuten en cada uno de los pareacutentesis se lo saca a su vez como

factor comuacuten quedando el polinomio como un producto de factores comunes

Ejemplo Factorea 151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910

151199093ndash 71199103 minus 1511990921199102 + 7119909119910 = 151199093 minus 1511990921199102ndash 71199103 + 7119909119910

= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)

= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)

= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)

Trinomio cuadrado perfecto

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus teacuterminos son

cuadrados de alguacuten valor y el otro teacutermino es el doble producto de las bases de esos

cuadrados

En siacutembolos (119886 + 119887)2 = (119886 + 119887)(119886 + 119887) = 1198862 + 2119886119887 + 1198872

(119886 minus 119887)2 = (119886 minus 119887)(119886 minus 119887) = 1198862 minus 2119886119887 + 1198872

Ejemplo Factorea 41199092ndash 4119909119910 + 1199102

41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2

UTN-FRT 35

Cuatrinomio cubo perfecto

Se llama cuatrinomio cubo perfecto al cuatrinomio tal que dos teacuterminos son cubos

perfectos otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base

del segundo cubo y el otro teacutermino es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo

por la base del primer cubo

En siacutembolos (119886 + 119887)3 = (119886 + 119887)2(119886 + 119887) = (1198862 + 2119886119887 + 1198872)(119886 + 119887) = 1198863 + 31198862119887 +

31198861198872 + 1198873

(119886 minus 119887)3 = (119886 minus 119887)2(119886 minus 119887) = (1198862 minus 2119886119887 + 1198872)(119886 minus 119887) = 1198863 minus 31198862119887 +

31198861198872 minus 1198873

Ejemplo Factorea 271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1

271198863 minus 271198862 + 9119886ndash 1 = (3119886 minus 1)3

Diferencia de cuadrados

Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la

diferencia de sus bases

En siacutembolos 1198862 minus 1198872 = (119886 + 119887)(119886 minus 119887)

Ejemplo Factorea 251199092 minus1

41199102

251199092 minus1

41199102 = (5119909)2 minus (

1

2119910)

2

= (5119909 +1

2119910) (5119909 minus

1

2119910)

Suma o diferencia de potencias de igual grado xn plusmn an

Si n es par

1 La suma de potencia de igual grado de exponente par cuyo exponente n es

potencia de 2 no se puede factorear

2 La suma de potencia de igual grado par cuyo exponente n no es una potencia

de 2 seraacute posible factorear aplicando suma de potencias de igual grado impar

3 La diferencia de potencia de igual grado par aplicando la Regla de Ruffini es

igual a 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)

Si n es impar La suma de dos potencias de igual grado de exponente impar es igual

al producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera

suma por la segunda

En siacutembolos 119909119899 minus 119886119899 = (119909 minus 119886)(119909119899minus1 + 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 + 119886119899minus1)

UTN-FRT 36

119909119899 + 119886119899 = (119909 + 119886)(119909119899minus1 minus 119886119909119899minus2+ +119886119899minus2119909 minus 119886119899minus1)

Ten en cuenta

1 Cuando el binomio factor es (x + a) los signos del otro factor son alternados

siendo el primero positivo

2 Cuando el binomio factor es (x - a) los teacuterminos del otro factor son positivos

Polinomio factoreado

Si un polinomio 119875(119909) = 119886119899119909119899 + 119886119899minus1119909119899minus1 + 119886119899minus2119909119899minus2+ +11988621199092 + 1198861119909 + 1198860 119886119899 ne 0de

grado n puede factorizarse como 119875(119909) = 119886119899(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092) (119909 minus 119909119899)

Si 1199091 ne 1199092 ne ne 119909119899 raiacuteces reales y distintas decimos que el polinomio admite raiacuteces

simples

Si 119909119894 = 119909119895para alguacuten i y j es decir algunas raiacuteces reales e iguales decimos que el

polinomio admite raiacuteces con multiplicidad

Ejemplos

1 Si 119875(119909) = minus7(119909 minus 2)(119909 + 5)(119909 minus 4) decimos que P(x) es un polinomio de grado

3 que tiene tres raiacuteces reales simples

2 Si 119876(119909) =1

2(119909 minus 3)2(119909 + 2)3 decimos que Q(x) es un polinomio de grado 5 que

tiene dos raiacuteces reales muacuteltiples

1199091 = 1199092 = 3multiplicidad de orden 2

1199093 = 1199094 = 1199095 = minus2 multiplicidad de orden 2

3 Si 119878(119909) = (119909 minus 1)2119909(119909 + 5) decimos que S(x) es un polinomio de grado 4 que

tiene una raiacutez real muacuteltiple y dos raiacuteces reales simples


1199093 = 0

1199094 = minus5

Meacutetodo de Gauss

Este es un meacutetodo para factorizar polinomios en una variable Los divisores enteros del

teacutermino independiente dividos por los divisores del coeficiente principal de un polinomio

son las posibles raiacuteces del mismo

Ejemplo Factorear 119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6

UTN-FRT 37

Paso 1 buscar las ldquoposiblesrdquo raiacuteces del polinomio

119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6

Posibles raiacuteces -1 1 -2 2 -3 3 -6 6

Paso 2 los posibles divisores son (x+1) (x-1) (x+2) (x-2) (x+3) (x-3) (x+6) y (x-6)

Paso 3 aplicamos el teorema el resto hasta encontrar al menos una raiacutez

Para x-1 el resto P(1)=4

Para x+1 el resto P(-1)=(-1)3-4(-1)2+(-1)+6=0 -1 es raiacutez del polinomio

Para x-2 el resto P(2)=0 0 es raiacutez del polinomio

Para x+2 el resto P(-2)=-20



Paso 4 divido al polinomio en los binomios del paso 2 aplicando Regla de Ruffini

119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1

minus1 |

1 minus4 1 6minus1 5 minus6

1 minus5 6 0

Ahora divido 119875(119909) = 1199092 minus 5119909 + 6en 119909 minus 2

2 |

1 minus5 62 minus6

1 minus3 0

Paso 5 Escribir factoreado

119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 = (119909 + 1)(1199092 minus 5119909 + 6) = (119909 + 1)(119909 minus 2)(119909 minus 3)

iquestPodemos resolver este ejercicio de otra forma

Coeficiente principal 1

Divisores -1 1

Teacutermino independiente 6

Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6

El cociente es

( ) 2 5 6C x xx = minus +

El cociente es

( ) 3C x x= minus

UTN-FRT 38

Trinomio de la forma 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 con a b y c nuacutemeros reales a 0 que no

son trinomios cuadrados perfectos

Una de las formas de encontrar los ceros o raiacuteces de 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 es decir

1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 es utilizando la foacutermula de Bhaskara

11990912 =minus119887plusmnradic1198872minus4119886119888

2119886 donde 1199091 =

minus119887+radic1198872minus4119886119888

2119886 y 1199092 =

minus119887minusradic1198872minus4119886119888

2119886

Al polinomio P(x) lo podemos escribir en forma factoreada como

119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)

Expresiones algebraicas fraccionarias

Si 119875(119909) y 119876(119909) son dos polinomios y 119876(119909) ne 0 (polinomio nulo) la expresioacuten 119875(119909)

119876(119909) se

llama expresioacuten racional no entera o fraccionaria

Ejemplos

1 119909minus5

2119909minus1 119909 ne

1

2

2 1199092minus36

31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6

Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias

Las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias se realizan de la misma

forma que las operaciones con nuacutemeros racionales

Simplificacioacuten

Sea 119875(119909)

119876(119909)con 119876(119909) ne 0 para simplificar una expresioacuten algebraica fraccionaria

factoreamos el numerador y el denominador y simplificamos los factores comunes a

ambos

Ejemplo Simplifica 1199092minus16

31199092minus12119909

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4)=

(119909+4)

3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4

UTN-FRT 39

Multiplicacioacuten

Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para

multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de manera anaacuteloga a la

multiplicacioacuten de nuacutemeros racionales

Ejemplo Resuelve 1199094minus1

1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1

1199094 minus 1

1199092 + 6119909 + 9sdot

1199092 + 3119909

1199092 minus 1sdot

7

1199092 + 1=

(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)

(119909 + 3)2sdot

119909(119909 + 3)

(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot

7

1199092 + 1 119909

ne minus3 minus11

1199094minus1

1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1=

(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)

(119909+3)2 sdot119909(119909+3)

(119909minus1)(119909+1)sdot

7

1199092+1=

7119909

119909+3 119909 ne minus3 minus11

Divisioacuten

Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica Para dividir

expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica la primera fraccioacuten por la inversa de

la segunda


119909+5

1199092minus119909

1199092minus25

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5)=

119909 minus 1

119909 + 5sdot

(119909 minus 5)(119909 + 5)

119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015

119909minus1

119909+5

1199092minus119909

1199092minus25=

119909minus1

119909+5sdot

(119909minus5)(119909+5)

119909(119909minus1)=

119909minus5

119909 119909 ne minus5015

Ten en cuenta en la divisioacuten de expresiones algebraicas fraccionarias

119875(119909)

119876(119909)119877(119909)

119878(119909)=

119875(119909)

119876(119909)sdot

119878(119909)

119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0

Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo

Dado un conjunto de dos o maacutes polinomios tal que cada uno de ellos se halle expresado

como producto de factores irreducibles decimos que el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre

ellos es el producto de factores comunes y no comunes considerados el mayor

exponente

UTN-FRT 40

Ejemplo Calcular el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo entre 1199092 minus 16 1199092 + 8119909 + 16 1199092 + 4119909

Al factorear resulta

1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)

1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2

1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)

119872iacute119899119894119898119900119862119900119898uacute119899119872uacute119897119905119894119901119897119900 = (119909 minus 4)2119909(119909 + 4)

Adicioacuten y sustraccioacuten

Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias analizamos los

denominadores

bull Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los

numeradores y se conserva el denominador comuacuten

Ejemplo Resuelva 119909+4

119909minus1minus

119909+1

1199092minus1

119909+4

119909minus1minus

119909+1

1199092minus1=

119909+4

119909minus1minus

119909+1

(119909minus1)(119909+1)=

119909+4

119909minus1minus

1

119909minus1 119909 ne minus11

El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es x-1

119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

1199092 minus 1=

119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

(119909 minus 1)(119909 + 1)=

119909 + 4

119909 minus 1minus

1

119909 minus 1=

119909 + 4 minus 1

119909 minus 1=

119909 + 3

119909 minus 1 119909 ne minus11

bull Si los denominadores no son iguales se reducen al miacutenimo comuacuten denominador

que es el miacutenimo muacuteltiplo comuacuten de los denominadores como en el caso de la

suma de fracciones numeacutericas

Ejemplo Resuelva 119909minus10

1199092+3119909minus10minus

2119909+4

1199092minus4

119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2(119909 + 2)

(119909 minus 2)(119909 + 2)=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909

ne minus5 minus22

El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo es (x+5) (x-2)

119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909 ne minus52

=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)

(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52

=119909 minus 10 minus 2119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52

=minus119909 minus 20

(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52

UTN-FRT 41

Trabajo Praacutectico Ndeg2

ldquoExpresiones Algebraicasrdquo

1 Marque una cruz en el casillero correcto

Expresioacuten

algebraica

Racional

entera

Racional no

entera

irracional

2 31 1

1

xx

x

minus+

minus

2 314

2x xy xminus minus

2 32 5x xminus minus

2 135x y x+

2 Describe los siguientes polinomios indicando el nuacutemero de teacuterminos

coeficientes y grado

a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2

31199095 minus 119909 minus 2

c 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909 d 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13

3 Determine el valor numeacuterico de los polinomios en los valores indicados

x=0 x=1 x=-1 x=2

a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17

b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909

c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13

4 Exprese como un monomio

a) El periacutemetro de la figura

b) El aacuterea

c) El volumen del cubo que se puede formar con

los 6 cuadrados

5 Una caja tiene las siguientes dimensiones largo = x ancho = x-3 y alto = x+5

Exprese el volumen en funcioacuten de x

6 Exprese el volumen de estos cuerpos mediante polinomios

UTN-FRT 42

7 Exprese mediante un polinomio el periacutemetro y el aacuterea de las siguientes figuras

a b

c d

8 Encuentre 119886 119887 119888 119910 119889 si 119886 + (119886 minus 119887)119909 + (119887 minus 119888)1199092 + 1198891199093 = 8 + 12119909 + 51199092 minus 101199093

9 Determine 119886 119887 119888 119910 119889 tales que

1198861199093 + (119886 + 119887)1199092 + (119886 minus 119888)119909 + 119889 = 121199093 minus 31199092 + 3119909 minus 4

10 Dados los polinomios 119875(119909) = 1199092 + 119909 + 1 119876(119909) = 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 1199093 + 61199092 +

6119909 + 5 Determine 119886 y 119887 tal que se cumpla 119875(119909) 119876(119909) = 119877(119909)

11 Sean 119875(119909) = 2119909 minus 3 119876(119909) = 1199092 + 119886119909 + 119887 y 119877(119909) = 21199093 + 1199092 minus 8119909 + 3 Determine

119886 y 119887 de tal forma que 119875(119909) 119876(119909) minus 119877(119909) sea un polinomio de grado cero

12 Efectuacutee las siguientes operaciones En los apartados g) h) e i) determine los

polinomios cociente y resto

a)(31199093 minus 1199094 + 51199092 minus 119909 + 1) + (minus6119909 + 71199094 minus 21199092 + 2) + (1199094 + 1199093 minus 31199092 + 2119909)

b)(51199093 +1

21199092 minus 3119909 +

3

4) + (

4

51199093 + 31199092 +

1

5119909 minus

1

2)

UTN-FRT 43

c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)

d)(3 minus 119909) (5 minus 119909 + 1199092) (21199092 minus 1)

e)(2119909 minus 1 minus 21199092) (6119909 minus 9 minus 1199092)

f) (31199093 minus1

21199092 + 2119909 minus 2) (

2

31199092 minus 1)

g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)

h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)

i) (1

21199094 +

8

31199093 +

1

21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (

1

2119909 + 3)

13 Halle el polinomio que dividido por 51199092 minus 1 da el cociente 21199092 + 119909 minus 2 y el resto

119909 minus 2

14 Halle el cociente el resto aplicando la regla de Ruffini

a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)

b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)

c) (1199094 minus1

21199093 +

1

31199092 minus

1

4119909 +

1

5) ∶ (119909 minus 1)

d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)

e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)

f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)

g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)

15 Demuestre que 119876(119909) = 119909 minus 119886 es un factor de 119875(119909) y factorice 119875(119909)

a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3

b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5

c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1

16 Determine los nuacutemeros opuestos ℎ y 119896 para que el polinomio

119875(119909) = 1199093 minus 1199092 + ℎ119909 minus 119896 sea divisible por 119876(119909) = 119909 + 2

17 iquestPara queacute valores de 119896 el polinomio 1199093 + 119896119909 + 3119909 es divisible por (119909 + 5)

UTN-FRT 44

18 Determine el valor de 119887 para que el polinomio 1198871199093 + 1199092 minus 5119887 sea divisible por

(119909 minus 5)

19 iquestCuaacutel es el resto de dividir 119875(119909) = 31199093 + 2119909 minus 4 por 119876(119909) = 119909 + 1

20 Halle los ceros (raiacuteces) restantes de los siguientes polinomios y luego

escriacutebelos en forma factorizada

a) 119875(119909) = 1199093 + 1199092 minus 14119909 minus 24 siendo 119909 = minus3 un cero

b) 119876(119909) = 1199094 + 31199093 minus 31199092 minus 11119909 minus 6 siendo 119909 = minus1 un cero de multiplicidad

dos

21 Determine todos los ceros del polinomio 119875(119909) = 1199094 + 21199093 minus 31199092 minus 4119909 + 4

22 Dado el polinomio 119876(119909) = 1199095 minus 1199094 minus 71199093 + 1199092 + 6119909 Calcule todos los ceros del

polinomio y escriacutebelo en forma factorizada

23 Halle el orden de multiplicidad de las raiacuteces 1199091 = 1 y 1199092 = minus2 en el polinomio

119875(119909) = 1199096 + 1199095 minus 51199094 minus 1199093 + 81199092 minus 4119909

24 Determine un polinomio de cuarto grado cuyos ceros son -1 3 -3 y -4 El

coeficiente principal es igual a 2

25 Factorea las siguientes expresiones

a) 1611988621199092 minus 411990931198863

b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092

c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14

d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909

e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1

f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910

g) 4

251198864 minus

1

91199092

h) 25

1198982 minus 36

i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887

j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901

k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096

l) 1199103 +3

41199102 +

3

16119910 +

1

64

m) 1199092 + 36 minus 12119909

n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103

UTN-FRT 45

o) 1199093

27minus

1198861199092

3+ 1198862119909 minus 1198863

26 Factorear los siguientes polinomios buscando los binomios por los cuales son

divisibles (aplicar meacutetodo de Gauss)

a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6

c 1199094 + 1199093 minus 71199092 minus 119909 + 6 d 1199093 + 41199092 minus 7119909 + 2

e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6

27 Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo

producto y necesita disentildear el packaging Para

ello se ha pensado en dos opciones un prisma y

un cubo El ancho de ambos (x) deberaacute ser el

mismo pero el prisma tendraacute el triple de

profundidad y 4 cm menos de altura Encuentre

las medidas y el volumen de cada caja

28 Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo ciliacutendrico y se deberaacute

elegir entre dos recipientes que posean esta caracteriacutestica y que tengan la

misma capacidad El cilindro A tiene una altura igual a su radio y el cilindro B

posee un radio igual al doble del radio de A y una altura 6 cm menor que el radio

Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen

29 Operando soacutelo con el primer miembro verifique

a) 1199094minus31199092+5119909minus3

119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1

b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15

119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3

c) 1199093+1

119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1

30 Realice las siguientes operaciones y si es posible simplifique

a 2

2 2 8

2 2 4

x a x a ax

x a a x x a

minus +minus +

+ minus minus b

21 1

1 1

xx

x x

+minus +

+ minus

c 3 1 1

4 4 1 1

x x xx

x x x

+ minus + minus minus

minus + d

2

1 1 21

1 1

x

x x x

minus minus

+ minus

e 1 1

x xx x

x x

+ minus

minus minus f

2

3 2

1 1

x

x a x a x a x

+

+ minus minus

UTN-FRT 46

g 1

8minus8119909minus

1

8+8119909+

119909

4+41199092 h

4119909minus3119887

2119909minus 2 +

2119909+119887

3119909

i (1

119909+

2

119886) (

1

119909minus

2

119886) (

119886119909

119886+2119909) j (

1199092

1198862 minus1198862

1199092) ∶ (119909

119886+

119886

119909)

k (1199094 minus1

1199092) ∶ (1199092 +

1

119909) l (

2119909

119909+3minus

119909+1

119909) ∶ (

1199093minus41199092minus3119909

1199092 )

31 Indique con una cruz (X) la uacutenica opcioacuten correcta

a ( )

( )( )

22 a b aa b a

b a b b a b a b

minus+minus +

+ minus + es igual a

a b+ b

a bminus

+

b

a b+

a b

b

+ Otro

b 2 3 4 4 1

2 2 3 3 6 6

a a a

a a a

minus minus minusminus +

+ + + es igual a

a 1

6

b

a b Otro

c

2

2

2 4 4

1 1 1

x x x

x x x

minus + minus

+ minus minus es igual a

2

1

2x xminus

minus minus

2

1

2x xminus minus

2

1

3 2x xminus + 1 Otro

32 Verifique 119886minus2

2119886+2minus

3119886minus4

3119886+3+

4119886minus1

6119886+6=

1

6

UTN-FRT 47

UNIDAD Ndeg3

Aacutengulo

Sistemas de medicioacuten de aacutengulos

Longitud de arco

Triaacutengulos

Elementos de un triaacutengulo

Clasificacioacuten de los triaacutengulos

Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en

triaacutengulo rectaacutengulo

Ciacuterculo Trigonomeacutetrico

Triaacutengulos oblicuaacutengulos

Teorema del seno

Teorema del coseno

UTN-FRT 48

Nociones previas

Aacutengulo Tres puntos A B y C no alineados y dos rectas que contienen dichos puntos determinan

dos aacutengulos

A se llama veacutertice del aacutengulo y las semirrectas AB y AC lados del mismo

A los aacutengulos los denotamos con

bull Letras del alfabeto griego tales como etc

bull 119861119862 colocando en el centro el veacutertice del aacutengulo

bull

Sistema de medicioacuten de aacutengulos

Los sistemas de medicioacuten maacutes usados para medir la amplitud de aacutengulos son el sistema

sexagesimal y el sistema radial

Sistema sexagesimal

El sistema de medicioacuten de aacutengulos utilizamos es el sexagesimal divide a la

circunferencia en seis partes de 60deg cada una obteniendo un giro completo de 360deg La

unidad es el grado sexagesimal y las subunidades son el minuto y el segundo

sexagesimal

Sistema radial o circular

Dada la circunferencia de radio r se define un radiaacuten como la amplitud de aacutengulo

subtendido por un arco igual al radio de la circunferencia

Longitud del arco 119860119861⏜ =r

1 =

UTN-FRT 49

Longitud de arco

En el sistema circular la medida del aacutengulo se obtiene al dividir la longitud de arco en

el radio de la circunferencia

Por lo tanto Longitud del arco 119860119861⏜ = S radio=

aacutengulo central medido en radianes

Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el sistema radial

En este sistema un aacutengulo de 180deg mide 314 (que es el valor aproximado de π )

De esa manera un giro completo es decir 360deg mide 2 π

Por lo tanto 180deg equivale a π o bien 360deg equivale a 2 π

Ejemplos

1 Transformar de un sistema a otro

i) 30deg 25acute45acuteacute

ii) 4

i) 30deg 25acute45acuteacute expresado en grados es 3043deg entonces

180deg-----------------

3043deg--------------x

Luego x=3043deg120587

180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889

ii) ---------------------180deg

4

----------------------x

Entonces x=

1801804 45

4

= =

2 Calcular la longitud de arco de arco que corresponde a un aacutengulo central de 50deg

en una circunferencia cuyo diaacutemetro es 36 metros

UTN-FRT 50

Elementos

Lados a b y c o AB BC CA

Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860

Convertimos el aacutengulo α a radianes

180deg--------

50deg--------x

Entonces x=50 5

180 18

=

Calculamos la longitud de arco S=r α=18 5

18

=5 metros

Conceptos elementales de Triaacutengulos

Elementos

Propiedades

Un lado de un triaacutengulo es

menor que la suma de los

otros dos y mayor que su

diferencia

a lt b + c a gt b ndash c

b lt c + a b gt c ndash a

c lt a + b c gt a ndash b

La suma de los aacutengulos

interiores de un triaacutengulo es

180deg

+ + = 180deg

UTN-FRT 51


exteriores de un triaacutengulo es

360deg

+ + 120574 = 360deg

Ejemplo determina el aacutengulo faltante sabiendo que = 38degy = 46deg


Seguacuten sus lados

Triaacutengulos isoacutesceles Triaacutengulos escalenos

Tienen por lo menos dos lados de igual longitud

Si los tres lados tienen igual longitud se llama

equilaacutetero

Tiene sus tres lados distinta longitud

Como + + = 180deg

Entonces

= 180deg minus minus

= 180deg minus 38deg minus 46deg

= 96deg

UTN-FRT 52

Seguacuten sus aacutengulos

Triaacutengulos

acutaacutengulos

Triaacutengulos

rectaacutengulos

Triaacutengulos

obtusaacutengulos

Tiene tres aacutengulos

agudos

Tienen un aacutengulo recto Tienen un aacutengulo obtuso

Razones trigonomeacutetricas de un aacutengulo agudo en triaacutengulo rectaacutengulo

Dado un triaacutengulo rectaacutengulo de lados a b y c se definen las razones trigonomeacutetricas

del aacutengulo agudo como

catetoopuesto asen A

hipotenusa c= =

oshipotenusa c

c ec Acatetoopuesto a

= =

oscatetoadyacente b

c Ahipotenusa c

= =

echipotenusa c

s Acatetoadyacente b

= =

catetoopuesto atg A

catetoadyacente b= = ot

catetoadyacente bc g A

catetoopuesto a= =

Tambieacuten podemos definir las razones trigonomeacutetricas para el aacutengulo agudo B

bsen B

c= cos

aB

c= t

bg B

a=

Comparando las expresiones anteriores observamos que

UTN-FRT 53

cossen A B= y cos A sen B=

Esto se verifica dado que los aacutengulos A y B son complementarios

Ten en cuenta

1 Dos aacutengulos α y β son complementarios si α + β=90deg

2 Dos aacutengulos α y β son suplementarios si α + β=180deg

Ejemplos resolver el triaacutengulo conociendo los siguientes datos

1 Datos b=280 m y c= 415 m

28006747

415

(06747)

4243

bsen B

c

B arcsen

B

= = =

=

=

Para obtener el aacutengulo

+ + = 180deg entonces = 180deg minus 90deg minus 4243deg = 4757deg

Luego por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante

119886 = radic1198882 minus 1198872 rArr 119886 = 15radic417 ≃

30631119898119890119905119903119900119904

2 Datos = 37deg y a=52 m

119888119900119904 3 7deg =52

119888

119888 =52

119888119900119904 3 7deg

119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904

Por Pitaacutegoras determinamos el lado faltante

119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904

Luego para obtener el aacutengulo

UTN-FRT 54


Posicioacuten normal del aacutengulo

Un aacutengulo estaacute en posicioacuten normal si su veacutertice coincide con el origen de coordenadas

y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas

Si el lado terminal estaacute en el primer segundo tercer o cuarto cuadrante diremos que el

aacutengulo es un aacutengulo del primer segundo tercer o cuarto cuadrante respectivamente

Ten en cuenta

Consideramos como primer cuadrante al determinado por los semiejes positivos de

coordenadas y como segundo cuadrante al determinado por el semieje de abscisas

negativas y de ordenadas positivas Este ordenamiento determina el sentido para

enumerar los restantes cuadrantes

Ciacuterculo trigonomeacutetrico

Sobre un sistema cartesiano de ejes dibujamos la circunferencia trigonomeacutetrica que es

la que tiene centro en el origen y radio r (r = 1) y tomamos un aacutengulo α en posicioacuten

normal

UTN-FRT 55

El lado terminal de α determina sobre la circunferencia un punto P que tiene por

coordenadas x abscisa (x isin ℝ ) e y ordenada (y isin ℝ)

De la figura podemos observar que

bull OP = r =1 (radio) medida del radio

bull 119860119875⏜ es el arco que corresponde al aacutengulo central α

bull P isin I cuadrante entonces xgt0 y gt 0

bull P isin II cuadrante entonces xlt0 y gt 0

bull P isin III cuadrante entonces xlt0 y lt 0

bull P isin IV cuadrante entonces xgt0 y lt 0

Reformulando las razones numeacutericas definidas anteriormente obtenemos

1

catetoopuesto y ysen y

hipotenusa r = = = =

os1

catetoadyacente x xc x


catetoopuesto ytg

catetoadyacente x = =

1os

hipotenusac ec

catetoopuesto y = =

UTN-FRT 56

1ec

hipotenusas


otcatetoadyacente x

c g Acatetoopuesto y

= =

1048601Ten en cuenta

1 La ordenada del punto P es el seno del aacutengulo α y la abscisa de P es el coseno

del mismo aacutengulo

2 Los nuacutemeros sen α y cos α dependen soacutelo de α no de la medida del radio

3 El signo de cos α coincide con el signo de x y el signo del sen α coincide con el

signo de y en el correspondiente cuadrante respectivamente

4 Como

1 1 1 1

1 1 1 cos 1

y sen

x

minus minus

minus minus

Relaciones fundamentales

Las siguientes afirmaciones son vaacutelidas

2 2cos 1sen + =

UTN-FRT 57

cos 0cos

sentg

=

1sec cos 0

cos

=

1sec s 0co en

sen

=

Valores de funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos particulares

Sea un aacutengulo α=30ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo y negativo queda

determinado un triaacutengulo equilaacutetero de lados acuteOP PP P O en el cual

Como el triaacutengulo es equilaacutetero entonces 2r y=

Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 2(2 ) 3 3x r y y y y y= minus = minus = =

Entonces

130

2 2

catetoopuesto y ysen

hipotenusa r y = = = =

cos 1 0 0cotg sen tg

sen tg

= =

UTN-FRT 58

1 330

33 3

catetoopuesto y ytg

catetoadyacente x y = = = = =

Teniendo en cuenta que α = 60ordm es complementario de 30ordm tendremos

1cos60 30

2sen = =

60 cot 30 3tg g = =

Si dibujamos un aacutengulo de 45ordm en su posicioacuten normal con sentido positivo obtenemos

un triaacutengulo isoacutesceles de lados OP PS SO en el cual

Como el triaacutengulo es isoacutesceles entonces x y=

Por el Teorema de Pitaacutegoras 2 2 2 2 22 2r x y x x x x= + = + = =

Entonces

3 3cos30

2 2 2

catetoadyacente x x y

hipotenusa r y y = = = = =

360 cos30

2sen = =

UTN-FRT 59

1 245

22 2

catetoopuesto y xsen

hipotenusa r x = = = = =

1 2cos45

22 2

catetoadyacente x x


45 1catetoopuesto y x

tgcatetoadyacente x x

= = = =

Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica seno en

aacutengulos de notables

α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg Observaciones

Primer

paso

0 1 2 3 4 Escribo del 0 al

4

Segundo

paso

0 0= 1 1= 2 3 4 2= Extraigo raiacutez

cuadrada

Tercer

paso

00

2=

1

2 2

2

3

2

21

2=

Divido en 2

sen α 0 1

2 2

2

3

2

1

Regla nemoteacutecnica para recordar los valores de funcioacuten trigonomeacutetrica coseno

en aacutengulos de notables


Primer

paso


0

Segundo

paso

4 2= 3 2 1 1= 0 0= Extraigo raiacutez

cuadrada

Tercer

paso

21

2= 3

2

2

2

1

2

00

2=

Divido en 2

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0

UTN-FRT 60

En resumen

α 0deg 30deg 45deg 60deg 90deg

sen α 0 1

2 2

2

3

2

1

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0

A partir de esta tabla puede obtenerse las funciones trigonomeacutetricas restantes de los

aacutengulos notables

Aacutengulo elevacioacuten y aacutengulo de depresioacuten

Aacutengulo de elevacioacuten

Situacioacuten graacutefica Definicioacuten

Aacutengulo agudo que forma la visual

dirigida de abajo hacia arriba con la

direccioacuten horizontal

Ejemplo Un avioacuten que despega con un aacutengulo de elevacioacuten de 7deg Calcula la altura en

metros a la que se encuentra luego de haber volado 10 km

Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonomeacutetricas

7 10 7 12186910

hsen sen h h km = = =

h altura

UTN-FRT 61

Pasamos la altura de km a metro obteniendo

121869 121869km a m m=

Respuesta el avioacuten se encuentra a una altura de 1218 69 m




dirigida de arriba hacia abajo con la


Ejemplo Un avioacuten pasa por una isla a 1200 metros sobre el nivel del mar en el momento

que observa otra isla bajo un aacutengulo de depresioacuten 10deg Calcular la distancia entre las

dos islas


1200 1200

10 10 1200 68055310

tg d tg d d md tg

= = = =

Respuesta La distancia entre las islas es de 680553 metros

d distancia

UTN-FRT 62


Teorema del seno

En todo triaacutengulo las longitudes de

los lados son proporcionales a los

senos de los respectivos aacutengulos

opuestos

a b c

sen A sen B senC= =

sen A sen B senC

a b c= =

Ejemplo Conociendo los aacutengulos = 30deg = 45deg y el lado a =3 m Hallar los lados b

y c y el aacutengulo C del triaacutengulo

Para calcular el aacutengulo C utilizamos la propiedad que afirma que la suma de los aacutengulos

interiores de un triaacutengulo es 180deg

+ + = 180deg rArr = 180deg minus 30deg minus 45deg rArr = 105deg

Para calcular el lado b aplicamos el teorema del seno entre los aacutengulos y

3

30 45

3 45

30

3 2

a b b

sen A sen B sen sen

senb

sen

b

= =

=

=

UTN-FRT 63

Para calcular el lado c aplicamos nuevamente el teorema del seno entre los aacutengulos y

3

30 105

3 105

30

3 6 3 2

2

a c c

sen A senC sen sen

senc

sen

c

= =

=

+ =

Respuesta = 105deg 3 2b m= y 3 6 3 2

2b m

+=

Teorema del coseno

En todo triaacutengulo el cuadrado de

un lado es igual a la suma de los

cuadrados de los otros dos menos

el doble del producto de esos

lados por el coseno del aacutengulo

comprendido entre ellos

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + minus

= + minus

= + minus

Ten en cuenta

1 Es conveniente el teorema del coseno cuando se tiene como datos

i) Lados del triaacutengulo

ii) Dos lados y aacutengulo comprendido entre ellos

2 Es conveniente usar el teorema del seno cuando se tiene como datos

i) Dos aacutengulos del triaacutengulo y un lado opuesto a uno de ellos

ii) Dos lados del triaacutengulo y un aacutengulo opuesto a uno de ellos

UTN-FRT 64

Ejemplo Los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un aacutengulo de 32deg

Determine cuaacutento miden sus diagonales

Para calcular la diagonal BD utilizaremos el teorema del coseno

2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos32

1858

431

BD AB AD AB AD A

BD

BD

BD

= + minus

= + minus

=

=

Para calcular la diagonal AC utilizaremos nuevamente el teorema del coseno

calculando previamente el aacutengulo

Por propiedad

+ + + = 360deg = =

2 = 360deg minus 64deg rArr = 148deg

Aplicando el teorema del coseno resulta

2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos148

18141

1347

AC AB BC AB BC B

AC

AC

AC

= + minus

= + minus

=

=

UTN-FRT 65

Unidad Ndeg3

ldquoTrigonometriacuteardquo

1 Dados los siguientes aacutengulos en radianes expreacutesalos en el sistema

sexagesimal

a 120587

6

a 5120587

4 b 26 rad

c 2120587

3 d 35 rad e

3120587

2

2 Exprese a los siguientes aacutengulos en el sistema radial

b 60deg

c 35deg 30rsquo d 45deg

e 320deg f 1405deg g 82deg

3 Calcule el aacutengulo 120572 de la figura sabiendo

que

25

20

35

=

=

=

4 En el triaacutengulo ABC A tiene 54deg y B supera a C en 23deg Encuentre el valor de B

y C

5 Determine la longitud de arco 119878 de un sector circular de radio 119903 = 6120587 119888119898 y

120572 = 60deg


120572 = 18deg

7 Determine el radio del sector circular cuya longitud de arco es 119878 = 4120587 119898 y

120572 = 20deg

8 Halle el aacutengulo 120572 del sector circular

en grados sexagesimales a partir de

la figura dada

9 Si la longitud del arco es el triple de la longitud del radio calcule la medida del

aacutengulo del sector circular

10 Determine los valores de las restantes razones trigonomeacutetricas del aacutengulo

agudo

a) 119904119890119899119860 =3

7

b) 119905119892119860 = 15

UTN-FRT 66

c) 119888119900119904119860 = 03

11 Determina los aacutengulos y lados faltantes del triaacutengulo de la figura

a C = 60deg 25rsquo a = 80

b A = 38deg b = 15

c b = 12 c = 5

d a = 18 b = 32

e c = 12 a = 14

12 Para las siguientes proposiciones indique a que cuadrante pertenece el aacutengulo

a tg gt 0 y sen lt 0

b tg y cos tienen el mismo signo

c sen y cos tienen el mismo signo

d sen y tg tienen signos opuestos

e cos gt 0 y tg lt 0

f Todas las funciones trigonomeacutetricas tienen el mismo signo

13 En un triaacutengulo rectaacutengulo la longitud de la hipotenusa es tres veces la longitud

de uno de sus catetos Determina las razones trigonomeacutetricas del aacutengulo

opuesto a este cateto

14 Calcule la base de un triaacutengulo isoacutesceles cuyos lados iguales miden 20 cm y su

altura 8 cm

15 En el triaacutengulo 119860119861 (rectaacutengulo en 119861) el lado 119860119862 es cinco veces mayor que el

lado 119860119861 Calcule el aacutengulo

16 A partir de los datos la figura calcule los segmentos 119860119861 119860119862 119861119862 y 119861119863

120572 = 60deg 120579 = 60deg

119860119863 = 18 119898

A

B

D

C

UTN-FRT 67

17 Un ingeniero desea construir una rampa de 52 m de largo que se levanta 7 m

del suelo Calcule el aacutengulo que debe formar la rampa con la horizontal

18 El hilo de un barrilete se encuentra tenso y forma un aacutengulo de 54deg 20prime con la

horizontal Encuentre la altura del barrilete con respecto al suelo si el hilo mide

85 m y la persona sostiene al mismo a 150 m del suelo

19 Un topoacutegrafo puede medir el ancho de un riacuteo ubicaacutendose en un punto C de uno de los bordes del riacuteo y visualizando un punto A situado en el otro borde Despueacutes de girar un aacutengulo de 90ordm en C se desplaza 200 metros hasta el punto B Aquiacute mide el aacutengulo β y encuentra que es de20ordm iquestCuaacutel es el ancho del riacuteo

20 Desde un punto situado a 200 m medido horizontalmente respecto del pie de

una torre se observa que el aacutengulo hacia la cuacutespide es de 60deg Calcula la

altura de la torre

21 La torre Eiffel terminada el 31 de marzo de 1889 fue la torre maacutes alta hasta que

se inicioacute la era de las torres de televisioacuten Encuentre la altura de la torre Eiffel

usando la informacioacuten dada en la figura

22 Determine los aacutengulos y lados faltantes

del triaacutengulo oblicuaacutengulo de la figura

Complete la tabla

a

c

b

UTN-FRT 68

a

b

c

120572 120573 120574 Aacuterea

30 cm 45 cm 40deg

120 cm 84 cm 60deg

60 m 70 m 5120587

6

25 cm 35deg 68deg

252 m 378 m 434 m

132 cm 224 cm 28deg40rsquo

475 cm 70deg 45deg

23 Una de las siete maravillas del mundo antiguo la gran piraacutemide de Keops fue

construida alrededor del antildeo 2580 aC Su altura original era de 14658 m pero

debido a la peacuterdida de sus bloques superiores es ahora algo maacutes baja

Encuentre la altura actual de la gran piraacutemide a partir de la informacioacuten dada en

la figura

24 El capitaacuten del crucero Royal Caribean visualiza dos faros separados 3 km entre

siacute a lo largo de un tramo recto de la costa Determina que los aacutengulos formados

entre las dos visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la

costa miden 15ordm y 35ordm

a) iquestA queacute distancia de la costa se encuentra el crucero

b) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro A

c) iquestQueacute tan lejos estaacute el crucero del faro B

UTN-FRT 69

25 Para encontrar la distancia que separa las casas A y B un topoacutegrafo determina

que el aacutengulo BAC es de 40ordm luego camina 100Km y determina que el aacutengulo

ACB es de 50ordm iquestQueacute distancia separa ambas casas

26 El Ingeniero Belmonte tiene sobre su escritorio una maqueta de su eacutepoca de

estudiante Determina la distancia real que separa las casas A y B sabiendo que

la escala utilizada fue de 1 cm = 2 km

27 Las agujas de un reloj miden 3 cm y 5 cm

a) iquestQueacute aacutengulo forman a las 1210rsquo hs b) iquestQueacute distancia hay entre los extremos de las agujas

UTN-FRT 70

28 Los lados de paralelogramos miden 7 cm y 9 cm y forman un aacutengulo de 42deg


29 Desde lo alto de un faro se observa dos barcos en direcciones opuestas con

aacutengulo de depresioacuten de 16deg y 37deg Si la altura del faro es de 21 m

a) Realiza un esquema de la situacioacuten

b) iquestQueacute distancia hay entre los barcos

30 Un topoacutegrafo situado en 119861 observa dos puntos 119860 y 119862 en los extremos de un lago

Si = 3317 119898 119861119862 = 2422 119898 y el aacutengulo 119860119862 = 120deg Calcule la distancia 119860119862

UTN-FRT 71

UNIDAD Ndeg4

Identidades y ecuaciones

Clasificacioacuten de las ecuaciones

Resolucioacuten de una ecuacioacuten

Ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita

Ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita

Foacutermula de Bhaskara

Naturaleza de las raiacuteces

Ecuacioacuten racional fraccionaria

Ecuacioacuten irracional

UTN-FRT 72


Una ecuacioacuten es una igualdad en la que intervienen variables y que se verifica para

ciertos valores de las mismas Estos valores se denominan raiacuteces de la ecuacioacuten y

todos ellos constituyen el conjunto solucioacuten generalmente denotado con CS

Ejemplos

1 ( )22 10 25 5x x xminus + = minus esto se verifica forall119909 isin ℝ (identidad)

2 2 3xminus = esto se verifica si x=5 (ecuacioacuten)

Ten en cuenta

Los elementos de una ecuacioacuten son

1 Miembros son las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad

2 Teacuterminos son los monomios de cada miembro

3 Grado es el mayor exponente al que aparece elevada la variable una vez

realizadas todas las operaciones

2

Pr

7 4 5 3 1segundo teacuterminoprimer teacutermino segundoteacutermino tercer teacutermino primer teacutermino

imer miembro Segundo miembro

x x x+ minus = minus

Clasificacioacuten

Enteras Racionales

Algebraicas Fraccionarias

Irracionales Ecuaciones

Logariacutetmicas

Trascendentes Exponenciales

Trigonomeacutetricas

En este curso solo aprenderemos a resolver las ecuaciones algebraicas

Ejemplos

1 Ecuaciones algebraicas racionales enteras 2 3 1x+ = (ecuacioacuten de primer

grado) 2 2 1 0x xminus + = (ecuacioacuten de segundo grado)

En estas ecuaciones las variables pueden estar afectadas por las operaciones de

adicioacuten sustraccioacuten multiplicacioacuten y potenciacioacuten con exponentes enteros no

negativos y no tienen variables en el denominador

UTN-FRT 73

2 Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias 2

31

4

x

x

minus=

minus 1 2x xminus+ =

En estas ecuaciones algunas de las variables estaacuten elevadas a exponentes enteros

negativos o tienen variables en el denominador

3 Ecuaciones algebraicas irracionales 2 3xminus = 13 7 1x + = minus

En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un nuacutemero

racional no entero


Resolver una ecuacioacuten es determinar si existe su conjunto solucioacuten Para ello debemos

construir ecuaciones equivalentes (con la o las mismas soluciones) cada vez maacutes

sencillas hasta que la o las soluciones sean evidentes

Dos ecuaciones son equivalentes si

bull Si se suma en ambos miembros de una ecuacioacuten una expresioacuten se obtiene una

ecuacioacuten equivalente a la dada

bull Si se multiplica (o divide) ambos miembros de una ecuacioacuten por un mismo

nuacutemero distinto de cero se obtiene otra ecuacioacuten equivalente a la dada

bull Si se multiplican ambos miembros de una ecuacioacuten por una expresioacuten que

contiene variables es posible no obtener ecuaciones equivalentes ya que se

pueden introducir raiacuteces que verifican la ecuacioacuten trasformada y no la ecuacioacuten

de partida

Ten en cuenta

Si una ecuacioacuten no tiene solucioacuten decimos que el conjunto solucioacuten es el conjunto vaciacuteo

(CS= )


Dada la expresioacuten 0 0ax b a+ = se llama ecuacioacuten de primer grado con

una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten lineal con una incoacutegnita

Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 9 + 2119909 = 11

UTN-FRT 74

9 2 11

9 2 9 11 9

2 2

1 12 2

2 2

1

x

x

x

x

x

+ =

+ minus = minus

=

=

=

Por lo tanto CS= 1


Dada la expresioacuten 2 0 0ax bx c a+ + = se llama ecuacioacuten de segundo grado

con una incoacutegnita o tambieacuten conocida como ecuacioacuten cuadraacutetica

2 0 0teacutermino cuadraacutetico teacutermino lineal teacutermino independiente

ax bx c a+ + =

Para resolver esta ecuacioacuten debemos analizar

1 Ecuacioacuten completa 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b y 0c

Ejemplo resolver 22 5 3 0x x+ minus =

Para resolver esta ecuacioacuten utilizamos la foacutermula de Bhaskara

2 5 3a b c= = = minus

2

12

1

12

2

5 25 42( 3)4 5 49

2 22 4

5 7 2 1

5 7 2 4 2

5 7 1243

4 4

b b acx

a

x

x

x

minus minus minusminus minus minus = = =

minus += = =minus

= = minus minus minus = = = minus

Por lo tanto CS=1

2 -3

2 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino lineal 2 0 0ax bx c a+ + = donde 0b = y

0c

Ejemplo Resuelve 23 12 0x minus =

2

2

2

3 12 0

3 12

4

2

2 2

x

x

x

x

x x

minus =

=

=

=

= minus =

Por lo tanto CS= -2 2

UTN-FRT 75

3 Ecuacioacuten incompleta en el teacutermino independiente 2 0 0ax bx c a+ + = donde

0b y 0c =

Ejemplo Resuelve la ecuacioacuten 22 12 0x xminus =

( )

22 12 0

2 6 0 2 0 6 0

0 6

x x

x x x x

x x

minus =

minus = = minus =

= =

Por lo tanto CS= 0 6


En la Foacutermula de Bhaskara

2

12

4

2

b b acx

a

minus minus= se denomina discriminante a la

expresioacuten 2 4b ac = minus

Si 0 entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 ne 1199092 (raiacuteces reales y distintas)

Si 0 = entonces 1199091 isin ℝ 1199092 isin ℝ and 1199091 = 1199092 (raiacuteces reales e iguales)

Si 0 entonces 1199091 notin ℝ and 1199092 notin ℝ (raiacuteces no reales o complejas conjugadas)

Ejemplos Determina la naturaleza de las raiacuteces de la siguiente ecuacioacuten

1 2 5 6 0x xminus + =

Como 2 24 ( 5) 416 25 24 1 0b ac = minus = minus minus = minus = entonces las raiacuteces son

reales y distintas

2 2 9 0x x+ + =

Como 2 24 1 419 1 36 35 0b ac = minus = minus = minus = minus entonces las raiacuteces son

complejas conjugadas



negativos o tienen variables en el denominador es decir las variables se encuentran en

uno o maacutes denominadores Deberaacute tenerse en cuenta que las soluciones no anulen los

denominadores para que esteacuten definidas las ecuaciones dadas

Ejemplos Resuelve las siguientes ecuaciones

1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +

UTN-FRT 76

2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

3 2

1 1 2

1x x x x+ =

minus minus

Resolucioacuten

1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +

Para resolver esta ecuacioacuten debemos excluir los valores de x que anulen el

denominador

7 + 119909

119909 + 5=

119909 + 3

119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2

Por la propiedad fundamental de las proporciones (el producto de los medios es igual al

producto de los extremos)

7 + 119909

119909 + 5∙

119909 + 2

119909 + 2=

119909 + 3

119909 + 2 ∙

119909 + 5

119909 + 5

(7 + 119909) (119909 + 2)

(119909 + 5) (119909 + 2)=

(119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 2) (119909 + 5)

(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)

Aplicando propiedad distributiva obtenemos

7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15

9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15

9119909 + 14 + 1199092 minus 1199092 minus 8119909 minus 15 = 0

119909 minus 1 = 0

119909 = 1

Es muy importante realizar la verificacioacuten en este tipo de ecuaciones Verificamos en la

ecuacioacuten de partida 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +

Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3

1 5 6 3 1 2

+ += = =

+ +

Luego 119862119878 = 1

UTN-FRT 77

Otra forma de resolver la ecuacioacuten 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ + con 119909 ne minus5 y 119909 ne minus2

7 + 119909

119909 + 5minus

119909 + 3

119909 + 2= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 5) (119909 + 2)= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0

Aplicando propiedad distributiva

7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 minus 1199092 minus 5119909 minus 3119909 minus 15 = 0

119909 minus 1 = 0

119909 = 1

Luego verificamos y concluimos que 119862119878 = 1

2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

Para resolver esta ecuacioacuten factoreamos los denominadores para excluir los valores

que anulan los denominadores

3119909

2119909 + 1=

119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

21199092 + 3119909 + 1

3119909

2 (119909 +12)

=119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

2(119909 + 1) (119909 +12)

Excluimos los valores que anulan los denominadores o sea 119909 ne minus1 119910 119909 ne minus1

2

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)

Luego de simplificar los denominadores obtenemos

3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1

2) + (119909 minus 19)

UTN-FRT 78

Aplicando propiedad distributiva obtenemos una ecuacioacuten equivalente

31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19

31199092 + 3119909 minus 21199092 minus 11119909 minus 5 minus 119909 + 19 = 0

1199092 minus 9119909 + 14 = 0

Resolvemos la ecuacioacuten de segundo grado con la foacutermula de Bhaskara

1199091 = 2 y 1199091 = 7

Verificacioacuten reemplazamos las raiacuteces obtenidas la ecuacioacuten de partida

2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

Si 119909 = 2

32

22 + 1=

2 + 5

2 + 1+

2 minus 19

2 22 + 32 + 1

6

5=

7

3+

(minus17)

15

6

5=

18

15

6

5=

6

5

Si 119909 = 7

37

27 + 1=

7 + 5

7 + 1+

7 minus 19

2 72 + 37 + 1

21

15=

12

8+

(minus12)

120

7

5=

3

2+

(minus1)

10

7

5=

14

10

7

5=

7

5

Luego 119862119878 = 27

UTN-FRT 79

3 23 11 6

2 3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus

Excluimos los valores que anulan los denominadores

23 11 62 3

3 3

x xx con x

x x

minusminus = minus

minus minus

Operando obtenemos

2

2 2

2

2

3 11 2 ( 3) 6

3 3

3 11 2 6 6

3 3

5 6

3 3

5 6 0

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

minus minus minus= minus

minus minus

minus minus += minus

minus minus

minus= minus

minus minus

minus + =

Resolviendo la ecuacioacuten equivalente 2 5 6 0x xminus + = con la foacutermula de Bhaskara

1 22 3x y x= =

Para la ecuacioacuten 23 11 6

2 33 3

x xx con x

x x

minusminus = minus

minus minus la solucioacuten x=3 no tiene sentido

ya que este valor fue excluido para que la expresioacuten esteacute definida por lo tanto la uacutenica

solucioacuten es x=2

Verificamos en la ecuacioacuten de partida

23 11 62

3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus

Si x=2

232 112 12 22 622 4 10 4 6

2 3 1 2 3

minus minusminus = minus = minus = = minus

minus minus minus



racional no entero Es decir algunas de las variables aparecen bajo el signo radical

Ejemplos resuelve las siguientes ecuaciones

1 radic5119909 = 119909

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909

3 radic3119909 + 1 minus radic2119909 minus 1 = 1

Resolucioacuten

UTN-FRT 80

1 radic5119909 = 119909

Para despejar la variable o incoacutegnita del signo radical elevamos al cuadrado ambos

miembros

(radic5119909)2

= 1199092

5119909 = 1199092

1199092 minus 5119909 = 0

Resolvemos esta ecuacioacuten obtenemos 119909 (119909 minus 5) = 0 Por lo que 1199091 = 0 119910 1199092 = 5

Verificacioacuten

Si 119909 = 0 entonces radic50 = 0

Si 119909 = 5 entonces radic55 = radic25 = 5

Luego 119862119878 = 05

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909

Para resolver esta ecuacioacuten despejamos 2radic119909 minus 1 = 119909 minus 4

(2radic119909 minus 1)2

= (119909 minus 4)2

4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16

4119909 minus 4 minus 1199092 + 8119909 minus 16 = 0

minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0

Resolviendo esta ecuacioacuten cuadraacutetica obtenemos 1199091 = 2 y 1199092 = 10

Verificacioacuten

Si 119909 = 2

4 + 2radic2 minus 1 = 2

4 + 2 = 2

6 = 2

Si 119909 = 10


4 + 2 radic9 = 10

4 + 23 = 10

UTN-FRT 81

10 = 10

Luego 119862119878 = 10


Para resolver esta ecuacioacuten nos conviene pasar al segundo miembro una de las raiacuteces

radic3119909 + 1 = 1 minus radic2119909 minus 1

(radic3119909 + 1)2

= (1 minus radic2119909 minus 1)2

3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + (radic2119909 minus 1)2

3119909 + 1 = 1 minus 2 radic2119909 minus 1 + 2119909 minus 1

119909 + 1 = minus2 radic2119909 minus 1

(119909 + 1)2 = (minus2 radic2119909 minus 1)2

1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)

1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4

La ecuacioacuten equivalente que nos queda para resolver es 1199092 minus 6119909 + 5 = 0 donde 1199091 = 1

y 1199092 = 5

Verificacioacuten

Si 119909 = 1 radic31 + 1 minus radic21 minus 1 = radic4 minus radic1 = 2 minus 1 = 1


Luego 119862119878 = 15

Inecuaciones

Una desigualdad es toda expresioacuten en la que dos miembros relacionados mediante

cualquiera de estos signos gt lt ge o le Si esos miembros son expresiones algebraicas

estas desigualdades se denominan inecuaciones

Ejemplo Exprese en lenguaje simboacutelico las desigualdades correspondientes a este

aviso de buacutesqueda laboral Para ello indique antildeos de experiencia con la letra a y la edad

con la letra e

UTN-FRT 82

1

25 35

experiencia

edad

a a

e e

Resolver una inecuacioacuten significa hallar los valores que deben tomar sus incoacutegnitas para

que se cumpla la desigualdad Para ello hay que tener en cuenta tres propiedades

fundamentales

Propiedad 1 Si sumamos o restamos un mismo nuacutemero en ambos miembros de una

desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido

En siacutembolos forall119886 119887 isin ℝ 119886 gt 119887 rArr 119886 plusmn 119888 gt 119887 plusmn 119888

Propiedad 2 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero positivo en ambos miembros de

una desigualdad obtenemos otra desigualdad del mismo sentido

En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 gt 0 rArr 119886 119888 gt 119887 119888

Propiedad 3 Si multiplicamos por un mismo nuacutemero negativo en ambos miembros de

una desigualdad obtenemos otra desigualdad de sentido contrario

En siacutembolos forall119886 119887 119888 isin ℝ 119886 gt 119887119910119888 lt 0 rArr 119886 119888 lt 119887 119888

Inecuaciones lineales

Llamaremos inecuaciones lineales a las desigualdades del tipo 0ax b+ 0ax b+

0ax b+ 0ax b+ donde a y b son nuacutemeros reales Para resolverlas aplicaremos

las propiedades vistas anteriormente

Ejemplos Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solucioacuten en

la recta real

1 5 3 4x x+ minus

5 3 5 4 5

3 1

3 1

4 1

1

4

x x

x x

x x x x

x

x

+ minus minus minus

minus minus

+ minus minus +

minus

minus

CS=(-infin -14]

UTN-FRT 83

2 2 1 7xminus +

( )

2 1 1 7 1

2 6

1 1 2 6

2 2

3

x

x

x

x

minus + minus minus

minus

minus minus minus

minus

CS=(-3infin)

UTN-FRT 84


ldquoEcuacionesrdquo

1 Representa como expresioacuten algebraica cada una de las siguientes expresiones

a) El cubo de la suma de dos nuacutemeros

b) El producto de tres nuacutemeros pares consecutivos

c) La suma de tres nuacutemeros enteros consecutivos

d) Un quinto de un nuacutemero maacutes un medio

e) La diferencia entre el cuadrado de un nuacutemero y el cubo de otro

f) El triple del cuadrado de 15 menos el doble del cubo de 5

2 Despeja la variable que se indica en cada caso

a) El aacuterea de un cilindro circular estaacute dada por la expresioacuten

119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ

b) La velocidad de una partiacutecula estaacute dada por 119907 = 1199070 + 119886119905 Despeja 119886

c) La expresioacuten 119886119899 = 1198861 + (119899 minus 1) 119889 aparece en el estudio de las

progresiones aritmeacuteticas Despeja 119889

d) La relacioacuten entre la temperatura en degF y degC estaacute dada por 119865 =9

5 119862 + 32

Despeja 119862

e) La expresioacuten que describe la dilatacioacuten de una varilla de metal cuando se

calienta es 119871 = 1198710 (1 + 120572119905) Despeja

3 Resuelve las siguientes ecuaciones

a minus3(119909 + 5) minus 4119909 = 7119909 + 4 b minus3119909 + 9 minus 7119909 = 4(minus119909 + 8 minus 3119909)

c 4(119909 minus 2) +1

2= minus

1

3(119909 + 2) minus

14

3 d

119909minus2

119909+3minus

119909+1

119909minus3=

5

1199092minus9

e 119909+1

119909minus1minus

119909

119909+1=

119909+5

1199092minus1 f 3119909 + 2 + 8119909 = 119909 + 20 minus 2(7 minus 2) + 2

g 6 + 9119909 minus 15 + 21119909 = minus2119909 + 1 h 119909 minus 3 2119909+1

2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus

119909

2

4 Sin resolver la ecuacioacuten determine cuaacuteles de los nuacutemeros que se dan son

soluciones de la ecuacioacuten correspondiente

a) Los nuacutemeros 12

5

4

5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8

b) Los nuacutemeros 1

3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0

c) Los nuacutemeros 0 31

5 de minus5(119909 + 8) + 2 = minus38 minus 3119909 minus 2119909

d) Los nuacutemeros 0 minus1 3 de 13119909 minus 2(5119909 + 2) = 2(119909 + 2) + 119909

UTN-FRT 85

5 La suma de tres nuacutemeros naturales consecutivos es igual a 48 iquestCuaacuteles son los

nuacutemeros

6 La suma de tres nuacutemeros impares consecutivos es 81 iquestCuaacuteles son esos

nuacutemeros

7 Encuentre cuatro nuacutemeros consecutivos tales que el primero maacutes el cuaacutedruplo

del tercero menos el doble del cuarto sea igual a 95

8 Encuentre el nuacutemero por el cual se debe dividir 282 para que el cociente sea 13

y el resto 9

9 El periacutemetro de un triaacutengulo isoacutesceles es de 257 m los lados iguales superan a

la base en 28 cm Calcule la longitud de cada lado

10 Determine el valor de x

11 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las ecuaciones

a 131199092 + 8 = 60

b 31199092 minus 24119909 = 0

c 41199092 minus 20119909 = 75

d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6

e 31199092+6119909

3minus 120 = 0

f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)

g 24119909minus61199092

15= 0

h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909

i 16 minus 3119909(119909 minus 3) = 9119909 minus 176 j 30119909 + 251199092 minus 72 = 0

12 Resuelve las siguientes ecuaciones y expreacutesalas en forma factoreada

a 31199092 minus 119909 minus 10 = 0 b 21199092 + 5119909 minus 12 = 0

c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1

21199092 + 5119909 + 8

13 Escribe la ecuacioacuten de segundo grado que tiene por raiacuteces -1 y 7 y el

coeficiente 119886 = 8

14 Halle el valor (o los valores) que debe tomar 119896 en la ecuacioacuten 1199092 minus 6119909 + 119896 = 0

de modo que

a) Las raiacuteces sean reales e iguales

b) Las raiacuteces sean complejas

c) Las raiacuteces sean reales y distintas

UTN-FRT 86

15 La altura (119886) m alcanzada por un objeto lanzada en tiro vertical es 119886 = 20119905 minus 51199052

donde (119905) segundos es el tiempo Halle el tiempo (119905 ne 0) transcurrido desde que

es lanzado hasta alcanzar la altura

a) 119886 = 0 119898

b) 119886 =75

4 119898

c) 119886 = 15 119898

16 La suma de 119899 nuacutemeros enteros positivos a partir del nuacutemero 1 (uno) puede

encontrarse mediante la foacutermula 119878 =119899 (119899+1)

2 Encuentre cuaacutentos nuacutemeros enteros

positivos deben sumarse a partir de 1 para que la suma sea 6670

17 Determine tres nuacutemeros enteros positivos y consecutivos tales que la suma de

sus cuadrados sea 365

18 El producto de dos nuacutemeros pares consecutivos es 624 Encueacutentralos

19 Determine el nuacutemero que sumado a su inverso deacute por resultado 82

9

20 Encuentre si existe el nuacutemero tal que si se lo multiplica por 8 da el mismo

nuacutemero que se obtiene si a su cuadrado se le resta 65

21 La superficie de un triaacutengulo rectaacutengulo es de 170 1198881198982 y la suma de sus catetos

es de 37 119888119898 Halle las longitudes de los catetos

22 El largo de una piscina rectangular tiene 3 metros maacutes que el doble del ancho

Si la superficie de la piscina es de 152 1198982 determine sus dimensiones

23 Un ciacuterculo tiene 20 cm de radio iquestEn cuaacutento debe disminuirse el radio para que

el aacuterea disminuya en 76120587 1198881198982

24 La base mayor de un trapecio mide 50 cm La base menor es igual a la altura y

el aacuterea es de 1200 cm2 iquestCuaacutento mide la base menor

25 A un cuadro de oacuteleo de 15 m de largo por 90 cm de alto se le pone un marco

rectangular El aacuterea total del cuadro y el marco es de 16 m2 iquestCuaacutel es el ancho

del marco

26 La siguiente figura tiene una superficie de 111 1198881198982 Determine la longitud de 119909

UTN-FRT 87

27 Determine el conjunto solucioacuten de cada una de las siguientes ecuaciones

a 6minus119909

1199092+4119909+4minus

1

119909+2=

2

5minus119909 b (

119909+1

119909minus1)

2

+119909+1

119909minus1= 6

c 119909+4

3119909minus6minus

119909minus6

4119909minus8=

119909+1

119909minus2 d

3

119909minus2+

7

119909+2=

119909+1

119909minus2

e 1

119909minus2= 1 +

2

1199092minus2119909 f

2119909minus3

3119909minus2=

119909minus1

2119909

g 2+119909

2minus119909+

2minus119909

2+119909= 2 h

3

119909+5= 1 minus

4

119909minus5

i 119909+1

119909minus1minus

119909+5

1199092minus1=

119909

119909+1

28 Determine el conjunto solucioacuten de

a radic119909 minus 13

= minus2 b radic1199092 minus 119909 minus 2 = 5 minus 119909

c radic4119909 minus 3 minus 1 = radic2119909 minus 2 d radic3119909 minus 1 minus radic8 minus 119909 = radic9 minus 4119909

e radic2 + radic119909 + radic2 minus radic119909 = radic119909 f radic6119909 + 7 minus radic3119909 + 3 = 1

g radic119909 + radic1199092 + 9 = radic119909 + 5 h 2radic119909 + 6 = 119909 + 3

i radic3119909 + 3 = radic119909 + 2 + 1 j 3 + radic5 minus 119909 = 119909

k 119909 minus 1 = radic119909 minus 5 l radic4119909 minus 3 = 3radic4 minus 119909

m radic119909 + 3 minus radic119909 minus 2 = 1 n 119909 + 3 = radic3119909 + 7

o radic2119909 + radic3 minus 119909 = 3

29 Halle el conjunto solucioacuten de las siguientes inecuaciones

a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5

c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1

21199092 + 5119909 + 8 ge 0

e minus31199092 minus 11119909 minus 4 le 0 f (119909 minus 2)2 le 16

g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0

UTN-FRT 88

UNIDAD Ndeg5

Funciones

Dominio de una funcioacuten

Rango o Imagen de una funcioacuten

Graacutefica de una funcioacuten

Clasificacioacuten de las funciones

Funciones crecientes y decrecientes

Funcioacuten lineal

Dominio y rango

Graacutefica

Rectas paralelas y perpendiculares

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas

Funcioacuten cuadraacutetica

Domino y rango

Graacutefica

Funcioacuten racional

Funcioacuten irracional

UTN-FRT 89

Funciones

Una funcioacuten es una correspondencia o relacioacuten entre dos conjuntos que a cada elemento

del primer conjunto hace corresponder un uacutenico elemento del segundo conjunto

El primer conjunto es el dominio de la funcioacuten el segundo es el rango o imagen

Ejemplos

1 Supongamos que un automoacutevil se desplaza con una aceleracioacuten de 5 ms2 donde

el espacio recorrido estaacute dado por d que estaacute en funcioacuten del tiempo transcurrido

La funcioacuten matemaacutetica que describe el recorrido d del automoacutevil al tiempo t estaacute

dada por la expresioacuten d=5t2

Podemos crear una tabla anotando la distancia recorrida d en un cierto instante

de tiempo t para varios momentos distintos

t 1 2 3 4

d 5 20 45 80

Igualmente podemos representar graacuteficamente la posicioacuten del automoacutevil en

funcioacuten del tiempo de la siguiente manera

En este ejemplo el dominio es el tiempo t y el rango es recorrido realizado por el

automoacutevil

Dominio Rango

UTN-FRT 90

2 Temperaturas maacuteximas registradas en distintas ciudades el diacutea 28 de julio del

antildeo 2021 representan una funcioacuten dada por la siguiente tabla

Donde el dominio es el conjunto de las ciudades y el rango es el conjunto de las

temperaturas maacuteximas registradas en degC

3 Dados los conjuntos A = -2-1012 B = 01234

Definimos una funcioacuten de A en B que consiste en ldquoelevar al cuadradordquo cada

elemento de A El dominio y rango son conjuntos numeacutericos

Donde el dominio es el dominio es el conjunto A y el rango es 0 1 4

Notacioacuten

Para denotar las funciones utilizaremos letras como f (g hp) de modo que f(x) (se lee

f de x) indica el valor que la funcioacuten f le asigna a x

Podemos entonces definir la funcioacuten f de la siguiente manera

A B

UTN-FRT 91

( )

f A B

x y f x

rarr

rarr =

Donde x es la variable independiente

y es la variable dependiente

Dominio Es el conjunto de los valores x que toma la variable independiente para los

cuales estaacute definida la funcioacuten Lo denotaremos como Dom f

Rango Es el conjunto de las imaacutegenes f(x) de los elementos x pertenecientes al dominio

de la funcioacuten Lo denotaremos como Rgo f

Trabajaremos con funciones para las cuales A y B son conjuntos de nuacutemeros reales

Este tipo de funciones se llaman funciones reales (o sea con valores reales)

Ejemplo Dada la funcioacuten 3( ) 2 3f x x= minus determina el dominio y calcula f(0) y f(1)

Por ser una funcioacuten polinoacutemica el dom f=ℝ

4- 3(0) 20 3 0 3 3f = minus = minus = minus -3 es el valor que toma la funcioacuten cuando x=0


Por lo visto anteriormente las funciones pueden representarse mediante tablas

graacuteficos conjuntos y foacutermulas

Las foacutermulas pueden estar dada en forma expliacutecita (y=f(x)) o impliacutecita (F (x y) =0)

Ten en cuenta

Las funciones reales de variable real pueden representarse en un sistema de ejes

coordenados ortogonales que consisten en dos rectas perpendiculares que al cortarse

dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes el punto de interseccioacuten de los

ejes es el origen de coordenadas

El eje horizontal es tambieacuten llamado eje x o eje de las abscisas y el eje vertical es

conocido como eje y o eje de las ordenadas

Los puntos del plano que estaacuten en el eje x tienen ordenada y=0 Los puntos del plano

que estaacuten en el eje y tienen abscisa x=0

UTN-FRT 92

Criterio de la recta vertical

A partir de la representacioacuten la graacutefica de

una funcioacuten podemos observar que una

de las caracteriacutesticas de una funcioacuten es

que cualquier recta vertical trazada

imaginariamente corta en un solo punto a

la graacutefica

Ejemplo Determina cuales de las siguientes graacuteficas representan funciones

Intersecciones con los ejes coordenados

Para realizar el bosquejo de la graacutefica de una funcioacuten nos ayuda si conocemos los

puntos de interseccioacuten con los ejes coordenados

Interseccioacuten con el eje x

A las intersecciones con el eje de abscisas (eje x) los llamaremos ceros o raiacuteces de la

funcioacuten

Interseccioacuten con el eje y

La interseccioacuten con el eje de ordenadas (eje y) la obtenemos calculando y = f (0)

Si es funcioacuten No es funcioacuten

UTN-FRT 93

Ejemplos Determina la interseccioacuten con los ejes coordenados de las siguientes

funciones

1 ( ) 2 1f x x= minus

Interseccioacuten con eje x y=0

2 1 0

2 1

1

2

x

x

x

minus =

=

=

El punto de interseccioacuten con el eje x es P(1

2 0)

Interseccioacuten con el eje y x=0

(0) 20 1

(0) 1

f

f

= minus

= minus

El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 -1)

2 2( ) 5 6f x x x= minus +


2

2

12

1 2

5 6 0

5 5 416

21

3 2

x x

x

x y x

minus + =

minus=

= =

Los puntos de interseccioacuten con el eje x son P1(2 0) y P2(30)


2(0) 0 50 6

(0) 6

f

f

= minus +

=

El punto de interseccioacuten con el eje y es P (0 6)

Q (0 y)


f (0)

ceros


UTN-FRT 94


Funcioacuten creciente

Una funcioacuten f es creciente en un

intervalo (a b) cuando para todo x1 x2

isin (a b)

x1 lt x2 rArr f (x1) lt f (x2)

Funcioacuten decreciente

Una funcioacuten f es decreciente en un

intervalo (ab) cuando para todo x1 x2

isin (a b)

x1 lt x2 rArr f (x1) gt f (x2)


Enteras Racionales


Irracionales Funciones

Logariacutetmicas



Ejemplos

1 Funcioacuten algebraica racional entera ( ) 2 5f x x= minus 2( ) 3 2g x x x= minus +

2 Funcioacuten algebraica racional fraccionaria 3

6( )

3 6

xf x

x x

+=

minus

2( ) 2g x xminus= minus

UTN-FRT 95

3 Funcioacuten algebraica irracional 2( ) 4f x x= minus

13( )g x x=

4 Funciones trascendentes ( )( ) log 1f x x= minus ( ) 2 1xg x = + ℎ(119909) = 119888119900119904(2119909)

En este curso solo estudiaremos las funciones algebraicas

Funcioacuten Lineal

Una funcioacuten lineal estaacute definida por ( )f x mx b= + con 119898 119887 isin ℝ 119898 ne 0 y su

representacioacuten graacutefica es una recta Esta es la llamada forma expliacutecita de la ecuacioacuten

de la recta Tambieacuten puede expresarse como y mx b= + donde

m pendiente de la recta b ordenada al origen

bull Domf=ℝ Rgof=ℝ

bull Interseccioacuten con el eje x resolviendo

la ecuacioacuten 0mx b+ =

Obtenemos x=-bm cero de la

funcioacuten

bull Interseccioacuten con el eje y

Calculo (0)f

Obtenemos y=b

bull Como 0m entonces f es creciente

en ℝ


bull Interseccioacuten con el eje x

resolviendo la ecuacioacuten 0mx b+ =


funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b

bull Como 0m entonces f es

decreciente en ℝ

Ten en cuenta

bull La recta intersecta al eje de las abscisas (-bm0)

bull La recta intersecta al eje de las ordenadas (0 b)

UTN-FRT 96

Funcioacuten constante

Una funcioacuten constante estaacute definida por ( )f x b= con 119887 isin ℝ y su representacioacuten graacutefica

es una recta horizontal Tambieacuten puede expresarse como y b=

bull Domf=ℝ Rgof= b


Si b ne 0 la funcioacuten no presenta

ceros

Si b = 0 la recta coincide con el eje

de las abscisas y=0


y=b

bull Como 0m = entonces f no es

creciente ni decreciente en ℝ

Para graficar las rectas

Si partimos de una ecuacioacuten de la recta en la forma impliacutecita 0Ax By C+ + = podemos

obtener una ecuacioacuten equivalente a la dada y mx b= + que es la ecuacioacuten de la recta

en forma expliacutecita

Para graficar una recta es suficiente conocer dos puntos 1 1 1( )P x y 2 2 2( )P x y

La pendiente m de una recta que pasa por los puntos 1P y 2P es

2 1

2 1

( )

( )

y yy cambioen y cambioverticalm

x x x cambioen x cambiohorizontal

minus= = = minus

UTN-FRT 97

Ejemplos grafica las siguientes funciones

21

3y x= +

Donde 2

3m = y 1b =

Marcamos la ordenada al origen en el

eje y luego la pendiente

32

4y x= minus +

Donde 3

4m = minus y 2b =




Dadas dos rectas 1 1 1r y m x b= + y 2 2 2r y m x b= + entonces

Dos rectas no verticales son paralelas si y soacutelo si tienen la misma pendiente es decir

1 2m m=

Ejemplo Dadas las rectas 2 1y x= + y 2 3y x= minus

UTN-FRT 98

Las rectas son paralelas ya que las

pendientes son iguales

1 2 2m m= =

Dos rectas no paralelas a los ejes coordenados son perpendiculares si y soacutelo si la

pendiente de una es el opuesto del reciacuteproco de la pendiente de la otra es decir que si

la pendiente de una es 1m entonces 2

1

1m

m= minus

Ejemplo Dadas las rectas 3 2y x= + y 1

13

y x= minus minus

Las rectas son perpendiculares ya que

las pendientes son

1 3m = y 2

1

3m = minus

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede escribirse en forma

general como

donde 1 1 1 2 2 2 a b c a b y c son nuacutemeros reales y ldquoxrdquo e ldquoyrdquo son incoacutegnitas

1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =

+ =

UTN-FRT 99

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas puede resolverse en forma

analiacutetica o graacuteficamente un sistema puede o no tener solucioacuten

Si el sistema tiene solucioacuten se llama Sistema Compatible

Si el sistema no tiene solucioacuten se llama Sistema Incompatible

Clasificacioacuten

Sistema

compatible

determinado

(SCD)

Geomeacutetricamente

representa un par de

rectas que se intersecan

en un uacutenico punto (a b)

perteneciente al conjunto

solucioacuten del sistema

Sistema

compatible

indeterminado

(SCI)


representa

la misma recta (o un par

de rectas coincidentes)

UTN-FRT 100

Sistema

Incompatible

(SI)



rectas paralelas no

coincidentes Su conjunto

solucioacuten es vaciacuteo (S = empty)

Meacutetodos de resolucioacuten analiacutetica

Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incoacutegnitas se utilizan

distintos meacutetodos

1 Meacutetodo de igualacioacuten

2 Meacutetodo de sustitucioacuten

3 Meacutetodo de reduccioacuten por sumas o restas

Ejemplos

1 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus

Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de igualacioacuten el mismo consiste en

obtener la misma variable de ambas ecuaciones en este ejemplo y

De (1) 2 3y x= minus

De 1 1

(2)2 2

y x= minus minus

y luego las igualamos ambas ecuaciones y resolvemos

1 12 3

2 2

1 12 3

2 2

5 5

2 2

1

y y

x x

x x

x

x

=

minus = minus minus

+ = minus +

=

=

UTN-FRT 101

reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores y

encontramos el valor de la incoacutegnita restante

De (1) 1y = minus

Por lo tanto S= (1 -1)

2 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus

Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de sustitucioacuten el mismo consiste en

obtener una variable de cualquiera de las ecuaciones dadas y sustituir en la ecuacioacuten

no utilizada

De (2) 1 2x y= minus minus

Sustituimos x en (1) 2( 1 2 ) 3y yminus minus minus =

Resolvemos

2 4 3

5 5

1

y y

y

y

minus minus minus =

minus =

= minus



De (2) 1x =


3 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus

Resolveremos este ejemplo aplicando el meacutetodo de reduccioacuten por sumas y restas el

mismo consiste en eliminar una de las incoacutegnitas despueacutes de haber multiplicado

convenientemente por nuacutemeros a una o ambas ecuaciones de modo que los

coeficientes de la incoacutegnita a eliminar resulten de igual valor absoluto (si los nuacutemeros

coinciden las ecuaciones se restan y si son opuestos se suman) en este ejemplo

multiplicamos por 2 a la primera ecuacioacuten

2 3 2 3 4 2 6

2 1 2 1 2 1

x y x y x y

x y x y x y

minus = minus = minus =

+ = minus + = minus + = minus

Ahora sumamos miembro a miembro ambas igualdades y resulta la ecuacioacuten

5 5 1x x= =



De (1) 1y = minus

UTN-FRT 102



Una funcioacuten cuadraacutetica estaacute definida por 2( )f x ax bx c= + + con 119886 119887 119888 isin ℝ 119886 ne 0 y su

representacioacuten graacutefica es una paraacutebola cuyo eje de simetriacutea es paralelo al eje de

ordenadas Tambieacuten puede expresarse como 2y ax bx c= + + donde

a coeficiente del teacutermino cuadraacutetico

b coeficiente del teacutermino lineal

c teacutermino independiente

bull Domf=ℝ Rgof=[ )k


resolviendo la ecuacioacuten

2 0ax bx c+ + =

Obtenemos 2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus= y

2

2

4

2

b b acx

a

minus minus minus= ceros de la

funcioacuten


Calculo (0)f Obtenemos y=c

bull Como 0a entonces la graacutefica f

es coacutencava hacia arriba

bull Crece en ( )h y decrece en

( )hminus

UTN-FRT 103

bull Domf=ℝ Rgof= ( ]kminus



2 0ax bx c+ + =

Obtenemos

2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus=

y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten




es coacutencava hacia abajo

bull Crece en ( )hminus y decrece en

( )h

Ceros

Para determinar los ceros o raiacuteces de una funcioacuten cuadraacutetica 2y ax bx c= + +

consideramos y=0 para ello es conveniente analizar la naturaleza de las raiacuteces de

esta ecuacioacuten Dependiendo del signo del discriminante 2 4b ac = minus una ecuacioacuten

cuadraacutetica puede tener a lo sumo dos soluciones reales

2 4 0b ac = minus 2 4 0b ac = minus = 2 4 0b ac = minus

La ecuacioacuten tiene dos

raiacuteces reales

La ecuacioacuten tiene una

sola raiacutez real

1 22

bx x

a= = minus

La ecuacioacuten no tiene

raiacuteces reales

UTN-FRT 104

Determinacioacuten del veacutertice de la paraacutebola

Dada una funcioacuten cuadraacutetica en la forma expliacutecita 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 para graficarla es

conveniente escribirla en forma canoacutenica es decir 119910 = 119886(119909 minus ℎ)2 + 119896 donde ( )V h k

es el veacutertice de la paraacutebola Siendo la abscisa del veacutertice 2

bh

a= minus y la ordenada

2k ah bh c= + +

El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 2

bx

a= minus

Ten en cuenta Dada 119910 = 1198861199092 + 119887119909 + 119888 119886 ne 0

bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto miacutenimo de la graacutefica de la funcioacuten

bull Si 0a entonces ( )V h k es un punto maacuteximo de la graacutefica de la funcioacuten

Ejemplos

1 Dadas la siguiente funcioacuten 2( ) 6 5f x x x= + + determine

a El dominio

b Las intersecciones con los ejes coordenados

c Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo

d La ecuacioacuten del eje de simetriacutea

e La graacutefica y el rango

f Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten

Resolucioacuten

a La funcioacuten cuadraacutetica tiene Domf=ℝ

b Intersecciones con los ejes coordenados

Interseccioacuten con el eje x resolviendo la ecuacioacuten 2 6 5 0x x+ + =

Obtenemos 1 1x = minus y 2 5x = minus ceros de la funcioacuten

La graacutefica intersecta al eje x en los puntos de coordenadas (-1 0) y (-5 0)


Calculo (0)f Obtenemos y=5 La graacutefica intersecta al eje y en el punto de

coordenadas (0 5)

c Como 1 6 5a b c= = = entonces 6

321

h = minus = minus y

119896 = (minus3)2 + 6(minus3) + 5 = minus4

Por lo tanto las coordenadas del veacutertice son ( 3 4)V minus minus

UTN-FRT 105

Como 1 0a = entonces ( 3 4)V minus minus es un punto miacutenimo de la graacutefica de la

funcioacuten

d El eje de simetriacutea de la paraacutebola es la ecuacioacuten de la recta vertical 3x = minus

e Grafica

f La funcioacuten es creciente en ( 3 )minus y decreciente en ( 3)minus minus


Una funcioacuten racional estaacute definida como cociente de funciones polinoacutemicas

Para que estas funciones esteacuten definidas es necesario que el denominador no se anule

por lo tanto estaraacuten definidas sobre el conjunto de los nuacutemeros reales excluyendo las

raiacuteces o ceros del denominador

Ejemplos son funciones racionales

2( )

4 3

xf x

x

+=

minus

2

2( )

1

xg x

x

minus=

+ y

2

3

9( )

xh x

x x

+=

minus

iquestCuaacutel es dominio de estas funciones

119863119900119898119891 = ℝ minus 4

3

119863119900119898119892 = ℝ

Rgof=[ 4 )minus

UTN-FRT 106

119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101

De todas las funciones racionales vamos a analizar con mayor detalle la funcioacuten

homograacutefica que es de la forma ( )ax b

f xcx d

+=

+

En este caso la funcioacuten tiene como dominio 119863119900119898119891 = ℝ minus 119889

119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus

119886

119888

De esta graacutefica se observa la presencia de dos asiacutentotas una asiacutentota vertical y una

asiacutentota horizontal

Las ecuaciones de estas asiacutentotas corresponden a ecuaciones de rectas

La asiacutentota horizontal es a

yc

=

La asiacutentota vertical es d

xc

= minus

Ejemplo Dadas las siguientes funciones

1 2

2( )

4

xf x

x x

+=

minus determine el dominio

2 2 5

( )1

xf x

x

minus +=

minus + determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la

graacutefica

Resolucioacuten

UTN-FRT 107

1 Para determinar el dominio de 2

2( )

4

xf x

x x

+=

minus debemos excluir los valores que

anulan el denominador 2 4 ( 4) 0x x x xminus = minus = en este caso x=0 y x=4

Por lo tanto 119863119900119898119891 = ℝ minus 04

2 En este caso la funcioacuten es homograacutefica 2 5

( )1

xf x

x

minus +=

minus + donde a=-2 b=5 c=-1

y d=1 por lo que el dominio es 119863119900119898119891 = ℝ minus 1 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus 2

Para realizar el bosquejo de esta funcioacuten consideramos

Es asiacutentota vertical la recta de ecuacioacuten d

xc

= minus en nuestro ejemplo x = 1

Es asiacutentota horizontal la recta de ecuacioacuten a

yc

= en este caso y = 2


Ejemplos son funciones irracionales

( ) 5f x x= minus 2

( )1

g xx

=minus

y 3( ) 2 3h x x= minus

Para determinar el dominio de estas funciones debemos analizar para que valores de la

variable estaacute bien definida la funcioacuten


)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ

UTN-FRT 108


ldquoFuncionesrdquo

1 Clasifique las siguientes funciones

a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1

21199092 + 2119909 minus 5

c 119910 = radic119909 + 1

d 119892(119909) =119909+5

2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (

119909

3)

f 119892(119909) = minus7119909 + 3

g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2

119909+ 5

2 Marque con una x ( ) las funciones lineales y deacute la pendiente y la ordenada al

origen

a 119891(119909) = minus4119909 +1

2 ( )

b 119910 = 5119909 + 4 ( )

c 119910 =4

119909minus 6 ( )

d 119910 = minus1

2119909 +

4

7 ( )

e 119910 = minus21199092 + 5119909 minus 3 ( ) f 119910 = minus6 +8

5119909 ( )

3 Determine analiacuteticamente si el punto 1198750 pertenece a la recta 119877

a 1198750 (minus1

2 minus2) 119877 119910 = minus119909 minus

5

2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2

c 1198750(minus2 1) 119877 119910 = 3119909 + 7 d 1198750(minus1 2) 119877 119910 = minus119909 + 3

4 Encuentre la ecuacioacuten de la recta que pasa por los puntos 1198751 y 1198752

a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)

b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)

c 1198751(2 3) 1198752(1 2)

d 1198751(6 0) 1198752(0 2)

e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)

5 Halle los puntos interseccioacuten de cada una de las rectas con los ejes

coordenados

a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7

c 119910 = minus1

2119909 + 4 d 119910 = minus2119909

6 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es paralela a 119877

a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1

b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4

c 1198751(3 minus1) 119877 119910 = minus119909 + 3 d 1198751(0 minus3) 119877 119910 = 2119909 + 4119910 minus 2

7 Encuentre la ecuacioacuten de la recta a la cual pertenece 1198751 y es perpendicular a 119877

con los datos del ejercicio anterior

8 Determine la ecuacioacuten de la recta 119877 tal que

UTN-FRT 109

a Tiene pendiente -2 y pasa por el punto (-1 8)

b Tiene pendiente 4 y corta al eje x en el punto de abscisa 3

c Pasa por el punto (minus1

2

1

2) y es paralela a la recta determinada por los

puntos (-2 4) y (4 6)

d La ordenada al origen es -3 y es perpendicular a la recta que une los

puntos (-2 -1) y (2

3 0)

e Pasa por el punto (-2 5) y es paralela a la recta minus119909 + 4119910 minus 3 = 0

f Es perpendicular a la recta 4119909 minus 119910 = 0 y pasa por el punto (-2 5)

9 Resuelve los siguientes sistemas si es posible verifica con el meacutetodo graacutefico y

clasifiacutecalos

a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4

b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

c 2119909 minus 119910 = minus3

minus3119909 +9

4119910 =

15

2

d 5119909 minus 3119910 = minus210119909 minus 6119910 = 4

e minus

2

3119909 + 119910 = 1

minus5119909 + 8119910 = 7 f

minus119909 + 3119910 = minus1

4

2119909 minus 6119910 =1

2

g 1

2119909 minus 119910 = minus

1

2

minus5119909 + 8119910 = 8

h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1

10 Encuentre dos nuacutemeros tales que su suma sea 106 y su diferencia 56

11 Dos nuacutemeros son tales que su suma es 140 el cociente y el resto de la divisioacuten

entre los mismos son respectivamente 1 y 38 iquestCuaacuteles son esos nuacutemeros

12 En un teatro cobran $ 20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los nintildeos Un diacutea

abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $ 11256 iquestCuaacutentas

entradas vendieron para adultos y para nintildeos

13 En un corral hay un cierto nuacutemero de conejos y patos En total hay 194 patas y

61 animales iquestCuaacutentos conejos y patos hay

14 Un productor agropecuario vendioacute soja a 27 doacutelares el quintal y maiacutez a 13

doacutelares el quintal En total vendioacute 200 quintales y recibioacute 4196 doacutelares

iquestCuaacutentos quintales de soja y de maiacutez vendioacute

UTN-FRT 110

15 En el comedor de la Facultad hay 25 mesas y 120 sillas Hay mesas con 6

sillas y otras con 4 sillas iquestCuaacutentas mesas de cada tipo hay

16 En una playa de estacionamiento hay motos y autos Las motos con dos

ruedas y los autos con cuatro En total hay 80 vehiacuteculos y 274 ruedas

iquestCuaacutentas motos y autos hay en la playa de estacionamiento

17 Una placa radiograacutefica rectangular tiene un periacutemetro de 156 cm y su largo es

6 cm Mas que su ancho iquestCuaacuteles son las dimensiones de la placa

18 Dadas las siguientes funciones

a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5

b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15

c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3

d 119910 = 41199092 + 1

e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7

f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3

Para cada una de las funciones determine

g El dominio

h Las intersecciones con los ejes coordenados

i Las coordenadas del veacutertice iquesteste un valor maacuteximo o miacutenimo Exprese

en forma canoacutenica

j La ecuacioacuten del eje de simetriacutea

k La graacutefica y el rango

l Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioacuten

19 Dadas las siguientes funciones 119891(119909) = 1199092 minus 2119909 minus 3 119892(119909) = 21199092 minus 4119909 minus 6 y

ℎ(119909) = minus1199092 + 2119909 + 3 encuentre

a Las coordenadas del veacutertice de la curva

b Los ceros de las funciones

c Represente graacuteficamente en un mismo sistema de coordenadas las tres

funciones

d El rango

20 Halle la ecuacioacuten de la paraacutebola y represente la curva si

a) Los ceros son ndash 5 y 2 y pasa por el punto (1 6)

b) Los ceros son 0 y 3 y pasa por el punto (4 8)

c) Los ceros son 1 y 5 y pasa por el punto (2 minus9)

21 Determine el valor de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 41199092 minus 5119909 + 119896 de modo que la

graacutefica tenga su veacutertice en el eje de las abscisas

UTN-FRT 111

22 Determine el conjunto de los valores de 119896 en la ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 2119909 minus 5 + 119896

de modo que la graacutefica de la funcioacuten no corte al eje de las abscisas

23 Evaluacutee el valor del discriminante de la ecuacioacuten cuadraacutetica asociada a

2( )f x ax bx c= + + luego indica el tipo de raiacuteces y los puntos en los que la

paraacutebola intersecta al eje x

a b c Tipo de

raiacuteces Un punto

Dos

puntos

Ninguacuten

punto

1 minus7 6

minus1 3 minus4

minus2 2radic2 minus1

1 0 minus4

radic3 6 3radic3

24 A partir de la graacutefica determine la expresioacuten general de la paraacutebola

a b

25 Halle los puntos de interseccioacuten de la recta 119910 = 119909 minus 2 con la paraacutebola de

ecuacioacuten 119910 = 1199092 minus 4

26 Encuentre la interseccioacuten de la paraacutebola que tiene veacutertice 119881 (1

2 minus

9

2) y corta al

eje de las abscisas en (minus1 0) y (2 0 ) con la recta 119910 = minus2119909 minus 2

UTN-FRT 112

27 Una recta y una paraacutebola se cortan en los puntos 1198751(1 8) y 1198752(minus4 3 ) El

veacutertice de la paraacutebola es 119881(minus2 minus1)

a) Encuentre la ecuacioacuten de la recta

b) Encuentre la ecuacioacuten de la paraacutebola

c) Represente graacuteficamente

28 Una paraacutebola cuyo veacutertice estaacute en el origen de coordenadas corta en el punto

(1 4) a una recta que tiene ordenada al origen igual a 6 iquestCuaacutel es el otro punto

de interseccioacuten entre las graacuteficas

29 La altura ℎ de una pelota lanzada verticalmente desde el piso es una funcioacuten que

depende del tiempo 119905 en segundos dada por la ecuacioacuten ℎ(119905) = minus49 1199052 + 588 119905

donde ℎ estaacute en metros iquestDespueacutes de cuaacutentos segundos la pelota alcanza su

altura maacutexima y cuaacutel es dicha altura

30 El rendimiento de combustible de un automoacutevil se obtiene de acuerdo a la

velocidad con la que se desplaza si 119909 es la velocidad medida en kiloacutemetros por

hora (kmh) el rendimiento estaacute dado por la funcioacuten

119877(119909) = minus1

401199092 +

7

2119909 para 0 lt 119909 lt 120

a) Completa la siguiente tabla del rendimiento

Velocidad en kmh 20 40 60 70 80 100

Rendimiento 119877(119909)

b) iquestA queacute velocidad se obtiene el maacuteximo rendimiento

c) iquestCuaacutel es el maacuteximo rendimiento

31 La potencia de un circuito eleacutectrico estaacute dada por la ecuacioacuten 119882 = 119881 119868 minus 119877 1198682

donde 119881 es el voltaje en voltios 119877 es la resistencia en ohms e 119868 es la corriente

en amperes Determine la corriente que produce la maacutexima potencia para un

circuito de 120 voltios con una resistencia de 12 ohms

32 Determine el dominio de las siguientes funciones racionales

a 119891(119909) =119909+1

5minus4119909 b 119892(119909) =

3minus119909

1199092+4

c ℎ(119909) =1+1199092

1199093minus119909 d 119891(119909) =

7119909

1199092minus16

UTN-FRT 113

33 Determine dominio las asiacutentotas y realice un bosquejo de la graacutefica de las

siguientes funciones

a 119891(119909) =3+2119909

5119909minus1

b 119892(119909) =3

2119909minus4

c ℎ(119909) =3minus2119909

4119909

d 119891(119909) =2+3119909

5minus119909

34 Determine el dominio de las siguientes funciones

a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1

b 119892(119909) =3119909

radic119909+4

c ℎ(119909) = radic7119909 + 7 d 119891(119909) = 5radic2119909 minus 1 + 4

UTN-FRT 1

IacuteN D I C E

SIacuteMBOLOS helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Paacuteg 2

UNIDAD 1 CONJUNTOS NUMEacuteRICOS ndash NOCIONES BAacuteSICAS DE

GEOMETRIA

bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipPaacuteg 3

UNIDAD 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Paacuteg 27

UNIDAD 3 TRIGONOMETRIacuteA

bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipPaacuteg 47

UNIDAD 4 ECUACIONES

bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg4 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Paacuteg 71

UNIDAD 5 FUNCIONES

bull TRABAJO PRAacuteCTICO Ndeg5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip Paacuteg 88

UTN-FRT 2


Alfabeto Griego



pi sigma psi omega

= igual a and y




≮ no es menor que














UTN-FRT 3

UNIDAD Ndeg1




Nuacutemeros Reales




Intervalos

Valor Absoluto


UTN-FRT 4






Ejemplo A= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9







Unioacuten

Ejemplo



A B C etc



abc etc


llaves

Ejemplo



conjunto

119886 notin A



A sub B



A B

UTN-FRT 5



A U B = x x A x B

Interseccioacuten



A cap B = x x A x B





Entonces

ℕ =ℤ+ = 1 2 3 4 5


ℕ0 = 0 1 2 3 4 5

Propiedades









naturales es decir




UTN-FRT 6






ℤ = hellip -3 -2 -1 0 1 2 3 hellip




ℤ+= 1 2 3 4 5 hellip

Propiedades
















ℚ = 119886

119887119886 119887 isin 119885 119888119900119899 119887 ne 0

Propiedades








UTN-FRT 7






Ejemplos





ejemplos

Ejemplos


05 =5

10=

1

2

minus243

= minus243

100

14456

=14456

1000

=1807

125


0 4⏜ =4

9

8 13⏜

=813 minus 8

99

=805

99

UTN-FRT 8






119868 = 119886119886 notin ℚ

Ejemplos


120587 = 314159hellip

radic53

= 1709975hellip

e = 2718281828459045hellip

Nuacutemeros Reales






Naturales ℕ0



Irracionales 119868


01 8⏜

=18 minus 1

90

=17

90

73 16⏜

=7316 minus 73

990

=7243

990

UTN-FRT 9

Propiedades















Nombre de

la propiedad


Ley de

composicioacuten

interna




forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886


forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)

Elemento

neutro



Existencia

del


UTN-FRT 10

Ten en cuenta


119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939


120783120785 |120785

minus120783120784 120786

120783

por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783






real

POTENCIACIOacuteN


define como


Ademaacutes si ane0

a0=1 y a-n=1

119886119899

Ejemplos

elemento


1

119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1


forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886

ORIGEN


UTN-FRT 11

1 23=8 porque 23=222

2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)

3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)

4 -22=-4

5 (2

5)

2=

2

5

2

5=

4

25


Propiedad Ejemplos

119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78

119886119899

119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0

6minus3


(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310

(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093

(119886

119887)

119899

=119886119899

119887119899 (

119910

minus3)

2

=1199102

(minus3)2=

1199102

9

Ejemplos


1199092

2 (2

311990921199103)

4= (

2

3)

4(1199092)4(1199103)4 =

16

8111990924

11991034=

16

81119909811991012

Ten en cuenta


Ejemplos

1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22

2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12

RADICACIOacuteN



radic119886119899


Ejemplo radic273

= 3porque 33=27

UTN-FRT 12



radic119886119899




Ejemplos

1 radic81 = 9

2 radicminus83

= minus3


4 radic25

9=

5

3


Propiedad Ejemplos

radic119886 119887119899

= radic119886119899

radic119887119899


radic119886

119887

119899=

radic119886119899

119887 119887 ne 0 radic

8

343

3

=radic83

radic3433 =

2

7


119898

= radic119886119898119899

radicradic643

= radic646

= 2

119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899

119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899


3)

2= 4


= minus5


Ejemplos

1 2

radic7=

2

radic7

radic7

radic7=

2radic7

(radic7)2 =

2radic7

7

2 2

radic11990925 =2

radic11990925

radic11990935

radic11990935 =2 radic11990935

radic119909211990935 =2 radic11990935

radic11990955 =2 radic11990935

119909 119909 ne 0


3 3

radic119909+119910=

3

radic119909+119910




(radic119909)2

minus1199102=


119909minus1199102

UTN-FRT 13

Ten en cuenta


Ejemplo


radic100 ne 6 + 8

10 ne 14

INTERVALOS REALES


Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887




119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887

119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887


(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886

[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886




Ejemplos


UTN-FRT 14



VALOR ABSOLUTO


|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0



Ejemplos

a) |0| = 0 porque 0 ge 0

b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0

c) |7 | = 7 porque 7 ge 0

Algunas propiedades



3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|

4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|

5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|




|119909 + 1| = 7

119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7

119909 = 6oacute119909 = minus8

119862119878 = minus86


UTN-FRT 15

|2119909 minus 3| le 1


minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3

2 le 2119909 le 4

21

2le 2119909

1

2le 4

1

2

1 le 119909 le 2

119862119878 = [12]

Ten en cuenta



119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|

Ejemplo



pequentildeos

Ejemplos






Ejemplos








UTN-FRT 16

1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)

= 21404 x 104=21404 x 105

2 (216119909104)(125611990910minus12)

31711990910minus18 = 856119909109






e incoacutegnitas





UTN-FRT 17

Ten en cuenta




Donde a y b son

catetos y h es la

hipotenusa

UTN-FRT 18






es (2πR) 2




Ejecutamos el plan


UTN-FRT 19






Verificamos


un aacuterea


2 2 2

2 2 2

2 4

4 2

16 4

12 2 3

a

a

a

a

+ =

= minus

= minus

= =

UTN-FRT 20




4 120587

B = radicminus113

-3 -025 0 -2 120587 -radic3

3 C =

1

2 0 -2 radic9 120587 -

radic3

3







a 25

14 b

3

11 c

77

36 d

61

9






negativo



a (3 + 4)2 = 32 + 42

b (12 4)2 = 122 42

c 32 34 33 = 39

d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910

e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873

f radic36 + 64 = radic36 + 8

g (42)345 = 4



UTN-FRT 21

j (1198862)3 = 119886(23)



a (2 1199093 119910minus3

8 1199094 1199102 )minus1

b (7 1198864 119887minus4

2 1198862 1198872 )minus2

c (3 119909minus3 1199104

10 1199092 1199106)minus1

d (5 1198862 1198873


e (9 119909 119911minus2

27 119909minus4 119911)

minus3

f (3 1199092 1199105

1199093 119910)

3

7 Resuelve

a 427+2(minus6)


1

2)

2


075minus0625)

2

c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05


e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1

10119910+1102119910+1 f radicradic1633

+ radic33

radic323radic363

+ [2 (1

3+ 1)]

2

[(3

5minus 3)

5

3]

2



c radic3 radic3

radic34

5


f

119886minus2radic1

119886

radic119886minus53


a 3

radic2 b

2minus119909

radic119909 c

3 119886

radic9 119886 d

119909minus119910


e minus7

radic11988623 f 2

radic119911minus3 g

5

radic1199094 h

4minus1199092

2+radic119909


i 119909+119910


119909minus119910


119909+119910







UTN-FRT 22


9800 habitantes


con 119875 =221minus3119905








elaborado






que 5


o igual que 4


a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16



a 324517 x 104 b 716392 x 10-5

c 000000842 d 00025 x 107

UTN-FRT 23

e 542000000000 f 64317 x 10-6


a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)

317 10minus18

c 921 108

306 105 d (233 104)(411 103)












3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898


(1

3radic5 +

1

2) 119888119898


119888119898 y de base

3(radic3)minus1

119888119898




UTN-FRT 24


del cuadrado









05 m




UTN-FRT 25






a)

b)

c) d)

UTN-FRT 26

e) f)






UTN-FRT 27

UNIDAD Ndeg2


Polinomios



Regla de Ruffini




fraccionarias

UTN-FRT 28




Ejemplos

1 2120587radic119871

119892 2

7

119910minus 1199092 3 1199070119905 +

1

21198921199052

4 119909minus5

radic119909minus53


3-









cualquiera

(a+b)2






km en x horas

yx


119909+119910 119909 ne minus119910




Irracionales

UTN-FRT 29

Ejemplos







1199102 3

4+ 119909 +

1

119909




119905 11991123 + 119911minus12 119909 +

2

radic119909





Ejemplos

I)minus1

511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902





Ejemplos

I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1







UTN-FRT 30













3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909


119875(1) = minus2(1)3 +1


1

3minus 1 = minus

8

3



1

3minus 1 =

2

3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0

119875(minus1) + 119876(0) =2

3+ 0 =

2

3



Ejemplo P(x) = 1




opuestos


51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +

1





Grado P=4

UTN-FRT 31






41199092 minus 6

119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)

= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6

= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)

= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5





3119909 + 41199092 minus 6



= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)

= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7






119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)




Ten en cuenta


UTN-FRT 32






Ten en cuenta






31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2

+ minus 31199093 minus 6119909 + 2

minus31199095 + 61199093

61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1

+

minus61199093 + 12119909

minus21199092 + 12119909 + 1

+

21199092 minus 4

12119909 minus 3


Ten en cuenta


(PQ)= m-n


exacto es decir

i) P(x)=C(x) Q(x)



UTN-FRT 33

Regla de Ruffini




119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3

minus3|


15 minus45 39


09

9





119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0

Teorema del resto




i) P(x)=C(x) (x-a)






Ten en cuenta


complejas


Coeficientes del

dividendo

Coeficientes del

cociente

resto

Coefic

ientes

del

divide

ndo

UTN-FRT 34



un cero real


Factor comuacuten




1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)








= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)

= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)

= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)




cuadrados




41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2

UTN-FRT 35







31198861198872 + 1198873


31198861198872 minus 1198873








41199102

251199092 minus1

41199102 = (5119909)2 minus (

1

2119910)

2

= (5119909 +1

2119910) (5119909 minus

1

2119910)


Si n es par









suma por la segunda


UTN-FRT 36


Ten en cuenta








simples



Ejemplos



2 Si 119876(119909) =1








1199093 = 0

1199094 = minus5






UTN-FRT 37


119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6











119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1

minus1 |


1 minus5 6 0


2 |

1 minus5 62 minus6

1 minus3 0





Divisores -1 1


Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6

El cociente es

( ) 2 5 6C x xx = minus +

El cociente es

( ) 3C x x= minus

UTN-FRT 38






2119886 donde 1199091 =


2119886 y 1199092 =


2119886


119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)



119876(119909) se


Ejemplos

1 119909minus5

2119909minus1 119909 ne

1

2

2 1199092minus36

31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6




Simplificacioacuten

Sea 119875(119909)



ambos


31199092minus12119909

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4)=

(119909+4)

3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4

UTN-FRT 39

Multiplicacioacuten





1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1

1199094 minus 1

1199092 + 6119909 + 9sdot

1199092 + 3119909

1199092 minus 1sdot

7

1199092 + 1=

(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)

(119909 + 3)2sdot

119909(119909 + 3)

(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot

7

1199092 + 1 119909

ne minus3 minus11

1199094minus1

1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1=

(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)

(119909+3)2 sdot119909(119909+3)

(119909minus1)(119909+1)sdot

7

1199092+1=

7119909

119909+3 119909 ne minus3 minus11

Divisioacuten



la segunda


119909+5

1199092minus119909

1199092minus25

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5)=

119909 minus 1

119909 + 5sdot

(119909 minus 5)(119909 + 5)

119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015

119909minus1

119909+5

1199092minus119909

1199092minus25=

119909minus1

119909+5sdot

(119909minus5)(119909+5)

119909(119909minus1)=

119909minus5

119909 119909 ne minus5015


119875(119909)

119876(119909)119877(119909)

119878(119909)=

119875(119909)

119876(119909)sdot

119878(119909)

119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0





exponente

UTN-FRT 40



1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)

1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2

1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)




denominadores




119909minus1minus

119909+1

1199092minus1

119909+4

119909minus1minus

119909+1

1199092minus1=

119909+4

119909minus1minus

119909+1

(119909minus1)(119909+1)=

119909+4

119909minus1minus

1



119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

1199092 minus 1=

119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

(119909 minus 1)(119909 + 1)=

119909 + 4

119909 minus 1minus

1

119909 minus 1=

119909 + 4 minus 1

119909 minus 1=

119909 + 3

119909 minus 1 119909 ne minus11





1199092+3119909minus10minus

2119909+4

1199092minus4

119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2(119909 + 2)

(119909 minus 2)(119909 + 2)=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909

ne minus5 minus22


119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909 ne minus52

=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)

(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52

UTN-FRT 41




Expresioacuten

algebraica

Racional

entera

Racional no

entera

irracional

2 31 1

1

xx

x

minus+

minus

2 314

2x xy xminus minus


2 135x y x+



a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2

31199095 minus 119909 minus 2



x=0 x=1 x=-1 x=2

a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17

b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909

c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13



b) El aacuterea


los 6 cuadrados




UTN-FRT 42


a b

c d











b)(51199093 +1

21199092 minus 3119909 +

3

4) + (

4

51199093 + 31199092 +

1

5119909 minus

1

2)

UTN-FRT 43

c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)



f) (31199093 minus1

21199092 + 2119909 minus 2) (

2

31199092 minus 1)

g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)

h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)

i) (1

21199094 +

8

31199093 +

1

21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (

1

2119909 + 3)


119909 minus 2


a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)

b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)

c) (1199094 minus1

21199093 +

1

31199092 minus

1

4119909 +

1

5) ∶ (119909 minus 1)

d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)

e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)

f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)

g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)


a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3

b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5

c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1




UTN-FRT 44


(119909 minus 5)






dos









a) 1611988621199092 minus 411990931198863

b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092

c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14

d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909

e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1

f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910

g) 4

251198864 minus

1

91199092

h) 25

1198982 minus 36

i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887

j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901

k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096

l) 1199103 +3

41199102 +

3

16119910 +

1

64

m) 1199092 + 36 minus 12119909

n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103

UTN-FRT 45

o) 1199093

27minus

1198861199092

3+ 1198862119909 minus 1198863



a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6


e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6














a) 1199094minus31199092+5119909minus3

119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1

b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15

119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3

c) 1199093+1

119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1


a 2

2 2 8

2 2 4

x a x a ax

x a a x x a

minus +minus +

+ minus minus b

21 1

1 1

xx

x x

+minus +

+ minus

c 3 1 1

4 4 1 1

x x xx

x x x


minus + d

2

1 1 21

1 1

x

x x x

minus minus

+ minus

e 1 1

x xx x

x x

+ minus

minus minus f

2

3 2

1 1

x

x a x a x a x

+

+ minus minus

UTN-FRT 46

g 1

8minus8119909minus

1

8+8119909+

119909

4+41199092 h

4119909minus3119887

2119909minus 2 +

2119909+119887

3119909

i (1

119909+

2

119886) (

1

119909minus

2

119886) (

119886119909

119886+2119909) j (

1199092

1198862 minus1198862

1199092) ∶ (119909

119886+

119886

119909)

k (1199094 minus1

1199092) ∶ (1199092 +

1

119909) l (

2119909

119909+3minus

119909+1

119909) ∶ (

1199093minus41199092minus3119909

1199092 )


a ( )

( )( )

22 a b aa b a

b a b b a b a b

minus+minus +


a b+ b

a bminus

+

b

a b+

a b

b

+ Otro

b 2 3 4 4 1

2 2 3 3 6 6

a a a

a a a


+ + + es igual a

a 1

6

b

a b Otro

c

2

2

2 4 4

1 1 1

x x x

x x x

minus + minus


2

1

2x xminus

minus minus

2

1

2x xminus minus

2

1



2119886+2minus

3119886minus4

3119886+3+

4119886minus1

6119886+6=

1

6

UTN-FRT 47

UNIDAD Ndeg3

Aacutengulo


Longitud de arco

Triaacutengulos







Teorema del seno

Teorema del coseno

UTN-FRT 48

Nociones previas


dos aacutengulos





bull




Sistema sexagesimal




sexagesimal





1 =

UTN-FRT 49

Longitud de arco









Ejemplos



ii) 4


180deg-----------------

3043deg--------------x


180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889

ii) ---------------------180deg

4

----------------------x

Entonces x=

1801804 45

4

= =



UTN-FRT 50

Elementos


Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860


180deg--------

50deg--------x

Entonces x=50 5

180 18

=


18

=5 metros


Elementos

Propiedades




diferencia






180deg

+ + = 180deg

UTN-FRT 51



360deg

+ + 120574 = 360deg







equilaacutetero


Como + + = 180deg

Entonces



= 96deg

UTN-FRT 52


Triaacutengulos

acutaacutengulos

Triaacutengulos

rectaacutengulos

Triaacutengulos

obtusaacutengulos


agudos






hipotenusa c= =

oshipotenusa c


= =

oscatetoadyacente b

c Ahipotenusa c

= =

echipotenusa c


= =

catetoopuesto atg A



catetoopuesto a= =


bsen B

c= cos

aB

c= t

bg B

a=


UTN-FRT 53



Ten en cuenta




1 Datos b=280 m y c= 415 m

28006747

415

(06747)

4243

bsen B

c

B arcsen

B

= = =

=

=





30631119898119890119905119903119900119904


119888119900119904 3 7deg =52

119888

119888 =52

119888119900119904 3 7deg

119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904


119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904


UTN-FRT 54







Ten en cuenta








normal

UTN-FRT 55











1



os1



catetoopuesto ytg


1os

hipotenusac ec

catetoopuesto y = =

UTN-FRT 56

1ec

hipotenusas


otcatetoadyacente x


= =







4 Como

1 1 1 1

1 1 1 cos 1

y sen

x

minus minus

minus minus



2 2cos 1sen + =

UTN-FRT 57

cos 0cos

sentg

=

1sec cos 0

cos

=

1sec s 0co en

sen

=






Entonces

130

2 2




sen tg

= =

UTN-FRT 58

1 330

33 3

catetoopuesto y ytg



1cos60 30

2sen = =

60 cot 30 3tg g = =





Entonces

3 3cos30

2 2 2



360 cos30

2sen = =

UTN-FRT 59

1 245

22 2



1 2cos45

22 2

catetoadyacente x x




= = = =




Primer

paso


4

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

00

2=

1

2 2

2

3

2

21

2=

Divido en 2

sen α 0 1

2 2

2

3

2

1




Primer

paso


0

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

21

2= 3

2

2

2

1

2

00

2=

Divido en 2

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0

UTN-FRT 60

En resumen


sen α 0 1

2 2

2

3

2

1

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0












7 10 7 12186910


h altura

UTN-FRT 61


121869 121869km a m m=









dos islas


1200 1200

10 10 1200 68055310

tg d tg d d md tg

= = = =


d distancia

UTN-FRT 62


Teorema del seno




opuestos

a b c

sen A sen B senC= =

sen A sen B senC

a b c= =







3

30 45

3 45

30

3 2

a b b

sen A sen B sen sen

senb

sen

b

= =

=

=

UTN-FRT 63


3

30 105

3 105

30

3 6 3 2

2

a c c

sen A senC sen sen

senc

sen

c

= =

=

+ =


2b m

+=

Teorema del coseno







2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + minus

= + minus

= + minus

Ten en cuenta







UTN-FRT 64




2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos32

1858

431

BD AB AD AB AD A

BD

BD

BD

= + minus

= + minus

=

=



Por propiedad

+ + + = 360deg = =



2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos148

18141

1347

AC AB BC AB BC B

AC

AC

AC

= + minus

= + minus

=

=

UTN-FRT 65

Unidad Ndeg3



sexagesimal

a 120587

6

a 5120587

4 b 26 rad

c 2120587

3 d 35 rad e

3120587

2


b 60deg




que

25

20

35

=

=

=


y C


120572 = 60deg


120572 = 18deg


120572 = 20deg



la figura dada




agudo

a) 119904119890119899119860 =3

7

b) 119905119892119860 = 15

UTN-FRT 66

c) 119888119900119904119860 = 03



b A = 38deg b = 15

c b = 12 c = 5

d a = 18 b = 32

e c = 12 a = 14












altura 8 cm




120572 = 60deg 120579 = 60deg

119860119863 = 18 119898

A

B

D

C

UTN-FRT 67









altura de la torre






Complete la tabla

a

c

b

UTN-FRT 68

a

b

c

120572 120573 120574 Aacuterea

30 cm 45 cm 40deg

120 cm 84 cm 60deg

60 m 70 m 5120587

6

25 cm 35deg 68deg

252 m 378 m 434 m


475 cm 70deg 45deg





la figura








UTN-FRT 69









UTN-FRT 70









UTN-FRT 71

UNIDAD Ndeg4










UTN-FRT 72





Ejemplos



Ten en cuenta






2

Pr




Clasificacioacuten

Enteras Racionales



Logariacutetmicas




Ejemplos






UTN-FRT 73


31

4

x

x

minus=






racional no entero













de partida

Ten en cuenta


(CS= )





UTN-FRT 74

9 2 11

9 2 9 11 9

2 2

1 12 2

2 2

1

x

x

x

x

x

+ =

+ minus = minus

=

=

=

Por lo tanto CS= 1





ax bx c a+ + =





2 5 3a b c= = = minus

2

12

1

12

2

5 25 42( 3)4 5 49

2 22 4

5 7 2 1

5 7 2 4 2

5 7 1243

4 4

b b acx

a

x

x

x


minus += = =minus


Por lo tanto CS=1

2 -3


0c


2

2

2

3 12 0

3 12

4

2

2 2

x

x

x

x

x x

minus =

=

=

=

= minus =


UTN-FRT 75


0b y 0c =


( )

22 12 0

2 6 0 2 0 6 0

0 6

x x

x x x x

x x

minus =

minus = = minus =

= =




2

12

4

2

b b acx

a







1 2 5 6 0x xminus + =


reales y distintas

2 2 9 0x x+ + =









1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +

UTN-FRT 76

2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

3 2

1 1 2

1x x x x+ =

minus minus

Resolucioacuten

1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +


denominador

7 + 119909

119909 + 5=

119909 + 3

119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2



7 + 119909

119909 + 5∙

119909 + 2

119909 + 2=

119909 + 3

119909 + 2 ∙

119909 + 5

119909 + 5

(7 + 119909) (119909 + 2)

(119909 + 5) (119909 + 2)=

(119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 2) (119909 + 5)

(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)


7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15

9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15


119909 minus 1 = 0

119909 = 1



5 2

x x

x x

+ +=

+ +

Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3

1 5 6 3 1 2

+ += = =

+ +

Luego 119862119878 = 1

UTN-FRT 77


5 2

x x

x x

+ +=


7 + 119909

119909 + 5minus

119909 + 3

119909 + 2= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 5) (119909 + 2)= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0



119909 minus 1 = 0

119909 = 1


2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +



3119909

2119909 + 1=

119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

21199092 + 3119909 + 1

3119909

2 (119909 +12)

=119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

2(119909 + 1) (119909 +12)


2

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)


3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1

2) + (119909 minus 19)

UTN-FRT 78


31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19


1199092 minus 9119909 + 14 = 0


1199091 = 2 y 1199091 = 7


2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

Si 119909 = 2

32

22 + 1=

2 + 5

2 + 1+

2 minus 19

2 22 + 32 + 1

6

5=

7

3+

(minus17)

15

6

5=

18

15

6

5=

6

5

Si 119909 = 7

37

27 + 1=

7 + 5

7 + 1+

7 minus 19

2 72 + 37 + 1

21

15=

12

8+

(minus12)

120

7

5=

3

2+

(minus1)

10

7

5=

14

10

7

5=

7

5

Luego 119862119878 = 27

UTN-FRT 79

3 23 11 6

2 3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus


23 11 62 3

3 3

x xx con x

x x

minusminus = minus

minus minus

Operando obtenemos

2

2 2

2

2

3 11 2 ( 3) 6

3 3

3 11 2 6 6

3 3

5 6

3 3

5 6 0

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x


minus minus


minus minus

minus= minus

minus minus

minus + =


1 22 3x y x= =


2 33 3

x xx con x

x x

minusminus = minus





23 11 62

3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus

Si x=2

232 112 12 22 622 4 10 4 6

2 3 1 2 3


minus minus minus





1 radic5119909 = 119909

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909


Resolucioacuten

UTN-FRT 80

1 radic5119909 = 119909


miembros

(radic5119909)2

= 1199092

5119909 = 1199092

1199092 minus 5119909 = 0


Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 05

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909



= (119909 minus 4)2

4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16


minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0


Verificacioacuten

Si 119909 = 2


4 + 2 = 2

6 = 2

Si 119909 = 10


4 + 2 radic9 = 10

4 + 23 = 10

UTN-FRT 81

10 = 10

Luego 119862119878 = 10




(radic3119909 + 1)2






1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)

1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4


y 1199092 = 5

Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 15

Inecuaciones






con la letra e

UTN-FRT 82

1

25 35

experiencia

edad

a a

e e



fundamentales















la recta real

1 5 3 4x x+ minus

5 3 5 4 5

3 1

3 1

4 1

1

4

x x

x x

x x x x

x

x

+ minus minus minus

minus minus

+ minus minus +

minus

minus

CS=(-infin -14]

UTN-FRT 83

2 2 1 7xminus +

( )

2 1 1 7 1

2 6

1 1 2 6

2 2

3

x

x

x

x

minus + minus minus

minus

minus minus minus

minus

CS=(-3infin)

UTN-FRT 84












119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ





5 119862 + 32

Despeja 119862





c 4(119909 minus 2) +1

2= minus

1

3(119909 + 2) minus

14

3 d

119909minus2

119909+3minus

119909+1

119909minus3=

5

1199092minus9

e 119909+1

119909minus1minus

119909

119909+1=

119909+5



2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus

119909

2




5

4

5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8


3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0




UTN-FRT 85


nuacutemeros


nuacutemeros




y el resto 9





a 131199092 + 8 = 60

b 31199092 minus 24119909 = 0

c 41199092 minus 20119909 = 75

d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6

e 31199092+6119909

3minus 120 = 0

f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)

g 24119909minus61199092

15= 0

h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909




c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1

21199092 + 5119909 + 8




de modo que




UTN-FRT 86




a) 119886 = 0 119898

b) 119886 =75

4 119898

c) 119886 = 15 119898









9













del marco


UTN-FRT 87


a 6minus119909

1199092+4119909+4minus

1

119909+2=

2

5minus119909 b (

119909+1

119909minus1)

2

+119909+1

119909minus1= 6

c 119909+4

3119909minus6minus

119909minus6

4119909minus8=

119909+1

119909minus2 d

3

119909minus2+

7

119909+2=

119909+1

119909minus2

e 1

119909minus2= 1 +

2

1199092minus2119909 f

2119909minus3

3119909minus2=

119909minus1

2119909

g 2+119909

2minus119909+

2minus119909

2+119909= 2 h

3

119909+5= 1 minus

4

119909minus5

i 119909+1

119909minus1minus

119909+5

1199092minus1=

119909

119909+1












a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5

c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1

21199092 + 5119909 + 8 ge 0


g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0

UTN-FRT 88

UNIDAD Ndeg5

Funciones






Funcioacuten lineal

Dominio y rango

Graacutefica




Domino y rango

Graacutefica



UTN-FRT 89

Funciones




Ejemplos







t 1 2 3 4

d 5 20 45 80




automoacutevil

Dominio Rango

UTN-FRT 90









Notacioacuten




A B

UTN-FRT 91

( )

f A B

x y f x

rarr

rarr =
















Ten en cuenta









UTN-FRT 92







la graacutefica







funcioacuten




UTN-FRT 93


funciones

1 ( ) 2 1f x x= minus


2 1 0

2 1

1

2

x

x

x

minus =

=

=


2 0)


(0) 20 1

(0) 1

f

f

= minus

= minus


2 2( ) 5 6f x x x= minus +


2

2

12

1 2

5 6 0

5 5 416

21

3 2

x x

x

x y x

minus + =

minus=

= =



2(0) 0 50 6

(0) 6

f

f

= minus +

=


Q (0 y)


f (0)

ceros


UTN-FRT 94





isin (a b)





isin (a b)



Enteras Racionales



Logariacutetmicas



Ejemplos



6( )

3 6

xf x

x x

+=

minus


UTN-FRT 95


13( )g x x=



Funcioacuten Lineal









funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


en ℝ





funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


decreciente en ℝ

Ten en cuenta



UTN-FRT 96







ceros


de las abscisas y=0


y=b









2 1

2 1

( )

( )



minus= = = minus

UTN-FRT 97


21

3y x= +

Donde 2

3m = y 1b =



32

4y x= minus +

Donde 3

4m = minus y 2b =






1 2m m=


UTN-FRT 98



1 2 2m m= =




1

1m

m= minus


13

y x= minus minus


las pendientes son

1 3m = y 2

1

3m = minus



general como


1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =

+ =

UTN-FRT 99





Clasificacioacuten

Sistema

compatible

determinado

(SCD)







Sistema

compatible

indeterminado

(SCI)


representa



UTN-FRT 100

Sistema

Incompatible

(SI)



rectas paralelas no









Ejemplos

1 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus




De 1 1

(2)2 2

y x= minus minus


1 12 3

2 2

1 12 3

2 2

5 5

2 2

1

y y

x x

x x

x

x

=

minus = minus minus

+ = minus +

=

=

UTN-FRT 101



De (1) 1y = minus


2 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus



no utilizada



Resolvemos

2 4 3

5 5

1

y y

y

y

minus minus minus =

minus =

= minus



De (2) 1x =


3 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus







2 3 2 3 4 2 6

2 1 2 1 2 1

x y x y x y

x y x y x y




5 5 1x x= =



De (1) 1y = minus

UTN-FRT 102












2 0ax bx c+ + =

Obtenemos 2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus= y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )hminus

UTN-FRT 103




2 0ax bx c+ + =

Obtenemos

2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus=

y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )h

Ceros







raiacuteces reales


sola raiacutez real

1 22

bx x

a= = minus


raiacuteces reales

UTN-FRT 104





bh


2k ah bh c= + +


bx

a= minus




Ejemplos


a El dominio






Resolucioacuten








coordenadas (0 5)


321

h = minus = minus y



UTN-FRT 105


funcioacuten


e Grafica








2( )

4 3

xf x

x

+=

minus

2

2( )

1

xg x

x

minus=

+ y

2

3

9( )

xh x

x x

+=

minus


119863119900119898119891 = ℝ minus 4

3

119863119900119898119892 = ℝ

Rgof=[ 4 )minus

UTN-FRT 106

119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101



f xcx d

+=

+


119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus

119886

119888





yc

=


xc

= minus


1 2

2( )

4

xf x

x x

+=


2 2 5

( )1

xf x

x

minus +=


graacutefica

Resolucioacuten

UTN-FRT 107


2( )

4

xf x

x x

+=





( )1

xf x

x

minus +=





xc



yc




( ) 5f x x= minus 2

( )1

g xx

=minus





)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ

UTN-FRT 108


ldquoFuncionesrdquo


a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1

21199092 + 2119909 minus 5

c 119910 = radic119909 + 1

d 119892(119909) =119909+5

2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (

119909

3)

f 119892(119909) = minus7119909 + 3

g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2

119909+ 5


origen

a 119891(119909) = minus4119909 +1

2 ( )

b 119910 = 5119909 + 4 ( )

c 119910 =4

119909minus 6 ( )

d 119910 = minus1

2119909 +

4

7 ( )


5119909 ( )


a 1198750 (minus1


5

2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2



a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)

b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)

c 1198751(2 3) 1198752(1 2)

d 1198751(6 0) 1198752(0 2)

e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)


coordenados

a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7

c 119910 = minus1

2119909 + 4 d 119910 = minus2119909


a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1

b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4





UTN-FRT 109




2

1


puntos (-2 4) y (4 6)


puntos (-2 -1) y (2

3 0)




clasifiacutecalos

a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4

b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

c 2119909 minus 119910 = minus3

minus3119909 +9

4119910 =

15

2


e minus

2

3119909 + 119910 = 1

minus5119909 + 8119910 = 7 f

minus119909 + 3119910 = minus1

4

2119909 minus 6119910 =1

2

g 1

2119909 minus 119910 = minus

1

2

minus5119909 + 8119910 = 8

h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1












UTN-FRT 110









a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5

b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15

c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3

d 119910 = 41199092 + 1

e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7

f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3


g El dominio












funciones

d El rango







UTN-FRT 111






a b c Tipo de


Dos

puntos

Ninguacuten

punto

1 minus7 6

minus1 3 minus4


1 0 minus4

radic3 6 3radic3


a b




2 minus

9

2) y corta al


UTN-FRT 112
















119877(119909) = minus1

401199092 +

7

2119909 para 0 lt 119909 lt 120











a 119891(119909) =119909+1

5minus4119909 b 119892(119909) =

3minus119909

1199092+4

c ℎ(119909) =1+1199092

1199093minus119909 d 119891(119909) =

7119909

1199092minus16

UTN-FRT 113



a 119891(119909) =3+2119909

5119909minus1

b 119892(119909) =3

2119909minus4

c ℎ(119909) =3minus2119909

4119909

d 119891(119909) =2+3119909

5minus119909


a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1

b 119892(119909) =3119909

radic119909+4


UTN-FRT 2


Alfabeto Griego



pi sigma psi omega

= igual a and y




≮ no es menor que














UTN-FRT 3

UNIDAD Ndeg1




Nuacutemeros Reales




Intervalos

Valor Absoluto


UTN-FRT 4






Ejemplo A= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9







Unioacuten

Ejemplo



A B C etc



abc etc


llaves

Ejemplo



conjunto

119886 notin A



A sub B



A B

UTN-FRT 5



A U B = x x A x B

Interseccioacuten



A cap B = x x A x B





Entonces

ℕ =ℤ+ = 1 2 3 4 5


ℕ0 = 0 1 2 3 4 5

Propiedades









naturales es decir




UTN-FRT 6






ℤ = hellip -3 -2 -1 0 1 2 3 hellip




ℤ+= 1 2 3 4 5 hellip

Propiedades
















ℚ = 119886

119887119886 119887 isin 119885 119888119900119899 119887 ne 0

Propiedades








UTN-FRT 7






Ejemplos





ejemplos

Ejemplos


05 =5

10=

1

2

minus243

= minus243

100

14456

=14456

1000

=1807

125


0 4⏜ =4

9

8 13⏜

=813 minus 8

99

=805

99

UTN-FRT 8






119868 = 119886119886 notin ℚ

Ejemplos


120587 = 314159hellip

radic53

= 1709975hellip

e = 2718281828459045hellip

Nuacutemeros Reales






Naturales ℕ0



Irracionales 119868


01 8⏜

=18 minus 1

90

=17

90

73 16⏜

=7316 minus 73

990

=7243

990

UTN-FRT 9

Propiedades















Nombre de

la propiedad


Ley de

composicioacuten

interna




forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886


forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)

Elemento

neutro



Existencia

del


UTN-FRT 10

Ten en cuenta


119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939


120783120785 |120785

minus120783120784 120786

120783

por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783






real

POTENCIACIOacuteN


define como


Ademaacutes si ane0

a0=1 y a-n=1

119886119899

Ejemplos

elemento


1

119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1


forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886

ORIGEN


UTN-FRT 11

1 23=8 porque 23=222

2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)

3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)

4 -22=-4

5 (2

5)

2=

2

5

2

5=

4

25


Propiedad Ejemplos

119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78

119886119899

119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0

6minus3


(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310

(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093

(119886

119887)

119899

=119886119899

119887119899 (

119910

minus3)

2

=1199102

(minus3)2=

1199102

9

Ejemplos


1199092

2 (2

311990921199103)

4= (

2

3)

4(1199092)4(1199103)4 =

16

8111990924

11991034=

16

81119909811991012

Ten en cuenta


Ejemplos

1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22

2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12

RADICACIOacuteN



radic119886119899


Ejemplo radic273

= 3porque 33=27

UTN-FRT 12



radic119886119899




Ejemplos

1 radic81 = 9

2 radicminus83

= minus3


4 radic25

9=

5

3


Propiedad Ejemplos

radic119886 119887119899

= radic119886119899

radic119887119899


radic119886

119887

119899=

radic119886119899

119887 119887 ne 0 radic

8

343

3

=radic83

radic3433 =

2

7


119898

= radic119886119898119899

radicradic643

= radic646

= 2

119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899

119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899


3)

2= 4


= minus5


Ejemplos

1 2

radic7=

2

radic7

radic7

radic7=

2radic7

(radic7)2 =

2radic7

7

2 2

radic11990925 =2

radic11990925

radic11990935

radic11990935 =2 radic11990935

radic119909211990935 =2 radic11990935

radic11990955 =2 radic11990935

119909 119909 ne 0


3 3

radic119909+119910=

3

radic119909+119910




(radic119909)2

minus1199102=


119909minus1199102

UTN-FRT 13

Ten en cuenta


Ejemplo


radic100 ne 6 + 8

10 ne 14

INTERVALOS REALES


Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887




119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887

119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887


(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886

[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886




Ejemplos


UTN-FRT 14



VALOR ABSOLUTO


|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0



Ejemplos

a) |0| = 0 porque 0 ge 0

b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0

c) |7 | = 7 porque 7 ge 0

Algunas propiedades



3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|

4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|

5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|




|119909 + 1| = 7

119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7

119909 = 6oacute119909 = minus8

119862119878 = minus86


UTN-FRT 15

|2119909 minus 3| le 1


minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3

2 le 2119909 le 4

21

2le 2119909

1

2le 4

1

2

1 le 119909 le 2

119862119878 = [12]

Ten en cuenta



119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|

Ejemplo



pequentildeos

Ejemplos






Ejemplos








UTN-FRT 16

1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)

= 21404 x 104=21404 x 105

2 (216119909104)(125611990910minus12)

31711990910minus18 = 856119909109






e incoacutegnitas





UTN-FRT 17

Ten en cuenta




Donde a y b son

catetos y h es la

hipotenusa

UTN-FRT 18






es (2πR) 2




Ejecutamos el plan


UTN-FRT 19






Verificamos


un aacuterea


2 2 2

2 2 2

2 4

4 2

16 4

12 2 3

a

a

a

a

+ =

= minus

= minus

= =

UTN-FRT 20




4 120587

B = radicminus113

-3 -025 0 -2 120587 -radic3

3 C =

1

2 0 -2 radic9 120587 -

radic3

3







a 25

14 b

3

11 c

77

36 d

61

9






negativo



a (3 + 4)2 = 32 + 42

b (12 4)2 = 122 42

c 32 34 33 = 39

d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910

e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873

f radic36 + 64 = radic36 + 8

g (42)345 = 4



UTN-FRT 21

j (1198862)3 = 119886(23)



a (2 1199093 119910minus3

8 1199094 1199102 )minus1

b (7 1198864 119887minus4

2 1198862 1198872 )minus2

c (3 119909minus3 1199104

10 1199092 1199106)minus1

d (5 1198862 1198873


e (9 119909 119911minus2

27 119909minus4 119911)

minus3

f (3 1199092 1199105

1199093 119910)

3

7 Resuelve

a 427+2(minus6)


1

2)

2


075minus0625)

2

c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05


e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1

10119910+1102119910+1 f radicradic1633

+ radic33

radic323radic363

+ [2 (1

3+ 1)]

2

[(3

5minus 3)

5

3]

2



c radic3 radic3

radic34

5


f

119886minus2radic1

119886

radic119886minus53


a 3

radic2 b

2minus119909

radic119909 c

3 119886

radic9 119886 d

119909minus119910


e minus7

radic11988623 f 2

radic119911minus3 g

5

radic1199094 h

4minus1199092

2+radic119909


i 119909+119910


119909minus119910


119909+119910







UTN-FRT 22


9800 habitantes


con 119875 =221minus3119905








elaborado






que 5


o igual que 4


a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16



a 324517 x 104 b 716392 x 10-5

c 000000842 d 00025 x 107

UTN-FRT 23

e 542000000000 f 64317 x 10-6


a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)

317 10minus18

c 921 108

306 105 d (233 104)(411 103)












3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898


(1

3radic5 +

1

2) 119888119898


119888119898 y de base

3(radic3)minus1

119888119898




UTN-FRT 24


del cuadrado









05 m




UTN-FRT 25






a)

b)

c) d)

UTN-FRT 26

e) f)






UTN-FRT 27

UNIDAD Ndeg2


Polinomios



Regla de Ruffini




fraccionarias

UTN-FRT 28




Ejemplos

1 2120587radic119871

119892 2

7

119910minus 1199092 3 1199070119905 +

1

21198921199052

4 119909minus5

radic119909minus53


3-









cualquiera

(a+b)2






km en x horas

yx


119909+119910 119909 ne minus119910




Irracionales

UTN-FRT 29

Ejemplos







1199102 3

4+ 119909 +

1

119909




119905 11991123 + 119911minus12 119909 +

2

radic119909





Ejemplos

I)minus1

511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902





Ejemplos

I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1







UTN-FRT 30













3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909


119875(1) = minus2(1)3 +1


1

3minus 1 = minus

8

3



1

3minus 1 =

2

3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0

119875(minus1) + 119876(0) =2

3+ 0 =

2

3



Ejemplo P(x) = 1




opuestos


51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +

1





Grado P=4

UTN-FRT 31






41199092 minus 6

119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)

= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6

= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)

= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5





3119909 + 41199092 minus 6



= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)

= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7






119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)




Ten en cuenta


UTN-FRT 32






Ten en cuenta






31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2

+ minus 31199093 minus 6119909 + 2

minus31199095 + 61199093

61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1

+

minus61199093 + 12119909

minus21199092 + 12119909 + 1

+

21199092 minus 4

12119909 minus 3


Ten en cuenta


(PQ)= m-n


exacto es decir

i) P(x)=C(x) Q(x)



UTN-FRT 33

Regla de Ruffini




119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3

minus3|


15 minus45 39


09

9





119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0

Teorema del resto




i) P(x)=C(x) (x-a)






Ten en cuenta


complejas


Coeficientes del

dividendo

Coeficientes del

cociente

resto

Coefic

ientes

del

divide

ndo

UTN-FRT 34



un cero real


Factor comuacuten




1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)








= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)

= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)

= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)




cuadrados




41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2

UTN-FRT 35







31198861198872 + 1198873


31198861198872 minus 1198873








41199102

251199092 minus1

41199102 = (5119909)2 minus (

1

2119910)

2

= (5119909 +1

2119910) (5119909 minus

1

2119910)


Si n es par









suma por la segunda


UTN-FRT 36


Ten en cuenta








simples



Ejemplos



2 Si 119876(119909) =1








1199093 = 0

1199094 = minus5






UTN-FRT 37


119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6











119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1

minus1 |


1 minus5 6 0


2 |

1 minus5 62 minus6

1 minus3 0





Divisores -1 1


Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6

El cociente es

( ) 2 5 6C x xx = minus +

El cociente es

( ) 3C x x= minus

UTN-FRT 38






2119886 donde 1199091 =


2119886 y 1199092 =


2119886


119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)



119876(119909) se


Ejemplos

1 119909minus5

2119909minus1 119909 ne

1

2

2 1199092minus36

31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6




Simplificacioacuten

Sea 119875(119909)



ambos


31199092minus12119909

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4)=

(119909+4)

3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4

UTN-FRT 39

Multiplicacioacuten





1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1

1199094 minus 1

1199092 + 6119909 + 9sdot

1199092 + 3119909

1199092 minus 1sdot

7

1199092 + 1=

(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)

(119909 + 3)2sdot

119909(119909 + 3)

(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot

7

1199092 + 1 119909

ne minus3 minus11

1199094minus1

1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1=

(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)

(119909+3)2 sdot119909(119909+3)

(119909minus1)(119909+1)sdot

7

1199092+1=

7119909

119909+3 119909 ne minus3 minus11

Divisioacuten



la segunda


119909+5

1199092minus119909

1199092minus25

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5)=

119909 minus 1

119909 + 5sdot

(119909 minus 5)(119909 + 5)

119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015

119909minus1

119909+5

1199092minus119909

1199092minus25=

119909minus1

119909+5sdot

(119909minus5)(119909+5)

119909(119909minus1)=

119909minus5

119909 119909 ne minus5015


119875(119909)

119876(119909)119877(119909)

119878(119909)=

119875(119909)

119876(119909)sdot

119878(119909)

119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0





exponente

UTN-FRT 40



1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)

1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2

1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)




denominadores




119909minus1minus

119909+1

1199092minus1

119909+4

119909minus1minus

119909+1

1199092minus1=

119909+4

119909minus1minus

119909+1

(119909minus1)(119909+1)=

119909+4

119909minus1minus

1



119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

1199092 minus 1=

119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

(119909 minus 1)(119909 + 1)=

119909 + 4

119909 minus 1minus

1

119909 minus 1=

119909 + 4 minus 1

119909 minus 1=

119909 + 3

119909 minus 1 119909 ne minus11





1199092+3119909minus10minus

2119909+4

1199092minus4

119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2(119909 + 2)

(119909 minus 2)(119909 + 2)=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909

ne minus5 minus22


119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909 ne minus52

=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)

(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52

UTN-FRT 41




Expresioacuten

algebraica

Racional

entera

Racional no

entera

irracional

2 31 1

1

xx

x

minus+

minus

2 314

2x xy xminus minus


2 135x y x+



a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2

31199095 minus 119909 minus 2



x=0 x=1 x=-1 x=2

a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17

b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909

c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13



b) El aacuterea


los 6 cuadrados




UTN-FRT 42


a b

c d











b)(51199093 +1

21199092 minus 3119909 +

3

4) + (

4

51199093 + 31199092 +

1

5119909 minus

1

2)

UTN-FRT 43

c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)



f) (31199093 minus1

21199092 + 2119909 minus 2) (

2

31199092 minus 1)

g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)

h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)

i) (1

21199094 +

8

31199093 +

1

21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (

1

2119909 + 3)


119909 minus 2


a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)

b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)

c) (1199094 minus1

21199093 +

1

31199092 minus

1

4119909 +

1

5) ∶ (119909 minus 1)

d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)

e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)

f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)

g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)


a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3

b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5

c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1




UTN-FRT 44


(119909 minus 5)






dos









a) 1611988621199092 minus 411990931198863

b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092

c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14

d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909

e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1

f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910

g) 4

251198864 minus

1

91199092

h) 25

1198982 minus 36

i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887

j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901

k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096

l) 1199103 +3

41199102 +

3

16119910 +

1

64

m) 1199092 + 36 minus 12119909

n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103

UTN-FRT 45

o) 1199093

27minus

1198861199092

3+ 1198862119909 minus 1198863



a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6


e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6














a) 1199094minus31199092+5119909minus3

119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1

b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15

119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3

c) 1199093+1

119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1


a 2

2 2 8

2 2 4

x a x a ax

x a a x x a

minus +minus +

+ minus minus b

21 1

1 1

xx

x x

+minus +

+ minus

c 3 1 1

4 4 1 1

x x xx

x x x


minus + d

2

1 1 21

1 1

x

x x x

minus minus

+ minus

e 1 1

x xx x

x x

+ minus

minus minus f

2

3 2

1 1

x

x a x a x a x

+

+ minus minus

UTN-FRT 46

g 1

8minus8119909minus

1

8+8119909+

119909

4+41199092 h

4119909minus3119887

2119909minus 2 +

2119909+119887

3119909

i (1

119909+

2

119886) (

1

119909minus

2

119886) (

119886119909

119886+2119909) j (

1199092

1198862 minus1198862

1199092) ∶ (119909

119886+

119886

119909)

k (1199094 minus1

1199092) ∶ (1199092 +

1

119909) l (

2119909

119909+3minus

119909+1

119909) ∶ (

1199093minus41199092minus3119909

1199092 )


a ( )

( )( )

22 a b aa b a

b a b b a b a b

minus+minus +


a b+ b

a bminus

+

b

a b+

a b

b

+ Otro

b 2 3 4 4 1

2 2 3 3 6 6

a a a

a a a


+ + + es igual a

a 1

6

b

a b Otro

c

2

2

2 4 4

1 1 1

x x x

x x x

minus + minus


2

1

2x xminus

minus minus

2

1

2x xminus minus

2

1



2119886+2minus

3119886minus4

3119886+3+

4119886minus1

6119886+6=

1

6

UTN-FRT 47

UNIDAD Ndeg3

Aacutengulo


Longitud de arco

Triaacutengulos







Teorema del seno

Teorema del coseno

UTN-FRT 48

Nociones previas


dos aacutengulos





bull




Sistema sexagesimal




sexagesimal





1 =

UTN-FRT 49

Longitud de arco









Ejemplos



ii) 4


180deg-----------------

3043deg--------------x


180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889

ii) ---------------------180deg

4

----------------------x

Entonces x=

1801804 45

4

= =



UTN-FRT 50

Elementos


Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860


180deg--------

50deg--------x

Entonces x=50 5

180 18

=


18

=5 metros


Elementos

Propiedades




diferencia






180deg

+ + = 180deg

UTN-FRT 51



360deg

+ + 120574 = 360deg







equilaacutetero


Como + + = 180deg

Entonces



= 96deg

UTN-FRT 52


Triaacutengulos

acutaacutengulos

Triaacutengulos

rectaacutengulos

Triaacutengulos

obtusaacutengulos


agudos






hipotenusa c= =

oshipotenusa c


= =

oscatetoadyacente b

c Ahipotenusa c

= =

echipotenusa c


= =

catetoopuesto atg A



catetoopuesto a= =


bsen B

c= cos

aB

c= t

bg B

a=


UTN-FRT 53



Ten en cuenta




1 Datos b=280 m y c= 415 m

28006747

415

(06747)

4243

bsen B

c

B arcsen

B

= = =

=

=





30631119898119890119905119903119900119904


119888119900119904 3 7deg =52

119888

119888 =52

119888119900119904 3 7deg

119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904


119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904


UTN-FRT 54







Ten en cuenta








normal

UTN-FRT 55











1



os1



catetoopuesto ytg


1os

hipotenusac ec

catetoopuesto y = =

UTN-FRT 56

1ec

hipotenusas


otcatetoadyacente x


= =







4 Como

1 1 1 1

1 1 1 cos 1

y sen

x

minus minus

minus minus



2 2cos 1sen + =

UTN-FRT 57

cos 0cos

sentg

=

1sec cos 0

cos

=

1sec s 0co en

sen

=






Entonces

130

2 2




sen tg

= =

UTN-FRT 58

1 330

33 3

catetoopuesto y ytg



1cos60 30

2sen = =

60 cot 30 3tg g = =





Entonces

3 3cos30

2 2 2



360 cos30

2sen = =

UTN-FRT 59

1 245

22 2



1 2cos45

22 2

catetoadyacente x x




= = = =




Primer

paso


4

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

00

2=

1

2 2

2

3

2

21

2=

Divido en 2

sen α 0 1

2 2

2

3

2

1




Primer

paso


0

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

21

2= 3

2

2

2

1

2

00

2=

Divido en 2

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0

UTN-FRT 60

En resumen


sen α 0 1

2 2

2

3

2

1

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0












7 10 7 12186910


h altura

UTN-FRT 61


121869 121869km a m m=









dos islas


1200 1200

10 10 1200 68055310

tg d tg d d md tg

= = = =


d distancia

UTN-FRT 62


Teorema del seno




opuestos

a b c

sen A sen B senC= =

sen A sen B senC

a b c= =







3

30 45

3 45

30

3 2

a b b

sen A sen B sen sen

senb

sen

b

= =

=

=

UTN-FRT 63


3

30 105

3 105

30

3 6 3 2

2

a c c

sen A senC sen sen

senc

sen

c

= =

=

+ =


2b m

+=

Teorema del coseno







2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + minus

= + minus

= + minus

Ten en cuenta







UTN-FRT 64




2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos32

1858

431

BD AB AD AB AD A

BD

BD

BD

= + minus

= + minus

=

=



Por propiedad

+ + + = 360deg = =



2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos148

18141

1347

AC AB BC AB BC B

AC

AC

AC

= + minus

= + minus

=

=

UTN-FRT 65

Unidad Ndeg3



sexagesimal

a 120587

6

a 5120587

4 b 26 rad

c 2120587

3 d 35 rad e

3120587

2


b 60deg




que

25

20

35

=

=

=


y C


120572 = 60deg


120572 = 18deg


120572 = 20deg



la figura dada




agudo

a) 119904119890119899119860 =3

7

b) 119905119892119860 = 15

UTN-FRT 66

c) 119888119900119904119860 = 03



b A = 38deg b = 15

c b = 12 c = 5

d a = 18 b = 32

e c = 12 a = 14












altura 8 cm




120572 = 60deg 120579 = 60deg

119860119863 = 18 119898

A

B

D

C

UTN-FRT 67









altura de la torre






Complete la tabla

a

c

b

UTN-FRT 68

a

b

c

120572 120573 120574 Aacuterea

30 cm 45 cm 40deg

120 cm 84 cm 60deg

60 m 70 m 5120587

6

25 cm 35deg 68deg

252 m 378 m 434 m


475 cm 70deg 45deg





la figura








UTN-FRT 69









UTN-FRT 70









UTN-FRT 71

UNIDAD Ndeg4










UTN-FRT 72





Ejemplos



Ten en cuenta






2

Pr




Clasificacioacuten

Enteras Racionales



Logariacutetmicas




Ejemplos






UTN-FRT 73


31

4

x

x

minus=






racional no entero













de partida

Ten en cuenta


(CS= )





UTN-FRT 74

9 2 11

9 2 9 11 9

2 2

1 12 2

2 2

1

x

x

x

x

x

+ =

+ minus = minus

=

=

=

Por lo tanto CS= 1





ax bx c a+ + =





2 5 3a b c= = = minus

2

12

1

12

2

5 25 42( 3)4 5 49

2 22 4

5 7 2 1

5 7 2 4 2

5 7 1243

4 4

b b acx

a

x

x

x


minus += = =minus


Por lo tanto CS=1

2 -3


0c


2

2

2

3 12 0

3 12

4

2

2 2

x

x

x

x

x x

minus =

=

=

=

= minus =


UTN-FRT 75


0b y 0c =


( )

22 12 0

2 6 0 2 0 6 0

0 6

x x

x x x x

x x

minus =

minus = = minus =

= =




2

12

4

2

b b acx

a







1 2 5 6 0x xminus + =


reales y distintas

2 2 9 0x x+ + =









1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +

UTN-FRT 76

2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

3 2

1 1 2

1x x x x+ =

minus minus

Resolucioacuten

1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +


denominador

7 + 119909

119909 + 5=

119909 + 3

119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2



7 + 119909

119909 + 5∙

119909 + 2

119909 + 2=

119909 + 3

119909 + 2 ∙

119909 + 5

119909 + 5

(7 + 119909) (119909 + 2)

(119909 + 5) (119909 + 2)=

(119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 2) (119909 + 5)

(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)


7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15

9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15


119909 minus 1 = 0

119909 = 1



5 2

x x

x x

+ +=

+ +

Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3

1 5 6 3 1 2

+ += = =

+ +

Luego 119862119878 = 1

UTN-FRT 77


5 2

x x

x x

+ +=


7 + 119909

119909 + 5minus

119909 + 3

119909 + 2= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 5) (119909 + 2)= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0



119909 minus 1 = 0

119909 = 1


2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +



3119909

2119909 + 1=

119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

21199092 + 3119909 + 1

3119909

2 (119909 +12)

=119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

2(119909 + 1) (119909 +12)


2

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)


3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1

2) + (119909 minus 19)

UTN-FRT 78


31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19


1199092 minus 9119909 + 14 = 0


1199091 = 2 y 1199091 = 7


2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

Si 119909 = 2

32

22 + 1=

2 + 5

2 + 1+

2 minus 19

2 22 + 32 + 1

6

5=

7

3+

(minus17)

15

6

5=

18

15

6

5=

6

5

Si 119909 = 7

37

27 + 1=

7 + 5

7 + 1+

7 minus 19

2 72 + 37 + 1

21

15=

12

8+

(minus12)

120

7

5=

3

2+

(minus1)

10

7

5=

14

10

7

5=

7

5

Luego 119862119878 = 27

UTN-FRT 79

3 23 11 6

2 3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus


23 11 62 3

3 3

x xx con x

x x

minusminus = minus

minus minus

Operando obtenemos

2

2 2

2

2

3 11 2 ( 3) 6

3 3

3 11 2 6 6

3 3

5 6

3 3

5 6 0

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x


minus minus


minus minus

minus= minus

minus minus

minus + =


1 22 3x y x= =


2 33 3

x xx con x

x x

minusminus = minus





23 11 62

3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus

Si x=2

232 112 12 22 622 4 10 4 6

2 3 1 2 3


minus minus minus





1 radic5119909 = 119909

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909


Resolucioacuten

UTN-FRT 80

1 radic5119909 = 119909


miembros

(radic5119909)2

= 1199092

5119909 = 1199092

1199092 minus 5119909 = 0


Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 05

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909



= (119909 minus 4)2

4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16


minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0


Verificacioacuten

Si 119909 = 2


4 + 2 = 2

6 = 2

Si 119909 = 10


4 + 2 radic9 = 10

4 + 23 = 10

UTN-FRT 81

10 = 10

Luego 119862119878 = 10




(radic3119909 + 1)2






1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)

1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4


y 1199092 = 5

Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 15

Inecuaciones






con la letra e

UTN-FRT 82

1

25 35

experiencia

edad

a a

e e



fundamentales















la recta real

1 5 3 4x x+ minus

5 3 5 4 5

3 1

3 1

4 1

1

4

x x

x x

x x x x

x

x

+ minus minus minus

minus minus

+ minus minus +

minus

minus

CS=(-infin -14]

UTN-FRT 83

2 2 1 7xminus +

( )

2 1 1 7 1

2 6

1 1 2 6

2 2

3

x

x

x

x

minus + minus minus

minus

minus minus minus

minus

CS=(-3infin)

UTN-FRT 84












119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ





5 119862 + 32

Despeja 119862





c 4(119909 minus 2) +1

2= minus

1

3(119909 + 2) minus

14

3 d

119909minus2

119909+3minus

119909+1

119909minus3=

5

1199092minus9

e 119909+1

119909minus1minus

119909

119909+1=

119909+5



2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus

119909

2




5

4

5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8


3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0




UTN-FRT 85


nuacutemeros


nuacutemeros




y el resto 9





a 131199092 + 8 = 60

b 31199092 minus 24119909 = 0

c 41199092 minus 20119909 = 75

d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6

e 31199092+6119909

3minus 120 = 0

f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)

g 24119909minus61199092

15= 0

h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909




c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1

21199092 + 5119909 + 8




de modo que




UTN-FRT 86




a) 119886 = 0 119898

b) 119886 =75

4 119898

c) 119886 = 15 119898









9













del marco


UTN-FRT 87


a 6minus119909

1199092+4119909+4minus

1

119909+2=

2

5minus119909 b (

119909+1

119909minus1)

2

+119909+1

119909minus1= 6

c 119909+4

3119909minus6minus

119909minus6

4119909minus8=

119909+1

119909minus2 d

3

119909minus2+

7

119909+2=

119909+1

119909minus2

e 1

119909minus2= 1 +

2

1199092minus2119909 f

2119909minus3

3119909minus2=

119909minus1

2119909

g 2+119909

2minus119909+

2minus119909

2+119909= 2 h

3

119909+5= 1 minus

4

119909minus5

i 119909+1

119909minus1minus

119909+5

1199092minus1=

119909

119909+1












a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5

c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1

21199092 + 5119909 + 8 ge 0


g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0

UTN-FRT 88

UNIDAD Ndeg5

Funciones






Funcioacuten lineal

Dominio y rango

Graacutefica




Domino y rango

Graacutefica



UTN-FRT 89

Funciones




Ejemplos







t 1 2 3 4

d 5 20 45 80




automoacutevil

Dominio Rango

UTN-FRT 90









Notacioacuten




A B

UTN-FRT 91

( )

f A B

x y f x

rarr

rarr =
















Ten en cuenta









UTN-FRT 92







la graacutefica







funcioacuten




UTN-FRT 93


funciones

1 ( ) 2 1f x x= minus


2 1 0

2 1

1

2

x

x

x

minus =

=

=


2 0)


(0) 20 1

(0) 1

f

f

= minus

= minus


2 2( ) 5 6f x x x= minus +


2

2

12

1 2

5 6 0

5 5 416

21

3 2

x x

x

x y x

minus + =

minus=

= =



2(0) 0 50 6

(0) 6

f

f

= minus +

=


Q (0 y)


f (0)

ceros


UTN-FRT 94





isin (a b)





isin (a b)



Enteras Racionales



Logariacutetmicas



Ejemplos



6( )

3 6

xf x

x x

+=

minus


UTN-FRT 95


13( )g x x=



Funcioacuten Lineal









funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


en ℝ





funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


decreciente en ℝ

Ten en cuenta



UTN-FRT 96







ceros


de las abscisas y=0


y=b









2 1

2 1

( )

( )



minus= = = minus

UTN-FRT 97


21

3y x= +

Donde 2

3m = y 1b =



32

4y x= minus +

Donde 3

4m = minus y 2b =






1 2m m=


UTN-FRT 98



1 2 2m m= =




1

1m

m= minus


13

y x= minus minus


las pendientes son

1 3m = y 2

1

3m = minus



general como


1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =

+ =

UTN-FRT 99





Clasificacioacuten

Sistema

compatible

determinado

(SCD)







Sistema

compatible

indeterminado

(SCI)


representa



UTN-FRT 100

Sistema

Incompatible

(SI)



rectas paralelas no









Ejemplos

1 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus




De 1 1

(2)2 2

y x= minus minus


1 12 3

2 2

1 12 3

2 2

5 5

2 2

1

y y

x x

x x

x

x

=

minus = minus minus

+ = minus +

=

=

UTN-FRT 101



De (1) 1y = minus


2 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus



no utilizada



Resolvemos

2 4 3

5 5

1

y y

y

y

minus minus minus =

minus =

= minus



De (2) 1x =


3 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus







2 3 2 3 4 2 6

2 1 2 1 2 1

x y x y x y

x y x y x y




5 5 1x x= =



De (1) 1y = minus

UTN-FRT 102












2 0ax bx c+ + =

Obtenemos 2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus= y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )hminus

UTN-FRT 103




2 0ax bx c+ + =

Obtenemos

2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus=

y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )h

Ceros







raiacuteces reales


sola raiacutez real

1 22

bx x

a= = minus


raiacuteces reales

UTN-FRT 104





bh


2k ah bh c= + +


bx

a= minus




Ejemplos


a El dominio






Resolucioacuten








coordenadas (0 5)


321

h = minus = minus y



UTN-FRT 105


funcioacuten


e Grafica








2( )

4 3

xf x

x

+=

minus

2

2( )

1

xg x

x

minus=

+ y

2

3

9( )

xh x

x x

+=

minus


119863119900119898119891 = ℝ minus 4

3

119863119900119898119892 = ℝ

Rgof=[ 4 )minus

UTN-FRT 106

119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101



f xcx d

+=

+


119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus

119886

119888





yc

=


xc

= minus


1 2

2( )

4

xf x

x x

+=


2 2 5

( )1

xf x

x

minus +=


graacutefica

Resolucioacuten

UTN-FRT 107


2( )

4

xf x

x x

+=





( )1

xf x

x

minus +=





xc



yc




( ) 5f x x= minus 2

( )1

g xx

=minus





)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ

UTN-FRT 108


ldquoFuncionesrdquo


a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1

21199092 + 2119909 minus 5

c 119910 = radic119909 + 1

d 119892(119909) =119909+5

2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (

119909

3)

f 119892(119909) = minus7119909 + 3

g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2

119909+ 5


origen

a 119891(119909) = minus4119909 +1

2 ( )

b 119910 = 5119909 + 4 ( )

c 119910 =4

119909minus 6 ( )

d 119910 = minus1

2119909 +

4

7 ( )


5119909 ( )


a 1198750 (minus1


5

2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2



a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)

b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)

c 1198751(2 3) 1198752(1 2)

d 1198751(6 0) 1198752(0 2)

e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)


coordenados

a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7

c 119910 = minus1

2119909 + 4 d 119910 = minus2119909


a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1

b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4





UTN-FRT 109




2

1


puntos (-2 4) y (4 6)


puntos (-2 -1) y (2

3 0)




clasifiacutecalos

a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4

b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

c 2119909 minus 119910 = minus3

minus3119909 +9

4119910 =

15

2


e minus

2

3119909 + 119910 = 1

minus5119909 + 8119910 = 7 f

minus119909 + 3119910 = minus1

4

2119909 minus 6119910 =1

2

g 1

2119909 minus 119910 = minus

1

2

minus5119909 + 8119910 = 8

h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1












UTN-FRT 110









a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5

b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15

c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3

d 119910 = 41199092 + 1

e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7

f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3


g El dominio












funciones

d El rango







UTN-FRT 111






a b c Tipo de


Dos

puntos

Ninguacuten

punto

1 minus7 6

minus1 3 minus4


1 0 minus4

radic3 6 3radic3


a b




2 minus

9

2) y corta al


UTN-FRT 112
















119877(119909) = minus1

401199092 +

7

2119909 para 0 lt 119909 lt 120











a 119891(119909) =119909+1

5minus4119909 b 119892(119909) =

3minus119909

1199092+4

c ℎ(119909) =1+1199092

1199093minus119909 d 119891(119909) =

7119909

1199092minus16

UTN-FRT 113



a 119891(119909) =3+2119909

5119909minus1

b 119892(119909) =3

2119909minus4

c ℎ(119909) =3minus2119909

4119909

d 119891(119909) =2+3119909

5minus119909


a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1

b 119892(119909) =3119909

radic119909+4


UTN-FRT 3

UNIDAD Ndeg1




Nuacutemeros Reales




Intervalos

Valor Absoluto


UTN-FRT 4






Ejemplo A= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9







Unioacuten

Ejemplo



A B C etc



abc etc


llaves

Ejemplo



conjunto

119886 notin A



A sub B



A B

UTN-FRT 5



A U B = x x A x B

Interseccioacuten



A cap B = x x A x B





Entonces

ℕ =ℤ+ = 1 2 3 4 5


ℕ0 = 0 1 2 3 4 5

Propiedades









naturales es decir




UTN-FRT 6






ℤ = hellip -3 -2 -1 0 1 2 3 hellip




ℤ+= 1 2 3 4 5 hellip

Propiedades
















ℚ = 119886

119887119886 119887 isin 119885 119888119900119899 119887 ne 0

Propiedades








UTN-FRT 7






Ejemplos





ejemplos

Ejemplos


05 =5

10=

1

2

minus243

= minus243

100

14456

=14456

1000

=1807

125


0 4⏜ =4

9

8 13⏜

=813 minus 8

99

=805

99

UTN-FRT 8






119868 = 119886119886 notin ℚ

Ejemplos


120587 = 314159hellip

radic53

= 1709975hellip

e = 2718281828459045hellip

Nuacutemeros Reales






Naturales ℕ0



Irracionales 119868


01 8⏜

=18 minus 1

90

=17

90

73 16⏜

=7316 minus 73

990

=7243

990

UTN-FRT 9

Propiedades















Nombre de

la propiedad


Ley de

composicioacuten

interna




forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886


forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)

Elemento

neutro



Existencia

del


UTN-FRT 10

Ten en cuenta


119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939


120783120785 |120785

minus120783120784 120786

120783

por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783






real

POTENCIACIOacuteN


define como


Ademaacutes si ane0

a0=1 y a-n=1

119886119899

Ejemplos

elemento


1

119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1


forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886

ORIGEN


UTN-FRT 11

1 23=8 porque 23=222

2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)

3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)

4 -22=-4

5 (2

5)

2=

2

5

2

5=

4

25


Propiedad Ejemplos

119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78

119886119899

119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0

6minus3


(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310

(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093

(119886

119887)

119899

=119886119899

119887119899 (

119910

minus3)

2

=1199102

(minus3)2=

1199102

9

Ejemplos


1199092

2 (2

311990921199103)

4= (

2

3)

4(1199092)4(1199103)4 =

16

8111990924

11991034=

16

81119909811991012

Ten en cuenta


Ejemplos

1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22

2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12

RADICACIOacuteN



radic119886119899


Ejemplo radic273

= 3porque 33=27

UTN-FRT 12



radic119886119899




Ejemplos

1 radic81 = 9

2 radicminus83

= minus3


4 radic25

9=

5

3


Propiedad Ejemplos

radic119886 119887119899

= radic119886119899

radic119887119899


radic119886

119887

119899=

radic119886119899

119887 119887 ne 0 radic

8

343

3

=radic83

radic3433 =

2

7


119898

= radic119886119898119899

radicradic643

= radic646

= 2

119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899

119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899


3)

2= 4


= minus5


Ejemplos

1 2

radic7=

2

radic7

radic7

radic7=

2radic7

(radic7)2 =

2radic7

7

2 2

radic11990925 =2

radic11990925

radic11990935

radic11990935 =2 radic11990935

radic119909211990935 =2 radic11990935

radic11990955 =2 radic11990935

119909 119909 ne 0


3 3

radic119909+119910=

3

radic119909+119910




(radic119909)2

minus1199102=


119909minus1199102

UTN-FRT 13

Ten en cuenta


Ejemplo


radic100 ne 6 + 8

10 ne 14

INTERVALOS REALES


Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887




119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887

119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887


(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886

[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886




Ejemplos


UTN-FRT 14



VALOR ABSOLUTO


|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0



Ejemplos

a) |0| = 0 porque 0 ge 0

b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0

c) |7 | = 7 porque 7 ge 0

Algunas propiedades



3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|

4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|

5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|




|119909 + 1| = 7

119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7

119909 = 6oacute119909 = minus8

119862119878 = minus86


UTN-FRT 15

|2119909 minus 3| le 1


minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3

2 le 2119909 le 4

21

2le 2119909

1

2le 4

1

2

1 le 119909 le 2

119862119878 = [12]

Ten en cuenta



119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|

Ejemplo



pequentildeos

Ejemplos






Ejemplos








UTN-FRT 16

1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)

= 21404 x 104=21404 x 105

2 (216119909104)(125611990910minus12)

31711990910minus18 = 856119909109






e incoacutegnitas





UTN-FRT 17

Ten en cuenta




Donde a y b son

catetos y h es la

hipotenusa

UTN-FRT 18






es (2πR) 2




Ejecutamos el plan


UTN-FRT 19






Verificamos


un aacuterea


2 2 2

2 2 2

2 4

4 2

16 4

12 2 3

a

a

a

a

+ =

= minus

= minus

= =

UTN-FRT 20




4 120587

B = radicminus113

-3 -025 0 -2 120587 -radic3

3 C =

1

2 0 -2 radic9 120587 -

radic3

3







a 25

14 b

3

11 c

77

36 d

61

9






negativo



a (3 + 4)2 = 32 + 42

b (12 4)2 = 122 42

c 32 34 33 = 39

d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910

e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873

f radic36 + 64 = radic36 + 8

g (42)345 = 4



UTN-FRT 21

j (1198862)3 = 119886(23)



a (2 1199093 119910minus3

8 1199094 1199102 )minus1

b (7 1198864 119887minus4

2 1198862 1198872 )minus2

c (3 119909minus3 1199104

10 1199092 1199106)minus1

d (5 1198862 1198873


e (9 119909 119911minus2

27 119909minus4 119911)

minus3

f (3 1199092 1199105

1199093 119910)

3

7 Resuelve

a 427+2(minus6)


1

2)

2


075minus0625)

2

c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05


e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1

10119910+1102119910+1 f radicradic1633

+ radic33

radic323radic363

+ [2 (1

3+ 1)]

2

[(3

5minus 3)

5

3]

2



c radic3 radic3

radic34

5


f

119886minus2radic1

119886

radic119886minus53


a 3

radic2 b

2minus119909

radic119909 c

3 119886

radic9 119886 d

119909minus119910


e minus7

radic11988623 f 2

radic119911minus3 g

5

radic1199094 h

4minus1199092

2+radic119909


i 119909+119910


119909minus119910


119909+119910







UTN-FRT 22


9800 habitantes


con 119875 =221minus3119905








elaborado






que 5


o igual que 4


a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16



a 324517 x 104 b 716392 x 10-5

c 000000842 d 00025 x 107

UTN-FRT 23

e 542000000000 f 64317 x 10-6


a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)

317 10minus18

c 921 108

306 105 d (233 104)(411 103)












3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898


(1

3radic5 +

1

2) 119888119898


119888119898 y de base

3(radic3)minus1

119888119898




UTN-FRT 24


del cuadrado









05 m




UTN-FRT 25






a)

b)

c) d)

UTN-FRT 26

e) f)






UTN-FRT 27

UNIDAD Ndeg2


Polinomios



Regla de Ruffini




fraccionarias

UTN-FRT 28




Ejemplos

1 2120587radic119871

119892 2

7

119910minus 1199092 3 1199070119905 +

1

21198921199052

4 119909minus5

radic119909minus53


3-









cualquiera

(a+b)2






km en x horas

yx


119909+119910 119909 ne minus119910




Irracionales

UTN-FRT 29

Ejemplos







1199102 3

4+ 119909 +

1

119909




119905 11991123 + 119911minus12 119909 +

2

radic119909





Ejemplos

I)minus1

511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902





Ejemplos

I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1







UTN-FRT 30













3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909


119875(1) = minus2(1)3 +1


1

3minus 1 = minus

8

3



1

3minus 1 =

2

3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0

119875(minus1) + 119876(0) =2

3+ 0 =

2

3



Ejemplo P(x) = 1




opuestos


51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +

1





Grado P=4

UTN-FRT 31






41199092 minus 6

119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)

= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6

= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)

= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5





3119909 + 41199092 minus 6



= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)

= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7






119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)




Ten en cuenta


UTN-FRT 32






Ten en cuenta






31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2

+ minus 31199093 minus 6119909 + 2

minus31199095 + 61199093

61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1

+

minus61199093 + 12119909

minus21199092 + 12119909 + 1

+

21199092 minus 4

12119909 minus 3


Ten en cuenta


(PQ)= m-n


exacto es decir

i) P(x)=C(x) Q(x)



UTN-FRT 33

Regla de Ruffini




119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3

minus3|


15 minus45 39


09

9





119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0

Teorema del resto




i) P(x)=C(x) (x-a)






Ten en cuenta


complejas


Coeficientes del

dividendo

Coeficientes del

cociente

resto

Coefic

ientes

del

divide

ndo

UTN-FRT 34



un cero real


Factor comuacuten




1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)








= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)

= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)

= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)




cuadrados




41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2

UTN-FRT 35







31198861198872 + 1198873


31198861198872 minus 1198873








41199102

251199092 minus1

41199102 = (5119909)2 minus (

1

2119910)

2

= (5119909 +1

2119910) (5119909 minus

1

2119910)


Si n es par









suma por la segunda


UTN-FRT 36


Ten en cuenta








simples



Ejemplos



2 Si 119876(119909) =1








1199093 = 0

1199094 = minus5






UTN-FRT 37


119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6











119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1

minus1 |


1 minus5 6 0


2 |

1 minus5 62 minus6

1 minus3 0





Divisores -1 1


Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6

El cociente es

( ) 2 5 6C x xx = minus +

El cociente es

( ) 3C x x= minus

UTN-FRT 38






2119886 donde 1199091 =


2119886 y 1199092 =


2119886


119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)



119876(119909) se


Ejemplos

1 119909minus5

2119909minus1 119909 ne

1

2

2 1199092minus36

31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6




Simplificacioacuten

Sea 119875(119909)



ambos


31199092minus12119909

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4)=

(119909+4)

3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4

UTN-FRT 39

Multiplicacioacuten





1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1

1199094 minus 1

1199092 + 6119909 + 9sdot

1199092 + 3119909

1199092 minus 1sdot

7

1199092 + 1=

(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)

(119909 + 3)2sdot

119909(119909 + 3)

(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot

7

1199092 + 1 119909

ne minus3 minus11

1199094minus1

1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1=

(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)

(119909+3)2 sdot119909(119909+3)

(119909minus1)(119909+1)sdot

7

1199092+1=

7119909

119909+3 119909 ne minus3 minus11

Divisioacuten



la segunda


119909+5

1199092minus119909

1199092minus25

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5)=

119909 minus 1

119909 + 5sdot

(119909 minus 5)(119909 + 5)

119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015

119909minus1

119909+5

1199092minus119909

1199092minus25=

119909minus1

119909+5sdot

(119909minus5)(119909+5)

119909(119909minus1)=

119909minus5

119909 119909 ne minus5015


119875(119909)

119876(119909)119877(119909)

119878(119909)=

119875(119909)

119876(119909)sdot

119878(119909)

119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0





exponente

UTN-FRT 40



1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)

1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2

1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)




denominadores




119909minus1minus

119909+1

1199092minus1

119909+4

119909minus1minus

119909+1

1199092minus1=

119909+4

119909minus1minus

119909+1

(119909minus1)(119909+1)=

119909+4

119909minus1minus

1



119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

1199092 minus 1=

119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

(119909 minus 1)(119909 + 1)=

119909 + 4

119909 minus 1minus

1

119909 minus 1=

119909 + 4 minus 1

119909 minus 1=

119909 + 3

119909 minus 1 119909 ne minus11





1199092+3119909minus10minus

2119909+4

1199092minus4

119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2(119909 + 2)

(119909 minus 2)(119909 + 2)=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909

ne minus5 minus22


119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909 ne minus52

=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)

(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52

UTN-FRT 41




Expresioacuten

algebraica

Racional

entera

Racional no

entera

irracional

2 31 1

1

xx

x

minus+

minus

2 314

2x xy xminus minus


2 135x y x+



a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2

31199095 minus 119909 minus 2



x=0 x=1 x=-1 x=2

a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17

b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909

c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13



b) El aacuterea


los 6 cuadrados




UTN-FRT 42


a b

c d











b)(51199093 +1

21199092 minus 3119909 +

3

4) + (

4

51199093 + 31199092 +

1

5119909 minus

1

2)

UTN-FRT 43

c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)



f) (31199093 minus1

21199092 + 2119909 minus 2) (

2

31199092 minus 1)

g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)

h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)

i) (1

21199094 +

8

31199093 +

1

21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (

1

2119909 + 3)


119909 minus 2


a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)

b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)

c) (1199094 minus1

21199093 +

1

31199092 minus

1

4119909 +

1

5) ∶ (119909 minus 1)

d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)

e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)

f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)

g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)


a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3

b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5

c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1




UTN-FRT 44


(119909 minus 5)






dos









a) 1611988621199092 minus 411990931198863

b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092

c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14

d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909

e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1

f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910

g) 4

251198864 minus

1

91199092

h) 25

1198982 minus 36

i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887

j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901

k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096

l) 1199103 +3

41199102 +

3

16119910 +

1

64

m) 1199092 + 36 minus 12119909

n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103

UTN-FRT 45

o) 1199093

27minus

1198861199092

3+ 1198862119909 minus 1198863



a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6


e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6














a) 1199094minus31199092+5119909minus3

119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1

b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15

119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3

c) 1199093+1

119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1


a 2

2 2 8

2 2 4

x a x a ax

x a a x x a

minus +minus +

+ minus minus b

21 1

1 1

xx

x x

+minus +

+ minus

c 3 1 1

4 4 1 1

x x xx

x x x


minus + d

2

1 1 21

1 1

x

x x x

minus minus

+ minus

e 1 1

x xx x

x x

+ minus

minus minus f

2

3 2

1 1

x

x a x a x a x

+

+ minus minus

UTN-FRT 46

g 1

8minus8119909minus

1

8+8119909+

119909

4+41199092 h

4119909minus3119887

2119909minus 2 +

2119909+119887

3119909

i (1

119909+

2

119886) (

1

119909minus

2

119886) (

119886119909

119886+2119909) j (

1199092

1198862 minus1198862

1199092) ∶ (119909

119886+

119886

119909)

k (1199094 minus1

1199092) ∶ (1199092 +

1

119909) l (

2119909

119909+3minus

119909+1

119909) ∶ (

1199093minus41199092minus3119909

1199092 )


a ( )

( )( )

22 a b aa b a

b a b b a b a b

minus+minus +


a b+ b

a bminus

+

b

a b+

a b

b

+ Otro

b 2 3 4 4 1

2 2 3 3 6 6

a a a

a a a


+ + + es igual a

a 1

6

b

a b Otro

c

2

2

2 4 4

1 1 1

x x x

x x x

minus + minus


2

1

2x xminus

minus minus

2

1

2x xminus minus

2

1



2119886+2minus

3119886minus4

3119886+3+

4119886minus1

6119886+6=

1

6

UTN-FRT 47

UNIDAD Ndeg3

Aacutengulo


Longitud de arco

Triaacutengulos







Teorema del seno

Teorema del coseno

UTN-FRT 48

Nociones previas


dos aacutengulos





bull




Sistema sexagesimal




sexagesimal





1 =

UTN-FRT 49

Longitud de arco









Ejemplos



ii) 4


180deg-----------------

3043deg--------------x


180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889

ii) ---------------------180deg

4

----------------------x

Entonces x=

1801804 45

4

= =



UTN-FRT 50

Elementos


Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860


180deg--------

50deg--------x

Entonces x=50 5

180 18

=


18

=5 metros


Elementos

Propiedades




diferencia






180deg

+ + = 180deg

UTN-FRT 51



360deg

+ + 120574 = 360deg







equilaacutetero


Como + + = 180deg

Entonces



= 96deg

UTN-FRT 52


Triaacutengulos

acutaacutengulos

Triaacutengulos

rectaacutengulos

Triaacutengulos

obtusaacutengulos


agudos






hipotenusa c= =

oshipotenusa c


= =

oscatetoadyacente b

c Ahipotenusa c

= =

echipotenusa c


= =

catetoopuesto atg A



catetoopuesto a= =


bsen B

c= cos

aB

c= t

bg B

a=


UTN-FRT 53



Ten en cuenta




1 Datos b=280 m y c= 415 m

28006747

415

(06747)

4243

bsen B

c

B arcsen

B

= = =

=

=





30631119898119890119905119903119900119904


119888119900119904 3 7deg =52

119888

119888 =52

119888119900119904 3 7deg

119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904


119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904


UTN-FRT 54







Ten en cuenta








normal

UTN-FRT 55











1



os1



catetoopuesto ytg


1os

hipotenusac ec

catetoopuesto y = =

UTN-FRT 56

1ec

hipotenusas


otcatetoadyacente x


= =







4 Como

1 1 1 1

1 1 1 cos 1

y sen

x

minus minus

minus minus



2 2cos 1sen + =

UTN-FRT 57

cos 0cos

sentg

=

1sec cos 0

cos

=

1sec s 0co en

sen

=






Entonces

130

2 2




sen tg

= =

UTN-FRT 58

1 330

33 3

catetoopuesto y ytg



1cos60 30

2sen = =

60 cot 30 3tg g = =





Entonces

3 3cos30

2 2 2



360 cos30

2sen = =

UTN-FRT 59

1 245

22 2



1 2cos45

22 2

catetoadyacente x x




= = = =




Primer

paso


4

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

00

2=

1

2 2

2

3

2

21

2=

Divido en 2

sen α 0 1

2 2

2

3

2

1




Primer

paso


0

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

21

2= 3

2

2

2

1

2

00

2=

Divido en 2

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0

UTN-FRT 60

En resumen


sen α 0 1

2 2

2

3

2

1

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0












7 10 7 12186910


h altura

UTN-FRT 61


121869 121869km a m m=









dos islas


1200 1200

10 10 1200 68055310

tg d tg d d md tg

= = = =


d distancia

UTN-FRT 62


Teorema del seno




opuestos

a b c

sen A sen B senC= =

sen A sen B senC

a b c= =







3

30 45

3 45

30

3 2

a b b

sen A sen B sen sen

senb

sen

b

= =

=

=

UTN-FRT 63


3

30 105

3 105

30

3 6 3 2

2

a c c

sen A senC sen sen

senc

sen

c

= =

=

+ =


2b m

+=

Teorema del coseno







2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + minus

= + minus

= + minus

Ten en cuenta







UTN-FRT 64




2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos32

1858

431

BD AB AD AB AD A

BD

BD

BD

= + minus

= + minus

=

=



Por propiedad

+ + + = 360deg = =



2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos148

18141

1347

AC AB BC AB BC B

AC

AC

AC

= + minus

= + minus

=

=

UTN-FRT 65

Unidad Ndeg3



sexagesimal

a 120587

6

a 5120587

4 b 26 rad

c 2120587

3 d 35 rad e

3120587

2


b 60deg




que

25

20

35

=

=

=


y C


120572 = 60deg


120572 = 18deg


120572 = 20deg



la figura dada




agudo

a) 119904119890119899119860 =3

7

b) 119905119892119860 = 15

UTN-FRT 66

c) 119888119900119904119860 = 03



b A = 38deg b = 15

c b = 12 c = 5

d a = 18 b = 32

e c = 12 a = 14












altura 8 cm




120572 = 60deg 120579 = 60deg

119860119863 = 18 119898

A

B

D

C

UTN-FRT 67









altura de la torre






Complete la tabla

a

c

b

UTN-FRT 68

a

b

c

120572 120573 120574 Aacuterea

30 cm 45 cm 40deg

120 cm 84 cm 60deg

60 m 70 m 5120587

6

25 cm 35deg 68deg

252 m 378 m 434 m


475 cm 70deg 45deg





la figura








UTN-FRT 69









UTN-FRT 70









UTN-FRT 71

UNIDAD Ndeg4










UTN-FRT 72





Ejemplos



Ten en cuenta






2

Pr




Clasificacioacuten

Enteras Racionales



Logariacutetmicas




Ejemplos






UTN-FRT 73


31

4

x

x

minus=






racional no entero













de partida

Ten en cuenta


(CS= )





UTN-FRT 74

9 2 11

9 2 9 11 9

2 2

1 12 2

2 2

1

x

x

x

x

x

+ =

+ minus = minus

=

=

=

Por lo tanto CS= 1





ax bx c a+ + =





2 5 3a b c= = = minus

2

12

1

12

2

5 25 42( 3)4 5 49

2 22 4

5 7 2 1

5 7 2 4 2

5 7 1243

4 4

b b acx

a

x

x

x


minus += = =minus


Por lo tanto CS=1

2 -3


0c


2

2

2

3 12 0

3 12

4

2

2 2

x

x

x

x

x x

minus =

=

=

=

= minus =


UTN-FRT 75


0b y 0c =


( )

22 12 0

2 6 0 2 0 6 0

0 6

x x

x x x x

x x

minus =

minus = = minus =

= =




2

12

4

2

b b acx

a







1 2 5 6 0x xminus + =


reales y distintas

2 2 9 0x x+ + =









1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +

UTN-FRT 76

2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

3 2

1 1 2

1x x x x+ =

minus minus

Resolucioacuten

1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +


denominador

7 + 119909

119909 + 5=

119909 + 3

119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2



7 + 119909

119909 + 5∙

119909 + 2

119909 + 2=

119909 + 3

119909 + 2 ∙

119909 + 5

119909 + 5

(7 + 119909) (119909 + 2)

(119909 + 5) (119909 + 2)=

(119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 2) (119909 + 5)

(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)


7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15

9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15


119909 minus 1 = 0

119909 = 1



5 2

x x

x x

+ +=

+ +

Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3

1 5 6 3 1 2

+ += = =

+ +

Luego 119862119878 = 1

UTN-FRT 77


5 2

x x

x x

+ +=


7 + 119909

119909 + 5minus

119909 + 3

119909 + 2= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 5) (119909 + 2)= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0



119909 minus 1 = 0

119909 = 1


2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +



3119909

2119909 + 1=

119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

21199092 + 3119909 + 1

3119909

2 (119909 +12)

=119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

2(119909 + 1) (119909 +12)


2

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)


3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1

2) + (119909 minus 19)

UTN-FRT 78


31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19


1199092 minus 9119909 + 14 = 0


1199091 = 2 y 1199091 = 7


2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

Si 119909 = 2

32

22 + 1=

2 + 5

2 + 1+

2 minus 19

2 22 + 32 + 1

6

5=

7

3+

(minus17)

15

6

5=

18

15

6

5=

6

5

Si 119909 = 7

37

27 + 1=

7 + 5

7 + 1+

7 minus 19

2 72 + 37 + 1

21

15=

12

8+

(minus12)

120

7

5=

3

2+

(minus1)

10

7

5=

14

10

7

5=

7

5

Luego 119862119878 = 27

UTN-FRT 79

3 23 11 6

2 3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus


23 11 62 3

3 3

x xx con x

x x

minusminus = minus

minus minus

Operando obtenemos

2

2 2

2

2

3 11 2 ( 3) 6

3 3

3 11 2 6 6

3 3

5 6

3 3

5 6 0

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x


minus minus


minus minus

minus= minus

minus minus

minus + =


1 22 3x y x= =


2 33 3

x xx con x

x x

minusminus = minus





23 11 62

3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus

Si x=2

232 112 12 22 622 4 10 4 6

2 3 1 2 3


minus minus minus





1 radic5119909 = 119909

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909


Resolucioacuten

UTN-FRT 80

1 radic5119909 = 119909


miembros

(radic5119909)2

= 1199092

5119909 = 1199092

1199092 minus 5119909 = 0


Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 05

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909



= (119909 minus 4)2

4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16


minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0


Verificacioacuten

Si 119909 = 2


4 + 2 = 2

6 = 2

Si 119909 = 10


4 + 2 radic9 = 10

4 + 23 = 10

UTN-FRT 81

10 = 10

Luego 119862119878 = 10




(radic3119909 + 1)2






1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)

1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4


y 1199092 = 5

Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 15

Inecuaciones






con la letra e

UTN-FRT 82

1

25 35

experiencia

edad

a a

e e



fundamentales















la recta real

1 5 3 4x x+ minus

5 3 5 4 5

3 1

3 1

4 1

1

4

x x

x x

x x x x

x

x

+ minus minus minus

minus minus

+ minus minus +

minus

minus

CS=(-infin -14]

UTN-FRT 83

2 2 1 7xminus +

( )

2 1 1 7 1

2 6

1 1 2 6

2 2

3

x

x

x

x

minus + minus minus

minus

minus minus minus

minus

CS=(-3infin)

UTN-FRT 84












119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ





5 119862 + 32

Despeja 119862





c 4(119909 minus 2) +1

2= minus

1

3(119909 + 2) minus

14

3 d

119909minus2

119909+3minus

119909+1

119909minus3=

5

1199092minus9

e 119909+1

119909minus1minus

119909

119909+1=

119909+5



2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus

119909

2




5

4

5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8


3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0




UTN-FRT 85


nuacutemeros


nuacutemeros




y el resto 9





a 131199092 + 8 = 60

b 31199092 minus 24119909 = 0

c 41199092 minus 20119909 = 75

d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6

e 31199092+6119909

3minus 120 = 0

f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)

g 24119909minus61199092

15= 0

h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909




c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1

21199092 + 5119909 + 8




de modo que




UTN-FRT 86




a) 119886 = 0 119898

b) 119886 =75

4 119898

c) 119886 = 15 119898









9













del marco


UTN-FRT 87


a 6minus119909

1199092+4119909+4minus

1

119909+2=

2

5minus119909 b (

119909+1

119909minus1)

2

+119909+1

119909minus1= 6

c 119909+4

3119909minus6minus

119909minus6

4119909minus8=

119909+1

119909minus2 d

3

119909minus2+

7

119909+2=

119909+1

119909minus2

e 1

119909minus2= 1 +

2

1199092minus2119909 f

2119909minus3

3119909minus2=

119909minus1

2119909

g 2+119909

2minus119909+

2minus119909

2+119909= 2 h

3

119909+5= 1 minus

4

119909minus5

i 119909+1

119909minus1minus

119909+5

1199092minus1=

119909

119909+1












a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5

c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1

21199092 + 5119909 + 8 ge 0


g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0

UTN-FRT 88

UNIDAD Ndeg5

Funciones






Funcioacuten lineal

Dominio y rango

Graacutefica




Domino y rango

Graacutefica



UTN-FRT 89

Funciones




Ejemplos







t 1 2 3 4

d 5 20 45 80




automoacutevil

Dominio Rango

UTN-FRT 90









Notacioacuten




A B

UTN-FRT 91

( )

f A B

x y f x

rarr

rarr =
















Ten en cuenta









UTN-FRT 92







la graacutefica







funcioacuten




UTN-FRT 93


funciones

1 ( ) 2 1f x x= minus


2 1 0

2 1

1

2

x

x

x

minus =

=

=


2 0)


(0) 20 1

(0) 1

f

f

= minus

= minus


2 2( ) 5 6f x x x= minus +


2

2

12

1 2

5 6 0

5 5 416

21

3 2

x x

x

x y x

minus + =

minus=

= =



2(0) 0 50 6

(0) 6

f

f

= minus +

=


Q (0 y)


f (0)

ceros


UTN-FRT 94





isin (a b)





isin (a b)



Enteras Racionales



Logariacutetmicas



Ejemplos



6( )

3 6

xf x

x x

+=

minus


UTN-FRT 95


13( )g x x=



Funcioacuten Lineal









funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


en ℝ





funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


decreciente en ℝ

Ten en cuenta



UTN-FRT 96







ceros


de las abscisas y=0


y=b









2 1

2 1

( )

( )



minus= = = minus

UTN-FRT 97


21

3y x= +

Donde 2

3m = y 1b =



32

4y x= minus +

Donde 3

4m = minus y 2b =






1 2m m=


UTN-FRT 98



1 2 2m m= =




1

1m

m= minus


13

y x= minus minus


las pendientes son

1 3m = y 2

1

3m = minus



general como


1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =

+ =

UTN-FRT 99





Clasificacioacuten

Sistema

compatible

determinado

(SCD)







Sistema

compatible

indeterminado

(SCI)


representa



UTN-FRT 100

Sistema

Incompatible

(SI)



rectas paralelas no









Ejemplos

1 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus




De 1 1

(2)2 2

y x= minus minus


1 12 3

2 2

1 12 3

2 2

5 5

2 2

1

y y

x x

x x

x

x

=

minus = minus minus

+ = minus +

=

=

UTN-FRT 101



De (1) 1y = minus


2 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus



no utilizada



Resolvemos

2 4 3

5 5

1

y y

y

y

minus minus minus =

minus =

= minus



De (2) 1x =


3 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus







2 3 2 3 4 2 6

2 1 2 1 2 1

x y x y x y

x y x y x y




5 5 1x x= =



De (1) 1y = minus

UTN-FRT 102












2 0ax bx c+ + =

Obtenemos 2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus= y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )hminus

UTN-FRT 103




2 0ax bx c+ + =

Obtenemos

2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus=

y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )h

Ceros







raiacuteces reales


sola raiacutez real

1 22

bx x

a= = minus


raiacuteces reales

UTN-FRT 104





bh


2k ah bh c= + +


bx

a= minus




Ejemplos


a El dominio






Resolucioacuten








coordenadas (0 5)


321

h = minus = minus y



UTN-FRT 105


funcioacuten


e Grafica








2( )

4 3

xf x

x

+=

minus

2

2( )

1

xg x

x

minus=

+ y

2

3

9( )

xh x

x x

+=

minus


119863119900119898119891 = ℝ minus 4

3

119863119900119898119892 = ℝ

Rgof=[ 4 )minus

UTN-FRT 106

119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101



f xcx d

+=

+


119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus

119886

119888





yc

=


xc

= minus


1 2

2( )

4

xf x

x x

+=


2 2 5

( )1

xf x

x

minus +=


graacutefica

Resolucioacuten

UTN-FRT 107


2( )

4

xf x

x x

+=





( )1

xf x

x

minus +=





xc



yc




( ) 5f x x= minus 2

( )1

g xx

=minus





)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ

UTN-FRT 108


ldquoFuncionesrdquo


a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1

21199092 + 2119909 minus 5

c 119910 = radic119909 + 1

d 119892(119909) =119909+5

2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (

119909

3)

f 119892(119909) = minus7119909 + 3

g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2

119909+ 5


origen

a 119891(119909) = minus4119909 +1

2 ( )

b 119910 = 5119909 + 4 ( )

c 119910 =4

119909minus 6 ( )

d 119910 = minus1

2119909 +

4

7 ( )


5119909 ( )


a 1198750 (minus1


5

2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2



a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)

b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)

c 1198751(2 3) 1198752(1 2)

d 1198751(6 0) 1198752(0 2)

e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)


coordenados

a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7

c 119910 = minus1

2119909 + 4 d 119910 = minus2119909


a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1

b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4





UTN-FRT 109




2

1


puntos (-2 4) y (4 6)


puntos (-2 -1) y (2

3 0)




clasifiacutecalos

a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4

b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

c 2119909 minus 119910 = minus3

minus3119909 +9

4119910 =

15

2


e minus

2

3119909 + 119910 = 1

minus5119909 + 8119910 = 7 f

minus119909 + 3119910 = minus1

4

2119909 minus 6119910 =1

2

g 1

2119909 minus 119910 = minus

1

2

minus5119909 + 8119910 = 8

h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1












UTN-FRT 110









a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5

b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15

c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3

d 119910 = 41199092 + 1

e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7

f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3


g El dominio












funciones

d El rango







UTN-FRT 111






a b c Tipo de


Dos

puntos

Ninguacuten

punto

1 minus7 6

minus1 3 minus4


1 0 minus4

radic3 6 3radic3


a b




2 minus

9

2) y corta al


UTN-FRT 112
















119877(119909) = minus1

401199092 +

7

2119909 para 0 lt 119909 lt 120











a 119891(119909) =119909+1

5minus4119909 b 119892(119909) =

3minus119909

1199092+4

c ℎ(119909) =1+1199092

1199093minus119909 d 119891(119909) =

7119909

1199092minus16

UTN-FRT 113



a 119891(119909) =3+2119909

5119909minus1

b 119892(119909) =3

2119909minus4

c ℎ(119909) =3minus2119909

4119909

d 119891(119909) =2+3119909

5minus119909


a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1

b 119892(119909) =3119909

radic119909+4


UTN-FRT 4






Ejemplo A= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9







Unioacuten

Ejemplo



A B C etc



abc etc


llaves

Ejemplo



conjunto

119886 notin A



A sub B



A B

UTN-FRT 5



A U B = x x A x B

Interseccioacuten



A cap B = x x A x B





Entonces

ℕ =ℤ+ = 1 2 3 4 5


ℕ0 = 0 1 2 3 4 5

Propiedades









naturales es decir




UTN-FRT 6






ℤ = hellip -3 -2 -1 0 1 2 3 hellip




ℤ+= 1 2 3 4 5 hellip

Propiedades
















ℚ = 119886

119887119886 119887 isin 119885 119888119900119899 119887 ne 0

Propiedades








UTN-FRT 7






Ejemplos





ejemplos

Ejemplos


05 =5

10=

1

2

minus243

= minus243

100

14456

=14456

1000

=1807

125


0 4⏜ =4

9

8 13⏜

=813 minus 8

99

=805

99

UTN-FRT 8






119868 = 119886119886 notin ℚ

Ejemplos


120587 = 314159hellip

radic53

= 1709975hellip

e = 2718281828459045hellip

Nuacutemeros Reales






Naturales ℕ0



Irracionales 119868


01 8⏜

=18 minus 1

90

=17

90

73 16⏜

=7316 minus 73

990

=7243

990

UTN-FRT 9

Propiedades















Nombre de

la propiedad


Ley de

composicioacuten

interna




forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886


forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)

Elemento

neutro



Existencia

del


UTN-FRT 10

Ten en cuenta


119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939


120783120785 |120785

minus120783120784 120786

120783

por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783






real

POTENCIACIOacuteN


define como


Ademaacutes si ane0

a0=1 y a-n=1

119886119899

Ejemplos

elemento


1

119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1


forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886

ORIGEN


UTN-FRT 11

1 23=8 porque 23=222

2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)

3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)

4 -22=-4

5 (2

5)

2=

2

5

2

5=

4

25


Propiedad Ejemplos

119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78

119886119899

119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0

6minus3


(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310

(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093

(119886

119887)

119899

=119886119899

119887119899 (

119910

minus3)

2

=1199102

(minus3)2=

1199102

9

Ejemplos


1199092

2 (2

311990921199103)

4= (

2

3)

4(1199092)4(1199103)4 =

16

8111990924

11991034=

16

81119909811991012

Ten en cuenta


Ejemplos

1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22

2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12

RADICACIOacuteN



radic119886119899


Ejemplo radic273

= 3porque 33=27

UTN-FRT 12



radic119886119899




Ejemplos

1 radic81 = 9

2 radicminus83

= minus3


4 radic25

9=

5

3


Propiedad Ejemplos

radic119886 119887119899

= radic119886119899

radic119887119899


radic119886

119887

119899=

radic119886119899

119887 119887 ne 0 radic

8

343

3

=radic83

radic3433 =

2

7


119898

= radic119886119898119899

radicradic643

= radic646

= 2

119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899

119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899


3)

2= 4


= minus5


Ejemplos

1 2

radic7=

2

radic7

radic7

radic7=

2radic7

(radic7)2 =

2radic7

7

2 2

radic11990925 =2

radic11990925

radic11990935

radic11990935 =2 radic11990935

radic119909211990935 =2 radic11990935

radic11990955 =2 radic11990935

119909 119909 ne 0


3 3

radic119909+119910=

3

radic119909+119910




(radic119909)2

minus1199102=


119909minus1199102

UTN-FRT 13

Ten en cuenta


Ejemplo


radic100 ne 6 + 8

10 ne 14

INTERVALOS REALES


Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887




119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887

119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887


(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886

[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886




Ejemplos


UTN-FRT 14



VALOR ABSOLUTO


|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0



Ejemplos

a) |0| = 0 porque 0 ge 0

b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0

c) |7 | = 7 porque 7 ge 0

Algunas propiedades



3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|

4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|

5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|




|119909 + 1| = 7

119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7

119909 = 6oacute119909 = minus8

119862119878 = minus86


UTN-FRT 15

|2119909 minus 3| le 1


minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3

2 le 2119909 le 4

21

2le 2119909

1

2le 4

1

2

1 le 119909 le 2

119862119878 = [12]

Ten en cuenta



119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|

Ejemplo



pequentildeos

Ejemplos






Ejemplos








UTN-FRT 16

1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)

= 21404 x 104=21404 x 105

2 (216119909104)(125611990910minus12)

31711990910minus18 = 856119909109






e incoacutegnitas





UTN-FRT 17

Ten en cuenta




Donde a y b son

catetos y h es la

hipotenusa

UTN-FRT 18






es (2πR) 2




Ejecutamos el plan


UTN-FRT 19






Verificamos


un aacuterea


2 2 2

2 2 2

2 4

4 2

16 4

12 2 3

a

a

a

a

+ =

= minus

= minus

= =

UTN-FRT 20




4 120587

B = radicminus113

-3 -025 0 -2 120587 -radic3

3 C =

1

2 0 -2 radic9 120587 -

radic3

3







a 25

14 b

3

11 c

77

36 d

61

9






negativo



a (3 + 4)2 = 32 + 42

b (12 4)2 = 122 42

c 32 34 33 = 39

d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910

e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873

f radic36 + 64 = radic36 + 8

g (42)345 = 4



UTN-FRT 21

j (1198862)3 = 119886(23)



a (2 1199093 119910minus3

8 1199094 1199102 )minus1

b (7 1198864 119887minus4

2 1198862 1198872 )minus2

c (3 119909minus3 1199104

10 1199092 1199106)minus1

d (5 1198862 1198873


e (9 119909 119911minus2

27 119909minus4 119911)

minus3

f (3 1199092 1199105

1199093 119910)

3

7 Resuelve

a 427+2(minus6)


1

2)

2


075minus0625)

2

c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05


e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1

10119910+1102119910+1 f radicradic1633

+ radic33

radic323radic363

+ [2 (1

3+ 1)]

2

[(3

5minus 3)

5

3]

2



c radic3 radic3

radic34

5


f

119886minus2radic1

119886

radic119886minus53


a 3

radic2 b

2minus119909

radic119909 c

3 119886

radic9 119886 d

119909minus119910


e minus7

radic11988623 f 2

radic119911minus3 g

5

radic1199094 h

4minus1199092

2+radic119909


i 119909+119910


119909minus119910


119909+119910







UTN-FRT 22


9800 habitantes


con 119875 =221minus3119905








elaborado






que 5


o igual que 4


a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16



a 324517 x 104 b 716392 x 10-5

c 000000842 d 00025 x 107

UTN-FRT 23

e 542000000000 f 64317 x 10-6


a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)

317 10minus18

c 921 108

306 105 d (233 104)(411 103)












3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898


(1

3radic5 +

1

2) 119888119898


119888119898 y de base

3(radic3)minus1

119888119898




UTN-FRT 24


del cuadrado









05 m




UTN-FRT 25






a)

b)

c) d)

UTN-FRT 26

e) f)






UTN-FRT 27

UNIDAD Ndeg2


Polinomios



Regla de Ruffini




fraccionarias

UTN-FRT 28




Ejemplos

1 2120587radic119871

119892 2

7

119910minus 1199092 3 1199070119905 +

1

21198921199052

4 119909minus5

radic119909minus53


3-









cualquiera

(a+b)2






km en x horas

yx


119909+119910 119909 ne minus119910




Irracionales

UTN-FRT 29

Ejemplos







1199102 3

4+ 119909 +

1

119909




119905 11991123 + 119911minus12 119909 +

2

radic119909





Ejemplos

I)minus1

511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902





Ejemplos

I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1







UTN-FRT 30













3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909


119875(1) = minus2(1)3 +1


1

3minus 1 = minus

8

3



1

3minus 1 =

2

3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0

119875(minus1) + 119876(0) =2

3+ 0 =

2

3



Ejemplo P(x) = 1




opuestos


51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +

1





Grado P=4

UTN-FRT 31






41199092 minus 6

119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)

= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6

= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)

= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5





3119909 + 41199092 minus 6



= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)

= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7






119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)




Ten en cuenta


UTN-FRT 32






Ten en cuenta






31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2

+ minus 31199093 minus 6119909 + 2

minus31199095 + 61199093

61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1

+

minus61199093 + 12119909

minus21199092 + 12119909 + 1

+

21199092 minus 4

12119909 minus 3


Ten en cuenta


(PQ)= m-n


exacto es decir

i) P(x)=C(x) Q(x)



UTN-FRT 33

Regla de Ruffini




119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3

minus3|


15 minus45 39


09

9





119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0

Teorema del resto




i) P(x)=C(x) (x-a)






Ten en cuenta


complejas


Coeficientes del

dividendo

Coeficientes del

cociente

resto

Coefic

ientes

del

divide

ndo

UTN-FRT 34



un cero real


Factor comuacuten




1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)








= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)

= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)

= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)




cuadrados




41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2

UTN-FRT 35







31198861198872 + 1198873


31198861198872 minus 1198873








41199102

251199092 minus1

41199102 = (5119909)2 minus (

1

2119910)

2

= (5119909 +1

2119910) (5119909 minus

1

2119910)


Si n es par









suma por la segunda


UTN-FRT 36


Ten en cuenta








simples



Ejemplos



2 Si 119876(119909) =1








1199093 = 0

1199094 = minus5






UTN-FRT 37


119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6











119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1

minus1 |


1 minus5 6 0


2 |

1 minus5 62 minus6

1 minus3 0





Divisores -1 1


Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6

El cociente es

( ) 2 5 6C x xx = minus +

El cociente es

( ) 3C x x= minus

UTN-FRT 38






2119886 donde 1199091 =


2119886 y 1199092 =


2119886


119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)



119876(119909) se


Ejemplos

1 119909minus5

2119909minus1 119909 ne

1

2

2 1199092minus36

31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6




Simplificacioacuten

Sea 119875(119909)



ambos


31199092minus12119909

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4)=

(119909+4)

3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4

UTN-FRT 39

Multiplicacioacuten





1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1

1199094 minus 1

1199092 + 6119909 + 9sdot

1199092 + 3119909

1199092 minus 1sdot

7

1199092 + 1=

(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)

(119909 + 3)2sdot

119909(119909 + 3)

(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot

7

1199092 + 1 119909

ne minus3 minus11

1199094minus1

1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1=

(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)

(119909+3)2 sdot119909(119909+3)

(119909minus1)(119909+1)sdot

7

1199092+1=

7119909

119909+3 119909 ne minus3 minus11

Divisioacuten



la segunda


119909+5

1199092minus119909

1199092minus25

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5)=

119909 minus 1

119909 + 5sdot

(119909 minus 5)(119909 + 5)

119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015

119909minus1

119909+5

1199092minus119909

1199092minus25=

119909minus1

119909+5sdot

(119909minus5)(119909+5)

119909(119909minus1)=

119909minus5

119909 119909 ne minus5015


119875(119909)

119876(119909)119877(119909)

119878(119909)=

119875(119909)

119876(119909)sdot

119878(119909)

119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0





exponente

UTN-FRT 40



1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)

1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2

1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)




denominadores




119909minus1minus

119909+1

1199092minus1

119909+4

119909minus1minus

119909+1

1199092minus1=

119909+4

119909minus1minus

119909+1

(119909minus1)(119909+1)=

119909+4

119909minus1minus

1



119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

1199092 minus 1=

119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

(119909 minus 1)(119909 + 1)=

119909 + 4

119909 minus 1minus

1

119909 minus 1=

119909 + 4 minus 1

119909 minus 1=

119909 + 3

119909 minus 1 119909 ne minus11





1199092+3119909minus10minus

2119909+4

1199092minus4

119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2(119909 + 2)

(119909 minus 2)(119909 + 2)=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909

ne minus5 minus22


119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909 ne minus52

=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)

(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52

UTN-FRT 41




Expresioacuten

algebraica

Racional

entera

Racional no

entera

irracional

2 31 1

1

xx

x

minus+

minus

2 314

2x xy xminus minus


2 135x y x+



a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2

31199095 minus 119909 minus 2



x=0 x=1 x=-1 x=2

a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17

b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909

c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13



b) El aacuterea


los 6 cuadrados




UTN-FRT 42


a b

c d











b)(51199093 +1

21199092 minus 3119909 +

3

4) + (

4

51199093 + 31199092 +

1

5119909 minus

1

2)

UTN-FRT 43

c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)



f) (31199093 minus1

21199092 + 2119909 minus 2) (

2

31199092 minus 1)

g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)

h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)

i) (1

21199094 +

8

31199093 +

1

21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (

1

2119909 + 3)


119909 minus 2


a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)

b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)

c) (1199094 minus1

21199093 +

1

31199092 minus

1

4119909 +

1

5) ∶ (119909 minus 1)

d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)

e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)

f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)

g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)


a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3

b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5

c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1




UTN-FRT 44


(119909 minus 5)






dos









a) 1611988621199092 minus 411990931198863

b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092

c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14

d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909

e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1

f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910

g) 4

251198864 minus

1

91199092

h) 25

1198982 minus 36

i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887

j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901

k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096

l) 1199103 +3

41199102 +

3

16119910 +

1

64

m) 1199092 + 36 minus 12119909

n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103

UTN-FRT 45

o) 1199093

27minus

1198861199092

3+ 1198862119909 minus 1198863



a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6


e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6














a) 1199094minus31199092+5119909minus3

119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1

b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15

119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3

c) 1199093+1

119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1


a 2

2 2 8

2 2 4

x a x a ax

x a a x x a

minus +minus +

+ minus minus b

21 1

1 1

xx

x x

+minus +

+ minus

c 3 1 1

4 4 1 1

x x xx

x x x


minus + d

2

1 1 21

1 1

x

x x x

minus minus

+ minus

e 1 1

x xx x

x x

+ minus

minus minus f

2

3 2

1 1

x

x a x a x a x

+

+ minus minus

UTN-FRT 46

g 1

8minus8119909minus

1

8+8119909+

119909

4+41199092 h

4119909minus3119887

2119909minus 2 +

2119909+119887

3119909

i (1

119909+

2

119886) (

1

119909minus

2

119886) (

119886119909

119886+2119909) j (

1199092

1198862 minus1198862

1199092) ∶ (119909

119886+

119886

119909)

k (1199094 minus1

1199092) ∶ (1199092 +

1

119909) l (

2119909

119909+3minus

119909+1

119909) ∶ (

1199093minus41199092minus3119909

1199092 )


a ( )

( )( )

22 a b aa b a

b a b b a b a b

minus+minus +


a b+ b

a bminus

+

b

a b+

a b

b

+ Otro

b 2 3 4 4 1

2 2 3 3 6 6

a a a

a a a


+ + + es igual a

a 1

6

b

a b Otro

c

2

2

2 4 4

1 1 1

x x x

x x x

minus + minus


2

1

2x xminus

minus minus

2

1

2x xminus minus

2

1



2119886+2minus

3119886minus4

3119886+3+

4119886minus1

6119886+6=

1

6

UTN-FRT 47

UNIDAD Ndeg3

Aacutengulo


Longitud de arco

Triaacutengulos







Teorema del seno

Teorema del coseno

UTN-FRT 48

Nociones previas


dos aacutengulos





bull




Sistema sexagesimal




sexagesimal





1 =

UTN-FRT 49

Longitud de arco









Ejemplos



ii) 4


180deg-----------------

3043deg--------------x


180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889

ii) ---------------------180deg

4

----------------------x

Entonces x=

1801804 45

4

= =



UTN-FRT 50

Elementos


Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860


180deg--------

50deg--------x

Entonces x=50 5

180 18

=


18

=5 metros


Elementos

Propiedades




diferencia






180deg

+ + = 180deg

UTN-FRT 51



360deg

+ + 120574 = 360deg







equilaacutetero


Como + + = 180deg

Entonces



= 96deg

UTN-FRT 52


Triaacutengulos

acutaacutengulos

Triaacutengulos

rectaacutengulos

Triaacutengulos

obtusaacutengulos


agudos






hipotenusa c= =

oshipotenusa c


= =

oscatetoadyacente b

c Ahipotenusa c

= =

echipotenusa c


= =

catetoopuesto atg A



catetoopuesto a= =


bsen B

c= cos

aB

c= t

bg B

a=


UTN-FRT 53



Ten en cuenta




1 Datos b=280 m y c= 415 m

28006747

415

(06747)

4243

bsen B

c

B arcsen

B

= = =

=

=





30631119898119890119905119903119900119904


119888119900119904 3 7deg =52

119888

119888 =52

119888119900119904 3 7deg

119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904


119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904


UTN-FRT 54







Ten en cuenta








normal

UTN-FRT 55











1



os1



catetoopuesto ytg


1os

hipotenusac ec

catetoopuesto y = =

UTN-FRT 56

1ec

hipotenusas


otcatetoadyacente x


= =







4 Como

1 1 1 1

1 1 1 cos 1

y sen

x

minus minus

minus minus



2 2cos 1sen + =

UTN-FRT 57

cos 0cos

sentg

=

1sec cos 0

cos

=

1sec s 0co en

sen

=






Entonces

130

2 2




sen tg

= =

UTN-FRT 58

1 330

33 3

catetoopuesto y ytg



1cos60 30

2sen = =

60 cot 30 3tg g = =





Entonces

3 3cos30

2 2 2



360 cos30

2sen = =

UTN-FRT 59

1 245

22 2



1 2cos45

22 2

catetoadyacente x x




= = = =




Primer

paso


4

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

00

2=

1

2 2

2

3

2

21

2=

Divido en 2

sen α 0 1

2 2

2

3

2

1




Primer

paso


0

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

21

2= 3

2

2

2

1

2

00

2=

Divido en 2

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0

UTN-FRT 60

En resumen


sen α 0 1

2 2

2

3

2

1

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0












7 10 7 12186910


h altura

UTN-FRT 61


121869 121869km a m m=









dos islas


1200 1200

10 10 1200 68055310

tg d tg d d md tg

= = = =


d distancia

UTN-FRT 62


Teorema del seno




opuestos

a b c

sen A sen B senC= =

sen A sen B senC

a b c= =







3

30 45

3 45

30

3 2

a b b

sen A sen B sen sen

senb

sen

b

= =

=

=

UTN-FRT 63


3

30 105

3 105

30

3 6 3 2

2

a c c

sen A senC sen sen

senc

sen

c

= =

=

+ =


2b m

+=

Teorema del coseno







2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + minus

= + minus

= + minus

Ten en cuenta







UTN-FRT 64




2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos32

1858

431

BD AB AD AB AD A

BD

BD

BD

= + minus

= + minus

=

=



Por propiedad

+ + + = 360deg = =



2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos148

18141

1347

AC AB BC AB BC B

AC

AC

AC

= + minus

= + minus

=

=

UTN-FRT 65

Unidad Ndeg3



sexagesimal

a 120587

6

a 5120587

4 b 26 rad

c 2120587

3 d 35 rad e

3120587

2


b 60deg




que

25

20

35

=

=

=


y C


120572 = 60deg


120572 = 18deg


120572 = 20deg



la figura dada




agudo

a) 119904119890119899119860 =3

7

b) 119905119892119860 = 15

UTN-FRT 66

c) 119888119900119904119860 = 03



b A = 38deg b = 15

c b = 12 c = 5

d a = 18 b = 32

e c = 12 a = 14












altura 8 cm




120572 = 60deg 120579 = 60deg

119860119863 = 18 119898

A

B

D

C

UTN-FRT 67









altura de la torre






Complete la tabla

a

c

b

UTN-FRT 68

a

b

c

120572 120573 120574 Aacuterea

30 cm 45 cm 40deg

120 cm 84 cm 60deg

60 m 70 m 5120587

6

25 cm 35deg 68deg

252 m 378 m 434 m


475 cm 70deg 45deg





la figura








UTN-FRT 69









UTN-FRT 70









UTN-FRT 71

UNIDAD Ndeg4










UTN-FRT 72





Ejemplos



Ten en cuenta






2

Pr




Clasificacioacuten

Enteras Racionales



Logariacutetmicas




Ejemplos






UTN-FRT 73


31

4

x

x

minus=






racional no entero













de partida

Ten en cuenta


(CS= )





UTN-FRT 74

9 2 11

9 2 9 11 9

2 2

1 12 2

2 2

1

x

x

x

x

x

+ =

+ minus = minus

=

=

=

Por lo tanto CS= 1





ax bx c a+ + =





2 5 3a b c= = = minus

2

12

1

12

2

5 25 42( 3)4 5 49

2 22 4

5 7 2 1

5 7 2 4 2

5 7 1243

4 4

b b acx

a

x

x

x


minus += = =minus


Por lo tanto CS=1

2 -3


0c


2

2

2

3 12 0

3 12

4

2

2 2

x

x

x

x

x x

minus =

=

=

=

= minus =


UTN-FRT 75


0b y 0c =


( )

22 12 0

2 6 0 2 0 6 0

0 6

x x

x x x x

x x

minus =

minus = = minus =

= =




2

12

4

2

b b acx

a







1 2 5 6 0x xminus + =


reales y distintas

2 2 9 0x x+ + =









1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +

UTN-FRT 76

2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

3 2

1 1 2

1x x x x+ =

minus minus

Resolucioacuten

1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +


denominador

7 + 119909

119909 + 5=

119909 + 3

119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2



7 + 119909

119909 + 5∙

119909 + 2

119909 + 2=

119909 + 3

119909 + 2 ∙

119909 + 5

119909 + 5

(7 + 119909) (119909 + 2)

(119909 + 5) (119909 + 2)=

(119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 2) (119909 + 5)

(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)


7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15

9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15


119909 minus 1 = 0

119909 = 1



5 2

x x

x x

+ +=

+ +

Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3

1 5 6 3 1 2

+ += = =

+ +

Luego 119862119878 = 1

UTN-FRT 77


5 2

x x

x x

+ +=


7 + 119909

119909 + 5minus

119909 + 3

119909 + 2= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 5) (119909 + 2)= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0



119909 minus 1 = 0

119909 = 1


2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +



3119909

2119909 + 1=

119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

21199092 + 3119909 + 1

3119909

2 (119909 +12)

=119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

2(119909 + 1) (119909 +12)


2

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)


3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1

2) + (119909 minus 19)

UTN-FRT 78


31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19


1199092 minus 9119909 + 14 = 0


1199091 = 2 y 1199091 = 7


2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

Si 119909 = 2

32

22 + 1=

2 + 5

2 + 1+

2 minus 19

2 22 + 32 + 1

6

5=

7

3+

(minus17)

15

6

5=

18

15

6

5=

6

5

Si 119909 = 7

37

27 + 1=

7 + 5

7 + 1+

7 minus 19

2 72 + 37 + 1

21

15=

12

8+

(minus12)

120

7

5=

3

2+

(minus1)

10

7

5=

14

10

7

5=

7

5

Luego 119862119878 = 27

UTN-FRT 79

3 23 11 6

2 3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus


23 11 62 3

3 3

x xx con x

x x

minusminus = minus

minus minus

Operando obtenemos

2

2 2

2

2

3 11 2 ( 3) 6

3 3

3 11 2 6 6

3 3

5 6

3 3

5 6 0

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x


minus minus


minus minus

minus= minus

minus minus

minus + =


1 22 3x y x= =


2 33 3

x xx con x

x x

minusminus = minus





23 11 62

3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus

Si x=2

232 112 12 22 622 4 10 4 6

2 3 1 2 3


minus minus minus





1 radic5119909 = 119909

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909


Resolucioacuten

UTN-FRT 80

1 radic5119909 = 119909


miembros

(radic5119909)2

= 1199092

5119909 = 1199092

1199092 minus 5119909 = 0


Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 05

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909



= (119909 minus 4)2

4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16


minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0


Verificacioacuten

Si 119909 = 2


4 + 2 = 2

6 = 2

Si 119909 = 10


4 + 2 radic9 = 10

4 + 23 = 10

UTN-FRT 81

10 = 10

Luego 119862119878 = 10




(radic3119909 + 1)2






1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)

1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4


y 1199092 = 5

Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 15

Inecuaciones






con la letra e

UTN-FRT 82

1

25 35

experiencia

edad

a a

e e



fundamentales















la recta real

1 5 3 4x x+ minus

5 3 5 4 5

3 1

3 1

4 1

1

4

x x

x x

x x x x

x

x

+ minus minus minus

minus minus

+ minus minus +

minus

minus

CS=(-infin -14]

UTN-FRT 83

2 2 1 7xminus +

( )

2 1 1 7 1

2 6

1 1 2 6

2 2

3

x

x

x

x

minus + minus minus

minus

minus minus minus

minus

CS=(-3infin)

UTN-FRT 84












119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ





5 119862 + 32

Despeja 119862





c 4(119909 minus 2) +1

2= minus

1

3(119909 + 2) minus

14

3 d

119909minus2

119909+3minus

119909+1

119909minus3=

5

1199092minus9

e 119909+1

119909minus1minus

119909

119909+1=

119909+5



2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus

119909

2




5

4

5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8


3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0




UTN-FRT 85


nuacutemeros


nuacutemeros




y el resto 9





a 131199092 + 8 = 60

b 31199092 minus 24119909 = 0

c 41199092 minus 20119909 = 75

d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6

e 31199092+6119909

3minus 120 = 0

f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)

g 24119909minus61199092

15= 0

h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909




c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1

21199092 + 5119909 + 8




de modo que




UTN-FRT 86




a) 119886 = 0 119898

b) 119886 =75

4 119898

c) 119886 = 15 119898









9













del marco


UTN-FRT 87


a 6minus119909

1199092+4119909+4minus

1

119909+2=

2

5minus119909 b (

119909+1

119909minus1)

2

+119909+1

119909minus1= 6

c 119909+4

3119909minus6minus

119909minus6

4119909minus8=

119909+1

119909minus2 d

3

119909minus2+

7

119909+2=

119909+1

119909minus2

e 1

119909minus2= 1 +

2

1199092minus2119909 f

2119909minus3

3119909minus2=

119909minus1

2119909

g 2+119909

2minus119909+

2minus119909

2+119909= 2 h

3

119909+5= 1 minus

4

119909minus5

i 119909+1

119909minus1minus

119909+5

1199092minus1=

119909

119909+1












a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5

c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1

21199092 + 5119909 + 8 ge 0


g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0

UTN-FRT 88

UNIDAD Ndeg5

Funciones






Funcioacuten lineal

Dominio y rango

Graacutefica




Domino y rango

Graacutefica



UTN-FRT 89

Funciones




Ejemplos







t 1 2 3 4

d 5 20 45 80




automoacutevil

Dominio Rango

UTN-FRT 90









Notacioacuten




A B

UTN-FRT 91

( )

f A B

x y f x

rarr

rarr =
















Ten en cuenta









UTN-FRT 92







la graacutefica







funcioacuten




UTN-FRT 93


funciones

1 ( ) 2 1f x x= minus


2 1 0

2 1

1

2

x

x

x

minus =

=

=


2 0)


(0) 20 1

(0) 1

f

f

= minus

= minus


2 2( ) 5 6f x x x= minus +


2

2

12

1 2

5 6 0

5 5 416

21

3 2

x x

x

x y x

minus + =

minus=

= =



2(0) 0 50 6

(0) 6

f

f

= minus +

=


Q (0 y)


f (0)

ceros


UTN-FRT 94





isin (a b)





isin (a b)



Enteras Racionales



Logariacutetmicas



Ejemplos



6( )

3 6

xf x

x x

+=

minus


UTN-FRT 95


13( )g x x=



Funcioacuten Lineal









funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


en ℝ





funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


decreciente en ℝ

Ten en cuenta



UTN-FRT 96







ceros


de las abscisas y=0


y=b









2 1

2 1

( )

( )



minus= = = minus

UTN-FRT 97


21

3y x= +

Donde 2

3m = y 1b =



32

4y x= minus +

Donde 3

4m = minus y 2b =






1 2m m=


UTN-FRT 98



1 2 2m m= =




1

1m

m= minus


13

y x= minus minus


las pendientes son

1 3m = y 2

1

3m = minus



general como


1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =

+ =

UTN-FRT 99





Clasificacioacuten

Sistema

compatible

determinado

(SCD)







Sistema

compatible

indeterminado

(SCI)


representa



UTN-FRT 100

Sistema

Incompatible

(SI)



rectas paralelas no









Ejemplos

1 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus




De 1 1

(2)2 2

y x= minus minus


1 12 3

2 2

1 12 3

2 2

5 5

2 2

1

y y

x x

x x

x

x

=

minus = minus minus

+ = minus +

=

=

UTN-FRT 101



De (1) 1y = minus


2 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus



no utilizada



Resolvemos

2 4 3

5 5

1

y y

y

y

minus minus minus =

minus =

= minus



De (2) 1x =


3 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus







2 3 2 3 4 2 6

2 1 2 1 2 1

x y x y x y

x y x y x y




5 5 1x x= =



De (1) 1y = minus

UTN-FRT 102












2 0ax bx c+ + =

Obtenemos 2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus= y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )hminus

UTN-FRT 103




2 0ax bx c+ + =

Obtenemos

2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus=

y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )h

Ceros







raiacuteces reales


sola raiacutez real

1 22

bx x

a= = minus


raiacuteces reales

UTN-FRT 104





bh


2k ah bh c= + +


bx

a= minus




Ejemplos


a El dominio






Resolucioacuten








coordenadas (0 5)


321

h = minus = minus y



UTN-FRT 105


funcioacuten


e Grafica








2( )

4 3

xf x

x

+=

minus

2

2( )

1

xg x

x

minus=

+ y

2

3

9( )

xh x

x x

+=

minus


119863119900119898119891 = ℝ minus 4

3

119863119900119898119892 = ℝ

Rgof=[ 4 )minus

UTN-FRT 106

119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101



f xcx d

+=

+


119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus

119886

119888





yc

=


xc

= minus


1 2

2( )

4

xf x

x x

+=


2 2 5

( )1

xf x

x

minus +=


graacutefica

Resolucioacuten

UTN-FRT 107


2( )

4

xf x

x x

+=





( )1

xf x

x

minus +=





xc



yc




( ) 5f x x= minus 2

( )1

g xx

=minus





)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ

UTN-FRT 108


ldquoFuncionesrdquo


a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1

21199092 + 2119909 minus 5

c 119910 = radic119909 + 1

d 119892(119909) =119909+5

2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (

119909

3)

f 119892(119909) = minus7119909 + 3

g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2

119909+ 5


origen

a 119891(119909) = minus4119909 +1

2 ( )

b 119910 = 5119909 + 4 ( )

c 119910 =4

119909minus 6 ( )

d 119910 = minus1

2119909 +

4

7 ( )


5119909 ( )


a 1198750 (minus1


5

2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2



a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)

b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)

c 1198751(2 3) 1198752(1 2)

d 1198751(6 0) 1198752(0 2)

e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)


coordenados

a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7

c 119910 = minus1

2119909 + 4 d 119910 = minus2119909


a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1

b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4





UTN-FRT 109




2

1


puntos (-2 4) y (4 6)


puntos (-2 -1) y (2

3 0)




clasifiacutecalos

a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4

b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

c 2119909 minus 119910 = minus3

minus3119909 +9

4119910 =

15

2


e minus

2

3119909 + 119910 = 1

minus5119909 + 8119910 = 7 f

minus119909 + 3119910 = minus1

4

2119909 minus 6119910 =1

2

g 1

2119909 minus 119910 = minus

1

2

minus5119909 + 8119910 = 8

h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1












UTN-FRT 110









a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5

b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15

c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3

d 119910 = 41199092 + 1

e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7

f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3


g El dominio












funciones

d El rango







UTN-FRT 111






a b c Tipo de


Dos

puntos

Ninguacuten

punto

1 minus7 6

minus1 3 minus4


1 0 minus4

radic3 6 3radic3


a b




2 minus

9

2) y corta al


UTN-FRT 112
















119877(119909) = minus1

401199092 +

7

2119909 para 0 lt 119909 lt 120











a 119891(119909) =119909+1

5minus4119909 b 119892(119909) =

3minus119909

1199092+4

c ℎ(119909) =1+1199092

1199093minus119909 d 119891(119909) =

7119909

1199092minus16

UTN-FRT 113



a 119891(119909) =3+2119909

5119909minus1

b 119892(119909) =3

2119909minus4

c ℎ(119909) =3minus2119909

4119909

d 119891(119909) =2+3119909

5minus119909


a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1

b 119892(119909) =3119909

radic119909+4


UTN-FRT 5



A U B = x x A x B

Interseccioacuten



A cap B = x x A x B





Entonces

ℕ =ℤ+ = 1 2 3 4 5


ℕ0 = 0 1 2 3 4 5

Propiedades









naturales es decir




UTN-FRT 6






ℤ = hellip -3 -2 -1 0 1 2 3 hellip




ℤ+= 1 2 3 4 5 hellip

Propiedades
















ℚ = 119886

119887119886 119887 isin 119885 119888119900119899 119887 ne 0

Propiedades








UTN-FRT 7






Ejemplos





ejemplos

Ejemplos


05 =5

10=

1

2

minus243

= minus243

100

14456

=14456

1000

=1807

125


0 4⏜ =4

9

8 13⏜

=813 minus 8

99

=805

99

UTN-FRT 8






119868 = 119886119886 notin ℚ

Ejemplos


120587 = 314159hellip

radic53

= 1709975hellip

e = 2718281828459045hellip

Nuacutemeros Reales






Naturales ℕ0



Irracionales 119868


01 8⏜

=18 minus 1

90

=17

90

73 16⏜

=7316 minus 73

990

=7243

990

UTN-FRT 9

Propiedades















Nombre de

la propiedad


Ley de

composicioacuten

interna




forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886


forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)

Elemento

neutro



Existencia

del


UTN-FRT 10

Ten en cuenta


119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939


120783120785 |120785

minus120783120784 120786

120783

por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783






real

POTENCIACIOacuteN


define como


Ademaacutes si ane0

a0=1 y a-n=1

119886119899

Ejemplos

elemento


1

119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1


forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886

ORIGEN


UTN-FRT 11

1 23=8 porque 23=222

2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)

3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)

4 -22=-4

5 (2

5)

2=

2

5

2

5=

4

25


Propiedad Ejemplos

119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78

119886119899

119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0

6minus3


(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310

(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093

(119886

119887)

119899

=119886119899

119887119899 (

119910

minus3)

2

=1199102

(minus3)2=

1199102

9

Ejemplos


1199092

2 (2

311990921199103)

4= (

2

3)

4(1199092)4(1199103)4 =

16

8111990924

11991034=

16

81119909811991012

Ten en cuenta


Ejemplos

1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22

2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12

RADICACIOacuteN



radic119886119899


Ejemplo radic273

= 3porque 33=27

UTN-FRT 12



radic119886119899




Ejemplos

1 radic81 = 9

2 radicminus83

= minus3


4 radic25

9=

5

3


Propiedad Ejemplos

radic119886 119887119899

= radic119886119899

radic119887119899


radic119886

119887

119899=

radic119886119899

119887 119887 ne 0 radic

8

343

3

=radic83

radic3433 =

2

7


119898

= radic119886119898119899

radicradic643

= radic646

= 2

119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899

119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899


3)

2= 4


= minus5


Ejemplos

1 2

radic7=

2

radic7

radic7

radic7=

2radic7

(radic7)2 =

2radic7

7

2 2

radic11990925 =2

radic11990925

radic11990935

radic11990935 =2 radic11990935

radic119909211990935 =2 radic11990935

radic11990955 =2 radic11990935

119909 119909 ne 0


3 3

radic119909+119910=

3

radic119909+119910




(radic119909)2

minus1199102=


119909minus1199102

UTN-FRT 13

Ten en cuenta


Ejemplo


radic100 ne 6 + 8

10 ne 14

INTERVALOS REALES


Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887




119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887

119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887


(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886

[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886




Ejemplos


UTN-FRT 14



VALOR ABSOLUTO


|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0



Ejemplos

a) |0| = 0 porque 0 ge 0

b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0

c) |7 | = 7 porque 7 ge 0

Algunas propiedades



3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|

4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|

5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|




|119909 + 1| = 7

119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7

119909 = 6oacute119909 = minus8

119862119878 = minus86


UTN-FRT 15

|2119909 minus 3| le 1


minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3

2 le 2119909 le 4

21

2le 2119909

1

2le 4

1

2

1 le 119909 le 2

119862119878 = [12]

Ten en cuenta



119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|

Ejemplo



pequentildeos

Ejemplos






Ejemplos








UTN-FRT 16

1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)

= 21404 x 104=21404 x 105

2 (216119909104)(125611990910minus12)

31711990910minus18 = 856119909109






e incoacutegnitas





UTN-FRT 17

Ten en cuenta




Donde a y b son

catetos y h es la

hipotenusa

UTN-FRT 18






es (2πR) 2




Ejecutamos el plan


UTN-FRT 19






Verificamos


un aacuterea


2 2 2

2 2 2

2 4

4 2

16 4

12 2 3

a

a

a

a

+ =

= minus

= minus

= =

UTN-FRT 20




4 120587

B = radicminus113

-3 -025 0 -2 120587 -radic3

3 C =

1

2 0 -2 radic9 120587 -

radic3

3







a 25

14 b

3

11 c

77

36 d

61

9






negativo



a (3 + 4)2 = 32 + 42

b (12 4)2 = 122 42

c 32 34 33 = 39

d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910

e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873

f radic36 + 64 = radic36 + 8

g (42)345 = 4



UTN-FRT 21

j (1198862)3 = 119886(23)



a (2 1199093 119910minus3

8 1199094 1199102 )minus1

b (7 1198864 119887minus4

2 1198862 1198872 )minus2

c (3 119909minus3 1199104

10 1199092 1199106)minus1

d (5 1198862 1198873


e (9 119909 119911minus2

27 119909minus4 119911)

minus3

f (3 1199092 1199105

1199093 119910)

3

7 Resuelve

a 427+2(minus6)


1

2)

2


075minus0625)

2

c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05


e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1

10119910+1102119910+1 f radicradic1633

+ radic33

radic323radic363

+ [2 (1

3+ 1)]

2

[(3

5minus 3)

5

3]

2



c radic3 radic3

radic34

5


f

119886minus2radic1

119886

radic119886minus53


a 3

radic2 b

2minus119909

radic119909 c

3 119886

radic9 119886 d

119909minus119910


e minus7

radic11988623 f 2

radic119911minus3 g

5

radic1199094 h

4minus1199092

2+radic119909


i 119909+119910


119909minus119910


119909+119910







UTN-FRT 22


9800 habitantes


con 119875 =221minus3119905








elaborado






que 5


o igual que 4


a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16



a 324517 x 104 b 716392 x 10-5

c 000000842 d 00025 x 107

UTN-FRT 23

e 542000000000 f 64317 x 10-6


a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)

317 10minus18

c 921 108

306 105 d (233 104)(411 103)












3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898


(1

3radic5 +

1

2) 119888119898


119888119898 y de base

3(radic3)minus1

119888119898




UTN-FRT 24


del cuadrado









05 m




UTN-FRT 25






a)

b)

c) d)

UTN-FRT 26

e) f)






UTN-FRT 27

UNIDAD Ndeg2


Polinomios



Regla de Ruffini




fraccionarias

UTN-FRT 28




Ejemplos

1 2120587radic119871

119892 2

7

119910minus 1199092 3 1199070119905 +

1

21198921199052

4 119909minus5

radic119909minus53


3-









cualquiera

(a+b)2






km en x horas

yx


119909+119910 119909 ne minus119910




Irracionales

UTN-FRT 29

Ejemplos







1199102 3

4+ 119909 +

1

119909




119905 11991123 + 119911minus12 119909 +

2

radic119909





Ejemplos

I)minus1

511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902





Ejemplos

I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1







UTN-FRT 30













3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909


119875(1) = minus2(1)3 +1


1

3minus 1 = minus

8

3



1

3minus 1 =

2

3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0

119875(minus1) + 119876(0) =2

3+ 0 =

2

3



Ejemplo P(x) = 1




opuestos


51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +

1





Grado P=4

UTN-FRT 31






41199092 minus 6

119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)

= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6

= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)

= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5





3119909 + 41199092 minus 6



= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)

= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7






119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)




Ten en cuenta


UTN-FRT 32






Ten en cuenta






31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2

+ minus 31199093 minus 6119909 + 2

minus31199095 + 61199093

61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1

+

minus61199093 + 12119909

minus21199092 + 12119909 + 1

+

21199092 minus 4

12119909 minus 3


Ten en cuenta


(PQ)= m-n


exacto es decir

i) P(x)=C(x) Q(x)



UTN-FRT 33

Regla de Ruffini




119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3

minus3|


15 minus45 39


09

9





119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0

Teorema del resto




i) P(x)=C(x) (x-a)






Ten en cuenta


complejas


Coeficientes del

dividendo

Coeficientes del

cociente

resto

Coefic

ientes

del

divide

ndo

UTN-FRT 34



un cero real


Factor comuacuten




1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)








= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)

= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)

= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)




cuadrados




41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2

UTN-FRT 35







31198861198872 + 1198873


31198861198872 minus 1198873








41199102

251199092 minus1

41199102 = (5119909)2 minus (

1

2119910)

2

= (5119909 +1

2119910) (5119909 minus

1

2119910)


Si n es par









suma por la segunda


UTN-FRT 36


Ten en cuenta








simples



Ejemplos



2 Si 119876(119909) =1








1199093 = 0

1199094 = minus5






UTN-FRT 37


119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6











119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1

minus1 |


1 minus5 6 0


2 |

1 minus5 62 minus6

1 minus3 0





Divisores -1 1


Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6

El cociente es

( ) 2 5 6C x xx = minus +

El cociente es

( ) 3C x x= minus

UTN-FRT 38






2119886 donde 1199091 =


2119886 y 1199092 =


2119886


119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)



119876(119909) se


Ejemplos

1 119909minus5

2119909minus1 119909 ne

1

2

2 1199092minus36

31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6




Simplificacioacuten

Sea 119875(119909)



ambos


31199092minus12119909

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4)=

(119909+4)

3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4

UTN-FRT 39

Multiplicacioacuten





1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1

1199094 minus 1

1199092 + 6119909 + 9sdot

1199092 + 3119909

1199092 minus 1sdot

7

1199092 + 1=

(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)

(119909 + 3)2sdot

119909(119909 + 3)

(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot

7

1199092 + 1 119909

ne minus3 minus11

1199094minus1

1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1=

(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)

(119909+3)2 sdot119909(119909+3)

(119909minus1)(119909+1)sdot

7

1199092+1=

7119909

119909+3 119909 ne minus3 minus11

Divisioacuten



la segunda


119909+5

1199092minus119909

1199092minus25

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5)=

119909 minus 1

119909 + 5sdot

(119909 minus 5)(119909 + 5)

119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015

119909minus1

119909+5

1199092minus119909

1199092minus25=

119909minus1

119909+5sdot

(119909minus5)(119909+5)

119909(119909minus1)=

119909minus5

119909 119909 ne minus5015


119875(119909)

119876(119909)119877(119909)

119878(119909)=

119875(119909)

119876(119909)sdot

119878(119909)

119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0





exponente

UTN-FRT 40



1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)

1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2

1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)




denominadores




119909minus1minus

119909+1

1199092minus1

119909+4

119909minus1minus

119909+1

1199092minus1=

119909+4

119909minus1minus

119909+1

(119909minus1)(119909+1)=

119909+4

119909minus1minus

1



119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

1199092 minus 1=

119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

(119909 minus 1)(119909 + 1)=

119909 + 4

119909 minus 1minus

1

119909 minus 1=

119909 + 4 minus 1

119909 minus 1=

119909 + 3

119909 minus 1 119909 ne minus11





1199092+3119909minus10minus

2119909+4

1199092minus4

119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2(119909 + 2)

(119909 minus 2)(119909 + 2)=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909

ne minus5 minus22


119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909 ne minus52

=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)

(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52

UTN-FRT 41




Expresioacuten

algebraica

Racional

entera

Racional no

entera

irracional

2 31 1

1

xx

x

minus+

minus

2 314

2x xy xminus minus


2 135x y x+



a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2

31199095 minus 119909 minus 2



x=0 x=1 x=-1 x=2

a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17

b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909

c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13



b) El aacuterea


los 6 cuadrados




UTN-FRT 42


a b

c d











b)(51199093 +1

21199092 minus 3119909 +

3

4) + (

4

51199093 + 31199092 +

1

5119909 minus

1

2)

UTN-FRT 43

c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)



f) (31199093 minus1

21199092 + 2119909 minus 2) (

2

31199092 minus 1)

g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)

h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)

i) (1

21199094 +

8

31199093 +

1

21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (

1

2119909 + 3)


119909 minus 2


a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)

b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)

c) (1199094 minus1

21199093 +

1

31199092 minus

1

4119909 +

1

5) ∶ (119909 minus 1)

d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)

e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)

f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)

g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)


a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3

b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5

c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1




UTN-FRT 44


(119909 minus 5)






dos









a) 1611988621199092 minus 411990931198863

b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092

c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14

d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909

e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1

f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910

g) 4

251198864 minus

1

91199092

h) 25

1198982 minus 36

i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887

j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901

k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096

l) 1199103 +3

41199102 +

3

16119910 +

1

64

m) 1199092 + 36 minus 12119909

n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103

UTN-FRT 45

o) 1199093

27minus

1198861199092

3+ 1198862119909 minus 1198863



a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6


e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6














a) 1199094minus31199092+5119909minus3

119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1

b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15

119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3

c) 1199093+1

119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1


a 2

2 2 8

2 2 4

x a x a ax

x a a x x a

minus +minus +

+ minus minus b

21 1

1 1

xx

x x

+minus +

+ minus

c 3 1 1

4 4 1 1

x x xx

x x x


minus + d

2

1 1 21

1 1

x

x x x

minus minus

+ minus

e 1 1

x xx x

x x

+ minus

minus minus f

2

3 2

1 1

x

x a x a x a x

+

+ minus minus

UTN-FRT 46

g 1

8minus8119909minus

1

8+8119909+

119909

4+41199092 h

4119909minus3119887

2119909minus 2 +

2119909+119887

3119909

i (1

119909+

2

119886) (

1

119909minus

2

119886) (

119886119909

119886+2119909) j (

1199092

1198862 minus1198862

1199092) ∶ (119909

119886+

119886

119909)

k (1199094 minus1

1199092) ∶ (1199092 +

1

119909) l (

2119909

119909+3minus

119909+1

119909) ∶ (

1199093minus41199092minus3119909

1199092 )


a ( )

( )( )

22 a b aa b a

b a b b a b a b

minus+minus +


a b+ b

a bminus

+

b

a b+

a b

b

+ Otro

b 2 3 4 4 1

2 2 3 3 6 6

a a a

a a a


+ + + es igual a

a 1

6

b

a b Otro

c

2

2

2 4 4

1 1 1

x x x

x x x

minus + minus


2

1

2x xminus

minus minus

2

1

2x xminus minus

2

1



2119886+2minus

3119886minus4

3119886+3+

4119886minus1

6119886+6=

1

6

UTN-FRT 47

UNIDAD Ndeg3

Aacutengulo


Longitud de arco

Triaacutengulos







Teorema del seno

Teorema del coseno

UTN-FRT 48

Nociones previas


dos aacutengulos





bull




Sistema sexagesimal




sexagesimal





1 =

UTN-FRT 49

Longitud de arco









Ejemplos



ii) 4


180deg-----------------

3043deg--------------x


180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889

ii) ---------------------180deg

4

----------------------x

Entonces x=

1801804 45

4

= =



UTN-FRT 50

Elementos


Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860


180deg--------

50deg--------x

Entonces x=50 5

180 18

=


18

=5 metros


Elementos

Propiedades




diferencia






180deg

+ + = 180deg

UTN-FRT 51



360deg

+ + 120574 = 360deg







equilaacutetero


Como + + = 180deg

Entonces



= 96deg

UTN-FRT 52


Triaacutengulos

acutaacutengulos

Triaacutengulos

rectaacutengulos

Triaacutengulos

obtusaacutengulos


agudos






hipotenusa c= =

oshipotenusa c


= =

oscatetoadyacente b

c Ahipotenusa c

= =

echipotenusa c


= =

catetoopuesto atg A



catetoopuesto a= =


bsen B

c= cos

aB

c= t

bg B

a=


UTN-FRT 53



Ten en cuenta




1 Datos b=280 m y c= 415 m

28006747

415

(06747)

4243

bsen B

c

B arcsen

B

= = =

=

=





30631119898119890119905119903119900119904


119888119900119904 3 7deg =52

119888

119888 =52

119888119900119904 3 7deg

119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904


119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904


UTN-FRT 54







Ten en cuenta








normal

UTN-FRT 55











1



os1



catetoopuesto ytg


1os

hipotenusac ec

catetoopuesto y = =

UTN-FRT 56

1ec

hipotenusas


otcatetoadyacente x


= =







4 Como

1 1 1 1

1 1 1 cos 1

y sen

x

minus minus

minus minus



2 2cos 1sen + =

UTN-FRT 57

cos 0cos

sentg

=

1sec cos 0

cos

=

1sec s 0co en

sen

=






Entonces

130

2 2




sen tg

= =

UTN-FRT 58

1 330

33 3

catetoopuesto y ytg



1cos60 30

2sen = =

60 cot 30 3tg g = =





Entonces

3 3cos30

2 2 2



360 cos30

2sen = =

UTN-FRT 59

1 245

22 2



1 2cos45

22 2

catetoadyacente x x




= = = =




Primer

paso


4

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

00

2=

1

2 2

2

3

2

21

2=

Divido en 2

sen α 0 1

2 2

2

3

2

1




Primer

paso


0

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

21

2= 3

2

2

2

1

2

00

2=

Divido en 2

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0

UTN-FRT 60

En resumen


sen α 0 1

2 2

2

3

2

1

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0












7 10 7 12186910


h altura

UTN-FRT 61


121869 121869km a m m=









dos islas


1200 1200

10 10 1200 68055310

tg d tg d d md tg

= = = =


d distancia

UTN-FRT 62


Teorema del seno




opuestos

a b c

sen A sen B senC= =

sen A sen B senC

a b c= =







3

30 45

3 45

30

3 2

a b b

sen A sen B sen sen

senb

sen

b

= =

=

=

UTN-FRT 63


3

30 105

3 105

30

3 6 3 2

2

a c c

sen A senC sen sen

senc

sen

c

= =

=

+ =


2b m

+=

Teorema del coseno







2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + minus

= + minus

= + minus

Ten en cuenta







UTN-FRT 64




2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos32

1858

431

BD AB AD AB AD A

BD

BD

BD

= + minus

= + minus

=

=



Por propiedad

+ + + = 360deg = =



2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos148

18141

1347

AC AB BC AB BC B

AC

AC

AC

= + minus

= + minus

=

=

UTN-FRT 65

Unidad Ndeg3



sexagesimal

a 120587

6

a 5120587

4 b 26 rad

c 2120587

3 d 35 rad e

3120587

2


b 60deg




que

25

20

35

=

=

=


y C


120572 = 60deg


120572 = 18deg


120572 = 20deg



la figura dada




agudo

a) 119904119890119899119860 =3

7

b) 119905119892119860 = 15

UTN-FRT 66

c) 119888119900119904119860 = 03



b A = 38deg b = 15

c b = 12 c = 5

d a = 18 b = 32

e c = 12 a = 14












altura 8 cm




120572 = 60deg 120579 = 60deg

119860119863 = 18 119898

A

B

D

C

UTN-FRT 67









altura de la torre






Complete la tabla

a

c

b

UTN-FRT 68

a

b

c

120572 120573 120574 Aacuterea

30 cm 45 cm 40deg

120 cm 84 cm 60deg

60 m 70 m 5120587

6

25 cm 35deg 68deg

252 m 378 m 434 m


475 cm 70deg 45deg





la figura








UTN-FRT 69









UTN-FRT 70









UTN-FRT 71

UNIDAD Ndeg4










UTN-FRT 72





Ejemplos



Ten en cuenta






2

Pr




Clasificacioacuten

Enteras Racionales



Logariacutetmicas




Ejemplos






UTN-FRT 73


31

4

x

x

minus=






racional no entero













de partida

Ten en cuenta


(CS= )





UTN-FRT 74

9 2 11

9 2 9 11 9

2 2

1 12 2

2 2

1

x

x

x

x

x

+ =

+ minus = minus

=

=

=

Por lo tanto CS= 1





ax bx c a+ + =





2 5 3a b c= = = minus

2

12

1

12

2

5 25 42( 3)4 5 49

2 22 4

5 7 2 1

5 7 2 4 2

5 7 1243

4 4

b b acx

a

x

x

x


minus += = =minus


Por lo tanto CS=1

2 -3


0c


2

2

2

3 12 0

3 12

4

2

2 2

x

x

x

x

x x

minus =

=

=

=

= minus =


UTN-FRT 75


0b y 0c =


( )

22 12 0

2 6 0 2 0 6 0

0 6

x x

x x x x

x x

minus =

minus = = minus =

= =




2

12

4

2

b b acx

a







1 2 5 6 0x xminus + =


reales y distintas

2 2 9 0x x+ + =









1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +

UTN-FRT 76

2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

3 2

1 1 2

1x x x x+ =

minus minus

Resolucioacuten

1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +


denominador

7 + 119909

119909 + 5=

119909 + 3

119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2



7 + 119909

119909 + 5∙

119909 + 2

119909 + 2=

119909 + 3

119909 + 2 ∙

119909 + 5

119909 + 5

(7 + 119909) (119909 + 2)

(119909 + 5) (119909 + 2)=

(119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 2) (119909 + 5)

(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)


7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15

9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15


119909 minus 1 = 0

119909 = 1



5 2

x x

x x

+ +=

+ +

Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3

1 5 6 3 1 2

+ += = =

+ +

Luego 119862119878 = 1

UTN-FRT 77


5 2

x x

x x

+ +=


7 + 119909

119909 + 5minus

119909 + 3

119909 + 2= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 5) (119909 + 2)= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0



119909 minus 1 = 0

119909 = 1


2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +



3119909

2119909 + 1=

119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

21199092 + 3119909 + 1

3119909

2 (119909 +12)

=119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

2(119909 + 1) (119909 +12)


2

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)


3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1

2) + (119909 minus 19)

UTN-FRT 78


31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19


1199092 minus 9119909 + 14 = 0


1199091 = 2 y 1199091 = 7


2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

Si 119909 = 2

32

22 + 1=

2 + 5

2 + 1+

2 minus 19

2 22 + 32 + 1

6

5=

7

3+

(minus17)

15

6

5=

18

15

6

5=

6

5

Si 119909 = 7

37

27 + 1=

7 + 5

7 + 1+

7 minus 19

2 72 + 37 + 1

21

15=

12

8+

(minus12)

120

7

5=

3

2+

(minus1)

10

7

5=

14

10

7

5=

7

5

Luego 119862119878 = 27

UTN-FRT 79

3 23 11 6

2 3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus


23 11 62 3

3 3

x xx con x

x x

minusminus = minus

minus minus

Operando obtenemos

2

2 2

2

2

3 11 2 ( 3) 6

3 3

3 11 2 6 6

3 3

5 6

3 3

5 6 0

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x


minus minus


minus minus

minus= minus

minus minus

minus + =


1 22 3x y x= =


2 33 3

x xx con x

x x

minusminus = minus





23 11 62

3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus

Si x=2

232 112 12 22 622 4 10 4 6

2 3 1 2 3


minus minus minus





1 radic5119909 = 119909

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909


Resolucioacuten

UTN-FRT 80

1 radic5119909 = 119909


miembros

(radic5119909)2

= 1199092

5119909 = 1199092

1199092 minus 5119909 = 0


Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 05

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909



= (119909 minus 4)2

4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16


minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0


Verificacioacuten

Si 119909 = 2


4 + 2 = 2

6 = 2

Si 119909 = 10


4 + 2 radic9 = 10

4 + 23 = 10

UTN-FRT 81

10 = 10

Luego 119862119878 = 10




(radic3119909 + 1)2






1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)

1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4


y 1199092 = 5

Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 15

Inecuaciones






con la letra e

UTN-FRT 82

1

25 35

experiencia

edad

a a

e e



fundamentales















la recta real

1 5 3 4x x+ minus

5 3 5 4 5

3 1

3 1

4 1

1

4

x x

x x

x x x x

x

x

+ minus minus minus

minus minus

+ minus minus +

minus

minus

CS=(-infin -14]

UTN-FRT 83

2 2 1 7xminus +

( )

2 1 1 7 1

2 6

1 1 2 6

2 2

3

x

x

x

x

minus + minus minus

minus

minus minus minus

minus

CS=(-3infin)

UTN-FRT 84












119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ





5 119862 + 32

Despeja 119862





c 4(119909 minus 2) +1

2= minus

1

3(119909 + 2) minus

14

3 d

119909minus2

119909+3minus

119909+1

119909minus3=

5

1199092minus9

e 119909+1

119909minus1minus

119909

119909+1=

119909+5



2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus

119909

2




5

4

5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8


3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0




UTN-FRT 85


nuacutemeros


nuacutemeros




y el resto 9





a 131199092 + 8 = 60

b 31199092 minus 24119909 = 0

c 41199092 minus 20119909 = 75

d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6

e 31199092+6119909

3minus 120 = 0

f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)

g 24119909minus61199092

15= 0

h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909




c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1

21199092 + 5119909 + 8




de modo que




UTN-FRT 86




a) 119886 = 0 119898

b) 119886 =75

4 119898

c) 119886 = 15 119898









9













del marco


UTN-FRT 87


a 6minus119909

1199092+4119909+4minus

1

119909+2=

2

5minus119909 b (

119909+1

119909minus1)

2

+119909+1

119909minus1= 6

c 119909+4

3119909minus6minus

119909minus6

4119909minus8=

119909+1

119909minus2 d

3

119909minus2+

7

119909+2=

119909+1

119909minus2

e 1

119909minus2= 1 +

2

1199092minus2119909 f

2119909minus3

3119909minus2=

119909minus1

2119909

g 2+119909

2minus119909+

2minus119909

2+119909= 2 h

3

119909+5= 1 minus

4

119909minus5

i 119909+1

119909minus1minus

119909+5

1199092minus1=

119909

119909+1












a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5

c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1

21199092 + 5119909 + 8 ge 0


g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0

UTN-FRT 88

UNIDAD Ndeg5

Funciones






Funcioacuten lineal

Dominio y rango

Graacutefica




Domino y rango

Graacutefica



UTN-FRT 89

Funciones




Ejemplos







t 1 2 3 4

d 5 20 45 80




automoacutevil

Dominio Rango

UTN-FRT 90









Notacioacuten




A B

UTN-FRT 91

( )

f A B

x y f x

rarr

rarr =
















Ten en cuenta









UTN-FRT 92







la graacutefica







funcioacuten




UTN-FRT 93


funciones

1 ( ) 2 1f x x= minus


2 1 0

2 1

1

2

x

x

x

minus =

=

=


2 0)


(0) 20 1

(0) 1

f

f

= minus

= minus


2 2( ) 5 6f x x x= minus +


2

2

12

1 2

5 6 0

5 5 416

21

3 2

x x

x

x y x

minus + =

minus=

= =



2(0) 0 50 6

(0) 6

f

f

= minus +

=


Q (0 y)


f (0)

ceros


UTN-FRT 94





isin (a b)





isin (a b)



Enteras Racionales



Logariacutetmicas



Ejemplos



6( )

3 6

xf x

x x

+=

minus


UTN-FRT 95


13( )g x x=



Funcioacuten Lineal









funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


en ℝ





funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


decreciente en ℝ

Ten en cuenta



UTN-FRT 96







ceros


de las abscisas y=0


y=b









2 1

2 1

( )

( )



minus= = = minus

UTN-FRT 97


21

3y x= +

Donde 2

3m = y 1b =



32

4y x= minus +

Donde 3

4m = minus y 2b =






1 2m m=


UTN-FRT 98



1 2 2m m= =




1

1m

m= minus


13

y x= minus minus


las pendientes son

1 3m = y 2

1

3m = minus



general como


1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =

+ =

UTN-FRT 99





Clasificacioacuten

Sistema

compatible

determinado

(SCD)







Sistema

compatible

indeterminado

(SCI)


representa



UTN-FRT 100

Sistema

Incompatible

(SI)



rectas paralelas no









Ejemplos

1 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus




De 1 1

(2)2 2

y x= minus minus


1 12 3

2 2

1 12 3

2 2

5 5

2 2

1

y y

x x

x x

x

x

=

minus = minus minus

+ = minus +

=

=

UTN-FRT 101



De (1) 1y = minus


2 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus



no utilizada



Resolvemos

2 4 3

5 5

1

y y

y

y

minus minus minus =

minus =

= minus



De (2) 1x =


3 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus







2 3 2 3 4 2 6

2 1 2 1 2 1

x y x y x y

x y x y x y




5 5 1x x= =



De (1) 1y = minus

UTN-FRT 102












2 0ax bx c+ + =

Obtenemos 2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus= y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )hminus

UTN-FRT 103




2 0ax bx c+ + =

Obtenemos

2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus=

y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )h

Ceros







raiacuteces reales


sola raiacutez real

1 22

bx x

a= = minus


raiacuteces reales

UTN-FRT 104





bh


2k ah bh c= + +


bx

a= minus




Ejemplos


a El dominio






Resolucioacuten








coordenadas (0 5)


321

h = minus = minus y



UTN-FRT 105


funcioacuten


e Grafica








2( )

4 3

xf x

x

+=

minus

2

2( )

1

xg x

x

minus=

+ y

2

3

9( )

xh x

x x

+=

minus


119863119900119898119891 = ℝ minus 4

3

119863119900119898119892 = ℝ

Rgof=[ 4 )minus

UTN-FRT 106

119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101



f xcx d

+=

+


119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus

119886

119888





yc

=


xc

= minus


1 2

2( )

4

xf x

x x

+=


2 2 5

( )1

xf x

x

minus +=


graacutefica

Resolucioacuten

UTN-FRT 107


2( )

4

xf x

x x

+=





( )1

xf x

x

minus +=





xc



yc




( ) 5f x x= minus 2

( )1

g xx

=minus





)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ

UTN-FRT 108


ldquoFuncionesrdquo


a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1

21199092 + 2119909 minus 5

c 119910 = radic119909 + 1

d 119892(119909) =119909+5

2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (

119909

3)

f 119892(119909) = minus7119909 + 3

g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2

119909+ 5


origen

a 119891(119909) = minus4119909 +1

2 ( )

b 119910 = 5119909 + 4 ( )

c 119910 =4

119909minus 6 ( )

d 119910 = minus1

2119909 +

4

7 ( )


5119909 ( )


a 1198750 (minus1


5

2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2



a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)

b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)

c 1198751(2 3) 1198752(1 2)

d 1198751(6 0) 1198752(0 2)

e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)


coordenados

a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7

c 119910 = minus1

2119909 + 4 d 119910 = minus2119909


a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1

b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4





UTN-FRT 109




2

1


puntos (-2 4) y (4 6)


puntos (-2 -1) y (2

3 0)




clasifiacutecalos

a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4

b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

c 2119909 minus 119910 = minus3

minus3119909 +9

4119910 =

15

2


e minus

2

3119909 + 119910 = 1

minus5119909 + 8119910 = 7 f

minus119909 + 3119910 = minus1

4

2119909 minus 6119910 =1

2

g 1

2119909 minus 119910 = minus

1

2

minus5119909 + 8119910 = 8

h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1












UTN-FRT 110









a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5

b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15

c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3

d 119910 = 41199092 + 1

e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7

f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3


g El dominio












funciones

d El rango







UTN-FRT 111






a b c Tipo de


Dos

puntos

Ninguacuten

punto

1 minus7 6

minus1 3 minus4


1 0 minus4

radic3 6 3radic3


a b




2 minus

9

2) y corta al


UTN-FRT 112
















119877(119909) = minus1

401199092 +

7

2119909 para 0 lt 119909 lt 120











a 119891(119909) =119909+1

5minus4119909 b 119892(119909) =

3minus119909

1199092+4

c ℎ(119909) =1+1199092

1199093minus119909 d 119891(119909) =

7119909

1199092minus16

UTN-FRT 113



a 119891(119909) =3+2119909

5119909minus1

b 119892(119909) =3

2119909minus4

c ℎ(119909) =3minus2119909

4119909

d 119891(119909) =2+3119909

5minus119909


a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1

b 119892(119909) =3119909

radic119909+4


UTN-FRT 6






ℤ = hellip -3 -2 -1 0 1 2 3 hellip




ℤ+= 1 2 3 4 5 hellip

Propiedades
















ℚ = 119886

119887119886 119887 isin 119885 119888119900119899 119887 ne 0

Propiedades








UTN-FRT 7






Ejemplos





ejemplos

Ejemplos


05 =5

10=

1

2

minus243

= minus243

100

14456

=14456

1000

=1807

125


0 4⏜ =4

9

8 13⏜

=813 minus 8

99

=805

99

UTN-FRT 8






119868 = 119886119886 notin ℚ

Ejemplos


120587 = 314159hellip

radic53

= 1709975hellip

e = 2718281828459045hellip

Nuacutemeros Reales






Naturales ℕ0



Irracionales 119868


01 8⏜

=18 minus 1

90

=17

90

73 16⏜

=7316 minus 73

990

=7243

990

UTN-FRT 9

Propiedades















Nombre de

la propiedad


Ley de

composicioacuten

interna




forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886


forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)

Elemento

neutro



Existencia

del


UTN-FRT 10

Ten en cuenta


119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939


120783120785 |120785

minus120783120784 120786

120783

por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783






real

POTENCIACIOacuteN


define como


Ademaacutes si ane0

a0=1 y a-n=1

119886119899

Ejemplos

elemento


1

119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1


forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886

ORIGEN


UTN-FRT 11

1 23=8 porque 23=222

2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)

3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)

4 -22=-4

5 (2

5)

2=

2

5

2

5=

4

25


Propiedad Ejemplos

119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78

119886119899

119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0

6minus3


(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310

(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093

(119886

119887)

119899

=119886119899

119887119899 (

119910

minus3)

2

=1199102

(minus3)2=

1199102

9

Ejemplos


1199092

2 (2

311990921199103)

4= (

2

3)

4(1199092)4(1199103)4 =

16

8111990924

11991034=

16

81119909811991012

Ten en cuenta


Ejemplos

1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22

2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12

RADICACIOacuteN



radic119886119899


Ejemplo radic273

= 3porque 33=27

UTN-FRT 12



radic119886119899




Ejemplos

1 radic81 = 9

2 radicminus83

= minus3


4 radic25

9=

5

3


Propiedad Ejemplos

radic119886 119887119899

= radic119886119899

radic119887119899


radic119886

119887

119899=

radic119886119899

119887 119887 ne 0 radic

8

343

3

=radic83

radic3433 =

2

7


119898

= radic119886119898119899

radicradic643

= radic646

= 2

119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899

119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899


3)

2= 4


= minus5


Ejemplos

1 2

radic7=

2

radic7

radic7

radic7=

2radic7

(radic7)2 =

2radic7

7

2 2

radic11990925 =2

radic11990925

radic11990935

radic11990935 =2 radic11990935

radic119909211990935 =2 radic11990935

radic11990955 =2 radic11990935

119909 119909 ne 0


3 3

radic119909+119910=

3

radic119909+119910




(radic119909)2

minus1199102=


119909minus1199102

UTN-FRT 13

Ten en cuenta


Ejemplo


radic100 ne 6 + 8

10 ne 14

INTERVALOS REALES


Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887




119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887

119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887


(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886

[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886




Ejemplos


UTN-FRT 14



VALOR ABSOLUTO


|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0



Ejemplos

a) |0| = 0 porque 0 ge 0

b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0

c) |7 | = 7 porque 7 ge 0

Algunas propiedades



3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|

4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|

5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|




|119909 + 1| = 7

119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7

119909 = 6oacute119909 = minus8

119862119878 = minus86


UTN-FRT 15

|2119909 minus 3| le 1


minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3

2 le 2119909 le 4

21

2le 2119909

1

2le 4

1

2

1 le 119909 le 2

119862119878 = [12]

Ten en cuenta



119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|

Ejemplo



pequentildeos

Ejemplos






Ejemplos








UTN-FRT 16

1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)

= 21404 x 104=21404 x 105

2 (216119909104)(125611990910minus12)

31711990910minus18 = 856119909109






e incoacutegnitas





UTN-FRT 17

Ten en cuenta




Donde a y b son

catetos y h es la

hipotenusa

UTN-FRT 18






es (2πR) 2




Ejecutamos el plan


UTN-FRT 19






Verificamos


un aacuterea


2 2 2

2 2 2

2 4

4 2

16 4

12 2 3

a

a

a

a

+ =

= minus

= minus

= =

UTN-FRT 20




4 120587

B = radicminus113

-3 -025 0 -2 120587 -radic3

3 C =

1

2 0 -2 radic9 120587 -

radic3

3







a 25

14 b

3

11 c

77

36 d

61

9






negativo



a (3 + 4)2 = 32 + 42

b (12 4)2 = 122 42

c 32 34 33 = 39

d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910

e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873

f radic36 + 64 = radic36 + 8

g (42)345 = 4



UTN-FRT 21

j (1198862)3 = 119886(23)



a (2 1199093 119910minus3

8 1199094 1199102 )minus1

b (7 1198864 119887minus4

2 1198862 1198872 )minus2

c (3 119909minus3 1199104

10 1199092 1199106)minus1

d (5 1198862 1198873


e (9 119909 119911minus2

27 119909minus4 119911)

minus3

f (3 1199092 1199105

1199093 119910)

3

7 Resuelve

a 427+2(minus6)


1

2)

2


075minus0625)

2

c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05


e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1

10119910+1102119910+1 f radicradic1633

+ radic33

radic323radic363

+ [2 (1

3+ 1)]

2

[(3

5minus 3)

5

3]

2



c radic3 radic3

radic34

5


f

119886minus2radic1

119886

radic119886minus53


a 3

radic2 b

2minus119909

radic119909 c

3 119886

radic9 119886 d

119909minus119910


e minus7

radic11988623 f 2

radic119911minus3 g

5

radic1199094 h

4minus1199092

2+radic119909


i 119909+119910


119909minus119910


119909+119910







UTN-FRT 22


9800 habitantes


con 119875 =221minus3119905








elaborado






que 5


o igual que 4


a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16



a 324517 x 104 b 716392 x 10-5

c 000000842 d 00025 x 107

UTN-FRT 23

e 542000000000 f 64317 x 10-6


a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)

317 10minus18

c 921 108

306 105 d (233 104)(411 103)












3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898


(1

3radic5 +

1

2) 119888119898


119888119898 y de base

3(radic3)minus1

119888119898




UTN-FRT 24


del cuadrado









05 m




UTN-FRT 25






a)

b)

c) d)

UTN-FRT 26

e) f)






UTN-FRT 27

UNIDAD Ndeg2


Polinomios



Regla de Ruffini




fraccionarias

UTN-FRT 28




Ejemplos

1 2120587radic119871

119892 2

7

119910minus 1199092 3 1199070119905 +

1

21198921199052

4 119909minus5

radic119909minus53


3-









cualquiera

(a+b)2






km en x horas

yx


119909+119910 119909 ne minus119910




Irracionales

UTN-FRT 29

Ejemplos







1199102 3

4+ 119909 +

1

119909




119905 11991123 + 119911minus12 119909 +

2

radic119909





Ejemplos

I)minus1

511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902





Ejemplos

I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1







UTN-FRT 30













3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909


119875(1) = minus2(1)3 +1


1

3minus 1 = minus

8

3



1

3minus 1 =

2

3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0

119875(minus1) + 119876(0) =2

3+ 0 =

2

3



Ejemplo P(x) = 1




opuestos


51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +

1





Grado P=4

UTN-FRT 31






41199092 minus 6

119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)

= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6

= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)

= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5





3119909 + 41199092 minus 6



= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)

= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7






119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)




Ten en cuenta


UTN-FRT 32






Ten en cuenta






31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2

+ minus 31199093 minus 6119909 + 2

minus31199095 + 61199093

61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1

+

minus61199093 + 12119909

minus21199092 + 12119909 + 1

+

21199092 minus 4

12119909 minus 3


Ten en cuenta


(PQ)= m-n


exacto es decir

i) P(x)=C(x) Q(x)



UTN-FRT 33

Regla de Ruffini




119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3

minus3|


15 minus45 39


09

9





119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0

Teorema del resto




i) P(x)=C(x) (x-a)






Ten en cuenta


complejas


Coeficientes del

dividendo

Coeficientes del

cociente

resto

Coefic

ientes

del

divide

ndo

UTN-FRT 34



un cero real


Factor comuacuten




1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)








= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)

= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)

= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)




cuadrados




41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2

UTN-FRT 35







31198861198872 + 1198873


31198861198872 minus 1198873








41199102

251199092 minus1

41199102 = (5119909)2 minus (

1

2119910)

2

= (5119909 +1

2119910) (5119909 minus

1

2119910)


Si n es par









suma por la segunda


UTN-FRT 36


Ten en cuenta








simples



Ejemplos



2 Si 119876(119909) =1








1199093 = 0

1199094 = minus5






UTN-FRT 37


119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6











119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1

minus1 |


1 minus5 6 0


2 |

1 minus5 62 minus6

1 minus3 0





Divisores -1 1


Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6

El cociente es

( ) 2 5 6C x xx = minus +

El cociente es

( ) 3C x x= minus

UTN-FRT 38






2119886 donde 1199091 =


2119886 y 1199092 =


2119886


119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)



119876(119909) se


Ejemplos

1 119909minus5

2119909minus1 119909 ne

1

2

2 1199092minus36

31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6




Simplificacioacuten

Sea 119875(119909)



ambos


31199092minus12119909

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4)=

(119909+4)

3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4

UTN-FRT 39

Multiplicacioacuten





1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1

1199094 minus 1

1199092 + 6119909 + 9sdot

1199092 + 3119909

1199092 minus 1sdot

7

1199092 + 1=

(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)

(119909 + 3)2sdot

119909(119909 + 3)

(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot

7

1199092 + 1 119909

ne minus3 minus11

1199094minus1

1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1=

(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)

(119909+3)2 sdot119909(119909+3)

(119909minus1)(119909+1)sdot

7

1199092+1=

7119909

119909+3 119909 ne minus3 minus11

Divisioacuten



la segunda


119909+5

1199092minus119909

1199092minus25

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5)=

119909 minus 1

119909 + 5sdot

(119909 minus 5)(119909 + 5)

119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015

119909minus1

119909+5

1199092minus119909

1199092minus25=

119909minus1

119909+5sdot

(119909minus5)(119909+5)

119909(119909minus1)=

119909minus5

119909 119909 ne minus5015


119875(119909)

119876(119909)119877(119909)

119878(119909)=

119875(119909)

119876(119909)sdot

119878(119909)

119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0





exponente

UTN-FRT 40



1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)

1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2

1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)




denominadores




119909minus1minus

119909+1

1199092minus1

119909+4

119909minus1minus

119909+1

1199092minus1=

119909+4

119909minus1minus

119909+1

(119909minus1)(119909+1)=

119909+4

119909minus1minus

1



119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

1199092 minus 1=

119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

(119909 minus 1)(119909 + 1)=

119909 + 4

119909 minus 1minus

1

119909 minus 1=

119909 + 4 minus 1

119909 minus 1=

119909 + 3

119909 minus 1 119909 ne minus11





1199092+3119909minus10minus

2119909+4

1199092minus4

119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2(119909 + 2)

(119909 minus 2)(119909 + 2)=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909

ne minus5 minus22


119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909 ne minus52

=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)

(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52

UTN-FRT 41




Expresioacuten

algebraica

Racional

entera

Racional no

entera

irracional

2 31 1

1

xx

x

minus+

minus

2 314

2x xy xminus minus


2 135x y x+



a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2

31199095 minus 119909 minus 2



x=0 x=1 x=-1 x=2

a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17

b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909

c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13



b) El aacuterea


los 6 cuadrados




UTN-FRT 42


a b

c d











b)(51199093 +1

21199092 minus 3119909 +

3

4) + (

4

51199093 + 31199092 +

1

5119909 minus

1

2)

UTN-FRT 43

c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)



f) (31199093 minus1

21199092 + 2119909 minus 2) (

2

31199092 minus 1)

g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)

h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)

i) (1

21199094 +

8

31199093 +

1

21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (

1

2119909 + 3)


119909 minus 2


a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)

b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)

c) (1199094 minus1

21199093 +

1

31199092 minus

1

4119909 +

1

5) ∶ (119909 minus 1)

d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)

e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)

f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)

g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)


a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3

b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5

c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1




UTN-FRT 44


(119909 minus 5)






dos









a) 1611988621199092 minus 411990931198863

b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092

c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14

d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909

e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1

f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910

g) 4

251198864 minus

1

91199092

h) 25

1198982 minus 36

i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887

j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901

k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096

l) 1199103 +3

41199102 +

3

16119910 +

1

64

m) 1199092 + 36 minus 12119909

n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103

UTN-FRT 45

o) 1199093

27minus

1198861199092

3+ 1198862119909 minus 1198863



a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6


e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6














a) 1199094minus31199092+5119909minus3

119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1

b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15

119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3

c) 1199093+1

119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1


a 2

2 2 8

2 2 4

x a x a ax

x a a x x a

minus +minus +

+ minus minus b

21 1

1 1

xx

x x

+minus +

+ minus

c 3 1 1

4 4 1 1

x x xx

x x x


minus + d

2

1 1 21

1 1

x

x x x

minus minus

+ minus

e 1 1

x xx x

x x

+ minus

minus minus f

2

3 2

1 1

x

x a x a x a x

+

+ minus minus

UTN-FRT 46

g 1

8minus8119909minus

1

8+8119909+

119909

4+41199092 h

4119909minus3119887

2119909minus 2 +

2119909+119887

3119909

i (1

119909+

2

119886) (

1

119909minus

2

119886) (

119886119909

119886+2119909) j (

1199092

1198862 minus1198862

1199092) ∶ (119909

119886+

119886

119909)

k (1199094 minus1

1199092) ∶ (1199092 +

1

119909) l (

2119909

119909+3minus

119909+1

119909) ∶ (

1199093minus41199092minus3119909

1199092 )


a ( )

( )( )

22 a b aa b a

b a b b a b a b

minus+minus +


a b+ b

a bminus

+

b

a b+

a b

b

+ Otro

b 2 3 4 4 1

2 2 3 3 6 6

a a a

a a a


+ + + es igual a

a 1

6

b

a b Otro

c

2

2

2 4 4

1 1 1

x x x

x x x

minus + minus


2

1

2x xminus

minus minus

2

1

2x xminus minus

2

1



2119886+2minus

3119886minus4

3119886+3+

4119886minus1

6119886+6=

1

6

UTN-FRT 47

UNIDAD Ndeg3

Aacutengulo


Longitud de arco

Triaacutengulos







Teorema del seno

Teorema del coseno

UTN-FRT 48

Nociones previas


dos aacutengulos





bull




Sistema sexagesimal




sexagesimal





1 =

UTN-FRT 49

Longitud de arco









Ejemplos



ii) 4


180deg-----------------

3043deg--------------x


180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889

ii) ---------------------180deg

4

----------------------x

Entonces x=

1801804 45

4

= =



UTN-FRT 50

Elementos


Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860


180deg--------

50deg--------x

Entonces x=50 5

180 18

=


18

=5 metros


Elementos

Propiedades




diferencia






180deg

+ + = 180deg

UTN-FRT 51



360deg

+ + 120574 = 360deg







equilaacutetero


Como + + = 180deg

Entonces



= 96deg

UTN-FRT 52


Triaacutengulos

acutaacutengulos

Triaacutengulos

rectaacutengulos

Triaacutengulos

obtusaacutengulos


agudos






hipotenusa c= =

oshipotenusa c


= =

oscatetoadyacente b

c Ahipotenusa c

= =

echipotenusa c


= =

catetoopuesto atg A



catetoopuesto a= =


bsen B

c= cos

aB

c= t

bg B

a=


UTN-FRT 53



Ten en cuenta




1 Datos b=280 m y c= 415 m

28006747

415

(06747)

4243

bsen B

c

B arcsen

B

= = =

=

=





30631119898119890119905119903119900119904


119888119900119904 3 7deg =52

119888

119888 =52

119888119900119904 3 7deg

119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904


119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904


UTN-FRT 54







Ten en cuenta








normal

UTN-FRT 55











1



os1



catetoopuesto ytg


1os

hipotenusac ec

catetoopuesto y = =

UTN-FRT 56

1ec

hipotenusas


otcatetoadyacente x


= =







4 Como

1 1 1 1

1 1 1 cos 1

y sen

x

minus minus

minus minus



2 2cos 1sen + =

UTN-FRT 57

cos 0cos

sentg

=

1sec cos 0

cos

=

1sec s 0co en

sen

=






Entonces

130

2 2




sen tg

= =

UTN-FRT 58

1 330

33 3

catetoopuesto y ytg



1cos60 30

2sen = =

60 cot 30 3tg g = =





Entonces

3 3cos30

2 2 2



360 cos30

2sen = =

UTN-FRT 59

1 245

22 2



1 2cos45

22 2

catetoadyacente x x




= = = =




Primer

paso


4

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

00

2=

1

2 2

2

3

2

21

2=

Divido en 2

sen α 0 1

2 2

2

3

2

1




Primer

paso


0

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

21

2= 3

2

2

2

1

2

00

2=

Divido en 2

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0

UTN-FRT 60

En resumen


sen α 0 1

2 2

2

3

2

1

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0












7 10 7 12186910


h altura

UTN-FRT 61


121869 121869km a m m=









dos islas


1200 1200

10 10 1200 68055310

tg d tg d d md tg

= = = =


d distancia

UTN-FRT 62


Teorema del seno




opuestos

a b c

sen A sen B senC= =

sen A sen B senC

a b c= =







3

30 45

3 45

30

3 2

a b b

sen A sen B sen sen

senb

sen

b

= =

=

=

UTN-FRT 63


3

30 105

3 105

30

3 6 3 2

2

a c c

sen A senC sen sen

senc

sen

c

= =

=

+ =


2b m

+=

Teorema del coseno







2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + minus

= + minus

= + minus

Ten en cuenta







UTN-FRT 64




2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos32

1858

431

BD AB AD AB AD A

BD

BD

BD

= + minus

= + minus

=

=



Por propiedad

+ + + = 360deg = =



2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos148

18141

1347

AC AB BC AB BC B

AC

AC

AC

= + minus

= + minus

=

=

UTN-FRT 65

Unidad Ndeg3



sexagesimal

a 120587

6

a 5120587

4 b 26 rad

c 2120587

3 d 35 rad e

3120587

2


b 60deg




que

25

20

35

=

=

=


y C


120572 = 60deg


120572 = 18deg


120572 = 20deg



la figura dada




agudo

a) 119904119890119899119860 =3

7

b) 119905119892119860 = 15

UTN-FRT 66

c) 119888119900119904119860 = 03



b A = 38deg b = 15

c b = 12 c = 5

d a = 18 b = 32

e c = 12 a = 14












altura 8 cm




120572 = 60deg 120579 = 60deg

119860119863 = 18 119898

A

B

D

C

UTN-FRT 67









altura de la torre






Complete la tabla

a

c

b

UTN-FRT 68

a

b

c

120572 120573 120574 Aacuterea

30 cm 45 cm 40deg

120 cm 84 cm 60deg

60 m 70 m 5120587

6

25 cm 35deg 68deg

252 m 378 m 434 m


475 cm 70deg 45deg





la figura








UTN-FRT 69









UTN-FRT 70









UTN-FRT 71

UNIDAD Ndeg4










UTN-FRT 72





Ejemplos



Ten en cuenta






2

Pr




Clasificacioacuten

Enteras Racionales



Logariacutetmicas




Ejemplos






UTN-FRT 73


31

4

x

x

minus=






racional no entero













de partida

Ten en cuenta


(CS= )





UTN-FRT 74

9 2 11

9 2 9 11 9

2 2

1 12 2

2 2

1

x

x

x

x

x

+ =

+ minus = minus

=

=

=

Por lo tanto CS= 1





ax bx c a+ + =





2 5 3a b c= = = minus

2

12

1

12

2

5 25 42( 3)4 5 49

2 22 4

5 7 2 1

5 7 2 4 2

5 7 1243

4 4

b b acx

a

x

x

x


minus += = =minus


Por lo tanto CS=1

2 -3


0c


2

2

2

3 12 0

3 12

4

2

2 2

x

x

x

x

x x

minus =

=

=

=

= minus =


UTN-FRT 75


0b y 0c =


( )

22 12 0

2 6 0 2 0 6 0

0 6

x x

x x x x

x x

minus =

minus = = minus =

= =




2

12

4

2

b b acx

a







1 2 5 6 0x xminus + =


reales y distintas

2 2 9 0x x+ + =









1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +

UTN-FRT 76

2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

3 2

1 1 2

1x x x x+ =

minus minus

Resolucioacuten

1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +


denominador

7 + 119909

119909 + 5=

119909 + 3

119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2



7 + 119909

119909 + 5∙

119909 + 2

119909 + 2=

119909 + 3

119909 + 2 ∙

119909 + 5

119909 + 5

(7 + 119909) (119909 + 2)

(119909 + 5) (119909 + 2)=

(119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 2) (119909 + 5)

(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)


7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15

9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15


119909 minus 1 = 0

119909 = 1



5 2

x x

x x

+ +=

+ +

Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3

1 5 6 3 1 2

+ += = =

+ +

Luego 119862119878 = 1

UTN-FRT 77


5 2

x x

x x

+ +=


7 + 119909

119909 + 5minus

119909 + 3

119909 + 2= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 5) (119909 + 2)= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0



119909 minus 1 = 0

119909 = 1


2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +



3119909

2119909 + 1=

119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

21199092 + 3119909 + 1

3119909

2 (119909 +12)

=119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

2(119909 + 1) (119909 +12)


2

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)


3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1

2) + (119909 minus 19)

UTN-FRT 78


31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19


1199092 minus 9119909 + 14 = 0


1199091 = 2 y 1199091 = 7


2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

Si 119909 = 2

32

22 + 1=

2 + 5

2 + 1+

2 minus 19

2 22 + 32 + 1

6

5=

7

3+

(minus17)

15

6

5=

18

15

6

5=

6

5

Si 119909 = 7

37

27 + 1=

7 + 5

7 + 1+

7 minus 19

2 72 + 37 + 1

21

15=

12

8+

(minus12)

120

7

5=

3

2+

(minus1)

10

7

5=

14

10

7

5=

7

5

Luego 119862119878 = 27

UTN-FRT 79

3 23 11 6

2 3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus


23 11 62 3

3 3

x xx con x

x x

minusminus = minus

minus minus

Operando obtenemos

2

2 2

2

2

3 11 2 ( 3) 6

3 3

3 11 2 6 6

3 3

5 6

3 3

5 6 0

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x


minus minus


minus minus

minus= minus

minus minus

minus + =


1 22 3x y x= =


2 33 3

x xx con x

x x

minusminus = minus





23 11 62

3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus

Si x=2

232 112 12 22 622 4 10 4 6

2 3 1 2 3


minus minus minus





1 radic5119909 = 119909

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909


Resolucioacuten

UTN-FRT 80

1 radic5119909 = 119909


miembros

(radic5119909)2

= 1199092

5119909 = 1199092

1199092 minus 5119909 = 0


Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 05

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909



= (119909 minus 4)2

4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16


minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0


Verificacioacuten

Si 119909 = 2


4 + 2 = 2

6 = 2

Si 119909 = 10


4 + 2 radic9 = 10

4 + 23 = 10

UTN-FRT 81

10 = 10

Luego 119862119878 = 10




(radic3119909 + 1)2






1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)

1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4


y 1199092 = 5

Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 15

Inecuaciones






con la letra e

UTN-FRT 82

1

25 35

experiencia

edad

a a

e e



fundamentales















la recta real

1 5 3 4x x+ minus

5 3 5 4 5

3 1

3 1

4 1

1

4

x x

x x

x x x x

x

x

+ minus minus minus

minus minus

+ minus minus +

minus

minus

CS=(-infin -14]

UTN-FRT 83

2 2 1 7xminus +

( )

2 1 1 7 1

2 6

1 1 2 6

2 2

3

x

x

x

x

minus + minus minus

minus

minus minus minus

minus

CS=(-3infin)

UTN-FRT 84












119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ





5 119862 + 32

Despeja 119862





c 4(119909 minus 2) +1

2= minus

1

3(119909 + 2) minus

14

3 d

119909minus2

119909+3minus

119909+1

119909minus3=

5

1199092minus9

e 119909+1

119909minus1minus

119909

119909+1=

119909+5



2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus

119909

2




5

4

5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8


3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0




UTN-FRT 85


nuacutemeros


nuacutemeros




y el resto 9





a 131199092 + 8 = 60

b 31199092 minus 24119909 = 0

c 41199092 minus 20119909 = 75

d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6

e 31199092+6119909

3minus 120 = 0

f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)

g 24119909minus61199092

15= 0

h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909




c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1

21199092 + 5119909 + 8




de modo que




UTN-FRT 86




a) 119886 = 0 119898

b) 119886 =75

4 119898

c) 119886 = 15 119898









9













del marco


UTN-FRT 87


a 6minus119909

1199092+4119909+4minus

1

119909+2=

2

5minus119909 b (

119909+1

119909minus1)

2

+119909+1

119909minus1= 6

c 119909+4

3119909minus6minus

119909minus6

4119909minus8=

119909+1

119909minus2 d

3

119909minus2+

7

119909+2=

119909+1

119909minus2

e 1

119909minus2= 1 +

2

1199092minus2119909 f

2119909minus3

3119909minus2=

119909minus1

2119909

g 2+119909

2minus119909+

2minus119909

2+119909= 2 h

3

119909+5= 1 minus

4

119909minus5

i 119909+1

119909minus1minus

119909+5

1199092minus1=

119909

119909+1












a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5

c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1

21199092 + 5119909 + 8 ge 0


g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0

UTN-FRT 88

UNIDAD Ndeg5

Funciones






Funcioacuten lineal

Dominio y rango

Graacutefica




Domino y rango

Graacutefica



UTN-FRT 89

Funciones




Ejemplos







t 1 2 3 4

d 5 20 45 80




automoacutevil

Dominio Rango

UTN-FRT 90









Notacioacuten




A B

UTN-FRT 91

( )

f A B

x y f x

rarr

rarr =
















Ten en cuenta









UTN-FRT 92







la graacutefica







funcioacuten




UTN-FRT 93


funciones

1 ( ) 2 1f x x= minus


2 1 0

2 1

1

2

x

x

x

minus =

=

=


2 0)


(0) 20 1

(0) 1

f

f

= minus

= minus


2 2( ) 5 6f x x x= minus +


2

2

12

1 2

5 6 0

5 5 416

21

3 2

x x

x

x y x

minus + =

minus=

= =



2(0) 0 50 6

(0) 6

f

f

= minus +

=


Q (0 y)


f (0)

ceros


UTN-FRT 94





isin (a b)





isin (a b)



Enteras Racionales



Logariacutetmicas



Ejemplos



6( )

3 6

xf x

x x

+=

minus


UTN-FRT 95


13( )g x x=



Funcioacuten Lineal









funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


en ℝ





funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


decreciente en ℝ

Ten en cuenta



UTN-FRT 96







ceros


de las abscisas y=0


y=b









2 1

2 1

( )

( )



minus= = = minus

UTN-FRT 97


21

3y x= +

Donde 2

3m = y 1b =



32

4y x= minus +

Donde 3

4m = minus y 2b =






1 2m m=


UTN-FRT 98



1 2 2m m= =




1

1m

m= minus


13

y x= minus minus


las pendientes son

1 3m = y 2

1

3m = minus



general como


1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =

+ =

UTN-FRT 99





Clasificacioacuten

Sistema

compatible

determinado

(SCD)







Sistema

compatible

indeterminado

(SCI)


representa



UTN-FRT 100

Sistema

Incompatible

(SI)



rectas paralelas no









Ejemplos

1 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus




De 1 1

(2)2 2

y x= minus minus


1 12 3

2 2

1 12 3

2 2

5 5

2 2

1

y y

x x

x x

x

x

=

minus = minus minus

+ = minus +

=

=

UTN-FRT 101



De (1) 1y = minus


2 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus



no utilizada



Resolvemos

2 4 3

5 5

1

y y

y

y

minus minus minus =

minus =

= minus



De (2) 1x =


3 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus







2 3 2 3 4 2 6

2 1 2 1 2 1

x y x y x y

x y x y x y




5 5 1x x= =



De (1) 1y = minus

UTN-FRT 102












2 0ax bx c+ + =

Obtenemos 2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus= y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )hminus

UTN-FRT 103




2 0ax bx c+ + =

Obtenemos

2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus=

y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )h

Ceros







raiacuteces reales


sola raiacutez real

1 22

bx x

a= = minus


raiacuteces reales

UTN-FRT 104





bh


2k ah bh c= + +


bx

a= minus




Ejemplos


a El dominio






Resolucioacuten








coordenadas (0 5)


321

h = minus = minus y



UTN-FRT 105


funcioacuten


e Grafica








2( )

4 3

xf x

x

+=

minus

2

2( )

1

xg x

x

minus=

+ y

2

3

9( )

xh x

x x

+=

minus


119863119900119898119891 = ℝ minus 4

3

119863119900119898119892 = ℝ

Rgof=[ 4 )minus

UTN-FRT 106

119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101



f xcx d

+=

+


119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus

119886

119888





yc

=


xc

= minus


1 2

2( )

4

xf x

x x

+=


2 2 5

( )1

xf x

x

minus +=


graacutefica

Resolucioacuten

UTN-FRT 107


2( )

4

xf x

x x

+=





( )1

xf x

x

minus +=





xc



yc




( ) 5f x x= minus 2

( )1

g xx

=minus





)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ

UTN-FRT 108


ldquoFuncionesrdquo


a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1

21199092 + 2119909 minus 5

c 119910 = radic119909 + 1

d 119892(119909) =119909+5

2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (

119909

3)

f 119892(119909) = minus7119909 + 3

g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2

119909+ 5


origen

a 119891(119909) = minus4119909 +1

2 ( )

b 119910 = 5119909 + 4 ( )

c 119910 =4

119909minus 6 ( )

d 119910 = minus1

2119909 +

4

7 ( )


5119909 ( )


a 1198750 (minus1


5

2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2



a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)

b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)

c 1198751(2 3) 1198752(1 2)

d 1198751(6 0) 1198752(0 2)

e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)


coordenados

a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7

c 119910 = minus1

2119909 + 4 d 119910 = minus2119909


a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1

b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4





UTN-FRT 109




2

1


puntos (-2 4) y (4 6)


puntos (-2 -1) y (2

3 0)




clasifiacutecalos

a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4

b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

c 2119909 minus 119910 = minus3

minus3119909 +9

4119910 =

15

2


e minus

2

3119909 + 119910 = 1

minus5119909 + 8119910 = 7 f

minus119909 + 3119910 = minus1

4

2119909 minus 6119910 =1

2

g 1

2119909 minus 119910 = minus

1

2

minus5119909 + 8119910 = 8

h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1












UTN-FRT 110









a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5

b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15

c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3

d 119910 = 41199092 + 1

e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7

f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3


g El dominio












funciones

d El rango







UTN-FRT 111






a b c Tipo de


Dos

puntos

Ninguacuten

punto

1 minus7 6

minus1 3 minus4


1 0 minus4

radic3 6 3radic3


a b




2 minus

9

2) y corta al


UTN-FRT 112
















119877(119909) = minus1

401199092 +

7

2119909 para 0 lt 119909 lt 120











a 119891(119909) =119909+1

5minus4119909 b 119892(119909) =

3minus119909

1199092+4

c ℎ(119909) =1+1199092

1199093minus119909 d 119891(119909) =

7119909

1199092minus16

UTN-FRT 113



a 119891(119909) =3+2119909

5119909minus1

b 119892(119909) =3

2119909minus4

c ℎ(119909) =3minus2119909

4119909

d 119891(119909) =2+3119909

5minus119909


a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1

b 119892(119909) =3119909

radic119909+4


UTN-FRT 7






Ejemplos





ejemplos

Ejemplos


05 =5

10=

1

2

minus243

= minus243

100

14456

=14456

1000

=1807

125


0 4⏜ =4

9

8 13⏜

=813 minus 8

99

=805

99

UTN-FRT 8






119868 = 119886119886 notin ℚ

Ejemplos


120587 = 314159hellip

radic53

= 1709975hellip

e = 2718281828459045hellip

Nuacutemeros Reales






Naturales ℕ0



Irracionales 119868


01 8⏜

=18 minus 1

90

=17

90

73 16⏜

=7316 minus 73

990

=7243

990

UTN-FRT 9

Propiedades















Nombre de

la propiedad


Ley de

composicioacuten

interna




forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886


forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)

Elemento

neutro



Existencia

del


UTN-FRT 10

Ten en cuenta


119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939


120783120785 |120785

minus120783120784 120786

120783

por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783






real

POTENCIACIOacuteN


define como


Ademaacutes si ane0

a0=1 y a-n=1

119886119899

Ejemplos

elemento


1

119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1


forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886

ORIGEN


UTN-FRT 11

1 23=8 porque 23=222

2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)

3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)

4 -22=-4

5 (2

5)

2=

2

5

2

5=

4

25


Propiedad Ejemplos

119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78

119886119899

119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0

6minus3


(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310

(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093

(119886

119887)

119899

=119886119899

119887119899 (

119910

minus3)

2

=1199102

(minus3)2=

1199102

9

Ejemplos


1199092

2 (2

311990921199103)

4= (

2

3)

4(1199092)4(1199103)4 =

16

8111990924

11991034=

16

81119909811991012

Ten en cuenta


Ejemplos

1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22

2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12

RADICACIOacuteN



radic119886119899


Ejemplo radic273

= 3porque 33=27

UTN-FRT 12



radic119886119899




Ejemplos

1 radic81 = 9

2 radicminus83

= minus3


4 radic25

9=

5

3


Propiedad Ejemplos

radic119886 119887119899

= radic119886119899

radic119887119899


radic119886

119887

119899=

radic119886119899

119887 119887 ne 0 radic

8

343

3

=radic83

radic3433 =

2

7


119898

= radic119886119898119899

radicradic643

= radic646

= 2

119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899

119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899


3)

2= 4


= minus5


Ejemplos

1 2

radic7=

2

radic7

radic7

radic7=

2radic7

(radic7)2 =

2radic7

7

2 2

radic11990925 =2

radic11990925

radic11990935

radic11990935 =2 radic11990935

radic119909211990935 =2 radic11990935

radic11990955 =2 radic11990935

119909 119909 ne 0


3 3

radic119909+119910=

3

radic119909+119910




(radic119909)2

minus1199102=


119909minus1199102

UTN-FRT 13

Ten en cuenta


Ejemplo


radic100 ne 6 + 8

10 ne 14

INTERVALOS REALES


Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887




119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887

119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887


(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886

[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886




Ejemplos


UTN-FRT 14



VALOR ABSOLUTO


|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0



Ejemplos

a) |0| = 0 porque 0 ge 0

b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0

c) |7 | = 7 porque 7 ge 0

Algunas propiedades



3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|

4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|

5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|




|119909 + 1| = 7

119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7

119909 = 6oacute119909 = minus8

119862119878 = minus86


UTN-FRT 15

|2119909 minus 3| le 1


minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3

2 le 2119909 le 4

21

2le 2119909

1

2le 4

1

2

1 le 119909 le 2

119862119878 = [12]

Ten en cuenta



119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|

Ejemplo



pequentildeos

Ejemplos






Ejemplos








UTN-FRT 16

1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)

= 21404 x 104=21404 x 105

2 (216119909104)(125611990910minus12)

31711990910minus18 = 856119909109






e incoacutegnitas





UTN-FRT 17

Ten en cuenta




Donde a y b son

catetos y h es la

hipotenusa

UTN-FRT 18






es (2πR) 2




Ejecutamos el plan


UTN-FRT 19






Verificamos


un aacuterea


2 2 2

2 2 2

2 4

4 2

16 4

12 2 3

a

a

a

a

+ =

= minus

= minus

= =

UTN-FRT 20




4 120587

B = radicminus113

-3 -025 0 -2 120587 -radic3

3 C =

1

2 0 -2 radic9 120587 -

radic3

3







a 25

14 b

3

11 c

77

36 d

61

9






negativo



a (3 + 4)2 = 32 + 42

b (12 4)2 = 122 42

c 32 34 33 = 39

d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910

e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873

f radic36 + 64 = radic36 + 8

g (42)345 = 4



UTN-FRT 21

j (1198862)3 = 119886(23)



a (2 1199093 119910minus3

8 1199094 1199102 )minus1

b (7 1198864 119887minus4

2 1198862 1198872 )minus2

c (3 119909minus3 1199104

10 1199092 1199106)minus1

d (5 1198862 1198873


e (9 119909 119911minus2

27 119909minus4 119911)

minus3

f (3 1199092 1199105

1199093 119910)

3

7 Resuelve

a 427+2(minus6)


1

2)

2


075minus0625)

2

c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05


e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1

10119910+1102119910+1 f radicradic1633

+ radic33

radic323radic363

+ [2 (1

3+ 1)]

2

[(3

5minus 3)

5

3]

2



c radic3 radic3

radic34

5


f

119886minus2radic1

119886

radic119886minus53


a 3

radic2 b

2minus119909

radic119909 c

3 119886

radic9 119886 d

119909minus119910


e minus7

radic11988623 f 2

radic119911minus3 g

5

radic1199094 h

4minus1199092

2+radic119909


i 119909+119910


119909minus119910


119909+119910







UTN-FRT 22


9800 habitantes


con 119875 =221minus3119905








elaborado






que 5


o igual que 4


a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16



a 324517 x 104 b 716392 x 10-5

c 000000842 d 00025 x 107

UTN-FRT 23

e 542000000000 f 64317 x 10-6


a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)

317 10minus18

c 921 108

306 105 d (233 104)(411 103)












3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898


(1

3radic5 +

1

2) 119888119898


119888119898 y de base

3(radic3)minus1

119888119898




UTN-FRT 24


del cuadrado









05 m




UTN-FRT 25






a)

b)

c) d)

UTN-FRT 26

e) f)






UTN-FRT 27

UNIDAD Ndeg2


Polinomios



Regla de Ruffini




fraccionarias

UTN-FRT 28




Ejemplos

1 2120587radic119871

119892 2

7

119910minus 1199092 3 1199070119905 +

1

21198921199052

4 119909minus5

radic119909minus53


3-









cualquiera

(a+b)2






km en x horas

yx


119909+119910 119909 ne minus119910




Irracionales

UTN-FRT 29

Ejemplos







1199102 3

4+ 119909 +

1

119909




119905 11991123 + 119911minus12 119909 +

2

radic119909





Ejemplos

I)minus1

511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902





Ejemplos

I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1







UTN-FRT 30













3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909


119875(1) = minus2(1)3 +1


1

3minus 1 = minus

8

3



1

3minus 1 =

2

3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0

119875(minus1) + 119876(0) =2

3+ 0 =

2

3



Ejemplo P(x) = 1




opuestos


51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +

1





Grado P=4

UTN-FRT 31






41199092 minus 6

119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)

= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6

= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)

= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5





3119909 + 41199092 minus 6



= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)

= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7






119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)




Ten en cuenta


UTN-FRT 32






Ten en cuenta






31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2

+ minus 31199093 minus 6119909 + 2

minus31199095 + 61199093

61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1

+

minus61199093 + 12119909

minus21199092 + 12119909 + 1

+

21199092 minus 4

12119909 minus 3


Ten en cuenta


(PQ)= m-n


exacto es decir

i) P(x)=C(x) Q(x)



UTN-FRT 33

Regla de Ruffini




119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3

minus3|


15 minus45 39


09

9





119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0

Teorema del resto




i) P(x)=C(x) (x-a)






Ten en cuenta


complejas


Coeficientes del

dividendo

Coeficientes del

cociente

resto

Coefic

ientes

del

divide

ndo

UTN-FRT 34



un cero real


Factor comuacuten




1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)








= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)

= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)

= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)




cuadrados




41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2

UTN-FRT 35







31198861198872 + 1198873


31198861198872 minus 1198873








41199102

251199092 minus1

41199102 = (5119909)2 minus (

1

2119910)

2

= (5119909 +1

2119910) (5119909 minus

1

2119910)


Si n es par









suma por la segunda


UTN-FRT 36


Ten en cuenta








simples



Ejemplos



2 Si 119876(119909) =1








1199093 = 0

1199094 = minus5






UTN-FRT 37


119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6











119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1

minus1 |


1 minus5 6 0


2 |

1 minus5 62 minus6

1 minus3 0





Divisores -1 1


Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6

El cociente es

( ) 2 5 6C x xx = minus +

El cociente es

( ) 3C x x= minus

UTN-FRT 38






2119886 donde 1199091 =


2119886 y 1199092 =


2119886


119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)



119876(119909) se


Ejemplos

1 119909minus5

2119909minus1 119909 ne

1

2

2 1199092minus36

31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6




Simplificacioacuten

Sea 119875(119909)



ambos


31199092minus12119909

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4)=

(119909+4)

3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4

UTN-FRT 39

Multiplicacioacuten





1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1

1199094 minus 1

1199092 + 6119909 + 9sdot

1199092 + 3119909

1199092 minus 1sdot

7

1199092 + 1=

(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)

(119909 + 3)2sdot

119909(119909 + 3)

(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot

7

1199092 + 1 119909

ne minus3 minus11

1199094minus1

1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1=

(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)

(119909+3)2 sdot119909(119909+3)

(119909minus1)(119909+1)sdot

7

1199092+1=

7119909

119909+3 119909 ne minus3 minus11

Divisioacuten



la segunda


119909+5

1199092minus119909

1199092minus25

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5)=

119909 minus 1

119909 + 5sdot

(119909 minus 5)(119909 + 5)

119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015

119909minus1

119909+5

1199092minus119909

1199092minus25=

119909minus1

119909+5sdot

(119909minus5)(119909+5)

119909(119909minus1)=

119909minus5

119909 119909 ne minus5015


119875(119909)

119876(119909)119877(119909)

119878(119909)=

119875(119909)

119876(119909)sdot

119878(119909)

119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0





exponente

UTN-FRT 40



1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)

1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2

1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)




denominadores




119909minus1minus

119909+1

1199092minus1

119909+4

119909minus1minus

119909+1

1199092minus1=

119909+4

119909minus1minus

119909+1

(119909minus1)(119909+1)=

119909+4

119909minus1minus

1



119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

1199092 minus 1=

119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

(119909 minus 1)(119909 + 1)=

119909 + 4

119909 minus 1minus

1

119909 minus 1=

119909 + 4 minus 1

119909 minus 1=

119909 + 3

119909 minus 1 119909 ne minus11





1199092+3119909minus10minus

2119909+4

1199092minus4

119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2(119909 + 2)

(119909 minus 2)(119909 + 2)=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909

ne minus5 minus22


119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909 ne minus52

=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)

(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52

UTN-FRT 41




Expresioacuten

algebraica

Racional

entera

Racional no

entera

irracional

2 31 1

1

xx

x

minus+

minus

2 314

2x xy xminus minus


2 135x y x+



a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2

31199095 minus 119909 minus 2



x=0 x=1 x=-1 x=2

a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17

b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909

c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13



b) El aacuterea


los 6 cuadrados




UTN-FRT 42


a b

c d











b)(51199093 +1

21199092 minus 3119909 +

3

4) + (

4

51199093 + 31199092 +

1

5119909 minus

1

2)

UTN-FRT 43

c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)



f) (31199093 minus1

21199092 + 2119909 minus 2) (

2

31199092 minus 1)

g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)

h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)

i) (1

21199094 +

8

31199093 +

1

21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (

1

2119909 + 3)


119909 minus 2


a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)

b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)

c) (1199094 minus1

21199093 +

1

31199092 minus

1

4119909 +

1

5) ∶ (119909 minus 1)

d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)

e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)

f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)

g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)


a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3

b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5

c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1




UTN-FRT 44


(119909 minus 5)






dos









a) 1611988621199092 minus 411990931198863

b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092

c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14

d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909

e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1

f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910

g) 4

251198864 minus

1

91199092

h) 25

1198982 minus 36

i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887

j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901

k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096

l) 1199103 +3

41199102 +

3

16119910 +

1

64

m) 1199092 + 36 minus 12119909

n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103

UTN-FRT 45

o) 1199093

27minus

1198861199092

3+ 1198862119909 minus 1198863



a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6


e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6














a) 1199094minus31199092+5119909minus3

119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1

b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15

119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3

c) 1199093+1

119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1


a 2

2 2 8

2 2 4

x a x a ax

x a a x x a

minus +minus +

+ minus minus b

21 1

1 1

xx

x x

+minus +

+ minus

c 3 1 1

4 4 1 1

x x xx

x x x


minus + d

2

1 1 21

1 1

x

x x x

minus minus

+ minus

e 1 1

x xx x

x x

+ minus

minus minus f

2

3 2

1 1

x

x a x a x a x

+

+ minus minus

UTN-FRT 46

g 1

8minus8119909minus

1

8+8119909+

119909

4+41199092 h

4119909minus3119887

2119909minus 2 +

2119909+119887

3119909

i (1

119909+

2

119886) (

1

119909minus

2

119886) (

119886119909

119886+2119909) j (

1199092

1198862 minus1198862

1199092) ∶ (119909

119886+

119886

119909)

k (1199094 minus1

1199092) ∶ (1199092 +

1

119909) l (

2119909

119909+3minus

119909+1

119909) ∶ (

1199093minus41199092minus3119909

1199092 )


a ( )

( )( )

22 a b aa b a

b a b b a b a b

minus+minus +


a b+ b

a bminus

+

b

a b+

a b

b

+ Otro

b 2 3 4 4 1

2 2 3 3 6 6

a a a

a a a


+ + + es igual a

a 1

6

b

a b Otro

c

2

2

2 4 4

1 1 1

x x x

x x x

minus + minus


2

1

2x xminus

minus minus

2

1

2x xminus minus

2

1



2119886+2minus

3119886minus4

3119886+3+

4119886minus1

6119886+6=

1

6

UTN-FRT 47

UNIDAD Ndeg3

Aacutengulo


Longitud de arco

Triaacutengulos







Teorema del seno

Teorema del coseno

UTN-FRT 48

Nociones previas


dos aacutengulos





bull




Sistema sexagesimal




sexagesimal





1 =

UTN-FRT 49

Longitud de arco









Ejemplos



ii) 4


180deg-----------------

3043deg--------------x


180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889

ii) ---------------------180deg

4

----------------------x

Entonces x=

1801804 45

4

= =



UTN-FRT 50

Elementos


Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860


180deg--------

50deg--------x

Entonces x=50 5

180 18

=


18

=5 metros


Elementos

Propiedades




diferencia






180deg

+ + = 180deg

UTN-FRT 51



360deg

+ + 120574 = 360deg







equilaacutetero


Como + + = 180deg

Entonces



= 96deg

UTN-FRT 52


Triaacutengulos

acutaacutengulos

Triaacutengulos

rectaacutengulos

Triaacutengulos

obtusaacutengulos


agudos






hipotenusa c= =

oshipotenusa c


= =

oscatetoadyacente b

c Ahipotenusa c

= =

echipotenusa c


= =

catetoopuesto atg A



catetoopuesto a= =


bsen B

c= cos

aB

c= t

bg B

a=


UTN-FRT 53



Ten en cuenta




1 Datos b=280 m y c= 415 m

28006747

415

(06747)

4243

bsen B

c

B arcsen

B

= = =

=

=





30631119898119890119905119903119900119904


119888119900119904 3 7deg =52

119888

119888 =52

119888119900119904 3 7deg

119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904


119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904


UTN-FRT 54







Ten en cuenta








normal

UTN-FRT 55











1



os1



catetoopuesto ytg


1os

hipotenusac ec

catetoopuesto y = =

UTN-FRT 56

1ec

hipotenusas


otcatetoadyacente x


= =







4 Como

1 1 1 1

1 1 1 cos 1

y sen

x

minus minus

minus minus



2 2cos 1sen + =

UTN-FRT 57

cos 0cos

sentg

=

1sec cos 0

cos

=

1sec s 0co en

sen

=






Entonces

130

2 2




sen tg

= =

UTN-FRT 58

1 330

33 3

catetoopuesto y ytg



1cos60 30

2sen = =

60 cot 30 3tg g = =





Entonces

3 3cos30

2 2 2



360 cos30

2sen = =

UTN-FRT 59

1 245

22 2



1 2cos45

22 2

catetoadyacente x x




= = = =




Primer

paso


4

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

00

2=

1

2 2

2

3

2

21

2=

Divido en 2

sen α 0 1

2 2

2

3

2

1




Primer

paso


0

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

21

2= 3

2

2

2

1

2

00

2=

Divido en 2

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0

UTN-FRT 60

En resumen


sen α 0 1

2 2

2

3

2

1

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0












7 10 7 12186910


h altura

UTN-FRT 61


121869 121869km a m m=









dos islas


1200 1200

10 10 1200 68055310

tg d tg d d md tg

= = = =


d distancia

UTN-FRT 62


Teorema del seno




opuestos

a b c

sen A sen B senC= =

sen A sen B senC

a b c= =







3

30 45

3 45

30

3 2

a b b

sen A sen B sen sen

senb

sen

b

= =

=

=

UTN-FRT 63


3

30 105

3 105

30

3 6 3 2

2

a c c

sen A senC sen sen

senc

sen

c

= =

=

+ =


2b m

+=

Teorema del coseno







2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + minus

= + minus

= + minus

Ten en cuenta







UTN-FRT 64




2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos32

1858

431

BD AB AD AB AD A

BD

BD

BD

= + minus

= + minus

=

=



Por propiedad

+ + + = 360deg = =



2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos148

18141

1347

AC AB BC AB BC B

AC

AC

AC

= + minus

= + minus

=

=

UTN-FRT 65

Unidad Ndeg3



sexagesimal

a 120587

6

a 5120587

4 b 26 rad

c 2120587

3 d 35 rad e

3120587

2


b 60deg




que

25

20

35

=

=

=


y C


120572 = 60deg


120572 = 18deg


120572 = 20deg



la figura dada




agudo

a) 119904119890119899119860 =3

7

b) 119905119892119860 = 15

UTN-FRT 66

c) 119888119900119904119860 = 03



b A = 38deg b = 15

c b = 12 c = 5

d a = 18 b = 32

e c = 12 a = 14












altura 8 cm




120572 = 60deg 120579 = 60deg

119860119863 = 18 119898

A

B

D

C

UTN-FRT 67









altura de la torre






Complete la tabla

a

c

b

UTN-FRT 68

a

b

c

120572 120573 120574 Aacuterea

30 cm 45 cm 40deg

120 cm 84 cm 60deg

60 m 70 m 5120587

6

25 cm 35deg 68deg

252 m 378 m 434 m


475 cm 70deg 45deg





la figura








UTN-FRT 69









UTN-FRT 70









UTN-FRT 71

UNIDAD Ndeg4










UTN-FRT 72





Ejemplos



Ten en cuenta






2

Pr




Clasificacioacuten

Enteras Racionales



Logariacutetmicas




Ejemplos






UTN-FRT 73


31

4

x

x

minus=






racional no entero













de partida

Ten en cuenta


(CS= )





UTN-FRT 74

9 2 11

9 2 9 11 9

2 2

1 12 2

2 2

1

x

x

x

x

x

+ =

+ minus = minus

=

=

=

Por lo tanto CS= 1





ax bx c a+ + =





2 5 3a b c= = = minus

2

12

1

12

2

5 25 42( 3)4 5 49

2 22 4

5 7 2 1

5 7 2 4 2

5 7 1243

4 4

b b acx

a

x

x

x


minus += = =minus


Por lo tanto CS=1

2 -3


0c


2

2

2

3 12 0

3 12

4

2

2 2

x

x

x

x

x x

minus =

=

=

=

= minus =


UTN-FRT 75


0b y 0c =


( )

22 12 0

2 6 0 2 0 6 0

0 6

x x

x x x x

x x

minus =

minus = = minus =

= =




2

12

4

2

b b acx

a







1 2 5 6 0x xminus + =


reales y distintas

2 2 9 0x x+ + =









1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +

UTN-FRT 76

2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

3 2

1 1 2

1x x x x+ =

minus minus

Resolucioacuten

1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +


denominador

7 + 119909

119909 + 5=

119909 + 3

119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2



7 + 119909

119909 + 5∙

119909 + 2

119909 + 2=

119909 + 3

119909 + 2 ∙

119909 + 5

119909 + 5

(7 + 119909) (119909 + 2)

(119909 + 5) (119909 + 2)=

(119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 2) (119909 + 5)

(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)


7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15

9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15


119909 minus 1 = 0

119909 = 1



5 2

x x

x x

+ +=

+ +

Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3

1 5 6 3 1 2

+ += = =

+ +

Luego 119862119878 = 1

UTN-FRT 77


5 2

x x

x x

+ +=


7 + 119909

119909 + 5minus

119909 + 3

119909 + 2= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 5) (119909 + 2)= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0



119909 minus 1 = 0

119909 = 1


2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +



3119909

2119909 + 1=

119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

21199092 + 3119909 + 1

3119909

2 (119909 +12)

=119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

2(119909 + 1) (119909 +12)


2

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)


3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1

2) + (119909 minus 19)

UTN-FRT 78


31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19


1199092 minus 9119909 + 14 = 0


1199091 = 2 y 1199091 = 7


2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

Si 119909 = 2

32

22 + 1=

2 + 5

2 + 1+

2 minus 19

2 22 + 32 + 1

6

5=

7

3+

(minus17)

15

6

5=

18

15

6

5=

6

5

Si 119909 = 7

37

27 + 1=

7 + 5

7 + 1+

7 minus 19

2 72 + 37 + 1

21

15=

12

8+

(minus12)

120

7

5=

3

2+

(minus1)

10

7

5=

14

10

7

5=

7

5

Luego 119862119878 = 27

UTN-FRT 79

3 23 11 6

2 3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus


23 11 62 3

3 3

x xx con x

x x

minusminus = minus

minus minus

Operando obtenemos

2

2 2

2

2

3 11 2 ( 3) 6

3 3

3 11 2 6 6

3 3

5 6

3 3

5 6 0

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x


minus minus


minus minus

minus= minus

minus minus

minus + =


1 22 3x y x= =


2 33 3

x xx con x

x x

minusminus = minus





23 11 62

3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus

Si x=2

232 112 12 22 622 4 10 4 6

2 3 1 2 3


minus minus minus





1 radic5119909 = 119909

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909


Resolucioacuten

UTN-FRT 80

1 radic5119909 = 119909


miembros

(radic5119909)2

= 1199092

5119909 = 1199092

1199092 minus 5119909 = 0


Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 05

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909



= (119909 minus 4)2

4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16


minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0


Verificacioacuten

Si 119909 = 2


4 + 2 = 2

6 = 2

Si 119909 = 10


4 + 2 radic9 = 10

4 + 23 = 10

UTN-FRT 81

10 = 10

Luego 119862119878 = 10




(radic3119909 + 1)2






1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)

1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4


y 1199092 = 5

Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 15

Inecuaciones






con la letra e

UTN-FRT 82

1

25 35

experiencia

edad

a a

e e



fundamentales















la recta real

1 5 3 4x x+ minus

5 3 5 4 5

3 1

3 1

4 1

1

4

x x

x x

x x x x

x

x

+ minus minus minus

minus minus

+ minus minus +

minus

minus

CS=(-infin -14]

UTN-FRT 83

2 2 1 7xminus +

( )

2 1 1 7 1

2 6

1 1 2 6

2 2

3

x

x

x

x

minus + minus minus

minus

minus minus minus

minus

CS=(-3infin)

UTN-FRT 84












119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ





5 119862 + 32

Despeja 119862





c 4(119909 minus 2) +1

2= minus

1

3(119909 + 2) minus

14

3 d

119909minus2

119909+3minus

119909+1

119909minus3=

5

1199092minus9

e 119909+1

119909minus1minus

119909

119909+1=

119909+5



2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus

119909

2




5

4

5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8


3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0




UTN-FRT 85


nuacutemeros


nuacutemeros




y el resto 9





a 131199092 + 8 = 60

b 31199092 minus 24119909 = 0

c 41199092 minus 20119909 = 75

d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6

e 31199092+6119909

3minus 120 = 0

f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)

g 24119909minus61199092

15= 0

h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909




c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1

21199092 + 5119909 + 8




de modo que




UTN-FRT 86




a) 119886 = 0 119898

b) 119886 =75

4 119898

c) 119886 = 15 119898









9













del marco


UTN-FRT 87


a 6minus119909

1199092+4119909+4minus

1

119909+2=

2

5minus119909 b (

119909+1

119909minus1)

2

+119909+1

119909minus1= 6

c 119909+4

3119909minus6minus

119909minus6

4119909minus8=

119909+1

119909minus2 d

3

119909minus2+

7

119909+2=

119909+1

119909minus2

e 1

119909minus2= 1 +

2

1199092minus2119909 f

2119909minus3

3119909minus2=

119909minus1

2119909

g 2+119909

2minus119909+

2minus119909

2+119909= 2 h

3

119909+5= 1 minus

4

119909minus5

i 119909+1

119909minus1minus

119909+5

1199092minus1=

119909

119909+1












a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5

c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1

21199092 + 5119909 + 8 ge 0


g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0

UTN-FRT 88

UNIDAD Ndeg5

Funciones






Funcioacuten lineal

Dominio y rango

Graacutefica




Domino y rango

Graacutefica



UTN-FRT 89

Funciones




Ejemplos







t 1 2 3 4

d 5 20 45 80




automoacutevil

Dominio Rango

UTN-FRT 90









Notacioacuten




A B

UTN-FRT 91

( )

f A B

x y f x

rarr

rarr =
















Ten en cuenta









UTN-FRT 92







la graacutefica







funcioacuten




UTN-FRT 93


funciones

1 ( ) 2 1f x x= minus


2 1 0

2 1

1

2

x

x

x

minus =

=

=


2 0)


(0) 20 1

(0) 1

f

f

= minus

= minus


2 2( ) 5 6f x x x= minus +


2

2

12

1 2

5 6 0

5 5 416

21

3 2

x x

x

x y x

minus + =

minus=

= =



2(0) 0 50 6

(0) 6

f

f

= minus +

=


Q (0 y)


f (0)

ceros


UTN-FRT 94





isin (a b)





isin (a b)



Enteras Racionales



Logariacutetmicas



Ejemplos



6( )

3 6

xf x

x x

+=

minus


UTN-FRT 95


13( )g x x=



Funcioacuten Lineal









funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


en ℝ





funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


decreciente en ℝ

Ten en cuenta



UTN-FRT 96







ceros


de las abscisas y=0


y=b









2 1

2 1

( )

( )



minus= = = minus

UTN-FRT 97


21

3y x= +

Donde 2

3m = y 1b =



32

4y x= minus +

Donde 3

4m = minus y 2b =






1 2m m=


UTN-FRT 98



1 2 2m m= =




1

1m

m= minus


13

y x= minus minus


las pendientes son

1 3m = y 2

1

3m = minus



general como


1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =

+ =

UTN-FRT 99





Clasificacioacuten

Sistema

compatible

determinado

(SCD)







Sistema

compatible

indeterminado

(SCI)


representa



UTN-FRT 100

Sistema

Incompatible

(SI)



rectas paralelas no









Ejemplos

1 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus




De 1 1

(2)2 2

y x= minus minus


1 12 3

2 2

1 12 3

2 2

5 5

2 2

1

y y

x x

x x

x

x

=

minus = minus minus

+ = minus +

=

=

UTN-FRT 101



De (1) 1y = minus


2 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus



no utilizada



Resolvemos

2 4 3

5 5

1

y y

y

y

minus minus minus =

minus =

= minus



De (2) 1x =


3 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus







2 3 2 3 4 2 6

2 1 2 1 2 1

x y x y x y

x y x y x y




5 5 1x x= =



De (1) 1y = minus

UTN-FRT 102












2 0ax bx c+ + =

Obtenemos 2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus= y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )hminus

UTN-FRT 103




2 0ax bx c+ + =

Obtenemos

2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus=

y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )h

Ceros







raiacuteces reales


sola raiacutez real

1 22

bx x

a= = minus


raiacuteces reales

UTN-FRT 104





bh


2k ah bh c= + +


bx

a= minus




Ejemplos


a El dominio






Resolucioacuten








coordenadas (0 5)


321

h = minus = minus y



UTN-FRT 105


funcioacuten


e Grafica








2( )

4 3

xf x

x

+=

minus

2

2( )

1

xg x

x

minus=

+ y

2

3

9( )

xh x

x x

+=

minus


119863119900119898119891 = ℝ minus 4

3

119863119900119898119892 = ℝ

Rgof=[ 4 )minus

UTN-FRT 106

119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101



f xcx d

+=

+


119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus

119886

119888





yc

=


xc

= minus


1 2

2( )

4

xf x

x x

+=


2 2 5

( )1

xf x

x

minus +=


graacutefica

Resolucioacuten

UTN-FRT 107


2( )

4

xf x

x x

+=





( )1

xf x

x

minus +=





xc



yc




( ) 5f x x= minus 2

( )1

g xx

=minus





)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ

UTN-FRT 108


ldquoFuncionesrdquo


a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1

21199092 + 2119909 minus 5

c 119910 = radic119909 + 1

d 119892(119909) =119909+5

2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (

119909

3)

f 119892(119909) = minus7119909 + 3

g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2

119909+ 5


origen

a 119891(119909) = minus4119909 +1

2 ( )

b 119910 = 5119909 + 4 ( )

c 119910 =4

119909minus 6 ( )

d 119910 = minus1

2119909 +

4

7 ( )


5119909 ( )


a 1198750 (minus1


5

2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2



a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)

b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)

c 1198751(2 3) 1198752(1 2)

d 1198751(6 0) 1198752(0 2)

e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)


coordenados

a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7

c 119910 = minus1

2119909 + 4 d 119910 = minus2119909


a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1

b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4





UTN-FRT 109




2

1


puntos (-2 4) y (4 6)


puntos (-2 -1) y (2

3 0)




clasifiacutecalos

a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4

b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

c 2119909 minus 119910 = minus3

minus3119909 +9

4119910 =

15

2


e minus

2

3119909 + 119910 = 1

minus5119909 + 8119910 = 7 f

minus119909 + 3119910 = minus1

4

2119909 minus 6119910 =1

2

g 1

2119909 minus 119910 = minus

1

2

minus5119909 + 8119910 = 8

h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1












UTN-FRT 110









a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5

b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15

c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3

d 119910 = 41199092 + 1

e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7

f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3


g El dominio












funciones

d El rango







UTN-FRT 111






a b c Tipo de


Dos

puntos

Ninguacuten

punto

1 minus7 6

minus1 3 minus4


1 0 minus4

radic3 6 3radic3


a b




2 minus

9

2) y corta al


UTN-FRT 112
















119877(119909) = minus1

401199092 +

7

2119909 para 0 lt 119909 lt 120











a 119891(119909) =119909+1

5minus4119909 b 119892(119909) =

3minus119909

1199092+4

c ℎ(119909) =1+1199092

1199093minus119909 d 119891(119909) =

7119909

1199092minus16

UTN-FRT 113



a 119891(119909) =3+2119909

5119909minus1

b 119892(119909) =3

2119909minus4

c ℎ(119909) =3minus2119909

4119909

d 119891(119909) =2+3119909

5minus119909


a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1

b 119892(119909) =3119909

radic119909+4


UTN-FRT 8






119868 = 119886119886 notin ℚ

Ejemplos


120587 = 314159hellip

radic53

= 1709975hellip

e = 2718281828459045hellip

Nuacutemeros Reales






Naturales ℕ0



Irracionales 119868


01 8⏜

=18 minus 1

90

=17

90

73 16⏜

=7316 minus 73

990

=7243

990

UTN-FRT 9

Propiedades















Nombre de

la propiedad


Ley de

composicioacuten

interna




forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886


forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)

Elemento

neutro



Existencia

del


UTN-FRT 10

Ten en cuenta


119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939


120783120785 |120785

minus120783120784 120786

120783

por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783






real

POTENCIACIOacuteN


define como


Ademaacutes si ane0

a0=1 y a-n=1

119886119899

Ejemplos

elemento


1

119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1


forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886

ORIGEN


UTN-FRT 11

1 23=8 porque 23=222

2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)

3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)

4 -22=-4

5 (2

5)

2=

2

5

2

5=

4

25


Propiedad Ejemplos

119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78

119886119899

119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0

6minus3


(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310

(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093

(119886

119887)

119899

=119886119899

119887119899 (

119910

minus3)

2

=1199102

(minus3)2=

1199102

9

Ejemplos


1199092

2 (2

311990921199103)

4= (

2

3)

4(1199092)4(1199103)4 =

16

8111990924

11991034=

16

81119909811991012

Ten en cuenta


Ejemplos

1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22

2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12

RADICACIOacuteN



radic119886119899


Ejemplo radic273

= 3porque 33=27

UTN-FRT 12



radic119886119899




Ejemplos

1 radic81 = 9

2 radicminus83

= minus3


4 radic25

9=

5

3


Propiedad Ejemplos

radic119886 119887119899

= radic119886119899

radic119887119899


radic119886

119887

119899=

radic119886119899

119887 119887 ne 0 radic

8

343

3

=radic83

radic3433 =

2

7


119898

= radic119886119898119899

radicradic643

= radic646

= 2

119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899

119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899


3)

2= 4


= minus5


Ejemplos

1 2

radic7=

2

radic7

radic7

radic7=

2radic7

(radic7)2 =

2radic7

7

2 2

radic11990925 =2

radic11990925

radic11990935

radic11990935 =2 radic11990935

radic119909211990935 =2 radic11990935

radic11990955 =2 radic11990935

119909 119909 ne 0


3 3

radic119909+119910=

3

radic119909+119910




(radic119909)2

minus1199102=


119909minus1199102

UTN-FRT 13

Ten en cuenta


Ejemplo


radic100 ne 6 + 8

10 ne 14

INTERVALOS REALES


Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887




119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887

119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887


(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886

[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886




Ejemplos


UTN-FRT 14



VALOR ABSOLUTO


|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0



Ejemplos

a) |0| = 0 porque 0 ge 0

b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0

c) |7 | = 7 porque 7 ge 0

Algunas propiedades



3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|

4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|

5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|




|119909 + 1| = 7

119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7

119909 = 6oacute119909 = minus8

119862119878 = minus86


UTN-FRT 15

|2119909 minus 3| le 1


minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3

2 le 2119909 le 4

21

2le 2119909

1

2le 4

1

2

1 le 119909 le 2

119862119878 = [12]

Ten en cuenta



119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|

Ejemplo



pequentildeos

Ejemplos






Ejemplos








UTN-FRT 16

1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)

= 21404 x 104=21404 x 105

2 (216119909104)(125611990910minus12)

31711990910minus18 = 856119909109






e incoacutegnitas





UTN-FRT 17

Ten en cuenta




Donde a y b son

catetos y h es la

hipotenusa

UTN-FRT 18






es (2πR) 2




Ejecutamos el plan


UTN-FRT 19






Verificamos


un aacuterea


2 2 2

2 2 2

2 4

4 2

16 4

12 2 3

a

a

a

a

+ =

= minus

= minus

= =

UTN-FRT 20




4 120587

B = radicminus113

-3 -025 0 -2 120587 -radic3

3 C =

1

2 0 -2 radic9 120587 -

radic3

3







a 25

14 b

3

11 c

77

36 d

61

9






negativo



a (3 + 4)2 = 32 + 42

b (12 4)2 = 122 42

c 32 34 33 = 39

d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910

e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873

f radic36 + 64 = radic36 + 8

g (42)345 = 4



UTN-FRT 21

j (1198862)3 = 119886(23)



a (2 1199093 119910minus3

8 1199094 1199102 )minus1

b (7 1198864 119887minus4

2 1198862 1198872 )minus2

c (3 119909minus3 1199104

10 1199092 1199106)minus1

d (5 1198862 1198873


e (9 119909 119911minus2

27 119909minus4 119911)

minus3

f (3 1199092 1199105

1199093 119910)

3

7 Resuelve

a 427+2(minus6)


1

2)

2


075minus0625)

2

c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05


e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1

10119910+1102119910+1 f radicradic1633

+ radic33

radic323radic363

+ [2 (1

3+ 1)]

2

[(3

5minus 3)

5

3]

2



c radic3 radic3

radic34

5


f

119886minus2radic1

119886

radic119886minus53


a 3

radic2 b

2minus119909

radic119909 c

3 119886

radic9 119886 d

119909minus119910


e minus7

radic11988623 f 2

radic119911minus3 g

5

radic1199094 h

4minus1199092

2+radic119909


i 119909+119910


119909minus119910


119909+119910







UTN-FRT 22


9800 habitantes


con 119875 =221minus3119905








elaborado






que 5


o igual que 4


a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16



a 324517 x 104 b 716392 x 10-5

c 000000842 d 00025 x 107

UTN-FRT 23

e 542000000000 f 64317 x 10-6


a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)

317 10minus18

c 921 108

306 105 d (233 104)(411 103)












3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898


(1

3radic5 +

1

2) 119888119898


119888119898 y de base

3(radic3)minus1

119888119898




UTN-FRT 24


del cuadrado









05 m




UTN-FRT 25






a)

b)

c) d)

UTN-FRT 26

e) f)






UTN-FRT 27

UNIDAD Ndeg2


Polinomios



Regla de Ruffini




fraccionarias

UTN-FRT 28




Ejemplos

1 2120587radic119871

119892 2

7

119910minus 1199092 3 1199070119905 +

1

21198921199052

4 119909minus5

radic119909minus53


3-









cualquiera

(a+b)2






km en x horas

yx


119909+119910 119909 ne minus119910




Irracionales

UTN-FRT 29

Ejemplos







1199102 3

4+ 119909 +

1

119909




119905 11991123 + 119911minus12 119909 +

2

radic119909





Ejemplos

I)minus1

511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902





Ejemplos

I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1







UTN-FRT 30













3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909


119875(1) = minus2(1)3 +1


1

3minus 1 = minus

8

3



1

3minus 1 =

2

3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0

119875(minus1) + 119876(0) =2

3+ 0 =

2

3



Ejemplo P(x) = 1




opuestos


51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +

1





Grado P=4

UTN-FRT 31






41199092 minus 6

119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)

= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6

= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)

= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5





3119909 + 41199092 minus 6



= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)

= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7






119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)




Ten en cuenta


UTN-FRT 32






Ten en cuenta






31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2

+ minus 31199093 minus 6119909 + 2

minus31199095 + 61199093

61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1

+

minus61199093 + 12119909

minus21199092 + 12119909 + 1

+

21199092 minus 4

12119909 minus 3


Ten en cuenta


(PQ)= m-n


exacto es decir

i) P(x)=C(x) Q(x)



UTN-FRT 33

Regla de Ruffini




119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3

minus3|


15 minus45 39


09

9





119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0

Teorema del resto




i) P(x)=C(x) (x-a)






Ten en cuenta


complejas


Coeficientes del

dividendo

Coeficientes del

cociente

resto

Coefic

ientes

del

divide

ndo

UTN-FRT 34



un cero real


Factor comuacuten




1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)








= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)

= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)

= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)




cuadrados




41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2

UTN-FRT 35







31198861198872 + 1198873


31198861198872 minus 1198873








41199102

251199092 minus1

41199102 = (5119909)2 minus (

1

2119910)

2

= (5119909 +1

2119910) (5119909 minus

1

2119910)


Si n es par









suma por la segunda


UTN-FRT 36


Ten en cuenta








simples



Ejemplos



2 Si 119876(119909) =1








1199093 = 0

1199094 = minus5






UTN-FRT 37


119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6











119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1

minus1 |


1 minus5 6 0


2 |

1 minus5 62 minus6

1 minus3 0





Divisores -1 1


Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6

El cociente es

( ) 2 5 6C x xx = minus +

El cociente es

( ) 3C x x= minus

UTN-FRT 38






2119886 donde 1199091 =


2119886 y 1199092 =


2119886


119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)



119876(119909) se


Ejemplos

1 119909minus5

2119909minus1 119909 ne

1

2

2 1199092minus36

31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6




Simplificacioacuten

Sea 119875(119909)



ambos


31199092minus12119909

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4)=

(119909+4)

3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4

UTN-FRT 39

Multiplicacioacuten





1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1

1199094 minus 1

1199092 + 6119909 + 9sdot

1199092 + 3119909

1199092 minus 1sdot

7

1199092 + 1=

(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)

(119909 + 3)2sdot

119909(119909 + 3)

(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot

7

1199092 + 1 119909

ne minus3 minus11

1199094minus1

1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1=

(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)

(119909+3)2 sdot119909(119909+3)

(119909minus1)(119909+1)sdot

7

1199092+1=

7119909

119909+3 119909 ne minus3 minus11

Divisioacuten



la segunda


119909+5

1199092minus119909

1199092minus25

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5)=

119909 minus 1

119909 + 5sdot

(119909 minus 5)(119909 + 5)

119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015

119909minus1

119909+5

1199092minus119909

1199092minus25=

119909minus1

119909+5sdot

(119909minus5)(119909+5)

119909(119909minus1)=

119909minus5

119909 119909 ne minus5015


119875(119909)

119876(119909)119877(119909)

119878(119909)=

119875(119909)

119876(119909)sdot

119878(119909)

119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0





exponente

UTN-FRT 40



1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)

1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2

1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)




denominadores




119909minus1minus

119909+1

1199092minus1

119909+4

119909minus1minus

119909+1

1199092minus1=

119909+4

119909minus1minus

119909+1

(119909minus1)(119909+1)=

119909+4

119909minus1minus

1



119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

1199092 minus 1=

119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

(119909 minus 1)(119909 + 1)=

119909 + 4

119909 minus 1minus

1

119909 minus 1=

119909 + 4 minus 1

119909 minus 1=

119909 + 3

119909 minus 1 119909 ne minus11





1199092+3119909minus10minus

2119909+4

1199092minus4

119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2(119909 + 2)

(119909 minus 2)(119909 + 2)=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909

ne minus5 minus22


119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909 ne minus52

=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)

(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52

UTN-FRT 41




Expresioacuten

algebraica

Racional

entera

Racional no

entera

irracional

2 31 1

1

xx

x

minus+

minus

2 314

2x xy xminus minus


2 135x y x+



a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2

31199095 minus 119909 minus 2



x=0 x=1 x=-1 x=2

a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17

b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909

c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13



b) El aacuterea


los 6 cuadrados




UTN-FRT 42


a b

c d











b)(51199093 +1

21199092 minus 3119909 +

3

4) + (

4

51199093 + 31199092 +

1

5119909 minus

1

2)

UTN-FRT 43

c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)



f) (31199093 minus1

21199092 + 2119909 minus 2) (

2

31199092 minus 1)

g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)

h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)

i) (1

21199094 +

8

31199093 +

1

21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (

1

2119909 + 3)


119909 minus 2


a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)

b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)

c) (1199094 minus1

21199093 +

1

31199092 minus

1

4119909 +

1

5) ∶ (119909 minus 1)

d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)

e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)

f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)

g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)


a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3

b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5

c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1




UTN-FRT 44


(119909 minus 5)






dos









a) 1611988621199092 minus 411990931198863

b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092

c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14

d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909

e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1

f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910

g) 4

251198864 minus

1

91199092

h) 25

1198982 minus 36

i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887

j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901

k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096

l) 1199103 +3

41199102 +

3

16119910 +

1

64

m) 1199092 + 36 minus 12119909

n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103

UTN-FRT 45

o) 1199093

27minus

1198861199092

3+ 1198862119909 minus 1198863



a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6


e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6














a) 1199094minus31199092+5119909minus3

119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1

b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15

119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3

c) 1199093+1

119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1


a 2

2 2 8

2 2 4

x a x a ax

x a a x x a

minus +minus +

+ minus minus b

21 1

1 1

xx

x x

+minus +

+ minus

c 3 1 1

4 4 1 1

x x xx

x x x


minus + d

2

1 1 21

1 1

x

x x x

minus minus

+ minus

e 1 1

x xx x

x x

+ minus

minus minus f

2

3 2

1 1

x

x a x a x a x

+

+ minus minus

UTN-FRT 46

g 1

8minus8119909minus

1

8+8119909+

119909

4+41199092 h

4119909minus3119887

2119909minus 2 +

2119909+119887

3119909

i (1

119909+

2

119886) (

1

119909minus

2

119886) (

119886119909

119886+2119909) j (

1199092

1198862 minus1198862

1199092) ∶ (119909

119886+

119886

119909)

k (1199094 minus1

1199092) ∶ (1199092 +

1

119909) l (

2119909

119909+3minus

119909+1

119909) ∶ (

1199093minus41199092minus3119909

1199092 )


a ( )

( )( )

22 a b aa b a

b a b b a b a b

minus+minus +


a b+ b

a bminus

+

b

a b+

a b

b

+ Otro

b 2 3 4 4 1

2 2 3 3 6 6

a a a

a a a


+ + + es igual a

a 1

6

b

a b Otro

c

2

2

2 4 4

1 1 1

x x x

x x x

minus + minus


2

1

2x xminus

minus minus

2

1

2x xminus minus

2

1



2119886+2minus

3119886minus4

3119886+3+

4119886minus1

6119886+6=

1

6

UTN-FRT 47

UNIDAD Ndeg3

Aacutengulo


Longitud de arco

Triaacutengulos







Teorema del seno

Teorema del coseno

UTN-FRT 48

Nociones previas


dos aacutengulos





bull




Sistema sexagesimal




sexagesimal





1 =

UTN-FRT 49

Longitud de arco









Ejemplos



ii) 4


180deg-----------------

3043deg--------------x


180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889

ii) ---------------------180deg

4

----------------------x

Entonces x=

1801804 45

4

= =



UTN-FRT 50

Elementos


Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860


180deg--------

50deg--------x

Entonces x=50 5

180 18

=


18

=5 metros


Elementos

Propiedades




diferencia






180deg

+ + = 180deg

UTN-FRT 51



360deg

+ + 120574 = 360deg







equilaacutetero


Como + + = 180deg

Entonces



= 96deg

UTN-FRT 52


Triaacutengulos

acutaacutengulos

Triaacutengulos

rectaacutengulos

Triaacutengulos

obtusaacutengulos


agudos






hipotenusa c= =

oshipotenusa c


= =

oscatetoadyacente b

c Ahipotenusa c

= =

echipotenusa c


= =

catetoopuesto atg A



catetoopuesto a= =


bsen B

c= cos

aB

c= t

bg B

a=


UTN-FRT 53



Ten en cuenta




1 Datos b=280 m y c= 415 m

28006747

415

(06747)

4243

bsen B

c

B arcsen

B

= = =

=

=





30631119898119890119905119903119900119904


119888119900119904 3 7deg =52

119888

119888 =52

119888119900119904 3 7deg

119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904


119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904


UTN-FRT 54







Ten en cuenta








normal

UTN-FRT 55











1



os1



catetoopuesto ytg


1os

hipotenusac ec

catetoopuesto y = =

UTN-FRT 56

1ec

hipotenusas


otcatetoadyacente x


= =







4 Como

1 1 1 1

1 1 1 cos 1

y sen

x

minus minus

minus minus



2 2cos 1sen + =

UTN-FRT 57

cos 0cos

sentg

=

1sec cos 0

cos

=

1sec s 0co en

sen

=






Entonces

130

2 2




sen tg

= =

UTN-FRT 58

1 330

33 3

catetoopuesto y ytg



1cos60 30

2sen = =

60 cot 30 3tg g = =





Entonces

3 3cos30

2 2 2



360 cos30

2sen = =

UTN-FRT 59

1 245

22 2



1 2cos45

22 2

catetoadyacente x x




= = = =




Primer

paso


4

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

00

2=

1

2 2

2

3

2

21

2=

Divido en 2

sen α 0 1

2 2

2

3

2

1




Primer

paso


0

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

21

2= 3

2

2

2

1

2

00

2=

Divido en 2

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0

UTN-FRT 60

En resumen


sen α 0 1

2 2

2

3

2

1

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0












7 10 7 12186910


h altura

UTN-FRT 61


121869 121869km a m m=









dos islas


1200 1200

10 10 1200 68055310

tg d tg d d md tg

= = = =


d distancia

UTN-FRT 62


Teorema del seno




opuestos

a b c

sen A sen B senC= =

sen A sen B senC

a b c= =







3

30 45

3 45

30

3 2

a b b

sen A sen B sen sen

senb

sen

b

= =

=

=

UTN-FRT 63


3

30 105

3 105

30

3 6 3 2

2

a c c

sen A senC sen sen

senc

sen

c

= =

=

+ =


2b m

+=

Teorema del coseno







2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + minus

= + minus

= + minus

Ten en cuenta







UTN-FRT 64




2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos32

1858

431

BD AB AD AB AD A

BD

BD

BD

= + minus

= + minus

=

=



Por propiedad

+ + + = 360deg = =



2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos148

18141

1347

AC AB BC AB BC B

AC

AC

AC

= + minus

= + minus

=

=

UTN-FRT 65

Unidad Ndeg3



sexagesimal

a 120587

6

a 5120587

4 b 26 rad

c 2120587

3 d 35 rad e

3120587

2


b 60deg




que

25

20

35

=

=

=


y C


120572 = 60deg


120572 = 18deg


120572 = 20deg



la figura dada




agudo

a) 119904119890119899119860 =3

7

b) 119905119892119860 = 15

UTN-FRT 66

c) 119888119900119904119860 = 03



b A = 38deg b = 15

c b = 12 c = 5

d a = 18 b = 32

e c = 12 a = 14












altura 8 cm




120572 = 60deg 120579 = 60deg

119860119863 = 18 119898

A

B

D

C

UTN-FRT 67









altura de la torre






Complete la tabla

a

c

b

UTN-FRT 68

a

b

c

120572 120573 120574 Aacuterea

30 cm 45 cm 40deg

120 cm 84 cm 60deg

60 m 70 m 5120587

6

25 cm 35deg 68deg

252 m 378 m 434 m


475 cm 70deg 45deg





la figura








UTN-FRT 69









UTN-FRT 70









UTN-FRT 71

UNIDAD Ndeg4










UTN-FRT 72





Ejemplos



Ten en cuenta






2

Pr




Clasificacioacuten

Enteras Racionales



Logariacutetmicas




Ejemplos






UTN-FRT 73


31

4

x

x

minus=






racional no entero













de partida

Ten en cuenta


(CS= )





UTN-FRT 74

9 2 11

9 2 9 11 9

2 2

1 12 2

2 2

1

x

x

x

x

x

+ =

+ minus = minus

=

=

=

Por lo tanto CS= 1





ax bx c a+ + =





2 5 3a b c= = = minus

2

12

1

12

2

5 25 42( 3)4 5 49

2 22 4

5 7 2 1

5 7 2 4 2

5 7 1243

4 4

b b acx

a

x

x

x


minus += = =minus


Por lo tanto CS=1

2 -3


0c


2

2

2

3 12 0

3 12

4

2

2 2

x

x

x

x

x x

minus =

=

=

=

= minus =


UTN-FRT 75


0b y 0c =


( )

22 12 0

2 6 0 2 0 6 0

0 6

x x

x x x x

x x

minus =

minus = = minus =

= =




2

12

4

2

b b acx

a







1 2 5 6 0x xminus + =


reales y distintas

2 2 9 0x x+ + =









1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +

UTN-FRT 76

2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

3 2

1 1 2

1x x x x+ =

minus minus

Resolucioacuten

1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +


denominador

7 + 119909

119909 + 5=

119909 + 3

119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2



7 + 119909

119909 + 5∙

119909 + 2

119909 + 2=

119909 + 3

119909 + 2 ∙

119909 + 5

119909 + 5

(7 + 119909) (119909 + 2)

(119909 + 5) (119909 + 2)=

(119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 2) (119909 + 5)

(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)


7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15

9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15


119909 minus 1 = 0

119909 = 1



5 2

x x

x x

+ +=

+ +

Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3

1 5 6 3 1 2

+ += = =

+ +

Luego 119862119878 = 1

UTN-FRT 77


5 2

x x

x x

+ +=


7 + 119909

119909 + 5minus

119909 + 3

119909 + 2= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 5) (119909 + 2)= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0



119909 minus 1 = 0

119909 = 1


2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +



3119909

2119909 + 1=

119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

21199092 + 3119909 + 1

3119909

2 (119909 +12)

=119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

2(119909 + 1) (119909 +12)


2

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)


3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1

2) + (119909 minus 19)

UTN-FRT 78


31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19


1199092 minus 9119909 + 14 = 0


1199091 = 2 y 1199091 = 7


2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

Si 119909 = 2

32

22 + 1=

2 + 5

2 + 1+

2 minus 19

2 22 + 32 + 1

6

5=

7

3+

(minus17)

15

6

5=

18

15

6

5=

6

5

Si 119909 = 7

37

27 + 1=

7 + 5

7 + 1+

7 minus 19

2 72 + 37 + 1

21

15=

12

8+

(minus12)

120

7

5=

3

2+

(minus1)

10

7

5=

14

10

7

5=

7

5

Luego 119862119878 = 27

UTN-FRT 79

3 23 11 6

2 3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus


23 11 62 3

3 3

x xx con x

x x

minusminus = minus

minus minus

Operando obtenemos

2

2 2

2

2

3 11 2 ( 3) 6

3 3

3 11 2 6 6

3 3

5 6

3 3

5 6 0

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x


minus minus


minus minus

minus= minus

minus minus

minus + =


1 22 3x y x= =


2 33 3

x xx con x

x x

minusminus = minus





23 11 62

3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus

Si x=2

232 112 12 22 622 4 10 4 6

2 3 1 2 3


minus minus minus





1 radic5119909 = 119909

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909


Resolucioacuten

UTN-FRT 80

1 radic5119909 = 119909


miembros

(radic5119909)2

= 1199092

5119909 = 1199092

1199092 minus 5119909 = 0


Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 05

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909



= (119909 minus 4)2

4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16


minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0


Verificacioacuten

Si 119909 = 2


4 + 2 = 2

6 = 2

Si 119909 = 10


4 + 2 radic9 = 10

4 + 23 = 10

UTN-FRT 81

10 = 10

Luego 119862119878 = 10




(radic3119909 + 1)2






1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)

1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4


y 1199092 = 5

Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 15

Inecuaciones






con la letra e

UTN-FRT 82

1

25 35

experiencia

edad

a a

e e



fundamentales















la recta real

1 5 3 4x x+ minus

5 3 5 4 5

3 1

3 1

4 1

1

4

x x

x x

x x x x

x

x

+ minus minus minus

minus minus

+ minus minus +

minus

minus

CS=(-infin -14]

UTN-FRT 83

2 2 1 7xminus +

( )

2 1 1 7 1

2 6

1 1 2 6

2 2

3

x

x

x

x

minus + minus minus

minus

minus minus minus

minus

CS=(-3infin)

UTN-FRT 84












119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ





5 119862 + 32

Despeja 119862





c 4(119909 minus 2) +1

2= minus

1

3(119909 + 2) minus

14

3 d

119909minus2

119909+3minus

119909+1

119909minus3=

5

1199092minus9

e 119909+1

119909minus1minus

119909

119909+1=

119909+5



2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus

119909

2




5

4

5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8


3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0




UTN-FRT 85


nuacutemeros


nuacutemeros




y el resto 9





a 131199092 + 8 = 60

b 31199092 minus 24119909 = 0

c 41199092 minus 20119909 = 75

d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6

e 31199092+6119909

3minus 120 = 0

f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)

g 24119909minus61199092

15= 0

h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909




c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1

21199092 + 5119909 + 8




de modo que




UTN-FRT 86




a) 119886 = 0 119898

b) 119886 =75

4 119898

c) 119886 = 15 119898









9













del marco


UTN-FRT 87


a 6minus119909

1199092+4119909+4minus

1

119909+2=

2

5minus119909 b (

119909+1

119909minus1)

2

+119909+1

119909minus1= 6

c 119909+4

3119909minus6minus

119909minus6

4119909minus8=

119909+1

119909minus2 d

3

119909minus2+

7

119909+2=

119909+1

119909minus2

e 1

119909minus2= 1 +

2

1199092minus2119909 f

2119909minus3

3119909minus2=

119909minus1

2119909

g 2+119909

2minus119909+

2minus119909

2+119909= 2 h

3

119909+5= 1 minus

4

119909minus5

i 119909+1

119909minus1minus

119909+5

1199092minus1=

119909

119909+1












a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5

c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1

21199092 + 5119909 + 8 ge 0


g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0

UTN-FRT 88

UNIDAD Ndeg5

Funciones






Funcioacuten lineal

Dominio y rango

Graacutefica




Domino y rango

Graacutefica



UTN-FRT 89

Funciones




Ejemplos







t 1 2 3 4

d 5 20 45 80




automoacutevil

Dominio Rango

UTN-FRT 90









Notacioacuten




A B

UTN-FRT 91

( )

f A B

x y f x

rarr

rarr =
















Ten en cuenta









UTN-FRT 92







la graacutefica







funcioacuten




UTN-FRT 93


funciones

1 ( ) 2 1f x x= minus


2 1 0

2 1

1

2

x

x

x

minus =

=

=


2 0)


(0) 20 1

(0) 1

f

f

= minus

= minus


2 2( ) 5 6f x x x= minus +


2

2

12

1 2

5 6 0

5 5 416

21

3 2

x x

x

x y x

minus + =

minus=

= =



2(0) 0 50 6

(0) 6

f

f

= minus +

=


Q (0 y)


f (0)

ceros


UTN-FRT 94





isin (a b)





isin (a b)



Enteras Racionales



Logariacutetmicas



Ejemplos



6( )

3 6

xf x

x x

+=

minus


UTN-FRT 95


13( )g x x=



Funcioacuten Lineal









funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


en ℝ





funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


decreciente en ℝ

Ten en cuenta



UTN-FRT 96







ceros


de las abscisas y=0


y=b









2 1

2 1

( )

( )



minus= = = minus

UTN-FRT 97


21

3y x= +

Donde 2

3m = y 1b =



32

4y x= minus +

Donde 3

4m = minus y 2b =






1 2m m=


UTN-FRT 98



1 2 2m m= =




1

1m

m= minus


13

y x= minus minus


las pendientes son

1 3m = y 2

1

3m = minus



general como


1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =

+ =

UTN-FRT 99





Clasificacioacuten

Sistema

compatible

determinado

(SCD)







Sistema

compatible

indeterminado

(SCI)


representa



UTN-FRT 100

Sistema

Incompatible

(SI)



rectas paralelas no









Ejemplos

1 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus




De 1 1

(2)2 2

y x= minus minus


1 12 3

2 2

1 12 3

2 2

5 5

2 2

1

y y

x x

x x

x

x

=

minus = minus minus

+ = minus +

=

=

UTN-FRT 101



De (1) 1y = minus


2 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus



no utilizada



Resolvemos

2 4 3

5 5

1

y y

y

y

minus minus minus =

minus =

= minus



De (2) 1x =


3 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus







2 3 2 3 4 2 6

2 1 2 1 2 1

x y x y x y

x y x y x y




5 5 1x x= =



De (1) 1y = minus

UTN-FRT 102












2 0ax bx c+ + =

Obtenemos 2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus= y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )hminus

UTN-FRT 103




2 0ax bx c+ + =

Obtenemos

2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus=

y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )h

Ceros







raiacuteces reales


sola raiacutez real

1 22

bx x

a= = minus


raiacuteces reales

UTN-FRT 104





bh


2k ah bh c= + +


bx

a= minus




Ejemplos


a El dominio






Resolucioacuten








coordenadas (0 5)


321

h = minus = minus y



UTN-FRT 105


funcioacuten


e Grafica








2( )

4 3

xf x

x

+=

minus

2

2( )

1

xg x

x

minus=

+ y

2

3

9( )

xh x

x x

+=

minus


119863119900119898119891 = ℝ minus 4

3

119863119900119898119892 = ℝ

Rgof=[ 4 )minus

UTN-FRT 106

119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101



f xcx d

+=

+


119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus

119886

119888





yc

=


xc

= minus


1 2

2( )

4

xf x

x x

+=


2 2 5

( )1

xf x

x

minus +=


graacutefica

Resolucioacuten

UTN-FRT 107


2( )

4

xf x

x x

+=





( )1

xf x

x

minus +=





xc



yc




( ) 5f x x= minus 2

( )1

g xx

=minus





)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ

UTN-FRT 108


ldquoFuncionesrdquo


a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1

21199092 + 2119909 minus 5

c 119910 = radic119909 + 1

d 119892(119909) =119909+5

2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (

119909

3)

f 119892(119909) = minus7119909 + 3

g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2

119909+ 5


origen

a 119891(119909) = minus4119909 +1

2 ( )

b 119910 = 5119909 + 4 ( )

c 119910 =4

119909minus 6 ( )

d 119910 = minus1

2119909 +

4

7 ( )


5119909 ( )


a 1198750 (minus1


5

2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2



a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)

b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)

c 1198751(2 3) 1198752(1 2)

d 1198751(6 0) 1198752(0 2)

e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)


coordenados

a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7

c 119910 = minus1

2119909 + 4 d 119910 = minus2119909


a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1

b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4





UTN-FRT 109




2

1


puntos (-2 4) y (4 6)


puntos (-2 -1) y (2

3 0)




clasifiacutecalos

a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4

b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

c 2119909 minus 119910 = minus3

minus3119909 +9

4119910 =

15

2


e minus

2

3119909 + 119910 = 1

minus5119909 + 8119910 = 7 f

minus119909 + 3119910 = minus1

4

2119909 minus 6119910 =1

2

g 1

2119909 minus 119910 = minus

1

2

minus5119909 + 8119910 = 8

h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1












UTN-FRT 110









a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5

b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15

c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3

d 119910 = 41199092 + 1

e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7

f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3


g El dominio












funciones

d El rango







UTN-FRT 111






a b c Tipo de


Dos

puntos

Ninguacuten

punto

1 minus7 6

minus1 3 minus4


1 0 minus4

radic3 6 3radic3


a b




2 minus

9

2) y corta al


UTN-FRT 112
















119877(119909) = minus1

401199092 +

7

2119909 para 0 lt 119909 lt 120











a 119891(119909) =119909+1

5minus4119909 b 119892(119909) =

3minus119909

1199092+4

c ℎ(119909) =1+1199092

1199093minus119909 d 119891(119909) =

7119909

1199092minus16

UTN-FRT 113



a 119891(119909) =3+2119909

5119909minus1

b 119892(119909) =3

2119909minus4

c ℎ(119909) =3minus2119909

4119909

d 119891(119909) =2+3119909

5minus119909


a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1

b 119892(119909) =3119909

radic119909+4


UTN-FRT 9

Propiedades















Nombre de

la propiedad


Ley de

composicioacuten

interna




forall119886 119887 isin ℝ 119886 119887 = 119887 119886


forall119886 119887 119888 isin ℝ (119886119887)119888 = 119886(119887119888)

Elemento

neutro



Existencia

del


UTN-FRT 10

Ten en cuenta


119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939


120783120785 |120785

minus120783120784 120786

120783

por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783






real

POTENCIACIOacuteN


define como


Ademaacutes si ane0

a0=1 y a-n=1

119886119899

Ejemplos

elemento


1

119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1


forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886

ORIGEN


UTN-FRT 11

1 23=8 porque 23=222

2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)

3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)

4 -22=-4

5 (2

5)

2=

2

5

2

5=

4

25


Propiedad Ejemplos

119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78

119886119899

119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0

6minus3


(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310

(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093

(119886

119887)

119899

=119886119899

119887119899 (

119910

minus3)

2

=1199102

(minus3)2=

1199102

9

Ejemplos


1199092

2 (2

311990921199103)

4= (

2

3)

4(1199092)4(1199103)4 =

16

8111990924

11991034=

16

81119909811991012

Ten en cuenta


Ejemplos

1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22

2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12

RADICACIOacuteN



radic119886119899


Ejemplo radic273

= 3porque 33=27

UTN-FRT 12



radic119886119899




Ejemplos

1 radic81 = 9

2 radicminus83

= minus3


4 radic25

9=

5

3


Propiedad Ejemplos

radic119886 119887119899

= radic119886119899

radic119887119899


radic119886

119887

119899=

radic119886119899

119887 119887 ne 0 radic

8

343

3

=radic83

radic3433 =

2

7


119898

= radic119886119898119899

radicradic643

= radic646

= 2

119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899

119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899


3)

2= 4


= minus5


Ejemplos

1 2

radic7=

2

radic7

radic7

radic7=

2radic7

(radic7)2 =

2radic7

7

2 2

radic11990925 =2

radic11990925

radic11990935

radic11990935 =2 radic11990935

radic119909211990935 =2 radic11990935

radic11990955 =2 radic11990935

119909 119909 ne 0


3 3

radic119909+119910=

3

radic119909+119910




(radic119909)2

minus1199102=


119909minus1199102

UTN-FRT 13

Ten en cuenta


Ejemplo


radic100 ne 6 + 8

10 ne 14

INTERVALOS REALES


Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887




119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887

119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887


(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886

[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886




Ejemplos


UTN-FRT 14



VALOR ABSOLUTO


|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0



Ejemplos

a) |0| = 0 porque 0 ge 0

b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0

c) |7 | = 7 porque 7 ge 0

Algunas propiedades



3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|

4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|

5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|




|119909 + 1| = 7

119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7

119909 = 6oacute119909 = minus8

119862119878 = minus86


UTN-FRT 15

|2119909 minus 3| le 1


minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3

2 le 2119909 le 4

21

2le 2119909

1

2le 4

1

2

1 le 119909 le 2

119862119878 = [12]

Ten en cuenta



119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|

Ejemplo



pequentildeos

Ejemplos






Ejemplos








UTN-FRT 16

1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)

= 21404 x 104=21404 x 105

2 (216119909104)(125611990910minus12)

31711990910minus18 = 856119909109






e incoacutegnitas





UTN-FRT 17

Ten en cuenta




Donde a y b son

catetos y h es la

hipotenusa

UTN-FRT 18






es (2πR) 2




Ejecutamos el plan


UTN-FRT 19






Verificamos


un aacuterea


2 2 2

2 2 2

2 4

4 2

16 4

12 2 3

a

a

a

a

+ =

= minus

= minus

= =

UTN-FRT 20




4 120587

B = radicminus113

-3 -025 0 -2 120587 -radic3

3 C =

1

2 0 -2 radic9 120587 -

radic3

3







a 25

14 b

3

11 c

77

36 d

61

9






negativo



a (3 + 4)2 = 32 + 42

b (12 4)2 = 122 42

c 32 34 33 = 39

d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910

e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873

f radic36 + 64 = radic36 + 8

g (42)345 = 4



UTN-FRT 21

j (1198862)3 = 119886(23)



a (2 1199093 119910minus3

8 1199094 1199102 )minus1

b (7 1198864 119887minus4

2 1198862 1198872 )minus2

c (3 119909minus3 1199104

10 1199092 1199106)minus1

d (5 1198862 1198873


e (9 119909 119911minus2

27 119909minus4 119911)

minus3

f (3 1199092 1199105

1199093 119910)

3

7 Resuelve

a 427+2(minus6)


1

2)

2


075minus0625)

2

c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05


e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1

10119910+1102119910+1 f radicradic1633

+ radic33

radic323radic363

+ [2 (1

3+ 1)]

2

[(3

5minus 3)

5

3]

2



c radic3 radic3

radic34

5


f

119886minus2radic1

119886

radic119886minus53


a 3

radic2 b

2minus119909

radic119909 c

3 119886

radic9 119886 d

119909minus119910


e minus7

radic11988623 f 2

radic119911minus3 g

5

radic1199094 h

4minus1199092

2+radic119909


i 119909+119910


119909minus119910


119909+119910







UTN-FRT 22


9800 habitantes


con 119875 =221minus3119905








elaborado






que 5


o igual que 4


a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16



a 324517 x 104 b 716392 x 10-5

c 000000842 d 00025 x 107

UTN-FRT 23

e 542000000000 f 64317 x 10-6


a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)

317 10minus18

c 921 108

306 105 d (233 104)(411 103)












3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898


(1

3radic5 +

1

2) 119888119898


119888119898 y de base

3(radic3)minus1

119888119898




UTN-FRT 24


del cuadrado









05 m




UTN-FRT 25






a)

b)

c) d)

UTN-FRT 26

e) f)






UTN-FRT 27

UNIDAD Ndeg2


Polinomios



Regla de Ruffini




fraccionarias

UTN-FRT 28




Ejemplos

1 2120587radic119871

119892 2

7

119910minus 1199092 3 1199070119905 +

1

21198921199052

4 119909minus5

radic119909minus53


3-









cualquiera

(a+b)2






km en x horas

yx


119909+119910 119909 ne minus119910




Irracionales

UTN-FRT 29

Ejemplos







1199102 3

4+ 119909 +

1

119909




119905 11991123 + 119911minus12 119909 +

2

radic119909





Ejemplos

I)minus1

511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902





Ejemplos

I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1







UTN-FRT 30













3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909


119875(1) = minus2(1)3 +1


1

3minus 1 = minus

8

3



1

3minus 1 =

2

3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0

119875(minus1) + 119876(0) =2

3+ 0 =

2

3



Ejemplo P(x) = 1




opuestos


51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +

1





Grado P=4

UTN-FRT 31






41199092 minus 6

119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)

= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6

= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)

= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5





3119909 + 41199092 minus 6



= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)

= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7






119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)




Ten en cuenta


UTN-FRT 32






Ten en cuenta






31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2

+ minus 31199093 minus 6119909 + 2

minus31199095 + 61199093

61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1

+

minus61199093 + 12119909

minus21199092 + 12119909 + 1

+

21199092 minus 4

12119909 minus 3


Ten en cuenta


(PQ)= m-n


exacto es decir

i) P(x)=C(x) Q(x)



UTN-FRT 33

Regla de Ruffini




119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3

minus3|


15 minus45 39


09

9





119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0

Teorema del resto




i) P(x)=C(x) (x-a)






Ten en cuenta


complejas


Coeficientes del

dividendo

Coeficientes del

cociente

resto

Coefic

ientes

del

divide

ndo

UTN-FRT 34



un cero real


Factor comuacuten




1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)








= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)

= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)

= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)




cuadrados




41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2

UTN-FRT 35







31198861198872 + 1198873


31198861198872 minus 1198873








41199102

251199092 minus1

41199102 = (5119909)2 minus (

1

2119910)

2

= (5119909 +1

2119910) (5119909 minus

1

2119910)


Si n es par









suma por la segunda


UTN-FRT 36


Ten en cuenta








simples



Ejemplos



2 Si 119876(119909) =1








1199093 = 0

1199094 = minus5






UTN-FRT 37


119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6











119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1

minus1 |


1 minus5 6 0


2 |

1 minus5 62 minus6

1 minus3 0





Divisores -1 1


Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6

El cociente es

( ) 2 5 6C x xx = minus +

El cociente es

( ) 3C x x= minus

UTN-FRT 38






2119886 donde 1199091 =


2119886 y 1199092 =


2119886


119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)



119876(119909) se


Ejemplos

1 119909minus5

2119909minus1 119909 ne

1

2

2 1199092minus36

31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6




Simplificacioacuten

Sea 119875(119909)



ambos


31199092minus12119909

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4)=

(119909+4)

3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4

UTN-FRT 39

Multiplicacioacuten





1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1

1199094 minus 1

1199092 + 6119909 + 9sdot

1199092 + 3119909

1199092 minus 1sdot

7

1199092 + 1=

(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)

(119909 + 3)2sdot

119909(119909 + 3)

(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot

7

1199092 + 1 119909

ne minus3 minus11

1199094minus1

1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1=

(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)

(119909+3)2 sdot119909(119909+3)

(119909minus1)(119909+1)sdot

7

1199092+1=

7119909

119909+3 119909 ne minus3 minus11

Divisioacuten



la segunda


119909+5

1199092minus119909

1199092minus25

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5)=

119909 minus 1

119909 + 5sdot

(119909 minus 5)(119909 + 5)

119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015

119909minus1

119909+5

1199092minus119909

1199092minus25=

119909minus1

119909+5sdot

(119909minus5)(119909+5)

119909(119909minus1)=

119909minus5

119909 119909 ne minus5015


119875(119909)

119876(119909)119877(119909)

119878(119909)=

119875(119909)

119876(119909)sdot

119878(119909)

119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0





exponente

UTN-FRT 40



1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)

1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2

1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)




denominadores




119909minus1minus

119909+1

1199092minus1

119909+4

119909minus1minus

119909+1

1199092minus1=

119909+4

119909minus1minus

119909+1

(119909minus1)(119909+1)=

119909+4

119909minus1minus

1



119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

1199092 minus 1=

119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

(119909 minus 1)(119909 + 1)=

119909 + 4

119909 minus 1minus

1

119909 minus 1=

119909 + 4 minus 1

119909 minus 1=

119909 + 3

119909 minus 1 119909 ne minus11





1199092+3119909minus10minus

2119909+4

1199092minus4

119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2(119909 + 2)

(119909 minus 2)(119909 + 2)=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909

ne minus5 minus22


119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909 ne minus52

=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)

(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52

UTN-FRT 41




Expresioacuten

algebraica

Racional

entera

Racional no

entera

irracional

2 31 1

1

xx

x

minus+

minus

2 314

2x xy xminus minus


2 135x y x+



a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2

31199095 minus 119909 minus 2



x=0 x=1 x=-1 x=2

a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17

b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909

c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13



b) El aacuterea


los 6 cuadrados




UTN-FRT 42


a b

c d











b)(51199093 +1

21199092 minus 3119909 +

3

4) + (

4

51199093 + 31199092 +

1

5119909 minus

1

2)

UTN-FRT 43

c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)



f) (31199093 minus1

21199092 + 2119909 minus 2) (

2

31199092 minus 1)

g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)

h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)

i) (1

21199094 +

8

31199093 +

1

21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (

1

2119909 + 3)


119909 minus 2


a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)

b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)

c) (1199094 minus1

21199093 +

1

31199092 minus

1

4119909 +

1

5) ∶ (119909 minus 1)

d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)

e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)

f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)

g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)


a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3

b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5

c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1




UTN-FRT 44


(119909 minus 5)






dos









a) 1611988621199092 minus 411990931198863

b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092

c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14

d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909

e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1

f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910

g) 4

251198864 minus

1

91199092

h) 25

1198982 minus 36

i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887

j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901

k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096

l) 1199103 +3

41199102 +

3

16119910 +

1

64

m) 1199092 + 36 minus 12119909

n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103

UTN-FRT 45

o) 1199093

27minus

1198861199092

3+ 1198862119909 minus 1198863



a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6


e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6














a) 1199094minus31199092+5119909minus3

119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1

b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15

119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3

c) 1199093+1

119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1


a 2

2 2 8

2 2 4

x a x a ax

x a a x x a

minus +minus +

+ minus minus b

21 1

1 1

xx

x x

+minus +

+ minus

c 3 1 1

4 4 1 1

x x xx

x x x


minus + d

2

1 1 21

1 1

x

x x x

minus minus

+ minus

e 1 1

x xx x

x x

+ minus

minus minus f

2

3 2

1 1

x

x a x a x a x

+

+ minus minus

UTN-FRT 46

g 1

8minus8119909minus

1

8+8119909+

119909

4+41199092 h

4119909minus3119887

2119909minus 2 +

2119909+119887

3119909

i (1

119909+

2

119886) (

1

119909minus

2

119886) (

119886119909

119886+2119909) j (

1199092

1198862 minus1198862

1199092) ∶ (119909

119886+

119886

119909)

k (1199094 minus1

1199092) ∶ (1199092 +

1

119909) l (

2119909

119909+3minus

119909+1

119909) ∶ (

1199093minus41199092minus3119909

1199092 )


a ( )

( )( )

22 a b aa b a

b a b b a b a b

minus+minus +


a b+ b

a bminus

+

b

a b+

a b

b

+ Otro

b 2 3 4 4 1

2 2 3 3 6 6

a a a

a a a


+ + + es igual a

a 1

6

b

a b Otro

c

2

2

2 4 4

1 1 1

x x x

x x x

minus + minus


2

1

2x xminus

minus minus

2

1

2x xminus minus

2

1



2119886+2minus

3119886minus4

3119886+3+

4119886minus1

6119886+6=

1

6

UTN-FRT 47

UNIDAD Ndeg3

Aacutengulo


Longitud de arco

Triaacutengulos







Teorema del seno

Teorema del coseno

UTN-FRT 48

Nociones previas


dos aacutengulos





bull




Sistema sexagesimal




sexagesimal





1 =

UTN-FRT 49

Longitud de arco









Ejemplos



ii) 4


180deg-----------------

3043deg--------------x


180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889

ii) ---------------------180deg

4

----------------------x

Entonces x=

1801804 45

4

= =



UTN-FRT 50

Elementos


Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860


180deg--------

50deg--------x

Entonces x=50 5

180 18

=


18

=5 metros


Elementos

Propiedades




diferencia






180deg

+ + = 180deg

UTN-FRT 51



360deg

+ + 120574 = 360deg







equilaacutetero


Como + + = 180deg

Entonces



= 96deg

UTN-FRT 52


Triaacutengulos

acutaacutengulos

Triaacutengulos

rectaacutengulos

Triaacutengulos

obtusaacutengulos


agudos






hipotenusa c= =

oshipotenusa c


= =

oscatetoadyacente b

c Ahipotenusa c

= =

echipotenusa c


= =

catetoopuesto atg A



catetoopuesto a= =


bsen B

c= cos

aB

c= t

bg B

a=


UTN-FRT 53



Ten en cuenta




1 Datos b=280 m y c= 415 m

28006747

415

(06747)

4243

bsen B

c

B arcsen

B

= = =

=

=





30631119898119890119905119903119900119904


119888119900119904 3 7deg =52

119888

119888 =52

119888119900119904 3 7deg

119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904


119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904


UTN-FRT 54







Ten en cuenta








normal

UTN-FRT 55











1



os1



catetoopuesto ytg


1os

hipotenusac ec

catetoopuesto y = =

UTN-FRT 56

1ec

hipotenusas


otcatetoadyacente x


= =







4 Como

1 1 1 1

1 1 1 cos 1

y sen

x

minus minus

minus minus



2 2cos 1sen + =

UTN-FRT 57

cos 0cos

sentg

=

1sec cos 0

cos

=

1sec s 0co en

sen

=






Entonces

130

2 2




sen tg

= =

UTN-FRT 58

1 330

33 3

catetoopuesto y ytg



1cos60 30

2sen = =

60 cot 30 3tg g = =





Entonces

3 3cos30

2 2 2



360 cos30

2sen = =

UTN-FRT 59

1 245

22 2



1 2cos45

22 2

catetoadyacente x x




= = = =




Primer

paso


4

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

00

2=

1

2 2

2

3

2

21

2=

Divido en 2

sen α 0 1

2 2

2

3

2

1




Primer

paso


0

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

21

2= 3

2

2

2

1

2

00

2=

Divido en 2

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0

UTN-FRT 60

En resumen


sen α 0 1

2 2

2

3

2

1

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0












7 10 7 12186910


h altura

UTN-FRT 61


121869 121869km a m m=









dos islas


1200 1200

10 10 1200 68055310

tg d tg d d md tg

= = = =


d distancia

UTN-FRT 62


Teorema del seno




opuestos

a b c

sen A sen B senC= =

sen A sen B senC

a b c= =







3

30 45

3 45

30

3 2

a b b

sen A sen B sen sen

senb

sen

b

= =

=

=

UTN-FRT 63


3

30 105

3 105

30

3 6 3 2

2

a c c

sen A senC sen sen

senc

sen

c

= =

=

+ =


2b m

+=

Teorema del coseno







2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + minus

= + minus

= + minus

Ten en cuenta







UTN-FRT 64




2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos32

1858

431

BD AB AD AB AD A

BD

BD

BD

= + minus

= + minus

=

=



Por propiedad

+ + + = 360deg = =



2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos148

18141

1347

AC AB BC AB BC B

AC

AC

AC

= + minus

= + minus

=

=

UTN-FRT 65

Unidad Ndeg3



sexagesimal

a 120587

6

a 5120587

4 b 26 rad

c 2120587

3 d 35 rad e

3120587

2


b 60deg




que

25

20

35

=

=

=


y C


120572 = 60deg


120572 = 18deg


120572 = 20deg



la figura dada




agudo

a) 119904119890119899119860 =3

7

b) 119905119892119860 = 15

UTN-FRT 66

c) 119888119900119904119860 = 03



b A = 38deg b = 15

c b = 12 c = 5

d a = 18 b = 32

e c = 12 a = 14












altura 8 cm




120572 = 60deg 120579 = 60deg

119860119863 = 18 119898

A

B

D

C

UTN-FRT 67









altura de la torre






Complete la tabla

a

c

b

UTN-FRT 68

a

b

c

120572 120573 120574 Aacuterea

30 cm 45 cm 40deg

120 cm 84 cm 60deg

60 m 70 m 5120587

6

25 cm 35deg 68deg

252 m 378 m 434 m


475 cm 70deg 45deg





la figura








UTN-FRT 69









UTN-FRT 70









UTN-FRT 71

UNIDAD Ndeg4










UTN-FRT 72





Ejemplos



Ten en cuenta






2

Pr




Clasificacioacuten

Enteras Racionales



Logariacutetmicas




Ejemplos






UTN-FRT 73


31

4

x

x

minus=






racional no entero













de partida

Ten en cuenta


(CS= )





UTN-FRT 74

9 2 11

9 2 9 11 9

2 2

1 12 2

2 2

1

x

x

x

x

x

+ =

+ minus = minus

=

=

=

Por lo tanto CS= 1





ax bx c a+ + =





2 5 3a b c= = = minus

2

12

1

12

2

5 25 42( 3)4 5 49

2 22 4

5 7 2 1

5 7 2 4 2

5 7 1243

4 4

b b acx

a

x

x

x


minus += = =minus


Por lo tanto CS=1

2 -3


0c


2

2

2

3 12 0

3 12

4

2

2 2

x

x

x

x

x x

minus =

=

=

=

= minus =


UTN-FRT 75


0b y 0c =


( )

22 12 0

2 6 0 2 0 6 0

0 6

x x

x x x x

x x

minus =

minus = = minus =

= =




2

12

4

2

b b acx

a







1 2 5 6 0x xminus + =


reales y distintas

2 2 9 0x x+ + =









1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +

UTN-FRT 76

2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

3 2

1 1 2

1x x x x+ =

minus minus

Resolucioacuten

1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +


denominador

7 + 119909

119909 + 5=

119909 + 3

119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2



7 + 119909

119909 + 5∙

119909 + 2

119909 + 2=

119909 + 3

119909 + 2 ∙

119909 + 5

119909 + 5

(7 + 119909) (119909 + 2)

(119909 + 5) (119909 + 2)=

(119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 2) (119909 + 5)

(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)


7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15

9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15


119909 minus 1 = 0

119909 = 1



5 2

x x

x x

+ +=

+ +

Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3

1 5 6 3 1 2

+ += = =

+ +

Luego 119862119878 = 1

UTN-FRT 77


5 2

x x

x x

+ +=


7 + 119909

119909 + 5minus

119909 + 3

119909 + 2= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 5) (119909 + 2)= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0



119909 minus 1 = 0

119909 = 1


2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +



3119909

2119909 + 1=

119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

21199092 + 3119909 + 1

3119909

2 (119909 +12)

=119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

2(119909 + 1) (119909 +12)


2

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)


3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1

2) + (119909 minus 19)

UTN-FRT 78


31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19


1199092 minus 9119909 + 14 = 0


1199091 = 2 y 1199091 = 7


2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

Si 119909 = 2

32

22 + 1=

2 + 5

2 + 1+

2 minus 19

2 22 + 32 + 1

6

5=

7

3+

(minus17)

15

6

5=

18

15

6

5=

6

5

Si 119909 = 7

37

27 + 1=

7 + 5

7 + 1+

7 minus 19

2 72 + 37 + 1

21

15=

12

8+

(minus12)

120

7

5=

3

2+

(minus1)

10

7

5=

14

10

7

5=

7

5

Luego 119862119878 = 27

UTN-FRT 79

3 23 11 6

2 3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus


23 11 62 3

3 3

x xx con x

x x

minusminus = minus

minus minus

Operando obtenemos

2

2 2

2

2

3 11 2 ( 3) 6

3 3

3 11 2 6 6

3 3

5 6

3 3

5 6 0

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x


minus minus


minus minus

minus= minus

minus minus

minus + =


1 22 3x y x= =


2 33 3

x xx con x

x x

minusminus = minus





23 11 62

3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus

Si x=2

232 112 12 22 622 4 10 4 6

2 3 1 2 3


minus minus minus





1 radic5119909 = 119909

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909


Resolucioacuten

UTN-FRT 80

1 radic5119909 = 119909


miembros

(radic5119909)2

= 1199092

5119909 = 1199092

1199092 minus 5119909 = 0


Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 05

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909



= (119909 minus 4)2

4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16


minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0


Verificacioacuten

Si 119909 = 2


4 + 2 = 2

6 = 2

Si 119909 = 10


4 + 2 radic9 = 10

4 + 23 = 10

UTN-FRT 81

10 = 10

Luego 119862119878 = 10




(radic3119909 + 1)2






1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)

1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4


y 1199092 = 5

Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 15

Inecuaciones






con la letra e

UTN-FRT 82

1

25 35

experiencia

edad

a a

e e



fundamentales















la recta real

1 5 3 4x x+ minus

5 3 5 4 5

3 1

3 1

4 1

1

4

x x

x x

x x x x

x

x

+ minus minus minus

minus minus

+ minus minus +

minus

minus

CS=(-infin -14]

UTN-FRT 83

2 2 1 7xminus +

( )

2 1 1 7 1

2 6

1 1 2 6

2 2

3

x

x

x

x

minus + minus minus

minus

minus minus minus

minus

CS=(-3infin)

UTN-FRT 84












119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ





5 119862 + 32

Despeja 119862





c 4(119909 minus 2) +1

2= minus

1

3(119909 + 2) minus

14

3 d

119909minus2

119909+3minus

119909+1

119909minus3=

5

1199092minus9

e 119909+1

119909minus1minus

119909

119909+1=

119909+5



2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus

119909

2




5

4

5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8


3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0




UTN-FRT 85


nuacutemeros


nuacutemeros




y el resto 9





a 131199092 + 8 = 60

b 31199092 minus 24119909 = 0

c 41199092 minus 20119909 = 75

d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6

e 31199092+6119909

3minus 120 = 0

f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)

g 24119909minus61199092

15= 0

h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909




c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1

21199092 + 5119909 + 8




de modo que




UTN-FRT 86




a) 119886 = 0 119898

b) 119886 =75

4 119898

c) 119886 = 15 119898









9













del marco


UTN-FRT 87


a 6minus119909

1199092+4119909+4minus

1

119909+2=

2

5minus119909 b (

119909+1

119909minus1)

2

+119909+1

119909minus1= 6

c 119909+4

3119909minus6minus

119909minus6

4119909minus8=

119909+1

119909minus2 d

3

119909minus2+

7

119909+2=

119909+1

119909minus2

e 1

119909minus2= 1 +

2

1199092minus2119909 f

2119909minus3

3119909minus2=

119909minus1

2119909

g 2+119909

2minus119909+

2minus119909

2+119909= 2 h

3

119909+5= 1 minus

4

119909minus5

i 119909+1

119909minus1minus

119909+5

1199092minus1=

119909

119909+1












a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5

c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1

21199092 + 5119909 + 8 ge 0


g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0

UTN-FRT 88

UNIDAD Ndeg5

Funciones






Funcioacuten lineal

Dominio y rango

Graacutefica




Domino y rango

Graacutefica



UTN-FRT 89

Funciones




Ejemplos







t 1 2 3 4

d 5 20 45 80




automoacutevil

Dominio Rango

UTN-FRT 90









Notacioacuten




A B

UTN-FRT 91

( )

f A B

x y f x

rarr

rarr =
















Ten en cuenta









UTN-FRT 92







la graacutefica







funcioacuten




UTN-FRT 93


funciones

1 ( ) 2 1f x x= minus


2 1 0

2 1

1

2

x

x

x

minus =

=

=


2 0)


(0) 20 1

(0) 1

f

f

= minus

= minus


2 2( ) 5 6f x x x= minus +


2

2

12

1 2

5 6 0

5 5 416

21

3 2

x x

x

x y x

minus + =

minus=

= =



2(0) 0 50 6

(0) 6

f

f

= minus +

=


Q (0 y)


f (0)

ceros


UTN-FRT 94





isin (a b)





isin (a b)



Enteras Racionales



Logariacutetmicas



Ejemplos



6( )

3 6

xf x

x x

+=

minus


UTN-FRT 95


13( )g x x=



Funcioacuten Lineal









funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


en ℝ





funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


decreciente en ℝ

Ten en cuenta



UTN-FRT 96







ceros


de las abscisas y=0


y=b









2 1

2 1

( )

( )



minus= = = minus

UTN-FRT 97


21

3y x= +

Donde 2

3m = y 1b =



32

4y x= minus +

Donde 3

4m = minus y 2b =






1 2m m=


UTN-FRT 98



1 2 2m m= =




1

1m

m= minus


13

y x= minus minus


las pendientes son

1 3m = y 2

1

3m = minus



general como


1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =

+ =

UTN-FRT 99





Clasificacioacuten

Sistema

compatible

determinado

(SCD)







Sistema

compatible

indeterminado

(SCI)


representa



UTN-FRT 100

Sistema

Incompatible

(SI)



rectas paralelas no









Ejemplos

1 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus




De 1 1

(2)2 2

y x= minus minus


1 12 3

2 2

1 12 3

2 2

5 5

2 2

1

y y

x x

x x

x

x

=

minus = minus minus

+ = minus +

=

=

UTN-FRT 101



De (1) 1y = minus


2 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus



no utilizada



Resolvemos

2 4 3

5 5

1

y y

y

y

minus minus minus =

minus =

= minus



De (2) 1x =


3 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus







2 3 2 3 4 2 6

2 1 2 1 2 1

x y x y x y

x y x y x y




5 5 1x x= =



De (1) 1y = minus

UTN-FRT 102












2 0ax bx c+ + =

Obtenemos 2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus= y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )hminus

UTN-FRT 103




2 0ax bx c+ + =

Obtenemos

2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus=

y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )h

Ceros







raiacuteces reales


sola raiacutez real

1 22

bx x

a= = minus


raiacuteces reales

UTN-FRT 104





bh


2k ah bh c= + +


bx

a= minus




Ejemplos


a El dominio






Resolucioacuten








coordenadas (0 5)


321

h = minus = minus y



UTN-FRT 105


funcioacuten


e Grafica








2( )

4 3

xf x

x

+=

minus

2

2( )

1

xg x

x

minus=

+ y

2

3

9( )

xh x

x x

+=

minus


119863119900119898119891 = ℝ minus 4

3

119863119900119898119892 = ℝ

Rgof=[ 4 )minus

UTN-FRT 106

119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101



f xcx d

+=

+


119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus

119886

119888





yc

=


xc

= minus


1 2

2( )

4

xf x

x x

+=


2 2 5

( )1

xf x

x

minus +=


graacutefica

Resolucioacuten

UTN-FRT 107


2( )

4

xf x

x x

+=





( )1

xf x

x

minus +=





xc



yc




( ) 5f x x= minus 2

( )1

g xx

=minus





)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ

UTN-FRT 108


ldquoFuncionesrdquo


a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1

21199092 + 2119909 minus 5

c 119910 = radic119909 + 1

d 119892(119909) =119909+5

2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (

119909

3)

f 119892(119909) = minus7119909 + 3

g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2

119909+ 5


origen

a 119891(119909) = minus4119909 +1

2 ( )

b 119910 = 5119909 + 4 ( )

c 119910 =4

119909minus 6 ( )

d 119910 = minus1

2119909 +

4

7 ( )


5119909 ( )


a 1198750 (minus1


5

2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2



a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)

b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)

c 1198751(2 3) 1198752(1 2)

d 1198751(6 0) 1198752(0 2)

e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)


coordenados

a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7

c 119910 = minus1

2119909 + 4 d 119910 = minus2119909


a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1

b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4





UTN-FRT 109




2

1


puntos (-2 4) y (4 6)


puntos (-2 -1) y (2

3 0)




clasifiacutecalos

a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4

b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

c 2119909 minus 119910 = minus3

minus3119909 +9

4119910 =

15

2


e minus

2

3119909 + 119910 = 1

minus5119909 + 8119910 = 7 f

minus119909 + 3119910 = minus1

4

2119909 minus 6119910 =1

2

g 1

2119909 minus 119910 = minus

1

2

minus5119909 + 8119910 = 8

h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1












UTN-FRT 110









a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5

b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15

c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3

d 119910 = 41199092 + 1

e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7

f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3


g El dominio












funciones

d El rango







UTN-FRT 111






a b c Tipo de


Dos

puntos

Ninguacuten

punto

1 minus7 6

minus1 3 minus4


1 0 minus4

radic3 6 3radic3


a b




2 minus

9

2) y corta al


UTN-FRT 112
















119877(119909) = minus1

401199092 +

7

2119909 para 0 lt 119909 lt 120











a 119891(119909) =119909+1

5minus4119909 b 119892(119909) =

3minus119909

1199092+4

c ℎ(119909) =1+1199092

1199093minus119909 d 119891(119909) =

7119909

1199092minus16

UTN-FRT 113



a 119891(119909) =3+2119909

5119909minus1

b 119892(119909) =3

2119909minus4

c ℎ(119909) =3minus2119909

4119909

d 119891(119909) =2+3119909

5minus119909


a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1

b 119892(119909) =3119909

radic119909+4


UTN-FRT 10

Ten en cuenta


119938 = 119939 119954 + 119955 con 120782 le 119955 lt 119939


120783120785 |120785

minus120783120784 120786

120783

por lo que 120783120785 = 120786 120785 + 120783






real

POTENCIACIOacuteN


define como


Ademaacutes si ane0

a0=1 y a-n=1

119886119899

Ejemplos

elemento


1

119886isin 119877 119886 119886minus1 = 119886minus1119886 = 1


forall119886 119887 119888 isin 119877 (119887 + 119888) 119886 = 119887 119886 + 119888 119886

ORIGEN


UTN-FRT 11

1 23=8 porque 23=222

2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)

3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)

4 -22=-4

5 (2

5)

2=

2

5

2

5=

4

25


Propiedad Ejemplos

119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78

119886119899

119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0

6minus3


(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310

(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093

(119886

119887)

119899

=119886119899

119887119899 (

119910

minus3)

2

=1199102

(minus3)2=

1199102

9

Ejemplos


1199092

2 (2

311990921199103)

4= (

2

3)

4(1199092)4(1199103)4 =

16

8111990924

11991034=

16

81119909811991012

Ten en cuenta


Ejemplos

1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22

2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12

RADICACIOacuteN



radic119886119899


Ejemplo radic273

= 3porque 33=27

UTN-FRT 12



radic119886119899




Ejemplos

1 radic81 = 9

2 radicminus83

= minus3


4 radic25

9=

5

3


Propiedad Ejemplos

radic119886 119887119899

= radic119886119899

radic119887119899


radic119886

119887

119899=

radic119886119899

119887 119887 ne 0 radic

8

343

3

=radic83

radic3433 =

2

7


119898

= radic119886119898119899

radicradic643

= radic646

= 2

119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899

119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899


3)

2= 4


= minus5


Ejemplos

1 2

radic7=

2

radic7

radic7

radic7=

2radic7

(radic7)2 =

2radic7

7

2 2

radic11990925 =2

radic11990925

radic11990935

radic11990935 =2 radic11990935

radic119909211990935 =2 radic11990935

radic11990955 =2 radic11990935

119909 119909 ne 0


3 3

radic119909+119910=

3

radic119909+119910




(radic119909)2

minus1199102=


119909minus1199102

UTN-FRT 13

Ten en cuenta


Ejemplo


radic100 ne 6 + 8

10 ne 14

INTERVALOS REALES


Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887




119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887

119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887


(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886

[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886




Ejemplos


UTN-FRT 14



VALOR ABSOLUTO


|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0



Ejemplos

a) |0| = 0 porque 0 ge 0

b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0

c) |7 | = 7 porque 7 ge 0

Algunas propiedades



3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|

4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|

5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|




|119909 + 1| = 7

119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7

119909 = 6oacute119909 = minus8

119862119878 = minus86


UTN-FRT 15

|2119909 minus 3| le 1


minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3

2 le 2119909 le 4

21

2le 2119909

1

2le 4

1

2

1 le 119909 le 2

119862119878 = [12]

Ten en cuenta



119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|

Ejemplo



pequentildeos

Ejemplos






Ejemplos








UTN-FRT 16

1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)

= 21404 x 104=21404 x 105

2 (216119909104)(125611990910minus12)

31711990910minus18 = 856119909109






e incoacutegnitas





UTN-FRT 17

Ten en cuenta




Donde a y b son

catetos y h es la

hipotenusa

UTN-FRT 18






es (2πR) 2




Ejecutamos el plan


UTN-FRT 19






Verificamos


un aacuterea


2 2 2

2 2 2

2 4

4 2

16 4

12 2 3

a

a

a

a

+ =

= minus

= minus

= =

UTN-FRT 20




4 120587

B = radicminus113

-3 -025 0 -2 120587 -radic3

3 C =

1

2 0 -2 radic9 120587 -

radic3

3







a 25

14 b

3

11 c

77

36 d

61

9






negativo



a (3 + 4)2 = 32 + 42

b (12 4)2 = 122 42

c 32 34 33 = 39

d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910

e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873

f radic36 + 64 = radic36 + 8

g (42)345 = 4



UTN-FRT 21

j (1198862)3 = 119886(23)



a (2 1199093 119910minus3

8 1199094 1199102 )minus1

b (7 1198864 119887minus4

2 1198862 1198872 )minus2

c (3 119909minus3 1199104

10 1199092 1199106)minus1

d (5 1198862 1198873


e (9 119909 119911minus2

27 119909minus4 119911)

minus3

f (3 1199092 1199105

1199093 119910)

3

7 Resuelve

a 427+2(minus6)


1

2)

2


075minus0625)

2

c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05


e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1

10119910+1102119910+1 f radicradic1633

+ radic33

radic323radic363

+ [2 (1

3+ 1)]

2

[(3

5minus 3)

5

3]

2



c radic3 radic3

radic34

5


f

119886minus2radic1

119886

radic119886minus53


a 3

radic2 b

2minus119909

radic119909 c

3 119886

radic9 119886 d

119909minus119910


e minus7

radic11988623 f 2

radic119911minus3 g

5

radic1199094 h

4minus1199092

2+radic119909


i 119909+119910


119909minus119910


119909+119910







UTN-FRT 22


9800 habitantes


con 119875 =221minus3119905








elaborado






que 5


o igual que 4


a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16



a 324517 x 104 b 716392 x 10-5

c 000000842 d 00025 x 107

UTN-FRT 23

e 542000000000 f 64317 x 10-6


a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)

317 10minus18

c 921 108

306 105 d (233 104)(411 103)












3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898


(1

3radic5 +

1

2) 119888119898


119888119898 y de base

3(radic3)minus1

119888119898




UTN-FRT 24


del cuadrado









05 m




UTN-FRT 25






a)

b)

c) d)

UTN-FRT 26

e) f)






UTN-FRT 27

UNIDAD Ndeg2


Polinomios



Regla de Ruffini




fraccionarias

UTN-FRT 28




Ejemplos

1 2120587radic119871

119892 2

7

119910minus 1199092 3 1199070119905 +

1

21198921199052

4 119909minus5

radic119909minus53


3-









cualquiera

(a+b)2






km en x horas

yx


119909+119910 119909 ne minus119910




Irracionales

UTN-FRT 29

Ejemplos







1199102 3

4+ 119909 +

1

119909




119905 11991123 + 119911minus12 119909 +

2

radic119909





Ejemplos

I)minus1

511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902





Ejemplos

I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1







UTN-FRT 30













3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909


119875(1) = minus2(1)3 +1


1

3minus 1 = minus

8

3



1

3minus 1 =

2

3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0

119875(minus1) + 119876(0) =2

3+ 0 =

2

3



Ejemplo P(x) = 1




opuestos


51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +

1





Grado P=4

UTN-FRT 31






41199092 minus 6

119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)

= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6

= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)

= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5





3119909 + 41199092 minus 6



= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)

= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7






119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)




Ten en cuenta


UTN-FRT 32






Ten en cuenta






31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2

+ minus 31199093 minus 6119909 + 2

minus31199095 + 61199093

61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1

+

minus61199093 + 12119909

minus21199092 + 12119909 + 1

+

21199092 minus 4

12119909 minus 3


Ten en cuenta


(PQ)= m-n


exacto es decir

i) P(x)=C(x) Q(x)



UTN-FRT 33

Regla de Ruffini




119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3

minus3|


15 minus45 39


09

9





119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0

Teorema del resto




i) P(x)=C(x) (x-a)






Ten en cuenta


complejas


Coeficientes del

dividendo

Coeficientes del

cociente

resto

Coefic

ientes

del

divide

ndo

UTN-FRT 34



un cero real


Factor comuacuten




1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)








= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)

= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)

= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)




cuadrados




41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2

UTN-FRT 35







31198861198872 + 1198873


31198861198872 minus 1198873








41199102

251199092 minus1

41199102 = (5119909)2 minus (

1

2119910)

2

= (5119909 +1

2119910) (5119909 minus

1

2119910)


Si n es par









suma por la segunda


UTN-FRT 36


Ten en cuenta








simples



Ejemplos



2 Si 119876(119909) =1








1199093 = 0

1199094 = minus5






UTN-FRT 37


119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6











119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1

minus1 |


1 minus5 6 0


2 |

1 minus5 62 minus6

1 minus3 0





Divisores -1 1


Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6

El cociente es

( ) 2 5 6C x xx = minus +

El cociente es

( ) 3C x x= minus

UTN-FRT 38






2119886 donde 1199091 =


2119886 y 1199092 =


2119886


119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)



119876(119909) se


Ejemplos

1 119909minus5

2119909minus1 119909 ne

1

2

2 1199092minus36

31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6




Simplificacioacuten

Sea 119875(119909)



ambos


31199092minus12119909

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4)=

(119909+4)

3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4

UTN-FRT 39

Multiplicacioacuten





1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1

1199094 minus 1

1199092 + 6119909 + 9sdot

1199092 + 3119909

1199092 minus 1sdot

7

1199092 + 1=

(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)

(119909 + 3)2sdot

119909(119909 + 3)

(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot

7

1199092 + 1 119909

ne minus3 minus11

1199094minus1

1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1=

(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)

(119909+3)2 sdot119909(119909+3)

(119909minus1)(119909+1)sdot

7

1199092+1=

7119909

119909+3 119909 ne minus3 minus11

Divisioacuten



la segunda


119909+5

1199092minus119909

1199092minus25

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5)=

119909 minus 1

119909 + 5sdot

(119909 minus 5)(119909 + 5)

119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015

119909minus1

119909+5

1199092minus119909

1199092minus25=

119909minus1

119909+5sdot

(119909minus5)(119909+5)

119909(119909minus1)=

119909minus5

119909 119909 ne minus5015


119875(119909)

119876(119909)119877(119909)

119878(119909)=

119875(119909)

119876(119909)sdot

119878(119909)

119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0





exponente

UTN-FRT 40



1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)

1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2

1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)




denominadores




119909minus1minus

119909+1

1199092minus1

119909+4

119909minus1minus

119909+1

1199092minus1=

119909+4

119909minus1minus

119909+1

(119909minus1)(119909+1)=

119909+4

119909minus1minus

1



119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

1199092 minus 1=

119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

(119909 minus 1)(119909 + 1)=

119909 + 4

119909 minus 1minus

1

119909 minus 1=

119909 + 4 minus 1

119909 minus 1=

119909 + 3

119909 minus 1 119909 ne minus11





1199092+3119909minus10minus

2119909+4

1199092minus4

119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2(119909 + 2)

(119909 minus 2)(119909 + 2)=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909

ne minus5 minus22


119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909 ne minus52

=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)

(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52

UTN-FRT 41




Expresioacuten

algebraica

Racional

entera

Racional no

entera

irracional

2 31 1

1

xx

x

minus+

minus

2 314

2x xy xminus minus


2 135x y x+



a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2

31199095 minus 119909 minus 2



x=0 x=1 x=-1 x=2

a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17

b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909

c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13



b) El aacuterea


los 6 cuadrados




UTN-FRT 42


a b

c d











b)(51199093 +1

21199092 minus 3119909 +

3

4) + (

4

51199093 + 31199092 +

1

5119909 minus

1

2)

UTN-FRT 43

c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)



f) (31199093 minus1

21199092 + 2119909 minus 2) (

2

31199092 minus 1)

g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)

h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)

i) (1

21199094 +

8

31199093 +

1

21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (

1

2119909 + 3)


119909 minus 2


a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)

b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)

c) (1199094 minus1

21199093 +

1

31199092 minus

1

4119909 +

1

5) ∶ (119909 minus 1)

d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)

e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)

f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)

g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)


a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3

b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5

c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1




UTN-FRT 44


(119909 minus 5)






dos









a) 1611988621199092 minus 411990931198863

b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092

c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14

d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909

e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1

f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910

g) 4

251198864 minus

1

91199092

h) 25

1198982 minus 36

i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887

j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901

k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096

l) 1199103 +3

41199102 +

3

16119910 +

1

64

m) 1199092 + 36 minus 12119909

n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103

UTN-FRT 45

o) 1199093

27minus

1198861199092

3+ 1198862119909 minus 1198863



a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6


e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6














a) 1199094minus31199092+5119909minus3

119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1

b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15

119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3

c) 1199093+1

119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1


a 2

2 2 8

2 2 4

x a x a ax

x a a x x a

minus +minus +

+ minus minus b

21 1

1 1

xx

x x

+minus +

+ minus

c 3 1 1

4 4 1 1

x x xx

x x x


minus + d

2

1 1 21

1 1

x

x x x

minus minus

+ minus

e 1 1

x xx x

x x

+ minus

minus minus f

2

3 2

1 1

x

x a x a x a x

+

+ minus minus

UTN-FRT 46

g 1

8minus8119909minus

1

8+8119909+

119909

4+41199092 h

4119909minus3119887

2119909minus 2 +

2119909+119887

3119909

i (1

119909+

2

119886) (

1

119909minus

2

119886) (

119886119909

119886+2119909) j (

1199092

1198862 minus1198862

1199092) ∶ (119909

119886+

119886

119909)

k (1199094 minus1

1199092) ∶ (1199092 +

1

119909) l (

2119909

119909+3minus

119909+1

119909) ∶ (

1199093minus41199092minus3119909

1199092 )


a ( )

( )( )

22 a b aa b a

b a b b a b a b

minus+minus +


a b+ b

a bminus

+

b

a b+

a b

b

+ Otro

b 2 3 4 4 1

2 2 3 3 6 6

a a a

a a a


+ + + es igual a

a 1

6

b

a b Otro

c

2

2

2 4 4

1 1 1

x x x

x x x

minus + minus


2

1

2x xminus

minus minus

2

1

2x xminus minus

2

1



2119886+2minus

3119886minus4

3119886+3+

4119886minus1

6119886+6=

1

6

UTN-FRT 47

UNIDAD Ndeg3

Aacutengulo


Longitud de arco

Triaacutengulos







Teorema del seno

Teorema del coseno

UTN-FRT 48

Nociones previas


dos aacutengulos





bull




Sistema sexagesimal




sexagesimal





1 =

UTN-FRT 49

Longitud de arco









Ejemplos



ii) 4


180deg-----------------

3043deg--------------x


180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889

ii) ---------------------180deg

4

----------------------x

Entonces x=

1801804 45

4

= =



UTN-FRT 50

Elementos


Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860


180deg--------

50deg--------x

Entonces x=50 5

180 18

=


18

=5 metros


Elementos

Propiedades




diferencia






180deg

+ + = 180deg

UTN-FRT 51



360deg

+ + 120574 = 360deg







equilaacutetero


Como + + = 180deg

Entonces



= 96deg

UTN-FRT 52


Triaacutengulos

acutaacutengulos

Triaacutengulos

rectaacutengulos

Triaacutengulos

obtusaacutengulos


agudos






hipotenusa c= =

oshipotenusa c


= =

oscatetoadyacente b

c Ahipotenusa c

= =

echipotenusa c


= =

catetoopuesto atg A



catetoopuesto a= =


bsen B

c= cos

aB

c= t

bg B

a=


UTN-FRT 53



Ten en cuenta




1 Datos b=280 m y c= 415 m

28006747

415

(06747)

4243

bsen B

c

B arcsen

B

= = =

=

=





30631119898119890119905119903119900119904


119888119900119904 3 7deg =52

119888

119888 =52

119888119900119904 3 7deg

119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904


119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904


UTN-FRT 54







Ten en cuenta








normal

UTN-FRT 55











1



os1



catetoopuesto ytg


1os

hipotenusac ec

catetoopuesto y = =

UTN-FRT 56

1ec

hipotenusas


otcatetoadyacente x


= =







4 Como

1 1 1 1

1 1 1 cos 1

y sen

x

minus minus

minus minus



2 2cos 1sen + =

UTN-FRT 57

cos 0cos

sentg

=

1sec cos 0

cos

=

1sec s 0co en

sen

=






Entonces

130

2 2




sen tg

= =

UTN-FRT 58

1 330

33 3

catetoopuesto y ytg



1cos60 30

2sen = =

60 cot 30 3tg g = =





Entonces

3 3cos30

2 2 2



360 cos30

2sen = =

UTN-FRT 59

1 245

22 2



1 2cos45

22 2

catetoadyacente x x




= = = =




Primer

paso


4

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

00

2=

1

2 2

2

3

2

21

2=

Divido en 2

sen α 0 1

2 2

2

3

2

1




Primer

paso


0

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

21

2= 3

2

2

2

1

2

00

2=

Divido en 2

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0

UTN-FRT 60

En resumen


sen α 0 1

2 2

2

3

2

1

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0












7 10 7 12186910


h altura

UTN-FRT 61


121869 121869km a m m=









dos islas


1200 1200

10 10 1200 68055310

tg d tg d d md tg

= = = =


d distancia

UTN-FRT 62


Teorema del seno




opuestos

a b c

sen A sen B senC= =

sen A sen B senC

a b c= =







3

30 45

3 45

30

3 2

a b b

sen A sen B sen sen

senb

sen

b

= =

=

=

UTN-FRT 63


3

30 105

3 105

30

3 6 3 2

2

a c c

sen A senC sen sen

senc

sen

c

= =

=

+ =


2b m

+=

Teorema del coseno







2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + minus

= + minus

= + minus

Ten en cuenta







UTN-FRT 64




2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos32

1858

431

BD AB AD AB AD A

BD

BD

BD

= + minus

= + minus

=

=



Por propiedad

+ + + = 360deg = =



2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos148

18141

1347

AC AB BC AB BC B

AC

AC

AC

= + minus

= + minus

=

=

UTN-FRT 65

Unidad Ndeg3



sexagesimal

a 120587

6

a 5120587

4 b 26 rad

c 2120587

3 d 35 rad e

3120587

2


b 60deg




que

25

20

35

=

=

=


y C


120572 = 60deg


120572 = 18deg


120572 = 20deg



la figura dada




agudo

a) 119904119890119899119860 =3

7

b) 119905119892119860 = 15

UTN-FRT 66

c) 119888119900119904119860 = 03



b A = 38deg b = 15

c b = 12 c = 5

d a = 18 b = 32

e c = 12 a = 14












altura 8 cm




120572 = 60deg 120579 = 60deg

119860119863 = 18 119898

A

B

D

C

UTN-FRT 67









altura de la torre






Complete la tabla

a

c

b

UTN-FRT 68

a

b

c

120572 120573 120574 Aacuterea

30 cm 45 cm 40deg

120 cm 84 cm 60deg

60 m 70 m 5120587

6

25 cm 35deg 68deg

252 m 378 m 434 m


475 cm 70deg 45deg





la figura








UTN-FRT 69









UTN-FRT 70









UTN-FRT 71

UNIDAD Ndeg4










UTN-FRT 72





Ejemplos



Ten en cuenta






2

Pr




Clasificacioacuten

Enteras Racionales



Logariacutetmicas




Ejemplos






UTN-FRT 73


31

4

x

x

minus=






racional no entero













de partida

Ten en cuenta


(CS= )





UTN-FRT 74

9 2 11

9 2 9 11 9

2 2

1 12 2

2 2

1

x

x

x

x

x

+ =

+ minus = minus

=

=

=

Por lo tanto CS= 1





ax bx c a+ + =





2 5 3a b c= = = minus

2

12

1

12

2

5 25 42( 3)4 5 49

2 22 4

5 7 2 1

5 7 2 4 2

5 7 1243

4 4

b b acx

a

x

x

x


minus += = =minus


Por lo tanto CS=1

2 -3


0c


2

2

2

3 12 0

3 12

4

2

2 2

x

x

x

x

x x

minus =

=

=

=

= minus =


UTN-FRT 75


0b y 0c =


( )

22 12 0

2 6 0 2 0 6 0

0 6

x x

x x x x

x x

minus =

minus = = minus =

= =




2

12

4

2

b b acx

a







1 2 5 6 0x xminus + =


reales y distintas

2 2 9 0x x+ + =









1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +

UTN-FRT 76

2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

3 2

1 1 2

1x x x x+ =

minus minus

Resolucioacuten

1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +


denominador

7 + 119909

119909 + 5=

119909 + 3

119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2



7 + 119909

119909 + 5∙

119909 + 2

119909 + 2=

119909 + 3

119909 + 2 ∙

119909 + 5

119909 + 5

(7 + 119909) (119909 + 2)

(119909 + 5) (119909 + 2)=

(119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 2) (119909 + 5)

(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)


7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15

9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15


119909 minus 1 = 0

119909 = 1



5 2

x x

x x

+ +=

+ +

Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3

1 5 6 3 1 2

+ += = =

+ +

Luego 119862119878 = 1

UTN-FRT 77


5 2

x x

x x

+ +=


7 + 119909

119909 + 5minus

119909 + 3

119909 + 2= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 5) (119909 + 2)= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0



119909 minus 1 = 0

119909 = 1


2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +



3119909

2119909 + 1=

119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

21199092 + 3119909 + 1

3119909

2 (119909 +12)

=119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

2(119909 + 1) (119909 +12)


2

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)


3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1

2) + (119909 minus 19)

UTN-FRT 78


31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19


1199092 minus 9119909 + 14 = 0


1199091 = 2 y 1199091 = 7


2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

Si 119909 = 2

32

22 + 1=

2 + 5

2 + 1+

2 minus 19

2 22 + 32 + 1

6

5=

7

3+

(minus17)

15

6

5=

18

15

6

5=

6

5

Si 119909 = 7

37

27 + 1=

7 + 5

7 + 1+

7 minus 19

2 72 + 37 + 1

21

15=

12

8+

(minus12)

120

7

5=

3

2+

(minus1)

10

7

5=

14

10

7

5=

7

5

Luego 119862119878 = 27

UTN-FRT 79

3 23 11 6

2 3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus


23 11 62 3

3 3

x xx con x

x x

minusminus = minus

minus minus

Operando obtenemos

2

2 2

2

2

3 11 2 ( 3) 6

3 3

3 11 2 6 6

3 3

5 6

3 3

5 6 0

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x


minus minus


minus minus

minus= minus

minus minus

minus + =


1 22 3x y x= =


2 33 3

x xx con x

x x

minusminus = minus





23 11 62

3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus

Si x=2

232 112 12 22 622 4 10 4 6

2 3 1 2 3


minus minus minus





1 radic5119909 = 119909

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909


Resolucioacuten

UTN-FRT 80

1 radic5119909 = 119909


miembros

(radic5119909)2

= 1199092

5119909 = 1199092

1199092 minus 5119909 = 0


Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 05

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909



= (119909 minus 4)2

4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16


minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0


Verificacioacuten

Si 119909 = 2


4 + 2 = 2

6 = 2

Si 119909 = 10


4 + 2 radic9 = 10

4 + 23 = 10

UTN-FRT 81

10 = 10

Luego 119862119878 = 10




(radic3119909 + 1)2






1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)

1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4


y 1199092 = 5

Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 15

Inecuaciones






con la letra e

UTN-FRT 82

1

25 35

experiencia

edad

a a

e e



fundamentales















la recta real

1 5 3 4x x+ minus

5 3 5 4 5

3 1

3 1

4 1

1

4

x x

x x

x x x x

x

x

+ minus minus minus

minus minus

+ minus minus +

minus

minus

CS=(-infin -14]

UTN-FRT 83

2 2 1 7xminus +

( )

2 1 1 7 1

2 6

1 1 2 6

2 2

3

x

x

x

x

minus + minus minus

minus

minus minus minus

minus

CS=(-3infin)

UTN-FRT 84












119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ





5 119862 + 32

Despeja 119862





c 4(119909 minus 2) +1

2= minus

1

3(119909 + 2) minus

14

3 d

119909minus2

119909+3minus

119909+1

119909minus3=

5

1199092minus9

e 119909+1

119909minus1minus

119909

119909+1=

119909+5



2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus

119909

2




5

4

5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8


3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0




UTN-FRT 85


nuacutemeros


nuacutemeros




y el resto 9





a 131199092 + 8 = 60

b 31199092 minus 24119909 = 0

c 41199092 minus 20119909 = 75

d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6

e 31199092+6119909

3minus 120 = 0

f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)

g 24119909minus61199092

15= 0

h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909




c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1

21199092 + 5119909 + 8




de modo que




UTN-FRT 86




a) 119886 = 0 119898

b) 119886 =75

4 119898

c) 119886 = 15 119898









9













del marco


UTN-FRT 87


a 6minus119909

1199092+4119909+4minus

1

119909+2=

2

5minus119909 b (

119909+1

119909minus1)

2

+119909+1

119909minus1= 6

c 119909+4

3119909minus6minus

119909minus6

4119909minus8=

119909+1

119909minus2 d

3

119909minus2+

7

119909+2=

119909+1

119909minus2

e 1

119909minus2= 1 +

2

1199092minus2119909 f

2119909minus3

3119909minus2=

119909minus1

2119909

g 2+119909

2minus119909+

2minus119909

2+119909= 2 h

3

119909+5= 1 minus

4

119909minus5

i 119909+1

119909minus1minus

119909+5

1199092minus1=

119909

119909+1












a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5

c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1

21199092 + 5119909 + 8 ge 0


g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0

UTN-FRT 88

UNIDAD Ndeg5

Funciones






Funcioacuten lineal

Dominio y rango

Graacutefica




Domino y rango

Graacutefica



UTN-FRT 89

Funciones




Ejemplos







t 1 2 3 4

d 5 20 45 80




automoacutevil

Dominio Rango

UTN-FRT 90









Notacioacuten




A B

UTN-FRT 91

( )

f A B

x y f x

rarr

rarr =
















Ten en cuenta









UTN-FRT 92







la graacutefica







funcioacuten




UTN-FRT 93


funciones

1 ( ) 2 1f x x= minus


2 1 0

2 1

1

2

x

x

x

minus =

=

=


2 0)


(0) 20 1

(0) 1

f

f

= minus

= minus


2 2( ) 5 6f x x x= minus +


2

2

12

1 2

5 6 0

5 5 416

21

3 2

x x

x

x y x

minus + =

minus=

= =



2(0) 0 50 6

(0) 6

f

f

= minus +

=


Q (0 y)


f (0)

ceros


UTN-FRT 94





isin (a b)





isin (a b)



Enteras Racionales



Logariacutetmicas



Ejemplos



6( )

3 6

xf x

x x

+=

minus


UTN-FRT 95


13( )g x x=



Funcioacuten Lineal









funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


en ℝ





funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


decreciente en ℝ

Ten en cuenta



UTN-FRT 96







ceros


de las abscisas y=0


y=b









2 1

2 1

( )

( )



minus= = = minus

UTN-FRT 97


21

3y x= +

Donde 2

3m = y 1b =



32

4y x= minus +

Donde 3

4m = minus y 2b =






1 2m m=


UTN-FRT 98



1 2 2m m= =




1

1m

m= minus


13

y x= minus minus


las pendientes son

1 3m = y 2

1

3m = minus



general como


1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =

+ =

UTN-FRT 99





Clasificacioacuten

Sistema

compatible

determinado

(SCD)







Sistema

compatible

indeterminado

(SCI)


representa



UTN-FRT 100

Sistema

Incompatible

(SI)



rectas paralelas no









Ejemplos

1 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus




De 1 1

(2)2 2

y x= minus minus


1 12 3

2 2

1 12 3

2 2

5 5

2 2

1

y y

x x

x x

x

x

=

minus = minus minus

+ = minus +

=

=

UTN-FRT 101



De (1) 1y = minus


2 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus



no utilizada



Resolvemos

2 4 3

5 5

1

y y

y

y

minus minus minus =

minus =

= minus



De (2) 1x =


3 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus







2 3 2 3 4 2 6

2 1 2 1 2 1

x y x y x y

x y x y x y




5 5 1x x= =



De (1) 1y = minus

UTN-FRT 102












2 0ax bx c+ + =

Obtenemos 2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus= y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )hminus

UTN-FRT 103




2 0ax bx c+ + =

Obtenemos

2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus=

y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )h

Ceros







raiacuteces reales


sola raiacutez real

1 22

bx x

a= = minus


raiacuteces reales

UTN-FRT 104





bh


2k ah bh c= + +


bx

a= minus




Ejemplos


a El dominio






Resolucioacuten








coordenadas (0 5)


321

h = minus = minus y



UTN-FRT 105


funcioacuten


e Grafica








2( )

4 3

xf x

x

+=

minus

2

2( )

1

xg x

x

minus=

+ y

2

3

9( )

xh x

x x

+=

minus


119863119900119898119891 = ℝ minus 4

3

119863119900119898119892 = ℝ

Rgof=[ 4 )minus

UTN-FRT 106

119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101



f xcx d

+=

+


119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus

119886

119888





yc

=


xc

= minus


1 2

2( )

4

xf x

x x

+=


2 2 5

( )1

xf x

x

minus +=


graacutefica

Resolucioacuten

UTN-FRT 107


2( )

4

xf x

x x

+=





( )1

xf x

x

minus +=





xc



yc




( ) 5f x x= minus 2

( )1

g xx

=minus





)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ

UTN-FRT 108


ldquoFuncionesrdquo


a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1

21199092 + 2119909 minus 5

c 119910 = radic119909 + 1

d 119892(119909) =119909+5

2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (

119909

3)

f 119892(119909) = minus7119909 + 3

g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2

119909+ 5


origen

a 119891(119909) = minus4119909 +1

2 ( )

b 119910 = 5119909 + 4 ( )

c 119910 =4

119909minus 6 ( )

d 119910 = minus1

2119909 +

4

7 ( )


5119909 ( )


a 1198750 (minus1


5

2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2



a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)

b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)

c 1198751(2 3) 1198752(1 2)

d 1198751(6 0) 1198752(0 2)

e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)


coordenados

a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7

c 119910 = minus1

2119909 + 4 d 119910 = minus2119909


a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1

b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4





UTN-FRT 109




2

1


puntos (-2 4) y (4 6)


puntos (-2 -1) y (2

3 0)




clasifiacutecalos

a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4

b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

c 2119909 minus 119910 = minus3

minus3119909 +9

4119910 =

15

2


e minus

2

3119909 + 119910 = 1

minus5119909 + 8119910 = 7 f

minus119909 + 3119910 = minus1

4

2119909 minus 6119910 =1

2

g 1

2119909 minus 119910 = minus

1

2

minus5119909 + 8119910 = 8

h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1












UTN-FRT 110









a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5

b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15

c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3

d 119910 = 41199092 + 1

e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7

f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3


g El dominio












funciones

d El rango







UTN-FRT 111






a b c Tipo de


Dos

puntos

Ninguacuten

punto

1 minus7 6

minus1 3 minus4


1 0 minus4

radic3 6 3radic3


a b




2 minus

9

2) y corta al


UTN-FRT 112
















119877(119909) = minus1

401199092 +

7

2119909 para 0 lt 119909 lt 120











a 119891(119909) =119909+1

5minus4119909 b 119892(119909) =

3minus119909

1199092+4

c ℎ(119909) =1+1199092

1199093minus119909 d 119891(119909) =

7119909

1199092minus16

UTN-FRT 113



a 119891(119909) =3+2119909

5119909minus1

b 119892(119909) =3

2119909minus4

c ℎ(119909) =3minus2119909

4119909

d 119891(119909) =2+3119909

5minus119909


a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1

b 119892(119909) =3119909

radic119909+4


UTN-FRT 11

1 23=8 porque 23=222

2 (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3)

3 (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7)

4 -22=-4

5 (2

5)

2=

2

5

2

5=

4

25


Propiedad Ejemplos

119886119899 119886119898 = 119886119899+119898 72 76 = 72+6 = 78

119886119899

119886119898= 119886119899minus119898 119886 ne 0

6minus3


(119886119899)119898 = 119886119899119898 (32)5 = 325 = 310

(119886 119887)119899 = 119886119899 119887119899 (2 119909)3 = 23 1199093 = 8 1199093

(119886

119887)

119899

=119886119899

119887119899 (

119910

minus3)

2

=1199102

(minus3)2=

1199102

9

Ejemplos


1199092

2 (2

311990921199103)

4= (

2

3)

4(1199092)4(1199103)4 =

16

8111990924

11991034=

16

81119909811991012

Ten en cuenta


Ejemplos

1 (119909 + 2)2 ne 1199092 + 22

2 (119909 minus 1)2 ne 1199092 minus 12

RADICACIOacuteN



radic119886119899


Ejemplo radic273

= 3porque 33=27

UTN-FRT 12



radic119886119899




Ejemplos

1 radic81 = 9

2 radicminus83

= minus3


4 radic25

9=

5

3


Propiedad Ejemplos

radic119886 119887119899

= radic119886119899

radic119887119899


radic119886

119887

119899=

radic119886119899

119887 119887 ne 0 radic

8

343

3

=radic83

radic3433 =

2

7


119898

= radic119886119898119899

radicradic643

= radic646

= 2

119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899

119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899


3)

2= 4


= minus5


Ejemplos

1 2

radic7=

2

radic7

radic7

radic7=

2radic7

(radic7)2 =

2radic7

7

2 2

radic11990925 =2

radic11990925

radic11990935

radic11990935 =2 radic11990935

radic119909211990935 =2 radic11990935

radic11990955 =2 radic11990935

119909 119909 ne 0


3 3

radic119909+119910=

3

radic119909+119910




(radic119909)2

minus1199102=


119909minus1199102

UTN-FRT 13

Ten en cuenta


Ejemplo


radic100 ne 6 + 8

10 ne 14

INTERVALOS REALES


Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887




119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887

119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887


(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886

[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886




Ejemplos


UTN-FRT 14



VALOR ABSOLUTO


|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0



Ejemplos

a) |0| = 0 porque 0 ge 0

b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0

c) |7 | = 7 porque 7 ge 0

Algunas propiedades



3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|

4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|

5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|




|119909 + 1| = 7

119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7

119909 = 6oacute119909 = minus8

119862119878 = minus86


UTN-FRT 15

|2119909 minus 3| le 1


minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3

2 le 2119909 le 4

21

2le 2119909

1

2le 4

1

2

1 le 119909 le 2

119862119878 = [12]

Ten en cuenta



119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|

Ejemplo



pequentildeos

Ejemplos






Ejemplos








UTN-FRT 16

1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)

= 21404 x 104=21404 x 105

2 (216119909104)(125611990910minus12)

31711990910minus18 = 856119909109






e incoacutegnitas





UTN-FRT 17

Ten en cuenta




Donde a y b son

catetos y h es la

hipotenusa

UTN-FRT 18






es (2πR) 2




Ejecutamos el plan


UTN-FRT 19






Verificamos


un aacuterea


2 2 2

2 2 2

2 4

4 2

16 4

12 2 3

a

a

a

a

+ =

= minus

= minus

= =

UTN-FRT 20




4 120587

B = radicminus113

-3 -025 0 -2 120587 -radic3

3 C =

1

2 0 -2 radic9 120587 -

radic3

3







a 25

14 b

3

11 c

77

36 d

61

9






negativo



a (3 + 4)2 = 32 + 42

b (12 4)2 = 122 42

c 32 34 33 = 39

d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910

e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873

f radic36 + 64 = radic36 + 8

g (42)345 = 4



UTN-FRT 21

j (1198862)3 = 119886(23)



a (2 1199093 119910minus3

8 1199094 1199102 )minus1

b (7 1198864 119887minus4

2 1198862 1198872 )minus2

c (3 119909minus3 1199104

10 1199092 1199106)minus1

d (5 1198862 1198873


e (9 119909 119911minus2

27 119909minus4 119911)

minus3

f (3 1199092 1199105

1199093 119910)

3

7 Resuelve

a 427+2(minus6)


1

2)

2


075minus0625)

2

c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05


e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1

10119910+1102119910+1 f radicradic1633

+ radic33

radic323radic363

+ [2 (1

3+ 1)]

2

[(3

5minus 3)

5

3]

2



c radic3 radic3

radic34

5


f

119886minus2radic1

119886

radic119886minus53


a 3

radic2 b

2minus119909

radic119909 c

3 119886

radic9 119886 d

119909minus119910


e minus7

radic11988623 f 2

radic119911minus3 g

5

radic1199094 h

4minus1199092

2+radic119909


i 119909+119910


119909minus119910


119909+119910







UTN-FRT 22


9800 habitantes


con 119875 =221minus3119905








elaborado






que 5


o igual que 4


a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16



a 324517 x 104 b 716392 x 10-5

c 000000842 d 00025 x 107

UTN-FRT 23

e 542000000000 f 64317 x 10-6


a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)

317 10minus18

c 921 108

306 105 d (233 104)(411 103)












3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898


(1

3radic5 +

1

2) 119888119898


119888119898 y de base

3(radic3)minus1

119888119898




UTN-FRT 24


del cuadrado









05 m




UTN-FRT 25






a)

b)

c) d)

UTN-FRT 26

e) f)






UTN-FRT 27

UNIDAD Ndeg2


Polinomios



Regla de Ruffini




fraccionarias

UTN-FRT 28




Ejemplos

1 2120587radic119871

119892 2

7

119910minus 1199092 3 1199070119905 +

1

21198921199052

4 119909minus5

radic119909minus53


3-









cualquiera

(a+b)2






km en x horas

yx


119909+119910 119909 ne minus119910




Irracionales

UTN-FRT 29

Ejemplos







1199102 3

4+ 119909 +

1

119909




119905 11991123 + 119911minus12 119909 +

2

radic119909





Ejemplos

I)minus1

511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902





Ejemplos

I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1







UTN-FRT 30













3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909


119875(1) = minus2(1)3 +1


1

3minus 1 = minus

8

3



1

3minus 1 =

2

3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0

119875(minus1) + 119876(0) =2

3+ 0 =

2

3



Ejemplo P(x) = 1




opuestos


51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +

1





Grado P=4

UTN-FRT 31






41199092 minus 6

119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)

= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6

= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)

= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5





3119909 + 41199092 minus 6



= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)

= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7






119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)




Ten en cuenta


UTN-FRT 32






Ten en cuenta






31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2

+ minus 31199093 minus 6119909 + 2

minus31199095 + 61199093

61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1

+

minus61199093 + 12119909

minus21199092 + 12119909 + 1

+

21199092 minus 4

12119909 minus 3


Ten en cuenta


(PQ)= m-n


exacto es decir

i) P(x)=C(x) Q(x)



UTN-FRT 33

Regla de Ruffini




119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3

minus3|


15 minus45 39


09

9





119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0

Teorema del resto




i) P(x)=C(x) (x-a)






Ten en cuenta


complejas


Coeficientes del

dividendo

Coeficientes del

cociente

resto

Coefic

ientes

del

divide

ndo

UTN-FRT 34



un cero real


Factor comuacuten




1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)








= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)

= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)

= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)




cuadrados




41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2

UTN-FRT 35







31198861198872 + 1198873


31198861198872 minus 1198873








41199102

251199092 minus1

41199102 = (5119909)2 minus (

1

2119910)

2

= (5119909 +1

2119910) (5119909 minus

1

2119910)


Si n es par









suma por la segunda


UTN-FRT 36


Ten en cuenta








simples



Ejemplos



2 Si 119876(119909) =1








1199093 = 0

1199094 = minus5






UTN-FRT 37


119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6











119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1

minus1 |


1 minus5 6 0


2 |

1 minus5 62 minus6

1 minus3 0





Divisores -1 1


Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6

El cociente es

( ) 2 5 6C x xx = minus +

El cociente es

( ) 3C x x= minus

UTN-FRT 38






2119886 donde 1199091 =


2119886 y 1199092 =


2119886


119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)



119876(119909) se


Ejemplos

1 119909minus5

2119909minus1 119909 ne

1

2

2 1199092minus36

31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6




Simplificacioacuten

Sea 119875(119909)



ambos


31199092minus12119909

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4)=

(119909+4)

3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4

UTN-FRT 39

Multiplicacioacuten





1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1

1199094 minus 1

1199092 + 6119909 + 9sdot

1199092 + 3119909

1199092 minus 1sdot

7

1199092 + 1=

(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)

(119909 + 3)2sdot

119909(119909 + 3)

(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot

7

1199092 + 1 119909

ne minus3 minus11

1199094minus1

1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1=

(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)

(119909+3)2 sdot119909(119909+3)

(119909minus1)(119909+1)sdot

7

1199092+1=

7119909

119909+3 119909 ne minus3 minus11

Divisioacuten



la segunda


119909+5

1199092minus119909

1199092minus25

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5)=

119909 minus 1

119909 + 5sdot

(119909 minus 5)(119909 + 5)

119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015

119909minus1

119909+5

1199092minus119909

1199092minus25=

119909minus1

119909+5sdot

(119909minus5)(119909+5)

119909(119909minus1)=

119909minus5

119909 119909 ne minus5015


119875(119909)

119876(119909)119877(119909)

119878(119909)=

119875(119909)

119876(119909)sdot

119878(119909)

119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0





exponente

UTN-FRT 40



1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)

1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2

1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)




denominadores




119909minus1minus

119909+1

1199092minus1

119909+4

119909minus1minus

119909+1

1199092minus1=

119909+4

119909minus1minus

119909+1

(119909minus1)(119909+1)=

119909+4

119909minus1minus

1



119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

1199092 minus 1=

119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

(119909 minus 1)(119909 + 1)=

119909 + 4

119909 minus 1minus

1

119909 minus 1=

119909 + 4 minus 1

119909 minus 1=

119909 + 3

119909 minus 1 119909 ne minus11





1199092+3119909minus10minus

2119909+4

1199092minus4

119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2(119909 + 2)

(119909 minus 2)(119909 + 2)=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909

ne minus5 minus22


119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909 ne minus52

=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)

(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52

UTN-FRT 41




Expresioacuten

algebraica

Racional

entera

Racional no

entera

irracional

2 31 1

1

xx

x

minus+

minus

2 314

2x xy xminus minus


2 135x y x+



a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2

31199095 minus 119909 minus 2



x=0 x=1 x=-1 x=2

a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17

b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909

c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13



b) El aacuterea


los 6 cuadrados




UTN-FRT 42


a b

c d











b)(51199093 +1

21199092 minus 3119909 +

3

4) + (

4

51199093 + 31199092 +

1

5119909 minus

1

2)

UTN-FRT 43

c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)



f) (31199093 minus1

21199092 + 2119909 minus 2) (

2

31199092 minus 1)

g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)

h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)

i) (1

21199094 +

8

31199093 +

1

21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (

1

2119909 + 3)


119909 minus 2


a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)

b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)

c) (1199094 minus1

21199093 +

1

31199092 minus

1

4119909 +

1

5) ∶ (119909 minus 1)

d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)

e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)

f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)

g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)


a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3

b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5

c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1




UTN-FRT 44


(119909 minus 5)






dos









a) 1611988621199092 minus 411990931198863

b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092

c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14

d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909

e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1

f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910

g) 4

251198864 minus

1

91199092

h) 25

1198982 minus 36

i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887

j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901

k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096

l) 1199103 +3

41199102 +

3

16119910 +

1

64

m) 1199092 + 36 minus 12119909

n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103

UTN-FRT 45

o) 1199093

27minus

1198861199092

3+ 1198862119909 minus 1198863



a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6


e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6














a) 1199094minus31199092+5119909minus3

119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1

b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15

119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3

c) 1199093+1

119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1


a 2

2 2 8

2 2 4

x a x a ax

x a a x x a

minus +minus +

+ minus minus b

21 1

1 1

xx

x x

+minus +

+ minus

c 3 1 1

4 4 1 1

x x xx

x x x


minus + d

2

1 1 21

1 1

x

x x x

minus minus

+ minus

e 1 1

x xx x

x x

+ minus

minus minus f

2

3 2

1 1

x

x a x a x a x

+

+ minus minus

UTN-FRT 46

g 1

8minus8119909minus

1

8+8119909+

119909

4+41199092 h

4119909minus3119887

2119909minus 2 +

2119909+119887

3119909

i (1

119909+

2

119886) (

1

119909minus

2

119886) (

119886119909

119886+2119909) j (

1199092

1198862 minus1198862

1199092) ∶ (119909

119886+

119886

119909)

k (1199094 minus1

1199092) ∶ (1199092 +

1

119909) l (

2119909

119909+3minus

119909+1

119909) ∶ (

1199093minus41199092minus3119909

1199092 )


a ( )

( )( )

22 a b aa b a

b a b b a b a b

minus+minus +


a b+ b

a bminus

+

b

a b+

a b

b

+ Otro

b 2 3 4 4 1

2 2 3 3 6 6

a a a

a a a


+ + + es igual a

a 1

6

b

a b Otro

c

2

2

2 4 4

1 1 1

x x x

x x x

minus + minus


2

1

2x xminus

minus minus

2

1

2x xminus minus

2

1



2119886+2minus

3119886minus4

3119886+3+

4119886minus1

6119886+6=

1

6

UTN-FRT 47

UNIDAD Ndeg3

Aacutengulo


Longitud de arco

Triaacutengulos







Teorema del seno

Teorema del coseno

UTN-FRT 48

Nociones previas


dos aacutengulos





bull




Sistema sexagesimal




sexagesimal





1 =

UTN-FRT 49

Longitud de arco









Ejemplos



ii) 4


180deg-----------------

3043deg--------------x


180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889

ii) ---------------------180deg

4

----------------------x

Entonces x=

1801804 45

4

= =



UTN-FRT 50

Elementos


Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860


180deg--------

50deg--------x

Entonces x=50 5

180 18

=


18

=5 metros


Elementos

Propiedades




diferencia






180deg

+ + = 180deg

UTN-FRT 51



360deg

+ + 120574 = 360deg







equilaacutetero


Como + + = 180deg

Entonces



= 96deg

UTN-FRT 52


Triaacutengulos

acutaacutengulos

Triaacutengulos

rectaacutengulos

Triaacutengulos

obtusaacutengulos


agudos






hipotenusa c= =

oshipotenusa c


= =

oscatetoadyacente b

c Ahipotenusa c

= =

echipotenusa c


= =

catetoopuesto atg A



catetoopuesto a= =


bsen B

c= cos

aB

c= t

bg B

a=


UTN-FRT 53



Ten en cuenta




1 Datos b=280 m y c= 415 m

28006747

415

(06747)

4243

bsen B

c

B arcsen

B

= = =

=

=





30631119898119890119905119903119900119904


119888119900119904 3 7deg =52

119888

119888 =52

119888119900119904 3 7deg

119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904


119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904


UTN-FRT 54







Ten en cuenta








normal

UTN-FRT 55











1



os1



catetoopuesto ytg


1os

hipotenusac ec

catetoopuesto y = =

UTN-FRT 56

1ec

hipotenusas


otcatetoadyacente x


= =







4 Como

1 1 1 1

1 1 1 cos 1

y sen

x

minus minus

minus minus



2 2cos 1sen + =

UTN-FRT 57

cos 0cos

sentg

=

1sec cos 0

cos

=

1sec s 0co en

sen

=






Entonces

130

2 2




sen tg

= =

UTN-FRT 58

1 330

33 3

catetoopuesto y ytg



1cos60 30

2sen = =

60 cot 30 3tg g = =





Entonces

3 3cos30

2 2 2



360 cos30

2sen = =

UTN-FRT 59

1 245

22 2



1 2cos45

22 2

catetoadyacente x x




= = = =




Primer

paso


4

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

00

2=

1

2 2

2

3

2

21

2=

Divido en 2

sen α 0 1

2 2

2

3

2

1




Primer

paso


0

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

21

2= 3

2

2

2

1

2

00

2=

Divido en 2

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0

UTN-FRT 60

En resumen


sen α 0 1

2 2

2

3

2

1

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0












7 10 7 12186910


h altura

UTN-FRT 61


121869 121869km a m m=









dos islas


1200 1200

10 10 1200 68055310

tg d tg d d md tg

= = = =


d distancia

UTN-FRT 62


Teorema del seno




opuestos

a b c

sen A sen B senC= =

sen A sen B senC

a b c= =







3

30 45

3 45

30

3 2

a b b

sen A sen B sen sen

senb

sen

b

= =

=

=

UTN-FRT 63


3

30 105

3 105

30

3 6 3 2

2

a c c

sen A senC sen sen

senc

sen

c

= =

=

+ =


2b m

+=

Teorema del coseno







2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + minus

= + minus

= + minus

Ten en cuenta







UTN-FRT 64




2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos32

1858

431

BD AB AD AB AD A

BD

BD

BD

= + minus

= + minus

=

=



Por propiedad

+ + + = 360deg = =



2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos148

18141

1347

AC AB BC AB BC B

AC

AC

AC

= + minus

= + minus

=

=

UTN-FRT 65

Unidad Ndeg3



sexagesimal

a 120587

6

a 5120587

4 b 26 rad

c 2120587

3 d 35 rad e

3120587

2


b 60deg




que

25

20

35

=

=

=


y C


120572 = 60deg


120572 = 18deg


120572 = 20deg



la figura dada




agudo

a) 119904119890119899119860 =3

7

b) 119905119892119860 = 15

UTN-FRT 66

c) 119888119900119904119860 = 03



b A = 38deg b = 15

c b = 12 c = 5

d a = 18 b = 32

e c = 12 a = 14












altura 8 cm




120572 = 60deg 120579 = 60deg

119860119863 = 18 119898

A

B

D

C

UTN-FRT 67









altura de la torre






Complete la tabla

a

c

b

UTN-FRT 68

a

b

c

120572 120573 120574 Aacuterea

30 cm 45 cm 40deg

120 cm 84 cm 60deg

60 m 70 m 5120587

6

25 cm 35deg 68deg

252 m 378 m 434 m


475 cm 70deg 45deg





la figura








UTN-FRT 69









UTN-FRT 70









UTN-FRT 71

UNIDAD Ndeg4










UTN-FRT 72





Ejemplos



Ten en cuenta






2

Pr




Clasificacioacuten

Enteras Racionales



Logariacutetmicas




Ejemplos






UTN-FRT 73


31

4

x

x

minus=






racional no entero













de partida

Ten en cuenta


(CS= )





UTN-FRT 74

9 2 11

9 2 9 11 9

2 2

1 12 2

2 2

1

x

x

x

x

x

+ =

+ minus = minus

=

=

=

Por lo tanto CS= 1





ax bx c a+ + =





2 5 3a b c= = = minus

2

12

1

12

2

5 25 42( 3)4 5 49

2 22 4

5 7 2 1

5 7 2 4 2

5 7 1243

4 4

b b acx

a

x

x

x


minus += = =minus


Por lo tanto CS=1

2 -3


0c


2

2

2

3 12 0

3 12

4

2

2 2

x

x

x

x

x x

minus =

=

=

=

= minus =


UTN-FRT 75


0b y 0c =


( )

22 12 0

2 6 0 2 0 6 0

0 6

x x

x x x x

x x

minus =

minus = = minus =

= =




2

12

4

2

b b acx

a







1 2 5 6 0x xminus + =


reales y distintas

2 2 9 0x x+ + =









1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +

UTN-FRT 76

2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

3 2

1 1 2

1x x x x+ =

minus minus

Resolucioacuten

1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +


denominador

7 + 119909

119909 + 5=

119909 + 3

119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2



7 + 119909

119909 + 5∙

119909 + 2

119909 + 2=

119909 + 3

119909 + 2 ∙

119909 + 5

119909 + 5

(7 + 119909) (119909 + 2)

(119909 + 5) (119909 + 2)=

(119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 2) (119909 + 5)

(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)


7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15

9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15


119909 minus 1 = 0

119909 = 1



5 2

x x

x x

+ +=

+ +

Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3

1 5 6 3 1 2

+ += = =

+ +

Luego 119862119878 = 1

UTN-FRT 77


5 2

x x

x x

+ +=


7 + 119909

119909 + 5minus

119909 + 3

119909 + 2= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 5) (119909 + 2)= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0



119909 minus 1 = 0

119909 = 1


2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +



3119909

2119909 + 1=

119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

21199092 + 3119909 + 1

3119909

2 (119909 +12)

=119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

2(119909 + 1) (119909 +12)


2

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)


3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1

2) + (119909 minus 19)

UTN-FRT 78


31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19


1199092 minus 9119909 + 14 = 0


1199091 = 2 y 1199091 = 7


2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

Si 119909 = 2

32

22 + 1=

2 + 5

2 + 1+

2 minus 19

2 22 + 32 + 1

6

5=

7

3+

(minus17)

15

6

5=

18

15

6

5=

6

5

Si 119909 = 7

37

27 + 1=

7 + 5

7 + 1+

7 minus 19

2 72 + 37 + 1

21

15=

12

8+

(minus12)

120

7

5=

3

2+

(minus1)

10

7

5=

14

10

7

5=

7

5

Luego 119862119878 = 27

UTN-FRT 79

3 23 11 6

2 3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus


23 11 62 3

3 3

x xx con x

x x

minusminus = minus

minus minus

Operando obtenemos

2

2 2

2

2

3 11 2 ( 3) 6

3 3

3 11 2 6 6

3 3

5 6

3 3

5 6 0

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x


minus minus


minus minus

minus= minus

minus minus

minus + =


1 22 3x y x= =


2 33 3

x xx con x

x x

minusminus = minus





23 11 62

3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus

Si x=2

232 112 12 22 622 4 10 4 6

2 3 1 2 3


minus minus minus





1 radic5119909 = 119909

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909


Resolucioacuten

UTN-FRT 80

1 radic5119909 = 119909


miembros

(radic5119909)2

= 1199092

5119909 = 1199092

1199092 minus 5119909 = 0


Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 05

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909



= (119909 minus 4)2

4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16


minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0


Verificacioacuten

Si 119909 = 2


4 + 2 = 2

6 = 2

Si 119909 = 10


4 + 2 radic9 = 10

4 + 23 = 10

UTN-FRT 81

10 = 10

Luego 119862119878 = 10




(radic3119909 + 1)2






1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)

1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4


y 1199092 = 5

Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 15

Inecuaciones






con la letra e

UTN-FRT 82

1

25 35

experiencia

edad

a a

e e



fundamentales















la recta real

1 5 3 4x x+ minus

5 3 5 4 5

3 1

3 1

4 1

1

4

x x

x x

x x x x

x

x

+ minus minus minus

minus minus

+ minus minus +

minus

minus

CS=(-infin -14]

UTN-FRT 83

2 2 1 7xminus +

( )

2 1 1 7 1

2 6

1 1 2 6

2 2

3

x

x

x

x

minus + minus minus

minus

minus minus minus

minus

CS=(-3infin)

UTN-FRT 84












119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ





5 119862 + 32

Despeja 119862





c 4(119909 minus 2) +1

2= minus

1

3(119909 + 2) minus

14

3 d

119909minus2

119909+3minus

119909+1

119909minus3=

5

1199092minus9

e 119909+1

119909minus1minus

119909

119909+1=

119909+5



2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus

119909

2




5

4

5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8


3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0




UTN-FRT 85


nuacutemeros


nuacutemeros




y el resto 9





a 131199092 + 8 = 60

b 31199092 minus 24119909 = 0

c 41199092 minus 20119909 = 75

d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6

e 31199092+6119909

3minus 120 = 0

f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)

g 24119909minus61199092

15= 0

h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909




c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1

21199092 + 5119909 + 8




de modo que




UTN-FRT 86




a) 119886 = 0 119898

b) 119886 =75

4 119898

c) 119886 = 15 119898









9













del marco


UTN-FRT 87


a 6minus119909

1199092+4119909+4minus

1

119909+2=

2

5minus119909 b (

119909+1

119909minus1)

2

+119909+1

119909minus1= 6

c 119909+4

3119909minus6minus

119909minus6

4119909minus8=

119909+1

119909minus2 d

3

119909minus2+

7

119909+2=

119909+1

119909minus2

e 1

119909minus2= 1 +

2

1199092minus2119909 f

2119909minus3

3119909minus2=

119909minus1

2119909

g 2+119909

2minus119909+

2minus119909

2+119909= 2 h

3

119909+5= 1 minus

4

119909minus5

i 119909+1

119909minus1minus

119909+5

1199092minus1=

119909

119909+1












a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5

c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1

21199092 + 5119909 + 8 ge 0


g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0

UTN-FRT 88

UNIDAD Ndeg5

Funciones






Funcioacuten lineal

Dominio y rango

Graacutefica




Domino y rango

Graacutefica



UTN-FRT 89

Funciones




Ejemplos







t 1 2 3 4

d 5 20 45 80




automoacutevil

Dominio Rango

UTN-FRT 90









Notacioacuten




A B

UTN-FRT 91

( )

f A B

x y f x

rarr

rarr =
















Ten en cuenta









UTN-FRT 92







la graacutefica







funcioacuten




UTN-FRT 93


funciones

1 ( ) 2 1f x x= minus


2 1 0

2 1

1

2

x

x

x

minus =

=

=


2 0)


(0) 20 1

(0) 1

f

f

= minus

= minus


2 2( ) 5 6f x x x= minus +


2

2

12

1 2

5 6 0

5 5 416

21

3 2

x x

x

x y x

minus + =

minus=

= =



2(0) 0 50 6

(0) 6

f

f

= minus +

=


Q (0 y)


f (0)

ceros


UTN-FRT 94





isin (a b)





isin (a b)



Enteras Racionales



Logariacutetmicas



Ejemplos



6( )

3 6

xf x

x x

+=

minus


UTN-FRT 95


13( )g x x=



Funcioacuten Lineal









funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


en ℝ





funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


decreciente en ℝ

Ten en cuenta



UTN-FRT 96







ceros


de las abscisas y=0


y=b









2 1

2 1

( )

( )



minus= = = minus

UTN-FRT 97


21

3y x= +

Donde 2

3m = y 1b =



32

4y x= minus +

Donde 3

4m = minus y 2b =






1 2m m=


UTN-FRT 98



1 2 2m m= =




1

1m

m= minus


13

y x= minus minus


las pendientes son

1 3m = y 2

1

3m = minus



general como


1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =

+ =

UTN-FRT 99





Clasificacioacuten

Sistema

compatible

determinado

(SCD)







Sistema

compatible

indeterminado

(SCI)


representa



UTN-FRT 100

Sistema

Incompatible

(SI)



rectas paralelas no









Ejemplos

1 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus




De 1 1

(2)2 2

y x= minus minus


1 12 3

2 2

1 12 3

2 2

5 5

2 2

1

y y

x x

x x

x

x

=

minus = minus minus

+ = minus +

=

=

UTN-FRT 101



De (1) 1y = minus


2 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus



no utilizada



Resolvemos

2 4 3

5 5

1

y y

y

y

minus minus minus =

minus =

= minus



De (2) 1x =


3 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus







2 3 2 3 4 2 6

2 1 2 1 2 1

x y x y x y

x y x y x y




5 5 1x x= =



De (1) 1y = minus

UTN-FRT 102












2 0ax bx c+ + =

Obtenemos 2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus= y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )hminus

UTN-FRT 103




2 0ax bx c+ + =

Obtenemos

2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus=

y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )h

Ceros







raiacuteces reales


sola raiacutez real

1 22

bx x

a= = minus


raiacuteces reales

UTN-FRT 104





bh


2k ah bh c= + +


bx

a= minus




Ejemplos


a El dominio






Resolucioacuten








coordenadas (0 5)


321

h = minus = minus y



UTN-FRT 105


funcioacuten


e Grafica








2( )

4 3

xf x

x

+=

minus

2

2( )

1

xg x

x

minus=

+ y

2

3

9( )

xh x

x x

+=

minus


119863119900119898119891 = ℝ minus 4

3

119863119900119898119892 = ℝ

Rgof=[ 4 )minus

UTN-FRT 106

119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101



f xcx d

+=

+


119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus

119886

119888





yc

=


xc

= minus


1 2

2( )

4

xf x

x x

+=


2 2 5

( )1

xf x

x

minus +=


graacutefica

Resolucioacuten

UTN-FRT 107


2( )

4

xf x

x x

+=





( )1

xf x

x

minus +=





xc



yc




( ) 5f x x= minus 2

( )1

g xx

=minus





)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ

UTN-FRT 108


ldquoFuncionesrdquo


a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1

21199092 + 2119909 minus 5

c 119910 = radic119909 + 1

d 119892(119909) =119909+5

2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (

119909

3)

f 119892(119909) = minus7119909 + 3

g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2

119909+ 5


origen

a 119891(119909) = minus4119909 +1

2 ( )

b 119910 = 5119909 + 4 ( )

c 119910 =4

119909minus 6 ( )

d 119910 = minus1

2119909 +

4

7 ( )


5119909 ( )


a 1198750 (minus1


5

2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2



a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)

b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)

c 1198751(2 3) 1198752(1 2)

d 1198751(6 0) 1198752(0 2)

e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)


coordenados

a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7

c 119910 = minus1

2119909 + 4 d 119910 = minus2119909


a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1

b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4





UTN-FRT 109




2

1


puntos (-2 4) y (4 6)


puntos (-2 -1) y (2

3 0)




clasifiacutecalos

a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4

b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

c 2119909 minus 119910 = minus3

minus3119909 +9

4119910 =

15

2


e minus

2

3119909 + 119910 = 1

minus5119909 + 8119910 = 7 f

minus119909 + 3119910 = minus1

4

2119909 minus 6119910 =1

2

g 1

2119909 minus 119910 = minus

1

2

minus5119909 + 8119910 = 8

h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1












UTN-FRT 110









a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5

b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15

c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3

d 119910 = 41199092 + 1

e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7

f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3


g El dominio












funciones

d El rango







UTN-FRT 111






a b c Tipo de


Dos

puntos

Ninguacuten

punto

1 minus7 6

minus1 3 minus4


1 0 minus4

radic3 6 3radic3


a b




2 minus

9

2) y corta al


UTN-FRT 112
















119877(119909) = minus1

401199092 +

7

2119909 para 0 lt 119909 lt 120











a 119891(119909) =119909+1

5minus4119909 b 119892(119909) =

3minus119909

1199092+4

c ℎ(119909) =1+1199092

1199093minus119909 d 119891(119909) =

7119909

1199092minus16

UTN-FRT 113



a 119891(119909) =3+2119909

5119909minus1

b 119892(119909) =3

2119909minus4

c ℎ(119909) =3minus2119909

4119909

d 119891(119909) =2+3119909

5minus119909


a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1

b 119892(119909) =3119909

radic119909+4


UTN-FRT 12



radic119886119899




Ejemplos

1 radic81 = 9

2 radicminus83

= minus3


4 radic25

9=

5

3


Propiedad Ejemplos

radic119886 119887119899

= radic119886119899

radic119887119899


radic119886

119887

119899=

radic119886119899

119887 119887 ne 0 radic

8

343

3

=radic83

radic3433 =

2

7


119898

= radic119886119898119899

radicradic643

= radic646

= 2

119886 gt 0 119899 isin 119873 119899119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899

119886 lt 0 119899 isin 119873 119899119894119898119901119886119903 radic119886119898119899= 119886119898119899


3)

2= 4


= minus5


Ejemplos

1 2

radic7=

2

radic7

radic7

radic7=

2radic7

(radic7)2 =

2radic7

7

2 2

radic11990925 =2

radic11990925

radic11990935

radic11990935 =2 radic11990935

radic119909211990935 =2 radic11990935

radic11990955 =2 radic11990935

119909 119909 ne 0


3 3

radic119909+119910=

3

radic119909+119910




(radic119909)2

minus1199102=


119909minus1199102

UTN-FRT 13

Ten en cuenta


Ejemplo


radic100 ne 6 + 8

10 ne 14

INTERVALOS REALES


Sean 119886 119887 isin ℝ 119886 lt 119887




119886 119887) = 119909 isin ℝ119886 le 119909 lt 119887

119886 119887 = 119909 isin ℝ119886 lt 119909 le 119887


(119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 gt 119886

[119886 infin) = 119909 isin ℝ119909 ge 119886




Ejemplos


UTN-FRT 14



VALOR ABSOLUTO


|119909| = 119909 119909 ge 0minus119909 119909 lt 0



Ejemplos

a) |0| = 0 porque 0 ge 0

b) |- 31| = - (-31) = 31 porque -3 1lt0

c) |7 | = 7 porque 7 ge 0

Algunas propiedades



3 forall119886 119887 isin ℝ |119886 119887| = |119886||119887|

4 forall119886 119887 isin ℝ 119887 ne 0 |119886 119887| = |119886| |119887|

5 forall119886 119887 isin ℝ |119886 + 119887| le |119886| + |119887|




|119909 + 1| = 7

119909 + 1 = 7oacute119909 + 1 = minus7

119909 = 6oacute119909 = minus8

119862119878 = minus86


UTN-FRT 15

|2119909 minus 3| le 1


minus1 + 3 le 2119909 minus 3 + 3 le 1 + 3

2 le 2119909 le 4

21

2le 2119909

1

2le 4

1

2

1 le 119909 le 2

119862119878 = [12]

Ten en cuenta



119889 = |119886 minus 119887| = |119887 minus 119886|

Ejemplo



pequentildeos

Ejemplos






Ejemplos








UTN-FRT 16

1 (374x10-2) (5723x106) = (374 5723) x (10-2106)

= 21404 x 104=21404 x 105

2 (216119909104)(125611990910minus12)

31711990910minus18 = 856119909109






e incoacutegnitas





UTN-FRT 17

Ten en cuenta




Donde a y b son

catetos y h es la

hipotenusa

UTN-FRT 18






es (2πR) 2




Ejecutamos el plan


UTN-FRT 19






Verificamos


un aacuterea


2 2 2

2 2 2

2 4

4 2

16 4

12 2 3

a

a

a

a

+ =

= minus

= minus

= =

UTN-FRT 20




4 120587

B = radicminus113

-3 -025 0 -2 120587 -radic3

3 C =

1

2 0 -2 radic9 120587 -

radic3

3







a 25

14 b

3

11 c

77

36 d

61

9






negativo



a (3 + 4)2 = 32 + 42

b (12 4)2 = 122 42

c 32 34 33 = 39

d (4 119909 119910)3 = 64 119909 119910

e (6119886119887119888 ∶ 2119886119888)3 = 31198873

f radic36 + 64 = radic36 + 8

g (42)345 = 4



UTN-FRT 21

j (1198862)3 = 119886(23)



a (2 1199093 119910minus3

8 1199094 1199102 )minus1

b (7 1198864 119887minus4

2 1198862 1198872 )minus2

c (3 119909minus3 1199104

10 1199092 1199106)minus1

d (5 1198862 1198873


e (9 119909 119911minus2

27 119909minus4 119911)

minus3

f (3 1199092 1199105

1199093 119910)

3

7 Resuelve

a 427+2(minus6)


1

2)

2


075minus0625)

2

c 129 + 073 minus 2 5 d 81025+9minus05


e 10119909+11991010119910minus11990910119910+1

10119910+1102119910+1 f radicradic1633

+ radic33

radic323radic363

+ [2 (1

3+ 1)]

2

[(3

5minus 3)

5

3]

2



c radic3 radic3

radic34

5


f

119886minus2radic1

119886

radic119886minus53


a 3

radic2 b

2minus119909

radic119909 c

3 119886

radic9 119886 d

119909minus119910


e minus7

radic11988623 f 2

radic119911minus3 g

5

radic1199094 h

4minus1199092

2+radic119909


i 119909+119910


119909minus119910


119909+119910







UTN-FRT 22


9800 habitantes


con 119875 =221minus3119905








elaborado






que 5


o igual que 4


a |119909| minus 5 = 1 b |2119909 + 3| = 1 c |3119909 + 6| + |119909 + 2| = 16



a 324517 x 104 b 716392 x 10-5

c 000000842 d 00025 x 107

UTN-FRT 23

e 542000000000 f 64317 x 10-6


a (354 10minus2)(5273 106) b (216 104)(1256 10minus12)

317 10minus18

c 921 108

306 105 d (233 104)(411 103)












3radic5 119888119898 y 4radic5 119888119898


(1

3radic5 +

1

2) 119888119898


119888119898 y de base

3(radic3)minus1

119888119898




UTN-FRT 24


del cuadrado









05 m




UTN-FRT 25






a)

b)

c) d)

UTN-FRT 26

e) f)






UTN-FRT 27

UNIDAD Ndeg2


Polinomios



Regla de Ruffini




fraccionarias

UTN-FRT 28




Ejemplos

1 2120587radic119871

119892 2

7

119910minus 1199092 3 1199070119905 +

1

21198921199052

4 119909minus5

radic119909minus53


3-









cualquiera

(a+b)2






km en x horas

yx


119909+119910 119909 ne minus119910




Irracionales

UTN-FRT 29

Ejemplos







1199102 3

4+ 119909 +

1

119909




119905 11991123 + 119911minus12 119909 +

2

radic119909





Ejemplos

I)minus1

511990931199102 II) 1205871199092 III) radic31199094119910 IV) 1198902





Ejemplos

I)7119909 + 51199092 minus 1199093 II) 1







UTN-FRT 30













3119909 minus 1 y Q(x) = 21199092 + 119909


119875(1) = minus2(1)3 +1


1

3minus 1 = minus

8

3



1

3minus 1 =

2

3119876(0) = 2(0)2 + 0 = 0

119875(minus1) + 119876(0) =2

3+ 0 =

2

3



Ejemplo P(x) = 1




opuestos


51199092 + 7 y Q(x) = minus31199094 +

1





Grado P=4

UTN-FRT 31






41199092 minus 6

119875(119909) + 119876(119909) = (51199093 + 31199094 + 31199092 + 1) + (1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6)

= 51199093 + 31199094 + 31199092 + 1 + 1199093 + 3119909 + 41199092 minus 6

= (5 + 1)1199093 + 31199094 + (3 + 4)1199092 + (1 minus 6)

= 61199093 + 31199094 + 71199092 minus 5





3119909 + 41199092 minus 6



= (5 minus 1)1199093 + 31199094 + (3 minus 4)1199092 + (1 + 6)

= 41199093 + 31199094 minus 1199092 + 7






119875(119909) 119876(119909) = (51199094 minus 21199093 + 31199092 + 1) (2119909 minus 1)




Ten en cuenta


UTN-FRT 32






Ten en cuenta






31199095 + 01199094 + 01199093 minus 21199092 + 0119909 + 1|minus1199092 + 2

+ minus 31199093 minus 6119909 + 2

minus31199095 + 61199093

61199093 minus 21199092 + 0119909 + 1

+

minus61199093 + 12119909

minus21199092 + 12119909 + 1

+

21199092 minus 4

12119909 minus 3


Ten en cuenta


(PQ)= m-n


exacto es decir

i) P(x)=C(x) Q(x)



UTN-FRT 33

Regla de Ruffini




119875(119909) = minus51199094 + 321199092 minus 42119909 y 119876(119909) = 119909 + 3

minus3|


15 minus45 39


09

9





119875(1) = 13 minus 21 + 1 = 1 minus 2 + 1 = 0

Teorema del resto




i) P(x)=C(x) (x-a)






Ten en cuenta


complejas


Coeficientes del

dividendo

Coeficientes del

cociente

resto

Coefic

ientes

del

divide

ndo

UTN-FRT 34



un cero real


Factor comuacuten




1511990931199102 + 611990921199103 = 311990921199102(5119909 + 2119910)








= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(minus1199102 + 119909)

= 151199092(119909 minus 1199102) + 7119910(119909 minus 1199102)

= (119909 minus 1199102)(151199092 + 7119910)




cuadrados




41199092ndash 4119909119910 + 1199102 = (2119909 minus 119910)2

UTN-FRT 35







31198861198872 + 1198873


31198861198872 minus 1198873








41199102

251199092 minus1

41199102 = (5119909)2 minus (

1

2119910)

2

= (5119909 +1

2119910) (5119909 minus

1

2119910)


Si n es par









suma por la segunda


UTN-FRT 36


Ten en cuenta








simples



Ejemplos



2 Si 119876(119909) =1








1199093 = 0

1199094 = minus5






UTN-FRT 37


119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6











119875(119909) = 1199093 minus 41199092 + 119909 + 6 y 119876(119909) = 119909 + 1

minus1 |


1 minus5 6 0


2 |

1 minus5 62 minus6

1 minus3 0





Divisores -1 1


Divisores -1 1 -2 2 -3 3 -6 6

El cociente es

( ) 2 5 6C x xx = minus +

El cociente es

( ) 3C x x= minus

UTN-FRT 38






2119886 donde 1199091 =


2119886 y 1199092 =


2119886


119875(119909) = 119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)



119876(119909) se


Ejemplos

1 119909minus5

2119909minus1 119909 ne

1

2

2 1199092minus36

31199092minus18119909 119909 ne 0119910119909 ne 6




Simplificacioacuten

Sea 119875(119909)



ambos


31199092minus12119909

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4) 119909 ne 0119910119909 ne 4

1199092minus16

31199092minus12119909=

(119909minus4)(119909+4)

3119909(119909minus4)=

(119909+4)

3119909 119909 ne 0119910119909 ne 4

UTN-FRT 39

Multiplicacioacuten





1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1

1199094 minus 1

1199092 + 6119909 + 9sdot

1199092 + 3119909

1199092 minus 1sdot

7

1199092 + 1=

(119909 minus 1)(119909 + 1)(1199092 + 1)

(119909 + 3)2sdot

119909(119909 + 3)

(119909 minus 1)(119909 + 1)sdot

7

1199092 + 1 119909

ne minus3 minus11

1199094minus1

1199092+6119909+9sdot

1199092+3119909

1199092minus1sdot

7

1199092+1=

(119909minus1)(119909+1)(1199092+1)

(119909+3)2 sdot119909(119909+3)

(119909minus1)(119909+1)sdot

7

1199092+1=

7119909

119909+3 119909 ne minus3 minus11

Divisioacuten



la segunda


119909+5

1199092minus119909

1199092minus25

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5) 119909 ne minus55

119909 minus 1

119909 + 5

1199092 minus 119909

1199092 minus 25=

119909 minus 1

119909 + 5

119909(119909 minus 1)

(119909 minus 5)(119909 + 5)=

119909 minus 1

119909 + 5sdot

(119909 minus 5)(119909 + 5)

119909(119909 minus 1) 119909 ne minus5015

119909minus1

119909+5

1199092minus119909

1199092minus25=

119909minus1

119909+5sdot

(119909minus5)(119909+5)

119909(119909minus1)=

119909minus5

119909 119909 ne minus5015


119875(119909)

119876(119909)119877(119909)

119878(119909)=

119875(119909)

119876(119909)sdot

119878(119909)

119877(119909) 119889119900119899119889119890119876(119909) ne 0 119878(119909) ne 0 119877(119909) ne 0





exponente

UTN-FRT 40



1199092 minus 16 = (119909 + 4)(119909 minus 4)

1199092 + 8119909 + 16 = (119909 minus 4)2

1199092 + 4119909 = 119909(119909 + 4)




denominadores




119909minus1minus

119909+1

1199092minus1

119909+4

119909minus1minus

119909+1

1199092minus1=

119909+4

119909minus1minus

119909+1

(119909minus1)(119909+1)=

119909+4

119909minus1minus

1



119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

1199092 minus 1=

119909 + 4

119909 minus 1minus

119909 + 1

(119909 minus 1)(119909 + 1)=

119909 + 4

119909 minus 1minus

1

119909 minus 1=

119909 + 4 minus 1

119909 minus 1=

119909 + 3

119909 minus 1 119909 ne minus11





1199092+3119909minus10minus

2119909+4

1199092minus4

119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2(119909 + 2)

(119909 minus 2)(119909 + 2)=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909

ne minus5 minus22


119909 minus 10

1199092 + 3119909 minus 10minus

2119909 + 4

1199092 minus 4=

119909 minus 10

(119909 + 5)(119909 minus 2)minus

2

(119909 minus 2) 119909 ne minus52

=119909 minus 10 minus 2(119909 + 5)

(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52


(119909 + 5)(119909 minus 2) 119909 ne minus52

UTN-FRT 41




Expresioacuten

algebraica

Racional

entera

Racional no

entera

irracional

2 31 1

1

xx

x

minus+

minus

2 314

2x xy xminus minus


2 135x y x+



a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17 b 119876(119909) = 51199092 minus2

31199095 minus 119909 minus 2



x=0 x=1 x=-1 x=2

a 119875(119909) = 361199094 minus 21199093 + 17

b 119877(119909) = radic3 1199093 minus 41199092 + 21119909

c 119878(119909) = minus31199095 + 141199092 + 23119909 minus 13



b) El aacuterea


los 6 cuadrados




UTN-FRT 42


a b

c d











b)(51199093 +1

21199092 minus 3119909 +

3

4) + (

4

51199093 + 31199092 +

1

5119909 minus

1

2)

UTN-FRT 43

c) (41199092 minus 5119909 + 3) (1199092 minus 4119909 + 1)



f) (31199093 minus1

21199092 + 2119909 minus 2) (

2

31199092 minus 1)

g)(51199093 + 31199092 minus 119909 + 1) ∶ (1199092 minus 119909 + 1)

h)(1199094 + 31199092 minus 5119909 + 2) ∶ (2119909 minus 1)

i) (1

21199094 +

8

31199093 +

1

21199092 + 16119909 minus 4) ∶ (

1

2119909 + 3)


119909 minus 2


a) (21199093 + 31199092 + 4119909 + 5) ∶ (119909 minus 3)

b) (1199095 + 1199094 + 1199093 + 1199092 + 119909 + 1) ∶ (119909 + 1)

c) (1199094 minus1

21199093 +

1

31199092 minus

1

4119909 +

1

5) ∶ (119909 minus 1)

d) (1199093 minus 27) ∶ (119909 minus 3)

e) (1199093 + 27) ∶ (119909 + 3)

f) (1199094 + 16) ∶ (119909 + 2)

g) (1199094 minus 16) ∶ (119909 minus 2)


a) 119875(119909) = 1199096 + 81199094 minus 61199093 minus 91199092 119876(119909) = 119909 + 3

b) 119875(119909) = 1199093 + 21199092 minus 13119909 + 10 119876(119909) = 119909 + 5

c) 119875(119909) = 21199094 minus 1199093 minus 111199092 + 4119909 + 12 119876(119909) = 119909 + 1




UTN-FRT 44


(119909 minus 5)






dos









a) 1611988621199092 minus 411990931198863

b) 121198864 + 91198863119909 minus 1211988621199092

c) 4119886119909 minus 8119909 + 7119886119910 minus 14

d) 119909119910 minus 2119910 + 6 minus 3119909

e) 6119886119887 + 2119887 + 3119886 + 1

f) 151199093 minus 91199103 minus 1511990921199102 + 9119909119910

g) 4

251198864 minus

1

91199092

h) 25

1198982 minus 36

i) 2119886119909 + 2119887119909 minus 119886119910 + 5119886 minus 119887119910 + 5119887

j) 21198981199092 + 31199011199092 minus 4119898 minus 6119901

k) 1198864 + 211988621199093 + 1199096

l) 1199103 +3

41199102 +

3

16119910 +

1

64

m) 1199092 + 36 minus 12119909

n) 21199093119910 minus 311991021199092 + 111199094 minus 911990951199103

UTN-FRT 45

o) 1199093

27minus

1198861199092

3+ 1198862119909 minus 1198863



a 1199093 + 61199092 + 3119909 minus 2 b 1199093 minus 7119909 + 6


e 1199093 + 31199092 + 119909 + 3 f 1199093 minus 21199092 + 3119909 minus 6














a) 1199094minus31199092+5119909minus3

119909minus1= 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 3 si 119909 ne 1

b) 31199095+101199094+41199093+1199092minus119909+15

119909+3= 31199094 + 1199093 + 1199092 minus 2119909 + 5 si 119909 ne minus3

c) 1199093+1

119909+1= 1199092 minus 119909 + 1 si 119909 ne minus1


a 2

2 2 8

2 2 4

x a x a ax

x a a x x a

minus +minus +

+ minus minus b

21 1

1 1

xx

x x

+minus +

+ minus

c 3 1 1

4 4 1 1

x x xx

x x x


minus + d

2

1 1 21

1 1

x

x x x

minus minus

+ minus

e 1 1

x xx x

x x

+ minus

minus minus f

2

3 2

1 1

x

x a x a x a x

+

+ minus minus

UTN-FRT 46

g 1

8minus8119909minus

1

8+8119909+

119909

4+41199092 h

4119909minus3119887

2119909minus 2 +

2119909+119887

3119909

i (1

119909+

2

119886) (

1

119909minus

2

119886) (

119886119909

119886+2119909) j (

1199092

1198862 minus1198862

1199092) ∶ (119909

119886+

119886

119909)

k (1199094 minus1

1199092) ∶ (1199092 +

1

119909) l (

2119909

119909+3minus

119909+1

119909) ∶ (

1199093minus41199092minus3119909

1199092 )


a ( )

( )( )

22 a b aa b a

b a b b a b a b

minus+minus +


a b+ b

a bminus

+

b

a b+

a b

b

+ Otro

b 2 3 4 4 1

2 2 3 3 6 6

a a a

a a a


+ + + es igual a

a 1

6

b

a b Otro

c

2

2

2 4 4

1 1 1

x x x

x x x

minus + minus


2

1

2x xminus

minus minus

2

1

2x xminus minus

2

1



2119886+2minus

3119886minus4

3119886+3+

4119886minus1

6119886+6=

1

6

UTN-FRT 47

UNIDAD Ndeg3

Aacutengulo


Longitud de arco

Triaacutengulos







Teorema del seno

Teorema del coseno

UTN-FRT 48

Nociones previas


dos aacutengulos





bull




Sistema sexagesimal




sexagesimal





1 =

UTN-FRT 49

Longitud de arco









Ejemplos



ii) 4


180deg-----------------

3043deg--------------x


180deg= 017120587 ≃ 053119903119886119889

ii) ---------------------180deg

4

----------------------x

Entonces x=

1801804 45

4

= =



UTN-FRT 50

Elementos


Aacutengulos o 119862119861 119860119862 119861119860


180deg--------

50deg--------x

Entonces x=50 5

180 18

=


18

=5 metros


Elementos

Propiedades




diferencia






180deg

+ + = 180deg

UTN-FRT 51



360deg

+ + 120574 = 360deg







equilaacutetero


Como + + = 180deg

Entonces



= 96deg

UTN-FRT 52


Triaacutengulos

acutaacutengulos

Triaacutengulos

rectaacutengulos

Triaacutengulos

obtusaacutengulos


agudos






hipotenusa c= =

oshipotenusa c


= =

oscatetoadyacente b

c Ahipotenusa c

= =

echipotenusa c


= =

catetoopuesto atg A



catetoopuesto a= =


bsen B

c= cos

aB

c= t

bg B

a=


UTN-FRT 53



Ten en cuenta




1 Datos b=280 m y c= 415 m

28006747

415

(06747)

4243

bsen B

c

B arcsen

B

= = =

=

=





30631119898119890119905119903119900119904


119888119900119904 3 7deg =52

119888

119888 =52

119888119900119904 3 7deg

119888 ≃ 651119898119890119905119903119900119904


119887 = radic1198882 minus 1198862 rArr 119886 ≃ 392119898119890119905119903119900119904


UTN-FRT 54







Ten en cuenta








normal

UTN-FRT 55











1



os1



catetoopuesto ytg


1os

hipotenusac ec

catetoopuesto y = =

UTN-FRT 56

1ec

hipotenusas


otcatetoadyacente x


= =







4 Como

1 1 1 1

1 1 1 cos 1

y sen

x

minus minus

minus minus



2 2cos 1sen + =

UTN-FRT 57

cos 0cos

sentg

=

1sec cos 0

cos

=

1sec s 0co en

sen

=






Entonces

130

2 2




sen tg

= =

UTN-FRT 58

1 330

33 3

catetoopuesto y ytg



1cos60 30

2sen = =

60 cot 30 3tg g = =





Entonces

3 3cos30

2 2 2



360 cos30

2sen = =

UTN-FRT 59

1 245

22 2



1 2cos45

22 2

catetoadyacente x x




= = = =




Primer

paso


4

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

00

2=

1

2 2

2

3

2

21

2=

Divido en 2

sen α 0 1

2 2

2

3

2

1




Primer

paso


0

Segundo

paso


cuadrada

Tercer

paso

21

2= 3

2

2

2

1

2

00

2=

Divido en 2

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0

UTN-FRT 60

En resumen


sen α 0 1

2 2

2

3

2

1

cos α 1 3

2

2

2

1

2

0












7 10 7 12186910


h altura

UTN-FRT 61


121869 121869km a m m=









dos islas


1200 1200

10 10 1200 68055310

tg d tg d d md tg

= = = =


d distancia

UTN-FRT 62


Teorema del seno




opuestos

a b c

sen A sen B senC= =

sen A sen B senC

a b c= =







3

30 45

3 45

30

3 2

a b b

sen A sen B sen sen

senb

sen

b

= =

=

=

UTN-FRT 63


3

30 105

3 105

30

3 6 3 2

2

a c c

sen A senC sen sen

senc

sen

c

= =

=

+ =


2b m

+=

Teorema del coseno







2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + minus

= + minus

= + minus

Ten en cuenta







UTN-FRT 64




2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos32

1858

431

BD AB AD AB AD A

BD

BD

BD

= + minus

= + minus

=

=



Por propiedad

+ + + = 360deg = =



2 2 2

22 2

2

2 cos

6 8 268 cos148

18141

1347

AC AB BC AB BC B

AC

AC

AC

= + minus

= + minus

=

=

UTN-FRT 65

Unidad Ndeg3



sexagesimal

a 120587

6

a 5120587

4 b 26 rad

c 2120587

3 d 35 rad e

3120587

2


b 60deg




que

25

20

35

=

=

=


y C


120572 = 60deg


120572 = 18deg


120572 = 20deg



la figura dada




agudo

a) 119904119890119899119860 =3

7

b) 119905119892119860 = 15

UTN-FRT 66

c) 119888119900119904119860 = 03



b A = 38deg b = 15

c b = 12 c = 5

d a = 18 b = 32

e c = 12 a = 14












altura 8 cm




120572 = 60deg 120579 = 60deg

119860119863 = 18 119898

A

B

D

C

UTN-FRT 67









altura de la torre






Complete la tabla

a

c

b

UTN-FRT 68

a

b

c

120572 120573 120574 Aacuterea

30 cm 45 cm 40deg

120 cm 84 cm 60deg

60 m 70 m 5120587

6

25 cm 35deg 68deg

252 m 378 m 434 m


475 cm 70deg 45deg





la figura








UTN-FRT 69









UTN-FRT 70









UTN-FRT 71

UNIDAD Ndeg4










UTN-FRT 72





Ejemplos



Ten en cuenta






2

Pr




Clasificacioacuten

Enteras Racionales



Logariacutetmicas




Ejemplos






UTN-FRT 73


31

4

x

x

minus=






racional no entero













de partida

Ten en cuenta


(CS= )





UTN-FRT 74

9 2 11

9 2 9 11 9

2 2

1 12 2

2 2

1

x

x

x

x

x

+ =

+ minus = minus

=

=

=

Por lo tanto CS= 1





ax bx c a+ + =





2 5 3a b c= = = minus

2

12

1

12

2

5 25 42( 3)4 5 49

2 22 4

5 7 2 1

5 7 2 4 2

5 7 1243

4 4

b b acx

a

x

x

x


minus += = =minus


Por lo tanto CS=1

2 -3


0c


2

2

2

3 12 0

3 12

4

2

2 2

x

x

x

x

x x

minus =

=

=

=

= minus =


UTN-FRT 75


0b y 0c =


( )

22 12 0

2 6 0 2 0 6 0

0 6

x x

x x x x

x x

minus =

minus = = minus =

= =




2

12

4

2

b b acx

a







1 2 5 6 0x xminus + =


reales y distintas

2 2 9 0x x+ + =









1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +

UTN-FRT 76

2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

3 2

1 1 2

1x x x x+ =

minus minus

Resolucioacuten

1 7 3

5 2

x x

x x

+ +=

+ +


denominador

7 + 119909

119909 + 5=

119909 + 3

119909 + 2 119888119900119899 119909 ne minus5 119909 ne minus2



7 + 119909

119909 + 5∙

119909 + 2

119909 + 2=

119909 + 3

119909 + 2 ∙

119909 + 5

119909 + 5

(7 + 119909) (119909 + 2)

(119909 + 5) (119909 + 2)=

(119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 2) (119909 + 5)

(7 + 119909) (119909 + 2) = (119909 + 3) (119909 + 5)


7119909 + 14 + 1199092 + 2119909 = 1199092 + 5119909 + 3119909 + 15

9119909 + 14 + 1199092 = 1199092 + 8119909 + 15


119909 minus 1 = 0

119909 = 1



5 2

x x

x x

+ +=

+ +

Si 119909 = 1 entonces 7 1 8 4 1 3

1 5 6 3 1 2

+ += = =

+ +

Luego 119862119878 = 1

UTN-FRT 77


5 2

x x

x x

+ +=


7 + 119909

119909 + 5minus

119909 + 3

119909 + 2= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5)

(119909 + 5) (119909 + 2)= 0

(7 + 119909) (119909 + 2) minus (119909 + 3) (119909 + 5) = 0



119909 minus 1 = 0

119909 = 1


2 2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +



3119909

2119909 + 1=

119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

21199092 + 3119909 + 1

3119909

2 (119909 +12)

=119909 + 5

119909 + 1+

119909 minus 19

2(119909 + 1) (119909 +12)


2

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)

3119909

2 (119909 +12)

=2(119909 + 5) (119909 +

12) + (119909 minus 19)

2(119909 + 1) (119909 +12)


3119909 (119909 + 1) = 2(119909 + 5) (119909 +1

2) + (119909 minus 19)

UTN-FRT 78


31199092 + 3119909 = 21199092 + 11119909 + 5 + 119909 minus 19


1199092 minus 9119909 + 14 = 0


1199091 = 2 y 1199091 = 7


2

3 5 19

2 1 1 2 3 1

x x x

x x x x

+ minus= +

+ + + +

Si 119909 = 2

32

22 + 1=

2 + 5

2 + 1+

2 minus 19

2 22 + 32 + 1

6

5=

7

3+

(minus17)

15

6

5=

18

15

6

5=

6

5

Si 119909 = 7

37

27 + 1=

7 + 5

7 + 1+

7 minus 19

2 72 + 37 + 1

21

15=

12

8+

(minus12)

120

7

5=

3

2+

(minus1)

10

7

5=

14

10

7

5=

7

5

Luego 119862119878 = 27

UTN-FRT 79

3 23 11 6

2 3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus


23 11 62 3

3 3

x xx con x

x x

minusminus = minus

minus minus

Operando obtenemos

2

2 2

2

2

3 11 2 ( 3) 6

3 3

3 11 2 6 6

3 3

5 6

3 3

5 6 0

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x


minus minus


minus minus

minus= minus

minus minus

minus + =


1 22 3x y x= =


2 33 3

x xx con x

x x

minusminus = minus





23 11 62

3 3

x xx

x x

minusminus = minus

minus minus

Si x=2

232 112 12 22 622 4 10 4 6

2 3 1 2 3


minus minus minus





1 radic5119909 = 119909

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909


Resolucioacuten

UTN-FRT 80

1 radic5119909 = 119909


miembros

(radic5119909)2

= 1199092

5119909 = 1199092

1199092 minus 5119909 = 0


Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 05

2 4 + 2radic119909 minus 1 = 119909



= (119909 minus 4)2

4(119909 minus 1) = 1199092 minus 8119909 + 16


minus1199092 + 12119909 minus 20 = 0


Verificacioacuten

Si 119909 = 2


4 + 2 = 2

6 = 2

Si 119909 = 10


4 + 2 radic9 = 10

4 + 23 = 10

UTN-FRT 81

10 = 10

Luego 119862119878 = 10




(radic3119909 + 1)2






1199092 + 2119909 + 1 = 4 (2119909 minus 1)

1199092 + 2119909 + 1 = 8119909 minus 4


y 1199092 = 5

Verificacioacuten



Luego 119862119878 = 15

Inecuaciones






con la letra e

UTN-FRT 82

1

25 35

experiencia

edad

a a

e e



fundamentales















la recta real

1 5 3 4x x+ minus

5 3 5 4 5

3 1

3 1

4 1

1

4

x x

x x

x x x x

x

x

+ minus minus minus

minus minus

+ minus minus +

minus

minus

CS=(-infin -14]

UTN-FRT 83

2 2 1 7xminus +

( )

2 1 1 7 1

2 6

1 1 2 6

2 2

3

x

x

x

x

minus + minus minus

minus

minus minus minus

minus

CS=(-3infin)

UTN-FRT 84












119860 = 2120587 119903 (119903 + ℎ) Despeja ℎ





5 119862 + 32

Despeja 119862





c 4(119909 minus 2) +1

2= minus

1

3(119909 + 2) minus

14

3 d

119909minus2

119909+3minus

119909+1

119909minus3=

5

1199092minus9

e 119909+1

119909minus1minus

119909

119909+1=

119909+5



2= 3119909 + 9 + 6 minus 3119909 minus

119909

2




5

4

5 7 de 3119909 minus 4 = minus2119909 + 8


3 3 5 de 4(minus119909 + 5) minus 3119909 + 1 = 0




UTN-FRT 85


nuacutemeros


nuacutemeros




y el resto 9





a 131199092 + 8 = 60

b 31199092 minus 24119909 = 0

c 41199092 minus 20119909 = 75

d 3(1199092 minus 2119909) + 3(31199092 + 2) = 31199092 + 6

e 31199092+6119909

3minus 120 = 0

f 8119909(119909 + 2) minus 2 = 2(8119909 minus 1)

g 24119909minus61199092

15= 0

h 119909(119909 minus 14) + 11(3 + 119909) = 11119909




c 1199092 minus 5119909 + 4 = 0 d 1

21199092 + 5119909 + 8




de modo que




UTN-FRT 86




a) 119886 = 0 119898

b) 119886 =75

4 119898

c) 119886 = 15 119898









9













del marco


UTN-FRT 87


a 6minus119909

1199092+4119909+4minus

1

119909+2=

2

5minus119909 b (

119909+1

119909minus1)

2

+119909+1

119909minus1= 6

c 119909+4

3119909minus6minus

119909minus6

4119909minus8=

119909+1

119909minus2 d

3

119909minus2+

7

119909+2=

119909+1

119909minus2

e 1

119909minus2= 1 +

2

1199092minus2119909 f

2119909minus3

3119909minus2=

119909minus1

2119909

g 2+119909

2minus119909+

2minus119909

2+119909= 2 h

3

119909+5= 1 minus

4

119909minus5

i 119909+1

119909minus1minus

119909+5

1199092minus1=

119909

119909+1












a 2119909 + 9 ge 3 b 119909 + 8 lt 6119909 minus 5

c 1199092 minus 4119909 lt 5 d 1

21199092 + 5119909 + 8 ge 0


g (119909 + 1)2 gt 25 h 1199092 minus 2119909 gt 0

UTN-FRT 88

UNIDAD Ndeg5

Funciones






Funcioacuten lineal

Dominio y rango

Graacutefica




Domino y rango

Graacutefica



UTN-FRT 89

Funciones




Ejemplos







t 1 2 3 4

d 5 20 45 80




automoacutevil

Dominio Rango

UTN-FRT 90









Notacioacuten




A B

UTN-FRT 91

( )

f A B

x y f x

rarr

rarr =
















Ten en cuenta









UTN-FRT 92







la graacutefica







funcioacuten




UTN-FRT 93


funciones

1 ( ) 2 1f x x= minus


2 1 0

2 1

1

2

x

x

x

minus =

=

=


2 0)


(0) 20 1

(0) 1

f

f

= minus

= minus


2 2( ) 5 6f x x x= minus +


2

2

12

1 2

5 6 0

5 5 416

21

3 2

x x

x

x y x

minus + =

minus=

= =



2(0) 0 50 6

(0) 6

f

f

= minus +

=


Q (0 y)


f (0)

ceros


UTN-FRT 94





isin (a b)





isin (a b)



Enteras Racionales



Logariacutetmicas



Ejemplos



6( )

3 6

xf x

x x

+=

minus


UTN-FRT 95


13( )g x x=



Funcioacuten Lineal









funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


en ℝ





funcioacuten


Calculo (0)f

Obtenemos y=b


decreciente en ℝ

Ten en cuenta



UTN-FRT 96







ceros


de las abscisas y=0


y=b









2 1

2 1

( )

( )



minus= = = minus

UTN-FRT 97


21

3y x= +

Donde 2

3m = y 1b =



32

4y x= minus +

Donde 3

4m = minus y 2b =






1 2m m=


UTN-FRT 98



1 2 2m m= =




1

1m

m= minus


13

y x= minus minus


las pendientes son

1 3m = y 2

1

3m = minus



general como


1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =

+ =

UTN-FRT 99





Clasificacioacuten

Sistema

compatible

determinado

(SCD)







Sistema

compatible

indeterminado

(SCI)


representa



UTN-FRT 100

Sistema

Incompatible

(SI)



rectas paralelas no









Ejemplos

1 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus




De 1 1

(2)2 2

y x= minus minus


1 12 3

2 2

1 12 3

2 2

5 5

2 2

1

y y

x x

x x

x

x

=

minus = minus minus

+ = minus +

=

=

UTN-FRT 101



De (1) 1y = minus


2 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus



no utilizada



Resolvemos

2 4 3

5 5

1

y y

y

y

minus minus minus =

minus =

= minus



De (2) 1x =


3 Resolver 2 3 (1)

2 1 (2)

x y

x y

minus =

+ = minus







2 3 2 3 4 2 6

2 1 2 1 2 1

x y x y x y

x y x y x y




5 5 1x x= =



De (1) 1y = minus

UTN-FRT 102












2 0ax bx c+ + =

Obtenemos 2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus= y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )hminus

UTN-FRT 103




2 0ax bx c+ + =

Obtenemos

2

1

4

2

b b acx

a

minus + minus=

y

2

2

4

2

b b acx

a


funcioacuten






( )h

Ceros







raiacuteces reales


sola raiacutez real

1 22

bx x

a= = minus


raiacuteces reales

UTN-FRT 104





bh


2k ah bh c= + +


bx

a= minus




Ejemplos


a El dominio






Resolucioacuten








coordenadas (0 5)


321

h = minus = minus y



UTN-FRT 105


funcioacuten


e Grafica








2( )

4 3

xf x

x

+=

minus

2

2( )

1

xg x

x

minus=

+ y

2

3

9( )

xh x

x x

+=

minus


119863119900119898119891 = ℝ minus 4

3

119863119900119898119892 = ℝ

Rgof=[ 4 )minus

UTN-FRT 106

119863119900119898ℎ = ℝ minus minus101



f xcx d

+=

+


119888 y el rango 119877119892119900119891 = ℝ minus

119886

119888





yc

=


xc

= minus


1 2

2( )

4

xf x

x x

+=


2 2 5

( )1

xf x

x

minus +=


graacutefica

Resolucioacuten

UTN-FRT 107


2( )

4

xf x

x x

+=





( )1

xf x

x

minus +=





xc



yc




( ) 5f x x= minus 2

( )1

g xx

=minus





)5Dom f = ( )1Dom g = 119863119900119898ℎ = ℝ

UTN-FRT 108


ldquoFuncionesrdquo


a 2119909 + 119910 = minus3119909 + 4 b 119891(119909) =1

21199092 + 2119909 minus 5

c 119910 = radic119909 + 1

d 119892(119909) =119909+5

2119909minus3 e 119910 = 2 119904119890119899 (

119909

3)

f 119892(119909) = minus7119909 + 3

g 119891(119909) = 119897119900119892(3119909 + 1) h 119910 = 7 119890119909 minus 1 i 119891(119909) =2

119909+ 5


origen

a 119891(119909) = minus4119909 +1

2 ( )

b 119910 = 5119909 + 4 ( )

c 119910 =4

119909minus 6 ( )

d 119910 = minus1

2119909 +

4

7 ( )


5119909 ( )


a 1198750 (minus1


5

2 b 1198750(0 minus2) 119877 119910 = minus119909 + 2



a 1198751(0 minus2) 1198752(6 0)

b 1198751(0 0) 1198752(minus3 5)

c 1198751(2 3) 1198752(1 2)

d 1198751(6 0) 1198752(0 2)

e 1198751(minus2 3) 1198752(3 5)


coordenados

a 119910 = 4119909 + 5 b 119910 = minus5119909 minus 7

c 119910 = minus1

2119909 + 4 d 119910 = minus2119909


a 1198751(minus1 2) 119877 119910 = minus3119909 + 1

b 1198751(0 0) 119877 119910 = 3119909 minus 4





UTN-FRT 109




2

1


puntos (-2 4) y (4 6)


puntos (-2 -1) y (2

3 0)




clasifiacutecalos

a 4119909 minus 5119910 = 1119909 + 3119910 = minus4

b 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

c 2119909 minus 119910 = minus3

minus3119909 +9

4119910 =

15

2


e minus

2

3119909 + 119910 = 1

minus5119909 + 8119910 = 7 f

minus119909 + 3119910 = minus1

4

2119909 minus 6119910 =1

2

g 1

2119909 minus 119910 = minus

1

2

minus5119909 + 8119910 = 8

h 119909 minus 3119910 = 12119909 + 119910 = 9

i 2119909 + 4119910 = 53119909 + 6119910 = 1












UTN-FRT 110









a 119910 = 1199092 minus 6119909 + 5

b 119910 = minus21199092 + 11119909 minus 15

c 119910 = 21199092 minus 4119909 + 3

d 119910 = 41199092 + 1

e 119910 = 1199092 + 6119909 minus 7

f 119910 = minus1199092 + 2119909 + 3


g El dominio












funciones

d El rango







UTN-FRT 111






a b c Tipo de


Dos

puntos

Ninguacuten

punto

1 minus7 6

minus1 3 minus4


1 0 minus4

radic3 6 3radic3


a b




2 minus

9

2) y corta al


UTN-FRT 112
















119877(119909) = minus1

401199092 +

7

2119909 para 0 lt 119909 lt 120











a 119891(119909) =119909+1

5minus4119909 b 119892(119909) =

3minus119909

1199092+4

c ℎ(119909) =1+1199092

1199093minus119909 d 119891(119909) =

7119909

1199092minus16

UTN-FRT 113



a 119891(119909) =3+2119909

5119909minus1

b 119892(119909) =3

2119909minus4

c ℎ(119909) =3minus2119909

4119909

d 119891(119909) =2+3119909

5minus119909


a 119891(119909) = 4radic119909 minus 2 + 1

b 119892(119909) =3119909

radic119909+4


NOTAS PRELIMINARES DE MATEMÁTICA

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