Función Compuesta

Sean :f A C y :g B D funciones tales que ,f A B

Entonces se llama función compuesta de g y f y lo denotamos por

g f x g f x A la función definida por para cada valor de A,

tal que su imagen este en el conjunto B

Gráficamente podemos expresar la función compuesta de g y f de la siguiente manera

Euler - Matemáticas ITema:

12 2Operaciones con funciones. Acotación

Rec(g)

Final

Composición de funcionesLa función h(x) = (2x - 1)2 es la composición de dos funciones: g(x) = 2x-1 y f(t) = t2

x 2x-1 = t t2 = (2x-1)2

R Rg

Rf

x (2x-1)2

h(x) = f(g(x)) = f(2x-1) = (2x - 1)2 = (f o g)(x)

R R R

Dom

(g)

Rec(f)

g f

Dominio de la composición de funciones

El dominio de fog está formado por los x tales que• x está en el dominio de g• g(x) está en el dominio de fDom

(f)

Dom

(fog)

Rec(fog)

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

• Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real.• Llamamos función COMPUESTA a alguna de las siguientes expresiones:

• (f o g)(x) = f [ g (x) ]

• (g o f)(x) = g [ f (x) ]

• Ejemplo_1

• Sea f(x) = 1 / x ,, g(x) = x2 - 1

• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = 1 / (x2 – 1)

• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (1 / x) 2 – 1 = (1 / x2) – 1 = ( 1 - x2) / x2

• Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)

• Ejemplo_2

• Sea f(x) = √ x ,, g(x) = x2

• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ x2 = x

• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (√ x)2 = x

• Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x)

• Ejemplo_3• • Sea f(x) = √ x ,, g(x) = √ x2 • 3 6 3• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ (√ x2 ) = √ x2 = √ x• 3 3• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = √ (√ x)2 = √ x

• Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x)

Para cada uno de los pares de funciones determine

22 xxf 2g x x

g f x

22 6f x x 7 2g x x

2 1f x x x 1g x x

2

1f x

x

2 3g x x

1

1

xf x

x

1

1

xg x

x

a)

b)

c)

d)

e)

Operaciones con funciones

Suma de f y g xgxfxgf

f g x f x g x

f g x f x g x

0f xf

x g xg g x

Sean :f A C :g B D

Resta de f y g

Producto de f y g

Cociente de f y g

dos funciones tal que

Dom f Dom g y

Euler - Matemáticas ITema:

12 7Operaciones con funciones. Acotación

Final

Suma y diferencia de dos funciones Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define:• Suma: (f + g) (x) = f(x) + g(x). Por tanto: Dom(f + g) = Dom(f) Dom(g)• Diferencia: (f - g) (x) = f(x) - g(x). Por tanto: Dom(f - g) = Dom(f) Dom(g)

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

Y

x

f(x) f(x) + g(x)f(x) =

x 1 + x2 : Dom(f) = R

g(x) = 1 x : Dom(g) = R – {0}

(f + g) (x) = f(x) + g(x) =

= x

1 + x2 + 1 x :

Dom(f + g) = R – {0}

g(x)

1

Euler - Matemáticas ITema:

12 8Operaciones con funciones. Acotación

Final

Producto y cociente de dos funciones

Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define:• Producto: (f . g) (x) = f(x) . g(x). •Por tanto: Dom(f . g) = Dom(f) Dom(g)

Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones y g(x) 0 se define:• Cociente: (f / g) (x) = f(x) / g(x). Por tanto: • Dom(f / g) = Dom(f) Dom(g) - {x R : g(x) 0}

4

Ejemplo de operaciones

Función fórmula dominio

f f(x) = x2 (–, )

g g(x) = 1 + x [-1, )

3f 3f(x) = 3x2 (–, )

f – g (f – g)(x) = x2 – 1 + x [-1, )

f g (fg)(x) = x21 + x [-1, )

f /g (f / g)(x) = x2 / 1 + x (-1, )

g /f (g / f)(x) = 1 + x / x2 [-1, 0) (0, )