Operaciones con 2 Segmentos - edusys.pe
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Geometría - 2do Sec. Capítulo Operaciones con Segmentos En el capítulo anterior estudiamos las líneas geométricas y vimos que el segmento es una de estas líneas. Recorde- mos amigos que el segmento es un concepto visto la clase anterior: es una porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos. Hemos tomado los puntos A y B de la recta L, a esta por- ción de recta limitada por dichos puntos la llamamos: Segmento AB o segmento BA. Se representa mediante la siguiente notación: PQ : Segmento PQ o QP : Segmento QP P Q La longitud o medida de un segmento es un número entero “positivo”. En los problemas que veremos la clase de hoy lo repre- sentaremos de dos maneras. Por ejemplo: Si el segmento PQ tiene una longitud de 5 cm, enton- ces: I. m PQ = 5 cm II. PQ = 5 cm A B L 1. LONGITUD DE UN SEGMENTO (MEDIDA) P Q 5 cm Notación 2. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Es el punto que divide a un segmento en dos segmentos parciales de igual longitud o medida. Vemos esto en la figura. A B M Observación: Se dice también que “M” biseca al segmento AB. Veamos unos ejemplos para entender mejor lo expuesto hasta ahora. Si AB = 3 y BC = 2, calcula “AC”. Si AC = 8 y M es punto medio de AC, calcula “AM”. AM = MC, pero AM + MC = 8, AM + AM = 8 2(AM) = 8 AM = 4 OJO: Si la figura es: AC = AB + BC AB = AD - BD AC = AD - CD AD = AB + BC + CD CD = AD - AC BD = BC + CD A B D C “M” es el punto medio del segmento AB mAM = mMB o AM = MB. A M C AC = AB + BC AC = 3 + 2 ⇒ AC = 5 A B C 2 Prof. Carlos L. Flores Rufino
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Geometría - 2do Sec.
CapítuloOperaciones con
Segmentos
En el capítulo anterior estudiamos las líneas geométricas y vimos que el segmento es una de estas líneas. Recorde-mos amigos que el segmento es un concepto visto la clase anterior: es una porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos.
Hemos tomado los puntos A y B de la recta L, a esta por-ción de recta limitada por dichos puntos la llamamos:Segmento AB o segmento BA.
Se representa mediante la siguiente notación:
PQ : Segmento PQ oQP : Segmento QP
P Q
La longitud o medida de un segmento es un número entero “positivo”.
En los problemas que veremos la clase de hoy lo repre-sentaremos de dos maneras. Por ejemplo:
Si el segmento PQ tiene una longitud de 5 cm, enton-ces:
I. m PQ = 5 cm II. PQ = 5 cm
A BL
1. LONGITUD DE UN SEGMENTO (MEDIDA)
P Q
5 cm
Notación
2. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Es el punto que divide a un segmento en dos segmentos parciales de igual longitud o medida. Vemos esto en la figura.
A BM
Observación: Se dice también que “M” biseca al segmento AB.
Veamos unos ejemplos para entender mejor lo expuesto hasta ahora.
Si AB = 3 y Bc = 2, calcula “Ac”.
Si Ac = 8 y M es punto medio de Ac, calcula “AM”.
AM = Mc, pero AM + Mc = 8, AM + AM = 8 2(AM) = 8 AM = 4
OJO: Si la figura es:
Ac = AB + BcAB = AD - BDAc = AD - cDAD = AB + Bc + cDcD = AD - AcBD = Bc + cD
A B Dc
“M” es el punto medio del segmento AB mAM = mMB o AM = MB.
A M c
Ac = AB + BcAc = 3 + 2 ⇒ Ac = 5
A B c
2
Prof. Carlos L. Flores Rufino
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Rpta.: d
1) En la figura mostrada:
AB = 2Bc cD = 8 AD = 20
calcula Bc.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8
A B C D
Resolución:
AB = 2Bc ⇒ AB = 2x (x)
3x + 8 = 20 3x = 12 x = 4
A B C D2x x 8
20
2) En la figura mostrada:
AD = 42 Ac = 36 BD = 25
calcula Bc.
a) 12 b) 16 c) 17d) 18 e) 19
Resolución:
x + 6 = 25 x = 19
A B C D
A B C D
x 636
25
42
Rpta.: e
En los problemas del día de hoy nos toparemos con situaciones como la siguiente: 2mAB = 3mcD … Y ahora!!! … ¿ qué hacemos?Pues bien, ahora sí presta muchísima atención.
Una manera sencilla de resolver este problema es la siguiente: Igualemos ese enunciado al Mínimo común Múltiplo (MCM) de los coeficientes de las longitudes de los segmentos, es decir:2mAB=3mcD=McM (2, 3)= 6a
… pero eso sí, siempre se igualará al resultado del McM de los coeficientes pero multiplicado por un escalar cualquiera, en nuestro caso pusimos el escalar “a”, de esta manera podremos trabajar las longitudes de los segmentos AB y CD con coeficientes enteros.
1. PRODUCTO DE UN ESCALAR Y LA LONGITUD DE UN SEGMENTO
Bueno muchachos, antes de empezar este capítulo te-nemos que saber la definición de la palabrita “escalar”. Un escalar es simplemente un número entero o frac-cionario que para nuestro tema de hoy lo utilizaremos para ser coeficiente de la longitud de un segmento, el cual también es un número. Veamos lo expuesto gráficamente:
Si k < 1
kx
A B
Si k > 1
mAB es una fracción de mPQ.
mcD es un múltiplode mPQ.
x
P Q
kx c D
ABBc
23
* Si = y
AB + Bc = 15, calcula Bc - AB.
⇒ 2mAB = 6a ⇒ mAB = 3a ∧ 3mcD = 6a ⇒ mcD =2a
Se emplea este método para evitar el hecho de tener que trabajar con coeficientes fraccionarios.
Veamos unos ejemplos antes de empezar con los ejer-cicios:
* Si 3m AB = 5m cD y AB + cD = 16, calcula AB.
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Rpta.: e
3) En la figura AC = 30 m, halla CD.
a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50
Resolución:
Ac = 30 x + 2x = 30 3x = 30 x = 10
4) En la figura, calcula BM si "M" es punto medio de AC y Bc - AB = 32 m.
a) 16 b) 18 c) 19d) 20 e) 21
Resolución:
A B M C
Rpta.: a
A B C D
2xx 5x
⇒ cD = 5(10) = 50
A B M Ca x x+a
Bc - AB = 32 (2x + a) - a = 32 2x = 32 x = 16
El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza
El número áureo aparece en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, etc.Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.En la figura se puede comprobar que AB/CD= φ. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD=φ y CD/CA=φ.
Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En la gran pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2φ.Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor. Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carné de identidad y también en las cajetillas de tabaco.Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plas-mó en este dibujo Leonardo da Vinci, que sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuáles han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies, y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunfe-rencia) es el número áureo.
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Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
6) calcula Ac, si AB=5, BD=12 y “c” es punto medio de BD.
BA Dc
1) Si AB= 3, Bc= 5 y AD= 10, calcula cD.
BA Dc
2) Si AB=Bc= 2 y “c” es punto medio de AD, calcula AD.
BA cx-1 x
3) calcula el valor de “x” si Ac = 11.
BA Dc
4) Si AB= 4, Bc= 5 y cD = 6, calcula la distancia entre los puntos medios de AB y cD.
BA Dc
1015
x
8
5) calcula “x”.
A B Dc
BA Dc
QP SR
QP Rx 2x+5
1) Si Ac= BD= 5 y AD= 8, halla mBc.
2) Si PR= QS= 7 y PS= 10, halla mQR.
3) calcular “x” si PR=20.
4) Se tiene los puntos colineales “P”, “Q”, “R” y “S”, tal que PQ=2, QR= 5 y PS= 11. calcula la distancia entre los puntos medios de QR y RS.
QP SR
69
x
5
5) calcula “x”.
A B D
2 - x 6 + 3x
c
1 - 2x
6) De la figura, calcula AD.
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
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