Optimización de la distancia para el traslado de nodos en el remallado
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APNDICE D PROBLEMA DE OPTIMIZACIN PARA POSICIONAR LOS NO- DOS SOBRE LA FRONTERA Material / No material Planteo del problema El problema de optimizacin consiste en encontrar el punto x perteneciente a la curva de nivel (x)=0, tal que la distancia al nodo de coordenadas Node sea mnima, es decir encontrar el punto de la supercie ((x)=0) mÆs cercano al nodo Node. El problema se plantea matemÆticamente de la siguiente forma min f (x) = 1 2 kx Nodek 2 (1) sujeto a (x) = 0 (2) que resulta equivalente a resolver el siguiente sistema de ecuaciones rf (x)+ T r(x) = 0 (3) (x) = 0 (4) Dada la nolinealidad del problema debe linealizarse segœn F(x k )+ T k (x k ) x k + r(x k ) T k = rf (x k ) T (5) r(x k )x k = (x k ) (6) y resolver el siguiente sistema de ecuaciones en cada una de las iteraciones F(x k )+ T k (x k ) r(x k ) T r(x k ) 0 x k k = rf (x k ) T (x k ) (7) x k+1 = x k +x k k+1 = k + k : (8) donde f (x)= 1 2 kx Nodek 2 , (9) rf (x)=(x Node) , (10) F(x)= 2 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 5 , (11) (x)= p (x)+ N X I =1 I R( x x I )= p (x)+ N X I =1 I x x I 4 log( x x I ) , (12) 43
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Esta optimización se da a través de la búsqueda de la distancia mínima utilizando multiplicadores de lagrange y la radial basis function con la que se interpoló a la superficie libre
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APÉNDICE DPROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN PARA POSICIONAR LOS NO-DOS SOBRE LA FRONTERA �Material / No material�Planteo del problema
El problema de optimización consiste en encontrar el punto x perteneciente a lacurva de nivel �(x) = 0, tal que la distancia al nodo de coordenadas Node sea mínima,es decir encontrar el punto de la super�cie (�(x) = 0) más cercano al nodo Node. Elproblema se plantea matemáticamente de la siguiente forma
min f(x) =1
2kx�Nodek2 (1)
sujeto a �(x) = 0 (2)
que resulta equivalente a resolver el siguiente sistema de ecuaciones
rf(x) + �Tr�(x) = 0 (3)�(x) = 0 (4)
Dada la nolinealidad del problema debe linealizarse según�F(xk) + �
Tk �(xk)
��xk +r�(xk)T ��k = �rf(xk)T (5)
r�(xk) �xk = ��(xk) (6)
y resolver el siguiente sistema de ecuaciones en cada una de las iteraciones�F(xk) + �
Tk �(xk) r�(xk)T
r�(xk) 0
� ��xk��k
�=
��rf(xk)T��(xk)
�(7)
xk+1 = xk +�xk
�k+1 = �k +��k : (8)
dondef(x) =
1
2kx�Nodek2 , (9)
rf(x) = (x�Node) , (10)
F(x) =
24 1 0 00 1 00 0 1
35 , (11)
�(x) = p (x) +NXI=1
�I R( x� xI ) = p (x) + NX
I=1
�I
� x� xI 4 log( x� xI )� ,(12)
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r�(x) =rp (x)+NXI=1
�I
�4 log(
x� xI ) + 1
ln(10)
� x� xI 2 �x� xI� , (13)
�1(x) =NXI=1
�I
264h4 log(
x� xI ) + 1ln(10)
i x� xI 200
375+NXI=1
�I
26664h8 log(
x� xI ) + 6ln(10)
i �x1 � xI1
� �x1 � xI1
�h8 log(
x� xI ) + 6ln(10)
i �x1 � xI1
� �x2 � xI2
�h8 log(
x� xI ) + 6ln(10)
i �x1 � xI1
� �x3 � xI3
�37775 , (14)
�2(x) =NXI=1
�I
264 0h4 log(
x� xI ) + 1ln(10)
i x� xI 20
375+NXI=1
�I
26664h8 log(
x� xI ) + 6ln(10)
i �x1 � xI1
� �x2 � xI2
�h8 log(
x� xI ) + 6ln(10)
i �x2 � xI2
� �x2 � xI2
�h8 log(
x� xI ) + 6ln(10)
i �x2 � xI2
� �x3 � xI3
�37775 , (15)
�3(x) =NXI=1
�I
264 00h
4 log( x� xI ) + 1
ln(10)
i x� xI 2375+
NXI=1
�I
26664h8 log(
x� xI ) + 6ln(10)
i �x1 � xI1
� �x3 � xI3
�h8 log(
x� xI ) + 6ln(10)
i �x2 � xI2
� �x3 � xI3
�h8 log(
x� xI ) + 6ln(10)
i �x3 � xI3
� �x3 � xI3
�37775 , (16)
Análisis de singularidades numéricas y formas de salvarlas
Durante la evaluación de las funciones se presentan sigularidades numéricas quepueden salvarse evaluando el límite de la función en esos casos y reemplazando su valoren el sistema de ecuaciones a resolver. Las singularidades involucradas son las siguientes:
limx!xI
x� xI 4 log � x� xI � = 0 (17)
limx!xI
x� xI 2 log � x� xI � = 0 (18)
limx!xI
log� x� xI � x� xI 2 �xi � xIi � = 0 8i = 1; 2; 3 (19)
limx!xI
log� x� xI � �xi � xIi � �xj � xIj� = 0 8i = 1; 2; 3 8j = 1; 2; 3 (20)
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