APÉNDICE DPROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN PARA POSICIONAR LOS NO-DOS SOBRE LA FRONTERA �Material / No material�Planteo del problema

El problema de optimización consiste en encontrar el punto x perteneciente a lacurva de nivel �(x) = 0, tal que la distancia al nodo de coordenadas Node sea mínima,es decir encontrar el punto de la super�cie (�(x) = 0) más cercano al nodo Node. Elproblema se plantea matemáticamente de la siguiente forma

min f(x) =1

2kx�Nodek2 (1)

sujeto a �(x) = 0 (2)

que resulta equivalente a resolver el siguiente sistema de ecuaciones

rf(x) + �Tr�(x) = 0 (3)�(x) = 0 (4)

Dada la nolinealidad del problema debe linealizarse según�F(xk) + �

Tk �(xk)

��xk +r�(xk)T ��k = �rf(xk)T (5)

r�(xk) �xk = ��(xk) (6)

y resolver el siguiente sistema de ecuaciones en cada una de las iteraciones�F(xk) + �

Tk �(xk) r�(xk)T

r�(xk) 0

� ��xk��k

�=

��rf(xk)T��(xk)

�(7)

xk+1 = xk +�xk

�k+1 = �k +��k : (8)

dondef(x) =

1

2kx�Nodek2 , (9)

rf(x) = (x�Node) , (10)

F(x) =

24 1 0 00 1 00 0 1

35 , (11)

�(x) = p (x) +NXI=1

�I R( x� xI ) = p (x) + NX

I=1

�I

� x� xI 4 log( x� xI )� ,(12)

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r�(x) =rp (x)+NXI=1

�I

�4 log(

x� xI ) + 1

ln(10)

� x� xI 2 �x� xI� , (13)

�1(x) =NXI=1

�I

264h4 log(

x� xI ) + 1ln(10)

i x� xI 200

375+NXI=1

�I

26664h8 log(

x� xI ) + 6ln(10)

i �x1 � xI1

� �x1 � xI1

�h8 log(

x� xI ) + 6ln(10)

i �x1 � xI1

� �x2 � xI2

�h8 log(

x� xI ) + 6ln(10)

i �x1 � xI1

� �x3 � xI3

�37775 , (14)

�2(x) =NXI=1

�I

264 0h4 log(

x� xI ) + 1ln(10)

i x� xI 20

375+NXI=1

�I

26664h8 log(

x� xI ) + 6ln(10)

i �x1 � xI1

� �x2 � xI2

�h8 log(

x� xI ) + 6ln(10)

i �x2 � xI2

� �x2 � xI2

�h8 log(

x� xI ) + 6ln(10)

i �x2 � xI2

� �x3 � xI3

�37775 , (15)

�3(x) =NXI=1

�I

264 00h

4 log( x� xI ) + 1

ln(10)

i x� xI 2375+

NXI=1

�I

26664h8 log(

x� xI ) + 6ln(10)

i �x1 � xI1

� �x3 � xI3

�h8 log(

x� xI ) + 6ln(10)

i �x2 � xI2

� �x3 � xI3

�h8 log(

x� xI ) + 6ln(10)

i �x3 � xI3

� �x3 � xI3

�37775 , (16)

Análisis de singularidades numéricas y formas de salvarlas

Durante la evaluación de las funciones se presentan sigularidades numéricas quepueden salvarse evaluando el límite de la función en esos casos y reemplazando su valoren el sistema de ecuaciones a resolver. Las singularidades involucradas son las siguientes:

limx!xI

x� xI 4 log � x� xI � = 0 (17)

limx!xI

x� xI 2 log � x� xI � = 0 (18)

limx!xI

log� x� xI � x� xI 2 �xi � xIi � = 0 8i = 1; 2; 3 (19)

limx!xI

log� x� xI � �xi � xIi � �xj � xIj� = 0 8i = 1; 2; 3 8j = 1; 2; 3 (20)

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