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Pandeo

Deformacin de pandeo producida por la compresin de una barra.

El pandeoes un fenmeno de inestabilidad elsticaque puede darse en elementos

comprimidos esbeltos, y que se manifiesta por la aparicin de desplazamientosimportantes transversales a la direccin principal de compresin.

En ingeniera estructuralel fenmeno aparece principalmente en pilaresy columnas, y setraduce en la aparicin de una flexinadicional en el pilar cuando se halla sometido a laaccin de esfuerzos axiales de cierta importancia.

Introduccin

La aparicin de deflexin por pandeo limita severamente la resistencia en compresindeun pilar o cualquier tipo de pieza esbelta. Eventualmente, a partir de cierto valor de lacarga axial de compresin, denominada carga crtica de pandeo, puede producirse unasituacin de inestabilidad elstica y entonces fcilmente la deformacin aumentarproduciendo tensiones adicionales que superarn la tensin de rotura, provocando la ruina

del elemento estructural. Adems del pandeo flexional ordinario existe el pandeo torsionalo inestabilidad elstica provocado por un momento torsor excesivo.

Existen diferentes maneras o modos de fallo por pandeo. Para un elemento estructuralfrecuentemente hay que verificar varios de ellos y garantizar que las cargas estn lejos delas cargas crticas asociadas a cada modo o manera de pandear. Los modos tpicos son:

Pandeo flexional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresin se flectalateralmente sin giro ni cambios en su seccin transversal.

Pandeo torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresin giraalrededor de su centro de corte.

Pandeo flexo-torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresin seflecta y gira simultneamente sin cambios en su seccin transversal.

Pandeo lateral-torsional. Modo de pandeo de un elemento a flexin que involucradeflexin normal al plano de f lexin y, de manera simultnea, giro alrededor del centrode corte

Pandeo flexional[editar]

Los pilaresy barras comprimidas de celosas pueden presentar diversos modos de fallo enfuncin de su esbeltez mecnica:


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Los pilares muy esbeltos suelen fallar por pandeo elstico y son sensibles tanto alpandeo local el propio pilar como al pandeo global de la estructura completa.

En los pilares de esbeltez media las imperfecciones constructivas como lasheterogeneidades son particularmente importantes pudindose presentar pandeoanelstico.

Los pilares de muy baja esbeltez fallan por exceso de compresin, antes de que losefectos del pandeo resulten importantes.

Pandeo localeditar

Modelo de los distintos tipos de pandeo de Euler. Como se puede ver, segn las coacciones

externas de la viga, la deformacin debida al pandeo ser distinta.

El pandeo local es el que aparece en piezas o elementos aislados o que estructuralmentepueden considerarse aislados. En este caso la magnitud de la carga crtica viene dadasegn el caso por la frmula de Leonhard Eulero la de Engesser. La carga crtica de Eulerdepende de la longitud de la pieza, del material, de su seccin transversal y de lascondiciones de unin, vinculacin o sujecin en los extremos. Para una pieza que puedeconsiderarse biarticulada en sus extremos la carga crtica de Euler viene dada por:

(1)

Siendo: Pcrit, la carga crtica; E, Mdulo de Youngdel material de que est hecha labarra; Imin, momento de inerciamnimo de la seccin transversal de la barra; L, longitud dela barra y laesbeltez mecnicade la pieza. Cuando las condiciones de sujecin de losextremos son diferentes la carga crtica de Euler viene dada por una ecuacin del tipo:

(2)

Al producto se le llama longitud de pandeo.

Pandeo global[editar]

En una estructura compleja formada por barras y otros elementos enlazados puedenaparecer modos de deformacin en los que los desplazamientos no sean proporcionales alas cargas y la estructura puede pandear globalmente sin que ninguna de las barras oelementos estructurales alcance su propia carga de pandeo. Debido a este factor, la cargacrtica global de cierto t ipo de estructuras (por ejemplo en entramados de cpulasmonocapa) es mucho menor que la carga crtica (local) de cada uno de sus elementos.

El tipo de estructura ms simple que presenta pandeo globalpara carga crtica diferentede la de sus elementos est formado por dos barras articuladas entre s1y a lacimentacin, que se muestra en la figura.


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Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de la estructura son:

Ecuacin de equilibrio:

Relacin elstica entre acortamiento y esfuerzoaxial:

Relacin geomtrica de las configuraciones no-deformada y deformada:

Donde: N, esfuerzo axialde cada una de las barras; L, acortamiento sufrido por lasbarras para adoptar la configuracin deformada; = -', es la diferencia de ngulosmostrada en la figura; E, mdulo de Young del material de las barras;A, rea transversalde cada una de las barras; L, longitud inicial de cada una de las dos barras.

Substituyendo la segunda de las ecuaciones en la primera, despejando Lde la tercera ysubstituyendo su valor tambin su valor en la primera se llega a:

El valor de para el que se alcanza el mximo es precisamente la carga crtica global.Las cargas de pandeo global y local vienen dadas por:

Cada una estas cargas presenta modos de fallo diferentes en la estructura. De entre losdos posibles modos de fallo por pandeo ocurrir el que presente un ngulo de aparicinmayor donde estos ngulos vienen dados por:

Plano de pandeo[editar]

El plano de pandeose refiere al plano que contendr el inicio de la deformada de unapieza sometida a compresin dominante. El plano de pandeo contiene el eje baricntricode la viga y sobre l la deflexin por pandeo es mxima. Para una pieza sometida slo acompresin sin momentos apreciables adicionales, el plano de pandeo coincidir con elplano perpendicular sea paralela al eje de menor inercia de la seccin.


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Teora de la bifurcacin[editar]

Matemticamente el pandeo local est asociado a una bifurcacin tridente, es decir,cuando se plantean las ecuaciones exactas no lineales que describen la forma de unapieza prismtica, incluyendo la carga axial y los parmetros relacionados con lasimperefecciones, los posibles comportamientos cualitativos estn separados unos de otrospor una bifurcacin tridente. Eso lleva que en estos casos la carga real que puede soportar

una barra venga dada por la ley 2/3 de Koiter:2

Donde:

, carga crtica corregida por las imperfecciones.

, es una constante que depende del patrn de imperfeccin dadopor .

, es un parmetro escalar que cuantifica el grado de imperfeccin para un patrnde imperfeccin dado.

Si las imperfecciones tienen naturaleza estadstica y vienen dadas poruna distribucin normal multivarianteentonces la carga crtica tiene una

distribucin dada por:3

Esta distribucin de probabilidad permite ajustar las curvas reales de pandeoobservadas, ya que en condiciones normales una barra recta de seccinconstante tiene una resistencia inferior debido a paredicha por la teora deEuler por el efecto de las imperfecciones.

Pandeo torsional[editar]

En vigas de alas anchas o de escasa rigideztorsional, el pandeo flexional

convencional puede ir acompaado de la aparicin de una torsin de laseccin, resultando un modo de fallo mixto conocido como pandeo torsional opandeo lateral. El momento torsorcrtico para el cual aparecera ese tipo defallo viene dado por:4

Donde las nuevas magnitudes son:

, es el momento de inerciamnimo en flexin.

, son respectivamente el mdulo de alabeoy el mdulo de torsin., el mdulo de elasticidad transversal.

Y el resto de magnitudes tienen el mismo significado que para elpandeo flexional puro. En piezas donde el momento de alabeo esdespreciable puede usarse la expresin aproximada:

Clculo de cargas crticas[editar]


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Curva elstica[editar]

Forma cualitativa de pandeo de un pilar empotrado en su base y libre

en su extremo superior.

Una manera de encontrar la carga crtica de una estructuraconsiste en presuponer la forma cualitativa en que esta pandear,parametrizando esa forma cualitativa mediante varios parmetrosincgnita. Introduciendo esa forma cualitativa en la ecuacin dela curva elsticay buscando que la solucin parametrizada

satisfaga las condiciones de contorno cualitativas, quenormalmente se refieren a desplazamientos y giros de los nudosde las barras de la estructura, se obtienen relaciones entre losparmetros incgnita introducidos. El valor de la carga crtica esprecisamente el que hace que dichas relaciones se cumplan.

El mtodo de Euler para barras aisladas es un ejemplo de uso deeste mtodo. Por ejemplo para determinar la carga de crtica deun pilarempotrado en su base y libre en el extremo tratamos deresolver la ecuacin de la curva elstica bajo las siguientescondiciones:

La solucin de esa ecuacin, en funcin del parmetro dedesplazamiento horizontal del pilar, resulta ser:


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La condicin de contorno en el extremo superior (donde h =Hy wsup= ) slo se cumple para ciertos valores de P, quecumplen:

El menor de estos valores es precisamente el valor aceptado parala carga crtica de Euler de un pila empotrado en su base y libreen su parte superior:

Mtodos energticos[editar]

Para estructuras de una cierta complejidad el mtodo anteriorresulta de muy difcil aplicacin, ya que requiere integrar unnmero elevado de ecuaciones diferenciales para cada elementolineal de la estructura.

Un mtodo aproximado consiste en presuponer aproximadamentelas deformaciones asociadas al pandeo, que satisfaga lascondiciones de contorno en los extremos de las piezas, y enigualar la energa de deformacin Wintcon el trabajo exteriorrealizado por la fuerza que produce el fenmeno depandeo Wextdurante la deformacin, Wint= Wext. Esas dosecuaciones pueden escribirse en trminos el campo dedesplazamientos de los momentos flectores asociados. Para cadaelemento lineal la energa de deformacin y el trabajo exteriorvienen dados por:

Donde:

es el momento flector sobre la seccin de abscisa x,es el producto de mdulo de Youngpor el momento de inerciade la seccin,

es la deflecin o desplazamiento seccional de la seccin de abscisa x.

es la carga crtica de pandeo.es la longitud total del elemento susceptible de sufrir pandeo.

Cuanto ms ajustado sea el campo dedesplazamientos supuesto w(x) mejoresresultados da el mtodo anterior.

Dimensionado de elementossometidos a pandeo[editar]

En ingeniera estructural existe unanecesidad prctica de dimensionar loselementos lineales sometidos a compresincon la suficiente seccin transversal comopara que no fallen por pandeo. La seccintransversal necesaria para que eso no ocurraes muchas veces mayor que la que sera


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necesaria para soportar un esfuerzo detraccinde la misma magnitud (entre 1,5 y 6veces en la mayora de casos). La mayorade normas usan un coeficiente de reduccinde la resistencia cuando el esfuerzo sobre elelemento lineal es de compresin y no detraccin. El Eurocdigopor ejemplo da para

la resistencia de un pilar sometido acompresin y traccin simples las siguientesresistencias:

Donde:

son respectivamente el esfuerzo axialltimo en traccin y elesfuerzo axial ltimo en compresin.

son el rea bruta de la seccin transversal y el rea efectiva de laseccin transversal (para la mayora de secciones transversales, ambascoinciden).

, es la tensin mxima admisible sobre el material., es el coeficientejide reduccin de la resistencia por pandeo.

El mismo coeficiente sepuede usar para estimar porexceso la tensin ydeterminar si un elemento esseguro. As cuando unelemento est sometido aflexin o compresincompuestas la tensin dereferencia para calcular si elelemento es seguro o no setoma aproximadamente

como:

Donde:

es el esfuerzo axial a que est sometido el elemento.

, son los momentos flectoresmedidos segn las dos direccionesprincipales de inercia.

, son los momentos resistentesasociados a los momentos principalesde inercia de la seccin transversal.

En situacionesdonde lastensionestangentes y elalabeo seccionalde la seccinseanimportantesdebe substituirseel miembro


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antes del signode menor que,por la tensin deVon Misesy enla expresin deNavier debecontabilizarse el

efectodel bimomento.

Carga crticay longitud depandeo[editar]

La carga crticade un elementoestructuralunidimensionalesbeltocorresponde a

un esfuerzoaxialpor encimade la cualcualquierpequeaimperfeccinimpide queexista unequilibrioestable. Parauna piezaprismticarectamuy esbelta, de

material elsticoy con extremosarticulados, lacarga crtica seaproxima muchoa la llamadacarga crtica deEuler:

Donde:

es el mdulo de Young del material.

es el segundo momento de rea.la longitud total de la pieza.

Enotroscasosms


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complejosconotrascon

dicionesenlosextremos,conseccinvariable,etc,lacargacrticaanteriordebesercorregida

porunfactorconstante.Enpiezasdeseccin

constantepuededefinirseadems


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lalongituddepandeo

ocomo:

Donde:

es el radio de giromnimo de la seccin transversal.

es la esbeltez reducida.

la tensin mecnica usada para el clculo de la esbeltez.Silapieza

noesdeseccinconstan


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tenoe

xisteunamaneradedefinir

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En

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isma,p

aralaqueaparecenfenmen

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Esbeltez


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ycoe

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epandeo[editar]

Usualmen

telasdif


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ejemplo

eleurocdigoyelCTEdef

inenlaesbel

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cida

orazn

entrelares

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icadela


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seccin

declculoylacompresin

crticapor

pandeo,co


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mo:

Donde:

es el rea transversal efectiva para el elemento que pretender dimensionarsepara resistir el pandeo.

es la tensin mecnicamxima usada para caracterizar el comportamiento delmaterial.es la carga crtica de pandeo del elemento.

DEFINICIN DEPANDEOPandeo es el proceso y el resultado de pandear. Este verbo refiere a la curva o flexin quese produce en la mitad de una viga o de un muro debido a la compresin. Pandeo, por lotanto, es una nocin frecuente en el mbito de la construccin y la arquitectura.

PandeoHay que exponer adems que existen numerosos elementos estructurales que se puedenver afectados por un pandeo. As, por ejemplo, este fenmeno se puede producir tanto enlas barras de lo que son estructuras articuladas como en los pilares de un edificio.

Puede calificarse al pandeo como un fenmeno que obedece a la inestabilidad de ciertos

materiales al ser sometidos a una compresin. La manifestacin de fenmeno se evidenciaa partir de una deformacin transversal.

Si dicha deformacin se incrementa hasta superar la resistencia de la estructura, seproduce un quiebre o derrumbe. Los arquitectos e ingenieros, por lo tanto, deben analizarel pandeo para evitar que la compresin ponga en riesgo una construccin.Hay que exponer adems que este fenmeno que nos ocupa desde hace tiempo se haconvertido en objeto de estudio por parte de entendidos en la materia. El resultado de todoeso es que existen anlisis y teoras al respecto como, por ejemplo, el estudio tericollevado a cabo por Euler, que tambin recibe el nombre de carga crtica de Euler.Aquel personaje lo que hizo es entender el pandeo como si de un problema de equilibriose tratase. De esta manera, determin que cualquier pieza que es sometida a un cierto

grado de compresin puede contar con un equilibrio inestable, estable o indiferente.Existen diferentes tipos de pandeos. Puede hablarse de pandeo torsional, pandeoflexional, pandeo lateral-torsional y otros. Cada clasificacin depende de la manera en quese produce la deformacin a partir de una cierta compresin.Se habla de pandeo local para nombrar al desplazamiento que se produce en uncomponente aislado. El pandeo global, en cambio, t iene lugar cuando la deformacin deuna estructura no resulta proporcional a las cargas y, por lo tanto, el pandeo se produce aescala general sin que los componentes estructurales tengan cada uno su carga depandeo.


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Veamos un ejemplo de pandeo. Tenemos dos columnas de aluminio: una mide tres metrosy la otra, dos metros. Al colocar un peso encima de ellas (es decir, ejerciendo una presinvertical sobre cada columna), podemos observar cmo empiezan a deformarse. Siquitamos el peso, observaremos que la columna ms pequea ha sufrido una deformacinmenor. Esto se explica a partir de la deformacin por pandeo.De la misma manera, existe lo que se da en llamar longitud de pandeo. Este es un trminoque se usa para indicar la longitud que sera recomendable que tuviera una barra

articulada en ambos extremos para conseguir que tuviera la misma carga crtica que otrabarra inicial, con la que comparte idntico material y seccin.Asimismo no hay que pasar por alto la existencia de lo que se da en llamar curvaseuropeas de pandeo. Estas se utilizan para llevar a cabo los clculos y estudios de estefenmeno. Se identifican porque se basan en el resultado de un total de ms de milensayos realizados haciendo uso de distintos tipos de piezas.


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, por lo que afectos de clculo no debe tomarse un valor inferior a ese., es el coeficiente de imperfeccin que depende del tipo de seccin transversal.

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