VECTOR DE POYNTING

Carrera de Electrónica y Comunicaciones Universidad Técnica de AmbatoHuachi Chico Ambato, Ecuador

Resumen.- Siempre que hablamos de una campo electromagnético, implícitamente hablamos de la presencia de energía, el presente trabajo investigativo describirá el comportamiento y características de la energía dentro de un campo electromagnético, para lo cual nos basaremos en el teorema de Poynting para su análisis y su mejor comprensión.

Abstract.- Whenever we speak of an electromagnetic field, implicitly speak of the presence of energy, this research paper will describe the behavior and characteristics of the energy in an electromagnetic field, for which we will build on the Poynting theorem for analysis and best comprehension.

Palabras Claves: Trabajo, Energía, Campo Eléctrico, Campo Magnético, Ondas.

I. INTRODUCCIÓN

En 1884, John Henry Poynting, expresa la ley de conservación de la energía mediante el uso de las ecuaciones de Maxwell, estableciendo que la disminución de energía electromagnética en una región se debe a la disipación de potencia en forma de calor (efecto Joule) y al flujo hacia el exterior del vector de Poynting. Los campos electromagnéticos se producen de forma natural o artificial, están en todas partes y son invisibles para el ojo humano. Se producen campos eléctricos por la acumulación de cargas eléctricas en determinadas zonas de la atmósfera, la tierra posee su propio campo magnético, por ello, en el estudio de la Teoría Electromagnética, nos es necesario comprender su comportamiento y la energía que existe en estos campos, ya que sin campos no hay energía y sin energía no hay campos. [1]

II. DESCRIPCIÓN DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO:

En un conductor en el que existe una circulación de cargas eléctricas hay siempre un campo eléctrico y un campo magnético asociado a ellas.El conjunto del campo eléctrico y del

campo magnético asociados a un mismo conductor se denomina Campo electromagnético y, cuando todo el sistema de campos se desplaza, se dice que existe una onda electromagnética. [2]

La importancia que tiene el estudio de los campos electromagnéticos es debido a una razón fundamental: la capacidad que tienen de transportar energía. Este hecho tiene una gran trascendencia ya que es el responsable de que la energía del sol llegue a nosotros en forma de campos electromagnéticos, como es la luz, y permita la existencia de vida sobre la Tierra. Ya desde un punto de vista tecnológico, para transmitir información de un punto a otro necesitamos “escribirla” sobre algún soporte y transportarla. El soporte óptimo es la energía y el medio de transporte más eficaz, los campos electromagnéticos, Esto hace que todos los sistemas de comunicación actuales estén basados en ellos.

El transporte de energía está asociado a la propagación de ondas electromagnéticas, está suministrada a los campos electromagnéticos, utilizando criterios de conservación de la energía y las ecuaciones de Maxwell. El proceso en la deducción de las distintas contribuciones energéticas es lo

que se conoce como teorema de Poynting.[3]

Figura 1: Campo electromagnético radiado y sus componentes.

La energía contenida en un campo electromagnético usando unidades del sistema internacional viene dado por:

Eem=1

8 π∫R3

❑

(E0 E2+ B2

μ0

)dv

Donde: E0=permitividad enel vacío .

μ0=permeabilidad enel vacío.E=campo eléctrico .

B=campomagnético . [4]

Teorema de Poynting

“La energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma”. Este es uno de los principios básicos de la física y lo aplicaremos al electromagnetismo. El principio de conservación en el caso en que la materia suministre una densidad de potencia a un volumen V, puede ser escrito de forma matemática como:

Ecuación 1

−∫ J⃗ g . E⃗ dV = ∂∂ t ∫U dV +∮ P⃗ dS+∫ J⃗ C . E⃗ dV

La fórmula indica que la potencia suministrada a una región determinada por el material le puede suceder tres cosas: puede aumentar la energía electromagnética presente en la región, puede transformarse en pérdidas óhmicas y el resto de potencia que no contribuye a estas dos es porque abandona el volumen.

El siguiente paso es determinar las expresiones de U y P, desarrollo que constituye el teorema de Poynting. Donde U es la densidad de energía electromagnética y P la densidad de flujo de potencia.

En cualquier caso, podemos asumir que la corriente es única.

Ecuación 2J⃗= J⃗ g+ J⃗C

Ecuación 2 en 1

−∫ J⃗ . E⃗ dV=∫ ∂ U∂t

dV +∮ P⃗ dS

De la ecuación de Ampère-Maxwell podemos aislar J⃗ como:

J⃗=∇× H⃗ −∂ D⃗∂ t

−∫ J⃗ . E⃗ dV

Ecuación 3

−∫(∇× H⃗−∂ D⃗∂ t ) . E⃗ dV =∫(−E⃗∇× H⃗ + E⃗

∂ D⃗∂t

) . dV

¿∫¿¿

Donde en la última igualdad se ha utilizado la propiedad vectorial

∇ . ( a⃗ ×b⃗ )=b⃗ .∇ .× a⃗− a⃗ .∇ . ×b⃗

Ya sólo queda utilizar la ley de Faraday para eliminar el rotacional del campo eléctrico y aplicar el teorema de la divergencia en el último término, con lo que obtendremos la expresión final que nos interesa:

−∫ J⃗ . E⃗ dV=∫ E⃗ .∂ D⃗∂ t

+H⃗ .∂ B⃗∂ t

dV +∮ ( E⃗ × H⃗ ¿)dS¿

Si comparamos esta expresión con la ecuación 3 podremos identificar la expresión de U y P, con lo que obtenemos:

∂ U⃗∂t

=E⃗ .∂ D⃗∂ t

+ H⃗ .∂ B⃗∂ t

Que nos da la variación de densidad volúmica de energía, y la expresión para la densidad de flujo de potencia (o densidad de energía por unidad de tiempo o y superficie)

P⃗=E⃗ × H⃗W

m2

Más comúnmente llamado vector de Poynting.

Si queremos aislar U debemos integrar la ecuación diferencial en derivadas parciales.

∫ E⃗ .∂ D⃗∂t

+H⃗ .∂ B⃗∂ t

dV +∮ ( E⃗ × H⃗ ¿)dS¿

E⃗ .∂ D⃗∂ t

=E⃗ .∂ ε E⃗∂ t

= ∂∂t

¿

Siguiendo el mismo proceso para la parte correspondiente a los campos magnéticos, la densidad de energía electromagnética para medios lineales isótropos y homogéneos queda

12

ε ¿

Este resultado muestra que la densidad de energía almacenada en los campos electromagnéticos la podemos dividir en dos: densidad de energía eléctrica U e y magnética Um. [5]La expresión de cada una de estas componentes quedará:

U e=12

E⃗ . D⃗ Um=12

H⃗ . B⃗

Teorema de Poynting para campos complejos

El vector de Poynting complejo se define

como S⃗=12

( E⃗× H⃗ ¿) y se considera que la

parte real representa el promedio temporal del flujo de energía del campo, mientras que la parte imaginaria representa la energía reactiva almacenada en el medio. El resultado es válido únicamente para trenes de onda armónicos infinitos. Para encontrar el teorema, permitamos que los campos y desplazamientos sean funciones complejas arbitrarias, posiblemente no armónicas. Tenemos la identidad vectorial:

∇ ∙ ( E⃗ × H⃗ ¿)=H⃗ ¿ ∙ (∇× E⃗ )−E⃗ ∙ (∇× H⃗ ¿)Realizando las siguientes sustituciones: ∇× E⃗=−∂ B⃗ /∂t y ∇× H⃗ ¿=J⃗ ¿+∂ D⃗¿ /∂ t

Obtenemos:

∇ ( E⃗ × H⃗ ¿)+H⃗ ¿ ∙( ∂ B⃗∂ t )+ E⃗ ∙( ∂ D⃗¿

∂ t )=E⃗ ∙ J⃗ ¿

Supongamos que el medio es lineal, de manera que ε y μ son cantidades reales independientes del tiempo. Entonces: B⃗=μ H⃗ y D⃗=ε E⃗ . Sus conjugados son: B⃗¿=μ H⃗ ¿ y D⃗¿=μ E⃗¿. La ecuación resultante es:

∇ ( E⃗ × H⃗ ¿)+ 1μ [B⃗¿ ∙( ∂ B⃗

∂ t )]+ε [ E⃗ ∙( ∂ E⃗¿

∂ t )]=−E⃗ ∙ J⃗ ¿

Este resultado no tiene la forma de una ecuación de conservación, para obtenerla es necesario considerar el complejo conjugado y sumar ambas ecuaciones:

∇ [ ( E⃗ × H⃗ ¿ )+( E⃗¿× H⃗ )]+1μ [B⃗¿ ∙( ∂ B⃗

∂ t )+ B⃗ ∙( ∂ B⃗¿

∂ t )]+ε [ E⃗ ∙( ∂ E⃗¿

∂ t )+ E⃗¿ ∙( ∂ E⃗∂t )]=−( E⃗ ∙ J⃗ ¿+ E⃗¿ ∙ J⃗ )

De manera que los términos que involucran derivadas temporales pueden reescribirse como:

[∂( 1μ )B⃗ ∙

B⃗¿

∂t ]+[∂ ε E⃗ ∙E⃗¿

∂t ]La ecuación de balance para campos

complejos es entonces:

∇ ∙12

[ ( E⃗ × H⃗ ¿)+( E⃗¿× H⃗ ) ]+ ∂∂ t [ 1

2(B⃗ ∙ H⃗ ¿+ E⃗ ∙ D⃗¿)]=−1

2( E⃗ ∙ J⃗ ¿+ E⃗¿ ∙ J⃗ )

El término contenido en la divergencia corresponde entonces al flujo, de manera que el vector de Poynting para campos complejos es:

S⃗=12

[ E⃗ × H⃗ ¿+ E⃗¿× H⃗ ]=ℜ {E⃗ × H⃗ ¿}

Si los campos son reales se recupera la definición del vector de Poynting para campos reales. La expresión es válida para campos complejos arbitrarios. [6]

III. APLICACIONES DE LA ENERGÍA EN EL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO.

Motor eléctrico: Es una máquina eléctrica que transforma energía eléctrica en energía mecánica por medio de interacciones electromagnéticas.

Timbres: Al pulsar el interruptor de un timbre, una corriente eléctrica circula por un electroimán creado por un campo magnético que atrae a un pequeño martillo golpea una campanilla interrumpiendo el circuito, lo que hace que el campo magnético desaparezca y la barra vuelva a su posición. Este proceso se repite rápidamente y se produce el sonido característico del timbre.

Trenes de levitación magnética: Estos trenes no se mueven en contacto con los rieles, sino que van "flotando" a unos centímetros sobre ellos debido a una fuerza de repulsión electromagnética. Esta fuerza es producida por la corriente eléctrica que circula por unos electroimanes ubicados en la vía de un tren, y es capaz de soportar el

peso del tren completo y elevarlo.

Bobina de inducción: Es un generador eléctrico que permite obtener tensiones muy elevadas, del orden de los miles o decenas de miles de voltios a partir de una fuente de corriente continua. [7]

IV. RESULTADOS

El estudio de los campos electromagnéticos es de gran importancia, ya que estos son capaces de transportar energía, como la luz del Sol que es importante para la vida o las ondas de radio que sin ellas la comunicación no sería como hoy la conocemos.

Uno de los principios básicos de la física es el de la conservación de la energía, el teorema de Poynting nos permite observar el cumplimiento de esta propiedad mediante el uso de las tan conocidas ecuaciones de Maxwell, las cuales son fundamentales para el análisis de los campos electromagnéticos.

La densidad de energía almacenada en los campos electromagnéticos está formada por la densidad de energía de los campos que la conforman (eléctrico y magnético).

Densidad de energí a el é ctrica=12

E⃗ . D⃗

Densidad de energí a magné tica=12

H⃗ . B⃗

Teorema de Poynting para campo real:

Teorema de Poynting para el campo complejo:

V. CONCLUSIÓN:

Mediante el proceso investigativo llegado a cabo, se puede concluir que:

El electromagnetismo es la ciencia

encargada del estudio de las manifestaciones del magnetismo y la energía simultáneamente puesto que la corriente eléctrica produce un campo magnético muy parecido al producido por un imán. El electromagnetismo describe los fenómenos físicos macroscópicos en los cuales intervienen cargas eléctricas en reposo y en movimiento, usando para ello campos eléctricos y magnéticos.

El estudio del electromagnetismo es importante, porque se han realizado a lo largo del tiempo varias observaciones en la ciencia del magnetismo donde se ha vuelto central en nuestra tecnología como medio ideal de almacenamiento de datos en cintas magnéticas, discos magnéticos y brújulas magnéticas, además de que tiene aplicaciones de suma importancia en el ámbito médico; su aplicación sería las resonancias magnéticas, que son para el análisis de enfermedades que no se

pueden apreciar a simple vista.

Sin embargo debemos mencionar que los campos electromagnéticos están presentes en nuestra vida cotidiana y forman parte de ella de manera muy directa ya que la mayoría de los aparatos que utilizamos en nuestras casas están formados de energía eléctrica y por tanto generan un campo magnético.

Los campos electromagnéticos son capaces de transportar la energía, por lo que ella siempre está presente en estos y permite su uso en diversas aplicaciones. La ley de conservación de la energía es demostrada gracias al teorema de Poynting y a las ecuaciones de Maxwell, quien establece que la disminución de energía electromagnética en una región se debe a que esta se ha transformado en otras formas, como calórica o ha sido radiada fuera del espacio analizado.

VI. REFERENCIAS

[1] OMS, «Organización Mundial de la Salud,» [En línea]. Available: http://www.who.int/peh-emf/about/WhatisEMF/es/. [Último acceso: Agosto 2014].

[2] J. B. p. 3. BALCELLS, Interferencias Electromagnéticas en sistemas electrónicos, Barcelona, España, 1992.

[3] F. ,. p. 1. DIOS OTÍN, Campos Electromagnéticos, Barcelona, 1998.

[4] Wikipedia, «Wikipedia, La enciclopedia libre,» [En línea]. Available: http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_electromagn%C3%A9tica. [Último acceso: 11 Agosto 2014].

[5] F. p. 1. DIOS OTÍN, Campos Electromagnéticos, Barcelona, 1998.

[6] M. F. Guasti, «Teorema de Poynting para campos complejos,» México D.F, 2000.

[7] G. sites, «Google Sites,» [En línea]. Available: https://sites.google.com/site/electricidadieselbohio/electromagnetismo/aplicaciones-del-electromagnetismo. [Último acceso: 11 Agosto 2014].