UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

PAUTA SOLUCION

EVALUACION N° 3 Mat 520143 - 520129 CALCULO

1.- La tortuga y la liebre realizan su legendaria carrera, cada una sobre una línea recta. La tortuga que se desplaza a una razón constante de 10 pies por minuto, está a 4 pies de la meta cuando la liebre se despierta a 5001 pies de la meta, y sale corriendo tras la tortuga. Considere que en un instante dado la distancia de la tortuga a la meta es x y la distancia de la liebre a la meta esta dada por y = 5001 - 2500 x4−

a) Con que rapidez corre la liebre cuando la tortuga está a 3 pies de la meta b) ¿Quién gana en la carrera? y ¿ por cuantos pies?

a) considerando que : 10min

dx piesdt

= ; 3x pies= ; 2 puntos

1 12500 2500 10 1250022 4

dy dxdt dtx

− = − = − − = − minpies rapidez de la liebre 8puntos

b) 0x = ⇒ La tortuga llegó a la meta en ese instante la liebre se encuentra a 5001 2500 4 0 5001 5000 1y pies= − − = − = de la meta 9 puntos c) la tortuga ganó la carrera por un pie 1 punto 2.- Una página debe contener 24 pulgadas cuadradas de texto escrito. Si los márgenes superiores e inferiores tienen 1,5 pulgadas de ancho y los márgenes laterales tienen 1 pulgada cada uno ¿Qué dimensiones de la página minimizan la cantidad de papel requerido? .

( )(18 3 )). ( 2)( 3) 24( 2)xy

xa A xy ademas x y yx+

− = − − = ⇒ =−

5puntos

b).- 2

2

( ) (18 3 ) 3 12 36( 2) ( 2)

dA x d x x xxdx dx x x

+ − −= = − −

5puntos

c).- 2( ) 0 (3 12 36) 0 6 2dA x x x x xdx

= ⇔ − − = ⇒ = ∧ = − 2noes solucion geometrica− 3puntos

d).- 2 2

2 3 2

( ) 96 (6) 96 0( 2) 64

d A x d Adx x dx

= ⇒ = >−

6 corresponde a un minimo 5puntos

e).- las dimensiones de la página son 18 3*66 96 2

x y += ∧ = =

− 2puntos

3.- Si C(x) es el costo de manufactura de una cantidad x de un producto dado ; p es el precio por unidad, entonces la utilidad obtenida al vender una cantidad x es ( )( )P x px C x= −

si 2( ) ( 2) 2C x x= − + i) Encuentre la utilidad máxima ii) Calcule ( )

0lim( ( ))sen xx

sen x→

usando L’Hopital ( fundamente su cálculo ).

i) a) ( )2( ) * ( 2) 2 2( 2)XX

dPP p x x p x

dx= − − − → = − − ( ) 0 2

2xdP px

dx= → = + 3puntos

b)

2

222 2 0 2 max

2

pd Pp correspondeaun imo

dx

+ =− < → +

2puntos

c)

22pP correspondea la +

Utilidad máxima

2 2 2 2

22

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 4 4pp p p p pP p p p +

= + − + − − = + − − = + −

5puntos

ii) a) ( ) ( ) ( )( ) sen xxf sen x= → ( ) ( )( ) 0 0

( ( ))( ) ( ( )) lim ( ) lim 1( )

x xx x

Ln sen xLn f sen x Ln sen x Ln f

sen x→ →

= → = 4puntos

b) ( ) ( ))0 0 0 0

2

cos( )( )lim n( lim( ) lim lim( ( )) 0cos( )

( )

L H

X xx x x x

xsen xL f Ln f sen xxsen x

′

→ → → →= = = − =

− 4puntos

c) ( )

( ) ( )0 0 0(lim( ) 0 lim( ) 1 lim( ( )) 1sen x

x xx x xLn f f luego sen x

→ → →= ⇒ = = 2puntos

LN/ln Concepción Noviembre de 2004