UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
PAUTA SOLUCION
EVALUACION N° 3 Mat 520143 - 520129 CALCULO
1.- La tortuga y la liebre realizan su legendaria carrera, cada una sobre una línea recta. La tortuga que se desplaza a una razón constante de 10 pies por minuto, está a 4 pies de la meta cuando la liebre se despierta a 5001 pies de la meta, y sale corriendo tras la tortuga. Considere que en un instante dado la distancia de la tortuga a la meta es x y la distancia de la liebre a la meta esta dada por y = 5001 - 2500 x4−
a) Con que rapidez corre la liebre cuando la tortuga está a 3 pies de la meta b) ¿Quién gana en la carrera? y ¿ por cuantos pies?
a) considerando que : 10min
dx piesdt
= ; 3x pies= ; 2 puntos
1 12500 2500 10 1250022 4
dy dxdt dtx
− = − = − − = − minpies rapidez de la liebre 8puntos
b) 0x = ⇒ La tortuga llegó a la meta en ese instante la liebre se encuentra a 5001 2500 4 0 5001 5000 1y pies= − − = − = de la meta 9 puntos c) la tortuga ganó la carrera por un pie 1 punto 2.- Una página debe contener 24 pulgadas cuadradas de texto escrito. Si los márgenes superiores e inferiores tienen 1,5 pulgadas de ancho y los márgenes laterales tienen 1 pulgada cada uno ¿Qué dimensiones de la página minimizan la cantidad de papel requerido? .
( )(18 3 )). ( 2)( 3) 24( 2)xy
xa A xy ademas x y yx+
− = − − = ⇒ =−
5puntos
b).- 2
2
( ) (18 3 ) 3 12 36( 2) ( 2)
dA x d x x xxdx dx x x
+ − −= = − −
5puntos
c).- 2( ) 0 (3 12 36) 0 6 2dA x x x x xdx
= ⇔ − − = ⇒ = ∧ = − 2noes solucion geometrica− 3puntos
d).- 2 2
2 3 2
( ) 96 (6) 96 0( 2) 64
d A x d Adx x dx
= ⇒ = >−
6 corresponde a un minimo 5puntos
e).- las dimensiones de la página son 18 3*66 96 2
x y += ∧ = =
− 2puntos
3.- Si C(x) es el costo de manufactura de una cantidad x de un producto dado ; p es el precio por unidad, entonces la utilidad obtenida al vender una cantidad x es ( )( )P x px C x= −
si 2( ) ( 2) 2C x x= − + i) Encuentre la utilidad máxima ii) Calcule ( )
0lim( ( ))sen xx
sen x→
usando L’Hopital ( fundamente su cálculo ).
i) a) ( )2( ) * ( 2) 2 2( 2)XX
dPP p x x p x
dx= − − − → = − − ( ) 0 2
2xdP px
dx= → = + 3puntos
b)
2
222 2 0 2 max
2
pd Pp correspondeaun imo
dx
+ =− < → +
2puntos
c)
22pP correspondea la +
Utilidad máxima
2 2 2 2
22
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 4 4pp p p p pP p p p +
= + − + − − = + − − = + −
5puntos
ii) a) ( ) ( ) ( )( ) sen xxf sen x= → ( ) ( )( ) 0 0
( ( ))( ) ( ( )) lim ( ) lim 1( )
x xx x
Ln sen xLn f sen x Ln sen x Ln f
sen x→ →
= → = 4puntos
b) ( ) ( ))0 0 0 0
2
cos( )( )lim n( lim( ) lim lim( ( )) 0cos( )
( )
L H
X xx x x x
xsen xL f Ln f sen xxsen x
′
→ → → →= = = − =
− 4puntos
c) ( )
( ) ( )0 0 0(lim( ) 0 lim( ) 1 lim( ( )) 1sen x
x xx x xLn f f luego sen x
→ → →= ⇒ = = 2puntos
LN/ln Concepción Noviembre de 2004
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