Instituto Universitario Politécnico ``Santiago Mariño``

Materia: Análisis Numérico.

Sección: 3E

Métodos Numéricos (Secante, Newton, Punto Fijo, Bisección)

Profesor:

Domingo Méndez Realizado por:

Elvys Sucre C.I:25807376

Cód.: 44 (Ing. Electrónica)

1) Completa la siguiente tabla:

Número exacto Aproximación décimas

Error absoluto Error relativo

11/3 3,7 0,3333333333 9.09090909x10-3

5/11 0,5 0,04545454545 0.9999999999

3,24 3,2 0,04 81

2,888888…. 2,9 0,11112 259.9791217

7/13 0,5 0,03846153846 0,07142857143

4/3 1,3 0,03333333333 0,025

2,93333… 2,9 0,03333 0,01136592201

4,66666 4,7 0,03334 7,14429592x10-3

13/6 2,2 0,03333333333 0,01538461538

4,11111… 4,1 0,01111 2,702433163x10-3

15,2377945 15,2 0,0377945 2,480313014x10-3

EA = [xi − �̅�] , ER = 𝐸𝐴

�̅�

2) Usando el Método de Newton, con error inferior a 10-2, halla el valor de

las raíz:

a) 2x = tg x

E = 10-2

Usando X0=1

F(x) = 2 (x) – tg (x)

F´(x) 2 𝑆𝑒𝑐2 (x)

Xi = X0 - 𝐹(𝑋)

𝐹´(𝑋0)

Xi = X0 - 2(𝑋0)−𝑡𝑔(𝑋0)

2𝑆𝑒𝑐2(𝑋0) = 0,989

E = [Xi – Xo] = [0,989 – 1] = 0,011

Xi = X0 - 2(𝑋1)−𝑡𝑔(𝑋1)

2𝑆𝑒𝑐2(𝑋1) = 0,987

E = [X2 – X1] = [0,987 – 0,989] = 2x10-3

X = 0,987

E= 2x10-3

3) Aplicando el método de la Secante halla la raíz positiva con error inferior a

10-2.

a) log x − cos x = 0

E = 10-2

Si tomamos a (P0=1), (P1=𝜋

2)

Pn= Pn-1 - (𝑃𝑛−1 ).(𝑃𝑛−1−𝑃𝑛−2)

𝑓(𝑃𝑛−1)−𝑓 (𝑃𝑛−2)

P2 = P1 - (𝐿𝑜𝑔(𝑃1 )−𝐶𝑜𝑠 (𝑃1)) (𝑃1−𝑃0)

𝐿𝑜𝑔 (𝑃1)−𝐶𝑜𝑠 (𝑃1)−𝐿𝑜𝑔 (𝑃0)−𝐶𝑜𝑠 (𝑃0)

P2 = 1,363148598

P3 = P2 - (𝐿𝑜𝑔(𝑃2 )−𝐶𝑜𝑠 (𝑃2)) (𝑃2−𝑃1)

𝐿𝑜𝑔 (𝑃2)−𝐶𝑜𝑠 (𝑃2)−𝐿𝑜𝑔 (𝑃1)−𝐶𝑜𝑠 (𝑃1)

P3 = 1,529158203

P4 = P3 - (𝐿𝑜𝑔(𝑃3 )−𝐶𝑜𝑠 (𝑃3)) (𝑃3−𝑃2)

𝐿𝑜𝑔 (𝑃3)−𝐶𝑜𝑠 (𝑃3)−𝐿𝑜𝑔 (𝑃2)−𝐶𝑜𝑠 (𝑃2)

P4 = 1,538649043

Error

E = [X1 – X0] = 0,5707963268

E = [X2 – X1] = 0,2076477288

E = [X3 – X2] = 0,166009605

E = [X4 – X3] = 9,49084x10-3

X = 1,538649043

E= 9,49084x10-3

4) La ecuación 03 xextiene una raíz cerca de 0.619 (0.6190612867).

Empezando con el intervalo [0.6, 0.62], calcule 6 iteraciones con el método de

la bisección.

𝒆𝒙 − 𝟑𝒙 = 𝟎

𝒆𝟎,𝟔 − 𝟑(𝟎, 𝟔) = 𝟎, 𝟎𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏 > 0

𝒆𝟎,𝟔𝟐 − 𝟑(𝟎, 𝟔𝟐) = −𝟏, 𝟎𝟕𝟏𝟗𝟓 < 0

X1 = 𝟎,𝟔+𝟎,𝟔𝟐

𝟐 = 0,61

𝒆𝟎,𝟔𝟏 − 𝟑(𝟎, 𝟔𝟏) > 𝟎

𝒆𝟎,𝟔𝟐 − 𝟑(𝟎, 𝟔𝟐) = < 0

X2 = 𝟎,𝟔𝟏+𝟎,𝟔𝟐

𝟐 = 0,615

𝒆𝟎,𝟔𝟏𝟓 − 𝟑(𝟎, 𝟔𝟏𝟓) = 𝟎, 𝟎𝟒𝟔 > 𝟎

𝒆𝟎,𝟔𝟐 − 𝟑(𝟎, 𝟔𝟐) = < 0

X3 = 𝟎,𝟔𝟏𝟓+𝟎,𝟔𝟐

𝟐 = 0,6175

𝒆𝟎,𝟔𝟏𝟕𝟓 − 𝟑(𝟎, 𝟔𝟏𝟕𝟓) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟖 > 𝟎

𝒆𝟎,𝟔𝟐 − 𝟑(𝟎, 𝟔𝟐) = < 0

X4 = 𝟎,𝟔𝟏𝟕𝟓+𝟎,𝟔𝟐

𝟐 = 0,619

𝒆𝟎,𝟔𝟏𝟗 − 𝟑(𝟎, 𝟔𝟏𝟗) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟕 > 𝟎

𝒆𝟎,𝟔𝟐 − 𝟑(𝟎, 𝟔𝟐) = < 0

5) Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟎 = 𝟎 dentro del intervalo [1,2]

𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟎 = 𝟎

𝟒𝒙𝟐 = 𝟏𝟎 − 𝒙𝟑

𝒙𝟐 = 𝟏𝟎 − 𝒙𝟑

𝟒

G(x) = X = √𝟏𝟎 − 𝒙𝟑

𝟐⁄

Iteraciones X G(X)

1 1 1,5

2 1,5 1,287

3 1,287 1,403

4 1,403 1,345

5 1,345 1,3754

6 1,3754 1,36

7 1,36 1,368

8 1,368 1,364

9 1.364 1,366

X= 1,364, E= 0,1%

6) Usa el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de

comenzando con y hasta que .

𝒇(𝒙) 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝒙 − 𝟏

𝑿 = 𝟏 − 𝑺𝒆𝒏 𝒙

𝒈´(𝒙) = 𝟏 − 𝑺𝒆𝒏 𝒙

Iteración X G(x) Error

1 0,52 0,503 3,26%

2 0,503 0,518 2,98%

3 0,518 0,505 2,5%

4 0,505 0,516 1.1%

5 0,516 0,5066 0,9%

La raíz es X5= 0,5066 con E = 0,9%

7) Usa el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de ,

comenzando con y hasta que .

𝒇(𝒙) 𝑪𝒐𝒔 𝒙 − 𝒙

𝒇´(𝒙) − 𝑺𝒆𝒏 𝒙 − 𝟏

Xn + 1 = Xn - 𝐹(𝑋𝑛)

𝐹´(𝑋𝑛)

-0,01 < E, < 0,01

X1 - 𝐹(1)

𝐹´(1) –––> 1 -

−0,4597

−1,8415 = 0,7504

X2 = 0,7504 - −0,01898

−1,68193 = 0,739115 E2= - 4,999x10-3

X3 = 0,739115 - −0,000049

−1,67363 = 0,739085 E3 = 2,2X10-7