UNIDAD ÁLGEBRA Y FUNCIONES

INECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS DE INECUACIÓNES

Una relación entre números o letras en que se usan los signos <, >, o se llama desigualdad.

Cuando una desigualdad presenta una incógnita se denomina inecuación y su valor de verdad(verdadero o falso) dependerá del valor que le asignemos a la incógnita. Para resolver inecuaciones esnecesario conocer las propiedades de las desigualdades.

PROPIEDAD 1 Si a los dos miembros de una desigualdad se le suma un mismo número, el sentido dela desigualdad no cambia

PROPIEDAD 2 Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo númeropositivo, el sentido de la desigualdad no cambia

PROPIEDAD 3 Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo númeronegativo, el sentido de la desigualdad cambia

PROPIEDAD 4 Si de los miembros de una desigualdad, ambos positivos o ambos negativos, seconsideran sus recíprocos la desigualdad cambia

EJEMPLOS

1. Si a, b y c son números reales, con b > c > a y c 0, ¿cuál de las desigualdades siguientes esverdadera?

A) b – a < c – aB) a + c > c + bC) b – 10 < a – 10D) a – 10 > c – aE) c – b > a – b

2. Si 0 < x < 1, entonces ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A) x2 < 1B) x3 < x2

C) 0 > -x2

D) x3 – x2 > 0E) x(x + 1) > 0

Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a + c < b + c

Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc

Si a, b, c son números reales tales que a < b y c < 0, entonces ac >bc

Si 0 < a < b o a < b < 0, entonces1 1

>a b

C u r s o : Matemática 3º Medio

Material N° MT-06

2

83

3 8

83

3 8

83

INTERVALOS EN lR

Se llama intervalo en lR al conjunto de números reales que cumple con la desigualdad dada.

EJEMPLOS

1. La gráfica lR, representa el conjunto solución de

A) {x lR / -2 < x < 4}B) {x lR / -2 < x 4}C) {x lR / -2 x < 4}D) {x lR / -2 x 4}E) {x lR / x 4}

2. La representación gráfica del conjunto solución de la inecuación, que cumple con x 8 yx > 3 es

A)

B)

C)

D)

E)

Intervalo cerrado desdea hasta b

[a , b] = {x lR / a x b}

Intervalo abierto entrea y b

]a , b[ = {x lR / a < x < b}

Intervalo semiabierto osemicerrado

]a , b] = {x lR / a < x b}

[a , b[ = {x lR / a x < b}

a b lR

a b lR

a b lR

a b lR

4-2

3

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b 0,ax + b 0, ax + b > 0 ó ax + b < 0, con a 0, y que son verdaderas para un conjunto devalores de la incógnita x, el cuál se llama conjunto solución de la inecuación. Este conjuntose puede representar mediante la notación de conjunto, intervalo o gráfica.

Al despejar la incógnita en una inecuación lineal, se llega a una de las siguientes situaciones:

EJEMPLOS

1. El conjunto solución de la inecuación 2 + 3(x – 2) < 4(2x + 1) – 3x es

A) {x lR / x > 4}B) {x lR / x 4}C) {x lR / x < 4}D) {x lR / x > -4}E) {x lR / x < -4}

2. El intervalo que es conjunto solución de la inecuación4 x

5

– x 1 +1 2x

3

es

A) [1, +[B) [-1, +[C) ]-, -1]D) ]-, -1[E) ]1, +[

Inecuación Conjunto Solución Representación Gráfica

x <-ba

S =-b

- ,a

x -ba

S =-b

- ,a

x >-ba

S =-b

, +a

x -ba

S =-b

, +a

-ba

-ba

-ba

-ba

4

PROBLEMAS DE INECUACIONES

DEFINICIÓN

En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos >, <, o ,

tales como: “a lo menos” (), “cuando mucho” (), “como mínimo” (), “como máximo” (),

“sobrepasa” (), “no alcanza” (), etc. Una vez planteada la inecuación o sistema de

inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los problemas de ecuaciones

hay que fijarse en la pregunta del problema.

EJEMPLOS

1. ¿Cuántos números primos cumplen con la condición de que la tercera parte del número,más 2, sea mayor que su mitad, más 1?

A) 3B) 4C) 5D) 6E) 7

2. Una hilandera tejió un número par de gorros de lana. Vendió 49 y le quedaron por vendermás de la mitad. Después de la venta, tejió 9 gorros más, vendiendo a continuación 20,quedándole menos de 41 gorros. ¿Cuántos tejió en total?

A) 91B) 100C) 101D) 107E) 109

5

EJERCICIOS

1. ¿Cuál de los siguientes números no pertenece al conjunto solución de la inecuación3x + 5 5x 1

+2 3

– 1 > 3 + 2x?

A)12

B)52

C) 3D) 4E) 6

2. Sabiendo que a > 0, b > 0, a > b y c 0, entonces ¿cuál(es) de las siguientesdesigualdades es (son) siempre verdaderas(s)?

I) a + c > b + cII) ac > bc

III)2 2

a b >

c c

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

3. Si x < y < 0, entonces ¿cuál(es) de la siguientes desigualdades es (son) verdadera(s)?

I) x2 < xy < 0II) x2 > xy > y2

III) x2 < y2 < 0

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

4. El intervalo que es conjunto solución de la inecuaciónx 1 x 2

2 3

corresponde a

A) ]1, +[B) ]-, 1]C) [1, +[D) [-1, +[E) ]-, -1]

6

5. Si3x 2 1 x + 3

<5 3 15

+ x, entonces para todo número real x se cumple que

A) x < 2B) x > 2C) x < -2D) x > -2

E) x > -12

6. De las siguientes opciones, ¿cuál es el mayor número entero x que cumplex 1 x + 2

4 7

?

A) 1B) 3C) 5D) 7E) 9

7. Un alumno resuelve la inecuación2x

x + 1 1 del siguiente modo:

2xx + 1

1 2x x + 1 x 1. Según lo anterior, se puede afirmar que la solución

encontrada está

A) correctaB) errónea, ya que la correcta es x < -1C) errónea, ya que la inecuación no admite soluciónD) errónea, ya que supone que x + 1 > 0E) errónea, ya que no se cambió el sentido de la desigualdad

8. La gráfica representa el conjunto solución de la inecuación

A) 2x – 1 < 3x + 2B) 5x + 2 2(x + 4)

C) 5x +13

2x + 1

D) 5x +13

2x – 1

E) 3x > 2x + 4

29

7

9. La representación gráfica del conjunto solución de la inecuaciónx 1 1 + 2x

2 5

es

A)

B)

C)

D)

E)

10. ¿Cuál de los siguientes números no pertenece al conjunto solución de la inecuación

1 –x 5

4 4 + x?

A) 7B) 2C) -1D) -2

E) -75

11. El intervalo que es conjunto solución de la inecuaciónx 3

4

–x2

1 corresponde a

A) ]-7, +[B) ]-, -7[C) [7, +[D) ]-, 7[E) ]-, -7]

12. Si4x 1

2

– x 92

, entonces para todo número real x se cumple que

A) x 5B) x 4C) x 5D) x 4

E) x 103

7

7

7

7

-7

8

13. La gráfica representa el conjunto solución de la inecuación

A) 3(x + 1) x – 4B) 5x + 2 2(x + 1)

C) x + 2 4x 13

D) 2 –3x 1

4 4 + x

E) 2x – 5 x + 7

14. Si 7(2x – 1) – 3x 2(x + 1) – 9, entonces para todo número real x se cumple que

A) x 0B) x 0C) x 9D) x 9

E) x -149

15. El intervalo que es conjunto solución de la inecuación 3x + 5 > 2[1 – 2(x + 4) + 3x]corresponde a

A) ]-9, +[B) ]-, -9[C) ]-19, +[D) ]-, -19[E) ]-, -19]

16. El intervalo que es conjunto solución de la inecuación5x2

+ 5 – x -3x2

+ 2x + 1

corresponde a

A) ]-4, +[B) [-4, +[C) ]-, -4[D) ]-, -4]E) ]-, 4]

-1

9

17. Al resolver la inecuaciónx + 1 x 2 2x 3

1 +3 5 15

, se obtiene, para todo número

real x, el conjunto solución

A) {x lR / x 1}B) {x lR / x 0}C) {x lR / x -1}D) {x lR / x 1}E)

18. ¿Cuántos números naturales cumplen la condición: “el exceso del quíntuplo del númerosobre 4 es menor que 31?

A) 4B) 5C) 6D) 7E) 8

19. El cuádruplo de las bolitas que hay en una tómbola, es tal que, disminuido en 5, no puedeexceder de 31, y que el quíntuplo del mismo número de bolitas, aumentado en 8,es mayor que 48. ¿Cuántas bolitas hay en la tómbola?

A) 18B) 15C) 12D) 10E) 9

20. Una compañía de teléfonos celulares ofrece a sus clientes dos opciones: “en la primeraopción, cobra un cargo fijo mensual de $ 3.800 más $ 60 por minuto hablado y en lasegunda, no hay cargo fijo, pero un minuto hablado cuesta $ 110”. ¿A partir de quétiempo (t) es más económica la primera opción que la segunda?

A) t = 76 minutosB) t < 76 minutosC) t 76 minutosD) t > 76 minutosE) Ninguna de las anteriores

10

21. Un padre dispone de $ 32.000 para ir al estadio con sus hijos. Si comprase entradasde $ 5.000, le faltaría dinero para poder ingresar con todos ellos, pero si compraseentradas de $ 4.000 le sobraría dinero. ¿Con cuántos hijos fue este señor al estadio?

A) 4B) 5C) 6D) 7E) 8

22. Dentro de 11 años, la edad de Camila será mayor que el triple de su edad actual, menos7 y dentro de 5 años, será menor que el doble de su edad actual, menos 2. ¿Cuál es laedad de Camila?

A) 7 añosB) 8 añosC) 9 añosD) 10 añosE) 12 años

23. Si al doble del número de bolitas de una tómbola se le resta 7, entonces el número debolitas sobrepasa las 29, y si al triple se le disminuye en 5, el resultado es menor que eldoble del número, aumentado en 16. ¿Cuál es el mayor número posible de bolitas quehay en la tómbola?

A) 18B) 19C) 20D) 21E) 22

24. En una empresa el costo de fabricación de chocolates está dado por C = 25000 + 250x,donde x es la cantidad de chocolates. Si cada chocolate se vende a $ 500, ¿cuál es lacantidad mínima de chocolates que se debe vender para tener utilidades?

A) 56B) 77C) 101D) 150E) 181

11

25. Se desea confeccionar un marco rectangular cuyo perímetro sea menor a 120 cm, perono menor que 90 cm. Si el largo es el doble del ancho, ¿entre qué valores, en cm, variaráel ancho k?

A) 15 k < 20B) 15 k 20C) 30 k 40D) 30 k < 40E) 45 k < 60

26. ¿Cuántos números enteros cumplen simultáneamente con las dos condiciones siguientes?

I) El doble del número, más 1 es mayor que 3.II) El triple del número, más 2 no es mayor que 23.

A) 4B) 5C) 6D) 7E) Infinitos

27. El IMC es la razón entre la masa corporal y el cuadrado de la estatura de una persona,respectivamente. Diversos estudios realizados, han concluido que el grupo de mejor salud

corresponde a un IMC comprendido entre 20 y 252

kg

m. Si una persona, mide

1,5 m, para ser considerada saludable, su masa corporal deberá estar entre

A) 30 y 37,5 kgB) 30 y 56,25 kgC) 40 y 50 kgD) 45 y 56,25 kgE) 45 y 55 kg

28. Sean a, b y c son tres números reales. Se puede determinar el mayor de ellos si :

(1) a < b

(2) a < c

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

12

29. La expresión2

x

yes un número real si :

(1) x > 0

(2) y > 0

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

30. Sean a, b y c números reales distintos de cero. Se puede asegurar que a > b si :

(1) a + c > b + c

(2)a b >

c c

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

RESPUESTAS

1. A 11. E 21. C2. D 12. C 22. B3. B 13. D 23. C4. E 14. A 24. C5. D 15. C 25. A6. C 16. D 26. C7. D 17. E 27. D8. C 18. C 28. E9. B 19. E 29. C10. D 20. D 30. A

DMONMT-05

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EjemplosPágs. 1 2

1 E D

2 B D

3 D C

4 A E

EJERCICIOS PÁG. 4