PEHLA-matematica

ÁREA DE MATEMÁTICAPrograma Especial de la Hora Lectiva Adicional

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

Dirección General de Educación Básica RegularDirección de Educación Secundaria

REPÚBLICA DEL PERÚ

Manual del docenteanual

Área de MatemáticaPrograma Especial de la Hora Lectiva AdicionalManual del Docente.

ELABORACIÓN DEL DOCUMENTOMartín E. Mendoza Bolo

CORRECCIÓN DE ESTILOGabriel Espinoza Suárez

DISEÑO Y DIAGRAMACIÓNCecosami Comunicación Integral

© MINISTERIO DE EDUCACIÓN Van de Velde 160, San BorjaDIGEBR - DES 2007

Primera edición, 2007Tiraje: 30 000 ejemplaresImpreso en Quebecor World Perú S.A.Av. Los Frutales 344 Ate - Lima 03

Hecho el Depósito Legal en la BibliotecaNacional del Perú No 2007 - 09455

EQUIPO DE DESARROLLO CURRICULARFernando Quiquia Rau (Coordinación)Víctor Arenas Mitre Begoña Astigarraga CaborneroJosé Barletti Pascuale Edelmira Canchucaja Ruiz Enrique Corvera OrmeñoMarcos Díaz AbantoAda Gamarra RuizBenito García VillalobosFredy León Burgos Homer Melgarejo Obregón Martín Mendoza BoloElizabeth Quinteros HijarRosa Bertha Rodríguez Marco Antonio RodríguezBrey Rojas ArroyoJorge Romero TorresRoger Saavedra SalasDoris Saldarriaga RetoVíctor Sifuentes Vargas Ronald Velarde Valer Galo Viccina Linares

MINISTRO DE EDUCACIÓNJosé Antonio Chang Escobedo

VICEMINISTRO DE GESTIÓN PEDAGÓGICAIdel Vexler Talledo

VICEMINISTRO DE GESTIÓN INSTITUCIONALVictor Raúl Díaz Chávez

SECRETARIO GENERALAsabedo Fernández Carretero

DIRECTORA GENERAL DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULARMiriam Janette Ponce Vértiz

DIRECTOR DE EDUCACIÓN SECUNDARIACésar Puerta Villagaray

Í ND ICE

I. Descripción del Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional: Área de Matemática 6

2.1 Diversifi cación curricular 92.2 El Área de Matemática y su diversifi cación 92.3 El Área de Matemática y el desarrollo de capacidades 16

III. Aspectos priorizados en el Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional 27

3.1 Planteamiento de interrogantes que propician el razonamiento riguroso 273.2 Situaciones problemáticas de la vida diaria 283.3 Elaboración de organizadores visuales 303.4 Recopilación de información estadística 323.5 Proyectos de investigación relacionados a procesos productivos 333.6 Modelización matemática y situaciones problemáticas de la vida 343.7 Razonamiento inferencial deductivo 343.8 Resolución de problemas teóricos-prácticos 373.9 Contabilidad básica en proyectos empresariales 383.10 Costos y benefi cios en el desarrollo de proyectos 41

IV. El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional y la Evaluación de Aprendizajes 43

4.1 Criterios de evaluación e indicadores 434.2 Califi cación de los resultados 434.3 Instrumentos de evaluación 44

Bibliografía 48

Introducción 5

II. El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional y el Área de Matemática 9

1.1 Objetivos del Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional 61.2 Características del Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional 61.3 Organización del Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional 71.4 Aspectos priorizados en el Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional 8

I NTRODUCC IÓN

Vivimos en un mundo de extraordinarios y acelerados cambios, en el cual surgen y evolucionan continuamente nuevos conocimientos, herramientas y formas de usar y comunicar la matemática. El Ministerio de Educación, como contribución al mejoramiento de la calidad de los aprendizajes, ha emitido la Resolución Ministerial Nº 0025-2007-ED y su modifi catoria, la Resolución Ministerial Nº 0027-2007-ED, mediante las cuales se aprueban las normas para la implementación de la hora lectiva adicional en las instituciones educativas de gestión pública de educación secundaria de un solo turno a nivel nacional.

En nuestra labor pedagógica existe la necesidad de entender y ser capaz de utilizar la matemática durante las sesiones de aprendizaje y en la vida dia-ria, razón por la cual es importante la optimización del tiempo durante las sesiones de aprendizaje y, en particular, el uso pertinente de la hora lectiva adicional. Cabe precisar que en el Área de Matemática se traduce como el incremento de dos horas pedagógicas adicionales en cada semana lectiva.

Hasta el año pasado en un grueso de instituciones educativas de un solo turno, al Área de Matemática se le asignaba –al menos– cinco horas pedagógicas semanales. Con la implementación de la hora lectiva adicional, el Área de Matemática va a disponer de –al menos– siete horas pedagógicas semanales.

La implementación de la hora lectiva adicional se realizará mediante un programa especial, cuyo propósito es fortalecer los aprendizajes logra-dos en el Área de Matemática, mediante la aplicación de los mismos en situaciones problemáticas de la vida cotidiana. Para el efecto, se ha ela-borado el presente manual, que brinda orientaciones sobre cómo desa-rrollar dicho programa para garantizar un uso efectivo de las horas adi-cionales. Este manual se irá enriqueciendo a la luz de la experiencia.

MANUAL DEL DOCENTE 5

“Si sabes poco, aprende. Si sabes mucho, enseña”Compartir nuestros conocimientos es el principio de la solidaridad.

Aprender más, buscar uno mismo más conocimientos.Conversar y discutir sobre lo aprendido.

Esos son esfuerzos que te harán mejor, te darán seguridad y confi anza. Y permitirán tu éxito en la vida.

Recuerda que en cada niño hay un genio por descubrir. No dejes que el tuyo permanezca dormido.

Es tu deber y tu victoria.

Con afecto,

Alan GarcíaPresidente Constitucional del Perú

Fortalecer, afi anzar, evidenciar el desa-rrollo de las capacidades matemáticas en las sesiones de aprendizaje del Área de Matemática, aplicando los aprendizajes en la solución de situaciones problemá-ticas de la vida cotidiana.

El Programa Especial de la Hora Lectiva Adi-cional (PEHLA) es un espacio dedicado al for-talecimiento de las capacidades matemáticas (razonamiento y demostración; comunicación

matemática; resolución de problemas) que los estudiantes han desarrollado en el tiempo ha-bitual que se otorga al Área de Matemática. El fortalecimiento en mención se realiza cuan-do los aprendizajes logrados en el área son aplicados para dar solución a situaciones pro-blemáticas de la vida cotidiana.

En el esquema adjunto se puede apreciar la relación que existe entre el Área de Matemá-tica y el PEHLA.

I . DESCR IPC IÓN DEL PROGRAMA ESPEC IAL DE LA HORA LECT IVA AD IC IONAL : ÁREA DE MATEMÁT ICA

1.1 OBJETIVOS DEL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL

Del esquema se deduce que el docente del Área de Matemática debe garantizar que los aprendizajes del grado se obtengan en el tiempo que habitualmente se dedica al área. Asimismo, se recalca que ambos espacios son prácticos y que la matemática se aprende ha-ciendo; es más, se complementan dado que en el área se desarrollan los aprendizajes y en el PEHLA se los fortalece. No obstante, hay que enfatizar que el Programa Especial de la Hora

Lectiva Adicional no está dedicado a resolver una batería de ejercicios de “razonamiento matemático”.

En ese sentido, debemos recalcar que el PEHLA es un espacio de fortalecimiento y profundización, no de recuperación. Bajo ningún concepto se debe entender que en el Área de Matemática se desarrolla la teoría y en el PEHLA la práctica.

1.2 CARACTERÍSTICAS DEL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONALEl programa es especial, pues se realiza en horas adicionales a las que habitualmente se asigna al área de Matemática. También es especial1 porque prioriza algunos aprendizajes claves para fortalecer las capacidades matemáticas. Estos aprendizajes (denominados as-pectos en la Resolución Ministerial Nº 0027-2007-ED) han sido extraídos del DCN, tomando

1El programa también es especial, dado que,

por peculiaridades de la Institución

Educativa, puede ser desarrollado por un docente distinto al

que desarrolla el área en las horas habitua-

les, lo cual implica una coordinación

permanente.

Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional 6

Es práctico y vivencialLos aprendizajes son aplicados a la solución de situaciones problemáticas de la vida diaria.

Es focalizadoSe priorizan aprendizajes relevantes para el desarrollo de las capacidades matemáticas.

Es parte del área Se preserva el enfoque y los propósitos del área.

Es articuladorConvoca la participación de las diferentes áreas curriculares en la ejecución de los proyectos y talleres.

En todos los casos, el PEHLA se desarrolla como parte del Área de Matemática, pues los tópicos tratados en este programa guardan re-lación con la programación del área y porque los resultados de la evaluación realizada en el PEHLA infl uyen en la promoción o repetición de los estudiantes en el área. Por lo tanto,

el programa no es un espacio aislado, mucho menos desvinculado de los aprendizajes del currículo. El PEHLA es un espacio que da la oportunidad para la articulación de las dife-rentes áreas curriculares, pues en la ejecución de los proyectos se puede aprovechar los aprendizajes obtenidos en todas ellas.

en cuenta su relevancia para el desarrollo de las capacidades matemáticas. Otra de las características del programa es la de ser eminentemente práctico y vivencial, pues en él se aplican los aprendizajes a la solución de situaciones problemáticas de la vida co-tidiana. El Programa Especial de la Hora Lectiva Adi-cional está relacionado directamente con el Área de Matemática, pues comparten los mismos propósitos, los mismos aprendizajes,

la misma forma de programación y de evalua-ción. Lo que varía es el énfasis que se pone en algunos aprendizajes vinculados con el desarrollo de las capacidades matemáticas. Sin pérdida de generalidad, se puede afi rmar que el Área de Matemática atiende un es-pectro amplio de aprendizajes, mientras que el PEHLA es de carácter focalizado.

Las características del PEHLA están repre-sentadas en el siguiente esquema:

1.3 ORGANIZACIÓN DEL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL La hora adicional se implementa en las instituciones educativas de educación secundaria de un solo turno. La distribución de las horas adicionales se realiza luego de que a cada docente se le haya asignado 24 horas que corresponden como parte de su jornada labo-ral. Esto es así, pues el PEHLA es un espacio para fortalecer los aprendizajes y no forma parte de las horas habituales del Área de Matemática2. Por lo tanto, el número de horas destinadas al área deben ser las necesarias para que los estudiantes logren los apren-dizajes en ese espacio; existe la necesidad de explicitar las horas adicionales3, con fi nes de monitoreo y acompañamiento.

2Tener en cuenta que si en la Programa-ción Anual se le ha asignado al Área de Matemática siete horas semanales, dos horas son del PEHLA

3Se explicitan como una sesión de aprendizaje de dos horas pedagógicas de duración o dos sesio-nes de aprendizaje de una hora pedagógica cada una.


1.4 ASPECTOS PRIORIZADOS EN EL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL

En el marco del PEHLA, se debe tener en cuenta que estudiar nociones o conceptos matemáticos es equivalente a pensar en la solución de alguna situación problemática. Se debe enseñar a usar la matemática; esta afi rmación es cierta por las características que presenta la labor matemática en donde la lógica y la rigurosidad permiten desarro-llar un pensamiento crítico. La matemática tiene un valor formativo, dado que pro-mueve el desarrollo del pensamiento lógi-co-matemático de los estudiantes; un valor instrumental, dado que provee al estudian-te de capacidades, habilidades y destrezas que se traducen en el manejo preciso y efi -

caz de procesos operativos; y un valor so-cial, como medio de comunicación.

El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional ha focalizado su atención en el desarrollo de determinados aprendizajes, considerados como prioritarios para de-sarrollar las capacidades matemáticas de los estudiantes. Estos aprendizajes no son diferentes a los del Área de Matemática, sino que han sido extraídos del DiseñoCurricular Nacional de la EBR para abordar-los con especial énfasis, de manera práctica y en situaciones reales.

El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional puede ser desarrollado por el mismo profesor del área. En este caso, el docente tendrá una programación del área que garantice el logro de los aprendizajes en las horas habituales, explicitará los aprendizajes esperados a tratar en el mar-co del PEHLA, así como también explicitará en las sesiones de aprendizaje correspon-dientes al PEHLA cómo se va a fortalecer los aprendizajes logrados en el área. En el caso hipotético de que el docente del área no asuma las horas del PEHLA, es impor-tante que los docentes de los dos espacios de aprendizaje mantengan un diálogo franco y abierto para sumar esfuerzos en el mejoramiento de los aprendizajes de los

estudiantes. El profesor del área debe brin-dar información sobre la situación en que se encuentran los estudiantes y sugerir for-mas de cómo mejorarlas. Esto es de suma relevancia al iniciar el programa, pues no se puede hacer ninguna planifi cación de las sesiones de aprendizaje sin tener un diagnóstico de las experiencias que tienen los estudiantes. La coordinación es indis-pensable cuando se trata de la evaluación de los aprendizajes, porque los resultados obtenidos en el PEHLA forman parte de la evaluación general del área, tomándose en cuenta para los promedios de cada criterio de evaluación; por lo tanto, infl uyen en la promoción o repetición del grado.


2 . EL PROGRAMA ESPEC IAL DE LAHORA LECT IVA AD IC IONAL Y ELÁREA DE MATEMÁT ICA

El Diseño Curricular Nacional (DCN) se carac-teriza por ser diversifi cable; es decir, abierto y fl exible. Al proceso de ajuste, adecuación, complementación y enriquecimiento del DCN para atender a la diversidad existente en cada aula se denomina diversifi cación curricular. Para la realización de este proceso, se debe tener en cuenta las peculiaridades de cada ámbito geográfi co. Por esa razón, para su apli-cación a cada realidad, debe ser enriquecido y adecuado a las condiciones reales de cada institución educativa y, en especial, a las nece-sidades de aprendizaje de los estudiantes y a las necesidades, intereses y aspiraciones de la comunidad local.

Existen determinados acontecimientos que ocurren en la localidad o que suceden en el contexto regional, nacional e internacional que tienen importancia y repercuten en los procesos pedagógicos porque, precisamente, se pueden utilizar como motivo para progra-mar aprendizajes que se desarrollarán durante el año lectivo. Por ejemplo, la celebración de la fi esta patronal o el aniversario de creación de una determinada ciudad en la que han nacido

nuestros padres (acontecimientos locales), las elecciones para el gobierno municipal o regional (acontecimientos regionales), la celebración de la independencia de nuestro país (evento nacional) o la realización de los juegos olímpicos o el campeonato mundial de fútbol (eventos internacionales), pueden aprovecharse en la programación curricular a partir de los aspectos priorizados por el Pro-grama Especial de la Hora Lectiva Adicional.

Tanto para el caso de la programación anual como para la programación de unidades didác-ticas, la variable fundamental a considerar es el tiempo. En ambos casos, ese tiempo es de un año escolar, que suele ser dividido en bi-mestres o trimestres, según la opción que elija la institución educativa sobre este particular. El número de unidades didácticas que se pro-gramen guarda estrecha relación con el tiem-po (número de horas pedagógicas) asignado a cada una de las áreas curriculares, además del tiempo efectivo que se disponga para el trabajo escolar, la complejidad del contenido, así como de la formulación pertinente de los aprendizajes esperados por cada unidad.

2.1 DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR

2.2 EL ÁREA DE MATEMÁTICA Y SU DIVERSIFICACIÓN

Al presentar los contenidos temáticos del Área de Matemática se deben tener en cuenta las características y necesidades del ámbito geográ-fi co donde se encuentra la institución educativa; las necesidades e intereses de aprendizaje de los estudiantes y el potencial económico regional (producción pecuaria, agrícola; vitivinícola, etc.).

Cabe precisar que un primer paso para la diversi-fi cación curricular es la adecuación o contextua-lización de los contenidos a presentar; es decir, el desarrollo de las capacidades del Área de Matemática abordando situaciones problemáti-cas de la vida diaria (ámbito regional). Como sa-bemos, resolver situaciones problemáticas con-

textualizadas involucra procesos cognitivos de orden superior que permiten una diversidad de transferencias y aplicaciones a otras situaciones y áreas; y en consecuencia, proporciona grandes benefi cios en la vida diaria; es decir se desarrolla y se afi anza una identidad personal y regional. El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicio-nal preserva el enfoque y organización curricular del Área de Matemática, haciendo hincapié en el fortalecimiento de los aprendizajes que los estudiantes ya han logrado en el área. Es im-portante dejar en claro que los dos espacios son prácticos; por lo tanto, no se debe relacionar a uno con la teoría y al otro, con la práctica.


4Hacemos explícito que la elaboración de sendos carteles es de suma utilidad para el docente en la elabo-ración e implemen-tación del proceso de diversifi cación

curricular explicitado en la programación

anual.

2.2.1 Programación AnualLa experticia docente tiene como principales características: el manejo de la información de su área, ser asertivo, identifi car las nece-sidades, intereses y perfi les de sus estudiantes y la voluntad de optimizar los procesos peda-gógicos. Son estos rasgos los que hacen de los docentes los principales actores del proceso de elaboración de los carteles curriculares

diversifi cados4 (cartel de contenidos y cartel de capacidades), los cuales convergen en la Programación Anual. A continuación, se pre-senta un ejemplo de programación anual en la que se identifi can proyectos de investigación relacionados a los procesos productivos y fl ujo comercial.

Si bien es cierto que desde el Área de Matemática se maneja una carpeta pedagógica (programa-ción anual; unidades didácticas y sesiones de aprendizaje), se deben explicitar en cada unidad didác-tica los espacios para tratar los aspectos priorizados por el PEHLA.

PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL

I. INFORMACIÓN GENERAL

Institución educativa : “Paulo Freire”Área : MatemáticaGrado : 3ro secundariaHoras semanales : 7 horas pedagógicas5

Profesor : Augusto Palmas Zabala

II. PRESENTACIÓN

La institución educativa “Paulo Freire” presenta, en el Área de Matemática, un conjunto de ac-tividades para que los estudiantes experimenten diversas y variadas situaciones –relacionadas entre sí –que los lleven a realizar con gusto las tareas matemáticas, desarrollar hábitos menta-les matemáticos y entender y apreciar el rol que la matemática cumple en situaciones de la vida cotidiana.

Se espera que el estudiante desarrolle las capa-cidades del Área de Matemática de Educación Secundaria al enfrentar situaciones problemá- ticas que constituyan retos y que pongan en juego un conocimiento matemático relevante. Hay que tener en cuenta que una situación problemática dada puede necesitar de más de una estrategia, lo cual se debe explicitar al implementar la hora lectiva adicional.

III. PROPÓSITOS DEL GRADO

RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN

- Interpreta el resultado obtenido al resolver una situación problemática de la vida diaria.- Realiza abstracciones a través del descubrimiento de regularidades numéricas en el plano y el espacio.- Interpreta la información estadística recopilada. Comprende el azar y su me-dida a partir de experimentos aleatorios reales.

COMUNICACIÓN MATEMÁTICA

- Modela e interpreta representaciones gráfi cas de objetos tridimensionales en el plano, fi guras en el plano, áreas superfi ciales y sólidos de revolución, así como histogramas, polígonos de frecuencia y ojivas.- Argumenta gráfi camente, la solución a una situación problemática de la vida cotidiana.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

- Modela y resuelve situaciones problemáticas que requieren de ecuaciones e inecuaciones polinomiales, sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres varia-bles, variables estadísticas, histogramas, polígonos de frecuencia y medidas de tendencia central, así como fi guras en el plano, áreas superfi ciales y sólidos de revolución.

5En el marco del Programa Especial

de dos horas lectivas adicionales para el

Área de Matemática.

IV. TEMAS TRANSVERSALES Y VALORES

TEMAS TRANSVERSALES VALORES

Educación para el emprendimientoEducación para la calidad de vidaEducación para la identidad local

Laboriosidad HonestidadSolidaridad ResponsabilidadRespeto Tolerancia

V. ORGANIZACIÓN DE LAS UNIDADES DIDÁCTICAS

NÚMERO DE

UNIDADTÍTULO DE LA UNIDAD

TIPO DE UNIDAD

TIEMPOCRONO-GRAMA

(trimestres)

I II III

N°1Actividades productivas de Tem-bladera y la solución de ecuaciones e inecuaciones.

Unidad de aprendizaje

08semanas

N°2El fl ujo comercial de Tembladera y la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Proyecto de aprendizaje

06semanas

N°3Nociones geométricas del plano y los recursos naturales de Yonán.


05semanas

N°4Características geométricas de la Perla del Jequetepeque.


10semanas

N°5La noción de espacio y medida y los recursos naturales de Yonán.

Proyecto de aprendizaje

04semanas

N°6Recogida de data y probabilidad de sucesos en Tembladera.


07semanas

VI. ESTRATEGIAS GENERALES DEL ÁREA Y MATERIALES

ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS MEDIOS Y MATERIALES

Método de proyectosMétodo demostrativoMétodo inductivo/deductivoTécnicas grupalesDinámicas motivacionalesInvestigación bibliográfi ca

Fólder y papel bond tamaño A4Juego de escuadrasLápiz, tajador y borradorPapelógrafosPlumones de papelCinta maskingtape

VII. ORIENTACIONES PARA LA EVALUACIÓN

- La evaluación será permanente e integral. En cada unidad didáctica se evaluará las tres capacidades priorizadas del área.

- El califi cativo del trimestre (CT) se obtiene mediante promedio simple de los criterios de


; donde NCi: nota de la capacidad

nota de la actitud frente al área.

-El califi cativo anual (CA) se obtiene mediante promedio simple de los tres trimestres:

; donde CTi : nota del trimestre

- La evaluación de la actitud ante el área se realizará mediante una lista de cotejo de actitudes.

- La autoevaluación y la coevaluación tendrán carácter formativo para identifi car avances y difi cultades.

- Los instrumentos que se aplicarán son pruebas de opción múltiple, pruebas de desarrollo, listas de cotejo, fi chas de cotejo o verifi cación, mapas conceptuales y trabajos de investigación realizados por los estudiantes.

UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº06

I. INFORMACIÓN GENERAL

INSTITUCIÓN EDUCATIVA : “ PAULO FREIRE”GRADO Y SECCIÓN : 3ro secundariaÁREA CURRICULAR : MatemáticaHORAS SEMANALES : 7 horas pedagógicas6 PROFESOR DEL ÁREA : Augusto Palmas Zabala

6En el marco del Programa Especial

de dos horas lectivas adicionales para el

Área de Matemática.

califi cación (capacidades de área y actitud ante el área):

VIII. BIBLIOGRAFÍA

˙ Texto del estudiante de 3º de secundaria.˙ Manual del docente de 3º de secundaria.˙ Módulo de biblioteca: Matemática aplicada a situaciones de la vida cotidiana.˙ Guía para el desarrollo del pensamiento a través de la Matemática.˙ OTP de Matemática.˙ Páginas web relacionadas a los contenidos de las unidades de aprendizaje.

2.2.2 Unidad DidácticaEn relación a la elaboración de la unidad didác-tica, es muy importante tener en cuenta la per-tinencia del número o cantidad de aprendizajes esperados formulados por unidad didáctica. Además, no existe una receta o fórmula que exprese cuál es la cantidad de aprendizajes esperados que se deben formular por unidad didáctica. En ese sentido, es inadecuado consi-derar que una determinada unidad didáctica no está bien elaborada porque tiene, por ejemplo, sólo tres aprendizajes esperados formulados. Sin embargo, por cuestiones metodológicas inherentes a nuestra labor pedagógica y por

la dinámica de la misma no se sugiere atibo-rrarnos de una cantidad considerable de apren-dizajes esperados; dado que existe el riesgo que nuestra labor pedagógica se restrinja sólo a apli-car instrumentos de evaluación.

Asimismo, formular de manera pertinente los aprendizajes esperados por unidad didáctica nos va a permitir decantar, con naturalidad y sin difi cultad, nuestras sesiones de aprendizaje en el marco del PEHLA. A continuación, se pre-senta un ejemplo de unidad didáctica.

i (i ∈{1;2;3}), NAm:

i (i ∈{1;2;3})

IV. CAPACIDADES FUNDAMENTALES PRIORIZADAS

˙ Toma de decisiones˙ Solución de problemas

V. TEMA TRANSVERSAL

˙ Educación para la identidad local

VI. VALORES Y ACTITUDES

II. TÍTULO DE LA UNIDAD

Recogida de data y probabilidad de sucesos en Tembladera.

III. JUSTIFICACIÓNLa presente unidad tiene como propósito que los estudiantes recopilen información estadísti-ca, discriminen información relevante, infi eran información nueva a partir de datos explícitos y emitan apreciaciones personales. Tener en cuenta que la presentación de la Estadística comienza como una metodología de recopi-lación, presentación e interpretación de datos. Es decir, se debe garantizar la recopilación y organización de datos, representación e in-terpretación de tablas y gráfi cas estadísticas.

Asimismo, se explicita la manera como pueden tratarse matemáticamente situaciones incier-tas y graduar la mayor o menor probabilidad de ciertos sucesos o eventos; así como los as-pectos priorizados por el PEHLA relacionados a los aprendizajes esperados formulados. Los es-tudiantes deben ser capaces de tomar decisio-nes pertinentes frente a fenómenos aleatorios. La interpretación de datos y la estadística per-miten a los estudiantes establecer conexiones y/o relaciones para la solución de problemas.

ValoresActitudes

Actitud frente al área Comportamiento

Responsabilidad

Asume la conducción de su equipo y planifi ca la ejecución de sus tareas.

Aplica normas de higiene en su presentación personal.

Cumple con las tareas académicas encomendadas.

Contribuye con la conservación del orden e higiene del aula.

Asume los errores con naturalidad.Permanece en la institución educativa.

Laboriosidad

Es perseverante en la ejecución de las tareas académicas

Lidera y organiza el equipo, consulta frecuentemente.

Se esfuerza por mejorar en la presentación de sus tareas.

Muestra entusiasmo y dedicación al trabajar.

Persiste a pesar de los errores.Reacciona positivamente ante las difi cultades.



VII. DEFINICIÓN DE LOS APRENDIZAJES ESPERADOS.

Aprendizajes esperadosCronograma por semanas del

tercer trimestre

1 2 3 4 5 6 7

Discrimina variables estadísticas

Elabora tablas de distribución de frecuencias

Elabora diagramas de barras y sectores circulares, histogramas, polígonos de frecuencias y ojivas

Interpreta diagramas de barras y sectores circulares, histogramas, polígonos de frecuencias y ojivas

Interpreta medidas de tendencia central

Identifi ca sucesos y espacios muestrales

Interpreta la probabilidad de un suceso

Interpreta la esperanza matemática

VIII. EVALUACIÓN La evaluación en cada área se realizará a partir de las matrices correspondientes. Sin pérdi-da de generalidad, debemos explicitar siempre el carácter formativo de las evaluaciones.

CRITERIO DE EVALUACIÓN

INDICADORES INSTRUMENTOS

RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN

Identifi ca variables cualitativas y cuantitativas en una muestra local7.Identifi ca variables discretas y continuas en una muestra local.Identifi ca espacios muestrales a partir de un conjunto de experimentos aleatorios.Identifi ca sucesos a partir de una data local.

Prueba de opción múltiple.

Mapas conceptuales.

COMUNICACIÓN MATEMÁTICA

Elabora tablas de distribución de frecuencias a partir de una data local.Elabora diagrama de barras y sectores circulares (pye), histogramas, polígonos de frecuencias y ojivas a partir de una data local.

Prueba de desarrollo.

Fichas de cotejo o verifi cación.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Interpreta medidas de tendencia central en situaciones problemáticas de la vida diaria8.Interpreta la probabilidad de un suceso en situaciones problemáticas de la vida diaria.Interpreta la esperanza matemática en situaciones problemáticas de la vida diaria.

Prueba de desarrollo y de opción múltiple.

Fichas de cotejo o verifi cación.

7Entendemos por muestra o data

local al conjunto de recursos naturales,

potencialidades turísticas, cultura y

folklore de la ciudad de Tembladera.

8Entendemos por situaciones proble-máticas de la vida

diaria al conjunto de actividades agrícolas, pecuarias y artesana-

les así como al fl ujo comercial de la ciu-dad de Tembladera.

CRITERIO DE EVALUACIÓN

INDICADORES INSTRUMENTOS

ACTITUD ANTE EL ÁREA

Es perseverante en la ejecución de las tareas académicas.Se esfuerza por mejorar la presentación de sus tareas.Persiste a pesar de los errores.Asume la conducción de su equipo y planifi ca la ejecución de sus tareas.Cumple con las tareas académicas encomendadas.Asume los errores con naturalidad.

Lista de cotejo

IX. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA.

˙ Manual del docente de 3º de secundaria. ˙ Texto del estudiante de 3º de secundaria.˙ Páginas web relacionadas a los contenidos de las unidades de aprendizaje.˙ Guía para el desarrollo del pensamiento a través de la Matemática.

2.2.3 La articulación de componentesOtro elemento a tener en cuenta en el enfoque de desa-rrollo de capacidades en el Nivel de Educación Secundaria está vinculado a la articulación pertinente, mas no artifi -cial ni arbitraria, de contenidos en las unidades didác-ticas. Partimos de la premisa de que el docente tiene un cúmulo de información relacionada a su área y la adminis-tra con idoneidad. Además, teniendo en cuenta que el docente principalmente ha de constituirse en mediador de los procesos de aprendizaje de los estudiantes para el desarrollo de las capacidades del área, así como para la comprensión y uso de conocimientos matemáticos, existe la necesidad de explicitar la articulación de los componen-tes del área de manera natural. Asimismo, queda claro que en el enfoque de desarrollo de capacidades los con-tenidos temáticos son importantes; en tanto y en cuanto nos sirvan como insumos para el logro de los aprendizajes esperados formulados en cada unidad didáctica y, en con-secuencia, para el desarrollo de las capacidades del área. Por ejemplo, la geometría es el resultado de una interacción entre el mundo real y nuestra capacidad de abstracción; es decir, el componente Geometría y medida debe integrarse (al igual que los componentes Número, relaciones y fun-ciones; Estadística y probabilidad), cuando sea posible, con los otros componentes; lo cual implica planifi car, presentar y evaluar los distintos contenidos del Área de Matemáticaque enseñamos. A continuación se presenta un ejemplo

que aborda, de manera natural, la resolución de problemas teórico-prácticos vinculados a situaciones de la vida diaria:

Situación problemática9.- La relación entre el peso de una persona y su edad es una relación lineal, como se muestra en el gráfi co adjunto. ¿Cuál fue el peso de esta persona a los ocho años?

EDAD (años)

9Resulta importante que el estudiante tenga la oportunidad de evaluar más de una estrategia de solución.


Solución 01: Función Lineal.- Se tiene como información un segmento de recta cuya pendien-te es igual a:

un punto de paso, entonces:

Haciendo x = 8: ƒ(8) = 3(8) + 3 = 27; es decir, a los ocho años de edad su peso fue de 27 kg.

Solución 02: Semejanza de triángulos.- A partir del segmento de recta se establece la siguiente relación de igualdad:

donde el par ordenado (8; h) pertenece al segmento de recta. Entonces, se puede afi rmar que a los ocho años de edad su peso fue de 27 kg.

2.3 EL ÁREA DE MATEMÁTICA Y EL DESARROLLO DE CAPACIDADES

Con la fi nalidad de tener un marco teóricoorientador para operativizar los logros educa-tivos el Nivel de Educación Secundaria de la Educación Básica Regular (EBR), asume que las capacidades son potencialidades inherentes a la persona y que ésta puede desarrollarlas a lo largo de toda su vida, dando lugar a la determinación de los logros educativos. Sendas capacidades se cimientan en la interrelación de procesos cogniti-vos, socio afectivos y motores.

Al ser desarrolladas, las capacidades permiten al estudiante egresado de la EBR enfrentar con éxito contextos, problemas y desempeños de la vida cotidiana en el ámbito privado, social o pro-fesional. Las capacidades se pueden desarrollar a lo largo de toda la vida; es decir, tienen un desa-rrollo continuo desde que el hombre nace hasta que muere. Este proceso se realiza mediante la educación formal, la educación no formal y la ex-periencia cotidiana, al solucionar problemas y en la búsqueda de la satisfacción de las necesidades. De lo expuesto se desprende que las capacidades se desarrollan a través de dos modalidades: aprendizaje directo y aprendizaje mediado.

˙ El aprendizaje directo se realiza mediante la exposición directa del organismo a los estímulos que provee el contexto; es decir, una capacidad que se desarrolla en la vida diaria, cuando solu-cionamos problemas y necesidades reales.˙ La experiencia del aprendizaje mediadose realiza por la acción de un mediador (padre, educador, tutor u otra persona relacionada con el sujeto), quien desempeña un rol fundamental

en la selección, organización y presentación de los estímulos provenientes del exterior, que per-mitan la interacción activa entre el individuo y los estímulos para facilitar su comprensión, interpre-tación y utilización por parte del estudiante.

Durante el aprendizaje o en la vida diaria las ca-pacidades se manifi estan a través de un conjunto de procesos cognitivos, socio afectivos y motores relacionados entre sí; asimismo se expresan de distintas formas y grados de complejidad, según las características de las etapas de desarrollo del ser humano. Por ello los sistemas educativos gene-ran diversos niveles de logros de aprendizaje. En el caso de la EBR se han determinado logros de nivel, logros de ciclo, propósitos de grado y apren-dizajes esperados en función de capacidades.

La formulación de los logros educativos deman-da no sólo tener claridad en la conceptualización de las capacidades que se pretende desarrollar. Es indispensable, además, la precisión en los procesos cognitivos, motores y socioafectivos que involucra su manifestación en determina-dos niveles de desarrollo y, sobre todo, la plena conciencia de que no es lo mismo realizar sesio-nes de aprendizaje para desarrollar contenidos que realizar sesiones de aprendizaje orientadas al desarrollo de capacidades.

2.3.1. Los procesos pedagógicos Partimos de la premisa de que el docente aprende mientras enseña. Se debe propiciar en el estudian-te un interés permanente por desarrollar capaci-dades matemáticas que le van a ser de utilidad

m = 48 - 315 - 0

= 4515

= 3 Sea p0 = (0;3)

y - 3 = 3(x-0)⇒ y = 3x + 3 ⇒ ƒ(x) = 3x + 3

48 - h7

=8

h - 3 h = 27;⇒

en su futuro profesional o técnico, al concluir sus estudios. En una sociedad en la cual la in-formación cuantitativa y sus representaciones tienen una presencia cada vez mayor, es de vi-tal importancia desarrollar la habilidad para ex-presar ideas matemáticas en forma coherente.

Resulta importante explicitar en los procesos pedagógicos, de manera natural, las razones por las cuales se han elegido un conjunto de procedimientos en particular (toma de decisio-nes) al realizar una determinada actividad. Ello implica seleccionar una determinada estrate-gia de aprendizaje. Bajo esta mirada, elegir y aplicar una estrategia supone algo más que el dominio o manejo de un conjunto de algorit-mos en la resolución de un problema. En rela-ción a los procesos pedagógicos10, podemos hacer mención a los siguientes:

2.3.1.1 La Motivación. Es el proceso per-manente mediante el cual el docente crea las condiciones propicias para mantener el interés del estudiante por su aprendizaje. Se parte de la premisa de que el docente, para motivar, orienta los propósitos, contenidos y actividades de aprendizaje en función de los intereses y necesidades de los estudiantes. Asimismo, diseña actividades y procedimien-tos que permiten alcanzar los propósitos de aprendizaje y las metas personales de los es-tudiantes de manera clara y fl uida.

Uno de los desafíos del docente de matemática es hacer interesantes las sesiones de aprendiza-je, sin prescindir de la rigurosidad teórica propia del Área de Matemática. Se debe explicitar que hacer matemática es una actividad muy distin-ta que el restringirse a desarrollar ejercicios en el aula. Por ejemplo, es diferente para un estu-diante resolver el siguiente triángulo:

que obtener la solución del siguiente enun-ciado: Un avión es observado por dos per-sonas que se encuentran a 300 metros de distancia una de la otra. Cuando el avión pasa por la recta que los une, cada obser-vador mide el ángulo de elevación al avión, como indica la fi gura adjunta. ¿A qué dis-tancia del avión se encuentran las personas en dicho momento?

El docente debe orientar a los estudiantes en relación a la investigación y las posibles apli-caciones de tópicos del Área de Matemática que se presentan y desarrollan en la pro-gramación curricular. Existe la necesidad de tomar conciencia de las aplicaciones, bagaje histórico, signifi cado e importancia actual de la matemática que se presenta y trabaja en las sesiones de aprendizaje. A continuación, presentamos un ejemplo:

Bagaje histórico.- Carl Friedrich Gauss fue uno de los genios matemáticos dotados de una excelente habilidad con los números. A la edad de tres años se cuenta que corrigió la nómina de los empleados de su padre. Un día en la escuela cuando tenía 10 años, el maestro propuso como ejercicio sumar los 100 primeros números consecutivos. Gauss usó un método sencillo:

˙ La suma 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . + 97 + 98 + 99 + 100, la escribió de la siguiente forma:

˙ (1+100) + (2+99) + (3+ 98) + . . . . . . + (50+51)

˙ 101 + 101 + 101 + . . . . . . + 101 = 50 x 101 = 5050

10Se debe tomar en cuenta que estos procesos pedagógicos son recurrentes y no tienen categoría de momentos fi jos.

Cuando, al cabo de una hora, acabaron sus compañeros, el maestro comprobó sorprendido que el resultado de Gauss que aparecía en la pizarra era el correcto.El maestro quedó tan impresionado que de su propio bolsillo compró un libro de aritmética y se lo regaló a Gauss, quien rápidamente lo devoró.

2.3.1.2 Los saberes previos. Se construyen a partir de las experiencias del estudiante al querer explicar algún hecho o fenómeno co-tidiano del mundo que le rodea. En algunas ocasiones son explicaciones que cada quien genera para una mejor comprensión de algún hecho o fenómeno; por ende, no necesaria-mente los saberes previos tienen sustento científi co. Tener en cuenta que un aprendizaje es signifi cativo cuando los contenidos son re-lacionados de manera natural (no arbitrario) y sustancial con los saberes previos de los estudiantes. A continuación, se presenta un ejemplo:

Función cuadrática (cuarto grado de se-cundaria).- Sin pérdida de generalidad, podemos afi rmar que la Geometría Carte- siana consiste –básicamente– en interpretar ideas o nociones geométricas mediante ideas algebraicas; por ejemplo, la solución de ecua-ciones. Resolver algebraicamente la ecuación

x2 + x - 6 = 0implica el siguiente proceso:

x2 + x - 6 = 0(x - 2)(x + 3) = 0

(x - 2 = 0) v (x+3 = 0)x = 2 v x = -3C.S. = {2; -3}

Geométricamente, implica grafi car las fun-ciones f(x) = x2 + x – 6 y g(x) = 0, luego identifi car los pares ordenados (puntos de intersección) tales que pertenezcan tanto a f como a g y, fi nalmente, seleccionar las abscisas de sendos pares ordenados como solución. Gráfi camente:

Es decir, la Geometría Cartesiana hace uso de la notación, propiedades y resultados algebraicos. De allí que se necesite como saberes previos del tema Funciones cuadráticas la información referente a:

-3

˙ Plano Cartesiano˙ Defi nición de función. Regla de correspondencia˙ Gráfi ca de una función en el plano cartesiano˙ Resolución de ecuaciones de segundo grado˙ Valor numérico

Cabe precisar que los contenidos temáticos men-cionados involucran un conjunto de capacidades específi cas desarrolladas, a la par, en el estudiante.

2.3.1.3 El confl icto cognitivo. Se produce cuando el estudiante, por ejemplo, se enfrenta con una situación que no puede comprender o explicar en su totalidad. Es decir, cuando ocurre un desequi-librio de las estructuras mentales (los sicólogos hablan de una disonancia cognitiva). El confl icto cognitivo es el catalizador para que se produzca el aprendizaje. Está presente en cada una de las actividades de aprendizaje. Por ejemplo, cuando un estudiante se enfrenta a una situación proble-mática novedosa a la que no puede dar solución y –a lo más– se queda en el planteamiento. Vea-mos el siguiente caso:

Enigma (primer grado de secundaria).- Beremiz y un amigo, camino a Bagdad, socorren en el de-sierto a un rico jeque, que había sido asaltado, y fraternalmente conparten con él su comida, que consistía en ocho panes: cinco de Beremiz y tres del amigo. Al llegar a su destino, el jeque los re-compensa con ocho monedas de oro: cinco para Beremiz y tres para el amigo. Todos entonces se sorprenden con la suave protesta de Beremiz; según él, la manera justa de repartir las ocho monedas sería dando apenas una a su amigo y siete para él. ¿Cuál es el proceso aritmético apli-cado por Beremiz para justifi car su distribución de monedas?

2.3.2 Las sesiones de aprendizaje.11 Al elaborar la sesión de aprendizaje se deben tener en cuenta estrategias que propicien un aprendizaje por descubrimiento y el trabajo en equipo, de manera tal que el estudiante parti-cipe activamente en la construcción de su propio

11Se entiende la se-sión de aprendizaje

como la interacción, en tiempo real,

entre el docente y los estudiantes con la fi -

nalidad de desarrollar y lograr determinados

aprendizajes.

aprendizaje. Asimismo, deberán utilizarse de manera adecuada los recursos educati-vos con que se cuenta (texto del estudiante, manual del docente, bibliografía del área, orientaciones para el trabajo pedagógico); y considerar la evaluación como un proceso permanente, con sus respectivos instrumen-tos de medición.

La estructura sugerida de una sesión de aprendizaje está compuesta de:˙ Aprendizaje esperado: los aprendizajes esperados están orientados al desarrollo de capacidades y propician el desarrollo de ac-titudes.˙ Secuencia Didáctica: se diseña en térmi-nos de actividades de aprendizaje seleccio-nadas en función de los procesos cognitivos o motores de la capacidad específi ca.˙ Evaluación (indicadores): regula el pro-ceso de aprendizaje. Se deben explicitar los criterios, indicadores, técnicas y, de ser el caso, los instrumentos. En algunas ocasiones genera un califi cativo, en otras no.Sabemos a partir de nuestra labor docente y el DCN, que el desarrollo de capacidades implica apelar a constructos pedagógicos (aprendizajes esperados e indicadores) que guarden coherencia interna. Asimismo, dado que el desarrollo de una capacidad específi ca

implica un conjunto de procesos mentales (y, por ende, cierto grado de complejidad) debe-mos tener en cuenta la gradualidad de los procesos mentales involucrados. Es necesa-rio explicitar que no se pueden identifi car to-dos los procesos mentales involucrados en el desarrollo de una capacidad específi ca (una aproximación formal se puede dar desde la Neurociencia). Apelando a una fi gura literaria – la metáfora – podemos afi rmar que el desarrollo de una capacidad específi ca es como ascender una escalera; esto es comparable a la acción de subir un número fi nito de peldaños de una escalera atendiendo la gradualidad de los pro-cesos mentales involucrados. Es decir, tenemos que subir sendos peldaños gradualmente.

2.3.2.1. Por ejemplo, analizar una función cuadrática, implica que debemos asegurar-nos previamente que nuestros estudiantes han logrado u obtenido –al menos– los siguientes aprendizajes esperados:

˙ Identifi ca funciones cuadráticas.˙ Elabora gráfi cas de funciones cuadráticas.˙ Infi ere el comportamiento de funciones cuadráticas.˙ Interpreta funciones cuadráticas.

Dado que, por ejemplo, la capacidad específi ca IDENTIFICA se entiende como la capacidad para ubicar en el tiempo, en el espacio o en algún medio físico elementos, partes, caracte-rísticas, personas, indicaciones u otros aspectos; en nuestro caso el aprendizaje esperado identifi ca funciones cuadráticas implica:



Regla de correspondencia:f(x) = ax2+bx+c

Características:i) Polinomio en una variableii) Grado absoluto 2 Función Cuadrática

Búsqueda y recepción de la información

Caracterización Expresión o reconocimiento

También:

Gráfi ca en el plano:

Características:

i) Vértice (h; k)ii)Eje de simetríaiii) Concavidad

Función Cuadrática

Expresión o reconocimientoCaracterización


Como podemos observar la capacidad IDEN-TIFICA se manifestó o desarrolló mediante un conjunto de procesos cognitivos. Sin embargo, no se pretende afi rmar que el desarrollo de la ca-pacidad IDENTIFICA involucra sólo tres procesos cognitivos; éstos pueden ser más o menos de-pendiendo de la complejidad del contenido que se utiliza como medio para desarrollar la capaci-dad. Tampoco se pretende manifestar que éstos son procesos independientes; por el contrario, están relacionados entre sí y ocurren en forma simultánea en muchos de los casos. Asimismo, no pretendemos señalar que el desarrollo de la capacidad es sólo consecuencia exclusiva de los procesos cognitivos, sino también está supedita-da a procesos afectivos, motores y valorativos.

2.3.2.2 Teniendo en cuenta lo expresado en 2.3.2 y en el marco del Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional (PEHLA) se debe evidenciar en las sesiones de aprendizajes: ˙ Planteamiento de interrogantes que

propicien el razonamiento riguroso.˙ Situaciones problemáticas relacionadas a los contenidos.˙ Resolución de problemas teórico-prácticos vinculados a la vida diaria.˙ Elaboración de organizadores visuales.

˙ Recopilación de data vinculada a las carac- terísticas del ámbito geográfi co local. ˙ Razonamiento inferencial.˙ Proyectos de investigación relacionados a procesos productivos y fl ujo comercial.˙ Identifi car costos y benefi cios en el desarrollo de proyectos.˙ Elementos de contabilidad básica.˙ Modelización matemática 2.3.2.3 Supongamos que ya hemos presentado la información relacionada con el contenido Fun-ciones cuadráticas (texto del estudiante de 4º de secundaria: páginas 21 - 26). Luego de presentar la información sobre Funciones cuadráticas –en cinco horas lectivas– y teniendo en cuenta que los estudiantes están en la capacidad de:

˙ Identifi car funciones cuadráticas a partir de su regla de correspondencia.˙ Identifi car funciones cuadráticas en el plano cartesiano.˙ Inferir el comportamiento de funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo o su punto de mínimo.˙ Interpretar funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo o su punto de mínimo.

−4 −3 −2 −1 1 2−1

−2

−3

−4

3

2

1

12Tiempo: 2 horas pedagógicas. La es-tructura sugerida de una sesión de apren-dizaje es: Aprendizaje esperado; Secuencia Didáctica y Evalua-ción (indicadores).

SESIÓN DE APRENDIZAJE (PEHLA)12

I. Aprendizaje esperado: Analiza funciones cuadráticas II. Secuencia didáctica: El docente propone y resuelve, en el marco del PEHLA, una situa-ción problemática que se puede modelar mediante la gráfi ca de una función cuadrática:

Situación problemática.- Suponga que el gerente de una empresa que produce y vende CD’s multimedia educativos ha determinado que su función utilidad se modela mediante la regla de correspondencia U(x)=4x-x2; donde U está expresada en miles de dólares y x está expre-sada en miles de CD’s producidos y vendidos.

A partir de la gráfi ca adjunta de la función Utilidad U nos piden determinar el valor de verdad de las siguientes afi rmaciones:

˙ Al producir y vender 2000 CD se hace máxima la utilidad.˙ La utilidad máxima es $ 4000.˙ La utilidad es la misma al producir y vender 1000 CD que producir y vender 3000 CD.˙ U(1,8) < U(3).

De 2.3.2.1 y 2.3.2.2 y partiendo de la premisa que como docentes planifi camos nuestras se-siones de aprendizaje –al menos– con una semana de anticipación se propone, a continuación, una sesión en el marco del PEHLA:

A partir de la gráfi ca adjunta de la función Utilidad U nos piden determinar el valor de verdad de las siguientes afi rmaciones:


EnunciadoEl precio p y la cantidad vendida x de cierto producto cumplen la ecuación de demanda x= -5p + 100; 0 ≤ x ≤ 100 .

1. Formula el ingreso I como una fun-ción de x: I(x) = p.x

2. Elabora la gráfi ca del ingreso I en el plano cartesiano (primer cuadrante)

3. Discrimina el número de artículos que debe venderse para maximizar el in-greso.

4. Identifi ca el ingreso máximo.

5. Infi ere datos implícitos a partir de la regla de correspondencia y de la gráfi ca de la función I.

Fila A

˙ Al producir y vender 2000 CD se hace máxima la utilidad.˙ La utilidad máxima es $ 4000.˙ La utilidad es la misma al producir y vender 1000 CD que producir y vender 3000 CD.˙ U(1,8) < U(3).

A continuación, se sugiere que los estudiantes –en equipo– resuelvan de su texto las siguientes situaciones problemáticas: 127; 128 y 129 (página 26). Seguidamente, el docente interactúa con los distintos equipos de trabajo conformados. Se invita a los diferentes equipos a exponer sus resultados; asimismo, se propicia el intercambio de opiniones entre los estudiantes, lo cual implica la toma de decisiones, comparación y selección de la respuesta apropiada para los requerimientos planteados y comunicación de los alcances de su trabajo desde la modelación matemática con funciones cuadráticas.

III. Evaluación (indicadores): Finalmente, teniendo en cuenta que la evaluación es de carácter formativo para regular el proceso de aprendizaje y está dirigida a verifi car los avances o difi -cultades en el desarrollo de los aprendizajes, se solicita a los estudiantes –de manera indi-vidual– resolver la siguiente Ficha de Verifi cación (se entregan dos Fichas de Verifi cación Fila A y Fila B):

500

400

300

200

100

I(x)

20 40 60 80 100

x

EnunciadoEl precio p y la cantidad vendida x de cierto producto cumplen la ecuación de demanda x= -5p+ 100; 0 ≤ p ≤ 20 .

1. Formula el ingreso I como una función de p: I(p) = p.x

2. Elabora la gráfi ca del ingreso I en el plano cartesiano (primer cuadrante)

3. Discrimina el precio que debe fi jarse para maximizar el ingreso.

4. Identifi ca el ingreso máximo.

5. Infi ere datos implícitos a partir de la regla de correspondencia y de la gráfi ca de la función I.

Fila B

Como vemos, en esta sesión de aprendizaje el docente ha media-do para que los estudiantes pue-dan inferir datos implícitos a partir de la regla de correspondencia de una función cuadrática dada. Es decir, apelando a la metáfora de la ascensión de la escalera, tenemos:

FORMULA

ELABORA

DISCRIMINA

IDENTIFICA

INFIERE

Dado que la capacidad específi ca FORMULA se entiende como la capacidad que permite interrelacionar elementos para pre-sentar resultados, nuevas construcciones o solucionar problemas; en nuestro caso de la Ficha de Verifi cación (Fila A), implica:

Variables:

I: función ingresox: nº de artículosp: precio

Identifi cación de los elementos

Interrelación de elementos

Presentación de la interrelación

Enunciado de laFicha de

Verifi cación A


500

400

300

200

100

I(p)

4 8 12 16 20

p


2.3.3 ¿Gradualidad o jerarquización de capacidades? Considerando que cada sesión de aprendizaje es una situación única e irrepetible13 y apelando a la perspectiva sincrónica y diacrónica14 se puede afi rmar que en una sesión de aprendizaje –en un tiempo dado– convergen (sincronía) un conjunto de procesos pedagógicos: motivación permanente, recuperación de saberes previos, confl icto cogni-tivo, procesamiento de la información, evaluación, retroalimentación, metacognición, entre otros.

Asimismo, dado que en el enfoque de desarrollo de capacidades se tiene en cuenta la comple-jidad del aprendizaje esperado, en dicha sesión de aprendizaje se debe evidenciar la gradualidad (diacronía) de los procesos mentales involucra-dos en el desarrollo de una capacidad específi ca. Sin embargo, si bien es cierto que la gradualidad implica cierta jerarquización de los procesos, ésta –obviamente– no es absoluta. Por ejemplo, de la ascensión de la escalera dada en 2.3.2.1:

IDENTIFICA

ELABORA

INFIERE

INTERPRETA

ANALIZA

Como se observa, la capacidad ELABORA se ubica un peldaño inmediato posterior a IDENTIFICA. No obstante, como consecuencia del instrumento elaborado en 2.3.2.3 tenemos que:

FORMULA

ELABORA

DISCRIMINA

IDENTIFICA

INFIERE

13La sesión de apren-dizaje del cuarto grado de

secundaria de la sección A no es la misma que la del cuarto grado de

secundaria de la sección B; aún tratando el mismo

contenido por primera vez o planteando el mismo aprendizaje esperado.

14DE SAUSSURE, Ferdinand. Curso de Lingüística General.

La capacidad IDENTIFICA se ubica dos peldaños inmediatamente posteriores a la capacidad ELABO-RA; por lo que no es necesariamente cierto que la capacidad específi ca IDENTIFICA sea más compleja que la capacidad específi ca ELABORA o que la ca-pacidad específi ca ELABORA sea más simple que la capacidad específi ca IDENTIFICA. Lo expresado es evidencia de la riqueza del enfoque de desarrollo de capacidades, dado que no se parte de una suerte de taxonomía de los aprendizajes a rajatabla.

2.3.4. Las Experiencias de AprendizajeUna Experiencia de Aprendizaje es una actividad que se orienta intencionalmente a la generación de procesos cognitivos o mentales para el desarrollo de capacidades y actitudes, así como la construcción de conocimientos. Las actividades presentadas im-plican que los estudiantes experimenten diversas y variadas situaciones relacionadas entre sí, que los lleven a realizar con gusto las tareas matemáticas, desarrollar hábitos mentales matemáticos y en-

tender y apreciar el rol que la matemática cumple en situaciones de la vida cotidiana. Así, se pretende que los estudiantes:

˙ Se animen a explorar, realicen estimaciones e inclusive cometan errores y los corrijan de mane-ra que ganen confi anza en su propia capacidad de dar respuesta a situaciones problemáticas.˙ Puedan leer, escribir, debatir y elaborar conjeturas sobre situaciones problemáticas reales; es decir, que formulen hipótesis, las verifi quen y elaboren argu-mentos sobre la validez de las hipótesis formuladas.˙ Comprendan su entorno haciendo matemáti-ca de manera activa.

Se espera que el estudiante desarrolle las capa-cidades del Área de Matemática de Educación Se-cundaria al enfrentar situaciones problemáticas que se constituyan en un reto y que pongan en juego conocimientos matemáticos relevantes. Hay que tener en cuenta que una situación problemática

dada puede necesitar más de una estrategia. Cada docente puede realizar las adaptaciones o modi-fi caciones pertinentes, siempre y cuando tome en cuenta los recursos disponibles y la realidad de su institución educativa: currículo diversifi cable.

A fi n de que la comprensión de los estudiantes sea más profunda y duradera, se ha de propo-ner situaciones problemáticas –bajo el rótulo de Experiencias de Aprendizaje– cuya solución les posibilite conectar ideas matemáticas. Así, pueden identifi car conexiones matemáticas en la interacción entre contenidos matemáticos, en contextos que relacionan la matemática con otras áreas y en sus propios intereses y experiencias. De este modo se posibilita además que se den cuenta de la utilidad de la matemática.

2.3.5. Uso de recursos educativosDado que los docentes son los encargados de mediar en los aprendizajes de los estudiantes empleando todos los recursos a su alcance para cumplir con esta responsabilidad, nuestro punto de partida es la optimización del uso de los re-cursos educativos (texto del estudiante, manual del docente, guías, OTP de Matemática, etc.) du-rante los procesos pedagógicos. Hay que tener en cuenta que no es sufi ciente que los recursos educativos lleguen a las instituciones educativas, existe la necesidad de que los recursos educati-vos lleguen a las aulas y sean utilizados tanto por docentes como por estudiantes; para lo cual se necesita que el docente tenga conocimiento de:˙ Estrategias que activen los procesos cogni-tivos y afectivos de los estudiantes.˙ Actividades que propicien el desarrollo de la curiosidad y el interés en el área que enseña.˙ La bibliografía existente en el CRE; por ejemplo, los módulos de biblioteca.˙ Información de la(s) disciplina(s) teórica(s) vinculada(s) con el Área de Matemática.

El MED desarrolla un programa de entrega gratuita de textos para los estudiantes en seis áreas curriculares de secundaria, entre ellas Matemática. Asimismo, cada docente recibe un

Manual correspondiente a su área, así como tiene acceso a material complementario: Orien-taciones para el Trabajo Pedagógico; Calcula-doras Científi cas DS-737CQ15; algeplanos; ba-lanzas; módulos con temática del área y guías metodológicas. Los materiales mencionados se encuentran en el Centro de Recursos de cadaInstitución Educativa.

2.3.5.1 Las TIC16 como recurso didácticoHoy en día no se puede negar que las TIC forman parte del quehacer educativo, convirtiéndose no sólo en una ventaja para quien las utiliza, sino también en una necesidad. Sin embargo, el docente debe seleccionar con criterio los re-cursos informáticos: software educativo, mate-rial audiovisual, multimedia, apletts, Internet (web sites, WebQuest, blogs, etc.) adecuados para reforzar los aprendizajes. De igual modo, el momento y la forma de utilizar este recurso tecnológico requiere de mucha pericia, que el docente irá perfeccionando con la práctica. Con el desarrollo de las TIC, los procesos peda-gógicos encuentran en los recursos informá-ticos (por ejemplo los softwares educativos) re-cursos didácticos que favorecen un aprendizaje por descubrimiento y el trabajo en equipo. De lo que se trata es que las nuevas tecnologías favorezcan el desarrollo de las capacidades de área priorizadas en los tres niveles de la EBR17 (Inicial, Primaria y Secundaria). Sin embargo, la tecnología no es una panacea; la tecnología en sí misma no es una actividad educativa, es una herramienta, un medio para alcanzar un objetivo. Por ello, se deben encontrar canales viables y productivos para integrar las nuevas tecnologías en los procesos pedagógicos.a. Diagnóstico y elección de software educa-tivo.- Sugerir una lista de cotejo para la evalua-ción de software educativo puede tener un sesgo en relación a la efi cacia y efi ciencia en el uso de un determinado software. Por ejemplo, podría darse el caso que se descarte un software en particular y sin embargo ser útil para el desarrollo de capaci-dades específi cas de una determinada área de la EBR. A continuación, se presentan los aspectos


15Se ha entregado a cada Institución Educativa, junto con un manual de uso y conservación.

16TIC: = Tecnologías de la Información y Comunicación

17EBR: = Educación Básica Regular


relevantes a tener en cuenta en el momento de elegir un software educativo:

a.1 El software como recurso didáctico.- El uso de software educativo constituye una herramienta de apoyo efectiva durante las sesiones de apren-dizaje18. El docente va a poder organizar y presentar mejor sus clases, lo cual implica ahorro de tiempo a la hora de presentar un tema, menos desgaste físico en cuanto a voz, integración de los recursos educa-tivos ya existentes (texto del estudiante, manual del docente, bibliografía del área, orientaciones para el trabajo pedagógico) y retroalimentación efectiva de los temas tratados. Al implementar su uso, se va a propiciar en el estudiante: el desarrollo de capacida-des específi cas al participar activamente en la cons-trucción de su propio aprendizaje, una interacción con el computador, la posibilidad de una educación personalizada así como una retroalimentación in-mediata de los contenidos temáticos tratados.

a.2 Perfi l del docente usuario de software educativo.- La introducción de las TIC en los procesos pedagógicos se encuentra con una serie de resistencias naturales. Existe resisten-cia porque la tecnología perturba las formas acostumbradas de enseñanza organizada. Hay que tener en cuenta que la introducción de las TIC en la gestión escolar generan en el docente una serie de interrogantes: ¿qué va a cambiar en mis clases si incorporo estas nuevas herra-mientas?, ¿cómo las puedo aprovechar en clase?, ¿dónde puedo aprender a usarlas co-rrectamente?, ¿cuenta la institución educativa con infraestructura idónea para el diseño de sesiones de aprendizaje que requieran de TIC? Toda nueva tecnología es utilizada con dominio y naturalidad luego de un proceso de capacitación. El uso del software educativo como herramienta metodológica implica el dominio instrumental del mismo por parte del docente. Sin embargo,

Debemos tener presente que la elección de un software educativo en particular como recurso didáctico, necesita un sustento técnico peda-gógico para su uso, dado que por sí mismo no va a resolver los desafíos y las difi cultades que se desprenden en los procesos pedagógicos. Son los docentes quienes deben evaluar y se-leccionar los softwares educativos de acuerdo con las posibilidades que estos ofrecen como recurso didáctico en su labor docente. Todos los recursos didácticos, convencionales y nuevos, pueden y deben coexistir en el aula. El software educativo surge, en este contexto, como instrumento para ser usado libre y creati-vamente por docentes y estudiantes en la reali-zación de las actividades más diversas. Profesor y estudiante pasan a ser actores de un mismo proceso: el desarrollo de capacidades.b. Efi cacia y efi ciencia.- Se entiende por efi -cacia a la cualidad del software para alcanzar los aprendizajes esperados19 de una determi-nada unidad didáctica. Por otro lado, cuando un recurso didáctico le otorga dinámica a los procesos pedagógicos, se puede afi rmar que es un recurso efi ciente. En este contexto, el soft-ware como recurso didáctico es efi ciente en la medida que optimiza las energías de los actores involucrados. En consecuencia, al seleccionar un software educativo se debe explicitar: las carac-terísticas técnicas del mismo; los contenidos temáticos a tratar; defi nir los aprendizajes es-perados e indicadores; plantear las situaciones problemáticas a resolver y plantear las activi-dades y/o estrategias relacionadas a los apren-dizajes esperados.

no deja de ser cierto que el dominio de una téc-nica no garantiza que ésta se use de la mejor manera. Hay que tener en cuenta que nuestras motivaciones, expectativas, temores, dudas, conocimientos y nuestras actitudes favorecen o limitan la incorporación de cualquier tecnología.

19Aprendizaje esperado: = capacidad específi ca +

contenido diversifi cado.

sesiónde

aprendizaje

18Se entiende la sesión de aprendizaje como la

interacción, en tiempo real, entre el docente y los

estudiantes.

Bibliografíaespecializada

3 . ASPECTOS PR IOR IZADOS EN EL PROGRAMA ESPEC IAL DE LA HORA LECT IVA AD IC IONAL

A continuación, a manera de ejemplos, se presentan los aspectos a tratar en la implemen-tación de la hora lectiva adicional. Resulta importante tener en cuenta que el logro de estos aprendizajes (denominados aspectos en la Resolución Ministerial Nº 0027-2007-ED) no son diferentes a los que están en el DCN, sino que han sido extraídos de él por su relevancia para el desarrollo de las capacidades matemáticas.

3.1 PLANTEAMIENTO DE INTERROGANTES QUE PROPICIAN EL RAZONAMIENTO RIGUROSO

La geometría es el resultado de una interacción entre el mundo real y nuestra capacidad de abstracción. Esta es la idea central de la presente Experiencia de Aprendizaje. Específi ca-mente se presenta el cálculo de áreas superfi ciales, el concepto de volumen y el cálculo de volúmenes de cilindro circulares rectos. Se pueden hacer variaciones trabajando con otros cuerpos geométricos: prismas, pirámides, esferas, etc.

3.1.1.¿Qué necesita saber el estudiante para dar solución a esta Experiencia de Aprendizaje?Cuerpo de revolución.- Son aquellos cuerpos que se generan al rotar una superfi cie plana alrededor de una recta fi ja tomada como eje. Por ejemplo el cilindro circular recto:

Cilindro recto

R = ...................... h = ......................Área lateral = ...................... Área total = ...................... Volumen = ......................

3.1.2 ¿Qué aprenden los estudiantes?

˙ Organizan los datos disponibles.˙ Identifi can interrogantes e incógnitas.˙ Anticipan argumentos lógicos y el uso pertinente de algoritmos.˙ Elaboran diseños, tablas y resultados.˙ Analizan estrategias de resolución de problemas.˙ Evalúan estrategias metacognitivas para la resolución de problemas.

h

R

R

h



3.1.3 Secuencia didácticaSe pide al estudiante que calcule y compare áreas superfi ciales. El docente pone énfasis en la necesidad que tiene el estudiante de pre-cisar las unidades de medidas a considerar (por ejemplo: cm, cm2, cm3). Asimismo, es importante recalcar que el área es un núme-ro que se le asigna a una región determi-nada. Se sugiere un procedimiento análogo para el cálculo y comparación de volúmenes. Se pide a los estudiantes trabajar en equi-pos conformados por cuatro integrantes. El docente interactúa con los distintos equipos conformados. A continuación se presentan las siguientes actividades:

Elaboración de costos: A una empresa de servicios se le ha encargado colocar etique-tas a los tarros de leche de una marca cono-cida. Los tarros de forma cilíndrica, tienen un

diámetro de 6 cm y 10 cm de altura. La eti-queta debe cubrir toda la superfi cie lateral. El metro cuadrado de papel que empleará la empresa de servicios, cuesta 1,5 nuevos soles. El recorte del papel al tamaño re-querido por cada tarro, más la colocación de la misma cuesta 25 céntimos de nuevo sol. Además, la etiqueta de la marca de leche y el dibujo co-rrespondiente cuesta 45 céntimos de nuevo sol para cada tarro. Si en total se encarga la colocación de etiquetas a 20 mil tarros, se quiere saber:

˙ ¿Qué cantidad de papel, en metros cuadra-dos, se empleará en esta labor?˙ ¿Qué costo signifi ca para la empresa de ser-vicios cumplir con el trabajo encomendado?˙ Si se quiere ganar el 30% del costo, ¿cuánto debe cobrar la empresa de servicios?

Pozo de agua: Un pozo de agua cuya forma es cilíndrica tiene 15 metros de profundidad, un radio interior de 1,5 metros y el espesor de la pared es de 0,5 metros. Se pide obtener:

˙ La capacidad de agua al llenar el pozo.˙ El área lateral y total de la pared interior del pozo.˙ El área lateral y total de la pared exterior del pozo.˙ El volumen de la pared del pozo.

3.2 SITUACIONES PROBLEMÁTICAS DE LA VIDA DIARIA

3.2.1 Experiencia de Aprendizaje20.- Nuestro amigo Gabino sale de su casa, camina por la calle y se dirige hasta una librería donde compra unos plumones para realizar una asignación. Luego, regresa a su casa a cumplir con las labores escolares. El

gráfi co adjunto describe el movimiento de Gabino teniendo en cuenta que el tiempo transcurre en minutos, desde el instante en que salió de su casa, y la distancia, hasta su domicilio, se expresa en metros en cada instante.

h

r

rR

20Se hace explícita la necesidad de manejar

información de la componente Geometría y Medida (Plano Carte-

siano; ejes coordenados; par ordenado; etc.) y la Componente Número, relaciones y funciones

(variable dependiente e independiente; regla de correspondencia de una función; dominio de una

función; etc.)

r

h

r

h2 π r

r

R

Se solicita al estudiante que:

˙ Formule la regla de correspondencia que expresa la distancia recorrida.˙ Interprete la función distancia.˙ Identifi que, en el plano cartesiano, la posición inicial y la posición fi nal de Gabino˙ Discrimine la distancia recorrida por Gabino desde la casa a la librería y el tiempo que tarda en llegar a ésta.

Además, se pide contestar las siguientes preguntas:

˙ ¿Cuánto tiempo permanece Gabino en la librería?˙ ¿Cuánto tiempo empleó Gabino para volver a casa?

3.2.2 En el campo de la Ingeniería Civil al momento de realizar el diseño y posterior cons-trucción de un puente se puede identifi car, como en la fi gura adjunta, un arco semielíptico. Dicho arco tiene la forma de la mitad superior de una elipse y es usado para sostener un puente que debe atravesar un río de 24 metros de ancho. En el centro del arco la longitud de la altura es de 8 metros, desde el centro del río. Esta descripción nos invita a plantear una situación problemática de la vida real. Por ejemplo, se puede pedir que se deduzca la ecuación de la elipse que contiene al arco semielíptico21. Además, se puede pedir encontrar la altura del arco a 3, 6 y 9 metros desde el centro del río.

21Se sugiere seleccionar un sistema de coodena-das rectangulares adecuado, por ejemplo hacer que el Eje X coincida con el nivel del agua y el Eje Y pase por el centro del arco.

8 m

24 m

200

100

distancia

5 10 15 20 25 tiempo


3.3 ELABORACIÓN DE ORGANIZADORES VISUALES

La actividad lúdica y los organizadores visua-les.- Los juegos matemáticos, planteados como desafíos cognitivos, posibilitan un acercamiento extraordinario al mundo de los números y de las formas. Tienen la particularidad de trascender el aula de clase y llegar hasta los hogares como en-tretenimiento colectivo que, al ser compartido en familia, motiva el interés y el placer por aprender. Eric Jensen22 , al referirse a la infl uencia del entorno, plantea que el aprendizaje se debe entender como un reto, es decir algo novedoso y desafi ante, que a su vez, requiere de una retroalimentación interac-tiva o feedback; se sugiere variar las estrategias de enseñanza con frecuencia. Recomienda el uso de rompecabezas, juego de palabras, acertijos, cruci-gramas matemáticos; son excelentes para generar procesos mentales que converjan al desarrollo de capacidades específi cas, así como realizar proyec-tos de aprendizaje, practicar juegos lógicos de com-putadora, trabajos grupales, realizar excursiones y elaborar revistas.

En este contexto, dado que se necesita organizar e internalizar la información (entendida como un conjunto de reglas y/o procedimientos a seguir) re-sulta pertinente apelar a estructuras visuales para organizar tanto la información como los procesos cognitivos involucrados en sendas actividades lúdi-cas . A continuación, se presentan un conjunto de actividades lúdicas bajo el rótulo de regularidades numéricas, las cuales involucran el uso de operacio-nes combinadas:

3.3.1 ¿Qué aprenden los estudiantes?˙ Discriminan procesos cognitivos usados en el razonamiento.˙ Anticipan el uso pertinente de algoritmos.˙ Organizan los datos disponibles.˙ Analizan condiciones determinadas.˙ Elaboran resultados.˙ Evalúan conceptos y relaciones.

3.3.2 Secuencia didácticaEl docente presenta los juegos a realizar. Se pide a los estudiantes trabajar en equipos conformados por cuatro integrantes. Los estu-diantes leen las instrucciones y/o reglas pro-puestas para todos por igual para así poder participar en el juego matemático respetando los turnos y prestando atención al desarrollo del mismo. El docente interactúa con los dis-

tintos equipos conformados. Al fi nalizar la ac-tividad se puede formular las siguientes pre-guntas a los participantes: ¿Qué te pareció el juego? ¿Es un juego donde interviene el azar o el razonamiento? ¿Qué capacidades crees que desarrollas en la actividad?

3.3.3 Regularidades numéricas3.3.3.1 Cuadrados mágicos.- Las fi las, colum-nas y diagonales tienen la misma suma. De-nominándose a dicha suma número mágico. Suma 15: Hay que distribuir los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en los nueve casilleros de un cuadrado de 3x3, de modo que éste sea mágico. Se debe permitir al alumno ensayar hasta obtener el cuadrado mágico deseado, y no ofrecer las respuestas o artifi cios que inhi-ben el desarrollo de habilidades, limitándolo a repetir las instrucciones.

2 9 4

7 5 3

6 1 8

3.3.3.2 Triángulos mágicos.- De manera simi-lar hay que distribuir los números: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9, de modo tal que la suma de cada lado del triángulo sea 20. Presentamos dos soluciones. Anímate a encontrar las otras soluciones.

Además de promover la búsqueda de más solu-ciones, es oportuno también inventar desafíos y discriminar los casos que no son posibles como fi guras mágicas. Por ejemplo, para el caso de los triángulos mágicos, podemos usar recursos al-gebraicos para la construcción de estas fi guras:Para que sea mágico, los lados deben sumar igual a k. Entonces planteamos:

x + a + b + y = ky + c + d + z = kx + e + f + z = k 22 Autor del libro Cerebro y

aprendizaje, Madrid. Editorial Narcea, 2004

5

8 2

64

3 9 1 7

5

8 2

46

1 3 7 9

3.3.3.4 Los números a partir de 1 son arreglados en cuatro columnas como se muestra a continuación:

A B C D

1 2 3 48 7 6 59 10 11 12

......... ........ 14 13

Sumando las 3 ecuaciones y reemplazando:

x + y + z + 45 = 3kx + y + z mínimo: 1 + 2 + 3 = 6x + y + z máximo: 7 + 8 + 9 = 24

Entonces “k” puede ser: 17, 18,..., 23

3.3.3.5 Se juega un triangular de fútbol sala entre Cristal, Alianza y Universitario; en el que cada equipo juega dos partidos. Lue-go de concluido el triangular, se presenta la siguiente tabla con los goles a favor (GF) y los goles en contra (GC) que tuvo cada equipo. Encontrar cuántos goles hubo en el partido “ CRISTAL - UNIVERSITARIO”

Equipo GF GC

CRISTAL 6 3Alianza 3 6

Universitario 4 4

¿En qué columna debe aparecer el número 101?

Hemos obtenido un método para inventar triángulos mágicos. Son procesos que el docente y los estudiantes pueden abordar. En nuestro ejemplo presentado: k = 20, lue-go x + y + z = 15. Estas deducciones nos permiten invertir menor tiempo en nuestros ensayos de solución, así como la imposibili-dad de solución. Por ejemplo, no hay trián-gulo mágico cuyos lados sumen 24. No es necesario intentarlo. Hemos visto que todos podemos identifi car las restricciones y de ello deben estar informados los estudiantes

3.3.3.3 Colocar los números del 1 al 8 , uno en cada casilla, en la fi gura que se muestra, de tal manera que las casillas correspondien-tes a dos números consecutivos no se toquen ni por los lados ni por los vértices.


y

b c

da

x e f z

3.4 RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN ESTADÍSTICA RELACIONADA A CARACTERÍSTICAS DE UN ÁMBITO GEOGRÁFICO

3.4.1 Una empresa agrícola paga sueldos a sus trabajadores que varían de S/.300 a S/.800 mensuales, distribuidos en 5 intervalos de igual longitud con frecuencias porcen-tuales de 15%, 20%, 30%, 20% y 15% respectivamente. Se pide:

˙ Organizar los datos disponibles en una tabla de distribución para datos agrupados en intervalos.˙ Calcular la media de los sueldos.˙ Calcular la mediana de los sueldos.˙ Inferir el porcentaje de trabajadores que tienen sueldos superiores al salario medio.

Fruta Frecuencia

Sauco 8

Plátano 13

Cocona 10

Total 31

Elabora, en la siguiente cuadrícula, un diagrama de barras que represente los datos de la tabla anterior:

3.4.3 En la casa de Wilson crían gallinas blan-cas (B); negras (N) y rojas (R). Wilson elaboró el diagrama que se muestra adjunto para repre-sentar la cantidad de gallinas de cada color.

A partir del diagrama, si hay 15 gallinas blancas, ¿cuántas no son blancas?

3.4.2 Vitoko estaba interesado en saber con qué frecuencia come fruta, así que durante el mes de mayo apuntó el nombre de cada fruta que comía. Luego elaboró la siguiente tabla:


B N RCOLOR

El diseño, elaboración, formulación y apli-cación de un proyecto de investigación per-mite la participación activa de los estudiantes desde su concepción a nivel de idea, hasta su planteamiento como estudio de prefactibili-dad y, luego de pasar por una serie de fi ltros, su viabilidad y aplicación. La posible solución de la situación problemática identifi cada en el proyecto debe concretarse en un producto, bien o servicio.

3.5.1 Factibilidad de un proyecto productivo.- Se sugiere la siguiente secuencia:

˙ Identifi car las necesidades, características o demandas del ámbito geográfi co local al que se desea dar cobertura con el proyecto de investigación. Por ejemplo, en una Insti-tución Educativa de la Amazonía se ha identi-fi cado que los estudiantes tienen defi ciencia en minerales como el hierro y en vitamina B. Asimismo, una característica de la localidad es la producción de frutos como la cocona.˙ Identifi car proyectos productivos que res-pondan a estas necesidades, así como identifi car costos y benefi cios en el diseño, elaboración, formulación y aplicación de los proyectos˙ Realizar un listado de al menos ocho ideas que puedan plasmarse en un proyecto, considerando siempre que las propuestas deben satisfacer las necesidades plantea-das. Por ejemplo en esta localidad se puede elaborar mermelada de cocona, jugos y zumo de cocona, yogurt de cocona o helados de co-cona, chocotejas elaboradas con frutos de la localidad (por ejemplo, cocona, sauco). Hasta esta etapa, los estudiantes han identifi cado procesos productivos que presumiblemente tendrán una respuesta del mercado, dado que de alguna manera satisfacen una nece-sidad local.

˙ Realizar una evaluación (recogida de data, organización y sistematización de la infor-mación, interpretación y análisis de la data) exhaustiva para determinar la viabilidad del proyecto formulado. Asimismo, defi nir un conjunto de fi ltros que determinen la viabi-lidad del proyecto.

Teniendo en cuenta la secuencia sugerida, se puede observar que los estudiantes par-ticipan en la programación y toma de deci-siones; además, un proyecto de investigación puede ser desarrollado por cualquiera de las áreas curriculares o por un conjunto de ellas. Por ejemplo, supongamos que el proyecto empresarial seleccionado es “Producción y comercialización de yogurt de cocona”. De manera natural, este proyecto se puede lle-var a cabo desde las áreas de CTA, Educación para el Trabajo y Matemática. Sin pérdida de generalidad, si la producción - en un primer momento - es artesanal (yogurt casero), se debe tener en cuenta las siguientes equiva-lencias:

3.5 PROYECTOS DE INVESTIGACIÓN RELACIONADOS A PROCESOS PRODUCTIVOS

Premisas:

i) Costo = Cv + Cf ; donde Cv : costo varia-ble, Cf : costo fi jo.ii) Ingreso = (precio unitario)*(número de artículos vendidos)iii) Si la Utilidad es mayor que cero, entonces existe ganancia.


donde Pv : precio de venta, Pc : precio de costo; g : ganancia.

Utilidad = Ingreso - Costo

Pv = Pc + g


Premisas:

i) Pv > Pc ii) Si g > 0, se denomina ganancia Si g < 0, se denomina pérdida Si g = 0, no se gana ni se pierde23

3.6 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Y SITUACIONES PROBLEMÁ- TICAS DE LA VIDA

3.6.1 En una ciudad de la selva central, el alquiler de motos cuesta S/. 15 el día más S/. 0,50 por kilómetro recorrido.

˙ Sea x la distancia recorrida, en kilómetros, en un día de alquiler. Sea y el costo de alquilar una moto, por el lapso de un día, para un recorrido de x kilómetros.

˙ Completa la siguiente tabla:

x: distancia recorrida, en kilómetros, en un día de alquiler 10 20 35 45 58

y: costo de alquiler, por día, en nuevos soles

˙ Formula la relación o correspondencia que denota el costo de alquilar una moto, en el lapso de un día, para x kilómetros.

3.7 RAZONAMIENTO INFERENCIAL DEDUCTIVO

3.7.1 Situación de la vida diaria.- Observa el recibo de luz adjunto y responde las siguientes preguntas:

˙ En el detalle de consumo, ¿cuál es la lectura del mes actual?, ¿cuál es la lectura del mes anterior?˙ ¿Cuántos kwh se han consumido desde el 09/07/2006 y el 09/08/2006?˙ Si el cargo por energía correspondiente al consumo del mes actual es de S/.72,72 ¿cuántos nuevos soles cuesta 1kwh?˙ Si en el siguiente mes consume 250 kwh, ¿cuánto pagará por cargo de energía?˙ ¿Cuántos kwh deberá consumir para pagar S/. 66,72?

3.6.2 La trayectoria del salto de un animal suele ser parabólica. La fi gura ilustra el salto de un conejo en un plano coordenado. La longitud del salto es de 9 pies y la altura máxima con respecto al suelo es 3 pies. Encuen-tra una regla de correspondencia que permita calcular la trayectoria del conejo.

trayectoria del conejo

9

3

23Sin pérdida de generalidad se puede afi rmar que se ha perdido tiempo en la ejecución del proyecto y,

también, que se ha ganado experiencia en la ejecución

del proyecto.

24Atribuido a Herón de Alejandría

3.7.2 Aproximaciones e iteraciones

La función raíz cuadrada.- La función real de variable real f, cuya regla de correspondencia es , está defi nida para el conjunto de números reales no negativos.

La notación se utiliza para representar al número real raíz cuadrada de x, x no negativo:

x 0 1 2 4 9

f(x) 0 1 2 3

La función raíz cuadrada f es una función creciente, es decir:

3.7.2.1. La notación se utiliza para representar al número irracional raíz cuadrada de dos. Existen varias maneras de aproximar este valor; por ejemplo, a partir de la fórmula de recurrencia24 :

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Empresas de DistribuciónEléctrica

Agosto 2006

Propietario:Usuario:Dirección:Nº de Recibo:Ruta:

Inmobiliaria El DerbyAugusto Palmas ZavalaCalle El Derby 555 SurcoB-1564562588-276-2869-73

Datos de Suministro Detalle de Importes por Consumo

Alimentador:Poten. ContratadaMedidorConexión

PA-06

6.00 kw

Monofásico

Subterranea

Cargo por energía

Cargo fi jo

Alumbrado público

Reposición y mantenimiento de conexión

Interés compensatorio

Sub total mes actual

I.G.V.

77.72

2.06

7.10

0.61

1.12

83.61

15.88

Detalle del Consumo FPLectura Actual (09/08/06) Lectura Anterior (09/07/06) Factor Consumo Kwh.Precio unitario S/. Kwh.

1060842

1218

0.3336

Total importes por consumo 99.49

Fecha de emisiónFecha de

vencimientoTotal a Pagar

09 / agos / 2006 24 / agos / 2006 S/. *******99.49

250

200

150

100

50

0Nv Dc En Fe Mr Ab My Jn Jl Ag

2

√x

f (x) = x

2

∀ x1 x2 ∈ Dom( f ): Si x1 < x2 ⇒ f ( x1 )< f ( x2 )

√

√

√

3.7.2.2 También, para hallar el valor del número real √2 podemos hacer uso del Método de Newton de Aproximaciones Suce-sivas, teniendo en cuenta que existen algunas condiciones iniciales para su aplicación. Es importante tener en cuenta que no siempre el Método de Newton genera aproximaciones que convergen hacia la raíz que se desea encontrar. Una difi cultad es que el valor inicial x0 no esté sufi cientemente cerca de la raíz a encontrar, para iniciar el proceso de convergencia; otra difi cul-tad surge cuando f

ı(x) es cero en la raíz o cerca de la raíz, dado que f ı(xn) se encuentra en el denominador del algoritmo.

A partir de la gráfi ca, seaTanto en 3.7.2.1 como en 3.7.2.2, la Calculadora Científi ca DS-737CQ sirve como medio de comprobación o verifi cación de resultados.

3.7.2.3 Obviamente, surge una interrogante: ¿Para qué utilizar estos procedimientos si existe la calculadora? Bueno, si bien es cierto que actualmente se puede conocer, presionando un botón, el valor de la raíz cuadrada de a, a no negativo; haciendo un poco de memoria ¿cómo hicieron las civilizaciones antiguas para obtener una aproximación de estos números irracionales?

El Antiguo Imperio Babilónico se desarrolló en Mesopotamia entre los años 1900 A.C. y 1600 A.C. Existen, en la actualidad, tabletas cuneiforme de arcilla fi el-mente resguardadas en museos de universidades de pres-tigio25 a nivel mundial. La notación cuneiforme expresa números en base sexagesimal. Los babilonios resolvían, de manera natural a partir de un conjunto de tablas de sumas de cuadrados y cubos, ecuaciones de grado dos y grado tres. Sin embargo, resulta interesante cómo es que los babilonios hallaban una buena aproximación a la raíz cuadrada de un número dado. Se asume que los babilonios utilizaban un al-goritmo similar al de Herón de Alejandría; es decir, empezaban por una aproximación inicial x0.

se puede obtener, mediante iteraciones, el valor de la raíz cuadrada de a. Así, si a = 2:

entonces la fórmula de recurrencia es la siguiente:

de donde,

1,41421356237309504880168872420 97

x1 = 12

(1 + ) (3) x0 21

12

3 2

x2 = 12 ( + ) ( + ) 2

32

12

43

32

32

1712

x3 = ( + ) = ( + ) 12

2 1712

12

1712

1712

2417

577408

.

.

.lím x

n = √2

n→∞

-4 -3 -2 -1

-1

-2

-3

1 2 3 4

1

2

3

f(x) = x2 - 2; f ı(x) = 2x. Si x0 = 2,

xn+1 = xn -f( xn )

f ı( xn )

x1 = 2 - 24

= 32

= 1,5

x2 =32

- 43

= 1712

1

≈ 1,4166

x3 =17

12-

144

17=

577

408

1

≈ 1,4142156863

6

x4 =577

408-

166464

577=

135834828

96049728

1

≈ 1,4142135624

204

√2 ≈

= = ; = 1

= =

=

Por ejemplo, para hallar , a partir de la gráfi ca de la función raíz cuadrada es fácil verque ; entonces . Elevando al cuadrado ambos términos, tenemos . Es decirSin pérdida de generalidad, despreciando el valor de α2, obtenemos Por lo tanto, una primera aproximación a la 32 es 5+0,7=5,7.

Geométricamente:

Se observa que el área de la región cuadrada “grande” equivale a la suma de las áreas de las regiones interiores:

Si la longitud del lado b es pequeña, entonces b2 tiende a 0; haciendo h = 2ab:

3.8 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS TEÓRICO-PRÁCTICOS

Solución: Sea b la longitud, en metros, desde el avión al observador A y sea a la longitud desde el avión al observador B. La medida del ángulo comprendido por las longitudes de los lados b y a es igual 70º (180º-110º). Aplicando la ley de los senos tenemos:

Longitud de a:

Longitud de b:

En nuestro ejemplo:

3.8.1. Ley de senos.- Un avión es observado por dos personas que se encuentran a 300 metros de distancia una de la otra. Cuando el avión pasa por la recta que los une, cada observador mide el ángulo de elevación al avión, como indica la fi gura adjunta. ¿A qué distancia del avión se en-cuentran las personas en dicho momento?26

50º 60º

300 m.A B

26La respuesta numérica se puede verifi car con la Calcula-dora Científi ca DS-737CQ.

25Por ejemplo la Colección Babilónica de la Universidad de Yale.


√32

5 < √32 < 6 √32 = 5 + α2; 0 < α < 132 = 25 + 10α + α2 α2 + 10α − 7 = 0; 0 < α2 < α < 1

α = 710

= 0,7

a

b

aa2 ab

ab b2

a b

a b

b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , lo cual implica a + b = √a2 + 2ab + b2

√a2 + h ≈ a + h2a

Si a = 5; h = 7: √52 + 7 ≈ 5 + 72(5)

⇒ √32 ≈ 5,7

Sen 60ºb

Sen 70º300= ⇒ b = 300. Sen 60º

Sen 70º≈ 300(0,866)

0,94 ≈ 276,38

Sen 50ºa

Sen 70º300

= ⇒ a = 300. Sen 50ºSen 70º

≈ 300(0,766)0,94

≈ 244,47

√


Por lo tanto, la distancia a la cual se encuentra la persona desde el punto de observación A es 276,38 metros aproximadamente. La distancia a la cual se encuentra la persona desde el punto de observación B es 244,47 metros aproximadamente.

3.8.2 Ley de cosenos.- Se piensa construir un túnel que atraviese una montaña. Para esti-mar la longitud del túnel, un topógrafo toma las medidas que aparecen en la fi gura adjunta. Utilice los datos del topógrafo para hacer un cálculo aproximado de la longitud del túnel.

Solución: Sea c la longitud del túnel (AB = c). Aplicando la ley de los cosenos relativa al ángulo C, obtenemos una aproximación de la longitud del túnel:

La longitud del túnel es 124,42 metros aproximadamente.

3.9 CONTABILIDAD BÁSICA EN PROYECTOS EMPRESARIALES

Nº ProductoPeriodo (un año)

Total Ene Feb Mar Abr . . . Oct Nov Dic

1 Falda 700 700 700 650 600 650 650 100002

Proyectos empresariales.- Mediante este tipo de proyectos se propicia el desarrollo de capa-cidades y actitudes emprendedoras y empresa-riales. Se deben generar espacios (por ejemplo, en el trabajo entre áreas) para el desarrollo de sendas potencialidades para que el estudiante pueda incorporarse a la Población Econó-micamente Activa (PEA), una vez fi nalizada su educación secundaria. Es necesario explicitar la importancia de la planifi cación, la noción de in-versión, costos y gastos, así como el cálculo de la inversión, cálculo del costo unitario, determi-nación del precio unitario y el fl ujo de efectivo.

3.9.1 Elementos contables básicos27

En el marco de los proyectos empresariales, desde el Área de Matemática se puede sugerir un precio de venta por unidad en función de la estructura de costos. Por ejemplo, en la Insti-

tución Educativa Nuestra Señora de la Miseri-cordia existen diez secciones por grado en el Nivel de Educación Secundaria. Luego de anali-zar la factibilidad del proyecto, las alumnas de tercero de secundaria (todas las secciones) han optado por la elaboración y confección de fal-das para dama. A continuación, el equipo de docentes del Área de Matemática presenta – para su adaptación – una experiencia de estructura de costos a las alumnas del tercer grado de secundaria:

3.9.1.1 Proyección de ventas en unidades; es un instrumento de gestión importante para el desarrollo y posicionamiento del proyecto. En la proyección de ventas por unidades se consigna la cantidad de faldas que se espera vender en un intervalo de tiempo (semanas, meses, años). Se sugiere tener en cuenta la estacionalidad28 del producto. Ejemplo:

28La estacionalidad está refer-ida a los intervalos de tiempo

en los cuales el producto tiene mayor demanda.

27Tomado de “Desarrollando Capacidades Emprendedoras y Empresariales”- Manual del

Docente.

c2 = (118)2 + (65)2 - 2 (118) (65) (cos 80º)

c2 ≈ 13924 + 4225 - (15340) (0,174)c2 ≈ 15479,84c2 ≈ 124,42

3.9.1.2 Cálculo de la inversión; para lo cual es necesario:

i. Cálculo de activo fi jo: I. ACTIVO FIJO : Producción de faldas

LISTA DE REQUERIMIENTOS POR RUBRO

InfraestructuraConstrucción de localInstalación eléctricaInstalación de agua y desagüeMaquinarias y equiposMáquina de costura rectaMáquina remalladoraMáquina ojalateraHerramientasTijeraRegla curvaAgujasMuebles y enseresMesa para corteEscritorioSillaEstante

RUBRO VALOR UNITARIO(en nuevos soles)

REQUERIMIENTO(en unidades)

InfraestructuraConstrucción de localInstalación eléctricaInstalación de agua y desagüe

2000,00150,00450,00

010101

Maquinarias y equiposMáquina de costura rectaMáquina remalladoraMáquina ojalatera

1200,001500,00800,00

020101

HerramientasTijeraRegla curvaAgujas

20,0012,002,00

051025

Muebles y enseresMesa para corteEscritorioSillaEstante

450,00250,0020,00250,00

02020603



TOTAL(en nuevos soles)

COSTOFIJO

COSTOVARIABLE

InfraestructuraConstrucción de localInstalación eléctricaInstalación de agua y desagüe

2000,00150,00450,00

010101

2000,00150,00450,00

Maquinarias y equiposMáquina de costura rectaMáquina remalladoraMáquina ojalatera

1200,001500,00 800,00

020101

2400,001500,00 800,00

HerramientasTijeraRegla curvaAgujas

20,0012,00 2,00

051025

100,00120,00 50,00

Muebles y enseresMesa para corteEscritorioSillaEstante

450,00250,00 20,00250,00

02020603

950,00500,00120,00750,00

TOTAL 9840,00

RUBROVALOR

UNITARIO(en nuevos

soles)


TOTAL(en nuevos soles)

COSTOFIJO

COSTOVARIABLE

InfraestructuraLicencia de funcionamientoLicencia de avisosElaboración de manuales de operación y producciónEstatutosElaboración de planosGastos de constitución legalCapacitación del personalCapacitación del empresario

320,00100,00250,00

320,00150,00800,00450,00200,00

010101

0101010101

320,00100,00250,00

320,00150,00800,00450,00200,00

TOTAL 2590,00

iii. Cálculo de capital de trabajo; se determina la cantidad de faldas a elaborar según la proyección de ventas por unidades. Asumamos que se van a confeccionar 600 faldas:

RUBROVALOR

UNITARIO(en nuevos soles)

REQUERIMIENTOTOTAL

(en nuevos soles)

COSTOFIJO

COSTOVARIABLE

Materia prima e insumosTela color negroCierres negros de 15cmBotones negrosHiloForroMano de obra29

Costurera(o)CortadorHabilitador/control

6,000,500,105,003,00

1,001,000,83

420 metros600 unidades600 unidades

60 conos420 metros

600 unidades600 unidades600 unidades

2520,00300,00 60,00300,001260,00

600,00 600,00 498,00

TOTAL 6138,00

29Es necesario explicitar que la mano de obra se puede

considerar como costo fi jo o costo variable

III. CAPITAL DE TRABAJO

ii. Cálculo de gastos preoperativos:

II. GASTOS PREOPERATIVOS


iv. Cálculo de costos indirectos:

IV. COSTOS INDIRECTOS


REQUERIMIENTOTOTAL

(en nuevos soles)COSTO

FIJOCOSTO

VARIABLE

Gastos administrativosSueldo de personal administrativo.Útiles de ofi cinaPasajesAlquiler de tiendaMantenimientoAguaElectricidad

450,00

50,00 2,00150,00 10,00 10,00 300,00

02

015001010101

900,00

50,00100,00150,00 10,00 10,00300,00

Gastos de ventasVendedorPublicidad (anuncio en radio por un mes)

500,00250,00

0101

500,00250,00

TOTAL 2270,00

3.10 COSTOS Y BENEFICIOS EN EL DESARROLLO DE PROYECTOS

En el marco de los proyectos empresariales y teniendo en cuenta lo tratado en 3.9, a continuación pasamos a calcular los costos y benefi cios del proyecto de elaboración y confección de faldas para dama:

3.10.1 Cálculo del costo unitario; se realiza a partir de la estructura de costos:3.10.1.1 Cálculo del costo fi jo unitario:

Tener en cuenta que en el denominador se ha considerado 20000, dado que el proyecto tiene un ciclo de vida de dos años.

3.10.1.2 Cálculo del costo variable unitario:

Costo Fijo Total (CFT) = Activo Fijo + Gastos Preoperativos + costos indirectosEn nuestro ejemplo:


CFU =

Costo Fijo Total (CFT)(total de unidades producidas en

el ciclo de vida del proyecto)

9840 + 2590 + 227020000

1470020000

= = 0,735

Costo Variable Unitario (CVU) = Costo Variable Total (CVT)Total de unidades producidas en un mes

Costo Fijo Unitario (CFU) =

En nuestro ejemplo: ; en donde el capital de trabajo se asume

como el equivalente al costo variable total.

3.10.1.3. Costo total unitario:

En nuestro ejemplo:

3.10.2. Determinación del precio; obviamente, para determinar el precio de venta se debe conocer los costos de producción y, como referencia, el precio de venta del producto en el mercado (la competencia). Asimismo, se debe considerar si el producto se va a diferenciar en el precio o en calidad. Así:

donde PV es el precio de la competencia. En nuestro caso, 20 nuevos soles. Despejando el valor de G:

donde G = 9,77 equivale, aproximadamente, al 95,5% del CTU. De lo expuesto, la ganancia máxima es 9,77 nuevos soles (0 < G ≤ 9,77). Si se va a diferenciar en el precio, entonces10,23 < PV < 20.

Una vez realizado el cálculo de la inversión, de los costos y fi jado el precio por unidad del producto, se efectúa, de manera análoga, una proyección de ventas y, fi nalmente, se elabora el fl ujo de efectivo o caja.

CTU = CFU + CVU = 0,735 + 10,23 = 10,965

Costo Total Unitario (CTU) = CFU + CVU

Precio de Venta (PV) = CTU + Ganancia (G);

(G) = PV - CTU = 20 - 10,23 = 9,77;

6138600

= 10,23CVU =

4. EL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL Y LA EVALUCIÓN DE APRENDIZAJES

La evaluación del aprendizaje en el Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional se realiza con el mismo enfoque, criterios e indicadores existentes para evaluar los aprendizajes en el Área de Matemática. En ese sentido, la evaluación cumple con el propósito fundamental de mejorar el aprendizaje de los estudiantes. Se realiza en forma permanente, fl exible, integral y sistemática. Los resultados de la evaluación obtenidos en el PEHLA forman parte de la evalua-ción realizada en el Área de Matemática.

REGISTRO AUXILIAR DEL DOCENTE DEL ÁREA DE MATEMÁTICA

4.1. CRITERIOS DE EVALUACIÓN E INDICADORESLos criterios de evaluación utilizados en el PEHLA son los mismos que los del Área de Matemática. Es decir, las capacidades de área siguen siendo las unidades de recojo de infor-mación y comunicación de los resultados de la evaluación, así como la actitud frente al área.

Los indicadores hacen observable el apren-dizaje de los estudiantes y, a partir de ellos, se formulan los reactivos o ítems. Se debe procu-rar que haya coherencia entre los aprendizajes esperados, los indicadores que los evidencian y las actividades propuestas a los estudiantes para evidenciar que han aprendido.

Es importante tener en cuenta que lo que se hace en el PEHLA es fortalecer los apren-dizajes que se alcanzaron en el Área de Matemática. Por lo tanto, se preservan los criterios de evaluación y los indicadores, aun cuando la situación de evaluación cambie.

La evaluación del aprendizaje en el PEHLA se realizará preferentemente en situaciones problemáticas de la vida real, debido a que es un espacio para fortalecer y transferir a situa-ciones nuevas los aprendizajes desarrollados en el Área de Matemática.

4.2. CALIFICACIÓN DE LOS RESULTADOS

La valoración de los resultados se realiza de manera análoga que el Área de Matemática. Al fi nal de cada periodo (bimestre o trimestre), los estudiantes obtienen un califi cativo30 en cada criterio; esta califi cación parcial pasa a ser una más de las que obtenga el estudiante, en el mismo periodo, en el Área de Matemática.

Cuando el Área de Matemática y el PEHLA son desarrollados por el mismo docente, resulta natural utilizar un solo registro auxiliar, siem-pre que se reserve un espacio para colocar el califi cativo del PEHLA. Dicho registro auxiliar puede tener la siguiente estructura:

30Se utiliza la escala de cero a veinte y los resultados se registran y comunican por cada criterio de evaluación.

Apellido paterno: nombre

PRIMER BIMESTRERaz y Dem. COM. MAT. Res. Prob. Actitud

MAT PEHLA MAT PEHLA MAT PEHLA MAT PEHLA

Melgarejo; Homer

16 15 14 15

Califi cativos del Área de Matemática Califi cativos del PEHLAEste califi cativo pasa al registro de evaluación



4.3 INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

Una preocupación permanente durante las sesiones de aprendizaje se relaciona con la elabo-ración de instrumentos de evaluación y el tiempo empleado en la aplicación de los mismos. Al respecto, por cuestiones metodológicas inherentes a nuestra labor pedagógica, la elaboración de sendos instrumentos debe propiciar el desarrollo de estrategias de resolución de situaciones problemáticas en los estudiantes. Plantear y resolver problemas desarrolla su creatividad en un grado que resulta insospechado.

Asimismo, deben generar confi anza en sus posibilidades de hacer matemática, estimulando su autonomía y expresando el grado de comprensión de sus conocimientos. Tener en cuenta que la evaluación es de carácter formativo para regular el proceso de aprendizaje y está dirigida a verifi -car los avances o difi cultades en el desarrollo de los aprendizajes. Los instrumentos de evaluación no deben ser considerados como instrumentos de selección para identifi car “estudiantes que saben” y “estudiantes que no saben”.

Por ejemplo, teniendo en cuenta la situación problemática enunciada en la sesión de aprendizaje de 2.3.2.3, analizar la función cuadrática U (x) = 4x-x2 implica que el estudiante de cuarto grado de secundaria:

Aprendizajede una sesión Indicadores Acciones realizadas por el estudiante Instrumentos

Analizar la función utilidad

1.1 Identifi ca la función cuadrática U (x) = 4X - x2 a partir de su regla de correspondencia.

1.2 Identifi ca la función cuadrática U (x) = 4X - x2 en el plano cartesiano.

1.3 Infi ere el comportamiento de la función cuadrática U (x) = 4X - x2

a partir de su punto de máximo

1.4 Interpreta la función cuadrática U (x) = 4X - x2 a partir de su punto de máximo.

1.1.1 Identifi car la abscisa del vértice de U.

1.1.2 Identifi car la ordenada del vértice de U.

1.2.1 Identifi car el vértice de la parábola U.

1.2.2 Identifi car la intersección de la parábola U con los ejes coordenados en el plano cartesiano.

1.3.1 Discriminar los valores x del dominio de U tal que U es creciente o decreciente a partir de su punto de máximo.

1.4.1 Identifi car el valor máximo de la función cuadrática U.1.4.2 Interpretar el valor máximo de la función utilidad U.

Prueba de opción múltiple

Ficha de Cotejo o Verifi cación

˙ Identifi que funciones cuadráticas a partir de su regla de correspondencia˙ Identifi que funciones cuadráticas en el plano cartesiano˙ Infi era el comportamiento de funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo.˙ Interprete funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo;

Sin pérdida de generalidad, se puede afi rmar que el califi cativo del bimestre o trimestre de cada criterio en el Área de Matemática se obtiene promediando31 los califi cativos que el estudiante haya obtenido en dicho periodo en el Área de Matemática (MAT) y en el Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional (PEHLA). Tener en cuenta que independientemente si es uno o dos docentes las personas responsables de la califi cación del Área de Matemática, el califi cativo fi nal del bimestre o trimestre es el mismo32 .

31Promedio aritmético simple

32Dado que el califi -cativo fi nal (bimestral

o trimestral) es por promedio aritmético

simple

Lo cual se puede observar, de manera general, en el siguiente recuadro:

U (x) = 4X - x2

4.3.1 Elaboración de preguntasPartiendo de la premisa que la evaluación de los aprendizajes debe estar orientada al desarrollo de las capacidades del área y que el pensamiento matemático es un pro-ceso que involucra un conjunto de procesos mentales (cognición) que convergen en la solución de situaciones problemáticas, se presenta a continuación elementos a tener en cuenta en la elaboración de reactivos en el marco del PEHLA:

4.3.1.1 La gráfi ca como complemento de la pregunta.- Una constante en la labor pedagógica del docente de Matemática es ¿qué preguntas formular para evaluar? El punto de partida debe tener en cuenta qué es lo que están aprendiendo los estu-diantes. En este contexto, la evaluación forma parte del proceso de desarrollo de capacidades. Defi nitivamente, una gráfi ca complementa la comprensión de un enun-ciado; por ejemplo:

i.- A partir de una caja abierta hay que elaborar una pieza rectangular de cartón de 20 x 30 cm, cortando cuadrados idénti-cos de área x2 de cada esquina y volteando

hacia arriba los lados. Formular el volumen V de la caja como una función de x.

ii.- En una balanza de platillos se observa que al colocar 3 envases iguales de vidrio y una pesa de 50 gramos en un platillo, estos pesan igual que una pesa de 500 gramos colocada en el otro platillo. ¿Cuánto pesa cada envase de vidrio?

Del recuadro, los indicadores 1.3 y 1.4 se pueden evidenciar, de manera natural, mediante los siguientes aspectos:

˙ Planteamiento de interrogantes que propicien el razonamiento riguroso.˙ Situaciones problemáticas relacionadas a funciones cuadráticas.˙ Resolución de problemas teórico-prácticos vinculados a la vida diaria.˙ Proyectos de investigación relacionados a procesos productivos y fl ujo comercial.

Además, se puede identifi car un aspecto que - por su naturaleza - se considera clave al realizar la transferencia de la información obtenida a situaciones reales y se presenta transversal-mente:

˙ La modelación matemática.

Sendos aspectos se pueden explicitar mediante reactivos o ítems en, por ejemplo, una Ficha de Verifi cación o una Prueba Escrita; que incluso, se pueden elaborar en formato multimedia (lenguaje HTML o Java Script).

20

?x x

x

x

? 30

500g50g

¿Quién obtuvo más del 10% y menos del 20% de los votos?

ii.- Entre 1500 profesionales, algunos son ingenieros, otros son abogados y los demás médicos. ¿Cuántos son médicos?

iii.- De acuerdo al gráfi co, ¿qué porcentaje de personas no tiene ojos negros?

4.3.1.2 Gradualidad.- En relación a la pertinencia de las preguntas formuladas, nuestras pistas se en-cuentran en las sesiones de aprendizaje y en los ritmos de aprendizaje de los estudiantes. Por ejemplo, es fácil ver que el grado de difi cultad del ítem i no es el mismo que el del ítem ii: i.- El tiempo de un ingeniero consultor se factura en $60 la hora y la de su ayudante en $20 la hora. Un cliente recibió una factura por $540 por un determinado trabajo de consultoría. Si el ayudante trabajó cinco horas menos que el ingeniero, ¿cuántas horas trabajó el ayudante?

ii.- Un organizador de conciertos espera que al próximo evento vayan 25 mil personas. Se está pen-sando colocar un precio entre $15 y $30 por entrada. Por experiencias anteriores, se sabe que si el precio es de $15, se venderían las 25 mil entradas y que por cada dólar que se aumente al valor de la entrada,la asistencia disminuirá en 500 personas. ¿Cuál debe ser el precio de la entrada para garan-tizar un ingreso de $450000?

4.3.1.3 Ejemplo de reactivos o ítems:

i.- Al realizar una votación para la elección del delegado de aula, se obtuvo los siguientes resultados (en porcentajes): % votos

Candidatos

40 -35 -30 -

25 -

20 -15 -10 -

5 -

número de personas150-

90-

color de ojos

ojosnegros

ojospardos

Ingenieros40%

MédicosAbogados35 %


Cascada / WaterfallAutor: M.C. Escher

Litografía, 1961El agua asciende y desciende de modo continúo. La cascada se inspira en un triángulo imposible de apariencia posible, cuyos

ángulos suman 270º, del matemático Roger Penrose

1. ANTIBI; A., La Constante Macabra, Fondo Editorial de la Pontifi cia Universidad Católica del Perú, 2005.

2. DO CARMO; M., Trigonometría y Números Complejos, IMCA, 1999.

3. HELFGOTT; M., Geometría Plana, Editorial Escuela Activa S.A.

4. KRANTZ; S., How to teach mathematics: a personal perspective, American Mathematical Society, 1993.

5. LIMA; E., La Matemática en la Enseñanza Media, IMCA, 2000.

6. LIMA; E., Mi Profesor de Matemática, IMCA, 1998.

7. PARRIS; R., Creador del Winplot, http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

8. MENDOZA; M., El Winplot como recurso didáctico en la enseñanza de la matemática, Editorial Horizonte, 2003.

9. MENDOZA; M., Trigonometría – Cuaderno de Trabajo, Editorial Horizonte, 2005.

10. MOISE; E., Elementos de Geometría Superior, Continental, 1968.

11. MOISE; E. y Floyd; D., Geometría, Norma, 1972.

12. JENSEN; Eric, Cerebro y Aprendizaje, Editorial Narcea, 2004

13. Módulo de Biblioteca del Centro de Recursos Educativos: 13.1 Matemática aplicada a situaciones de la vida cotidiana 13.2 Proyectos de Matemática

14. Página web de la Dirección de Educación Secundaria: http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/articulo02_07.pdf http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/articulowebdesmate.pdf http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/articulomatematica0.pdf http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/logico%20matematica.pdf http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/Guiapensamientomatematica.pdf http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/Guiadesarrollocapacidades.pdf

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