Plan de Aula Matemáticas Grado 11º 2021 PERIODO 1

1. Monomios semejantes + y - :

a) 3x2 + 4x2 – 5x2

b)

6x3 – 2x3 + 3x3 =

ab3 + 3ab3 – 5ab3 + 6ab3 – 4ab3 + +2 27 4x x =4 3

2. Efectuar los siguientes productos y cocientes de monomios :

a) 3x2 · 4x3

b)

2x3 · 4x3 · 3x3 =

c)

d)

2 33 5x x4 2

· −

32 3x x =5 2

·

− 7

214x

=

7x

7 3

25x yx y

( )−5 4 2

3 2

3a b · 12a b=

4a b

Taller Opereaciones con Monomios y PolinomiosEn tu cuaderno de Matemáticas resuelve en forma clara y completa

+

·

·

_____

I. E Jesús María Aguirre CharryLic MaFis: ELKIN GARZÓN ALDANAREPASO DE ALGEBRA

Plan de Aula Matemáticas Grado 11º 2021 PERIODO 1

3. Dados los siguientes polinomios: P(x) = 2x3 – 3x2 + 4x – 2

Q(x) = x4 – x3 + 3x2 + 4

R(x) = 3x2 – 5x + 5

S(x) = 3x – 2 Hallar:

a)

b)

c)

d)

S(x) – [R(x) – Q(x)]

P(x) · R(x) =

[R(x)]2=

P(x) + Q(x) +R(x) =

4. Efectuar (en el cuaderno) las siguientes divisiones de polinomios , y comprobar mediante la regla D=d·C+R:

a)

b)

x3+2x2+x–1 x2–1

8x5–16x4+20x3–11x2+3x+2 2x2–3x+2

c) )1x2(:xx4x2 23 +++−

d) ( ) ( )1x2:1x8 35 −+

e) ( ) ( )5x4x1x6x3x 223 +−−+−

f) ( ) )3x(7x4x2x3 34 +−+− –( )

–

:–

:–

e) P(x) · Q(x) · R(x) =

f) P(x) + R(x) =

g) P(x) - R(x) =

g) P(x) - S(x) =

Plan de Aula Matemáticas Grado 11º 2021 PERIODO 1

Ejercicio: Regla de Ruffini. División de un polinomio P(x) entre un monomio de la forma ax − Efectúa la siguiente división: ( ) )2x(:1x5x4x3 35 −+−+−

3− 0 4 0 5− 1 2 6− 12− 16− 32− 74− 3− 6− 8− 16− 37− 73−

Por tanto el cociente es 37x16x8x6x3 234 −−−−− El resto es 73R −= Ejercicio 2: Calcula el valor del polinomio 1x5x3x2)x(p 24 ++−= en 2x = por dos métodos distintos. Solución: Por la definición de valor de un polinomio:

311252322)2(p 24 =+⋅+⋅−⋅= Por el teorema del resto )2(p es el resto de dividir )x(p entre 2x − Efectuemos la división utilizando la regla de Ruffini:

2 0 −3 5 1 2 4 8 10 30 2 4 5 15 31

El resto de la división es R=31, por tanto, 31)2(p =

2 Término independiente del divisor cambiado de signo

3 Coeficiente principal del dividendo

5 Suma de los números superiores.

1 En la primera fila colocamos los coeficientes del dividendo ordenados según las potencias decrecientes.

4 Los números de la segunda fila se consiguen multiplicando el término independiente del divisor por el último número conseguido de la tercera fila: 2·(−3)=−6 2·(−6)=−12 2·(−8)=−16 2·(−16)=−32 2·(−37)=−74

6 Suma de los números superiores. Es el resto de la división.

7 Los coeficientes del polinomio cociente són los números de la tercera fila menos el último que es el resto. En este caso los coeficientes son: )37,16,8,6,3( −−−−−


1. Efectúa las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini. a) ( ) )2x(:1x3x5x4x3x2 2345 +++−+− b) ( ) )3x(:5x3x2 24 −−+− c) ( ) )1x(:1x5x4x 45 ++−+ d) ( ) )5x(:5x3x4x3x 234 −−++− e) ( ) )1x(:2x3 5 −+ f) ( ) )2x(:x7x2x3 34 −−+−

( ) ( )( ) 222222 bababbaababababa ++=+++=++=+

( ) ( )( ) 222222 bababbaababababa +−=+−−=−−=−

( ) bcacabcbacba 2222222 +++++=++

( )( ) 2222 babbaabababa −=−+−=−+

( )( ) ( ) abxbaxbxax +++=++ 2

( ) 3223333 babbaaba +++=+

( ) 3223333 babbaaba −+−=−

( )( ) 3322 babababa +=+−+

( ) abcbccbaccaabbacbacba 63333332222223333 +++++++++=++

( )( ) 3322 babababa −=++−

( ) baba +=+ 1

( ) ( )( ) 22

2

22 bababababa

veces

++=++=+��

( ) ( )( )( ) 3223

3

333 babbaababababa

veces

+++=+++=+��

( ) ( ) ( ) 432234

4

4464 babbabaabababa

veces

++++=+⋅⋅⋅+=+��

( ) ( ) ( ) 54322345

5

5510105 babbababaabababa

veces

+++++=+⋅⋅⋅+=+��

( ) ( ) ( ) 6542332456

6

661520156 babbabababaabababa

veces

++++++=+⋅⋅⋅+=+��

Productos notables

(mx + a)(nx + b) = (mn)x2 + (m + n)x + ab

FÓRMULA DE LOS COCIENTES NOTABLES

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma de las cantidades

Cociente de la suma de los cubos de dos cantidades entre la suma de las cantidades

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos

cantidades entre la diferencia de las cantidades

Cociente de la diferencia de los cubos de dos

cantidades entre la diferencia de las cantidades

( )ba =+ 0 1

Triángulo de Pascal


an b

n

an1

an2

b an3

b2 ... ab

n2 b

n1

a b

an b

n

a b

an1

an2

b a

n3b

2

... ab

n2

bn1

Aquí “n” debe ser PAR

n

a b

n

a

n1 a

n2b a

n3b

2 ... ab

n2 b

n1

a b Aquí “n” debe ser IMPAR

an b

n

an1

an2

b an3

b2 ... ab

n2 b

n1

a b

6. ( )2532 aba −

7.

24

32

23

− x

x

8. ( )2435 87 yxx −

9. ( )245 7ba +

1. (2a + 3b )3

2. 3

2

32

21

+ ba

3.

3

3

2

2

55

2

−

b

a

4. (4a – 3b 2)3

5. (a + 2b )6

10. 6

33

−b

a

11. (2m 2 - 3n 3)5

12. (1 - x 4 )8

13. (x 2 + y 3 )6

14. 10

11

−x

Calcule los cocientes notables indicados: 24 1211.)

2 11xx

4 2 2 6

2 3

9 162.)3 4a b a b

a b ab

3.)

4.)

baba

327 33

nmnm

5412564 33

Calcule los siguientes productos notables


α)α)α)α) =−+ )3y2()3y2(

β)β)β)β) =+ 2)4x3(

γ)γ)γ)γ) =− 2)1x3(

δ)δ)δ)δ) =−+ )4x3()4x3(

ε)ε)ε)ε) =+ 2)1b5(

ζ)ζ)ζ)ζ) =− 2)4x2(

η)η)η)η) =−+ )3x4()3x4(

43x)2(3x 22 +=+ Un estudiante de 11º de J.M.A.CH, indica lo siguiente en un examen:

Usted debe razonar que se trata de un grave error. ¿Cuál sería la expresión correcta?

15.

1. FACTOR COMUN MONOMIO :

EJERCICIOS

1. 6x - 12 + 48 = 2. 4x - 8y =

3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2 =

5. 10x2y - 15xy

2 + 25xy = 6. 12m

2n + 24m

3n

2 - 36m

4n

3 =

7. 2x2 + 6x + 8x

3 - 12x

4 = 8. 10p

2q

3 + 14p

3q

2 - 18p

4q

3 - 16p

5q

4 =

9. 22

9

8

4

3xyyx 10. 24524332

16

1

8

1

4

1

2

1babababa

2. FACTOR COMUN POLINOMIO:

11. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 12. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =

13. x2( p + q ) + y

2( p + q ) = 14. ( a

2 + 1 ) - b (a

2 + 1 ) =

15. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 16. a(2 + x ) - ( 2 + x ) =

17. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 18. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =

3. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO :

19. a2 + ab + ax + bx = 20. ab + 3a + 2b + 6 =

21. ab - 2a - 5b + 10 = 22. 2ab + 2a - b - 1 =

23. 3x2 - 3bx + xy - by = 24. 6ab + 4a - 15b - 10 =

25. 3a - b2 + 2b

2x - 6ax = 26. a

3 + a

2 + a + 1 =

27. zxyzxyxzx 753

143

3

10

4

21

4

15 2 28. bnbmamam5

16

5

4

3

8

3

2

4. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

FACTORIZACIÓN


29. x2 + 4x + 3 = 30. a

2 + 7a + 10 =

31. b2 + 8b + 15 = 32. x

2 - x - 2 =

33. x2 + 14xy + 24y

2 = 34. m

2 + 19m + 48 =

35. x2 + 5x + 4 = 36. x

2 - 12x + 35 =

5. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax2+ bx + c

37. 5x2 + 11x + 2 = 38. 3a2 + 10ab + 7b2 =

39. 4x2 + 7x + 3 = 40. 4h2 + 5h + 1 =

41. 5x2 + 3xy - 2y2 = 42. 7p2 + 13p - 2 =

43. 6a2 - 5a - 21 = 44. 2x

2 - 17xy + 15y

2 =

6. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS:

45. 9a2 - 25b

2 = 46. 16x

2 - 100 =

47. 4x2 - 1 = 48. 9p

2 - 40q

2 =

49. 22 b36

49a

25

9 50. 44 y16

9x

25

1

51. 3x2 - 12 = 52. 5 - 180f2 =

53. 45m3n - 20mn = 54. 2a5 - 162 a3 =

7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

55. b2 - 12b + 36 = 56. 25x

2 + 70xy + 49y

2 =

57. m2 - 2m + 1 = 58. x

2 + 10x + 25 =

59. 25a2c

2 + 20acd + 4d

2 = 60. 289a

2 + 68abc + 4b

2c

2 =

61. 16x6y

8 - 8 x

3y

4z

7 + z

14 =

8. DIFERENCIA DE CUBOS: a3– b

3= (a – b)(a

2+ ab + b

2)

9. SUMA DE CUBOS:3 + b

3 = (a + b)(a

2 – ab + b

2)

62. 64 – x3 = 63. 8a

3b

3 + 27 =

64. 27m3 + 6n

6 = 65. x

6 – y

6 =

66. 27

8

8

1 3 x = 67. 64

13 x =

:

a

10. COMPLETACIÓN DE CUADRADOS

Empieza con

Divide la ecuación entre a

Pon c/a en el otro lado

Suma (b/2a)2 a los dos lados

¡Ajá! ¡Tenemos la forma x2 + 2dx + d2 que queríamos!

(si "b/2a" es "d", claro)

"Completamos el cuadrado"

Ahora lo traemos todo de vuelta...

... a la izquierda

... y con el coeficiente correcto de x2

Factorización por Completación de Cuadrados

8

7

4

15 )2

0 = 5 -4x - 3x )1

2

2

xx

TEORÍADE

CONJUNTOSACTIVIDADES GENERALESSesión 1: 2 horasUtilizamos fichas de colores, fotos del grupo, etcEjercicios individuales, en parejas y en grupo•Introdución, conceptos básicos de la teoría de conjuntos.•Nos familiarizamos con la notación de la teoría de conjuntos.•Ejercicios sencillos de conceptos y la notación de conjuntos.

DEFINICIONES

A

CONJUNTO

Formas de describir un conjunto

ExtensiónA= {Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si}

Comprensión A=Las notas musicales

Diagramas de Venn

DoRe

Mi

SolFaSi

La

Conjunto vacío F = ∅

Un elemento pertenece o nopertenece a un conjunto

A ESTÁ CONTENIDO EN B

PARTES DE A

Conjunto universal

Cardinal de A

P (A)Card(A)

!A B

!x A

x A!

ACTIVIDADES INDIVIDUALES

1. Escriba por extensión los siguientes conjuntos:

A = {Números enteros positivos de dos cifras iguales}

B = {x / x es un número entero positivo de dos cifras que suman 6}

2. Escribe por comprensión los siguientes conjuntos:

A = {3, 6, 9, 12,15, 18}

B = {16, 25, 34, 43, 52, 61, 70}

3. Dados los siguientes conjuntos:

A = {Números enteros positivos de dos cifras iguales}

B = {x / x es un número entero positivo de dos cifras que suman 6}

Relacionar con el símbolo adecuado las siguientes parejas de elementos y conjuntos:

555 …….A –33 …….B 33 …….A 33 …….B 45 …….B

4. Dado el conjunto A= { 2, 4, 6 } escribe el conjunto “partes de A”.

Dado el conjunto B= { a, e, i, o, u } escribe el conjunto “partes de B”.

5. Dados A= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } , B={ 2, 4, 6, 8} y C={ 2, 3 }, escribe la relación que hay entre A, B y C.

6. Escribe el cardinal de los conjuntos de las actividades anteriores.

Sesión 2:

ACTIVIDADES EN PAREJAS

• Introducción a relaciones entre conjuntos:

Intersección

Unión

Complemento

A - B

• Ejercicios sencillos de aplicación.

• Aplicación a problemas.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOSA ∩ B = { x / x ∈ A y x ∈ B }

UNION DE CONJUNTOSA ∪ B = { x / x ∈ A o x ∈ B }

COMPLEMENTARIO DE UN CONJUNTOAC =A’ = { x / x ∈ U y x ∉ A }

A MENOS B: A-B=A ∩ BC

EJEMPLOS . . .U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {3, 6, 9} A’ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}

3

4

52

7

9 8

6

1A

U

24

68

10

12

16

20

A B

A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20}

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} B = {4, 8, 12, 16, 20}

A ∩ B = {4, 8, 12}2

4

68

10

12

16

20

A B

Completa según corresponda:

{}

{x / x es un número primomenor que 10}

{Luna}

{x / x es un número enteropositivo menor que 6}

Definición por extensiónDefinición por comprensión

Consideremos el siguiente diagrama de Venn:

1

3

2

4

69

8510

12

1114 7

1315

A

B

CU

Escribir por extensión:

A ∩ B= UC=

A ∪ C= A ∩ (B ∪ C) C=

BC= B-C=

A ∩ B ∩ C= A-B=

Marcos tiene en su habitación unas fotografías

estupendas de sus animales favoritos: Una mariposa,

un pingüino, un águila, una mosca africana, un pez

volador, un avestruz, un tucán, un pato mandarín y una orca.

Si llama A al conjunto de las Aves, B al de los animales

que vuelan y C al de los animales que nadan, haz el

Diagrama de Venn con la clasificación de los animales

de la colección de Marcos.

Deduc las siguientes fórmulas:

Card (A ∪ B)= y Card (A ∪ B ∪ C)=

Aplícalas para resolver las siguientes cuestiones:

1.- En el conjunto formado por todos los números naturales

estrictamente menores que 1000, decir cuántos números hay

que no son múltiplos ni 3 ni de 5 ni de 7.

2.- En una oficina de colocación se ofrecen 29 puestos de

trabajo del ramo de la construcción: 13 deben ser albañiles, 13

fontaneros y 15 carpinteros. De éstos 6 tienen que ser albañiles

y fontaneros, 4 fontaneros y carpinteros y 5 albañiles y

carpinteros.

a) ¿Cuántos tienen que ser las tres cosas a la vez?

b) ¿A cuántas personas que sólo tengan el oficio de

e

albañil se les puede ofrecer empleo?

Sesión 3.• Demostraciones “formales”.• Leyes de Morgan.• Cálculo simbólico.• Paradojas conjuntistas.

Demostrar las siguientes LEYES DISTRIBUTIVAS

utilizando diagramas de Venn:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A

B

C

A

B

C

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A

B

C

A

B

C

LEYES DE MORGAN (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

Utiliza las propiedades que conoces para resolver las siguientes

cuestiones:

Demuestra que A = (A ∩ B) ∪ (A-B)

Demuestra que (A-B) ∩ (A-C) = A - (B ∪ C)

Demuestra que A- (B∩C) = (A – B) ∪ (A - C)

SIMPLIFICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES

((A ∩ B) ∩ C) ∪ ((A ∩ B) ∩ C’) ∪ (A’ ∩ B) Solución : B

(A ∩ (B ∩ C’)’) ∪ ((A’ ∪ B’) ∪ C)’Solución : A

PARADOJAS CONJUNTISTAS

G

RC

S

A B

A

I

A

A ∪ B

GRACIAS ∩

1.1. Los números realesEl conjunto de los números reales está formado por los números raciona-les y los irracionales. Se representa por la letra �

1.2. La recta realSe llama recta real a una recta en la que se representan los números reales. A cada nú-mero real le corresponde un punto en la recta, y a cada punto de la recta le corres-ponde un número real; por ello, se dice que los números reales completan la recta.

1.3. Valor absolutoEl valor absoluto de un número es el mismo número si es positivo, y el opuestosi es negativo.

|a| =

Ejemplo|5| = 5 |0| = 0 |–7| = 7

1.4. Distancia

Ejemplo

d(3, 5) = |5 – 3| = |2| = 2

d(–2, 3) = |3 – (–2)| = |3 + 2| = |5| = 5

d(–6, –1) = |–1 – (–6)| = |–1 + 6| = |5| = 5

a si a Ó 0–a si a < 0

°¢£

Naturales (�): 0, 1, 2, 3…Negativos: … –3, –2, –1

°¢£

Enteros�

Fraccionarios: – , – , , …76

23

14

32

Irracionales: π, e, f, , …3√5√2

Racionales�

°§§¢§§£

°§§§§¢§§§§£

Reales�

Racionales: �

Números reales: �

Irracionales

Enteros: �

Naturales: �

05 37

–1 – 2

– 7 – 5 4

– 3

1

1/2

4/5

1/7

4/13 – 23/47

– 7/3

–1/3

– 3/7– 2/3

2

√–3√

–2

√–5

3

√–7

4

7,12345678…

eπ

φ

0 1 3 5

–2 0 1 3

–6 –1 0 1

La distancia entre dos números reales es el valor absoluto de su diferencia:d(a, b) = |b – a|

Valor absolutoy distancia

El valor absoluto de un número essu distancia al cero.

Ejemplo|3| = d(0, 3) = 3|–3| = d(–3, 0) = 3

–3 0 1 3

1.5. IntervalosSean a y b dos números reales tales que a Ì b

Intervalo

Intervalo abierto: (a, b) = {x é �; a < x < b}

Ejemplo

(2, 5) = {x é �; 2 < x < 5}

Representación

0 1 2 5

Intervalo cerrado: [a, b] = {x é �; a Ì x Ì b}

[–4, 3] = {x é �; –4 Ì x Ì 3} –4 0 1 3

Intervalo semiabierto o semicerrado:

[a, b) = {x é �; a Ì x < b}(a, b] = {x é �; a < x Ì b}

[–1, 4) = {x é �; –1 Ì x < 4}

(–5, –2] = {x é �; –5 < x Ì – 2}

–1 0 1 4

–5 –2 0 1 3

Semirrectas:

(–@, b) = {x é �; x < b}

(–@, b] = {x é �; x Ì b}

(a, +@) = {x é �; x > a}

[a, +@) = {x é �; x Ó a}

(– @, 3) = {x é �; x < 3}

(– @, –2] = {x é �; x Ì – 2}

(1, +@) = {x é �; x > 1}

[–4, +@) = {x é �; x Ó – 4}

0 1 3

–2 0 1

0 1

–4 0 1

Matemáticas grado 11º 2020

1.6. Entornos

Ejemplo: E(3, 2) = {x é �; d(3, x) < 2} = {x é �; |x – 3| < 2} = (1, 5)

Ejemplo: E*(1, 3) = (–2, 4) – {1} = (–2, 1) U (1, 4)

10. Representa en la recta real los siguientes pares de nú-meros y calcula la distancia que hay entre ellos.

a) –3 y 2 b) –2,5 y 3,7

11. Escribe en forma de desigualdad y representa gráfica-mente los siguientes intervalos, y clasifícalos:

a) [2, 5) b) (–2, 1) c) (–3, +@) d) (–@, 3]

12. Escribe los intervalos que se representan en los si-guientes dibujos:

a)

b)

13. Representa gráficamente los siguientes entornos:

a) E(4, 1) b) E*(–3, 2) c) E*(2, 3) d) E(–2, 3)

14. Escribe los entornos que se representan en los siguientesdibujos:

a)

b)

c)

d)

● Aplica la teoría

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

a – r

r r

a a + r

2 2

10 3 5

3 3

10–2 4

a – r

r r

a a + r

Un entorno de centro a y radio r es el conjunto de números reales cuya dis-tancia al centro a es menor que el radio r

E(a, r) = {x é �; d(a, x) < r} = {x é �; |x – a| < r} = (a – r, a + r)

Un entorno reducido de centro a y radio r es un entorno al que se le ha qui-tado el centro. Se representa por: E*(a, r)

E*(a, r) = E(a, r) – {a} = (a – r, a + r) – {a} = (a – r, a) U (a, a + r)

Base positiva

Exponente par Potencia +

Exponente impar Potencia +

Base negativa Exponente par Potencia +

Exponente impar Potencia -

Sean a y b números reales y m, n números enteros.

(

)

Ahora, vamos a aplicar éstas propiedades aprendidas a los siguientes ejercicios:

1) 36 aa

2) aa 5

3) yxyx aa 32

4) xbb

5) 23 22

6) 65p

7) 82b

8) aa43

9)

xx

5

6

3

1

10) 2

3x

11) 232 p =

12) 423mn

13) 3232

53 xx

14) 31313 aa mm

15)

3

3

2

a

a x

16)

1

3

m

m

w

w

17)

6

23

12

x

x

p

p

18)

10

32

23

t

t

k

k

19)

n

m

mm

a

aa34

2213

20)

ba

ba

abba

xx

xx34

32

22

21)

2

3

2

13

5x

x

x

x

n

n

n

n

Se define la potencia de exponente "n" como la

multiplicación sucesiva de la base "a" por sí misma un total

de "n" veces.

n veces

(

)

2.0 Potenciación

2.1 Propiedades


Nombres

n√

—a Radical

√— Signo radical

n Índice

a Radicando

b Raíz

3. Radicales y operaciones

3.1. Radical

Ejemplo

= 5 porque 53 = 125 = ±3 porque

3.2. Relación en la escritura entre potencias y radicalesUna potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical cuyo índi-ce es el denominador del exponente y cuyo radicando es la base elevada al nume-rador del exponente.

3.3. Suma y resta de radicales

Ejemplo

– 4 + 7 = 5 – 12 + 14 = (5 – 12 + 14) = 7

En el caso en que no sean semejantes, no se pueden sumar ni restar.

3.4. Producto y cociente de radicales

En el caso en que no tengan el mismo índice, se reducen previamente al mínimoíndice común.

√2√2√2√2√2√8√18√50

34 = 81(–3)4 = 81

°¢£

4√813√125

Calculadora

Raíz cuadrada

Raíz cúbica

Raíz n-ésimax√–

3√–

√–

Evitar errores

? +

? – n√b

n√an√a – b

n√bn√a

n√a + b

Potencia a1/n = n√a a–1/n = 1

n√aap/n =

n√ap a–p/n = 1n√ap

Ejemplo 51/3 = 3√5 2–1/5 = 1

5√252/3 =

3√52 3–2/5 = 15√32

Operación Ejemplo

El producto de dos radicales del mismo índicees otro radical del mismo índice, y de radicando,el producto de los radicandos.

· = n√a · b

n√bn√a · = = = 4

3√643√4 · 16

3√163√4

El cociente de dos radicales del mismo índicees otro radical del mismo índice, y de radicando,el cociente de los radicandos.

: = n√a : b

n√bn√a : = = = 5

3√1253√500 : 4

3√43√500

■ Piensa y calcula

Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: a) = x b) = 10 c) = 2 d) = x4√81x√324√x3√8

La raíz enésima de un número a es otro número b, tal que b elevado a n es a= b ⇔ bn = a

La raíz enésima es la operación inversa de la potencia.

n√a

Radicales semejantes son aquellos radicales que después de simplificadostienen el mismo índice y el mismo radicando.Para sumar y restar radicales semejantes, se saca factor común el radical se-mejante de todos los términos.

Cálculo mental

Para extraer factores de un radi-cal cuadrático, se descompone elradicando como producto de uncuadrado perfecto y un número.

Ejemplo

= = 3

= = 5√2√25 · 2√50

√5√9 · 5√45

3.5. Potencia y raíz de un radical

3.6. Racionalización

a) En el denominador solo hay una raíz cuadradaSe multiplican el numerador y el denominador por dicha raíz cuadrada.

b) En el denominador solo hay una raíz enésima

Si se tiene una raíz enésima , se multiplican el numerador y el denominador

por

Ejemplo

= = =

c) En el denominador hay una suma o resta con raíces cuadradasSe multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denomina-dor. El conjugado de a + b es a – b, y viceversa.

Ejemplo

= = = 7(√—5 – √

—2 )

37(√

—5 – √

—2 )

5 – 27(√

—5 – √

—2 )

(√—5 + √

—2 )(√

—5 – √

—2 )

7

√—5 + √

—2

6 · 5√73

76 ·

5√—73

5√—75

6 · 5√

—73

5√—72 ·

5√—73

65√72

n√bn–p

1n√b

p

19. Calcula mentalmente todas las raíces reales de los si-guientes radicales:

a) b) c) d)

20. Escribe en forma de radical las siguientes potencias:

a) 73/4 b) 5–1/4 c) 3–5/7 d) 21/3

21. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales:

a) b) c) d)

22. Extrae mentalmente todos los factores que se puedaen los siguientes radicales:

a) b) c) d)

23. Suma los siguientes radicales:

a) 5 – 3 + b) 4 + – 2

24. Opera los siguientes radicales:

a) · b) ·

c) : d) :

25. Las expresiones que están como potencia pásalas a ra-dical y las que están como radical pásalas a potencia:

a) ( )2 b) c) d) ( )2

26. Expresa con un solo radical las siguientes expresiones:

a) b) c) d)

27. Racionaliza las siguientes expresiones:

a) b) c) d)

28. Halla la diagonal de un ortoedro cuyas aristas miden5 m, 4 m y 3 m

2 – √3

2 + √3

5

√—7 + √

—3

75√133

5

√3

3√ 4√—5√3√

—7

3√√—8√√

—5

7√54√533√655√7

5√165√123√63√12

5√645√83√123√20

3√1353√6253√40√98√50√18

√72√27√20√18

13√2

5√316√115

7√52

5√32√–253√–125

4√16


Suma por diferencia

Es igual al cuadrado del primeromenos el cuadrado del segundo.

( + )( – ) =

= ( )2 – ( )2 = 5 – 2 = 3√2√5

√2√5√2√5

Operación Ejemplo

La potencia de un radical es igual al radical de lapotencia. ( )p

= n√apn√a ( )3 =

5√735√7

La raíz de un radical es otro radical de índice elproducto de los índices, y de radicando, el mismo. =

n·p√a

n√p√

—a =

15√75√ 3√

—7

Racionalizar una expresión consiste en eliminar los radicales del denomina-dor, transformando la expresión en otra equivalente.

Ejemplo

= = 3 · √55

3 · √—5

√—5 · √

—5

3

√5

4. Logaritmos

4.1. Logaritmo en base a

Ejemplolog2 32 = 5 porque 25 = 32

Casos particularesa) loga a = 1 ï a1 = ab) loga 1 = 0 ï a0 = 1En una potencia se da la base y el exponente y hay que hallar el resultado, mientrasque en un logaritmo se da la base y el resultado y hay que hallar el exponente.

Ejemplo Halla 53

Aplicando la definición de potencia: 53 = 5 · 5 · 5 = 125

Ejemplo Halla el número al que hay que elevar 2 para obtener 32Se decompone 32 en factores primos y se obtiene que 32 = 25, luego el expo-nente es 5

4.2. Logaritmos decimales y neperianos

Logaritmo decimalLos logaritmos decimales son los logaritmos en los que la base es 10. En este ca-so, la base 10 no se escribe.

log p = x ï 10x = p

Ejemplolog 1 000 000 = 6 porque 106 = 1 000 000

Logaritmo neperianoLos logaritmos neperianos son los logaritmos en los que la base es el númeroe = 2,718281… Se representan por L o ln

L p = x ï ex = p

EjemploL 1 000 = 6,907755…

CalculadoraLas calculadoras tienen las teclas para el logaritmo decimal y para el lo-garitmo neperiano.

lnlog

Relación existenteentre los númerosde la potencia

an = pa es la base.

n es el exponente, también llama-do logaritmo.

p es la potencia.

a) La potenciación tiene por ob-jeto calcular p, conocidos la ba-se a y el exponente n

b)La radicación tiene por obje-to calcular la base a, conocidosp y n

a = c) La logaritmización tiene por

objeto hallar el exponente ologaritmo n, siendo a ?? 1 y pdos números reales positivos co-nocidos.

n = loga p

n√p

Logaritmnosdecimales

log 1 000 = 3 ï 103 = 1 000

log 100 = 2 ï 102 = 100

log 10 = 1 ï 101 = 10

log 1 = 0 ï 100 = 1

log 0,1 = –1 ï 10–1 = 0,1

log 0,01 = –2 ï 10–2 = 0,01

log 0,001 = –3 ï 10–3 = 0,001

■ Piensa y calcula

Halla el valor de x en los siguientes casos:

a) 23 = x b) x3 = 125 c) 2x = 32 d) 103 = x e) x4 = 10 000 f) 10x = 1 000 000

El logaritmo en base a (a > 0, a ? 1) de un número p > 0 es el exponente x alque hay que elevar la base a para obtener el número p. Se representa por loga p

loga p = x ï ax = p (logaritmo = exponente)

EjemploCalcula: log 527,25 y L 36,482

4.3. Propiedades de los logaritmosSean: loga p = x ï ax = p; loga q = y ï ay = q

4.4. Cambio de base de logaritmosCuando el logaritmo es decimal o neperiano, se utiliza la calculadora para hallar-lo. Cuando el logaritmo tiene otra base, se utiliza la siguiente fórmula para reali-zar los cálculos, pasando a base 10

loga p =

EjemploCalcula: log3 29 Aplicando la fórmula del cambio de base, se pasa a base 10 y se tiene:

log3 29 = = 3,0650log 29log 3

log plog a

3,596818988=36.482ln2,722016588=527.25log

EjemploSabiendo que log 5 = 0,699halla el log 2

log 2 = log =

= log 10 – log 5 == 1 – 0,699 = 0,301

105

29. Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos:

a) 26 = x b) x5 = 32 c) 2x = 128

d) 106 = x e) x4 = 10 000 f) 10x = 1 000

30. Calcula mentalmente los siguientes logaritmos:

a) log2 32 b) log3 1 c) log5 1/25 d) log 100

31. Calcula mentalmente la parte entera de los siguienteslogaritmos:

a) log2 50 b) log3 36

c) log5 98,75 d) log 5 678,24

32. Utilizando la calculadora,halla los siguientes logaritmos:

a) log 725,263 b) log 0,00356

c) L 24,6845 d) L 0,000765

33. Sabiendo que log 2 = 0,3010 y aplicando las propieda-des de los logaritmos, halla los siguientes logaritmossin utilizar la calculadora:

a) log 4 b) log 5 c) log 8 d) log

34. Utilizando la calculadora y las propiedades de los loga-ritmos, halla:

a) log 2,517 b) log 0,0234–25

c) log d) log

35. Utilizando la calculadora y la fórmula del cambio de ba-se, halla los siguientes logaritmos y redondea los resul-tados a cuatro decimales:

a) log2 51,27 b) log3 8,431

c) log5 0,034 d) log7 1 000

6√0,09875√87,012

√5


Propiedad

a) El logaritmo de un producto es lasuma de los logaritmos.

Logaritmos

loga (p · q) = loga p + loga q

Demostración

loga (p · q) = loga (ax · ay) = = loga ax + y = x + y = loga p + loga q

b) El logaritmo de un cociente es ellogaritmo del numerador menosel logaritmo del denominador.

loga = loga p – loga qpq

loga = loga =

= loga ax – y = x – y = loga p – loga q

ax

ay

pq

c) El logaritmo de una potencia esel exponente multiplicado por ellogaritmo de la base.

loga pn = n · loga ploga pn = loga (ax)n = loga anx = nx == n · loga p

d) El logaritmo de una raíz es el lo-garitmo del radicando divididopor el índice.

loga = loga p

nn√p loga = loga = loga a = =

loga pn

xn

xn

n√axn√p

3,065044752=3log÷29log

Plan de Aula Matemáticas Grado 11º 2021 PERIODO 1

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