PLAN DE MEJORAMIENTO - MOVIMIENTOS EN EL ESPACIO

VECTORES

PRESENTADO A

INGENIERO HUGO MEDINA

PRESENTADO POR

EDISON PÉREZ

JOHAN CHAUX

NATALIA PUENTES

DISEÑO DE PRODUCTOS INDUSTRIALES

CENTRO DE DISEÑO Y METROLOGÍA

FICHA 576045

BOGOTA D.C. ABRIL 13 DE 2006

DEFINICIÓN

Las cantidades físicas que tienen propiedades ya sean numéricas como de dirección se representa mediante vectores. Algunos ejemplos de cantidades vectoriales son la fuerza, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración.

Muchos aspectos de la física tienen que ver en una u otra forma con posiciones en el espacio. Estudiaremos como describir la posición de un punto en el espacio, esta descripción se hace por medio de coordenadas.

SISTEMAS DE COORDENADAS Y MARCOS DE REFERENCIA.

Un punto sobre una línea puede describirse con una coordenada, un punto en un espacio se localiza con dos coordenadas, en tanto que se requieren tres coordenadas para localizar un punto en el espacio. En general, un sistema de coordenadas usado para especificar posiciones en el espacio se compone de:

Un punto de referencia fijo, denominado el origen. Un conjunto de ejes especificados con escalas y leyendas apropiadas sobre los ejes. Marcar un punto en el espacio en relación con el origen y los ejes.

El sistema de coordenadas que emplearemos es el sistema de coordenadas cartesiano. Se muestra un sistema de este tipo en dos dimensiones. Un punto cualquiera en este sistema se designa con las coordenadas (x, y). la dirección x positiva se designa arbitrariamente hacia la derecha del origen, y la dirección y positiva se defina arbitrariamente hacia arriba del origen. La dirección x negativa es a la izquierda del origen y la y negativa hacia abajo del origen.

Representaremos un punto en el plano por medio de sus coordenadas polares planas (r,0) como muestra la figura a continuación.

y

(x,y)

r

0

0 x

En este sistema de coordenadas, r es la distancia desde el origen hasta el punto que tiene coordenadas cartesianas (x,y) y 0 es ángulo entre r y un eje fijo.

CANTIDADES ESCALARES

Una cantidad escalar es la que esta especificada completamente por un numero con unidades apropiadas. Es decir una cantidad escalar solo tiene magnitud y no dirección.

Por otra parte, una cantidad vectorial es una cantidad física completamente especificada por un número con unidades apropiadas más una dirección, es decir una cantidad vectorial tiene magnitud tanto como dirección.

Otros ejemplos de cantidades escalares son la temperatura, el volumen, la masa y los intervalos de tiempo. Las reglas de la aritmética ordinaria se emplean para manejar cantidades escalares.

CANTIDADES VECTORIALES

La fuerza es un ejemplo de cantidad vectorial. Para describir de una manera completa la fuerza sobre un objeto se debe especificar la dirección de la fuerza aplicada, un número para indicar la magnitud de la fuerza, y la línea o punto de aplicación de la fuerza.

La velocidad es otro ejemplo de cantidad vectorial. Si se desea describir la velocidad de un objeto en movimiento se deberá especificar tanto su rapidez, como la dirección en la cual se mueve.

PROPIEDADES DE VECTORES

IGUALDAD DE DOS VECTORES: Dos vectores A y B pueden definirse como iguales si tienen la misma magnitud y apuntan a la misma dirección. Es decir A = B, solo si A = B y, los dos actúan a lo largo de direcciones paralelas. Pueden existir vectores iguales aun cuando tienen diferentes puntos de inicio.

ADICIÓN: Cuando dos o más vectores se suman todos deben tener las mismas unidades. No tendría sentido sumar, por ejemplo, un vector velocidad a un vector desplazamiento porque son cantidades físicas diferentes. Los escalares obedecen también a la misma regla.

Las reglas para las sumas de vectores se describen adecuadamente con métodos geométricos. Para sumar el vector B al vector A se dibuja primero el vector A, con su magnitud representada y después se dibuja el vector B a la misma escala con su origen empezando desde la punta de A. El

vector resultante R = A + B es el vector dibujado desde el origen de A hasta la punta de B. Esto se conoce como el método de adición del triángulo.

R = A + B

B

A

Suma de más de dos vectores el vector suma resultante R = A + B + C + D es el vector dibujado desde el origen del primer vector hasta la punta del ultimo vector.

D

C

R= A + B +C + D

B

A

Otro método grafico para sumar vectores es la regla de adición del paralelogramo. En esta construcción los orígenes de los dos vectores A y B están juntos y el vector resultante R es la diagonal de un paralelogramo formado con A y B como sus lados

B

A

R = A + B

Si tres o más vectores se suman, su total es independiente de la manera en la que se agruparon los vectores individuales, lo anterior recibe el nombre de ley asociativa de la suma.

A + (B + C) = (A + B) + C

Conclusión

Se concluye que una cantidad vectorial tiene magnitud y dirección, y obedece también a las leyes de la suma de vectores.

El negativo de un vector

El negativo de un vector A se define como el vector que al sumarse a A produce cero para suma vectorial. Es decir, A + (-A) = 0. Los vectores A y –A tienen la misma magnitud pero apuntan en direcciones opuestas.

Sustracción de vectores

La sustracción de vectores emplea la definición del negativo de un vector. Definimos la operación A – B como el vector –B sumado al vector A:

A – B = A + (- B)

A B

-B

R = A - B

Multiplicación de un vector por un escalar.

Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar positiva m, el producto mA es un vector que tiene la misma dirección que A y la magnitud mA. Si m es una cantidad escalar negativa, el vector mA está dirigido opuesto a A.

Por ejemplo: el vector 5A es cinco veces más largo que A; el vector – 1/3A es un tercio de la longitud de A y apunta a la dirección opuesta de A.

COMPONENTES DE UN VECTOR Y VECTORES UNITARIOS

Se emplean las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de un sistema de plano cartesiano, estas proyecciones se denominan las componentes del vector. Cualquier vector puede describirse por completo mediante sus componentes.

Mostramos un vector localizado en el plano xy y que forma un ángulo arbitrario 0 con el eje x positivo. Este vector puede expresarse como la suma de otros dos vectores Ax y Ay. Se ve que los tres vectores forman un triángulo rectángulo y que A = Ax + Ay.

La componente Ax representa la proyección de A a lo largo del eje x, y Ay representa la proyección de A a lo largo del eje y. Estas componentes pueden ser positivas o negativas. La componente Ax es positiva si Ax apunta a lo largo del eje x positivo y es negativa si Ax apunta a lo largo del eje x negativo. Lo mismo se cumple para la componente Ay.

Y

Ay A

0

Ax X

De la definición de seno y coseno se ve que cos 0 = Ax /Ay y que seno 0 = Ay/A. por tanto, las componentes de A son:

Ax = A cos 0

Ay = A sen 0

Estas componentes forman un triángulo recto cuya hipotenusa es de magnitud A. Así, se deduce que la magnitud de A y su dirección se relacionan con sus componentes por medio de las expresiones:

Magnitud de A: A = raíz cuadrada de Ax al cuadrado + Ay al cuadrado.

Dirección de A: Tan 0 = Ay / Ax

Vectores unitarios

Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene una magnitud exactamente igual a uno. Los vectores unitarios se utilizan para especificar una dirección determinada y no tienen otro significado físico. Se usan solo por conveniencia en la descripción de una dirección en el espacio.

Usaremos los símbolos i, j, k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z positivas, respectivamente. Los vectores unitarios i, j y k forman un conjunto de vectores mutuamente perpendicular en un sistema de coordenadas de mano derecha. La magnitud de cada vector unitario es igual a la unidad es decir, IiI = IjI = IkI = 1.

y

j x

i

k

z

Se muestra un vector a que se encuentra en el plano xy. El producto de la componente Ax y el vector unitario i es el vector Axi, el cual es paralelo al eje x y tiene magnitud Ax. Del mismo modo, Axj es un vector de magnitud Aypara lelo al eje y. la notación del vector unitario para l vector A se escribe:

A = Axi + Ayj

Por ejemplo un punto xy con coordenadas cartesianas (x,y). El punto puede especificarse por medio del vector de posición r , el cual en forma de vector unitario está dado por:

r = xi + yj

Es decir las componentes de r son las coordenadas de x y y.

Si se quisiera sumar vector B al vector A, donde B tiene componentes Bx y By, por el método de componentes, simplemente se suman las componentes x y y por separado. El vector resultante R = A + B es consecuentemente:

R = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j

Puesto que R = Rxi + Ryj, las componentes del vector resultante son:

Rx= Ax + Bx

Ry= Ay + By

Así, la magnitud de R y el ángulo que forma con el eje x pueden obtenerse a partirde sus componentes usando las relaciones:

También se deben considerar los signos de las componentes cuando se emplea el método algebraico o el geométrico.

La expresión de estos métodos a vectores tridimensionales es directa. Si A y B tienen componentes x, y z, los expresamos en la forma:

A = Axi + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

La suma de A y B es:

R = A + B = ( Ax + Bx )i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k

De este modo el vector resultante también tiene una componente z Rz = Az + Bz.

Con las componentes que acabamos de tratar también se suman dos o más vectores.

Lo anterior lo sustentaremos con maqueta vectorial.