P O L Í T I C A F I S C A L , E S T A B I L I Z A C I Ó N D E P R E C I O S Y M E R C A D O S

I N C O M P L E T O S

Francisco Venegas Martínez*

I n s t i t u t o Tecnológico y d e E s t u d i o s S u p e r i o r e s d e M o n t e r r e y

R e s u m e n : Se presenta un modelo estocástico de estabilización temporal de pre­cios en donde el t ipo de cambio actúa como ancla nominal de la tasa de inflación. E l modelo presenta credibi l idad imperfecta y reconoce, ex­plícitamente, la incertidumbre tanto en la dinámica del t ipo de cambio como en el comportamiento esperado de la política fiscal. Se supone que el t ipo de cambio es conducido por una mezcla de procesos es-tocásticos, específicamente, un proceso de difusión, y uno de saltos. Asimismo, se supone que la tasa imposit iva sobre la riqueza sigue un movimiento geométrico browniano. Ba jo ta l esquema se supone que no existe un mercado de productos derivados para cubrirse contra una devaluación futura de esta manera los mercados financieros son incom­pletos También se examinan las decisiones de consumo y portafolio de un consumidor representativo en el equilibrio, cuando se instrumenta el plan de estabilización v la política fiscal es incierta Por último se evahían los efectos de choques exógenos tanto de la política cambiaría como de la fiscal, sobre el bienestar económico. '

A b s t r a c t : Th is paper develops a stochastic model of temporary stabil ization of prices wi th the exchange rate acting as a nominal anchor of inflation. T h e model presents imperfect credibility, and explic it ly recognizes the uncertainty in the dynamics of the exchange rate and in the expected behavior of fiscal policy. It is assumed that a mixed diffusion-jump stochastic process drives the exchange rate. Also , the model supposes that the tax rate on wealth follows a geometric Brownian motion. U n ­der this framework, it is assumed that a derivatives market to hedge against future devaluation does not exist, that is, financial markets are incomplete. Consumpt ion and portfolio decisions of a representative consumer, in equi l ibr ium, are examined when the stabi l ization plan is implemented and fiscal policy is uncertain. F inal ly , the effects of ex­ogenous shocks in the exchange-rate policy and economic welfare are assessed.

Clasificación J E L : F 3 1 , F41, 1131

P a l a b r a s c l a v e : política fiscal, estabilización t e m p o r a l y modelación estocástica.

F e c h a d e recepción: 16 I 2004 F e c h a de aceptación: 11 X 2004

* Director del Centro de Investigación en Finanzas, fvenegas@itesm.mx

3

4 E S T U D I O S ECONÓMICOS

1. Introducción

E l impacto que l a política fiscal tiene en los programas de estabi­lización inf lacionaria, cuando el t ipo de cambio se u t i l i z a como ancla nomina l , ha sido durante mucho t iempo un tema central para los diseñadores de política económica. S in embargo, la gran mayoría de la l i t eratura sobre esta preocupación u t i l i z a esquemas deterministas, sin considerar factores de riesgo. E n el modelo propuesto se suporte que los agentes tienen expectativas de devaluación conducidas por un proceso combinado de difusión con saltos. E n dicho contexto, los pe­queños movimientos del t ipo de cambio, que están siempre presentes, se modelan con un movimiento browniano y una devaluación extrema y repentina, que ocasionalmente ocurre, se modela con un proceso de

L a mezcla de un proceso de difusión con uno de saltos propor­c iona colas pesadas y sesgo en la distribución del t ipo de cambio, lo que permite produc ir dinámicas de inflación que no pueden ser gene­radas ut i l i zando únicamente el movimiento browniano. Este hecho, no sólo es una sofisticación teórica, sino un aspecto relevante que i n ­corpora mayor realismo en el modelado de estabilización temporal . E l modelo supone que no existen activos contingentes (productos deriva­dos) en el mercado para cubrirse contra una devaluación futura . E n un ambiente estocástico, aún más rico, se supone una tasa impos i -

í r - q ™ ^ con los modelos deterministas de estabilización temporal , la presen-

económica. P o r ejemplo, se estudian los efectos sobre el consumo y el bienestar económico de cambios permanentes en los parámetros que determinan las expectativas, a saber: la tasa media esperada de deva­luación, la vo lat i l idad instantánea del t ipo de cambio, la probabi l idad de una posible devaluación, el tamaño medio esperado de una posible devaluación, el impuesto medio esperado ad vaírern a l consumo y el impuesto medio esperado sobre la riqueza.

Los programas de estabilización de la inflación que se l levaron a cabo en A r g e n t i n a , B r a s i l , Ch i l e , Uruguay, Israel y México entre

POLÍTICA F I S C A L 5

las décadas de los setenta y los noventa han sido ampl iamente do­cumentados . 1 Ex i s t e una extensa l i t e r a t u r a que estudia una serie de regularidades empíricas asociadas a dichos programas, ver, por ejemplo, H e l p m a n y R a z i n (1987), K i g u e l y L i v i a t a n (1992) y Végh (1992). Ex i s t e también un número creciente de modelos que propor­c ionan explicaciones de dichas regularidades empíricas. Modelos que pueden ser clasificados en varias categorías, a saber: fa l ta de credi­b i l idad (Calvo , 1986; Ca lvo y Végh, 1993 y Re inhar t y Végh 1993 y 1995); inercia Inflacionaria (Rodríguez, 1982 y Ca lvo y Végh, 1994); efectos por el lado «le la oferta (Roídos. 1995; U r i b c 1997; L a h i r i . 2001 v Rebelo y Végh, 1995) y bienes duraderos ( M a t s u y a m a , 1991 y de Gregorio , G u i d o t t i v Végh 1998). ' A u n q u e la incert idumbre es un elemento clave cuando un pro-

Aréchiga (2000) y Venegas (2000a), (2000b) y (2 )01) estudian el papel de la ^ c e r t i d u m b r e en la .nnánnca del t ipo de cambio v sus i m p l i c a ­ciones cuant i tat ivas . Todos estos modelos comparten semejanza^ im¬portantes: 1) los mercados de productos derivados son inexistentes, 2) la recaudación de impuestos no es re tr ibu ida a los agentes v 3) la variables de política económica son estocásticas. '

E l modelo propuesto en la presente investigación tiene varias ca­racterísticas dist intivas en el estudio de los efectos de la incerl idumhre en programas de estabilización inf lacionaria basados en el tipo de cambio: 1) considera todos los factores de riesgo en la dinámica del t ipo de cambio, proporc ionando un ambiente estocástico más realista: 2) obtiene soluciones analíticas, haciendo más fácil la comprensión de los temas centrales en el análisis de estabilización tempora l y 3) exami ­na los efectos sobre planes de estabilización tempora l de un impuesto incierto sobre la r iqueza.

E l trabajo se ha organizado de la siguiente manera. E n la sección dos se desarrol la el marco teórico de un modelo estocástico del t ipo de Ramsey para una economía pequeña y abierta que consume un solo bien y tiene una restricción c a s h - i n - a d v a n e c . Los agentes tienen expectativas de devaluación conducidas por un proceso combinado de difusión con saltos y pagan impuestos sobre l a r iqueza de acuerdo

Se remite al lector a las referencias contenidas en Calvo y Végh (1999).

6 E S T U D I O S ECONÓMICOS

con un movimiento geométrico browniano. E n la tres se resuelve el problema de decisión del consumidor, en la cuatro se real izan experi ­mentos de estática comparat iva . E n la sección cinco se examinan las implicaciones de la estabilización tempora l en el bienestar económico, en l a seis se estudia el comportamiento dinámico de l a r iqueza y del consumo y se t ra tan varios temas de política cambiaría. E n la última sección se presentan conclusiones y l imitaciones del trabajo , y se es¬tablece la agenda para investigación futura . Dos apéndices* contienen algunos detalles técnicos del problema del consumidor.

2. M a r c o teórico del modelo

C o n el propósito de obtener soluciones analíticas en un modelo es-tocástico del t ipo de Ramsey se mantendrá la estructura de la eco­nomía, tait s imple como sea posible. A lgunos de los principales su­puestos del modelo se establecen, de t a l manera, que los aspectos relevantes de la estabilización tempora l sean más fáciles de compren­der.

2.1. Dinámica d e l n i v e l d e p r e c i o s

Se considera una economía pequeña v abierta con agentes idénticos de v i d a inf inita . L a economía produce v consume un solo bien pere­cedero. Se supone que el bien es comerciable internacionahnente v el nivel general de precios domésticos P , . es determinado por la „m,|. ción de poder de par idad de compra , a saber, P t = P * c u donde P¡ es el precio en moneda extranjera del bien en el resto del mundo y et el t ipo de cambio nominal . Se supone, por s impl i c idad , que P * es igual a l . También se supone que el valor in i c ia l del t ipo de cambio, e 0 , es conocido e igual a 1.

Se supone que el número de devaluaciones esperadas, i.e., los saltos en el t ipo de cambio, por un idad de t iempo, siguen un proceso de Poisson N T con intensidad A, de ta l manera que

I P ( J V ) {un salto uni tar io durante d i } = W ( N ) { A N t = 1}

= Adt + o (d í ) , (1)

mientras que

I p W { n i n g n salto en di } = ! P ^ { d N t = 0}

POLÍTICA F I S C A L 7

= l - X d t + o ( d t ) . (2)

Así, E ( J V > k l N A = V a r < W ) \dNt] = X d t . E l número i n i c i a l de saltos se supone igual a cero, es decir, N 0 = 0.

Considérese un proceso de Wiener (Z,)t>o definido en u n espacio de probab i l idad fijo con su filtración aumentada

( í ^ ( z \ ^ < z \ ( J f ) ) t > o , I P < z , ) .

Se supone que el consumidor percibe que la tasa de inflación esperada, d P t / P t V, por lo tanto , la tasa esperada de devaluación, d e t / e t , sigue un movimiento geométrico b r o w i i a n o con saltos de Poisson descrito por

— = — = ?rdí + a p d Z t + n d N t , (3) P t ct

donde 7T es la tasa media esperada de devaluación condic ionada a que no se presenten saltos, op l a vo lat i l idad instantánea del n ive l general de precios y n el tamaño medio esperado de un salto en el t ipo de cambio. E l proceso Z t se supone independiente de N t . E n lo que se sigue, a p A y „ son constantes positivas.

2.2. S a l d o s m o n e t a r i o s r e a l e s

E l agente mantiene saldos monetarios reales, m t = M , J P U donde M t

es el acervo nomina l de dinero. L a tasa de retorno cstocástica por la tenencia de saldos reales, d R m , está dada por el cambio porcentual en el precio del dinero, en términos de bienes. A l aplicar el l ema de Itó para procesos de difusión con saltos al inverso del nivel de precios, con (3) como el proceso subyacente (ver apéndice A , fórmula (A.2)) , se obtiene ^ 1 "

A R m = A { ^ = ( _ T + < r 2 ) d t _ f f p d Z t _ ( _ ^ _ ) d i V t . (4)

2.3. B o n o s i n t e r n a c i o n a l e s

E l agente también tiene acceso a un bono internacional , b t , que paga una tasa de interés real l ibre de riesgo, r , constante para todos los plazos. En este caso, se satisface

8 E S T U D I O S ECONÓMICOS

d b t = r b t d t , b 0 dado. (5)

E s decir, el bono paga r unidades del bien de consumo por un idad de t iempo . Los agentes t o m a n r como dada. L a ecuación (5) se puede interpretar como una cuenta bancar ia en la que se real iza un depósito in i c ia l con valor b 0 a l t iempo cero y que gana a una tasa instantánea libre de riesgo, r , en cada instante t .

2.4. I m p u e s t o s s o b r e la r i q u e z a

Se considera ahora un proceso de Wiener (<7 t) r> 0, definido en un espacio de probabi l idad fijo equipado con su filtración aumentada (íllU\r(U>,(^t

U))t>o,ViV}). Se supone que el consumidor represen­tat ivo percibe que su r iqueza es gravada a una tasa inc ierta , r „ de acuerdo con la ecuación diferencial estocástica siguiente:

— = fát + o T d Z t , r 0 > 0 , (6) n

con

Z t = p Z t + y/T=¿*Ut (7)

C o v ( d Z t , d ( P Z t + y/í=7ut)) = p d t , (8)

donde f es la tasa media esperada de crecimiento del impuesto sobre la r iqueza, o> la vo lat i l idad de la tasa impos i t iva en la r iqueza y P e ( - 1 , 1 ) la correlación entre los cambios en la inflación y los cambios en los impuestos sobre la riqueza. Observe que un incremento en el t ipo de cambio deprecia los saldos monetarios reales, lo que, a su vez, reduce el valor real de los activos, situación que puede llevar a la

y

2.5. Restricción d e l t i p o c a s h - i n - a d v a n c e

Considere una restricción del t ipo c a s h - i n - a d v a n c e de la forma Clower -Lucas-Feenstra :

POLÍTICA F I S C A L 9

(9)

donde ct es el consumo y a > 0 el t i empo que se mantiene e l dinero para financiar el consumo. L a condición (9) es crítica p a r a l igar l a política cambiaría con el consumo. De está forma, la devaluación actúa como un impuesto estocástico en los saldos monetarios reales.

3. P r o b l e m a de decisión del consumidor

E n esta sección se caracter izan las decisiones óptimas de consumo y portafolio de u n agente representativo.

3.1. Restricción p r e s u p u e s t a ! i n t e r t e m p o r a l

L a acumulación de la r iqueza del consumidor en términos de las de­cisiones de portafol io , w t = m t / a f , 1 - w t = b f / a t , v de consumo, ct, está dada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales estocás' ticas:

í d a t = a t w t d R m + a t ( l - w t ) d R b - ( r t a t + (1 + ? ) c t ) d i ,

I (1T¿ = T T f d t + a T T t (pdZt + y / l - p 2 d U t ) , r0 > 0,

donde d R b = d b t / b t y f e s una tasa impos i t i va ad v a l o r e m a l consumo. Si se sust i tuyen la ecuaciones (4), (5) y (9) en la pr imera ecuación del sistema (10), se tiene que

d o t = « t (r - ßu't - Tt) d t - w t o p d Z t - w t ( ~ ! 1 — ) d N t , (H)

donde ß= ( l + f ) « " 1 + r + r + n — c r ~ .

3.2. índice d e satisfacción

La función de u t i l i d a d del t ipo von N c u m a n n - M o r g e n s t e r n a l t iempo í, Vu del consumidor compet i t ivo y adverso al riesgo está d a d a por

10 E S T U D I O S ECONÓMICOS

Vt = E log(c a ) sd.s Tt } (12)

donde Tt = <g> representa la información disponible en t . Observe que l a tasa subjet iva de descuento del agente ha sido igualada a la tasa de interés, r , para evi tar dificultades técnicas, innecesarias en la dinámica de equi l ibr io . Se emplea la función de u t i l i d a d logarítmica con el propósito de generar soluciones analíticas que hagan más simple el análisis posterior

3.3. L a ecuación d e H a m i l t o n - J a c o b i - B e l l m a n

L a ecuación de H a m i l t o n - J a c o b i - B e l l m a n para el problema de control óptimo estocástico, en el que se m a x i m i z a la u t i l i d a d esperada del agente sujeto a su restricción presupuestal intertemporal , es:

\ l ( a U T t , t ) - I t { a t , T U t ) - I T { a t , T t , t ) f T t - - I T r ( a t , r t , t ) r ? a l

- I a { a t , r t , t ) a t ( r - r t ) = m a x l o g ( a - 1 o í t i - í ) c - r í - I a ( a t , Tt,t)atßwt

es l a función de u t i l i d a d indirecta (o función de bienestar económico) del consumidor , e I a ( a t , T t , t ) es la variable de coestado.

3.4. Reducción d e la dimensión d e l p r o b l e m a

(13)

donde

Dado el factor de descuento exponencial en la u t i l idad indirecta , se define I ( a t , T t , t ) en forma separable en el t iempo corno

POLÍTICA F I S C A L 11

I ( a t , T t , t ) = F ( a t , T t ) e . - r t . (14)

P o r lo tanto, la ecuación (13) se transforma en

( A + r ) F ( « t , r t ) - F T ( a t , r t ) f T í - Í F T r ( a í , r t ) T t2

( r 2 - F a ( a t i T t ) a í ( r _ n )

= m a x i ìogia^atwt) ~ Fa(aun)atßwt + - F a a ( a u n ) a ? w h l 7(1 I V F

- F . T C , . r , ) . , ^ . , ^ ^ + A F ( „ , ( ' + ' 1 ' ' ; ; ' - ' ) , T , ) l ,15)

Se postula como posible candidato de solución de (15)

F ( a t , T t ) = ñ0 + fi1log(-)+H(rt;62,fi3), (16)

donde 6 0 , 6j y H ( r f ) se tienen que determinar de la ecuación (15). A l sust i tuir la ecuación (16) en (15), se obtiene

r (fio + h log ( a t ) ) + ê 1 l f - r - ^ + r H ( r t ) - H ' ( r t ) r t f

- X - H " ( r t ) r f a l - r f i Y l og (r t ) + fiin = m a x i l o g ( a - \ H w t ) - Sj.flwt

4 / 1 ^ - 1 + X f i 1 \ o g ( 1 + " i{ 1

+ - W t ) ) . (17)

3.5. C o n d i c i o n e s d e p r i m e r o r d e n y determinación d e c o e f i c i e n t e s

Las condiciones de pr imer orden del problema de optimización i n ­tertemporal del agente representativo conducen a una proporción de riqueza asignada a la tenencia de saldos reales invariante en el t iempo, wt = w, así como a l a relación

12 E S T U D I O S ECONÓMICOS

^ - l + n X ( ¡ - W ) = ( 1 + ? ) a " + + ^ " ^ + U < ( 1 8 )

A h o r a se tiene que determinar H ( r t ) como solución de la ecuación diferencial o rd inar ia de segundo orden

r H { r t ) - H ' { T t ) r t T - \H"(jt¡Tt a 2T - r S i logfYí) + 8 \ T t = 0. (19)

L o s coeficientes S 0 y ¿i son determinados de (15), después de sust i tu i r el valor óptimo w * . Así, ¿i = r ~ L , lo que produce que el coeficiente de l o g ( « f ) en la (17) sea cero y

< 5 0 = i l o g ( a - 1w , * ) - l ((1 + T ) « - 1 + r + 7 r - a 2

p ) w *

4 ( W V p ) 2 + , - , - ^ - A l o g ( 1 + ^ -l + n

(20)

E l supuesto de u t i l i d a d logarítmica conduce a que w dependa, solamente, de los parámetros que determinan las características es-tocásticas de la economía y, por lo tanto, w es constante. E s decir, la ac t i tud del consumidor hacia el riesgo cambiarlo es independiente de su r iqueza, i.e., el nivel de riqueza que resulte en cualquier instante no tiene relevancia para las decisiones de portafolio. Más aún, debido a la u t i l i d a d logarítmica, el coeficiente de correlación, p € ( - 1 , 1 ) , no j u e g , papel 4 „ , „ „ ¿ del ™ » .do,.' W U ¿ os importante señalar que la ecuación (18) es cúbica, por lo que tiene, al menos, una raíz real.

L a solución de la ecuación (19) es (ver apéndice B )

í , ( T t ) = ^ + W 2 + 1 l o g ( r t ) T

1 + — 4 ? T \ + i ( l - l í \ (21)

donde 4r

71 (27= - a 2.) + V/ ( 2 f - 0-2)2 + g r a 2

)

POLÍTICA F I S C A L 13

y

72 = (2f - o%) - ^ ( 2 ^ - 0 - 2 ) 2 + 8 ^ 2 '

Los coeficientes 62 y ¿3 se determinan, de ta l manera, que H ( T 0 ) = O y F ' ( r o ) = O (ver apéndice B ) . L a pr imera condición in i c ia l , H ( r Q ) = O, asegura que el bienestar económico,

sea independiente de la selección de H . L a segunda condición in i c ia l , H ' ( T 0 ) = O, garant iza que la función de bienestar sea decreciente respecto al impuesto a la r iqueza, esto es,

y también asegura que H sea la única solución de la ecuación (19).

3.6. U n a asignación v i a b l e d e l p o r t a f o l i o

L a ecuación (18) es cúbica, con una raíz negativa v dos posit ivas. Es to puede verse s i se intersecta l a línea recta definida por el lado dere­cho de la ecuación (18) con la gráfica definida por su lado izquierdo. E n este caso, hay solamente una intersección que proporc iona un es­tado estacionario único de la riqueza, que el consumidor asigna a la tenencia de saldos reales w * e (0,1) .

4. E x p e r i m e n t o s de política económica (estática c o m p a r a ­tiva)

E n esta sección, se obtienen los primeros resultados relevantes del modelo propuesto. U n aumento permanente en la tasa de devalua­ción da como resultado un incremento en el costo de opor tun idad futuro de comprar bienes, lo cual , a su vez, conduce a una d i sminu ­ción permanente de la proporción de la riqueza destinada al consumo futuro. P a r a ver esto, se ca lcula l a derivada de la ecuación (18) con

d i = < O,

respecto de rr, lo cual conduce a

= - t f - 1 < O, (22)

14 E S T U D I O S ECONÓMICOS

donde

+ T: r r +0-( t «* ) 2 [1+»? (1 - w * ) }

2 2 ' (23)

E l segundo resultado es la respuesta de los saldos monetarios reales de equi l ibr io , w * , a cambios permanentes en el parámetro de intensidad, A. U n aumento en el numero esperado de devaluaciones por u n i d a d de t iempo ocasiona un incremento en el costo de o p o r t u ­n idad futuro de la compra de bienes. Es to , a su vez, d isminuye de forma permanente la proporción de la r iqueza dedicada al consumo futuro De hecho, después de calcular la derivada de la ecuación (18) con respecto de A se obtiene se

d w * dX * [ l + r , ( l - « . * ) ]

< 0. (24)

U n efecto equivalente se logra por un cambio en el tamaño medio esperado de un salto:

d w * X d V * [ 1 + „ ( 1 < U " ( Ú >

P o r último, un aumento en el impuesto a d v a l o r e m a l consumo producirá una reducción permanente en la proporción de la r iqueza asignada a l consumo futuro, y a que

^ C = — V < 0. (26)

5. Impacto en el bienestar económico

Aquí evaluamos los impactos de choques exógenos en el bienestar económico. C o m o siembre, el criterio de bienestar, W, del ind iv iduo representativo es la u t i l i d a d indirecta , con una riqueza real in i c ia l , a 0 , y una tasa impos i t iva in i c ia l de la r iqueza, r 0 . Por lo tanto, en v i r t u d de l a ecuación (14), el bienestar está definido por:

W ( n , X, r¡, T , r ; a 0 , TQ) = / (oo, TQ, 0) = F { a 0 , TO) = - [ 1 + l o g ( a 0 / r 0 ) r

1 + l o g ^ " 1 » * ) ] - 3 ((1 + ? ) a ~ l + r + rr - a 2

p ) w * + ±(w*vp ) 2 + f

POLÍTICA F I S C A L 15

- ^ - A l 0 H i + , )J' ( 2 7 ) 2 °V 1 + r ,

donde se ha considerado el hecho de que H ( T 0 ) = 0.

5.1. I m p a c t o d e c a m b i o s p e r m a n e n t e s d e l t i p o d e c a m b i o e n e l b i e n e s ­t a r

A h o r a se calculan los impactos en el bienestar económico de c a m ­bios permanentes en la tasa media esperada de devaluación, la pro­bab i l idad de devaluación y el tamaño esperado de una devaluación. P r i m e r o , obsérvese que un incremento en la tasa media esperada de devaluación reduce el bienestar económico. E n efecto, a l ca lcular l a der ivada de la ecuación (27) con respecto a n tenernos que

O W w * — = 5- < 0, (28)

On r 2

Análogamente, un choque exógeno en la probabi l idad de deva­luación tiene que reducir el bienestar económico. P a r a ver esto, es suficiente calcular la derivada de la ecuación (27) con respecto a A

2 l o s ( r r — - ) < ° - ( 2 9 )

P o r último, un incremento en el tamaño esperado de u n a deva­luación reduce el bienestar económico, ya que

d W _ _ l _ X w * ( 1 + » / ) ( ! + r } ( l ~ w * ) )

< 0. (30)

5.2. I m p a c t o d e la política fiscal e n e l b i e n e s t a r económico

A h o r a se calculan los impactos en el bienestar económico producidos por cambios permanentes en la tasa impos i t iva media esperada a la r iqueza y el impuesto esperado ad v a l o r e m a l consumo. E n este caso, se tiene

d W 1

16 E S T U D I O S ECONÓMICOS

O W 1 - i *

- t f = ~ ^ 2 n W < 0 - ( 3 2 )

P o r lo tanto, un aumento en la tasa impos i t iva media esperada sobre l a r iqueza y la tasa impos i t i va en el consumo llevará a una reducción en el bienestar económico.

6. R i q u e z a y consumo

A h o r a se obtiene el proceso estocástico que genera la r iqueza real del consumidor cuando se apl i ca la regla óptima. Después de sust i tu i r «»* en l a ecuación (11) tenemos

do t = «t V Xrjw / * \2 \ l { l + n ( l - u , * ) + [ W - T t )

donde

Tt = TQ e x p | ( f - \ o l ) t + £ f r \ / i } , (34)

y £ ~ Aí{0,1). L a función densidad de probabi l idad de r t , dado r 0 ,

f T t í n ( x \ T o ) = 2 i r t a T x

r _ i ( i o B ( ^ ) - ( r - w ) ^ | ( 3 5 )

Además, se tiene

E [T t |r 0 ] = r 0 e f t (36)

Var[T í|ro] = r 02 e 2 « ( e ' T ' t - l ) . (37)

y

POLÍTICA F I S C A L 17

L a solución a l a ecuación diferencial estocástica (33), condic io ­nada por «o, es (ver apéndice A , fórmula (A.3))

a t = a o A (38)

donde 2

ít=Ot + <Pu 0 t \ T t ~ A f l [ F ( u n - T t } t , G ( w * ) t } , (39)

* t = L ( w * ) N u (40)

y

N t ~ V ( X t ) . (41)

Los componentes estacionarios de los parámetros de las d i s t r i b u ­ciones antes mencionadas son:

X l ) W * ( w * a p

F ( w * ) = j - - + 1 + Í / ( 1 - W * ) 2

G ( w * ) = ( w * a p ) 2 ,

T , , / l + ' ? ( ! -¿ ( w ) = l 0 g ( l + r , i '

Además, observe que

E [£ T |T T ] = [ F ( w * ) - n + L ( w * ) X } t (42)

7 Var[6|rí] = [G(W*) + [ L ( w * ) ] 2 A ] í . (43)

Más aún, se sigue que

E[&] = E {E[ í t |r t ] } = [F(w*) + T 0 e t f + L ( w * ) X ] t , (44)

y V a r f o ] = Var {E fe|r t ] } + E{Var[ í t |r t ] }

= i ^ V ^ e ^ - 1) + [G(«;*) + [¿(«>*)] 2A]í. (45)

2 rr~7'(a) denota una variable aleatoria de t ipo Poisson x con media a .

18 E S T U D I O S ECONÓMICOS

Estas dos últimas ecuaciones, de acuerdo con (38), de terminan la med ia y la var ianza de l a veloc idad a la que crece la r iqueza real del ind iv iduo .

6.1. Dinámica d e l c o n s u m o

E n v i r t u d de las ecuaciones (9) y (38), el proceso estocástico para el consumo se puede escribir como

c ^ a - V * ^ . (46)

L o que ind i ca que, en ausencia de mercados de productos deriva­dos, el riesgo de devaluación tiene u n efecto en la r iqueza mediante l a incert idumbre en es decir, la incert idumbre cambia el conjunto de oportunidades que enfrenta el consumidor. P o r o t ra parte, el riesgo de devaluación afecta de igual manera la composición del portafol io a través de sus efectos en « *. De este modo un cambio en la política

Se puede concluir que la incert idumbre es un elemento clave para racional izar dinámicas del consumo más realistas, que no podrían ser obtenidas a través de modelos deterministas. P o r último, en v i r t u d de (46), las ecuaciones (44) y (45) determinan la media y la var ianza de la velocidad a la que crece el consumo.

6.2. A u g e s e n e l c o n s u m . o

A h o r a se analizará una política económica de la forma:

Í 7ri para 0 < í < T , ~ (47)

T T 2 para t > T,

donde T se determina exógenamente y rri < T T 2 , como en Ca lvo (1986). Observe que hay falta de cred ib i l idad , incluso si no se cambian los

P O L Í T I C A F I S C A L 19

parámetros, y a que los agentes siempre asignan alguna p r o b a b i l i d a d a l evento de la devaluación. De la ecuación (46) se puede escr ib ir

l i m = ^ | e x p { - ( í t ( 7 r i ) - Í T + A M ) } = ! 4 -A — 0 + C T W-¡_

E l límite significa que, aunque los componentes estacionarios de la variable aleatoria & son diferentes antes y después del t i e m p o T, ta l diferencia llega a ser tan pequeña como se desee cuando A -+ ()+. P o r lo tanto,

l i m 4 + A = 4 - | . (48) A - + 0 + w i

También se observa que w¡/w¡ < 1, junto con l a ecuación (48). i m p l i c a que

4 > l i m c*T+A, A - + 0 +

lo cua l ind ica un salto (auge) en el consumo a l t iempo T. E s de­cir , si se espera que el p lan de estabilización sea temporal , entonces existe un salto en el consumo en T. U n análisis s imi lar puede ser apl icado a cualquiera de los parámetros restantes que de terminan las expectativas de devaluación, a saber A y

7. Conclusiones

L a investigación documentada, se ha orientado a una clase de modelos determininistas dirigidos a explicar efectos imposit ivos en u n marco de estabilización temporal . L a mayoría de los modelos existentes igno­ran la incert idumbre, proporcionando justificaciones elaboradas para menospreciar factores de riesgo. Después de todo, lo que hace que los planes de estabilización sean temporales es l a incert idumbre misma. Se h a presentado un modelo estocástico de estabilización basado en el t ipo de cambio y con cred ib i l idad imperfecta. U n a característica importante de esta formulación es que existe fa l ta de cred ib i l idad , i n ­cluso si no se cambian los parámetros que determinan las expectativas de l a devaluación.

Se han considerado varias formas de impuestos distorsionantes, un impuesto a la r iqueza real y un impuesto ad v a l o r e r n . a l consumo.

20 E S T U D I O S ECONÓMICOS

Se ha mostrado que una política fiscal inc ierta puede conducir a c a m -

nista. L a consideración de los impuestos permite anal izar dinámicas transicionales más complejas, pero los resultados fueron ciertamente más ricos. E n esta propuesta, la incert idumbre ha sido la clave para racional izar dinámicas de consumo más realistas en el estudio de la estabilización temporal .

P o r último, es importante mencionar que el trabajo desarrollado requiere, en una etapa posterior, de una calibración o simulación con el fin de replicar algunas de las regularidades empíricas observadas en los episodios de estabilización inf lacionaria.

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22 E S T U D I O S ECONÓMICOS

Apéndice A

E n este apéndice se establecen sin demostración 3 dos resultados útiles en el desarrollo del presente trabajo : 1) E l l ema de Itó para procesos combinados de difusión y saltos de Poisson, el cual puede ser enunciado de la siguiente manera. D a d a la ecuación diferencial estocástica l ineal y homogénea

áxt = x t i l i d t + a d z t + n d q t ) , z t ~ / V { 0 , t ) , q t ~ V ( \ t ) . ( A . l )

y u n a función g { x t ) cont inua y dos veces d i f e r e n c i a r e , entonces la di ferencial estocástica de g ( x t ) está determinada por

d g ( x t ) = { g x ( x t ) , t x t + \ g x x ( x t ) a 2 x 2 ] d t

+ g x ( x t ) a x t d z t + [ g ( x t { l + V ) ) - g { x t ) ] d q t .

2) L a solución a la ecuación ( A . l ) está dada por

(A.2)

x t = x 0 ej exp { ( „ - \ a 2 ) t + a jT d z u + l o g ( l + V ) £ d í u J . (A.3)

E s importante tener presente, al usar (A.3) , que para t > 0 las propiedades para z t y q t son:

E / Lio

0, E d u = t , y E J o

Ai. zz

Apéndice B

E n este apéndice se resuelve la ecuación diferencial o rd inar ia l ineal de segundo orden no homogénea, la cual aparece en la ecuación (20). Sea H = H ( r ) y considérese la ecuación diferencial o rd inar ia de segundo orden no homogénea del t ipo de E u l e r - C a u c h y

3 Ver Gihraan y Skorohod (1972, cap. 2).

POLÍTICA F I S C A L 23

T2H» + z l r H ' - % H = - A i o g ( T ) + J L r , ( B . l )

donde r y a son constantes positivas. A continuación, la ecuación ( B . l ) se transforma en una ecuación diferencial con coeficientes cons­tantes, para ello se apl i ca el método de E u l c r en el que se u t i l i z a el siguiente cambio de variable r = é. Así, t = log (r ) ,

OH _ 1 O H

y

0 2 H _ 1 ( d 2 H 0 H \ ^ O T 2 T 2 \ d t 2 d t

Después de sust i tuir las ecuaciones (B.2) y (B.3) en la ecuación ( B . l ) , se obtiene

0 2 H ( 2 f \ d H 2 r 2 2 f

-f- I —5- — 1 ) —— = ? í + ^ e * . B .4 d t 2 \<T 2 / d t a 2 a 2 r a 2 v

L a solución general es de la forma:

H ( t . ) = H c { t ) + H p ( t ) , (B.5)

donde H c es l a solución complementar ia asociada a la ecuación ho­mogénea y H p es una solución part i cu lar de la ecuación no homogénea. P a r a determinar H c , se requiere resolver la siguiente ecuación carac­terística:

7 a + 0 î _ l ) 7 _ £ = O.

De aquí que l a solución complementar ia es

H c ( t ) = ¿ 2 e 7 l í - r - < 5 3 e 7 2 t , (B.6)

donde las dos raíces están dadas por

4r 7 1 " ( 2 f - o * ) + ^/(2f - 0 - 2 ) 2 + 8 7 P

y

24 E S T U D I O S ECONÓMICOS

4r 72 = — , •

(2r - a ) - y / ( 2 T - < T j + 8 r a

Enseguida se determina H P , para ello se u t i l i z a el método de coeficientes indeterminados. Se supone que la solución es de la forma:

H p { t ) = A t + D + Cié. (B.7)

P o r lo tanto , H ' p ( t ) = A + C ( t + y H ' p ' ( t ) = C ( t + 2)e*. Después, se sustituye la ecuación (B.7) en la ecuación (B.4) , lo cua l conduce a

í2! _ * L ) C t e t + ( l + 2-L) - * A t \ a 2 a 2 J \ a 2 ) a 2

+ ( 2 i _ i ^ _ H : B = _ A t + J_c«. \ < y 2 ) a 2 o2 r a 2

A l resolver término a término se tiene que los valores de A , D y C, están dados por

1 1 2 A = - B = Í 2 T - Í T 2 ) v C =

r " 2 r 2 { > ' y U r ( a 2 + 2 í ) '

de donde para una solución part i cu lar se cumple que f = r . P o r lo tanto,

H P ( t ) = - * - £ + - + , o2 o y - (B.8) r 2 r 2 r T ( O 2 + 2T)

A l sust i tuir las ecuaciones (B.6) y (B.8) en la ecuación (B.5) se tiene que

H(t) = S2e^ + 6 3 e 7 2 t + - t - £ + - + , ? n M• T 2T¿ T T ( a ¿ + 2 T )

C o m o r = e\ l a solución general de la ecuación ( B . l ) , en térmi­nos de T , está dada por

H ( T ) = 6 2 T 7 1 + ¿ 3 T 7 2 + - log(r ) T

POLÍTICA F I S C A L 25

1 + O 1 + 2 f

r ) + -(l-°-2f

(D.9)

Los valores de 6 2 y 63 que satisfacen las condiciones iniciales H ( T Q ) = H ' ( T Q ) = 0 son

¿2 f (7i -72)

2T 0

7 2 ( log(ro) + 1 - Ç\

a 2 + 2 f ( l + log (r 0 ) ( l~72) ) + l

h = f (71 - 72)

2r 0

"7! ( log(ro) + 1 - °-\

a 2 + 2r V ( l + l o g ( T 0 ) ( l - 7 l ) ) + 1