PRÀCTICA PROBABILITAT treball cooperatiu

CURS DE TREBALL COOPERATIU

PRÀCTICA DE

PROBABILITAT

COL·LEGI TERESIÀ - TORTOSA

Albert Ferré Farnós

4 de setembre de 2012

PERSONES IMPLICADES

Alumnes de 4t d’ESO.

Professor de matemàtiques de 4t d’ESO (Albert Ferré) .

TÈCNIQUES UTILITZADES

Hi haurà mecanismes per realitzar tècniques diferents. Les tècniques utilitzades seran:

“Sac de dubtes”

“Llapis al centre”

“El nombre”

“Un per tots”

Aprenentatge Basat en Problemes “ABP”

UBICACIÓ (NIVELL, ÀREA, TEMPORITZACIÓ, ...)

Nivell: 4t ESO

Àrea: Matemàtiques (Departament de Ciències).

Tema: Probabilitat

Lloc: Aula de 4t d’ESO i laboratori de ciències.

Temporització: 1 hora/setmana.

Material complementari: els exercicis què fa referència el treball estan estrets del llibre de matemàtiques de 3r i 4t d’ESO de l’editorial Teide (ISBN: 978-84-307-8519-3 i 978-84-307-8655-8 respectivament).

OBJECTIUS

Primers passos en metodologia de treball cooperatiu. Tècniques senzilles i millorables en posteriors adequacions del treball.

Aprendre noves metodologies, el treball cooperatiu; posant prou èmfasis en l’Aprenentatge Basat en problemes (ABP).

Reforçar les explicacions del professor/a sobre el tema de probabilitat (classes de matemàtiques). Només treballarem cooperativament alguns dels apartats del tema de probabilitat (no tot el temari, no tota la unitat didàctica).

Treballar la tècnica de l’alumne com a tutor.

...

MATEMÀTIQUES 4t ESO

TEMA: PROBABILITAT

Sessió Nº 1 Data: Lloc: Aula de 4t d’ESO (la classe)

OBJECTIU / CONTINGUT

Realitzar grups base. Explicar les tècniques a utilitzar. Explicar conceptes elementals d’experiments aleatoris. Fomentar l’esperit d’equip (no individualista).

ESTRUCTURA COOPERATIVA

“Creació de grups base”:o El professor portarà els grups muntats.o Equips de composició heterogènia. Distribuir els alumnes de la classe en tres

subgrups: Els capaços de donar ajuda (Tipus A). Els més necessitats d’ajuda (Tipus B). La resta dels alumnes (Tipus C).

o Alumnes per grup: 4 (1 de tipus A, 1 de tipus B i 2 de tipus C).o Nº de grups: 6.

Cada grup s’asseurà compartint quatre taules, tot formant un quadrat (tots de cara a tots).

o Temps: 5 min.

Explicació de les tècniques que anem a utilitzar: “El llapis al centre”, el “Sac de dubtes” i “1 per tots”.

o Explicació.o Temps: 3 min.

Explicació de conceptes:

o Experiment aleatori.o Espai mostral.o Esdeveniment (elemental, impossible, segur).

Amb els grups formats, i emprant la tècnica de “El llapis al centre”, el professor anirà explicant cadascun dels conceptes anteriors. Entre concepte i concepte, l’alumnat disposarà d’un temps de 2 minuts per anotar el concepte a la seva llibreta (tècnica de “El llapis al centre”).

Per a cadascun dels conceptes anteriors el professor mostrarà exemples.

Tot seguit, i per grups, els alumnes hauran de fer un llistat d’exemples bons i erronis de cadascun dels conceptes explicats. Si hi ha incerteses, utilitzarem la tècnica del “Sac de dubtes”.

També podem demanar als alumnes que creïn qüestions amb resposta tipus test sobre el temari explicat de manera que formulin les qüestions als altres grups de classe per posar-los a prova.

Temps: 45 minuts.

Per acabar, el professor escollirà un quadern de cada grup (d’un sol membre del grup) i posarà nota al grup en funció del quadern escollit. Utilitzarem la tècnica de “1 per tots”.

Temps: 1 min (recollida de quaderns).


TEMA: PROBABILITAT



Explicar les tècniques a utilitzar. Conceptes elementals d’experiments aleatoris. Resoldre problemes. Fomentar l’esperit d’equip (no individualista). Motivar l’alumnat en la realització de problemes (i perdre’ls-hi la por).


Explicació de la tècnica que anem a utilitzar: “Resolem problemes en parella” i “El nombre”.

o Explicació.o Temps: 3 min.

“Resolem problemes/exercicis en parella”:o Realització dels exercicis 1 i 2 de la pàgina 281.

També, realització dels exercicis del 1 al 6 de la pàgina 284 llibre 3r ESO.o Cada grup es dividirà en dos subgrups. Mentre una parella estigui resolent

l’exercici 1, els altres dos membres del grup realitzaran l’exercici 2. Temps: 10 min.

o Una vegada esgotat el temps anterior, s’intercanviaran els problemes dins el mateix grup. Ara, els membres del grup repassaran/corregiran l’exercici que han fet els seus companys de grup. Si hi veuen errades les hauran de corregir i acabar l’exercici correctament. Temps: 6 min.

o En cas que cap membre del grup sàpiga fer l’exercici, podrà demanar ajuda al professor (alçant la mà).

“El nombre”:o Per corregir els exercicis el professor escollirà un paper numerat d’un sobre

tancat que indicarà quin membre del grup en concret haurà de corregir l’exercici la pissarra o en veu alta. Temps: 10 min.

Discutir sobre si els experiments descrits a continuació són el mateix o no (són iguals o no):

1. Llençar dues monedes a la vegada enlaire i observar les cares superiors.2. Llençar dues monedes enlaire, l’una després de l’altra, i observar les cares

superiors.3. Llençar una moneda enlaire, observar-ne la cara superior, llençar una segona

moneda enlaire i observar-ne la cara superior.4. Llençar una moneda enlaire, observar-ne la cara superior; agafar aquesta moneda

i torna-la a tirar enlaire per tornar a observar la cara superior.

Ens els tres últims casos, el resultat obtingut en el primer llançament condiciona el segon llançament?

Per poder respondre a aquesta pregunta dividirem cada grup en dos subgrups (de dos alumnes cadascun). Cadascun d’ells practicarà dos dels experiments anteriors i al final compararem resultats.

Per a fer-ho procedirem de la forma següent: emplenar la fitxa 1 i la fitxa 2 (annex)

Material: quatre monedes idèntiques per grup.


TEMA: PROBABILITAT

Sessió Nº 3 Data: Lloc: Laboratori de ciències


Llei empírica de l’atzar Determinació empírica de la probabilitat. Resoldre problemes. Fomentar l’esperit d’equip (no individualista). Motivar l’alumnat en la realització de problemes (i perdre’ls-hi la por).


Continuem amb la tècnica: “Resolem problemes en parella”, “El nombre” i “1 per tots”.

Llei empírica de l’atzar: o Realització de les fitxes 3, 4, 5 i 6 (annex).o Cada grup es dividirà en dos subgrups. Cada subgrup realitzarà cadascuna de les

fitxes. Temps: 10 min per fitxa.o En acabar es reuniran els quatre membres del grup i posaran els resultats en

comú tot traient-ne conclusions. Si volen poden ajuntar els resultats obtinguts per poder tenir més informació del que està passant. Temps: 5 min per fitxa.

o Una vegada acabat el temps anterior han de poder enunciar el que està succeint (Llei empírica de l’atzar)

o Material: 2 daus per grup, 4 monedes per grup, 2 xinxetes per grup.


tancat que indicarà quin membre del grup en concret haurà de corregir l’exercici en veu alta. Temps: 5 min.

Per acabar, el professor escollirà un quadern de cada grup (d’un sol membre del grup) i posarà nota al grup en funció del quadern escollit. Utilitzarem la tècnica de “1 per tots”.

Temps: 1 min (recollida de quaderns).


TEMA: PROBABILITAT



Determinació empírica de la probabilitat. Propietats de la probabilitat. Resoldre problemes. Fomentar l’esperit d’equip (no individualista). Motivar l’alumnat en la realització de problemes (i perdre’ls-hi la por).


Continuem amb la tècnica: “Resolem problemes en parella” i “El nombre”.

Determinació empírica de la probabilitat:o Realització dels exercicis 4, 5 i 6 de la pàgina 284.o Realització dels exercicis del 10 al 12 de la pàgina 288 llibre 3r ESO.o Cada grup es dividirà en dos subgrups. Cada subgrup realitzarà 3 dels sis exercicis

encomanats (han de quedar fets tots 6 exercicis). Temps: 7 min per exercici.o Una vegada esgotat el temps anterior, s’intercanviaran els problemes dins el

mateix grup. Ara, els membres del grup repassaran/corregiran l’exercici que han fet els seus companys de grup. Si hi veuen errades les hauran de corregir i acabar l’exercici correctament. Temps: 6 min.


o En acabar es reuniran els quatre membres del grup i posaran els resultats en comú tot traient-ne conclusions del que està passant. Temps: 5 min per fitxa.



Propietats de la probabilitat:o Analitzar el contingut de la fitxa 7 (annex). o Realització dels exercicis del 13 al 16 de la pàgina 289 llibre 3r ESO.o Realitzar i debatre en grup els 4 exercicis anteriors. Temps: 10 min.o En cas que cap membre del grup sàpiga fer l’exercici, podrà demanar ajuda al

professor (alçant la mà).


TEMA: PROBABILITAT



Determinació teòrica de la probabilitat. Situacions d’equiprobabilitat. Llei de Laplace. Resoldre problemes. Fomentar l’esperit d’equip (no individualista). Motivar l’alumnat en la realització de problemes (i perdre’ls-hi la por).



Equiprobabilitat:o Realització de la fitxa 8 (annex).o La fitxa es realitzarà en grup.o Tècnica de puntuació: “1 per tots”.o Temps: 7 min

Determinació teòrica de la probabilitat. Llei de Laplace:o Realització de les fitxes 9 i 10 (annex). Temps: 30 min.o La fitxa la realitzaran els quatre membres del grup (no es dividiran en subgrups).o Una vegada acabat el temps anterior han de poder enunciar el que està succeint

(Llei de Laplace). Temps: 5 min

o Realització dels exercicis 7, 8 i 9 de la pàgina 287.o Realització dels exercicis 17 al 32 de la pàgina 292 llibre 3r ESO.o Cada grup es dividirà en dos subgrups. Cada subgrup realitzarà la meitat dels

exercicis encomanats (han de quedar fets tots els exercicis i cada subgrup que he fer exercicis de diferents apartats, és a dir, no fer tots els exercicis seguit per ordre numèric, sinó que saltejar-los). Temps: 3 o 4 min per exercici.

o Una vegada esgotat el temps anterior, s’intercanviaran els problemes dins el mateix grup. Ara, els membres del grup repassaran/corregiran l’exercici que han fet els seus companys de grup. Si hi veuen errades les hauran de corregir i acabar l’exercici correctament. Temps: 20 min.





TEMA: PROBABILITAT



Intersecció i Unió d’esdeveniments. Esdeveniments incompatibles. Esdeveniment contraris. Resoldre problemes. Fomentar l’esperit d’equip (no individualista). Motivar l’alumnat en la realització de problemes (i perdre’ls-hi la por).



Intersecció i unió d’esdeveniments. Esdeveniments incompatibles i esdeveniments contraris.

o Teoria amb breu explicació per part del professor (pàgina 288 llibre).o Realització dels exercicis de les pàgines 289 i 290 del llibre.o Dividirem el grup en dos subgrups i treballarem com ho venim fent: uns

membres del grup fan uns exercicis, els altres membres del grup fan la resta d’exercicis, i finalment ens intercanviem els exercicis per intentar corregir-los.

o Tècnica “El nombre” per corregir en veu alta a la pissarra.o Tècnica “1 per tots” per puntuar el professorat.

Probabilitat de l’esdeveniment contrari i probabilitat de l’esdeveniment unió.o Teoria amb breu explicació per part del professor (pàgina 296 llibre).o Realització dels exercicis de la pàgina 297 del llibre.o Dividirem el grup en dos subgrups i treballarem com ho venim fent: uns




TEMA: PROBABILITAT



Estratègies de recompte: Diagrames de Venn, Taules de contingència, Diagrama d’arbre. Resoldre problemes. Fomentar l’esperit d’equip (no individualista). Motivar l’alumnat en la realització de problemes (i perdre’ls-hi la por).



Estratègies de recompte:o Diagrames de Venn.o Taules de contingència.o Diagrama d’arbre.

Diagrames de Venn:o Teoria amb breu explicació per part del professor (pàgina 291 llibre).o Realització dels exercicis de les pàgines 292 i 293 del llibre.o Dividirem el grup en dos subgrups i treballarem com ho venim fent: uns




TEMA: PROBABILITAT



Estratègies de recompte: Diagrames de Venn, Taules de contingència, Diagrama d’arbre. Resoldre problemes. Fomentar l’esperit d’equip (no individualista). Motivar l’alumnat en la realització de problemes (i perdre’ls-hi la por).




Taules de contingència:o Teoria amb breu explicació per part del professor (pàgina 294 llibre).o Realització dels exercicis de la pàgina 295 del llibre.o Dividirem el grup en dos subgrups i treballarem com ho venim fent: uns




TEMA: PROBABILITAT



Estratègies de recompte: Diagrames de Venn, Taules de contingència, Diagrama d’arbre. Descripció d’una experiència aleatòria mitjançant un diagrama d’arbre de probabilitats. Resoldre problemes. Fomentar l’esperit d’equip (no individualista). Motivar l’alumnat en la realització de problemes (i perdre’ls-hi la por).




Diagrama d’arbre i Llei de Laplace:o Teoria amb breu explicació per part del professor (fitxa 12 i pàgina 294 llibre 3r

ESO).o Realització dels exercicis de la pàgina 295 llibre 3r ESO.o Teoria amb breu explicació per part del professor (fitxa 13 i pàgina 296 llibre 3r

ESO).o Realització dels exercicis de la pàgina 297 llibre 3r ESO.o Realització dels exercici 9, 10, 11, 12, 18, 19 i 20 de la pàgina 306 del llibre. o Dividirem el grup en dos subgrups i treballarem com ho venim fent: uns




TEMA: PROBABILITAT



Probabilitat condicionada. Esdeveniments independents. Resoldre problemes. Fomentar l’esperit d’equip (no individualista). Motivar l’alumnat en la realització de problemes (i perdre’ls-hi la por).


Tècnica a utilitzar: “Llapis al centre”, “El nombre” i “1 per tots”.

Probabilitat condicionada:o Explicació teòrica (fitxa 14).o Tècnica “Llapis al centre”.o Exercicis 1 al 6 de la pàgina 301 i 302 del llibre.o Dividirem el grup en dos subgrups i treballarem com ho venim fent: uns



Esdeveniments independents:o Explicació teòrica (fitxa 15).o Tècnica “Llapis al centre”.o Exercicis 7 i 8 de la pàgina 303 del llibre.o Dividirem el grup en dos subgrups i treballarem com ho venim fent: uns




TEMA: PROBABILITAT



Probabilitat de l’esdeveniment intersecció. Descripció d’una experiència aleatòria mitjançant un diagrama d’arbre de probabilitats. Resoldre problemes. Fomentar l’esperit d’equip (no individualista). Motivar l’alumnat en la realització de problemes (i perdre’ls-hi la por).


Tècnica a utilitzar: “Llapis al centre”, “El nombre” i “1 per tots”.

Probabilitat de l’esdeveniment intersecció:o Explicació teòrica (fitxa 16).o Tècnica “Llapis al centre”.o Exercicis de la pàgina 306 del llibre (els que no tenim fets).o Dividirem el grup en dos subgrups i treballarem com ho venim fent: uns



Descripció d’una experiència aleatòria mitjançant un diagrama d’arbre de probabilitats.o Explicació teòrica (fitxa 17).o Tècnica “Llapis al centre”.o Exercicis de la pàgina 309 del llibre.o Dividirem el grup en dos subgrups i treballarem com ho venim fent: uns



AVANTATGES I INCONVENIENTS PER PART DE L’ALUMNAT

AVANTATGES:

Millora les relacions interpersonals. Afavoreix l’acceptació de les diferències i el respecte mutu. Millora d’autoestima.

Foment de la interacció i la interdependència positiva dels components d’un grup.

Millora de la motivació per les tasques.

Responsabilitat individual en les tasques de treball de grup. Repartiment de responsabilitats.

Més facilitat perquè el professorat atengui als alumnes de forma personalitzada.

INCONVENIENTS:

Com en tot treball de grup, és necessari la implicació dels membres del grup. Si un alumne no coopera el grup queda coix.

...

AVANTATGES I INCONVENIENTS PER PART DEL PROFESSORAT

AVANTATGES:

Permet veure amb més detall com treballen els alumnes, i això afavoreix la dedicació personalitzada per a cadascun d’ells.

Si l’activitat rutlla, l’alumnat millorarà resultats i això porta a una satisfacció del docent.

Millora l’ambient a l’aula .

INCONVENIENTS:

El treball en grup, sigui cooperatiu o no, dificulta el ritme per poder arribar a dominar tots els continguts de l’etapa (currículum). L’altra cosa és si és necessari o no donar tots els continguts. En el nostre centre, on només tenim fins l’ESO, és important que es alumnes surtin del centre a fer Batxillerat o Cicles amb tots els coneixements ben assimilats.

Més hores de dedicació per preparar i modificar les sessions.

Descontrol de la sessió si no hi ha una bona planificació, o els alumnes no volen cooperar.

FITXA 1

Experiment: Llençar dues monedes a la vegada enlaire i observar les cares superiors.

Nombre de llançaments: 70

En cadascun dels requadres anotareu el nombre de la tirada que ha sortit. Per exemple, si a la primera tirada surt “cara-cara” anotareu un 1 al requadre Cara-Cara; i si a la setena tirada surt “cara-cara” anotareu un 7 al requadre Cara-Cara.

Al final de cada requadre anotareu el nombre de tirades que ha sortit l’opció del requadre.

Cara – Cara Cara – Creu o Creu – Cara Creu – Creu

Nombre de resultats: Nombre de resultats: Nombre de resultats:

Observa que en cada requadre d’opció diferent només hi ha un total de 56 subquadres per emplenar. Això significa que no pot sortir 70 vegades la mateixa opció (per exemple cara-cara)? I 60 vegades? Raona la teva resposta.

Per què creus que s’han posat 56 subrequadres dins de cada opció? Quants subquadres haguessis posat tu si t’haguessin encomanat la construcció d’aquesta taula?

Creus que les tres opcions anteriors van variant en funció del nombre de tirades? És a dir, és més probable que surti l’opció creu-creu en les primeres tirades? O en les últimes? (mira i analitza el nombre de tirada en que ha sortit cadascuna de les opcions creu-creu).

FITXA 2

Experiment: Llençar dues monedes enlaire, l’una després de l’altra, i observar les cares superiors.

Nombre de llançaments: 70

En cadascun dels requadres anotareu el nombre de la tirada que ha sortit. Per exemple, si a la primera tirada (llençar les dues monedes una després de l’altra) surt “cara-cara” anotareu un 1 al requadre Cara-Cara; i si a la setena tirada surt “cara-cara” anotareu un 7 al requadre Cara-Cara.

Al final de cada requadre anotareu el nombre de tirades que ha sortit l’opció del requadre.

Cara – Cara Cara – Creu o Creu – Cara Creu – Creu

Nombre de resultats: Nombre de resultats: Nombre de resultats:

Compara aquests resultats amb els de la fitxa 1. Coincideixen o s’aproximen ?

Aleshores, el resultat obtingut en el primer llançament condiciona el resultat que sortirà en el segon llançament? És a dir, veure el resultat del primer llançament condiciona el resultat del segon llançament?

Ara, estén l’experiència fins a 200 llançaments i torna a respondre les preguntes anteriors.

I si ho fes fins a 500 llançaments?

FITXA 3

Considera l’experiment aleatori següent: “Tirar un dau i observar-ne la cara superior”.A continuació fes:

a) Repeteix aquest experiment 50 vegades i comptabilitza quantes vegades obtens cada resultat.

Resultats Recompte de la freqüència absoluta123456

b) Construeix una taula de freqüències.Nombre de tirades 50

Freqüència Absoluta de l’1

Freqüència Absoluta del 6

Freqüència relativa de l’1

Freqüència relativa del 6

c) Compara els teus resultats amb els dels altres companys, adjunta els seus resultats amb els teus, i omple una taula com aquesta:

Nombre de tirades 50 100 200 300 400 500Freqüència Absoluta de l’1

Freqüència Absoluta del 6

Freqüència relativa de l’1

Freqüència relativa del 6

d) Comprova que, a mesura que augmenta el nombre de tirades, la freqüència relativa del cada resultat tendeix a estabilitzar-se a l’entorn del nombre 1/6.

FITXA 4

Considera l’experiment aleatori següent: “Llançar enlaire dues monedes i observar-ne les cares superiors”.A continuació fes:

a) Repeteix aquest experiment 70 vegades (recorda que ja ho has fet a la fitxa 1, localitza la informació) i comptabilitza quantes vegades obtens 2 cares, quantes vegades obtens 1 cara i quantes, 0 cares. A continuació, construeix una taula de freqüències.

b) Compara els teus resultats amb els d’altres companys, adjunta els seus resultats amb els teus i omple una taula com aquesta.

Nombre de tirades 70 140 210 280 350 420Freqüència Absoluta de 2 cares

Freqüència Absoluta d’1 cara

Freqüència Absoluta de 0 cares

Freqüència relativa de 2 cares

Freqüència relativa d’1 cara

Freqüència relativa de 0 cares

c) Comprova que, a mesura que augmenta el nombre de tirades, la freqüència relativa de “2 cares” tendeix a estabilitzar-se a l’entorn del nombre ¼, la de “0 cares”, a l’entorn del nombre ¼ i la de l’esdeveniment “1 cara” a l’entorn del nombre ½.

Per què la freqüència relativa de l’esdeveniment “1 cara” no tendeix a estabilitzar-se a l’entorn del nombre ¼ com passa en els altres casos?

d) Què creus que és més probable, que surti cara-creu o creu-cara per aquest ordre en tirar una moneda dues vegades seguides? Per què?

FITXA 5

Considera l’experiment aleatori següent: “Tirar una xinxeta enlaire i observar-ne la posició quan s’immobilitza sobre una superfície plana”.A continuació fes:

a) Repeteix aquest experiment 50 vegades i comptabilitza quantes vegades obtens la xinxeta en cadascuna de les tres posicions següents. Realitza una taula de freqüències.

b) Compara els teus resultats amb els d’altres companys, adjunta els seus resultats amb els teus i omple una taula com aquesta.

Nombre de tirades 50 100 200 300 400 500

Freqüència Absoluta de



Freqüència relativa de



c) Observant la taula de freqüències que has construït, determina al voltant de quin

nombre tendeix a estabilitzar-se la freqüència relativa de l’esdeveniment ? i la

de l’esdeveniment ? i la de l’esdeveniment .

d) Si tirem enlaire el contingut d’una caixa que conté 1400 xinxetes, quantes xinxetes

creus que cauran en posició ?

e) Analitzant les fitxes 3, 4 i 5 pots enunciar alguna llei ? Què diu aquesta llei ?

FITXA 6

Construeix, amb cartró, una ruleta com la que pots veure al marge.Considerem l’experiment aleatori següent:“fer girar la ruleta i observem quin és el color que ha quedat orientat cap al nord”.

A continuació fes:a) Repeteix aquest experiment 50 vegades i comptabilitza quantes vegades obtens el

color vermell, quantes el color blau, quantes el color verd i quantes el color groc.Realitza una taula de freqüències (absolutes i relatives).

b) Compara els teus resultats amb els dels altres dos membres del grup, adjunta els seus resultats amb els teus i omple una taula com aquesta.

Nombre de tirades 50 100Freqüència Absoluta de color vermell

Freqüència Absoluta de color blau

Freqüència Absoluta de color verd

Freqüència Absoluta de color groc

Freqüència relativa de color vermell

Freqüència relativa de color blau

Freqüència relativa de color verd

Freqüència relativa de color groc

c) Compara els resultats del teu grup amb els d’altres companys (grups), adjunta els seus resultats amb els teus i acabar d’emplenar la taula anterior.

d) Pots contestar a la qüestió de al voltant de quin nombre tendeix a estabilitzar-se la freqüència relativa de l’esdeveniment “color vermell” ? i el de l’esdeveniment “color blau” ?

e) Ara, contesta a les qüestions següents:a. Quants sectors circulars formen la ruleta? b. Quants d’aquests sectors circulars són de color vermell? I quants de color

blau? I quants de color verd? I, finalment, quants de color groc?c. Quin percentatge representa el nombre de sectors circulars de color verd

sobre el total de sectors circulars que formen la ruleta ? Et sona aquest nombre? Ha sortit abans ? On?

d. Quin percentatge representa el nombre de sectors circulars de color vermell sobre el total de sectors circulars que formen la ruleta ? Et sona aquest nombre? Ha sortit abans ? On?

e. Quin percentatge representa el nombre de sectors circulars de color blau sobre el total de sectors circulars que formen la ruleta ? Et sona aquest nombre? Ha sortit abans ? On?

f) Tots els sectors circulars són iguals?

Pots enunciar alguna regla amb tot el que has observat? Quina?

FITXA 7

LLEI EMPÍRICA DE L’ATZAR

Si repetim moltes vegades un experiment aleatori en idèntiques condicions, observem que la freqüència relativa d’un esdeveniment determinat tendeix a estabilitzar-se al voltant d’un nombre. Aquest nombre teòric és la probabilitat de l’esdeveniment.

Determinació empírica de la probabilitat

Per determinar empíricament la probabilitat d’un esdeveniment associat a un experiment aleatori, repetim l’experiment moltes vegades i prenem com a valor de la probabilitat la freqüència relativa de l’esdeveniment.

Propietats de la probabilitat d’un esdeveniment

La probabilitat d’un esdeveniment E és un nombre comprès entre 0 i 1.

La probabilitat de l’esdeveniment segur és 1.

La probabilitat de l’esdeveniment impossible és 0.

La suma de les probabilitats de tots els resultats de l’espai mostral és 1.

La probabilitat d’un esdeveniment s’obté sumant les probabilitats dels resultats que el componen.

FITXA 8

El concepte d’equiprobabilitat:

Respon a les qüestions següents:a) Què vol dir que els resultats siguin equiprobables? Posa’n exemples.b) Significa que podem assignar la mateixa probabilitat a tots els resultats?

Exemples: tirar un dau perfecte, escollir a l’atzar una carta d’una baralla ben barrejada, escollir a l’atzar un nom d’una llista, treure una bola d’un bombo de loteria.

c) Escriviu, en grup, un mínim de cinc experiències de resultats equiprobables (els anteriors no són vàlids) i un mínim de cinc experiències de resultats que no siguin equiprobables. Temps: 10 min.Tot seguit planteja’ls a qualsevol dels grups de la classe (ho farem en veu alta i moderats pel professor) i intenta posar-los-hi difícil la resposta.

d) Recull el treball d’aquesta fitxa en el quadern de classe.

FITXA 9

Experiment: Llençar un dau perfecte enlaire i observar-ne la cara superior (veure fitxa 3).

Emplena els buits:

En la fitxa 3 ja vam veure que a mesura que augmenta el nombre de tirades, la freqüència relativa del cada resultat tendeix a estabilitzar-se a l’entorn del nombre ........... Si això ho lliguem amb la Llei empírica de l’atzar tenim que la probabilitat que surti cadascuna de les cares d’un dau equilibrat és de ............

Centrem-nos en l’esdeveniment “sortir un nombre parell” en tirar un dau equilibrat. Quins són els resultats possibles que podem obtenir en tirar el dau?

{ ....... , ....... , ....... }. Quants resultats diferents hi ha? De tots els resultats anteriors, quins són favorables a l’esdeveniment estudiat?

{ ....... , ....... , ....... }. Quants resultats diferents hi ha? Emplena una taula de freqüències per analitzar el nombre al qual tendeix la freqüència

relativa d’aquest esdeveniment (fes al voltant de 500 llançaments). Quina és la fracció generatriu del nombre decimal que t’ha donat?

Veus alguna relació en les solucions obtingudes en els tres punts anteriors?

Ara, fes el mateix però amb l’esdeveniment “sortir un nombre més gran o igual a 5” en tirar un dau equilibrat.

Quins resultats obtens?

Pots treure’n alguna conclusió?

Segons les propietats de la probabilitat, la probabilitat d’un esdeveniment s’obté sumant les probabilitats dels ....................................................... Així, la probabilitat de l’esdeveniment treure un nombre parell és ............... (per què?). I la de l’esdeveniment treure un nombre més gran o igual a 5 és ............... (per què?) I la de l’esdeveniment treure un 9 és ........... (per què?)

FITXA 10

Experiment: “fer girar la ruleta i observem quin és el color que ha quedat orientat cap al nord”. (ruleta de la fitxa 6)

Emplena els buits:

En la fitxa 6 ja vam calcular quin és el percentatge que surti cada sector circular de color sobre el total de la ruleta.Així el percentatge que surti un sector de color blau és .................... I que surti un sector circular de color vermell és ...................... I que en surti un de color verd és ............

També vam veure que a mesura que augmenta el nombre de tirades, la freqüència relativa de cada resultat (color) tendeix a estabilitzar-se a l’entorn d’un nombre. Quin és aquest nombre per al color blau? ................ I per al color verd? ................ Si això ho lliguem amb la Llei empírica de l’atzar tenim que la probabilitat que surti cada sector circular de color determinat és .......................

Centrem-nos en l’esdeveniment “sortir un sector circular de color verd” en tirar la ruleta amb tots els sectors idèntics en dimensions (ruleta “equilibrada”).

Quants sectors circulars possibles formen la ruleta? De tots els sectors anteriors, quants són favorables a l’esdeveniment estudiat? Analitza la taula de freqüències de la fitxa 6 i digués a quin nombre tendeix la

freqüència relativa d’aquest esdeveniment (fes al voltant de 500 llançaments). Quina és la fracció generatriu del nombre decimal que t’ha donat?

Veus alguna relació en les solucions obtingudes en els tres punts anteriors?

Ara, fes el mateix però amb l’esdeveniment “sortir un sector circular de color vermell” en tirar la ruleta.

Quins resultats obtens?

Pots treure’n alguna conclusió?

FITXA 11

LLEI DE LAPLACE (situacions d’equiprobabilitat)

En un experiment aleatori en què tots els resultats tenen la mateixa probabilitat de produir-se, és a dir, són resultats equiprobables, la probabilitat d’un esdeveniment E s’obté dividint el nombre de resultats que són favorables a E (és a dir, els resultats que componen l’esdeveniment E) pel nombre de resultats possibles (és a dir, els resultats de l’espai mostral ).

FITXA 12

DIAGRAMES D’ARBRE

Algunes vegades, calcular el nombre de casos possibles o el de casos favorables a un esdeveniment associat a un experiment aleatori és immediat, però d’altres és útil fer servir alguna estratègia de recompte. Els diagrames d’arbre en són una.

Exemple:

De quantes maneres diferent em puc vestir amb una camisa i un pantaló si a l’armari tinc 4 camises i 3 pantalons?

Per descriure totes les possibilitats, ens podem valer d’un diagrama d’arbre.

Camisa Pantaló Resultat

P1 (c1 , p1)

C1 P2 (c1 , p2)

P3 (c1 , p3)

P1 ...

C2 P2 ...

P3 ...

... ... ...

Acaba d’emplenar la taula i escriu la solució al problema.

Exercici:

De quantes maneres diferents em puc vestir amb una camisa, un pantaló i una jaqueta si a l’armari tinc 4 camises, 3 pantalons i 2 jaquetes?

FITXA 13

DIAGRAMES D’ARBRE I LLEI DE LAPLACE

Exemple:

Disposem de dues urnes. La primera conté tres boles numerades de l’1 al 3 i la segona, dues boles numerades amb un 1 i un 2.

Considerem l’experiment aleatori següent: “Extreure una bola de la primera urna i, a continuació, una bola de la segona, i observar els nombres que hi ha inscrits”.

Aquest experiment es pot dividir en una seqüència de dos experiments independents més senzills. Diem que és un experiment compost.

Ens ajudem d’un diagrama d’arbre:

1a urna 2a urna Resultats

1 (1,1)1

2 (1,2)

1 (2,1)2

2 (2,2)

1 (3,1)3

2 (3,2)

Nombre de resultats possibles: ........... , i tots són equiprobables.

Respon: Quina és la probabilitat que els punts obtinguts a les dues boles extretes sumin 4?

Els resultats favorables són: ............................... Llavors, nombre de resultats favorables: ........

Per tant, P(“suma 4”) = ............... (nota: utilitza la Llei de Laplace).

Exercici: Tirem tres monedes enlaire (c: cara , +: creu). Calcula les probabilitats següents:

a) Obtenir tres c? b) Obtenir dues c i una +? c) Obtenir dues + i una c?

FITXA 14

PROBABBILITAT CONDICIONADA

1 2 3 1 2

Exemple:

Una urna conté boles blanques i boles grogues, numerades de l’1 al 9, amb la composició que indica la figura:

Considerem l’experiment aleatori “extreure una bola de l’urna a l’atzar i observar el número amb què està marcada”.

L’espai mostral és el conjunt de les ............... boles.

Respon: quina és la probabilitat de l’esdeveniment I: ”obtenir una bola marcada amb un nombre imparell” ?

Resultat possibles: { ....... , ....... , ....... }. Resultats favorables: { ....... , ....... , ....... }. Aleshores, la probabilitat és de P(I)= .............

Si ens adonem que la bola que hem extret és groga, quina és la probabilitat que estigui marcada amb un nombre imparell?

Com que sabem que la bola que hem extret és groga, el conjunt de resultats possibles s’ha reduït a { ....... , ....... , ....... }. I ara, el conjunt de resultats favorables és { ....... , ....... , ....... }.

Aleshores, la probabilitat que ens demanen és ..............

Diem que la probabilitat d’obtenir imparell sabent que la bola és groga és ...............

També diem que és la probabilitat de l’esdeveniment I condicionada per l’esdeveniment G: ”obtenir una bola groga” . Ho expressem així: P(I/G)= ......

Si A i B són dos esdeveniments d’un mateix experiment aleatori, la probabilitat de A condicionanda per B, que es designa P(A/B), és la probabilitat de A sabent que ha succeït abans B.

P(A) és la probabilitat que succeeixi l’esdeveniment A, quan els resultats possibles són els de l’espai mostral de l’experiment.P(A/B) és la probabilitat que succeeixi l’esdeveniment A, quan els resultats possibles s’han reduït als resultats de B.

FITXA 15

1 2 3 4 5 6 7 8 9

ESDEVENIMENTS INDEPENDENTS

Exemple

Una urna conté 3 boles blanques i 4 boles negres.

Presentem dues experiències:

Experiència A: Extraiem a l’atzar, dues boles de l’urna amb reposició. Vol dir que extraiem una bola, la retornem a l’urna i n’extraiem una altra.

Experiència B: : Extraiem a l’atzar, dues boles de l’urna, sense reposició. Vol dir que extraiem una bola i, sense retornar-la a l’urna, n’extraiem una altra.

Per a cadascuna d’aquestes dues experiències aleatòries, respon: quina és la probabilitat que la primera bola sigui blanca? i la probabilitat que la segona sigui blanca, sabent que la primera ha estat blanca?

Experiència A: P(B1)= ............. P(B2/B1)=.......................

Experiència B: P(B1)= ............. P(B2/B1)=.......................

Exercici: Per a cadascuna de les experiències anteriors discuteix sobre si la realització de l’esdeveniment B1 influeix o no en l’esdeveniment B2.

Si la realització de l’esdeveniment B1 no influeix sobre l’esdeveniment B2 , diem que B1i B2 són esdeveniments independents.

Si la realització de l’esdeveniment B1 influeix sobre l’esdeveniment B2 , diem que B1i B2 són esdeveniments dependents.

Dos esdeveniments A i B d’una mateixa experiència aleatòria són independents quan la realització de l’un SI / NO influeix en la de l’altre, és a dir, quan:

FITXA 16

PROBABILITAT DE L’ESDEVENIMENT INTERSECCIÓ

Exemple:

En una reunió, 4/5 dels assistents són dones i 3/4 de les dones són rosses.

Representa-ho gràficament: (amb un color ratlla les dones, i amb un altre color ratllat les dones rosses)

Considerem l’experiment aleatori “escollir, a l’atzar, una persona assistent a la reunió”.

Considerem els esdeveniments següents, associats a l’experiment anterior:

D: “que sigui dona”

R: “que sigui una persona rossa”.

A continuació, calcula les probabilitats següents:

(per calcular l’última probabilitat et pots ajudar de la representació gràfica que has fet anteriorment pensant fraccions sobre el total).

Quina relació lliga els tres nombres ?

La probabilitat que dos esdeveniment tinguin lloc simultàniament s’obté multiplicant la probabilitat de l’un per la probabilitat de l’altre condicionada pel primer. És a dir,

Nota: si els dos esdeveniment A i B són independents (és a dir, ), llavors tenim:

FITXA 17

Exemple:

Una urna conté 4 boles blanques i 3 boles negres.

Experiment: extraiem, a l’atzar, una bola de l’urna, n’observem el colori, sense retornar-la a l’urna, n’extraiem una altra i n’observem el color.

Exercici: Descriu aquesta experiència aleatòria mitjançant un diagrama d’arbre.

Utilitza la següent notació:B1: “que la primera bola sigui blanca” N1: “que la primera bola sigui negra”B2: “que la segona bola sigui blanca” N2: “que la segona bola sigui negra”

A sobre de cada branca escriu la probabilitat de l’esdeveniment corresponent.Comprova que, a cada nova ramificació (extracció en aquest cas), la suma de les probabilitats és 1 (si no et dóna 1 ho estàs fent malament).

Les segones branques corresponen a probabilitats condicionades? SI / NO Per què? Escriu, amb termes (signes) de probabilitats, què és el que s’està calculant en cadascuna de les segones branques de l’arbre?

Un cop construït el diagrama d’arbre és molt senzill calcular, al final de cada camí, la probabilitat de l’esdeveniment intersecció dels esdeveniments que són en aquest camí. Calcula aquestes probabilitats per a cadascun del camins (per exemple, una de les quatre probabilitats

que has de calcular és ).

NOTA:

La probabilitat d’un camí del diagrama d’arbre s’obté multiplicant les probabilitats de les branques que són en aquest camí.

Si a un esdeveniment s’hi arriba per més d’un camí del diagrama d’arbre, la probabilitat d’aquest esdeveniment s’obté sumant les probabilitats d’aquests camins.

ANNEX (extra)

El professor és l’encarregat d’acompanyar el grup , ajudar-lo a organitzar-se i fer el seguiment del procés, orientant, animant, suggerint i alhora vetllant que els alumnes facin la feina i hi hagi comunicació fluïda i correcta.

Extret del bloc:

http://elblogdelalbertgarca.blogspot.com.es/2011/03/el-treball-cooperatiu-tecniques.html

Altres webs que parlen del treball cooperatiu i les seves tècniques:

https://sites.google.com/a/xtec.cat/metodologiesperatendreladiversitat/sessio-presencial-2-treball-cooperatiu/algunes-tecniques-cooperatives

http://www.xtec.cat/~rgrau/treballcooperatiu/estructures.htm

http://recursosdidactics.wordpress.com/grups-cooperatius/

MOLTES GRÀCIES

http://recursosdidactics.wordpress.com/grups-cooperatius/

http://www.xtec.cat/~rgrau/treballcooperatiu/estructures.htm



http://elblogdelalbertgarca.blogspot.com.es/2011/03/el-treball-cooperatiu-tecniques.html

PRÀCTICA PROBABILITAT treball cooperatiu

Documents

Transcript of PRÀCTICA PROBABILITAT treball cooperatiu