Práctica 1gecousb.com.ve/guias/GECO/Matemáticas 6 (MA-2113... · 2015-04-20 · Práctica 1...
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Práctica 1Superficies parametrizadas
yAreas
Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
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Problema 1.
Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
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Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
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Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
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Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
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Determinamos las coordenadas del punto P(x,y,z) sobre la esfera, estas vendrán dadas por las
coordenadas generales.
Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
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Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
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Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
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Parametrización en coordenadas
generales
Es sencillo comprobar, por sustitución (inténtelo), que la
parametrización dada satisface la ecuación de la esfera
Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
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Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
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Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
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Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
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Recordemos la no existe una única parametrización de una superficie
Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
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Figura 1.5:
mientras que en (ii):
1.2 Ejercicios resueltos
Problema 1(a) ¿ Es diferenciable la superficie esférica de ecuación con "Parametrización General"
?
(b) ¿ Es suave la superficie descrita en (a) ?(c) ¿ Es uno a uno la paramtrización ?
Solución(a) La parametrización es diferenciable en su dominio puesto que las funciones com-ponentes de son diferenciables como funciones de y de (por ser funciones trigonométricas o producto de ellas).
(b) Observar que:
La superficie no es suave en los puntos puesto que en ellos, y respectiva-
mente. Por lo tanto, en esos dos puntos Luego, la superficie dada no es suave (Por no ser suaveen algún punto, en este caso en y en ).
(c) no es uno a uno, puesto que, por ejemplo: y
(puntos distintos con la misma imagen).
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Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
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Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
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Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
8
Figura 1.5:
mientras que en (ii):
1.2 Ejercicios resueltos
Problema 1(a) ¿ Es diferenciable la superficie esférica de ecuación con "Parametrización General"
?
(b) ¿ Es suave la superficie descrita en (a) ?(c) ¿ Es uno a uno la paramtrización ?
Solución(a) La parametrización es diferenciable en su dominio puesto que las funciones com-ponentes de son diferenciables como funciones de y de (por ser funciones trigonométricas o producto de ellas).
(b) Observar que:
La superficie no es suave en los puntos puesto que en ellos, y respectiva-
mente. Por lo tanto, en esos dos puntos Luego, la superficie dada no es suave (Por no ser suaveen algún punto, en este caso en y en ).
(c) no es uno a uno, puesto que, por ejemplo: y
(puntos distintos con la misma imagen).
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Observe la forma en que se miden los ángulos en esta
parametrización
Figura 1.5:
mientras que en (ii):
1.2 Ejercicios resueltos
Problema 1(a) ¿ Es diferenciable la superficie esférica de ecuación con "Parametrización General"
?
(b) ¿ Es suave la superficie descrita en (a) ?(c) ¿ Es uno a uno la paramtrización ?
Solución(a) La parametrización es diferenciable en su dominio puesto que las funciones com-ponentes de son diferenciables como funciones de y de (por ser funciones trigonométricas o producto de ellas).
(b) Observar que:
La superficie no es suave en los puntos puesto que en ellos, y respectiva-
mente. Por lo tanto, en esos dos puntos Luego, la superficie dada no es suave (Por no ser suaveen algún punto, en este caso en y en ).
(c) no es uno a uno, puesto que, por ejemplo: y
(puntos distintos con la misma imagen).
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Figura 1.5:
mientras que en (ii):
1.2 Ejercicios resueltos
Problema 1(a) ¿ Es diferenciable la superficie esférica de ecuación con "Parametrización General"
?
(b) ¿ Es suave la superficie descrita en (a) ?(c) ¿ Es uno a uno la paramtrización ?
Solución(a) La parametrización es diferenciable en su dominio puesto que las funciones com-ponentes de son diferenciables como funciones de y de (por ser funciones trigonométricas o producto de ellas).
(b) Observar que:
La superficie no es suave en los puntos puesto que en ellos, y respectiva-
mente. Por lo tanto, en esos dos puntos Luego, la superficie dada no es suave (Por no ser suaveen algún punto, en este caso en y en ).
(c) no es uno a uno, puesto que, por ejemplo: y
(puntos distintos con la misma imagen).
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Figura 1.5:
mientras que en (ii):
1.2 Ejercicios resueltos
Problema 1(a) ¿ Es diferenciable la superficie esférica de ecuación con "Parametrización General"
?
(b) ¿ Es suave la superficie descrita en (a) ?(c) ¿ Es uno a uno la paramtrización ?
Solución(a) La parametrización es diferenciable en su dominio puesto que las funciones com-ponentes de son diferenciables como funciones de y de (por ser funciones trigonométricas o producto de ellas).
(b) Observar que:
La superficie no es suave en los puntos puesto que en ellos, y respectiva-
mente. Por lo tanto, en esos dos puntos Luego, la superficie dada no es suave (Por no ser suaveen algún punto, en este caso en y en ).
(c) no es uno a uno, puesto que, por ejemplo: y
(puntos distintos con la misma imagen).
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Figura 1.5:
mientras que en (ii):
1.2 Ejercicios resueltos
Problema 1(a) ¿ Es diferenciable la superficie esférica de ecuación con "Parametrización General"
?
(b) ¿ Es suave la superficie descrita en (a) ?(c) ¿ Es uno a uno la paramtrización ?
Solución(a) La parametrización es diferenciable en su dominio puesto que las funciones com-ponentes de son diferenciables como funciones de y de (por ser funciones trigonométricas o producto de ellas).
(b) Observar que:
La superficie no es suave en los puntos puesto que en ellos, y respectiva-
mente. Por lo tanto, en esos dos puntos Luego, la superficie dada no es suave (Por no ser suaveen algún punto, en este caso en y en ).
(c) no es uno a uno, puesto que, por ejemplo: y
(puntos distintos con la misma imagen).
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Figura 1.5:
mientras que en (ii):
1.2 Ejercicios resueltos
Problema 1(a) ¿ Es diferenciable la superficie esférica de ecuación con "Parametrización General"
?
(b) ¿ Es suave la superficie descrita en (a) ?(c) ¿ Es uno a uno la paramtrización ?
Solución(a) La parametrización es diferenciable en su dominio puesto que las funciones com-ponentes de son diferenciables como funciones de y de (por ser funciones trigonométricas o producto de ellas).
(b) Observar que:
La superficie no es suave en los puntos puesto que en ellos, y respectiva-
mente. Por lo tanto, en esos dos puntos Luego, la superficie dada no es suave (Por no ser suaveen algún punto, en este caso en y en ).
(c) no es uno a uno, puesto que, por ejemplo: y
(puntos distintos con la misma imagen).
9
Figura 1.5:
mientras que en (ii):
1.2 Ejercicios resueltos
Problema 1(a) ¿ Es diferenciable la superficie esférica de ecuación con "Parametrización General"
?
(b) ¿ Es suave la superficie descrita en (a) ?(c) ¿ Es uno a uno la paramtrización ?
Solución(a) La parametrización es diferenciable en su dominio puesto que las funciones com-ponentes de son diferenciables como funciones de y de (por ser funciones trigonométricas o producto de ellas).
(b) Observar que:
La superficie no es suave en los puntos puesto que en ellos, y respectiva-
mente. Por lo tanto, en esos dos puntos Luego, la superficie dada no es suave (Por no ser suaveen algún punto, en este caso en y en ).
(c) no es uno a uno, puesto que, por ejemplo: y
(puntos distintos con la misma imagen).
9
Figura 1.5:
mientras que en (ii):
1.2 Ejercicios resueltos
Problema 1(a) ¿ Es diferenciable la superficie esférica de ecuación con "Parametrización General"
?
(b) ¿ Es suave la superficie descrita en (a) ?(c) ¿ Es uno a uno la paramtrización ?
Solución(a) La parametrización es diferenciable en su dominio puesto que las funciones com-ponentes de son diferenciables como funciones de y de (por ser funciones trigonométricas o producto de ellas).
(b) Observar que:
La superficie no es suave en los puntos puesto que en ellos, y respectiva-
mente. Por lo tanto, en esos dos puntos Luego, la superficie dada no es suave (Por no ser suaveen algún punto, en este caso en y en ).
(c) no es uno a uno, puesto que, por ejemplo: y
(puntos distintos con la misma imagen).
9
Figura 1.5:
mientras que en (ii):
1.2 Ejercicios resueltos
Problema 1(a) ¿ Es diferenciable la superficie esférica de ecuación con "Parametrización General"
?
(b) ¿ Es suave la superficie descrita en (a) ?(c) ¿ Es uno a uno la paramtrización ?
Solución(a) La parametrización es diferenciable en su dominio puesto que las funciones com-ponentes de son diferenciables como funciones de y de (por ser funciones trigonométricas o producto de ellas).
(b) Observar que:
La superficie no es suave en los puntos puesto que en ellos, y respectiva-
mente. Por lo tanto, en esos dos puntos Luego, la superficie dada no es suave (Por no ser suaveen algún punto, en este caso en y en ).
(c) no es uno a uno, puesto que, por ejemplo: y
(puntos distintos con la misma imagen).
9
Figura 1.5:
mientras que en (ii):
1.2 Ejercicios resueltos
Problema 1(a) ¿ Es diferenciable la superficie esférica de ecuación con "Parametrización General"
?
(b) ¿ Es suave la superficie descrita en (a) ?(c) ¿ Es uno a uno la paramtrización ?
Solución(a) La parametrización es diferenciable en su dominio puesto que las funciones com-ponentes de son diferenciables como funciones de y de (por ser funciones trigonométricas o producto de ellas).
(b) Observar que:
La superficie no es suave en los puntos puesto que en ellos, y respectiva-
mente. Por lo tanto, en esos dos puntos Luego, la superficie dada no es suave (Por no ser suaveen algún punto, en este caso en y en ).
(c) no es uno a uno, puesto que, por ejemplo: y
(puntos distintos con la misma imagen).
9
Figura 1.5:
mientras que en (ii):
1.2 Ejercicios resueltos
Problema 1(a) ¿ Es diferenciable la superficie esférica de ecuación con "Parametrización General"
?
(b) ¿ Es suave la superficie descrita en (a) ?(c) ¿ Es uno a uno la paramtrización ?
Solución(a) La parametrización es diferenciable en su dominio puesto que las funciones com-ponentes de son diferenciables como funciones de y de (por ser funciones trigonométricas o producto de ellas).
(b) Observar que:
La superficie no es suave en los puntos puesto que en ellos, y respectiva-
mente. Por lo tanto, en esos dos puntos Luego, la superficie dada no es suave (Por no ser suaveen algún punto, en este caso en y en ).
(c) no es uno a uno, puesto que, por ejemplo: y
(puntos distintos con la misma imagen).
9
Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
8
Problema 2
Dada la ecuación de una superficie esférica con parametrización geográfica
(a) Demuestre que es diferenciable.
(b) Demuestre que no es suave,(c) Demuestre que no es uno a uno,
Solución
Se deja al alumno como ejercicio, recordando que, en este caso:
y
Demuestre que
Problema 3
Sea fijo Consideremos la parametrización:
(a) Demuestre que en los puntos interiores del rectángulo es decir, todos los puntos
interiores de ese rectángulo son puntos regulares.
(b) Demuestre que la imagen de sobre el rectángulo dado es un cono de semi-ángulo cónico , con ecuacióncartesiana: (Cono con vértice en y eje el de la ).
(c) Hallar los puntos singulares de la superficie definida por
Solución
(a)
Ahora, y allí y son siempre para el interior del rectángulo varía en y en .
En la primera componente de aparece en la segunda aparece y en la tercera, y .Pero, no hay punto alguno en el interior del rectángulo en donde se anulen simultáneamente y .
Por lo tanto, interior del rectángulo.
(b) Sea luego y ya que
Así que Por lo tanto, y en MA
vimos que esa es la ecuación cartesiana de un cono de vértice en el origen, eje y semi-ángulo cónico (ver fig
).
fijo por ejemplo, si:
etc.
( Ahora bien, así como está planteado el ejercicio, con con
y fijo estamos trabajando sólo con una porción de superficie cónica. Si hacemos variar
entre y y entre y , tendremos una superficie cónica de ecuación con y
Recuérdese que se mide desde el eje . Ver fig ).
(c) Los puntos singulares de la superficie son los correspondientes a puesto que allícualquiera que sea el .
(Obsérvese que no es uno a uno, ya que ).
10
Problema 2
Dada la ecuación de una superficie esférica con parametrización geográfica
(a) Demuestre que es diferenciable.
(b) Demuestre que no es suave,(c) Demuestre que no es uno a uno,
Solución
Se deja al alumno como ejercicio, recordando que, en este caso:
y
Demuestre que
Problema 3
Sea fijo Consideremos la parametrización:
(a) Demuestre que en los puntos interiores del rectángulo es decir, todos los puntos
interiores de ese rectángulo son puntos regulares.
(b) Demuestre que la imagen de sobre el rectángulo dado es un cono de semi-ángulo cónico , con ecuacióncartesiana: (Cono con vértice en y eje el de la ).
(c) Hallar los puntos singulares de la superficie definida por
Solución
(a)
Ahora, y allí y son siempre para el interior del rectángulo varía en y en .
En la primera componente de aparece en la segunda aparece y en la tercera, y .Pero, no hay punto alguno en el interior del rectángulo en donde se anulen simultáneamente y .
Por lo tanto, interior del rectángulo.
(b) Sea luego y ya que
Así que Por lo tanto, y en MA
vimos que esa es la ecuación cartesiana de un cono de vértice en el origen, eje y semi-ángulo cónico (ver fig
).
fijo por ejemplo, si:
etc.
( Ahora bien, así como está planteado el ejercicio, con con
y fijo estamos trabajando sólo con una porción de superficie cónica. Si hacemos variar
entre y y entre y , tendremos una superficie cónica de ecuación con y
Recuérdese que se mide desde el eje . Ver fig ).
(c) Los puntos singulares de la superficie son los correspondientes a puesto que allícualquiera que sea el .
(Obsérvese que no es uno a uno, ya que ).
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Recuerde:
Ejercicio 1.
Se deja al alumno como ejercicio.
Problema 2.
Problema 2
Dada la ecuación de una superficie esférica con parametrización geográfica
(a) Demuestre que es diferenciable.
(b) Demuestre que no es suave,(c) Demuestre que no es uno a uno,
Solución
Se deja al alumno como ejercicio, recordando que, en este caso:
y
Demuestre que
Problema 3
Sea fijo Consideremos la parametrización:
(a) Demuestre que en los puntos interiores del rectángulo es decir, todos los puntos
interiores de ese rectángulo son puntos regulares.
(b) Demuestre que la imagen de sobre el rectángulo dado es un cono de semi-ángulo cónico , con ecuacióncartesiana: (Cono con vértice en y eje el de la ).
(c) Hallar los puntos singulares de la superficie definida por
Solución
(a)
Ahora, y allí y son siempre para el interior del rectángulo varía en y en .
En la primera componente de aparece en la segunda aparece y en la tercera, y .Pero, no hay punto alguno en el interior del rectángulo en donde se anulen simultáneamente y .
Por lo tanto, interior del rectángulo.
(b) Sea luego y ya que
Así que Por lo tanto, y en MA
vimos que esa es la ecuación cartesiana de un cono de vértice en el origen, eje y semi-ángulo cónico (ver fig
).
fijo por ejemplo, si:
etc.
( Ahora bien, así como está planteado el ejercicio, con con
y fijo estamos trabajando sólo con una porción de superficie cónica. Si hacemos variar
entre y y entre y , tendremos una superficie cónica de ecuación con y
Recuérdese que se mide desde el eje . Ver fig ).
(c) Los puntos singulares de la superficie son los correspondientes a puesto que allícualquiera que sea el .
(Obsérvese que no es uno a uno, ya que ).
10
a) Comenzaremos por considerar puntos en el intervalo:
Problema 2
Dada la ecuación de una superficie esférica con parametrización geográfica
(a) Demuestre que es diferenciable.
(b) Demuestre que no es suave,(c) Demuestre que no es uno a uno,
Solución
Se deja al alumno como ejercicio, recordando que, en este caso:
y
Demuestre que
Problema 3
Sea fijo Consideremos la parametrización:
(a) Demuestre que en los puntos interiores del rectángulo es decir, todos los puntos
interiores de ese rectángulo son puntos regulares.
(b) Demuestre que la imagen de sobre el rectángulo dado es un cono de semi-ángulo cónico , con ecuacióncartesiana: (Cono con vértice en y eje el de la ).
(c) Hallar los puntos singulares de la superficie definida por
Solución
(a)
Ahora, y allí y son siempre para el interior del rectángulo varía en y en .
En la primera componente de aparece en la segunda aparece y en la tercera, y .Pero, no hay punto alguno en el interior del rectángulo en donde se anulen simultáneamente y .
Por lo tanto, interior del rectángulo.
(b) Sea luego y ya que
Así que Por lo tanto, y en MA
vimos que esa es la ecuación cartesiana de un cono de vértice en el origen, eje y semi-ángulo cónico (ver fig
).
fijo por ejemplo, si:
etc.
( Ahora bien, así como está planteado el ejercicio, con con
y fijo estamos trabajando sólo con una porción de superficie cónica. Si hacemos variar
entre y y entre y , tendremos una superficie cónica de ecuación con y
Recuérdese que se mide desde el eje . Ver fig ).
(c) Los puntos singulares de la superficie son los correspondientes a puesto que allícualquiera que sea el .
(Obsérvese que no es uno a uno, ya que ).
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y calculamos el vector
Problema 2
Dada la ecuación de una superficie esférica con parametrización geográfica
(a) Demuestre que es diferenciable.
(b) Demuestre que no es suave,(c) Demuestre que no es uno a uno,
Solución
Se deja al alumno como ejercicio, recordando que, en este caso:
y
Demuestre que
Problema 3
Sea fijo Consideremos la parametrización:
(a) Demuestre que en los puntos interiores del rectángulo es decir, todos los puntos
interiores de ese rectángulo son puntos regulares.
(b) Demuestre que la imagen de sobre el rectángulo dado es un cono de semi-ángulo cónico , con ecuacióncartesiana: (Cono con vértice en y eje el de la ).
(c) Hallar los puntos singulares de la superficie definida por
Solución
(a)
Ahora, y allí y son siempre para el interior del rectángulo varía en y en .
En la primera componente de aparece en la segunda aparece y en la tercera, y .Pero, no hay punto alguno en el interior del rectángulo en donde se anulen simultáneamente y .
Por lo tanto, interior del rectángulo.
(b) Sea luego y ya que
Así que Por lo tanto, y en MA
vimos que esa es la ecuación cartesiana de un cono de vértice en el origen, eje y semi-ángulo cónico (ver fig
).
fijo por ejemplo, si:
etc.
( Ahora bien, así como está planteado el ejercicio, con con
y fijo estamos trabajando sólo con una porción de superficie cónica. Si hacemos variar
entre y y entre y , tendremos una superficie cónica de ecuación con y
Recuérdese que se mide desde el eje . Ver fig ).
(c) Los puntos singulares de la superficie son los correspondientes a puesto que allícualquiera que sea el .
(Obsérvese que no es uno a uno, ya que ).
10
Problema 2
Dada la ecuación de una superficie esférica con parametrización geográfica
(a) Demuestre que es diferenciable.
(b) Demuestre que no es suave,(c) Demuestre que no es uno a uno,
Solución
Se deja al alumno como ejercicio, recordando que, en este caso:
y
Demuestre que
Problema 3
Sea fijo Consideremos la parametrización:
(a) Demuestre que en los puntos interiores del rectángulo es decir, todos los puntos
interiores de ese rectángulo son puntos regulares.
(b) Demuestre que la imagen de sobre el rectángulo dado es un cono de semi-ángulo cónico , con ecuacióncartesiana: (Cono con vértice en y eje el de la ).
(c) Hallar los puntos singulares de la superficie definida por
Solución
(a)
Ahora, y allí y son siempre para el interior del rectángulo varía en y en .
En la primera componente de aparece en la segunda aparece y en la tercera, y .Pero, no hay punto alguno en el interior del rectángulo en donde se anulen simultáneamente y .
Por lo tanto, interior del rectángulo.
(b) Sea luego y ya que
Así que Por lo tanto, y en MA
vimos que esa es la ecuación cartesiana de un cono de vértice en el origen, eje y semi-ángulo cónico (ver fig
).
fijo por ejemplo, si:
etc.
( Ahora bien, así como está planteado el ejercicio, con con
y fijo estamos trabajando sólo con una porción de superficie cónica. Si hacemos variar
entre y y entre y , tendremos una superficie cónica de ecuación con y
Recuérdese que se mide desde el eje . Ver fig ).
(c) Los puntos singulares de la superficie son los correspondientes a puesto que allícualquiera que sea el .
(Obsérvese que no es uno a uno, ya que ).
10
Problema 2
Dada la ecuación de una superficie esférica con parametrización geográfica
(a) Demuestre que es diferenciable.
(b) Demuestre que no es suave,(c) Demuestre que no es uno a uno,
Solución
Se deja al alumno como ejercicio, recordando que, en este caso:
y
Demuestre que
Problema 3
Sea fijo Consideremos la parametrización:
(a) Demuestre que en los puntos interiores del rectángulo es decir, todos los puntos
interiores de ese rectángulo son puntos regulares.
(b) Demuestre que la imagen de sobre el rectángulo dado es un cono de semi-ángulo cónico , con ecuacióncartesiana: (Cono con vértice en y eje el de la ).
(c) Hallar los puntos singulares de la superficie definida por
Solución
(a)
Ahora, y allí y son siempre para el interior del rectángulo varía en y en .
En la primera componente de aparece en la segunda aparece y en la tercera, y .Pero, no hay punto alguno en el interior del rectángulo en donde se anulen simultáneamente y .
Por lo tanto, interior del rectángulo.
(b) Sea luego y ya que
Así que Por lo tanto, y en MA
vimos que esa es la ecuación cartesiana de un cono de vértice en el origen, eje y semi-ángulo cónico (ver fig
).
fijo por ejemplo, si:
etc.
( Ahora bien, así como está planteado el ejercicio, con con
y fijo estamos trabajando sólo con una porción de superficie cónica. Si hacemos variar
entre y y entre y , tendremos una superficie cónica de ecuación con y
Recuérdese que se mide desde el eje . Ver fig ).
(c) Los puntos singulares de la superficie son los correspondientes a puesto que allícualquiera que sea el .
(Obsérvese que no es uno a uno, ya que ).
10
Problema 2
Dada la ecuación de una superficie esférica con parametrización geográfica
(a) Demuestre que es diferenciable.
(b) Demuestre que no es suave,(c) Demuestre que no es uno a uno,
Solución
Se deja al alumno como ejercicio, recordando que, en este caso:
y
Demuestre que
Problema 3
Sea fijo Consideremos la parametrización:
(a) Demuestre que en los puntos interiores del rectángulo es decir, todos los puntos
interiores de ese rectángulo son puntos regulares.
(b) Demuestre que la imagen de sobre el rectángulo dado es un cono de semi-ángulo cónico , con ecuacióncartesiana: (Cono con vértice en y eje el de la ).
(c) Hallar los puntos singulares de la superficie definida por
Solución
(a)
Ahora, y allí y son siempre para el interior del rectángulo varía en y en .
En la primera componente de aparece en la segunda aparece y en la tercera, y .Pero, no hay punto alguno en el interior del rectángulo en donde se anulen simultáneamente y .
Por lo tanto, interior del rectángulo.
(b) Sea luego y ya que
Así que Por lo tanto, y en MA
vimos que esa es la ecuación cartesiana de un cono de vértice en el origen, eje y semi-ángulo cónico (ver fig
).
fijo por ejemplo, si:
etc.
( Ahora bien, así como está planteado el ejercicio, con con
y fijo estamos trabajando sólo con una porción de superficie cónica. Si hacemos variar
entre y y entre y , tendremos una superficie cónica de ecuación con y
Recuérdese que se mide desde el eje . Ver fig ).
(c) Los puntos singulares de la superficie son los correspondientes a puesto que allícualquiera que sea el .
(Obsérvese que no es uno a uno, ya que ).
10
Problema 2
Dada la ecuación de una superficie esférica con parametrización geográfica
(a) Demuestre que es diferenciable.
(b) Demuestre que no es suave,(c) Demuestre que no es uno a uno,
Solución
Se deja al alumno como ejercicio, recordando que, en este caso:
y
Demuestre que
Problema 3
Sea fijo Consideremos la parametrización:
(a) Demuestre que en los puntos interiores del rectángulo es decir, todos los puntos
interiores de ese rectángulo son puntos regulares.
(b) Demuestre que la imagen de sobre el rectángulo dado es un cono de semi-ángulo cónico , con ecuacióncartesiana: (Cono con vértice en y eje el de la ).
(c) Hallar los puntos singulares de la superficie definida por
Solución
(a)
Ahora, y allí y son siempre para el interior del rectángulo varía en y en .
En la primera componente de aparece en la segunda aparece y en la tercera, y .Pero, no hay punto alguno en el interior del rectángulo en donde se anulen simultáneamente y .
Por lo tanto, interior del rectángulo.
(b) Sea luego y ya que
Así que Por lo tanto, y en MA
vimos que esa es la ecuación cartesiana de un cono de vértice en el origen, eje y semi-ángulo cónico (ver fig
).
fijo por ejemplo, si:
etc.
( Ahora bien, así como está planteado el ejercicio, con con
y fijo estamos trabajando sólo con una porción de superficie cónica. Si hacemos variar
entre y y entre y , tendremos una superficie cónica de ecuación con y
Recuérdese que se mide desde el eje . Ver fig ).
(c) Los puntos singulares de la superficie son los correspondientes a puesto que allícualquiera que sea el .
(Obsérvese que no es uno a uno, ya que ).
10
donde:
Problema 2
Dada la ecuación de una superficie esférica con parametrización geográfica
(a) Demuestre que es diferenciable.
(b) Demuestre que no es suave,(c) Demuestre que no es uno a uno,
Solución
Se deja al alumno como ejercicio, recordando que, en este caso:
y
Demuestre que
Problema 3
Sea fijo Consideremos la parametrización:
(a) Demuestre que en los puntos interiores del rectángulo es decir, todos los puntos
interiores de ese rectángulo son puntos regulares.
(b) Demuestre que la imagen de sobre el rectángulo dado es un cono de semi-ángulo cónico , con ecuacióncartesiana: (Cono con vértice en y eje el de la ).
(c) Hallar los puntos singulares de la superficie definida por
Solución
(a)
Ahora, y allí y son siempre para el interior del rectángulo varía en y en .
En la primera componente de aparece en la segunda aparece y en la tercera, y .Pero, no hay punto alguno en el interior del rectángulo en donde se anulen simultáneamente y .
Por lo tanto, interior del rectángulo.
(b) Sea luego y ya que
Así que Por lo tanto, y en MA
vimos que esa es la ecuación cartesiana de un cono de vértice en el origen, eje y semi-ángulo cónico (ver fig
).
fijo por ejemplo, si:
etc.
( Ahora bien, así como está planteado el ejercicio, con con
y fijo estamos trabajando sólo con una porción de superficie cónica. Si hacemos variar
entre y y entre y , tendremos una superficie cónica de ecuación con y
Recuérdese que se mide desde el eje . Ver fig ).
(c) Los puntos singulares de la superficie son los correspondientes a puesto que allícualquiera que sea el .
(Obsérvese que no es uno a uno, ya que ).
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Es la ecuación de un cono
con semi-ángulo
Problema 2
Dada la ecuación de una superficie esférica con parametrización geográfica
(a) Demuestre que es diferenciable.
(b) Demuestre que no es suave,(c) Demuestre que no es uno a uno,
Solución
Se deja al alumno como ejercicio, recordando que, en este caso:
y
Demuestre que
Problema 3
Sea fijo Consideremos la parametrización:
(a) Demuestre que en los puntos interiores del rectángulo es decir, todos los puntos
interiores de ese rectángulo son puntos regulares.
(b) Demuestre que la imagen de sobre el rectángulo dado es un cono de semi-ángulo cónico , con ecuacióncartesiana: (Cono con vértice en y eje el de la ).
(c) Hallar los puntos singulares de la superficie definida por
Solución
(a)
Ahora, y allí y son siempre para el interior del rectángulo varía en y en .
En la primera componente de aparece en la segunda aparece y en la tercera, y .Pero, no hay punto alguno en el interior del rectángulo en donde se anulen simultáneamente y .
Por lo tanto, interior del rectángulo.
(b) Sea luego y ya que
Así que Por lo tanto, y en MA
vimos que esa es la ecuación cartesiana de un cono de vértice en el origen, eje y semi-ángulo cónico (ver fig
).
fijo por ejemplo, si:
etc.
( Ahora bien, así como está planteado el ejercicio, con con
y fijo estamos trabajando sólo con una porción de superficie cónica. Si hacemos variar
entre y y entre y , tendremos una superficie cónica de ecuación con y
Recuérdese que se mide desde el eje . Ver fig ).
(c) Los puntos singulares de la superficie son los correspondientes a puesto que allícualquiera que sea el .
(Obsérvese que no es uno a uno, ya que ).
10
donde:
Problema 2
Dada la ecuación de una superficie esférica con parametrización geográfica
(a) Demuestre que es diferenciable.
(b) Demuestre que no es suave,(c) Demuestre que no es uno a uno,
Solución
Se deja al alumno como ejercicio, recordando que, en este caso:
y
Demuestre que
Problema 3
Sea fijo Consideremos la parametrización:
(a) Demuestre que en los puntos interiores del rectángulo es decir, todos los puntos
interiores de ese rectángulo son puntos regulares.
(b) Demuestre que la imagen de sobre el rectángulo dado es un cono de semi-ángulo cónico , con ecuacióncartesiana: (Cono con vértice en y eje el de la ).
(c) Hallar los puntos singulares de la superficie definida por
Solución
(a)
Ahora, y allí y son siempre para el interior del rectángulo varía en y en .
En la primera componente de aparece en la segunda aparece y en la tercera, y .Pero, no hay punto alguno en el interior del rectángulo en donde se anulen simultáneamente y .
Por lo tanto, interior del rectángulo.
(b) Sea luego y ya que
Así que Por lo tanto, y en MA
vimos que esa es la ecuación cartesiana de un cono de vértice en el origen, eje y semi-ángulo cónico (ver fig
).
fijo por ejemplo, si:
etc.
( Ahora bien, así como está planteado el ejercicio, con con
y fijo estamos trabajando sólo con una porción de superficie cónica. Si hacemos variar
entre y y entre y , tendremos una superficie cónica de ecuación con y
Recuérdese que se mide desde el eje . Ver fig ).
(c) Los puntos singulares de la superficie son los correspondientes a puesto que allícualquiera que sea el .
(Obsérvese que no es uno a uno, ya que ).
10
Es la ecuación de un cono
con semi-ángulo
Problema 2
Dada la ecuación de una superficie esférica con parametrización geográfica
(a) Demuestre que es diferenciable.
(b) Demuestre que no es suave,(c) Demuestre que no es uno a uno,
Solución
Se deja al alumno como ejercicio, recordando que, en este caso:
y
Demuestre que
Problema 3
Sea fijo Consideremos la parametrización:
(a) Demuestre que en los puntos interiores del rectángulo es decir, todos los puntos
interiores de ese rectángulo son puntos regulares.
(b) Demuestre que la imagen de sobre el rectángulo dado es un cono de semi-ángulo cónico , con ecuacióncartesiana: (Cono con vértice en y eje el de la ).
(c) Hallar los puntos singulares de la superficie definida por
Solución
(a)
Ahora, y allí y son siempre para el interior del rectángulo varía en y en .
En la primera componente de aparece en la segunda aparece y en la tercera, y .Pero, no hay punto alguno en el interior del rectángulo en donde se anulen simultáneamente y .
Por lo tanto, interior del rectángulo.
(b) Sea luego y ya que
Así que Por lo tanto, y en MA
vimos que esa es la ecuación cartesiana de un cono de vértice en el origen, eje y semi-ángulo cónico (ver fig
).
fijo por ejemplo, si:
etc.
( Ahora bien, así como está planteado el ejercicio, con con
y fijo estamos trabajando sólo con una porción de superficie cónica. Si hacemos variar
entre y y entre y , tendremos una superficie cónica de ecuación con y
Recuérdese que se mide desde el eje . Ver fig ).
(c) Los puntos singulares de la superficie son los correspondientes a puesto que allícualquiera que sea el .
(Obsérvese que no es uno a uno, ya que ).
10
Figura 1.6:
Figura 1.7:
Nota didáctica: en este ejercicio hemos estudiado la parametrización de una superficie cónica, de vértice en el ori-gen y semi-ángulo cónico
con ecuación cartesiana
Sin embargo, la parametrización de una superficie no es única por ejemplo, para el caso tendríamos
con
Pero, también podríamos parametrizarlo con
Aquí también es
También queremos resaltar, en el caso particular de la superficie cónica dada en el ejercicio , con fijo
la transformación del rectángulo en la porción de superficie cónica: (ver fig )
Aquí se observa claramente que no es uno a uno.
Problema 4
Una parametrización del paraboloide elíptico podría ser
(a) Hallar la ecuación cartesiana.
(b) Hallar(c) Demuestre que
(d) Hallar la ecuación del plano tangente a en
11
Entonces estamos describiendo una familia de conos, para cada ángulo fijo, tenemos un cono, siendo este
finito por la restricción puesta sobre el resto de variables.
Figura 1.8:
Solución
(a)
(b)
(c) Basta con evaluar para demostrar que
(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al
Por lo tanto, Porlo tanto,
Así que
Problema 5
Compruebe que con define también un paraboloide elíptico
de ecuación cartesiana
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 6
Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por
Solución
superficie cilíndrica y al cortar por el plano de
ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver
fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.
Por lo tanto, y
Pero, con
12
Figura 1.8:
Solución
(a)
(b)
(c) Basta con evaluar para demostrar que
(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al
Por lo tanto, Porlo tanto,
Así que
Problema 5
Compruebe que con define también un paraboloide elíptico
de ecuación cartesiana
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 6
Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por
Solución
superficie cilíndrica y al cortar por el plano de
ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver
fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.
Por lo tanto, y
Pero, con
12
Figura 1.8:
Solución
(a)
(b)
(c) Basta con evaluar para demostrar que
(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al
Por lo tanto, Porlo tanto,
Así que
Problema 5
Compruebe que con define también un paraboloide elíptico
de ecuación cartesiana
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 6
Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por
Solución
superficie cilíndrica y al cortar por el plano de
ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver
fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.
Por lo tanto, y
Pero, con
12
Problema 2
Dada la ecuación de una superficie esférica con parametrización geográfica
(a) Demuestre que es diferenciable.
(b) Demuestre que no es suave,(c) Demuestre que no es uno a uno,
Solución
Se deja al alumno como ejercicio, recordando que, en este caso:
y
Demuestre que
Problema 3
Sea fijo Consideremos la parametrización:
(a) Demuestre que en los puntos interiores del rectángulo es decir, todos los puntos
interiores de ese rectángulo son puntos regulares.
(b) Demuestre que la imagen de sobre el rectángulo dado es un cono de semi-ángulo cónico , con ecuacióncartesiana: (Cono con vértice en y eje el de la ).
(c) Hallar los puntos singulares de la superficie definida por
Solución
(a)
Ahora, y allí y son siempre para el interior del rectángulo varía en y en .
En la primera componente de aparece en la segunda aparece y en la tercera, y .Pero, no hay punto alguno en el interior del rectángulo en donde se anulen simultáneamente y .
Por lo tanto, interior del rectángulo.
(b) Sea luego y ya que
Así que Por lo tanto, y en MA
vimos que esa es la ecuación cartesiana de un cono de vértice en el origen, eje y semi-ángulo cónico (ver fig
).
fijo por ejemplo, si:
etc.
( Ahora bien, así como está planteado el ejercicio, con con
y fijo estamos trabajando sólo con una porción de superficie cónica. Si hacemos variar
entre y y entre y , tendremos una superficie cónica de ecuación con y
Recuérdese que se mide desde el eje . Ver fig ).
(c) Los puntos singulares de la superficie son los correspondientes a puesto que allícualquiera que sea el .
(Obsérvese que no es uno a uno, ya que ).
10
Figura 1.8:
Solución
(a)
(b)
(c) Basta con evaluar para demostrar que
(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al
Por lo tanto, Porlo tanto,
Así que
Problema 5
Compruebe que con define también un paraboloide elíptico
de ecuación cartesiana
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 6
Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por
Solución
superficie cilíndrica y al cortar por el plano de
ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver
fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.
Por lo tanto, y
Pero, con
12
Figura 1.6:
Figura 1.7:
Nota didáctica: en este ejercicio hemos estudiado la parametrización de una superficie cónica, de vértice en el ori-gen y semi-ángulo cónico
con ecuación cartesiana
Sin embargo, la parametrización de una superficie no es única por ejemplo, para el caso tendríamos
con
Pero, también podríamos parametrizarlo con
Aquí también es
También queremos resaltar, en el caso particular de la superficie cónica dada en el ejercicio , con fijo
la transformación del rectángulo en la porción de superficie cónica: (ver fig )
Aquí se observa claramente que no es uno a uno.
Problema 4
Una parametrización del paraboloide elíptico podría ser
(a) Hallar la ecuación cartesiana.
(b) Hallar(c) Demuestre que
(d) Hallar la ecuación del plano tangente a en
11
Problema 2
Dada la ecuación de una superficie esférica con parametrización geográfica
(a) Demuestre que es diferenciable.
(b) Demuestre que no es suave,(c) Demuestre que no es uno a uno,
Solución
Se deja al alumno como ejercicio, recordando que, en este caso:
y
Demuestre que
Problema 3
Sea fijo Consideremos la parametrización:
(a) Demuestre que en los puntos interiores del rectángulo es decir, todos los puntos
interiores de ese rectángulo son puntos regulares.
(b) Demuestre que la imagen de sobre el rectángulo dado es un cono de semi-ángulo cónico , con ecuacióncartesiana: (Cono con vértice en y eje el de la ).
(c) Hallar los puntos singulares de la superficie definida por
Solución
(a)
Ahora, y allí y son siempre para el interior del rectángulo varía en y en .
En la primera componente de aparece en la segunda aparece y en la tercera, y .Pero, no hay punto alguno en el interior del rectángulo en donde se anulen simultáneamente y .
Por lo tanto, interior del rectángulo.
(b) Sea luego y ya que
Así que Por lo tanto, y en MA
vimos que esa es la ecuación cartesiana de un cono de vértice en el origen, eje y semi-ángulo cónico (ver fig
).
fijo por ejemplo, si:
etc.
( Ahora bien, así como está planteado el ejercicio, con con
y fijo estamos trabajando sólo con una porción de superficie cónica. Si hacemos variar
entre y y entre y , tendremos una superficie cónica de ecuación con y
Recuérdese que se mide desde el eje . Ver fig ).
(c) Los puntos singulares de la superficie son los correspondientes a puesto que allícualquiera que sea el .
(Obsérvese que no es uno a uno, ya que ).
10
Problema 3.
Figura 1.6:
Figura 1.7:
Nota didáctica: en este ejercicio hemos estudiado la parametrización de una superficie cónica, de vértice en el ori-gen y semi-ángulo cónico
con ecuación cartesiana
Sin embargo, la parametrización de una superficie no es única por ejemplo, para el caso tendríamos
con
Pero, también podríamos parametrizarlo con
Aquí también es
También queremos resaltar, en el caso particular de la superficie cónica dada en el ejercicio , con fijo
la transformación del rectángulo en la porción de superficie cónica: (ver fig )
Aquí se observa claramente que no es uno a uno.
Problema 4
Una parametrización del paraboloide elíptico podría ser
(a) Hallar la ecuación cartesiana.
(b) Hallar(c) Demuestre que
(d) Hallar la ecuación del plano tangente a en
11
Figura 1.8:
Solución
(a)
(b)
(c) Basta con evaluar para demostrar que
(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al
Por lo tanto, Porlo tanto,
Así que
Problema 5
Compruebe que con define también un paraboloide elíptico
de ecuación cartesiana
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 6
Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por
Solución
superficie cilíndrica y al cortar por el plano de
ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver
fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.
Por lo tanto, y
Pero, con
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Figura 1.8:
Solución
(a)
(b)
(c) Basta con evaluar para demostrar que
(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al
Por lo tanto, Porlo tanto,
Así que
Problema 5
Compruebe que con define también un paraboloide elíptico
de ecuación cartesiana
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 6
Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por
Solución
superficie cilíndrica y al cortar por el plano de
ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver
fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.
Por lo tanto, y
Pero, con
12
Figura 1.8:
Solución
(a)
(b)
(c) Basta con evaluar para demostrar que
(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al
Por lo tanto, Porlo tanto,
Así que
Problema 5
Compruebe que con define también un paraboloide elíptico
de ecuación cartesiana
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 6
Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por
Solución
superficie cilíndrica y al cortar por el plano de
ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver
fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.
Por lo tanto, y
Pero, con
12
Figura 1.8:
Solución
(a)
(b)
(c) Basta con evaluar para demostrar que
(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al
Por lo tanto, Porlo tanto,
Así que
Problema 5
Compruebe que con define también un paraboloide elíptico
de ecuación cartesiana
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 6
Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por
Solución
superficie cilíndrica y al cortar por el plano de
ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver
fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.
Por lo tanto, y
Pero, con
12
Figura 1.8:
Solución
(a)
(b)
(c) Basta con evaluar para demostrar que
(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al
Por lo tanto, Porlo tanto,
Así que
Problema 5
Compruebe que con define también un paraboloide elíptico
de ecuación cartesiana
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 6
Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por
Solución
superficie cilíndrica y al cortar por el plano de
ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver
fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.
Por lo tanto, y
Pero, con
12
Problema 4.
Figura 1.8:
Solución
(a)
(b)
(c) Basta con evaluar para demostrar que
(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al
Por lo tanto, Porlo tanto,
Así que
Problema 5
Compruebe que con define también un paraboloide elíptico
de ecuación cartesiana
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 6
Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por
Solución
superficie cilíndrica y al cortar por el plano de
ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver
fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.
Por lo tanto, y
Pero, con
12
Figura 1.8:
Solución
(a)
(b)
(c) Basta con evaluar para demostrar que
(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al
Por lo tanto, Porlo tanto,
Así que
Problema 5
Compruebe que con define también un paraboloide elíptico
de ecuación cartesiana
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 6
Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por
Solución
superficie cilíndrica y al cortar por el plano de
ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver
fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.
Por lo tanto, y
Pero, con
12
Figura 1.8:
Solución
(a)
(b)
(c) Basta con evaluar para demostrar que
(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al
Por lo tanto, Porlo tanto,
Así que
Problema 5
Compruebe que con define también un paraboloide elíptico
de ecuación cartesiana
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 6
Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por
Solución
superficie cilíndrica y al cortar por el plano de
ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver
fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.
Por lo tanto, y
Pero, con
12
Figura 1.9:
Problema 7
(a) Parametrizar la porción de hiperboloide dada por entre los planos de ecuaciones y
respectivamente, de tres formas diferentes.(b) Hallar también en cada caso,
Solución
(a)
Construir con
Es fácil comprobar que es satisfecha por (Ve fig )
Otra parametrización puede ser con
Figura 1.10:
Compruebe que también es satisfecha por
Finalmente, con compruebe que las componen-
tes de satisfacen la ecuación del hiperboloide.
13
Recordemos:
ción del plano tangente a en
Pero, es interesante observar que, en este caso, (Resultado que aprovecharemos más adelante para
calcular el área de . Si el plano P forma un ángulo con plano , entonces será
etc.)
(f)Definición. Area de una Superficie Parametrizada. Sea una superficie suave a trozos que sea unión de imáge-nes de superficies parametrizadas , con con las condiciones siguientes:
(i) Cada es una región elemental en (Vistas en MA ).(ii) Cada es de clase y además uno a uno (una función es uno a uno en si para cada dos puntos,
y en , y esto quiere decir, que dos puntos distintos no dan
imágenes iguales), excepto, si es el caso en ,(iii) es suave, excepto, puede ser en un número finito de puntos.
Se define entonces, el área de una superficie parametrizada por Obsér-
vese que no se deben poner los diferenciales d y d a priori, como explicamos en MA , hay que esperar aconocer si es de tipo I ó II ó III. En general, como mencionamos al comienzo de esta definición, si
entonces
Ahora, como en el caso del , habrá diferentes expresiones para las fórmulas de según la forma que
se tenga de :
Caso (a):
Caso (b): dada por aquí sabemos que (PVF)
Si dada por y
finalmente, si está dada por:
y
Caso (c): dada por con función implícita y diferenciable respecto de e :
y
Aquí el alumno debe capacitarse para deducir las fórmulas en los casos, o en el
7
Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según
sea el caso.
Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-
te. Para el caso con el plano , vimos que
Para el caso con el plano , será:
Para el caso con el plano , será:
Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo
Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.
(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En
MA ).
Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De
Figura 1.4:
manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:
(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por
(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-
menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje
Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.
Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:
8
Universidad Simón BolívarDepartamento de Matemáticas
Puras y AplicadasSep
Nombre:
Carnet: Sección:
Preguntas teoricas — primero%—solo teoria preliminar
1. Diga cual de las siguientes funciones corresponde a la siguiente grafica
A(Si) =
! !Di
!PV F! =
! !Di
!Tu " Tv!
D!
i = !"1
i (Si)
!PV F! =1
cos(!)
2. Sea la superficie definida mediante
X2 + y2 # z2 = 1
cual de las siguientes es una parametrizacion correcta para esta superficie:
a x = rcos(u), y = rcosh(u), z = senh(u)
b z = senh(u)
c x = cosh(u)cos("), y = cosh(u)sen("), z = senh(u)
d x = cos(u)cos("), y = cos(u)sen("), z = sen(u)
3. Suponga la siguiente parametrizacion
(rcos("), rsen("), ")
diga cual de las siguientes es la ecuacion catersiana asociada:
a X‘2 + y2 + z2 = r
b poner
c poner
d poner
4. Use la parametrizacion anterior y diga cual de las siguientes formulas d area es la correcta:
a poner
b"
2!
0
"1
0
$r2 + 1drd"
Universidad Simón BolívarDepartamento de Matemáticas
Puras y AplicadasSep
Nombre:
Carnet: Sección:
Preguntas teoricas — primero%—solo teoria preliminar
1. Diga cual de las siguientes funciones corresponde a la siguiente grafica
A(Si) =
! !Di
!PV F! =
! !Di
!Tu " Tv!
D!
i = !"1
i (Si)
!PV F! =1
cos(!)
2. Sea la superficie definida mediante
X2 + y2 # z2 = 1
cual de las siguientes es una parametrizacion correcta para esta superficie:
a x = rcos(u), y = rcosh(u), z = senh(u)
b z = senh(u)
c x = cosh(u)cos("), y = cosh(u)sen("), z = senh(u)
d x = cos(u)cos("), y = cos(u)sen("), z = sen(u)
3. Suponga la siguiente parametrizacion
(rcos("), rsen("), ")
diga cual de las siguientes es la ecuacion catersiana asociada:
a X‘2 + y2 + z2 = r
b poner
c poner
d poner
4. Use la parametrizacion anterior y diga cual de las siguientes formulas d area es la correcta:
a poner
b"
2!
0
"1
0
$r2 + 1drd"
n γ
Figura 1.9:
Problema 7
(a) Parametrizar la porción de hiperboloide dada por entre los planos de ecuaciones y
respectivamente, de tres formas diferentes.(b) Hallar también en cada caso,
Solución
(a)
Construir con
Es fácil comprobar que es satisfecha por (Ve fig )
Otra parametrización puede ser con
Figura 1.10:
Compruebe que también es satisfecha por
Finalmente, con compruebe que las componen-
tes de satisfacen la ecuación del hiperboloide.
13
Figura 1.8:
Solución
(a)
(b)
(c) Basta con evaluar para demostrar que
(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al
Por lo tanto, Porlo tanto,
Así que
Problema 5
Compruebe que con define también un paraboloide elíptico
de ecuación cartesiana
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 6
Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por
Solución
superficie cilíndrica y al cortar por el plano de
ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver
fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.
Por lo tanto, y
Pero, con
12
Figura 1.8:
Solución
(a)
(b)
(c) Basta con evaluar para demostrar que
(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al
Por lo tanto, Porlo tanto,
Así que
Problema 5
Compruebe que con define también un paraboloide elíptico
de ecuación cartesiana
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 6
Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por
Solución
superficie cilíndrica y al cortar por el plano de
ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver
fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.
Por lo tanto, y
Pero, con
12
Figura 1.8:
Solución
(a)
(b)
(c) Basta con evaluar para demostrar que
(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al
Por lo tanto, Porlo tanto,
Así que
Problema 5
Compruebe que con define también un paraboloide elíptico
de ecuación cartesiana
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 6
Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por
Solución
superficie cilíndrica y al cortar por el plano de
ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver
fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.
Por lo tanto, y
Pero, con
12
Figura 1.8:
Solución
(a)
(b)
(c) Basta con evaluar para demostrar que
(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al
Por lo tanto, Porlo tanto,
Así que
Problema 5
Compruebe que con define también un paraboloide elíptico
de ecuación cartesiana
Solución
Queda como ejercicio para el alumno.
Problema 6
Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por
Solución
superficie cilíndrica y al cortar por el plano de
ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver
fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.
Por lo tanto, y
Pero, con
12
Problema 5
Figura 1.9:
Problema 7
(a) Parametrizar la porción de hiperboloide dada por entre los planos de ecuaciones y
respectivamente, de tres formas diferentes.(b) Hallar también en cada caso,
Solución
(a)
Construir con
Es fácil comprobar que es satisfecha por (Ve fig )
Otra parametrización puede ser con
Figura 1.10:
Compruebe que también es satisfecha por
Finalmente, con compruebe que las componen-
tes de satisfacen la ecuación del hiperboloide.
13
Figura 1.9:
Problema 7
(a) Parametrizar la porción de hiperboloide dada por entre los planos de ecuaciones y
respectivamente, de tres formas diferentes.(b) Hallar también en cada caso,
Solución
(a)
Construir con
Es fácil comprobar que es satisfecha por (Ve fig )
Otra parametrización puede ser con
Figura 1.10:
Compruebe que también es satisfecha por
Finalmente, con compruebe que las componen-
tes de satisfacen la ecuación del hiperboloide.
13
Problema 5
Figura 1.9:
Problema 7
(a) Parametrizar la porción de hiperboloide dada por entre los planos de ecuaciones y
respectivamente, de tres formas diferentes.(b) Hallar también en cada caso,
Solución
(a)
Construir con
Es fácil comprobar que es satisfecha por (Ve fig )
Otra parametrización puede ser con
Figura 1.10:
Compruebe que también es satisfecha por
Finalmente, con compruebe que las componen-
tes de satisfacen la ecuación del hiperboloide.
13
Figura 1.9:
Problema 7
(a) Parametrizar la porción de hiperboloide dada por entre los planos de ecuaciones y
respectivamente, de tres formas diferentes.(b) Hallar también en cada caso,
Solución
(a)
Construir con
Es fácil comprobar que es satisfecha por (Ve fig )
Otra parametrización puede ser con
Figura 1.10:
Compruebe que también es satisfecha por
Finalmente, con compruebe que las componen-
tes de satisfacen la ecuación del hiperboloide.
13
Recordar que no existe una única parametrización, en especial
recuerde que la parametrización obtenida debería facilitar su trabajo
Considere el caso en que a=1
Figura 1.9:
Problema 7
(a) Parametrizar la porción de hiperboloide dada por entre los planos de ecuaciones y
respectivamente, de tres formas diferentes.(b) Hallar también en cada caso,
Solución
(a)
Construir con
Es fácil comprobar que es satisfecha por (Ve fig )
Otra parametrización puede ser con
Figura 1.10:
Compruebe que también es satisfecha por
Finalmente, con compruebe que las componen-
tes de satisfacen la ecuación del hiperboloide.
13
Figura 1.9:
Problema 7
(a) Parametrizar la porción de hiperboloide dada por entre los planos de ecuaciones y
respectivamente, de tres formas diferentes.(b) Hallar también en cada caso,
Solución
(a)
Construir con
Es fácil comprobar que es satisfecha por (Ve fig )
Otra parametrización puede ser con
Figura 1.10:
Compruebe que también es satisfecha por
Finalmente, con compruebe que las componen-
tes de satisfacen la ecuación del hiperboloide.
13
Figura 1.9:
Problema 7
(a) Parametrizar la porción de hiperboloide dada por entre los planos de ecuaciones y
respectivamente, de tres formas diferentes.(b) Hallar también en cada caso,
Solución
(a)
Construir con
Es fácil comprobar que es satisfecha por (Ve fig )
Otra parametrización puede ser con
Figura 1.10:
Compruebe que también es satisfecha por
Finalmente, con compruebe que las componen-
tes de satisfacen la ecuación del hiperboloide.
13
(b) Para compruebe que
Para compruebe que
Para compruebe que
Así que
Observación: Las parametrizaciones y definen al parabuloide si o , la no.
Problema 8
Demostrar que el área de la porción de hiperboloide del ejercicio anterior viene dada por
(No calcular la integral).
Solución
Utilizando por ejemplo, vimos que
ya que viene a ser el
rectángulo dado en la figura .
Figura 1.11:
Problema 9
(a) Parametrizar la superficie descrita como la porción de superficie cilíndrica dada por interior a laesfera dada por ,
(b) Hallar el área de ,
14
Observe que la ultima parametrización no define correctamente al paraboloide.
Problema 6.
(b) Para compruebe que
Para compruebe que
Para compruebe que
Así que
Observación: Las parametrizaciones y definen al parabuloide si o , la no.
Problema 8
Demostrar que el área de la porción de hiperboloide del ejercicio anterior viene dada por
(No calcular la integral).
Solución
Utilizando por ejemplo, vimos que
ya que viene a ser el
rectángulo dado en la figura .
Figura 1.11:
Problema 9
(a) Parametrizar la superficie descrita como la porción de superficie cilíndrica dada por interior a laesfera dada por ,
(b) Hallar el área de ,
14
(b) Para compruebe que
Para compruebe que
Para compruebe que
Así que
Observación: Las parametrizaciones y definen al parabuloide si o , la no.
Problema 8
Demostrar que el área de la porción de hiperboloide del ejercicio anterior viene dada por
(No calcular la integral).
Solución
Utilizando por ejemplo, vimos que
ya que viene a ser el
rectángulo dado en la figura .
Figura 1.11:
Problema 9
(a) Parametrizar la superficie descrita como la porción de superficie cilíndrica dada por interior a laesfera dada por ,
(b) Hallar el área de ,
14
(b) Para compruebe que
Para compruebe que
Para compruebe que
Así que
Observación: Las parametrizaciones y definen al parabuloide si o , la no.
Problema 8
Demostrar que el área de la porción de hiperboloide del ejercicio anterior viene dada por
(No calcular la integral).
Solución
Utilizando por ejemplo, vimos que
ya que viene a ser el
rectángulo dado en la figura .
Figura 1.11:
Problema 9
(a) Parametrizar la superficie descrita como la porción de superficie cilíndrica dada por interior a laesfera dada por ,
(b) Hallar el área de ,
14
Problema 6
(b) Para compruebe que
Para compruebe que
Para compruebe que
Así que
Observación: Las parametrizaciones y definen al parabuloide si o , la no.
Problema 8
Demostrar que el área de la porción de hiperboloide del ejercicio anterior viene dada por
(No calcular la integral).
Solución
Utilizando por ejemplo, vimos que
ya que viene a ser el
rectángulo dado en la figura .
Figura 1.11:
Problema 9
(a) Parametrizar la superficie descrita como la porción de superficie cilíndrica dada por interior a laesfera dada por ,
(b) Hallar el área de ,
14(c) Hallar la ecuación del plano tangente a en el punto
Solución
Se giran los ejes y para visualizar mejor la figura (fig. )
(a) parametriza a toda la superficie cilíndrica dada, ya que y está indefinida,
Figura 1.12:
tenemos entonces que limitar los valores de para que parametrice a la superficie en cuestión.Para ello, despejamos de la ecuación de la esfera:
y como
(b) Se calcula
Ahora, la contraimagen (o imagen inversa) por de se muestra en la fig. : y es
Figura 1.13:
función continua de .
Por lo tanto,
15
(c) Hallar la ecuación del plano tangente a en el punto
Solución
Se giran los ejes y para visualizar mejor la figura (fig. )
(a) parametriza a toda la superficie cilíndrica dada, ya que y está indefinida,
Figura 1.12:
tenemos entonces que limitar los valores de para que parametrice a la superficie en cuestión.Para ello, despejamos de la ecuación de la esfera:
y como
(b) Se calcula
Ahora, la contraimagen (o imagen inversa) por de se muestra en la fig. : y es
Figura 1.13:
función continua de .
Por lo tanto,
15
Preste atencion a los ejes de la figura, por
comodidad fueron rotados.
(c) Hallar la ecuación del plano tangente a en el punto
Solución
Se giran los ejes y para visualizar mejor la figura (fig. )
(a) parametriza a toda la superficie cilíndrica dada, ya que y está indefinida,
Figura 1.12:
tenemos entonces que limitar los valores de para que parametrice a la superficie en cuestión.Para ello, despejamos de la ecuación de la esfera:
y como
(b) Se calcula
Ahora, la contraimagen (o imagen inversa) por de se muestra en la fig. : y es
Figura 1.13:
función continua de .
Por lo tanto,
15
(c) Hallar la ecuación del plano tangente a en el punto
Solución
Se giran los ejes y para visualizar mejor la figura (fig. )
(a) parametriza a toda la superficie cilíndrica dada, ya que y está indefinida,
Figura 1.12:
tenemos entonces que limitar los valores de para que parametrice a la superficie en cuestión.Para ello, despejamos de la ecuación de la esfera:
y como
(b) Se calcula
Ahora, la contraimagen (o imagen inversa) por de se muestra en la fig. : y es
Figura 1.13:
función continua de .
Por lo tanto,
15
(b) Para compruebe que
Para compruebe que
Para compruebe que
Así que
Observación: Las parametrizaciones y definen al parabuloide si o , la no.
Problema 8
Demostrar que el área de la porción de hiperboloide del ejercicio anterior viene dada por
(No calcular la integral).
Solución
Utilizando por ejemplo, vimos que
ya que viene a ser el
rectángulo dado en la figura .
Figura 1.11:
Problema 9
(a) Parametrizar la superficie descrita como la porción de superficie cilíndrica dada por interior a laesfera dada por ,
(b) Hallar el área de ,
14
(b) Para compruebe que
Para compruebe que
Para compruebe que
Así que
Observación: Las parametrizaciones y definen al parabuloide si o , la no.
Problema 8
Demostrar que el área de la porción de hiperboloide del ejercicio anterior viene dada por
(No calcular la integral).
Solución
Utilizando por ejemplo, vimos que
ya que viene a ser el
rectángulo dado en la figura .
Figura 1.11:
Problema 9
(a) Parametrizar la superficie descrita como la porción de superficie cilíndrica dada por interior a laesfera dada por ,
(b) Hallar el área de ,
14
(c) Hallar la ecuación del plano tangente a en el punto
Solución
Se giran los ejes y para visualizar mejor la figura (fig. )
(a) parametriza a toda la superficie cilíndrica dada, ya que y está indefinida,
Figura 1.12:
tenemos entonces que limitar los valores de para que parametrice a la superficie en cuestión.Para ello, despejamos de la ecuación de la esfera:
y como
(b) Se calcula
Ahora, la contraimagen (o imagen inversa) por de se muestra en la fig. : y es
Figura 1.13:
función continua de .
Por lo tanto,
15
(c) Hallar la ecuación del plano tangente a en el punto
Solución
Se giran los ejes y para visualizar mejor la figura (fig. )
(a) parametriza a toda la superficie cilíndrica dada, ya que y está indefinida,
Figura 1.12:
tenemos entonces que limitar los valores de para que parametrice a la superficie en cuestión.Para ello, despejamos de la ecuación de la esfera:
y como
(b) Se calcula
Ahora, la contraimagen (o imagen inversa) por de se muestra en la fig. : y es
Figura 1.13:
función continua de .
Por lo tanto,
15
(c) Hallar la ecuación del plano tangente a en el punto
Solución
Se giran los ejes y para visualizar mejor la figura (fig. )
(a) parametriza a toda la superficie cilíndrica dada, ya que y está indefinida,
Figura 1.12:
tenemos entonces que limitar los valores de para que parametrice a la superficie en cuestión.Para ello, despejamos de la ecuación de la esfera:
y como
(b) Se calcula
Ahora, la contraimagen (o imagen inversa) por de se muestra en la fig. : y es
Figura 1.13:
función continua de .
Por lo tanto,
15
(c) Hallar la ecuación del plano tangente a en el punto
Solución
Se giran los ejes y para visualizar mejor la figura (fig. )
(a) parametriza a toda la superficie cilíndrica dada, ya que y está indefinida,
Figura 1.12:
tenemos entonces que limitar los valores de para que parametrice a la superficie en cuestión.Para ello, despejamos de la ecuación de la esfera:
y como
(b) Se calcula
Ahora, la contraimagen (o imagen inversa) por de se muestra en la fig. : y es
Figura 1.13:
función continua de .
Por lo tanto,
15
(c) Hallar la ecuación del plano tangente a en el punto
Solución
Se giran los ejes y para visualizar mejor la figura (fig. )
(a) parametriza a toda la superficie cilíndrica dada, ya que y está indefinida,
Figura 1.12:
tenemos entonces que limitar los valores de para que parametrice a la superficie en cuestión.Para ello, despejamos de la ecuación de la esfera:
y como
(b) Se calcula
Ahora, la contraimagen (o imagen inversa) por de se muestra en la fig. : y es
Figura 1.13:
función continua de .
Por lo tanto,
15
Las coordenadas para la integral son:
Nota: También vale la misma parametrización con (Ver fig ).
(c) Ahora, la ecuación del plano tangente a en es
Figura 1.14:
Así que,
Por lo tanto,
son las ecuaciones del plano pedido (obvio que tal plano es paralelo al eje y su intersección con el plano es la
recta de ecuación )
Problema 10
Parametrizar la superficie
Solución
Se trata de un disco de centro y radio contenido en el plano de ecuación Por lo tanto,con (ver fig ).
Nota didáctica: Compare esta parametrización (que es la de un disco de radio ) con la del ejercicio anterior (que
es la de un cilindro con circunferencia generatriz de radio ). Observe que allá no figuró , mientras que aquí sí, parapoder recorrer todo el disco desde hasta El alumno debe asimilar que no estamos haciendo cambio devariables sino construyendo una prametrización.
16
Nota: También vale la misma parametrización con (Ver fig ).
(c) Ahora, la ecuación del plano tangente a en es
Figura 1.14:
Así que,
Por lo tanto,
son las ecuaciones del plano pedido (obvio que tal plano es paralelo al eje y su intersección con el plano es la
recta de ecuación )
Problema 10
Parametrizar la superficie
Solución
Se trata de un disco de centro y radio contenido en el plano de ecuación Por lo tanto,con (ver fig ).
Nota didáctica: Compare esta parametrización (que es la de un disco de radio ) con la del ejercicio anterior (que
es la de un cilindro con circunferencia generatriz de radio ). Observe que allá no figuró , mientras que aquí sí, parapoder recorrer todo el disco desde hasta El alumno debe asimilar que no estamos haciendo cambio devariables sino construyendo una prametrización.
16
Nota: También vale la misma parametrización con (Ver fig ).
(c) Ahora, la ecuación del plano tangente a en es
Figura 1.14:
Así que,
Por lo tanto,
son las ecuaciones del plano pedido (obvio que tal plano es paralelo al eje y su intersección con el plano es la
recta de ecuación )
Problema 10
Parametrizar la superficie
Solución
Se trata de un disco de centro y radio contenido en el plano de ecuación Por lo tanto,con (ver fig ).
Nota didáctica: Compare esta parametrización (que es la de un disco de radio ) con la del ejercicio anterior (que
es la de un cilindro con circunferencia generatriz de radio ). Observe que allá no figuró , mientras que aquí sí, parapoder recorrer todo el disco desde hasta El alumno debe asimilar que no estamos haciendo cambio devariables sino construyendo una prametrización.
16
Nota: También vale la misma parametrización con (Ver fig ).
(c) Ahora, la ecuación del plano tangente a en es
Figura 1.14:
Así que,
Por lo tanto,
son las ecuaciones del plano pedido (obvio que tal plano es paralelo al eje y su intersección con el plano es la
recta de ecuación )
Problema 10
Parametrizar la superficie
Solución
Se trata de un disco de centro y radio contenido en el plano de ecuación Por lo tanto,con (ver fig ).
Nota didáctica: Compare esta parametrización (que es la de un disco de radio ) con la del ejercicio anterior (que
es la de un cilindro con circunferencia generatriz de radio ). Observe que allá no figuró , mientras que aquí sí, parapoder recorrer todo el disco desde hasta El alumno debe asimilar que no estamos haciendo cambio devariables sino construyendo una prametrización.
16
Problema 7
Figura 1.15:
Problema 11
Calcular el área de la porción de superficie esférica dada por interior al sólido descrito por
Solución
Estudiemos el borde del sólido dado por el cual está representado por com-
pletando cuadrados obtenemos: lo cual en el espacio representa la superficie de un cilindro.
Su circunferencia generatriz tiene centro en el punto y radio La superficie cuya área queremos calcular
está demarcada en la figura .
Se observa que hay una porción de en el hemisferio superior y otra igual en el inferior, y como además
Figura 1.16:
hay simetría respecto del plano podemos calcular del área y simplificar el problema en cartesianas con
Se tiene entonces,
y
Así,
17
Figura 1.15:
Problema 11
Calcular el área de la porción de superficie esférica dada por interior al sólido descrito por
Solución
Estudiemos el borde del sólido dado por el cual está representado por com-
pletando cuadrados obtenemos: lo cual en el espacio representa la superficie de un cilindro.
Su circunferencia generatriz tiene centro en el punto y radio La superficie cuya área queremos calcular
está demarcada en la figura .
Se observa que hay una porción de en el hemisferio superior y otra igual en el inferior, y como además
Figura 1.16:
hay simetría respecto del plano podemos calcular del área y simplificar el problema en cartesianas con
Se tiene entonces,
y
Así,
17
Figura 1.15:
Problema 11
Calcular el área de la porción de superficie esférica dada por interior al sólido descrito por
Solución
Estudiemos el borde del sólido dado por el cual está representado por com-
pletando cuadrados obtenemos: lo cual en el espacio representa la superficie de un cilindro.
Su circunferencia generatriz tiene centro en el punto y radio La superficie cuya área queremos calcular
está demarcada en la figura .
Se observa que hay una porción de en el hemisferio superior y otra igual en el inferior, y como además
Figura 1.16:
hay simetría respecto del plano podemos calcular del área y simplificar el problema en cartesianas con
Se tiene entonces,
y
Así,
17
Figura 1.15:
Problema 11
Calcular el área de la porción de superficie esférica dada por interior al sólido descrito por
Solución
Estudiemos el borde del sólido dado por el cual está representado por com-
pletando cuadrados obtenemos: lo cual en el espacio representa la superficie de un cilindro.
Su circunferencia generatriz tiene centro en el punto y radio La superficie cuya área queremos calcular
está demarcada en la figura .
Se observa que hay una porción de en el hemisferio superior y otra igual en el inferior, y como además
Figura 1.16:
hay simetría respecto del plano podemos calcular del área y simplificar el problema en cartesianas con
Se tiene entonces,
y
Así,
17
Figura 1.15:
Problema 11
Calcular el área de la porción de superficie esférica dada por interior al sólido descrito por
Solución
Estudiemos el borde del sólido dado por el cual está representado por com-
pletando cuadrados obtenemos: lo cual en el espacio representa la superficie de un cilindro.
Su circunferencia generatriz tiene centro en el punto y radio La superficie cuya área queremos calcular
está demarcada en la figura .
Se observa que hay una porción de en el hemisferio superior y otra igual en el inferior, y como además
Figura 1.16:
hay simetría respecto del plano podemos calcular del área y simplificar el problema en cartesianas con
Se tiene entonces,
y
Así,
17
Figura 1.15:
Problema 11
Calcular el área de la porción de superficie esférica dada por interior al sólido descrito por
Solución
Estudiemos el borde del sólido dado por el cual está representado por com-
pletando cuadrados obtenemos: lo cual en el espacio representa la superficie de un cilindro.
Su circunferencia generatriz tiene centro en el punto y radio La superficie cuya área queremos calcular
está demarcada en la figura .
Se observa que hay una porción de en el hemisferio superior y otra igual en el inferior, y como además
Figura 1.16:
hay simetría respecto del plano podemos calcular del área y simplificar el problema en cartesianas con
Se tiene entonces,
y
Así,
17
Recuérdese que (Jacobiano en polares) y que siendo
así que T
Ahora, como es el disco de la figura ,
construimos la nueva zona de integración: (ver fig. )
Figura 1.17:
en polares y es función continua y
Figura 1.18:
creciente respecto de
Problema 12
Hallar el área de la superficie cortada de la superficie cilíndrica de ecuación por la de ecuación
18
Recuérdese que (Jacobiano en polares) y que siendo
así que T
Ahora, como es el disco de la figura ,
construimos la nueva zona de integración: (ver fig. )
Figura 1.17:
en polares y es función continua y
Figura 1.18:
creciente respecto de
Problema 12
Hallar el área de la superficie cortada de la superficie cilíndrica de ecuación por la de ecuación
18
Recuérdese que (Jacobiano en polares) y que siendo
así que T
Ahora, como es el disco de la figura ,
construimos la nueva zona de integración: (ver fig. )
Figura 1.17:
en polares y es función continua y
Figura 1.18:
creciente respecto de
Problema 12
Hallar el área de la superficie cortada de la superficie cilíndrica de ecuación por la de ecuación
18
Recuérdese que (Jacobiano en polares) y que siendo
así que T
Ahora, como es el disco de la figura ,
construimos la nueva zona de integración: (ver fig. )
Figura 1.17:
en polares y es función continua y
Figura 1.18:
creciente respecto de
Problema 12
Hallar el área de la superficie cortada de la superficie cilíndrica de ecuación por la de ecuación
18
Recuérdese que (Jacobiano en polares) y que siendo
así que T
Ahora, como es el disco de la figura ,
construimos la nueva zona de integración: (ver fig. )
Figura 1.17:
en polares y es función continua y
Figura 1.18:
creciente respecto de
Problema 12
Hallar el área de la superficie cortada de la superficie cilíndrica de ecuación por la de ecuación
18
Ejerciccio 8
Recuérdese que (Jacobiano en polares) y que siendo
así que T
Ahora, como es el disco de la figura ,
construimos la nueva zona de integración: (ver fig. )
Figura 1.17:
en polares y es función continua y
Figura 1.18:
creciente respecto de
Problema 12
Hallar el área de la superficie cortada de la superficie cilíndrica de ecuación por la de ecuación
18
Solución
La porción de superficie es un octavo de la superficie total 1.19
Ahora, podemos representar por una ecuación implícita de la forma con función
Figura 1.19:
implícita y difderenciable respecto de y de .Aquí el alumno debe reconstriur teóricamente el razonamiento hecho en la oportunidad correspondiente para llegar
a y (puesto que
al considerar la octava parte trabajamos en el primer octante donde ). Ahora,
Por lo tanto,
Problema 13
Calcular el área de la parte de la superficie cónica dada por que está dentro de la esfera sólidadada por
Solución
con
Ahora, para hallar el borde superior de (fig. ), intersectemos
donde corresponde a una circunferencia de
centro en el eje en el punto y radio .
Parametrizando ya que así, con y
19