Presentación clase 5 geometria adi
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Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda Decanato de Acción Social Especialización Enseñanza de la Matemática FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA Lcdo. Luís Eduardo Arias Hernández (MSc))
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Universidad Nacional ExperimentalFrancisco de Miranda
Decanato de Acción SocialEspecialización Enseñanza de la Matemática
FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA
Lcdo. Luís Eduardo Arias Hernández (MSc))
T LR O I SÁ N G U L O S
TRIÁNGULOS
Es un polígono formado por la unión de tres segmentos de recta
ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO.
abc
LADOS
ÁNGULOS
Lo rojo es la región interior del triángulo
Lo azul es la región exterior del triángulo
El triángulo mismolas dos regiones
es la frontera separadora entre
¿Cómo pueden ser los lados de un triángulo?
abc
IGUALES
CASO I
LOS TRES ÁNGULOS
IGUALES
¿Cómo son los ángulos de un triángulo con lados iguales?
LOS TRES ÁNGULOSAGUDOS
LADOS IGUALESEQUILATERO
abc
abc
DOS IGUALES
CASO II
LOS TRES ÁNGULOSAGUDOS, DOS DE
ELLOS IGUALES
¿Cómo son los ángulos de un triángulo con dos lados iguales?
DOS ÁNGULOS AGUDOS IGUALES Y
UNO OBTUSO
DOS ÁNGULOS AGUDOS Y UNO RECTO
DOS LADOS IGUALES
ISOSCELES
DOS AGUDOS Y UNO OBTUSO
+DOS LADOS
IGUALES
OBTUSÁNGULO=
ISORECTANGULO
DOS AGUDO Y UN RECTO +
DOS LADOS IGUALES =
abc
DISTINTOS
CASO III
¿Cómo son los ángulos de un triángulo con dos lados distintos?
DOS AGUDOS Y UN RECTO +
TRES LADOS DISTINOS
RECTANGULO
=
DOS AGUDOS Y UN OBTUSO
+
TRES LADOS DISTINOS
ESCALENO
=
TRES ÁNGULOS AGUDOS
+TRES LADOS
DISTINOSACUTÁNGULOS
=
TeoremaEs una verdad que necesita ser demostrada
Hipótesis Tesis Demostración
Es lo que conocemos mediante el enunciado del teorema
Es la que dice que es lo que vamos a demostrar
Es un razonamiento basado en definiciones, axiomas y teoremas
AxiomaEs una verdad evidente por si misma
Axioma No necesita demostración
TEOREMA: LA SUMA DE LOS 3 ANGULOS INTERIORES DE TODO TRIÁNGULO ES 1800
Dibujamos un triángulo cualquiera y por C; trazamos una paralela a AB
C R
A B
α β
α ‘ β ‘ χ
Hipótesis
ABC es un triángulo cualquiera
R // AB
Tesis α + β + χ = 1800
α ‘ + χ + β ‘ = 1800 Ángulos
Suplementarios
α = α ‘ Ángulos alterno interno entre rectas paralelas
β = β ‘ Ángulos alterno interno entre rectas paralelas
α + β + χ = 1800
Demostración
TEOREMA EL ÁNGULO EXTERIOR DEL VERTICE, ES IGUAL A LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES NO ADYACENTES A EL.
Dibujamos un triángulo cualquiera y por C; trazamos una paralela a AB
A B
α β
ε β ‘
C α ‘ ε ‘ R
Hipótesis
ABC es un triángulo cualquiera
R // AB
Tesis ε ‘ = α + β
Demostración
α = α ‘
β = β ‘
α + β = β ‘ + α‘
β ‘ + α ‘ = ε ‘
ε ‘ = α + β
ALTURAS DE UN TRIÁNGULO. P
A B
Perpendicular bajada desde un vértice al lado opuesto
Cuantas alturas tiene un triángulos?
Los puntos de intersección de las alturas de todo triángulo se llaman ORTOCENTRO.
Donde se ubica el Ortocentro en un triángulo acutángulo?
Como las tres alturas se intersectan en un sólo punto dentro del triángulo.
El Ortocentro se ubica dentro del triángulo
Donde se ubica el Ortocentro en un triángulo rectángulo?
Como las tres alturas se intersectan en un solo punto, el vértice del ángulo recto.
El Ortocentro se ubica en ese vértice
Donde se ubica el Ortocentro en un triángulo obtusángulo?
Si prolongamos las alturas, se intersectan en un punto fuera del triángulo.
El Ortocentro se ubica fuera del triángulo
Mediana de un triángulos
Es un trazo que une los puntos medios de los lados.
Cada mediana es paralela a uno de los lados
Es equivalente a 1/2 de dicho lado
Que podemos concluir de sobre las medianas?
EJEMPLO: SEA EL TRIÁNGULO ABC, DONDE DE, DF, y FE SON MEDIANAS, ADEMÁS AB =24 cm, BC = 20 cm y AC = 27 cm. DETERMINE: DE, EF y FD.
A D B
F E
C
AB =24 cm, BC = 20 cm y AC = 27 cm.
Solución
SABEMOS QUE DE, DF, y FE SON MEDIANAS
AD = DB = 12 cm. D es el punto medio del
segmento AB
AF = FC = 10 cm. E es el punto medio del
segmento BC
CE = EB = 13,5 cm. F es el punto medio del
segmento AC
AF // ED , AD// EF ;FD // EB , EF // DB yED // AF , EF // AD
EF , FD y ED son medianas del triángulos ABC
ED = AF = 13,5 cmFD = EB = 10 cmEF = AD = 12 cm
Distancias entre rectas paralelas son iguales
ED = 13,5 cm; FD = 10 cm y EF = 12 cm
EJEMPLO: SEA EL TRIÁNGULO ABC, DONDE DE, DF, y FE SON
MEDIANAS, ADEMÁS α = 75º y β = 46º. DETERMINE: , , y γ ,
A D B
F E
C γ
α β
α = 75º y β = 46º.
Solución
SABEMOS QUE DE, DF, y FE SON MEDIANAS
α+ β + γ = 180º
= α = 75º
= 75º
γ = 59º
= = 75º
= 75º
+ + β = 180º
= 65º
= 65º
= = 65º
GRACIAS.....
