Presentación del problema y cálculo de los coeficientes de...

PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA Y CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE SENSIBILIDAD. Universidad de Sevilla.

Jorge Vázquez Ballesteros. Ingeniería Industrial.

11

CAPÍTULO 2: “PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA Y

CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE SENSIBILIDAD”.

2.1 PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA.

Se pretende optimizar el funcionamiento de una red de distribución para ello se quiere minimizar la

siguiente función:

∑ | |

∑ | |

nd: número de nodos de la red.

g: número de generadores controlables.

: pesos con los que el algoritmo considerará a cada término.

Como se indicó en el capítulo 1, está función consta de tres términos, y se minimizará cada uno por

separado y posteriormente se hará una minimización de todos juntos.

Las variables que podremos controlar para este fin serán las potencias activas y reactivas de los

generadores y las tensiones del secundario de los transformadores regulables presentes en la red.

Como es sabido, las relaciones que unen a los términos a minimizar de la función con las variables

controlables son funciones no lineales.

Los programas utilizados en este Proyecto, han sido el EMTP_RV, el JavaScritps ya que el código

del EMTP-RV está escrito en este programa y el algoritmo de optimización ha sido implementado

en MATLAB. Se ha elegido este programa por ser bastante conocido y utilizado a nivel académico y

laboral, además que nos permite trabajar de una manera sencilla con estructuras matriciales y

vectoriales dispersas habituales en el análisis de redes eléctricas.



12

La función de MATLAB elegida para la minimización ha sido el lp solve, es una función de tipo

MILP (mixed integer linear program) la cual se explicará con detalle posteriormente en el capítulo

3.

Esta es una función que trabaja con relaciones lineales y dado que nuestro problema no es lineal,

hay que linealizarlo anteriormente.

Para la linealización se ha hecho uso del concepto de los coeficientes de sensibilidad. Estos

términos indican como cambia una determinada variable respecto a una perturbación de una

variable controlable manteniendo todas las demás constantes.

Hay dos métodos para el cálculo de estos coeficientes:

Como diferencia de resultados de los sucesivos puntos de trabajo (Load Flow). Este método

es más simple de implementar pero requiere tiempos de ejecución de cálculos que dependen

del número de variables controlables y de la extensión de la red.

Analíticamente. Es más difícil de implementar pero el algoritmo, usando este método,

emplea alrededor de la cuarta parte de tiempo que si los coeficientes hubiesen sido

calculados con el otro método.

En este proyecto se han calculado analíticamente, se ha hecho de esta forma para poder comparar

los resultados con el otro método, cuyos resultados se conocían anteriormente.

Se espera que con el cáculdo analítico se obtengan mejores tiempos de optimización. El tiempo

medio de optimización para la red que se examinará utilizando el primer método de cálculo fue de

alrededor de 12 min de media.

En la primera parte del capítulo no se tendrán en cuenta, los coeficientes de sensibilidad de las

variables respecto a las variaciones de tensión en vacío del secundario de los transformadores, ya

que en primer lugar se harán simulaciones sin incluir los transformadores.

Una vez comprobado el buen funcionamiento del algoritmo de optimización en la red, sin

considerar los transformadores, se ampliará para considerar como variables las tensiones en vacío

del secundario de los transformadores.



13

En primer lugar se calculará la matriz de las admitancias Y y la matriz Jacobiana, que nos harán

falta para el posterior cálculo de los coeficientes.

2.2 CÁLCULOS PREVIOS (sin presencia de transformadores).

2.2.1 Matriz de las admitancias.

La matriz de admitancias, Y, relaciona a las tensiones con las intensidades en una red de

cuadripolos.

Con Ei indicamos la tensión en el nodo i-ésimo y con Ii la intensidad en ese mismo nodo. Con Iij se

indica la corriente de la línea ij (que va del nodo i-ésimo al nodo j-ésimo.)

Entonces la admitancia generalizada entre el nodo i e j, la indicaremos como yij. Y con yi0, se indica

la suma de las admitancias entre el nodo i y el neutro.

La matriz de admitancias Y, resultará ser una matriz con pocos elementos distintos de cero, y

además simétrica, si no hay transformadores regulables de transformación compleja y si los

cuadripolos, que componen la red, son recíprocos.

Figura 2.2.1 Representación del nodo genérico i y de sus enlaces.

Corriente entrante en el nodo i-ésimo:

∑ (3.3.1)



14

Y en forma matricial:

[ ] [ ] [ ]

Donde [ ] es la matriz de las admitancias nodales de la red.

Para poder calcularla tenemos que conocer antes la matriz de incidencias.

2.2.2 Matriz de las incidencias.

Este es un tipo de matriz utilizada en muchos campos, en eléctrica en particular, se refiere a las

conexiones o relaciones que hay entre cada línea y cada nodo de la red. Sus componentes podrán

tomar sólo tres valores, de la siguiente forma:

- 1, si la línea entra en el nodo (según el sentido previo que hayamos asignado).

- -1, si la línea sale del nodo.

- 0, si esa línea no está enlazada con el nodo correspondiente.

Las columnas de la matriz representan las líneas de la red, y las filas representan los nodos.

Un ejemplo simple para calcular la matriz de incidencias sería:

- 4 nodos (n1, n2, n3 y n4).

- 5 líneas (l1, l2,l3, l4 y l5).

Y su matriz de incidencias sería:

n1 n2

n3 n4

l5

l1 l4

l2

l3



15

[

]

La programación en Matlab de esta matriz se ha realizado en dos partes:

Primero, dentro de un bucle for donde se leerá la matriz de las ramas columna a columna, se

identifican los nodos de salida, con la orden strcmp. Posteriormente se realiza otro bucle for

dentro del cual irá un bucle if, que compara si el elemento k-ésimo, entra al nodo que

estemos considerando, dándole el valor 1.

Se realiza la misma operación para asignar el valor -1 a los elementos que salen del nodo

que estemos considerando en ese momento.

En el programa lpsolve22.m adjunta en el Apéndice B, a partir de la línea 302, se puede ver

detalladamente el cálculo de esta matriz.

2.2.3 Cálculo de la matriz Jacobiana (monofásica).

La matriz Jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una

función. En nuestro caso, antes de incluir los transformadores, la matriz Jacobiana se referirá a las

derivadas parciales de P y Q respecto a la tensión, en parte real e imaginaria.

Tensión del nodo i-ésimo:

Tensión del nodo h-ésimo:

donde y

son la parte real e imaginaria, respectivamente, de la tensión en el nodo i-ésimo, y

y

son la parte real e imaginaria, respectivamente, de la tensión en el nodo h-ésimo.

Elemento i h de la matriz [ ]:

donde

l1 l2 l3 l4 l5

n1

n2

n3

n4



16

- , admitancia entre dos nodos genéricos i h.

- conductancia entre los nodos genéricos i h.

- , suceptancia entre los nodos genéricos i h.

Potencia activa inyectada en el nodo i-ésimo:

∑

∑

(2.2.3.1)

Potencia reactiva inyectada en el nodo i-ésimo:

∑

∑

(2.2.3.2)

Para construir la matriz Jacobiana, se utiliza el método de Newton-Raphson, que aplicado al

problema de flujo de cargas en un nodo de carga en el cual las variables conocidas son la potencia

activa y la reactiva

nos da los siguientes resultados:

[

]

[

]

[

]

donde

La matriz Jacobiana se define como:



17

[ ] [

] (2.2.3.3)

Y su inversa, que es la que nos interesa:

[ ] [

] (2.2.3.4)

La primera columna representa la variación de la parte real de la tensión en un nodo respecto a la

variación (de 1 W) de la potencia activa P y respecto a la variación (de 1 VAR) de la potencia

reactiva Q, respectivamente. La segunda columna representa la variación de la parte imaginaria de

la tensión al variar la potencia activa y reactiva, como hemos señalado antes, respectivamente.

Donde cada uno de sus elementos se obtienen del conjunto de las siguientes ecuaciones:

(2.2.3.5)

∑

(2.2.3.6)

(2.2.3.7)

∑

(2.2.3.8)

Y para las derivadas de la potencia reactiva:

(2.2.3.9)

∑

(2.2.3.10)

(2.2.3.11)

∑

(2.2.3.12)



18

2.2.4 Cálculo de la matriz Jacobiana (trifásica).

Para el cálculo de los elementos de la inversa de la matriz Jacobiana, se calculan con las ecuaciones

referidas anteriormente. Estas ecuaciones se refieren al circuito monofásico equivalente. Pero en

este proyecto queremos trabajar con la red trifásica ya que el programa que se ha utilizado

(EMTP_RV) lo permite.

Por ello, veremos como son las ecuaciones a considerar en el caso trifásico.

Potencia activa en un nodo genérico i para cada una de las fases a,b y c:

∑[

]

∑[

]

∑[

]

∑[

]

∑[

]

∑[

]

(ecuaciones 2.2.4.1)

Potencia reactiva en un nodo genérico i para cada una de las fases a, b y c:



19

∑

∑[

]

∑

∑[

]

∑

∑[

]


La matriz Jacobiana sigue siendo, lógicamente, la misma: [ ] [

] pero ahora para poder

obtener sus elementos tendremos que trabajar con expresiones más extensas.

Se desprecian los fenómenos de acoplamiento mutuo entre fases, de esta manera los cálculos serán

más sencillos ya que:

Además considerando la simetría, es decir, y análogamente para los demás términos,

entonces también:



20

Por lo que las derivadas parciales, distintas de cero, resultan:

∑[

]

∑[

]

∑[

]


Y para la parte imaginaria de la potencia activa:

∑[

]

∑[

]

∑[

]




21

Con respecto a la potencia reactiva usamos las siguientes ecuaciones:

∑

∑

∑


Y para su parte imaginaria:

∑ [

]

∑ [

]

∑ [

]




22

2.3 CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE SENSIBILIDAD (sin

presencia de transformadores).

2.3.1 Cálculo de los coeficientes de sensibilidad de las tensiones.

|

|

- es el coeficiente de sensibilidad de la tensión en el nodo i-ésimo respecto a la variación

de potencia activa del generador j-ésimo. Nos indica cuanto varía la tensión en ese nodo a

consecuencia de una variación de potencia ΔP del generador j-ésimo dejando fijas las

potencias activas de los otros generadores y las potencias reactivas (incluido el j-ésimo).

- es el coeficiente de sensibilidad de la tensión en el nodo i-ésimo respecto a la variación

de potencia reactiva del generador j-ésimo. Nos indica cuanto varía la tensión en ese nodo a

consecuencia de una variación de potencia ΔQ del generador j-ésimo dejando fijas las

potencias reactivas de los otros generadores y las potencias activas (incluido el j-ésimo).

Una vez calculada la matriz Jacobiana [ ] [

] , basta invertirla [ ] [

] y

observamos como los elementos de esta matriz son los coeficientes de sensibilidad de las tensiones

respecto a las variaciones de potencia P y Q de los distintos generadores distrubuidos a la largo de

la red.

2.3.2 Cálculo de los coeficientes de sensibilidad de las corrientes.

|

|

-

es el coeficiente de sensibilidad de la corriente de la línea ij respecto a la variación de

potencia activa del generador g-ésimo. Nos indica cuanto varía la corriente en la línea ij a

consecuencia de una variación de potencia ΔP del generador g-ésimo dejando fijas las demás



23

potencias activas de los generadores y las potencias reactivas (incluida la del generador g-

ésimo).

-

es el coeficiente de sensibilidad de la corriente de la línea ij respecto a la variación de

potencia reactiva del generador g-ésimo. Nos indica cuanto varía la corriente en la línea ij a

consecuencia de una variación de potencia ΔQ del generador g-ésimo dejando fijas las

demás potencias reactivas de los generadores y las potencias activas (incluida la del

generador g-ésimo).

En primer lugar hay que indicar que las líneas están representadas como cuadripolo con circuito

equivalente a :

Figura 2.3.2 Esquema de una línea representada como cuadripolo a .

Impedancia en la rama ij: Zij= Rij+ jLij

Admitancia del nodo i: Yi0=Gi0+jCi0

Admitancia del nodo j: Yj0=Gj0+jCj0

Donde la conductancia, G, puede ser despreciable para los cálculos:

La corriente en la rama ij: –

( ) (2.3.2.1)

Y su incremento: –

( ) (2.3.2.2)

que podemos escribir como: [

( )] [

( )] (2.3.2.3)

Donde y , podemos escribirlos, una vez que hemos calculado los coeficientes de

sensibilidad de las tensiones, como:



24

[

] [

] (2.3.2.4)

donde

- j es el operador complejo.

- los términos

representan la variación de la parte real e imaginaria de la tensión en

el nodo i-ésimo a causa de una variación de la potencia dP de los distintos generadores

distribuidos.

- Los términos


el nodo i-ésimo a causa de una variación de la potencia dQ de los distintos generadores

distribuidos

El incremento de la intensidad respecto a una variación de la potencia activa P, en la rama ij:

[(

) (

( ))]

(

)

( ) (2.3.2.5)

Y respecto a una variación de la potencia reactiva Q:

[(

) (

( ))]

(

)

( ) (2.3.2.6)

Se ha verificado que la intensidad transversal de una línea es mucho menor que la longitudinal,

entonces podemos decir que la intensidad que entra en el nodo i es igual a la que sale en el nodo j,

en la línea ij.

Esto equivale a despreciar las capacidades que constituyen las impedancias transversales, esto

incide en las fórmulas de la siguiente manera:

[(

) (

)]

( ) (2.3.2.7)

[(

) (

)]

( ) (2.3.2.8)



25

Tenemos la variación de intensidad respecto a P y Q, en parte real e imaginaria, pero la queremos

en módulo, entonces, definimos:

- Iprima como el vector de la corriente en todas las líneas de la red antes de las variaciones de

potencia por parte de los generadores distribuidos.

- Idopo,p como el vector de la corriente en todas las líneas de la red después de la variación de

potencia activa por parte de los generadores distribuidos.

(3.4.2.9)

- Idopo,q como el vector de la corriente en todas las líneas de la red después de la variación de

potencia reactiva por parte de los generadores distribuidos.

(3.4.2.10)

Entonces los coeficientes de sensibilidad de las corrientes los calculamos como:

| | | |

| | | |

2.3.3 Cálculo de los coeficientes de sensibilidad de las pérdidas de la red.

donde

- es el coeficiente de sensibilidad de las pérdidas activas en la red respecto a la

variación de potencia activa del generador i-ésimo. Nos indica cuanto varían las pérdidas



26

activas en la red a consecuencia de un variación de potencia del generador i-ésimo

dejando fijas las potencias activas de los demás generadores y las reactivas (incluyendo al

generador i-ésimo).

- es el coeficiente de sensibilidad de las pérdidas activas en la red respecto a la

variación de potencia reactiva del generador i-ésimo. Nos indica cuanto varían las pérdidas

activas en la red a consecuencia de un variación de potencia del generador i-ésimo

dejando fijas las potencias reactivas de los demás generadores y las activas (incluyendo al


- es el coeficiente de sensibilidad de las pérdidas reactivas en la red respecto a la

variación de potencia activa del generador i-ésimo. Nos indica cuanto varían las pérdidas

reactivas en la red a consecuencia de un variación de potencia del generador i-ésimo

dejando fijas las potencias activas de los demás generadores y las reactivas (incluyendo al


- es el coeficiente de sensibilidad de las pérdidas reactivas en la red respecto a la

variación de potencia reactiva del generador i-ésimo. Nos indica cuanto varían las pérdidas

reactivas en la red a consecuencia de un variación de potencia del generador i-ésimo

dejando fijas las potencias reactivas de los demás generadores y las activas (incluyendo al


Partimos de la definición de Ploss y Qloss:

∑

∑ ∑


Donde los sumatorios referentes a las corrientes hacen referencia a todas las líneas y el sumatorio

referente a las tensiones hace referencia a todos los nodos de la red.

Xij es la reactancia de la línea conectada entre los nodos i j.

Bi0 es la suceptancia (igual a Ci0) conectada entre el nodo i y la tierra.

Queremos ver como varían las pérdidas en función de la variación de P y Q de los generadores:



27

(2.3.3.2)

(2.3.3.3)

donde

- son los vectores de variación de la potencia activa y reactiva, respectivamente, de los

generadores controlables calculados al final de la optimización.

- son los vectores de los coeficientes de sensibilidad que indican las

variaciones de las pérdidas activas en la red respecto a una variación de potencia activa y

reactiva por parte de los generadores, respectivamente, conocida.

- son los vectores de los coeficientes de sensibilidad que indican las

variaciones de las pérdidas reactivas en la red respecto a una variación de potencia activa y

reactiva por parte de los generadores, respectivamente, conocida.

Si varía la inyección de potencia de un generador genérico g:

∑

∑

(2.3.3.4)

∑

∑

(2.3.3.5)

∑

∑

∑

∑

(2.3.3.6)

∑

∑

∑

∑

(2.3.3.7)

2.3.4 Observaciones.

Para poder calcular los coeficientes de sensibilidad descritos es necesario conocer:

- Los valores de tensión en los nodos.

- Los valores de corriente en las ramas.



28

- Los parámetros característicos de las líneas (R, L y C).

- Matriz de incidencias

- Matriz de admitancias.

- Matriz Jacobiana.

Observamos que los coeficientes de sensibilidad de las pérdidas de la red, dependen tanto de los

coeficientes de sensibilidad de las tensiones como de las corrientes, entonces podemos decir que:

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Vemos que los coeficientes de sensibilidad de las pérdidas dependen de los coeficientes de

sensibilidad de las corrientes y de las tensiones, y los de las corrientes, a su vez, dependen de los de

las tensiones. Luego calculando la inversa del Jacobiano (la cual nos da los coeficientes de

sensibilidad de las tensiones), obtendremos fácilmente todos los coeficientes de sensibilidad.

.

2.4 CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE SENSIBILIDAD (con

presencia de transformadores).

2.4.1 Observaciones previas.

Se calcularán los coeficientes de sensibilidad de las tensiones, de las corrientes y de las pérdidas de

la red, respecto a las variaciones de potencia activa y reactiva de los distintos generadores

distribuidos presentes en la red, y además respecto a la variación de tensión del secundario de los

transformadores regulables.

Para el caso con transformadores tendremos que modificar las ecuaciones obtenidas en el apartado

2.3. En este apartado veremos como se calculan los nuevos coeficientes de sensibilidad con la

presencia de transformadores y se explicarán las modificaciones a realizar.



29

Las variables de nuestro problema, serán ahora también dependientes de la tensión del secundario

de los transformadores, habremos por tanto:

Vi = fi ( P1,Q1, … , Pg, Qg, V2,1 ,…., V2,T ) (2.4.1.1)

Iij = ci ( P1,Q1, … , Pg, Qg, V2,1 ,…., V2,T) (2.4.1.2)

(2.4.1.3)

(2.4.1.4)

Donde son las variables que representan las tensiones en los terminales del

secundario de los transformadores regulables presentes en la red.

Estas ecuaciones pueden ser linealizadas utilizando, como ya se sabe, los coeficientes de

sensibilidad. El proceso de optimización resulta ser de tipo iterativo por lo tanto, si k es el último

paso de la iteración:

Por lo tanto las ecuaciones arriba mencionadas se pueden escribir como variaciones de esta manera:

(2.4.1.5)

(2.4.1.6)

(2.4.1.7)

+

(2.4.1.8)



30

Nos fijamos que las nuevas derivadas parciales que hay que calcular, son las referentes a la tensión

del secundario de los transformadores

Para cada transformador regulable j-ésimo presente en la red, tendremos estos nuevos coeficientes

de sensibilidad:

|

|

|

|

donde

-

es el coeficiente de sensibilidad de la tensión en el nodo i-ésimo respecto a la variación de

la tensión en vacío del transformador j-ésimo (en kV) provocada por una variación unitaria de la

posición del servomotor. Nos indica cuanto varía la tensión del nodo i-ésimo al variar la tensión

en vacío del transformador j-ésimo, manteniendo constantes los demás transformadores y las

potencias activas y reactivas de los generadores distribuidos controlables.

-

es el coeficiente de sensibilidad de la corriente en la línea ij, respecto a una variación de la

tensión en vacío del transformador j-ésimo (en kV), provocada por una variación unitaria del

servomotor. Nos indica cuanto varía la corriente en la línea ij, al variar la tensión en vacío del

transformador j-ésimo, manteniendo constantes los demás transformadores y las potencias

activas y reactivas de los generadores distribuidos controlables.



31

- es el coeficiente de sensibilidad de las pérdidas activas de la red respecto a una

variación de la tensión en vacío del transformador j-ésimo (en kV), provocada por una variación

unitaria del servomotor. Nos indica cuanto varían las pérdidas activas al variar la tensión en

vacío del transformador j-ésimo, manteniendo constantes los demás transformadores y las


- es el coeficiente de sensibilidad de las pérdidas reactivas de la red respecto a una

variación de la tensión en vacío del transformador j-ésimo (en kV) provocada por una variación

unitaria del servomotor. Nos indica cuanto varían las pérdidas reactivas al variar la tensión en

vacío del transformador j-ésimo, manteniendo constantes los demás transformadores y las


El valor esta relacionado con , siendo esta variable la diferencia entre escalones de las

posiciones del servomotor del transformador regulable, antes y después del cambio. Su relación

viene descrita como:

(2.3.1.9)

donde es la tensión en vacío del secundario del transformador, (voltage per tap) es la

variación de tensión del secundario respecto a un escalón unitario y positivo aplicado a la posición

del transformador, expresado en tanto por ciento respecto al valor de tensión nominal.

Definimos m como relación entre la tensión del primario y la del secundario del transformador:

(2.3.1.10)

Por lo tanto una variación de , , provocará un , de esta manera:

(

)

(2.3.1.11)

donde representa la posición inicial del servomotor, y



32

. (2.3.1.12)

Se han descrito todas estas relaciones porque, los coeficientes de sensibilidad de las variables

respecto de , se calcularán antes en función de m, y posteriormente serán multiplicados por ,

de esta forma obtendremos los coeficientes de sensibilidad buscados.

Para el cálculo necesitaremos conocer:

- Los valores de las tensiones en los nodos.

- Los valores de las corrientes en cada línea.

- Los parámetros característicos de las líneas y de los transformadores (R, L y C).

- Matriz de las conexiones.

- Matriz de adimitancias.

- Matriz Jacobiana.

- Expresiones que permiten determinar la variación de potencia inyectada en los nodos

cuando se tiene una variación en la relación de transformación (matriz ).

2.4.2 Modificación de la matriz de admitancias.

Considerando siempre que las líneas están representadas como cuadripolos con configuración en π,

es posible esquematizar el transformador de la siguiente forma:

Figura 2.4.2 Circuito equivalente del trasformador con dos devanados con impedancia de cortocircuito referida al primario.

Los elementos del transformador dependen de m, si ésta fuese unitaria estaría representada

únicamente por una impedancia longitudinal, pudiéndose despreciar el termino y0, porque este



33

término está relacionado con las pérdidas de potencia en vacío del transformador, que como es

conocido, son pequeñas.

Los términos de la figura pueden obtenerse con las siguientes ecuaciones:

;

√

donde

Vcc % es la tensión de cortocircuito, en tanto por ciento respecto a la tensión nominal.

I0 % es la corriente a circuito abierto, en tanto por ciento respecto a la corriente nominal.

Pcc % pérdidas en la línea, en tanto por ciento respecto a la potencia nominal.

P0 % las pérdidas en el hierro, en tanto por ciento respecto a la potencia nominal.

es la impedancia de cortocircuito del transformador.

Si el transformador está conectado entre los nodos mi y mk, entonces la única variación que tendrá la

matriz de admitancias calculada anteriormente, será en las posiciones (mi,mi), (mi,mk), (mk,mi) y

(mk,mk). Por lo que los elementos a incorporar a la matriz calculada anteriormente serán únicamente

estos:

(2.4.2.1)

(2.4.2.2)

(2.4.2.3)

para un transformador genérico j.



34

2.4.3 Cálculo de los coeficientes de sensibilidad de las tensiones.

Como ya indicado anteriormente, la tensión puede ser expresada como:

Vi = fi ( P1,Q1, … , Pg, Qg, m1 ,…., mT ) (2.4.3.1)

Y su variación:

(2.4.3.2)

donde

∆Vi es la variación del módulo de la tensión del nodo i-ésimo.

∆P, ∆Q, ∆m son las variaciones impuestas a las variables controlables.

Los nuevos términos, respecto al apartado 2.3.1 se refieren a las variaciones de tensión respecto a la

variación de m de los transformadores. Éstos, para un trasformador genérico j, pueden ser

expresados, utilizando las propiedades de las derivadas parciales:

∑ (

)

(2.4.3.3)

Aplicada a todos los nodos de la red tenemos, en forma matricial:

[

]

[

]

[

]

(2.4.3.4)

Y en forma compacta: [

] [ ] [ ] (2.4.3.5)



35

donde

- [ ] es la inversa de la matriz Jacobiana, cuyos términos dependen ahora también de la

relación de transformación m, una vez que hayamos introducido en la matriz de admitancias

los parámetros presentes en el modelo del transformador como cuadripolo en π.

- [ ] es la matriz que representa la variación de las potencias inyectadas en los diversos

nodos de la red, causadas por una variación de los distintos dm.

Para el cálculo de la matriz [ ] partimos de las escuaciones obtenidas en el apartado 2.2.4

(2.2.4.1 y 2.2.4.2).

Suponiendo que el transformador genérico j, está conectado entre los nodos ht* y kt

*, en lo referente

a potencia activa, tendremos:

(2.4.3.6)

(

)

(2.4.3.7)

(2.4.3.8)

Y para las potencias reactivas:

(2.4.3.9)

(

)

(2.4.3.10)

(2.4.3.11)

Y las derivadas de G y B respecto a m, las calculamos de esta forma:

[

]

[

]

[

]

[

]



36

Los coeficientes de sensibilidad de las tensiones respecto a un variación unitaria de la relación de

transformación dm, se calculan como el producto entre la inversa del Jacobiano y la matriz .

Para obtener los coeficientes,

, debidos a una variación de V2= 1 kV, tendremos que multiplicar

los elementos de [

] por el término Δm del transformador correspondiente, obteniendo entonces:

[

] [

] (2.4.3.12)

*en las ecuaciones del programa de Matlab, lpsolve, nos encontraremos que el transformador genérico j, está conectado entre los nodos llamados mi y

mk, en lugar de ht y kt. En la parte teórica del proyecto se ha decidido usar estos últimos nombres para los nodos genéricos por una razón

sencillamente de comprensión, para no inducir a confusiones entre el término m, que se refiere a la relación de transformación de los transformadores.

2.4.4 Cálculo de los coeficientes de sensibilidad de las corrientes.

Utilizando el modelo que considera a las líneas y a los transformadores como cuadripolos con

representación en π, la corriente que va del nodo i al nodo j, sería:

–

( ) (2.4.4.1)

y su variación:

( – )

( ) (2.4.4.2)

Y se puede reagrupar como:

[

( )] [

( )] (2.4.4.3)

y son vectores cuyas componentes son los coeficientes de sensibilidad de las tensiones, en

este caso también relativos a la variación de tensión del secundario de los transformadores.



37

[

]

[

]

(2.4.4.4)

donde

- j representa el operador complejo.

- Los términos


el nodo i-ésimo, respectivamente, a consecuencia de una variación de la potencia activa dP

de los distintos generadores distribuidos.

- Los términos


el nodo i-ésimo, respectivamente, a consecuencia de una variación de la potencia reactiva

dQ de los distintos generadores distribuidos.

- Los términos

representan la variación de la parte real e imaginaria de la tensión

en el nodo i-ésimo, respectivamente, a consecuencia de una variación de la tensión del

secundario de los transformadores presentes en la red.

Análogamente para el nodo j-ésimo.

Entonces separando términos obtenemos, respecto a la potencia activa:

[(

) (

( ))]

(

)

( ) (2.4.4.5)

respecto a la reactiva;

[(

) (

( ))]

(

)

( ) (2.4.4.5)

y respecto a la variación de tensión del secundario de los transformadores:

[(

) (

( ))]

(

)

( ) (2.4.4.6)



38

Como ya mencionado anteriormente, se desprecia la capacidad que constituye la impedancia

transversal ya que la corriente que pasa por ella es mucho menor que la que pasa por la rama

longitudinal de la línea. Con esta aproximación, tenemos:

[(

) (

)]

( ) (2.4.4.7)

[(

) (

)]

( ) (2.4.4.8)

[(

) (

)]

( ) (2.4.4.9)

Y ahora, como también se explicó antes, se quieren obtener los coeficientes de sensibilidad de las

corrientes respecto a P, Q y V2, en módulo y no en parte real e imaginaria, definimos para ello:

- Iprima el vector de la corriente en todas las líneas de la red antes de la variación de potencia por

parte de los generadores distribuidos.

- Idopo,p el vector de la corriente en todas las líneas de la red después de la variación de potencia

activa por parte de los generadores distribuidos.

(2.4.4.10)

- Idopo,q el vector de la corriente en todas las líneas de la red después de la variación de potencia

reactiva por parte de los generadores distribuidos.

(2.4.4.11)

- Idopo,V2 el vector de corriente en todas las líneas de la red después de la variación de la tensión

del secundario de los transformadores a consecuencia de un cambio de posición del servomotor

igual a un escalón (0,3 kV en los transformadores utilizados).

(2.4.4.12)



39

Los coeficientes de sensibilidad de las corrientes serán por tanto:

| | | |

| | | |

|

| | |

2.4.5 Cálculo de los coeficientes de sensibilidad de las pérdidas de la red.

Las relaciones lineales de las pérdidas en la red y las variaciones de potencia activa y reactiva de los

generadores y las variaciones de tensión del secundario de los transformadores se pueden escribir

como:

(2.4.5.1)

(2.4.5.2)

donde

- son los vectores de la variación de la potencia activa y reactiva y de la

variación de la tensión en el secundario de los transformadores regulables, calculados al

concluir la optimización.

- son los vectores de los coeficientes de sensibilidad que indican la

variación de pérdidas activas en la red a causa de la variación de la potencia activa y reactiva

de los generadores y de la variación de tensión en el secundario de los transformadores

regulables.

- son los vectores de los coeficientes de sensibilidad que indican la

variación de pérdidas reactivas en la red a causa de la variación de la potencia activa y

reactiva de los generadores y de la variación de tensión en el secundario de los

transformadores regulables.



40

Para calcular los coeficientes de sensibilidad, considerando ahora la presencia de los

transformadores regulables:

∑ ∑

(2.4.5.3)

∑ ∑

(2.4.5.4)

Donde el primer sumatorio se refiere a las corrientes de todas las líneas de la red, mientras que el

segundo sumatorio se refiere a las tensiones de todos los nodos de la red.

Rij y Xij son la resistencia y la reactancia de la línea que está conectada entre los nodos i y j.

Gi0 y Bi0 son la conductancia y suceptancia (Ci0) conectadas entre el nodo i y la tierra.

Partiendo de estas ecuaciones se calculan los coeficientes de sensibilidad de las pérdidas respecto a

las variaciones de potencia activa y reactiva de un generador genérico g, y respecto a la variación de

tensión en vacío del secundario de los transformadores:

∑

( )

∑

(2.4.5.5)

∑

∑

(2.4.5.6)

∑

∑

∑

∑

(2.4.5.7)

∑

∑

∑

∑

(2.4.5.8)

∑(

( )

( )

( )

)

∑(

) (2.4.5.9)

∑(

( )

( )

) ∑(

( )

)

∑(

) ∑(

) (2.4.5.10)



41

Donde los términos

,

,

son distintos de cero para los transformadores.

Si nos fijamos en la figura 2.4.2 podemos obtener estos términos de la siguiente manera:

para i = mi

para i = mk

2.4.6 Observaciones finales.

Además de los datos necesarios indicados en el apartado 2.3.4, ahora tenemos que conocer además

los datos relativos a los transformadores regulables presentes en la red. Los datos de ingreso a

adjuntar son:

- Nombre de los nodos a los que los transformadores están conectados.

- Valor de la tensión nominal del primario y del secundario de los transformadores.

- Valores de los parámetros internos de los transformadores (Rcc e Xcc).

- Valor de la tensión referente a un escalón, en tanto por ciento respecto a V2n (vpt).

- Posición inicial del servomotor del transformador regulable (Δn0.).

El procedimiento para calcular los coeficientes de sensibilidad de las tensiones en los distintos

nodos, de las corrientes en las distintas líneas y de las pérdidas en la red, viene representado a

continuación mediante un esquema a bloques, indicando que programas efectúan las diferentes

operaciones:



42

Figura 2.3.4 Esquema de bloques para el cálculo de los coeficientes de sensibilidad (con transformadores).

JAVA-SCRIPT

Lectura de los parámetros de

línea y de los

transformadores:

- R y Rcc

- X y Xcc

- C

- Relación de

transformación m.

EMTP-RV

Cálculo y lectura de

los resultados del

flujo de cargas.

(Load Flow)

MATLAB

Construcción de la matriz

de las conexiones y de la

matriz de las admitancias.

JAVA-SCRIPT

Lectura de las corrientes

en los nodos y de las

tensiones en las líneas.

MATLAB

Construcción e inversión de la

matriz Jacobiana.

[J] [J]-1

Y construcción de la matriz

[Δpot]

𝒌𝑷𝑽 𝒋𝒊 𝒌𝑸𝑽 𝒋

𝒊 𝒌𝑽𝟐𝑻 𝒋𝒊

Coeficientes de sensibilidad de

las tensiones.

𝑯𝑷 𝒈𝒊𝒋

𝑯𝑸 𝒈𝒊𝒋

𝑯𝑽𝟐𝑻 𝒈𝒊𝒋

Cálculo de los coeficientes de

sensibilidad de las corrientes.

𝑲𝒑𝒑𝒍𝒐𝒔𝒔 𝒈

𝑲𝒑𝒒𝒍𝒐𝒔𝒔 𝒈

𝑲𝒒𝒑𝒍𝒐𝒔𝒔 𝒈

𝑲𝒒𝒒𝒍𝒐𝒔𝒔 𝒈

𝑲𝒕𝒄𝒑𝒍𝒐𝒔𝒔 𝒈

𝑲𝒕𝒄𝒒𝒍𝒐𝒔𝒔 𝒈

Cálculo de los coeficientes de

sensibilidad de las pérdidas.

Interfaz

gráfica

EMTP

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