Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos © Prof. Dr. François E....

Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos

© Prof. Dr. François E. CellierFebrero 4, 2008

Circuitos Eléctricos I• Esta presentación introduce el tema del modelado

matemático de circuitos eléctricos lineales.• Modelando un circuito eléctrico se obtiene un

sistema implícito de ecuaciones diferenciales y algebraicas (EDAs) que se convierten en un sistema explícito de ecuaciones diferenciales y algebraicas en el proceso de la ordenación horizontal y vertical de las ecuaciones.

• Eliminando las variables algebraicas, estas EDAs pueden convertirse a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs).




Contenido

• Elementos y sus modelos

• La topología de los circuitos y sus ecuaciones

• Un ejemplo

• Ordenación horizontal

• Ordenación vertical

• Representación en el espacio de estados

• Transformación al espacio de estados




Elementos de Circuitos Lineales

• Resistores

• Capacidades

• Inductancias

Riva vb

u

Civa vb

u

Liva vb

u

u = va – vb

u = R·i

u = va – vb

i = C· dudt

u = va – vb

u = L· didt




Elementos de Circuitos Lineales II

• Fuentes de voltaje

• Fuentes de corriente

• Tierra

U0 = vb – va

U0 = f(t)

I 0

Iva vb

u

0 u = vb – va

I0 = f(t)

V0

V0 V0

-V0 = 0

U 0

iva vb

U0

|




La Topología de los Circuitos

• Nodos

• Mallas

va = vb = vc

ia + ib + ic = 0va vb

ia ib

ic

vc

va vb

vc

uab

ubcucauab + ubc + uca = 0




Un Ejemplo I




Reglas para Sistemas de Ecuaciones I

• Las ecuaciones de los elementos y de la topología contienen redundancia.

• Por ejemplo es posible eliminar todas las variables de potencial (vi) sin problemas.

• La ecuación de corrientes para el nodo de la tierra es redundante y no se usa.

• Las ecuaciones de las mallas solamente se usan si las variables de potencial se eliminan. Si no es el caso, estas ecuaciones son redundantes.




Reglas para Sistemas de Ecuaciones II

• Si las variables de potencial se eliminan, cada elemento del circuito define dos variables: la corriente (i) a través del elemento y el voltaje (u) a través del mismo.

• Por consecuencia se necesitan dos ecuaciones para obtener los valores de estas dos variables.

• Una de las ecuaciones es la ley principal del elemento mismo, la otra se deriva de la topología.




Un Ejemplo IIEcuaciones principales de los elementos:

U0 = f(t) iC = C· duC/dt

u1 = R1· i1uL = L· diL/dt

u2 = R2· i2

Ecuaciones de los nodos:

i0 = i1 + iLi1 = i2 + iC

Ecuaciones de las mallas:

U0 = u1 + uC uL = u1 + u2

uC = u2

El circuito contiene 5 elementos

Se piden 10 ecuaciones en 10 incógnitas




Reglas para la Ordenación Horizontal I• La variable representando el tiempo t puede tratarse como

conocida.

• Las variables de estado (variables que aparecen en forma diferenciada) pueden tratarse como conocidas.

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2




Reglas para la Ordenación Horizontal II

• Ecuaciones que contienen una sola incógnita deben evaluarse por ella.

• Las variables ya evaluadas pueden tratarse como conocidas.

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2




Reglas para la Ordenación Horizontal III

• Variables que aparecen en una sola ecuación todavía no causal deben evaluarse usando esa ecuación.

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2




Reglas para la Ordenación Horizontal IV

• Todas esas reglas pueden aplicarse múltiples veces.

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2




U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

El algoritmo se aplica hasta que cada ecuación define exactamente una sola variable que se evalúa por ella.




Reglas para la Ordenación Horizontal V

• La ordenación horizontal puede ser ejecutada ahora usando técnicas simbólicas de la manipulación de formulas.

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

i1 = u1 /R1

i2 = u2 /R2

duC/dt = iC /C

diL/dt = uL /L

i0 = i1 + iL

iC = i1 - i2

u1 = U0 - uC

u2 = uC

uL = u1 + u2




Reglas para la Ordenación Vertical

• Entre tanto las ecuaciones se convirtieron en asignaciones. Pueden ser ordenadas verticalmente de tal manera que ninguna de las variables se use antes de que esté definida.

U0 = f(t)

i1 = u1 /R1

i2 = u2 /R2

duC/dt = iC /C

diL/dt = uL /L

i0 = i1 + iL

iC = i1 - i2

u1 = U0 - uC

u2 = uC

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = U0 - uC

i1 = u1 /R1

i0 = i1 + iL

u2 = uC

i2 = u2 /R2

iC = i1 - i2

uL = u1 + u2

duC/dt = iC /C

diL/dt = uL /L




Reglas para Sistemas de Ecuaciones III

• Alternativamente es posible trabajar con voltajes y potenciales.

• En ese caso ecuaciones adicionales definiendo los potenciales de los nodos deben encontrarse. Se trata de las ecuaciones que relacionan los voltajes a través de elementos con los potenciales en sus terminales. Aquellas no se usaron hasta ahora.

• Las ecuaciones de las mallas son redundantes y deben eliminarse.




Un Ejemplo III

El circuito contiene 5 elementos y además 3 nodos.

Se piden 13 ecuaciones en 13 incógnitas.

Ecuaciones principales de los elementos:

U0 = f(t) U0 = v1 – v0

u1 = R1· i1 u1 = v1 – v2

u2 = R2· i2 u2 = v2 – v0

iC = C· duC/dt uC = v2 – v0

uL = L· diL/dt uL = v1 – v0

v0 = 0

Ecuaciones de los nodos:

i0 = i1 + iLi1 = i2 + iC

v1

v2

v0




Ordenación• El algoritmo de la ordenación de ecuaciones puede

aplicarse exactamente como antes.• El algoritmo de la ordenación ya se había reducido a una

estructura puramente matemática (de información) que no mantiene ningún conocimiento de la teoría de circuitos eléctricos.

• Por consecuencia la tarea del modelado puede reducirse a dos problemas parciales:

1. Transformación de la topología del sistema físico a un sistema implícito de DAEs.

2. Conversión del sistema DAE a una estructura de programación ejecutable.




Representación en el Espacio de Estados

• Sistemas lineales:

• Sistemas no lineales:

dxdt = A · x + B · u

y = C · x + D · u

x(t0) = x0;

dxdt = f(x,u,t)

y = g(x,u,t)

; x(t0) = x0

x n

u m

y p

x = Vector de variables de estado

u = Vector de variables de entrada

y = Vector de variables de salida

n = Número de variables de estado

m = Número de entradas

p = Número de salidas

A n n

B n m

C p n

D p m




Transformación al Espacio de Estados IU0 = f(t)

u1 = U0 - uC

i1 = u1 /R1

i0 = i1 + iL

u2 = uC

i2 = u2 /R2

iC = i1 - i2

uL = u1 + u2

duC/dt = iC /C

diL/dt = uL /L

duC/dt = iC /C

= (i1 - i2 ) /C

= i1 /C - i2 /C

= u1 /(R1 · C) – u2 /(R2 · C)

= (U0 - uC) /(R1 · C) – uC /(R2 · C)

diL/dt = uL /L

= (u1 + u2) /L

= u1 /L + u2 /L

= (U0 - uC) /L + uC /L

= U0 /L

Para cada ecuación que define una derivada se substituyen las variables de la derecha por las ecuaciones que definen ellas hasta que las derivadas dependan solamente de variables de estado y de entradas.




Transformación al Espacio de Estados IIx1 = uC

x2 = iL

u = U0

y = uC

Definiendo:

x1 = -

R1 · C

R2 · C

[ ] x1 R1 · C u

x2 = 1

Lu

y = x1




Un Ejemplo IV




Referencias

• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 3.

• Cellier, F.E. (2001), Código de Matlab del circuito eléctrico.

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