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Ing. Pedro López Eiroá

soportedelconocimiento.blogspot.mxorigensobrehumano.blogspot.mxciudadanosdelreinodeloscielos.blogspot.mx

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Girolamo Cardano 1501-1576Girolamo Cardano 1501-1576

1565 - Libro de los Juegos de Azar1565 - Libro de los Juegos de Azar Pierre de Fermat 1601-1665Pierre de Fermat 1601-1665 Blaise Pascal 1623-1662Blaise Pascal 1623-1662

1665 – Tratado sobre el triángulo aritmético1665 – Tratado sobre el triángulo aritmético Christian Huygens 1629-1695Christian Huygens 1629-1695

1657 – Sobre el razonamiento relativo a los 1657 – Sobre el razonamiento relativo a los

juegos de dadosjuegos de dados Abraham de Moivre 1667 – 1754Abraham de Moivre 1667 – 1754

1711 – Doctrina de las Probabilidades1711 – Doctrina de las Probabilidades Pierre Simon Laplace 1749 – 1827Pierre Simon Laplace 1749 – 1827

1820 – Teoría Analítica de la Probabilidad1820 – Teoría Analítica de la Probabilidad

Origen del estudio de la Probabilidad

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Es la rama de las matemáticas que se ocupa de medir o Es la rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que ocurra determinar cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un determinado suceso. Surge con el estudio de los juegos un determinado suceso. Surge con el estudio de los juegos de azar, pero se extiende a todos los fenómenos aleatorios.de azar, pero se extiende a todos los fenómenos aleatorios.

Cuando tenemos dos o más alternativas, la probabilidad Cuando tenemos dos o más alternativas, la probabilidad nos permite de la forma más “racional o científica” posible nos permite de la forma más “racional o científica” posible comprender y evaluar las opciones, determinando criterios comprender y evaluar las opciones, determinando criterios y alternativas posibles para tomar las mejores decisiones. y alternativas posibles para tomar las mejores decisiones.

Mide la frecuencia con que se obtiene un resultado bajo Mide la frecuencia con que se obtiene un resultado bajo

condiciones suficientemente estables.condiciones suficientemente estables.

¿Qué es la probabilidad?

44

El cálculo matemático de probabilidades se basa El cálculo matemático de probabilidades se basa en situaciones teóricas en las cuales puede en situaciones teóricas en las cuales puede configurarse un espacio muestral cuyos sucesos configurarse un espacio muestral cuyos sucesos elementales tengan todos la misma probabilidad. elementales tengan todos la misma probabilidad.

La probabilidad de un resultado se representa con La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1 : la probabilidad 0 indica un número entre 0 y 1 : la probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá siempre.probabilidad 1, que el resultado ocurrirá siempre.

¿Qué indica la probabilidad?

55

Modelos de probabilidad

De Frecuencia Relativa , a posteriori o empíricoDe Frecuencia Relativa , a posteriori o empírico

Utiliza la observación de datos, registrando su frecuencia Utiliza la observación de datos, registrando su frecuencia de ocurrencia y usando esta información para pronosticar de ocurrencia y usando esta información para pronosticar la posibilidad de una nueva ocurrencia.la posibilidad de una nueva ocurrencia.

Subjetivo o intuitivoSubjetivo o intuitivo

Se basa en la mejor conjetura con base a la evidencia Se basa en la mejor conjetura con base a la evidencia disponible. Se aplica para eventos nuevos.disponible. Se aplica para eventos nuevos.

Clásico , a priori o de LaplaceClásico , a priori o de Laplace

Sirve para determinar la probabilidad de un hecho antes Sirve para determinar la probabilidad de un hecho antes de que ocurra , mediante su cálculo teórico , con base a de que ocurra , mediante su cálculo teórico , con base a resultados igualmente probables.resultados igualmente probables.

66

Si un experimento bien definido se repite n veces (n grande); sea nA < n el número de veces que el evento A ocurre en los n ensayos, entonces la frecuencia relativa de veces que ocurre el evento A “nA /n”, es la estimación de la probabilidad que ocurra el evento A :

P(A)= nA /n

OBSERVACIONES:

1. La frecuencia relativa de un evento, esta comprendido entre 0 y 1.

Por lo tanto 0 ≤ P(A) ≤ 1.

En efecto: Desde que 0 ≤ nA ≤ 1, 0/n ≤ nA /n ≤ 1, se tiene que 0

≤ nA /n ≤ 1.

Luego, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

2. nA /n = 0, si solo si, en las n repeticiones del experimento el

evento A.

Modelo de frecuencia relativa

77

Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición.

Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento y cuando no se cuenta con ninguna evidencia.

Puede ser muy acertado o muy desligado de la realidad , pues es un juicio personal.

Modelo Subjetivo

88

La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos (sucesos) favorables y el numero total de casos (sucesos) posibles, siempre que nada obligue a creer que algunos de estos sucesos debe tener preferencia a los demás, lo que hace que sean igualmente posibles.

La probabilidad de un evento A: P (A), es un NÚMERO, que mide el grado de certeza en el que un evento A ocurre, y se obtiene con la formula conocida como REGLA DE LAPLACE:

Modelo Clásico

99

Cada experimento aleatorio tiene varios resultados posibles y podemos describir con precisión el conjunto de estos resultados posibles. Llamaremos Espacio Muestral asociado a un experimento aleatorio, al conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento aleatorio, y lo denotamos con Ω.

Espacio Muestral y Evento

A uno o más de los resultados posibles del espacio muestral, se les denomina Evento o Suceso, y se simboliza con las letras mayúsculas: A, B, C, … Es un subconjunto del espacio muestral.

1010

Tipos de EventosElemental :A cada elemento o resultado posible del espacio muestral, se le conoce con el nombre de evento elemental.

Imposible :Algunos eventos nunca pueden ocurrir en el experimento aleatorio, y por eso se llama imposible. Se simboliza con Ø.

Seguro :Los eventos que siempre suceden en el experimento aleatorio, son llamados eventos seguros.

Complementario : Cuando se considera un evento A, el evento que contiene todos los eventos elementales del espacio muestral que no estén en A se denominara Evento Complementario. Se simbolizara con Ā. Siempre que sumemos el evento A y su complemento Ā, tendremos el espacio muestral Ω (A + Ā = Ω).

1111

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar y que para enumerar eventos difíciles de cuantificar y que nos proporcionan la información de todas las nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento maneras posibles en que ocurre un evento determinado.determinado.

Permiten determinar el número de subconjuntos que Permiten determinar el número de subconjuntos que se pueden obtener de un conjunto.se pueden obtener de un conjunto.

Incluyen : las Incluyen : las combinacionescombinaciones, , permutacionespermutaciones y los y los diagramas de árboldiagramas de árbol..

Técnicas de Conteo

1212

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde:donde:

a)a) El primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a El primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de Ncabo de N11 maneras o formas, maneras o formas,

b)b) el segundo paso de Nel segundo paso de N22 maneras o formas maneras o formas

c)c) y el n-ésimo paso de Ny el n-ésimo paso de Nnn maneras o formas, maneras o formas,

entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de:entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de:

NN11 x N x N22 x ..........x N x ..........x Nnn maneras o formas maneras o formas

Cuando se trata de una sola actividad, la cual Cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativomultiplicativo

Principio de conteo Multiplicativo

1313

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativasformas alternativas para ser realizada, donde: para ser realizada, donde:

a)a) La primera de esas alternativas puede ser realizada de M La primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, maneras o formas,

b)b) la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... formas .....

c)c) y la última de las alternativas puede ser realizada de W y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, maneras o formas,

entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de:entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de: M + N + .........+ W maneras o formasM + N + .........+ W maneras o formas

Si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene Si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativasalternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.principio aditivo.

Principio de conteo Aditivo

1414

COMBINACIÓN:COMBINACIÓN:

Es todo arreglo de Es todo arreglo de elementos en donde elementos en donde NO nos interesa el NO nos interesa el lugar o posiciónlugar o posición que que ocupa cada uno de los ocupa cada uno de los elementos que elementos que constituyen dicho constituyen dicho arreglo, simplemente arreglo, simplemente nos interesa formar nos interesa formar grupos y su grupos y su contenido.contenido.

Combinación

)!(!

!

rnr

nnCr

En donde, nCr = es el número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez. n! = factorial de n(n-r)! = factorial de la diferencia entre n y r

Fórmula :

1515

PERMUTACIÓN:PERMUTACIÓN:

Es todo arreglo de Es todo arreglo de elementos en donde elementos en donde SI SI nos interesa el lugar o nos interesa el lugar o posiciónposición que ocupa cada que ocupa cada uno de los elementos que uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.constituyen dicho arreglo.

Permutación

Fórmula :

nPrn

n r

En donde, nPr = es el número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez. n! = factorial de n(n-r)! = factorial de la diferencia entre n y r

1616

Dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral son excluyentes si NO PUEDEN OCURRIR JUNTOS. Es

decir, la ocurrencia de uno EXCLUYE de la ocurrencia del otro. En símbolos si P (A ∩ B)= Ø

Dos eventos A y B no son excluyentes si pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno no excluye la ocurrencia del otro. En símbolos (A ∩ B) ≠ Ø

P(A + B)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

P(A + B)= P(A) + P(B)

Probabilidad de eventos

1717

Dos eventos A y B son dependientes, si un evento influye en el otro evento. Observamos que el hecho de que suceda el evento A influye en la probabilidad del suceso B, es decir la probabilidad del suceso B depende de que A se haya realizado o no, esto se expresa como P (B/A).

P(AB) = P (A) * P (B/A)

Probabilidad de eventos

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos).

1818

Sean A y B dos eventos asociados con un experimento aleatorio. Consideremos que ya ocurrió el evento B y que p (B) > 0.

Bajo estas condiciones se llama probabilidad condicional de A dado B, y se escribe P (A/B), al cociente que se obtiene dividiendo la probabilidad de la intersección de A y B entre la probabilidad de B:

P(A ∩ B)P (A / B) = P(B)

Probabilidad de eventos

1919

1) Patiño Arellano , Omar Alejandro .Teoría elemental de probabilidad (2009). [En línea]. Disponible en: http://www.monografias.com/trabajos69/teoria-elemental-probabilidad/teoria-elemental-probabilidad.shtml [2010,4 de Enero].

2)Domínguez, Jorge. (2009). Estadística y probabilidad. El Mundo de los datos y el azar. México: Oxford University Press. Unidad 5: Probabilidad, pp. 181 a 231.

Bibliografía